फलन f(x) = x^3 + px^2 + qx + r (x in R) का को | vedclass

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Question

(A) किसी फलन $f(x)$ का कोई चरम मान न होने के लिए,इसके अवकलज $f'(x)$ को अपना चिह्न नहीं बदलना चाहिए। इसका अर्थ है कि $f'(x)$ या तो हमेशा गैर-ऋणात्मक (n

Vedclass · Accepted Answer

$p^2 < 3q$

Vedclass · Answer

(A) किसी फलन $f(x)$ का कोई चरम मान न होने के लिए,इसके अवकलज $f'(x)$ को अपना चिह्न नहीं बदलना चाहिए। इसका अर्थ है कि $f'(x)$ या तो हमेशा गैर-ऋणात्मक (non-negative) होना चाहिए या हमेशा गैर-धनात्मक (non-positive) होना चाहिए। दिया गया है $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$. इसका अवकलज $f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ है। यदि $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है,तो द्विघात समीकरण $3x^2 + 2px + q = 0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं होने चाहिए या समान मूल होने चाहिए। इसका अर्थ है कि विविक्तकर (discriminant) $D \le 0$ होना चाहिए। विविक्तकर $D = (2p)^2 - 4(3)(q) = 4p^2 - 12q$. $D \le 0$ रखने पर,हमें $4p^2 - 12q \le 0$ प्राप्त होता है। $4$ से विभाजित करने पर,$p^2 - 3q \le 0$ या $p^2 \le 3q$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,शर्त $p^2 < 3q$ सही विकल्प है।

फलन $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$ $(x \in R)$ का कोई चरम मान (extreme value) न होने की शर्त क्या है?

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