int_0^{2 pi} sin ^6 x cos ^5 x , dx का मान ज् | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{2 \pi} \sin ^6 x \cos ^5 x \, dx$ है। गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,यदि $f(2a-x) =

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(C) माना $I = \int_0^{2 \pi} \sin ^6 x \cos ^5 x \, dx$ है। गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो,तो हम $f(x) = \sin^6 x \cos^5 x$ की जाँच करते हैं। चूँकि $f(2\pi - x) = \sin^6(2\pi - x) \cos^5(2\pi - x) = (-\sin x)^6 (\cos x)^5 = \sin^6 x \cos^5 x = f(x)$,इसलिए $I = 2 \int_0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx$ होगा। अब,गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = 0$ यदि $f(a-x) = -f(x)$ हो,तो हम $f(\pi - x)$ की जाँच करते हैं। $f(\pi - x) = \sin^6(\pi - x) \cos^5(\pi - x) = (\sin x)^6 (-\cos x)^5 = -\sin^6 x \cos^5 x = -f(x)$। अतः,$\int_0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx = 0$। इसलिए,$I = 2 	imes 0 = 0$।

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

$\int_0^{2 \pi} \sin ^6 x \cos ^5 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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