MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે બે તક્તિઓને જોડવામાં આવે ત્યારે તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2$ છે.
જ્યારે તક્તિઓ સાથે ભ્રમણ કરે છે,ત્યારે તેઓ $I = I_1 + I_2$ જેટલી કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા અને $\omega$ જેટલી સામાન્ય કોણીય ઝડપ ધરાવતું એક તંત્ર બનાવે છે.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = (I_1 + I_2) \omega$ છે.
$L_i = L_f$ લેતા,આપણને $\omega = \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2}$ મળે છે.
તંત્રની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ અને $\omega$ ની કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2$.
$K = \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1$ છે અને અંતિમ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = 0.75 I_1 = \frac{3}{4} I_1$ છે.
સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે,તેથી $L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
આમ,$\omega_2 = \frac{I_1}{I_2} \omega_1 = \frac{I_1}{0.75 I_1} \omega_1 = \frac{4}{3} \omega_1$.
પ્રારંભિક પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા $K_1 = \frac{L^2}{2 I_1}$ છે.
અંતિમ પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા $K_2 = \frac{L^2}{2 I_2} = \frac{L^2}{2 (0.75 I_1)} = \frac{L^2}{1.5 I_1} = \frac{4}{3} K_1$ છે.
ગતિ ઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100 = (\frac{4}{3} - 1) \times 100 = \frac{1}{3} \times 100 \approx 33.3 \%$ છે.

(A) ભ્રમણ કરતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે. ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{L^2}{2I}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક સ્થિતિ $L_1 = L$,$K_1 = K$,$\omega_1 = \omega$,$I_1 = I$.
નવી સ્થિતિ: આવૃત્તિ $f_2 = 3f_1$,જેનો અર્થ છે $\omega_2 = 3\omega_1 = 3\omega$. ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{3} K_1 = \frac{K}{3}$.
$K = \frac{L^2}{2I}$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{L^2}{2K}$ મળે.
નવી સ્થિતિ માટે: $I_2 = \frac{L_2^2}{2K_2}$.
વળી,$L_2 = I_2 \omega_2 = I_2 (3\omega)$.
$K_2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$ પરથી,$\frac{K}{3} = \frac{1}{2} I_2 (3\omega)^2 = \frac{9}{2} I_2 \omega^2$.
$K = \frac{1}{2} I \omega^2$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત મૂકીએ: $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} I \omega^2) = \frac{9}{2} I_2 \omega^2$.
$I_2$ માટે ઉકેલતા: $I_2 = \frac{I}{27}$.
હવે,નવું કોણીય વેગમાન $L_2 = I_2 \omega_2 = (\frac{I}{27}) (3\omega) = \frac{I\omega}{9} = \frac{L}{9}$ મળે.

(B) ધારો કે બે ગોળાઓ $S_1$ અને $S_2$ છે. પરિભ્રમણની અક્ષ $S_1$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને સળિયાને લંબ છે.
ગોળા $S_1$ માટે,તેના પોતાના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
ગોળા $S_2$ માટે,તેના કેન્દ્રનું પરિભ્રમણની અક્ષથી અંતર $d = 4R$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2 = \frac{2}{5} MR^2 + 16MR^2 = \frac{82}{5} MR^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{82}{5} MR^2 = \frac{84}{5} MR^2$.

(C) તક્તિની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તક્તિઓ સમાન દ્રવ્ય અને સમાન જાડાઈ $t$ ની બનેલી હોવાથી,તેમનું દળ $M = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho \times (\pi R^2 t)$ થાય.
$I$ ના સૂત્રમાં $M$ ની કિંમત મૂકતા,$I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi t R^4$ મળે.
અહીં $\rho$,$\pi$ અને $t$ બંને તક્તિઓ માટે અચળ હોવાથી,$I \propto R^4$ થાય.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{R_A}{R_B} \right)^4$ થશે.
અહીં $R_A = R$ અને $R_B = 3R$ આપેલ હોવાથી,$\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{R}{3R} \right)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1: 81$ છે.

(C) $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ છે.
ગોળા $1$ માટે,અક્ષ $YY^1$ તેના કેન્દ્ર (વ્યાસ) માંથી પસાર થાય છે. તેથી,$I_1 = \frac{2}{5} mr^2$.
ગોળા $2$ અને $3$ માટે,અક્ષ $YY^1$ તેમને સ્પર્શે છે. આ ગોળાઓના કેન્દ્રનું અક્ષ $YY^1$ થી અંતર $r$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + md^2$,જ્યાં $d = r$.
તેથી,$I_2 = I_3 = \frac{2}{5} mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5} mr^2$.
સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{2}{5} mr^2 + \frac{7}{5} mr^2 + \frac{7}{5} mr^2 = \frac{16}{5} mr^2$ થાય.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તારની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ છે.
લૂપ $P$ નું દળ $M_P = \lambda \cdot (2\pi r)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_P = r$ છે.
તેથી,$I_P = M_P R_P^2 = (2\pi r \lambda) r^2 = 2\pi \lambda r^3$.
લૂપ $Q$ નું દળ $M_Q = \lambda \cdot (2\pi nr)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_Q = nr$ છે.
તેથી,$I_Q = M_Q R_Q^2 = (2\pi nr \lambda) (nr)^2 = 2\pi \lambda n^3 r^3$.
આપેલ છે કે $I_Q = 4 I_P$,તેથી $2\pi \lambda n^3 r^3 = 4(2\pi \lambda r^3)$.
બંને બાજુથી $2\pi \lambda r^3$ ને દૂર કરતા,આપણને $n^3 = 4$ મળે છે.
તેથી,$n = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$.

(B) $1$. $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના પાતળા સમાન સળિયા માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{12}$ છે.
$2$. જ્યારે સળિયાને $R$ ત્રિજ્યાની રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ સળિયાની લંબાઈ જેટલો થાય છે: $2\pi R = L$,તેથી $R = \frac{L}{2\pi}$.
$3$. $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$4$. $I_1$ ના સમીકરણમાં $R = \frac{L}{2\pi}$ મૂકતા: $I_1 = \frac{1}{2}M(\frac{L}{2\pi})^2 = \frac{1}{2}M(\frac{L^2}{4\pi^2}) = \frac{ML^2}{8\pi^2}$.
$5$. આપેલ છે કે $I_1 = xI$,તેથી $\frac{ML^2}{8\pi^2} = x(\frac{ML^2}{12})$.
$6$. $x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{12}{8\pi^2} = \frac{3}{2\pi^2}$.

(C) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{s} = \frac{2}{5}MR^{2}$ છે.
પાતળી દીવાલવાળા પોલા ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{h} = \frac{2}{3}MR^{2}$ છે.
બંને ગોળાઓ સમાન દળ $M$ ધરાવતા હોવાથી,પોલા ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર નક્કર ગોળા કરતા મોટું છે કારણ કે $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$.
આમ,$I_{h} > I_{s}$ થાય છે.

(C) $1$. તારની લંબાઈ $L$ છે. તેને અર્ધવર્તુળાકાર રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,તેથી અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ $\pi R = L$ થશે,જ્યાં $R$ એ ત્રિજ્યા છે. તેથી,$R = \frac{L}{\pi}$.
$2$. $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેના વ્યાસ (જે તેના છેડાઓમાંથી પસાર થાય છે) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ થાય છે.
$3$. હવે,$R = \frac{L}{\pi}$ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$I = \frac{1}{2} M \left(\frac{L}{\pi}\right)^2 = \frac{M L^2}{2 \pi^2}$ મળે છે.

(B) કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,દરેક ખૂણાનું કેન્દ્રથી અંતર $r = \frac{L}{\sqrt{2}}$ છે.
અહીં $M$ દળના ચાર કણો હોવાથી,સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 4 \times M \times r^2 = 4 \times M \times (\frac{L}{\sqrt{2}})^2 = 4 \times M \times \frac{L^2}{2} = 2ML^2$ થાય.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ ને $I = M_{total} k^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $M_{total} = 4M$ છે.
તેથી,$2ML^2 = (4M)k^2$.
$k^2 = \frac{2ML^2}{4M} = \frac{L^2}{2}$.
$k = \frac{L}{\sqrt{2}}$.

(C) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tangent} = I_{cm} + mR^2$ થાય.
અહીં $I_{cm} = I = \frac{2}{5} mR^2$ મૂકતા:
$I_{tangent} = \frac{2}{5} mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5} mR^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = \frac{2}{5} mR^2$,તેથી $mR^2 = \frac{5}{2} I$.
આ કિંમત $I_{tangent}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I_{tangent} = \frac{7}{5} \times (\frac{5}{2} I) = \frac{7}{2} I = 3.5 I$.

(B) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ અને તેની લંબાઈ $L$ છે. સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ છે.
જ્યારે સળિયાને $R$ ત્રિજ્યાની રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ સળિયાની લંબાઈ જેટલો થાય છે,તેથી $2\pi R = L$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{L}{2\pi}$.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$I_2$ ના સમીકરણમાં $R = \frac{L}{2\pi}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $I_2 = \frac{1}{2}M(\frac{L}{2\pi})^2 = \frac{1}{2}M(\frac{L^2}{4\pi^2}) = \frac{ML^2}{8\pi^2}$.
હવે,ગુણોત્તર $I_1 / I_2 = \frac{ML^2/12}{ML^2/8\pi^2} = \frac{8\pi^2}{12} = \frac{2\pi^2}{3}$ થાય છે.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ધારો કે મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ અને દળ $M$ છે.
જ્યારે તેને $r$ ત્રિજ્યાના $27$ નાના ગોળાઓમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
આનો અર્થ એ છે કે $R^3 = 27r^3$,તેથી $R = 3r$ અથવા $r = \frac{R}{3}$.
દરેક નાના ગોળાનું દળ $m = \frac{M}{27}$ થાય.
દરેક નાના ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I' = \frac{2}{5}mr^2$ છે.
$m = \frac{M}{27}$ અને $r = \frac{R}{3}$ મૂકતા:
$I' = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{27} \right) \left( \frac{R}{3} \right)^2 = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{27} \right) \left( \frac{R^2}{9} \right) = \frac{1}{243} \left( \frac{2}{5}MR^2 \right)$.
કારણ કે $I = \frac{2}{5}MR^2$,તેથી $I' = \frac{I}{243}$.

(A) $1$. તારનું કુલ દળ $M = \lambda L$ છે.
$2$. રીંગનો પરિઘ $2 \pi R = L$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{2 \pi}$ થાય.
$3$. રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = MR^2$ છે.
$4$. લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{1}{2} MR^2$ થાય.
$5$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{diameter} + MR^2$ થાય.
$6$. $I = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$.
$7$. $M = \lambda L$ અને $R = \frac{L}{2 \pi}$ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{3}{2} (\lambda L) (\frac{L}{2 \pi})^2 = \frac{3}{2} \lambda L \cdot \frac{L^2}{4 \pi^2} = \frac{3 \lambda L^3}{8 \pi^2}$.

(C) $1$. તકતીની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$2$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તકતીની ધાર પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી (સમતલને લંબ) અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{disc} = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ થાય.
$3$. ધારો કે ચાર કણો $(R, 0), (0, R), (-R, 0), (0, -R)$ સ્થાને છે. ધારો કે અક્ષ $(R, 0)$ પરના કણમાંથી પસાર થાય છે.
$4$. અક્ષથી ચાર કણોના અંતર: $r_1 = 0$,$r_2 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$,$r_3 = \sqrt{(2R)^2 + 0} = 2R$,$r_4 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ છે.
$5$. કણોની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{particles} = m(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2) = m(0 + 2R^2 + 4R^2 + 2R^2) = 8mR^2$ થાય.
$6$. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{disc} + I_{particles} = \frac{3}{2}MR^2 + 8mR^2 = (\frac{M}{2} + 8m)R^2$ મળે.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને પાતળા સમાન સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને આપેલી અક્ષ વચ્ચેનું અંતર છે.
સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એક છેડાથી $L/2$ અંતરે હોય છે.
આપેલી અક્ષ તે જ છેડાથી $L/4$ અંતરે છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને અક્ષ વચ્ચેનું અંતર $d = |L/2 - L/4| = L/4$ થશે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(L/4)^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{16}$
$12$ અને $16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $48$ લેતા:
$I = \frac{4ML^2 + 3ML^2}{48} = \frac{7ML^2}{48}$.

(A) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા લીસા ઢળતા સમતલ પર સરકતા પદાર્થ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mV^2$,જે આપે છે $V = \sqrt{2gh}$.
તે જ ઢળતા સમતલ પર ગબડતી રીંગ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઊર્જા બંનેમાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ અને ગબડવાની શરત $v = r\omega$ છે,તેથી $\omega = v/r$.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
આમ,$v^2 = gh$,જેનો અર્થ છે $v = \sqrt{gh}$.
બંને વેગની સરખામણી કરતા: $v = \sqrt{gh} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{2}} = \frac{V}{\sqrt{2}}$.

(B) લપસ્યા વિના ઢળતી સપાટી પર ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$.
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2/5 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$ આપેલ છે,તેથી:
$a = \frac{5}{7} g (0.5) = \frac{5}{7} g \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{5g}{14}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે, કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
અહીં $I = \frac{2}{5}mr^2$ અને $v = r\omega$ હોવાથી, $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
જ્યારે ગોળો ઢાળ પર ઉપર જાય છે, ત્યારે આ ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જા $U = mgh$ માં રૂપાંતરિત થાય છે, જ્યાં $h = d \sin \theta$ અને $d$ એ ઢાળ પરનું અંતર છે।
$K = U$ લેતા: $\frac{7}{10}mv^2 = mgd \sin \theta$.
$d$ માટે સૂત્ર: $d = \frac{7v^2}{10g \sin \theta}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = 2 \,m/s$, $g = 10 \,m/s^2$, $\theta = 30^{\circ}$:
$d = \frac{7 \times (2)^2}{10 \times 10 \times (1/2)} = \frac{7 \times 4}{100 \times 0.5} = \frac{28}{50} = 0.56 \,m$.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
ટોચ પર પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgh$ છે.
ટોચ પર પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $KE = 0$ છે (કારણ કે તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે).
તળિયે,કુલ ગતિ ઉર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $KE_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે.
તે સરક્યા વિના ગબડતું હોવાથી,$v = r\omega$,તેથી $\omega = v/r$.
આ કિંમતોને ગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $KE_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mgh = \frac{7}{10}mv^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = \frac{10gh}{7}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \left(\frac{10gh}{7}\right)^{1/2}$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0$ છે અને અંતિમ કોણીય વેગ $\omega$ છે. પરિભ્રમણીય ગતિનું સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,$24$ પરિભ્રમણ પછી વેગ $\frac{\omega_0}{3}$ થાય છે.
$(\frac{\omega_0}{3})^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(24 \times 2\pi) \implies \frac{\omega_0^2}{9} - \omega_0^2 = 48\pi\alpha \implies -\frac{8}{9}\omega_0^2 = 48\pi\alpha \implies \alpha = -\frac{\omega_0^2}{54\pi}$.
હવે,$\frac{\omega_0}{3}$ થી $0$ (સ્થિર) સુધીની ગતિ માટે,ધારો કે વધારાના પરિભ્રમણ $\theta_2$ છે.
$0^2 = (\frac{\omega_0}{3})^2 + 2\alpha(\theta_2 \times 2\pi) \implies 0 = \frac{\omega_0^2}{9} + 2(-\frac{\omega_0^2}{54\pi})(2\pi\theta_2)$.
$0 = \frac{\omega_0^2}{9} - \frac{\omega_0^2}{13.5}\theta_2 \implies \frac{\omega_0^2}{9} = \frac{\omega_0^2}{13.5}\theta_2 \implies \theta_2 = \frac{13.5}{9} = 3$.
આમ,પંખો બીજા $3$ પરિભ્રમણ કરશે.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડતી તકતી માટે,ટોચ પરની કુલ સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે પહોંચતા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgh = K_{trans} + K_{rot}$.
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ છે.
તકતી લપસ્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$v = r\omega$,તેથી $\omega = \frac{v}{r}$.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{4}mv^2$ છે.
કુલ ઉર્જા $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
આમ,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2}{3}mgh$.
ચાકગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા: $K_{rot} = \frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{2}(\frac{2}{3}mgh) = \frac{mgh}{3}$.

(D) સ્થિર સ્થિતિમાંથી અચળ કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $2 \ s$ માટે $(t_1 = 2 \ s)$: $\theta_1 = \frac{1}{2} \alpha (2)^2 = 2\alpha$.
કુલ $4 \ s$ સમય માટે $(t_2 = 2 + 2 = 4 \ s)$: $\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (4)^2 = 8\alpha$.
પછીના $2 \ s$ માં ફરેલ ખૂણો $\theta_2 = \theta_{total} - \theta_1 = 8\alpha - 2\alpha = 6\alpha$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\theta_1 : \theta_2 = 2\alpha : 6\alpha = 1 : 3$ થાય.

(B) કોણીય વેગ $\omega$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સાથે ભ્રમણ કરતા પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાન $L = I \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ચાકગતિ ઉર્જાને કોણીય વેગમાનના પદમાં આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$K = \frac{1}{2} I \left( \frac{L}{I} \right)^2 = \frac{L^2}{2I}$.
આપેલ છે કે $K = x$ અને $L = y$,તેથી $x = \frac{y^2}{2I}$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $I = \frac{y^2}{2x}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
નક્કર નળાકારની તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2} mR^2$ છે.
ધારો કે ગોળાની કોણીય ઝડપ $\omega$ છે. તો નળાકારની કોણીય ઝડપ $2\omega$ થશે.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
ગોળાની ગતિઊર્જા: $K_s = \frac{1}{2} I_s \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} mR^2 \omega^2$.
નળાકારની ગતિઊર્જા: $K_c = \frac{1}{2} I_c (2\omega)^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (4\omega^2) = mR^2 \omega^2$.
ગોળા અને નળાકારની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_s}{K_c} = \frac{\frac{1}{5} mR^2 \omega^2}{mR^2 \omega^2} = \frac{1}{5}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1: 5$ છે.

(C) ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે તેની ભૌમિતિક ધરી પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
ધારો કે નળાકારની કોણીય ઝડપ $\omega_c = \omega$ છે.
તેથી,$K_c = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) \omega^2 = \frac{1}{4} M R^2 \omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે તેના વ્યાસ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
ગોળાની કોણીય ઝડપ $\omega_s = \frac{\omega}{2}$ છે.
તેથી,$K_s = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{\omega}{2})^2 = \frac{1}{5} M R^2 (\frac{\omega^2}{4}) = \frac{1}{20} M R^2 \omega^2$.
ગોળાની અને નળાકારની ચાકગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_s}{K_c} = \frac{\frac{1}{20} M R^2 \omega^2}{\frac{1}{4} M R^2 \omega^2} = \frac{1}{20} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ થાય.

(A) રેખીય વેગ $\vec{v}$ એ કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 5 & -6 & 6 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{v} = \hat{i} [(-4)(6) - (1)(-6)] - \hat{j} [(3)(6) - (1)(5)] + \hat{k} [(3)(-6) - (-4)(5)]$
$\vec{v} = \hat{i} [-24 + 6] - \hat{j} [18 - 5] + \hat{k} [-18 + 20]$
$\vec{v} = -18 \hat{i} - 13 \hat{j} + 2 \hat{k}$

(D) સળિયો તેના છેડામાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને ફરે છે. આ ધરીને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3}ML^2$ છે.
સૌથી નીચેના બિંદુએ (મહત્તમ કોણીય ઝડપ વખતે) સળિયાની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}ML^2)\omega^2 = \frac{1}{6}ML^2\omega^2$ થાય.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h$ જેટલું ઉપર જાય છે. સળિયા દ્વારા પ્રાપ્ત સ્થિતિ ઉર્જા $U = Mgh$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,નીચેના બિંદુએ ચાકગતિ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{6}ML^2\omega^2 = Mgh$.
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{L^2\omega^2}{6g}$.

(A) ધારો કે ડિસ્કની કોણીય ઝડપ $\omega$ છે અને બોબનો રેખીય વેગ $v$ છે. સરકણ ન હોવાથી,$v = R\omega$ થાય.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: બોબની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો = બોબની ગતિ ઉર્જામાં થતો વધારો + ડિસ્કની ચાકગતિ ઉર્જામાં થતો વધારો.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ડિસ્ક માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે.
સમીકરણમાં $I$ અને $v = R\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}m(R\omega)^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)\omega^2$
$mgh = \frac{1}{2}mR^2\omega^2 + \frac{1}{4}mR^2\omega^2$
$mgh = \frac{3}{4}mR^2\omega^2$
$gh = \frac{3}{4}R^2\omega^2$
$\omega^2 = \frac{4gh}{3R^2}$
$\omega = \frac{2}{R} \sqrt{\frac{gh}{3}}$.

(C) આપેલ કોણીય વેગ $\omega(t) = \alpha - \beta t$ છે.
સમય $t = 0$ પર,$\omega = \alpha$ છે.
જ્યારે $\omega(t) = 0$ થાય ત્યારે પદાર્થ સ્થિર થાય છે.
$\alpha - \beta t = 0 \implies t = \frac{\alpha}{\beta}$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\theta = \int_{0}^{t} \omega(t) dt = \int_{0}^{\alpha/\beta} (\alpha - \beta t) dt$.
$\theta = [\alpha t - \frac{1}{2} \beta t^2]_{0}^{\alpha/\beta}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$\theta = \alpha(\frac{\alpha}{\beta}) - \frac{1}{2} \beta (\frac{\alpha}{\beta})^2$.
$\theta = \frac{\alpha^2}{\beta} - \frac{1}{2} \frac{\alpha^2}{\beta} = \frac{\alpha^2}{2 \beta}$.

(C) ભ્રમણ કરતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાન અને ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{L}{K} = \frac{I\omega}{\frac{1}{2} I \omega^2} = \frac{2}{\omega}$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{L}{K} = \frac{\pi}{22}$ ને સરખાવતા:
$\frac{2}{\omega} = \frac{\pi}{22}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{2}{\omega} = \frac{22/7}{22} = \frac{1}{7}$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = 2 \times 7 = 14 \ rad/s$.
આમ,ગોળાનો કોણીય વેગ $14 \ rad/s$ છે.

(A) સળિયો એક છેડે ધરી પર રાખેલ છે. ધરીને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{3}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે ધરીથી $L/2$ અંતરે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ધરી પર લાગતું ટોર્ક $\tau = mg \cdot (L/2) \sin \theta$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમના પરિભ્રમણના સમકક્ષ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$mg \frac{L}{2} \sin \theta = \left( \frac{mL^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{mg(L/2) \sin \theta}{mL^2/3} = \frac{mgL/2}{mL^2/3} \sin \theta = \frac{3g}{2L} \sin \theta$.
આમ,કોણીય પ્રવેગ $\frac{3g \sin \theta}{2L}$ છે.

(B) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
અહીં $\vec{r} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j})$ અને $\vec{F} = (5 \hat{i} - 10 \hat{j})$ આપેલ છે:
$\vec{\tau} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \times (5 \hat{i} - 10 \hat{j})$
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = 4 \hat{i} \times (5 \hat{i}) - 4 \hat{i} \times (10 \hat{j}) - 3 \hat{j} \times (5 \hat{i}) + 3 \hat{j} \times (10 \hat{j})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{j} = 0$,તેમજ $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$:
$\vec{\tau} = 0 - 40(\hat{k}) - 15(-\hat{k}) + 0$
$\vec{\tau} = -40 \hat{k} + 15 \hat{k}$
$\vec{\tau} = -25 \hat{k} \text{ N m}$

(C) આપેલ છે:
દળ $M = 25 \ kg$,ત્રિજ્યા $R = 0.2 \ m$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 240 \ r.p.m. = 240 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \ rad/s$,સમય $t = 20 \ s$.
તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.2)^2 = 0.5 \ kg \cdot m^2$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{0 - 8\pi}{20} = -0.4\pi \ rad/s^2$.
અવરોધક ટોર્ક $\tau = I|\alpha| = 0.5 \times 0.4\pi = 0.2\pi \ N \cdot m$.
ટોર્ક સ્પર્શકની દિશામાં લાગતું હોવાથી,$\tau = F \times R$,તેથી $F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.2\pi}{0.2} = \pi \ N$.

(C) ટોર્ક $\tau$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સાથે $\tau = I\alpha$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
બંને માટે ટોર્ક $\tau$ સમાન હોવાથી,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I}$ દ્વારા મળે છે.
રિંગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{ring}} = MR^2$ છે અને ડિસ્ક માટે $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$I_{\text{ring}} > I_{\text{disc}}$ હોવાથી,ડિસ્કનો કોણીય પ્રવેગ રિંગ કરતા વધારે હશે $(\alpha_{\text{disc}} > \alpha_{\text{ring}})$.
પરિણામે,સમાન સમયગાળા પછી ડિસ્ક રિંગની તુલનામાં વધુ કોણીય આવૃત્તિ (અથવા કોણીય વેગ) સાથે ફરશે.

(C) $h$ ઊંચાઈએ રહેલી વસ્તુની સ્થિતિ ઉર્જા અથડામણ સમયે ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપેલ છે: દળ $m = 3.5 \ kg$,ઊંચાઈ $h = 2000 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$,ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા $L = 3.5 \times 10^5 \ J/kg$.
સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgh = 3.5 \times 10 \times 2000 = 70,000 \ J$.
$m'$ દળનો બરફ ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m'L$ છે.
વસ્તુ સ્થિર થઈ જતી હોવાથી,બધી સ્થિતિ ઉર્જા ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = m'L$.
$70,000 = m' \times 3.5 \times 10^5$.
$m' = \frac{70,000}{3.5 \times 10^5} = \frac{7 \times 10^4}{3.5 \times 10^5} = 2 \times 10^{-1} \ kg = 0.2 \ kg$.
ગ્રામમાં રૂપાંતર કરતા: $0.2 \ kg = 200 \ g$.

(C) ન્યૂટનના શીતળતાના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર એ પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dQ}{dt} = k(T - T_s)$.
અહીં,તંત્ર (કેલરીમીટર + પાણી) દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $\Delta Q = (m_w + w)c \Delta T$ છે,જ્યાં $w$ એ કેલરીમીટરનો પાણીનો તુલ્યાંક છે.
શીતળતાનો દર $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{(m_w + w)c \Delta T}{\Delta t} = k(T_{avg} - T_s)$ છે.
બંને કિસ્સામાં તાપમાનનો ફેરફાર $\Delta T = 5^{\circ}C$ અને સરેરાશ તાપમાન $T_{avg} = 17.5^{\circ}C$ સમાન હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર અચળ રહે છે.
તેથી,$\frac{(m_1 + w)c \Delta T}{t_1} = \frac{(m_2 + w)c \Delta T}{t_2}$.
આ સમીકરણ $\frac{m_1 + w}{t_1} = \frac{m_2 + w}{t_2}$ માં પરિણમે છે.
આપેલ છે કે $m_1 = 10 \ g, t_1 = 10 \ min$ અને $m_2 = 20 \ g, t_2 = 15 \ min$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10 + w}{10} = \frac{20 + w}{15}$.
$15(10 + w) = 10(20 + w) \implies 150 + 15w = 200 + 10w$.
$5w = 50 \implies w = 10 \ g$.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા પદાર્થોમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $(H)$ સમાન હોય છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $H = \frac{KA(T_2 - T)}{x}$,જ્યાં $T$ એ સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન છે.
બીજા પદાર્થ માટે: $H = \frac{(2K)A(T - T_1)}{4x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{KA(T_2 - T)}{x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$.
$2(T_2 - T) = T - T_1 \implies 2T_2 - 2T = T - T_1 \implies 3T = 2T_2 + T_1 \implies T = \frac{2T_2 + T_1}{3}$.
$T$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $H = \frac{KA}{x} (T_2 - \frac{2T_2 + T_1}{3}) = \frac{KA}{x} (\frac{3T_2 - 2T_2 - T_1}{3}) = \frac{KA(T_2 - T_1)}{3x}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\left[\frac{A(T_2 - T_1)K}{x}\right] f$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f = 1/3$ મળે છે.

(B) સળિયામાં ઉષ્મા વહનનો દર $H$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H = \frac{Q}{t} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{x}$
જ્યાં:
$Q/t$ એ ઉષ્મા વહનનો દર છે,
$K$ એ ઉષ્મા વાહકતાનો ગુણાંક છે,
$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,
$x$ એ સળિયાની લંબાઈ છે,
$(T_1 - T_2)$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
$K$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$K = \frac{(Q/t) \cdot x}{A(T_1 - T_2)}$
$K = \frac{xQ}{tA(T_1 - T_2)}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને $A$ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,પ્રારંભિક પાવર $P_1 = \sigma (4 \pi R^2) T^4$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા બમણી $(R' = 2R)$ અને તાપમાન બમણું $(T' = 2T)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો પાવર $P_2$ નીચે મુજબ મળે:
$P_2 = \sigma (4 \pi (2R)^2) (2T)^4$
$P_2 = \sigma (4 \pi \cdot 4R^2) (16T^4)$
$P_2 = 16 \cdot 4 \cdot \sigma (4 \pi R^2) T^4$
$P_2 = 64 P_1$.
તેથી,નવો ઉત્સર્જિત પાવર $64 P$ થશે.

(C) કોઈપણ સપાટી માટે,શોષણ ગુણાંક $(a)$,પરાવર્તન ગુણાંક $(r)$ અને પારગમન ગુણાંક $(t)$ નો સરવાળો $1$ થાય છે.
$a + r + t = 1$
આપેલ છે: $a = 0.77$,$r = 0.17$.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.77 + 0.17 + t = 1$
$0.94 + t = 1$
$t = 1 - 0.94 = 0.06$
પારગમિત થતી ઉષ્માનો જથ્થો એ આપાત ઉષ્મા $(Q)$ અને પારગમન ગુણાંક $(t)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$Q_{\text{transmitted}} = Q \times t$
$Q_{\text{transmitted}} = 250 \ kcal \times 0.06$
$Q_{\text{transmitted}} = 15 \ kcal$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ન્યુટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ છે,જ્યાં $T_s$ એ પર્યાવરણનું તાપમાન છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 40}{6} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right) \implies \frac{20}{6} = k(50 - 10) \implies \frac{10}{3} = 40k \implies k = \frac{1}{12}$.
બીજા અંતરાલ માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T_f$ છે: $\frac{40 - T_f}{6} = k \left( \frac{40 + T_f}{2} - 10 \right)$.
$k = \frac{1}{12}$ મૂકતા: $\frac{40 - T_f}{6} = \frac{1}{12} \left( 20 + \frac{T_f}{2} - 10 \right) \implies \frac{40 - T_f}{6} = \frac{1}{12} \left( 10 + \frac{T_f}{2} \right)$.
$12$ વડે ગુણતા: $2(40 - T_f) = 10 + 0.5T_f \implies 80 - 2T_f = 10 + 0.5T_f \implies 70 = 2.5T_f \implies T_f = \frac{70}{2.5} = 28^{\circ} C$.

(B) સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થ એ એવી વસ્તુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે કોઈપણ તરંગલંબાઇના તમામ આપાત વિકિરણોનું શોષણ કરે છે. કિર્ચોફના ઉષ્મીય વિકિરણના નિયમ મુજબ,તેના વાતાવરણ સાથે ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા કોઈપણ પદાર્થ માટે,તેની ઉત્સર્જકતા (emissivity) તેની શોષકતા (absorptivity) જેટલી હોય છે. કારણ કે સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થની શોષકતા $1$ હોય છે,તેથી તેની ઉત્સર્જકતા (ઉત્સર્જનનો ગુણાંક) પણ $1$ હોવી જોઈએ,જેને એકમ (unity) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta - \theta_0)$,જ્યાં $\theta$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $\theta_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$1.5 = K(80 - \theta_0)$ --- (સમીકરણ $1$)
બીજા કિસ્સા માટે:
$0.3 = K(40 - \theta_0)$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1.5}{0.3} = \frac{K(80 - \theta_0)}{K(40 - \theta_0)}$
$5 = \frac{80 - \theta_0}{40 - \theta_0}$
$5(40 - \theta_0) = 80 - \theta_0$
$200 - 5\theta_0 = 80 - \theta_0$
$200 - 80 = 5\theta_0 - \theta_0$
$120 = 4\theta_0$
$\theta_0 = 30^{\circ} C$
આમ,આસપાસનું તાપમાન $30^{\circ} C$ છે.

(D) આલેખ y-અક્ષ પર વર્ણપટ ઉત્સર્જક પાવર $(E_{\lambda})$ અને x-અક્ષ પર તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ દર્શાવે છે.
વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int_{0}^{\infty} E_{\lambda} d\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્ણપટ ઉત્સર્જક પાવરની વ્યાખ્યા મુજબ,આ સંકલન તમામ શક્ય તરંગલંબાઈઓ પર કૃષ્ણ પદાર્થના એકમ પૃષ્ઠફળ દીઠ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ વિકિરણ ઉર્જા દર્શાવે છે.
આ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ સાથે સુસંગત છે,જે જણાવે છે કે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ પાવર એ નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાત $(E = \sigma T^4)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ઉર્જા (પાવર) $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = E = \sigma A T_1^4$,જ્યાં $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ સ્થિતિ: લંબાઈ અને પહોળાઈ અડધી કરવામાં આવે છે,તેથી નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (L/2) \times (B/2) = A/4$. નવું તાપમાન $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
નવો પાવર $P_2 = \sigma A' T_2^4 = \sigma (A/4) (600)^4$.
ગુણોત્તર લેતા: $P_2 / P_1 = [\sigma (A/4) (600)^4] / [\sigma A (300)^4] = (1/4) \times (600/300)^4 = (1/4) \times 2^4 = (1/4) \times 16 = 4$.
તેથી,$P_2 = 4 E$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થના ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ $R \propto (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $R_0 = k(400^4 - 300^4) = k(256 \times 10^8 - 81 \times 10^8) = k(175 \times 10^8)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $R' = k(900^4 - 300^4) = k(6561 \times 10^8 - 81 \times 10^8) = k(6480 \times 10^8)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R'}{R_0} = \frac{6480}{175} \approx 37.02$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $36 R_0$ છે.

(A) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે,$T_0$ એ ઓરડાનું તાપમાન છે અને $k$ એ અચળાંક છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{80 - 60}{1} = k \left( \frac{80 + 60}{2} - 30 \right) \implies 20 = k(70 - 30) \implies 20 = 40k \implies k = 0.5 \ \text{min}^{-1}$.
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 50}{t} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right) \implies \frac{10}{t} = 0.5(55 - 30) \implies \frac{10}{t} = 0.5(25) \implies \frac{10}{t} = 12.5$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{10}{12.5} = 0.8 \ \text{મિનિટ}$.
સેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા: $0.8 \times 60 = 48 \ \text{s}$.

(C) ધારો કે $Q$ એ કુલ આપાત ઉષ્મીય ઊર્જા છે,$Q_a$ એ શોષાયેલી ઊર્જા છે,$Q_t$ એ પ્રસારિત ઊર્જા છે અને $Q_r$ એ પરાવર્તિત ઊર્જા છે.
આપેલ છે: $Q = 120 \ J$,$Q_t = 12 \ J$ અને શોષણનો ગુણાંક $a = 0.6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શોષણનો ગુણાંક $a = \frac{Q_a}{Q}$.
તેથી,$Q_a = a \times Q = 0.6 \times 120 \ J = 72 \ J$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ આપાત ઊર્જા એ શોષાયેલી,પ્રસારિત અને પરાવર્તિત ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$Q = Q_a + Q_t + Q_r$
$120 \ J = 72 \ J + 12 \ J + Q_r$
$120 \ J = 84 \ J + Q_r$
$Q_r = 120 \ J - 84 \ J = 36 \ J$.
આમ,પરાવર્તિત ઉષ્માનું મૂલ્ય $36 \ J$ છે.

(C) $L_1$ અને $L_2$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા બે ગૂંચળા જ્યારે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq} = L_1 + L_2 \pm 2M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ગૂંચળા વચ્ચેનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
ગૂંચળા સમાન હોવાથી,$L_1 = L_2 = L$ થાય.
વીંટાળવાની દિશા બિલકુલ વિરુદ્ધ હોવાથી,એક ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ બીજા ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ફ્લક્સનો વિરોધ કરે છે,જેના પરિણામે મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સની અસર ઋણ થાય છે.
એકબીજાની ખૂબ નજીક મૂકવામાં આવેલા બે સમાન ગૂંચળા માટે,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ જેટલું હોય છે (એટલે કે $M = L$).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $L_{eq} = L + L - 2M = 2L - 2L = 0$.

(C) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક $M$ એ સંબંધ $\Delta \phi = M \Delta I$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\Delta \phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર છે અને $\Delta I$ એ પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_1 = 6.5 \times 10^{-2} \ Wb$
અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_2 = 11 \times 10^{-2} \ Wb$
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = (11 - 6.5) \times 10^{-2} \ Wb = 4.5 \times 10^{-2} \ Wb$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I = 0.03 \ A = 3 \times 10^{-2} \ A$
સૂત્ર $M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-2}} = \frac{4.5}{3} = 1.5 \ H$
તેથી,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક $1.5 \ H$ છે.

(D) કોઈલ $Q$ માં બદલાતા પ્રવાહને કારણે કોઈલ $P$ માં પ્રેરિત emf $\epsilon_P = M \frac{dI_Q}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આપેલ છે કે $\epsilon_P = 12 \ mV = 12 \times 10^{-3} \ V$ અને $\frac{dI_Q}{dt} = 10 \ A/s$.
$12 \times 10^{-3} = M \times 10 \implies M = 1.2 \times 10^{-3} \ H = 1.2 \ mH$.
હવે,જ્યારે કોઈલ $P$ માંથી $I_P = 1.5 \ A$ પ્રવાહ વહે છે ત્યારે કોઈલ $Q$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_Q = M \times I_P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi_Q = 1.2 \ mH \times 1.5 \ A = 1.8 \ mWb$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = LI$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોઈલનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં $\phi-I$ આલેખનો ઢાળ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ જેટલો હોય છે (એટલે કે,$L = \frac{\phi}{I} = \tan \theta$).
આપેલી આકૃતિ પરથી,$L_1$ માટેની રેખાનો ઢાળ $L_2$ માટેની રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે (કારણ કે ખૂણો $\theta_1 > \theta_2$ છે).
તેથી,સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L_1$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L_2$ કરતા વધારે છે.

(B) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ ને $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\Phi_E$ એ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમાન હોય છે અને તે $E = \frac{q}{\epsilon_0 A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર છે.
પ્લેટોને સમાંતર $A'$ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = E \cdot A' = \frac{q}{\epsilon_0 A} \cdot A'$ છે.
$A' = A/2$ મૂકતા,આપણને $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0 A} \cdot \frac{A}{2} = \frac{q}{2\epsilon_0}$ મળે છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d = \epsilon_0 \frac{d}{dt} \left( \frac{q}{2\epsilon_0} \right) = \frac{1}{2} \frac{dq}{dt}$ થાય છે.
ચાર્જિંગ પ્રવાહ $I = \frac{dq}{dt}$ હોવાથી,$I_d = \frac{I}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે પ્રોટોન (વિદ્યુતભાર $+e$) ને $q_1$ થી $x$ અંતરે $x$-અક્ષ પર મૂકવામાં આવે છે. $q_2$ એ $q_1$ થી $L$ અંતરે હોવાથી,પ્રોટોનનું $q_2$ થી અંતર $(x - L)$ થશે.
પ્રોટોન સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$q_1$ ને કારણે લાગતું બળ $F_1 = \frac{k q_1 e}{x^2}$ (અપાકર્ષી,જમણી તરફ).
$q_2$ ને કારણે લાગતું બળ $F_2 = \frac{k |q_2| e}{(x - L)^2}$ (આકર્ષી,ડાબી તરફ).
બળોના મૂલ્યોને સરખાવતા: $\frac{k (6q) e}{x^2} = \frac{k (3q) e}{(x - L)^2}$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{6}{x^2} = \frac{3}{(x - L)^2} \implies \frac{2}{x^2} = \frac{1}{(x - L)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{2}}{x} = \frac{1}{x - L}$.
$\sqrt{2}(x - L) = x \implies \sqrt{2}x - \sqrt{2}L = x$.
$x(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}L$.
$x = \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}\right) L$.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. વિદ્યુતભારો $q_1 = q_2 = q_3 = q$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_i$ અને $q_j$ વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k q_i q_j}{r^2}$ છે.
$q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું અંતર $r_{12} = a$ છે. તેથી,$F_{12} = \frac{k q^2}{a^2}$.
$q_1$ અને $q_3$ વચ્ચેનું અંતર ચોરસનો વિકર્ણ છે,$r_{13} = a\sqrt{2}$. તેથી,$F_{13} = \frac{k q^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{k q^2}{2a^2}$.
$F_{13}$ અને $F_{12}$ નો ગુણોત્તર $\frac{F_{13}}{F_{12}} = \frac{k q^2 / 2a^2}{k q^2 / a^2} = \frac{1}{2}$ થાય.

(B) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = +3q$ ($x = 0$ પર),$q_2 = Q$ ($x = \frac{\ell}{2}$ પર),અને $q_3 = +q$ ($x = \ell$ પર) છે.
$x = \ell$ પર રહેલા $+q$ વિદ્યુતભાર પરનું કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,$q_1$ અને $q_2$ દ્વારા લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
કુલંબના નિયમ મુજબ,$F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$.
$q_1$ દ્વારા $q_3$ પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{k(3q)(q)}{\ell^2}$ છે.
$q_2$ દ્વારા $q_3$ પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{k(Q)(q)}{(\ell/2)^2} = \frac{kQq}{\ell^2/4} = \frac{4kQq}{\ell^2}$ છે.
કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી,$F_1 + F_2 = 0$,તેથી $\frac{3kq^2}{\ell^2} + \frac{4kQq}{\ell^2} = 0$.
$\frac{kq}{\ell^2}$ વડે ભાગતા,આપણને $3q + 4Q = 0$ મળે છે.
તેથી,$4Q = -3q$,જેનો અર્થ છે કે $Q = -\frac{3}{4}q$.
આને $Q = xq$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = -\frac{3}{4}$ મળે છે.

(C) કુલંબના નિયમ મુજબ, બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = k \frac{|q_1 q_2|}{l^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં, બળ $F_1 = k \frac{q_1 q_2}{l^2}$ છે.
જ્યારે એક વિદ્યુતભારને બમણો $(q_1' = 2q_1)$ કરવામાં આવે અને અંતર અડધું $(l' = l/2)$ કરવામાં આવે, ત્યારે નવું બળ $F_2$ નીચે મુજબ મળે:
$F_2 = k \frac{(2q_1)(q_2)}{(l/2)^2} = k \frac{2q_1 q_2}{l^2 / 4} = 8 \left( k \frac{q_1 q_2}{l^2} \right)$.
તેથી, $F_2 = 8 F_1$.
આને $F_2 = n F_1$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = 8$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે દડાઓ પરના વીજભાર $q$ અને $q$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. શરૂઆતનું બળ $F = k \frac{q^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે એક વીજભાર રહિત દડો વીજભારિત દડાને સ્પર્શે છે,ત્યારે વીજભાર $q$ બંને વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ,પ્રથમ દડા પરનો વીજભાર $q/2$ થાય છે અને ત્રીજા દડા પરનો વીજભાર $q/2$ થાય છે.
ત્રીજા દડાને મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે,તેથી બંને દડાથી તેનું અંતર $r/2$ છે.
પ્રથમ દડાને કારણે ત્રીજા દડા પર લાગતું બળ $F_1 = k \frac{(q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/4}{r^2/4} = k \frac{q^2}{r^2} = F$ (પ્રથમ દડાથી દૂરની દિશામાં).
બીજા દડાને કારણે ત્રીજા દડા પર લાગતું બળ $F_2 = k \frac{(q/2)(q)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/2}{r^2/4} = 2k \frac{q^2}{r^2} = 2F$ (બીજા દડાથી દૂરની દિશામાં).
આ બળો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,ત્રીજા દડા પરનું પરિણામી બળ $F_{net} = |F_2 - F_1| = |2F - F| = F$ થશે.

(A) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$q_1 = +2 \ C$ અને $q_2 = +6 \ C$ છે. બળ $F_1 = k \frac{(2)(6)}{r^2} = 18 \ N$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $k \frac{12}{r^2} = 18$,તેથી $k/r^2 = 18/12 = 1.5$.
હવે,દરેક વિદ્યુતભારમાં $-4 \ C$ ઉમેરવામાં આવે છે:
નવો વિદ્યુતભાર $q_1' = +2 \ C - 4 \ C = -2 \ C$.
નવો વિદ્યુતભાર $q_2' = +6 \ C - 4 \ C = +2 \ C$.
નવું બળ $F_2 = k \frac{|q_1' q_2'|}{r^2} = k \frac{|(-2)(2)|}{r^2} = k \frac{4}{r^2}$ છે.
$k/r^2 = 1.5$ મૂકતા,આપણને $F_2 = 1.5 \times 4 = 6 \ N$ મળે છે.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી ($-2 \ C$ અને $+2 \ C$),બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે.

(A) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલી ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_1 = -pE \cos 0^{\circ} = -pE(1) = -pE$ છે.
અંતે,ડાયપોલને $90^{\circ}$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,તેથી $\theta_2 = 90^{\circ}$.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$ છે.
ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય (જરૂરી ઉર્જા) એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = U_2 - U_1$.
$W = 0 - (-pE) = pE$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p = q \times (2a)$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $(2a)$ એ ડાયપોલની લંબાઈ છે.
મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\sin \theta = 1$,તેથી $\tau_{max} = pE = q(2a)E$.
આપેલ છે: $q = 2 \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$,$E = 8 \times 10^{4} \ N/C$,અને $\tau_{max} = 4 \times 10^{-3} \ N \cdot m$.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times 10^{-3} = (2 \times 10^{-6}) \times (2a) \times (8 \times 10^{4})$.
$4 \times 10^{-3} = 16 \times 10^{-2} \times (2a)$.
$2a = \frac{4 \times 10^{-3}}{16 \times 10^{-2}} = \frac{4}{16} \times 10^{-1} = 0.25 \times 10^{-1} \ m$.
$2a = 0.025 \ m = 25 \ mm$.
આમ,ડાયપોલની લંબાઈ $25 \ mm$ છે.

(B) ધ્રુવીય અણુ એ છે જે કાયમી વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે અણુમાં વિદ્યુતભારનું અસમપ્રમાણ વિતરણ હોય.
$(a)$ $H_2O$ (પાણી): તેનો આકાર વળેલો (bent) હોય છે. બે $O-H$ બંધોની ડાયપોલ મોમેન્ટ એકબીજાને નાબૂદ કરતી નથી,જેના પરિણામે ચોખ્ખી ડાયપોલ મોમેન્ટ મળે છે. તેથી,તે એક ધ્રુવીય અણુ છે.
$(b)$ $N_2$: તે સમાન પરમાણુઓ ધરાવતો દ્વિપરમાણ્વીય અણુ છે જેની રચના રેખીય છે,તેથી તેની ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય છે.
$(c)$ $CO_2$: તેની રચના રેખીય છે જ્યાં બે $C=O$ બંધની ડાયપોલ મોમેન્ટ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,જે એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. તેથી,તે અધ્રુવીય છે.
$(d)$ $H_2$: તે સમાન પરમાણુઓ ધરાવતો દ્વિપરમાણ્વીય અણુ છે,તેથી તેની ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(a)$ છે.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = pE \sin \theta$,જ્યાં $p = q \times (2a)$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,અને $\theta$ એ ડાયપોલ અક્ષ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે:
ડાયપોલની લંબાઈ $(2a) = 2 \ cm = 0.02 \ m = 2 \times 10^{-2} \ m$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E) = 10^{5} \ N/C$
ખૂણો $(\theta) = 60^{\circ}$
ટોર્ક $(\tau) = 8 \sqrt{3} \ Nm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$8 \sqrt{3} = (q \times 2 \times 10^{-2}) \times 10^{5} \times \sin 60^{\circ}$
$8 \sqrt{3} = q \times 2 \times 10^{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$8 \sqrt{3} = q \times \sqrt{3} \times 10^{3}$
$q = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 10^{3}} = 8 \times 10^{-3} \ C$.
આમ,વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $8 \times 10^{-3} \ C$ છે.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. $t$ સમય પછી,કણનો વેગ $v = u + at = 0 + (\frac{qE}{m})t = \frac{qEt}{m}$ થાય છે.
કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $K = \frac{1}{2}m(\frac{qEt}{m})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{q^2E^2t^2}{m^2}) = \frac{q^2E^2t^2}{2m}$.

(A) વાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર $Q$ સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,વાહક ગોળાની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોવાથી $(q_{enclosed} = 0)$,તેની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોય છે.
ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ અંદરના ભાગમાં અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
સપાટી પરનું (અને તેથી કેન્દ્ર પરનું) સ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ છે અને વિદ્યુતસ્થિતિમાન $\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}$ છે.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ એ કોઈ વિસ્તારમાં વિદ્યુત ક્ષેત્રને દર્શાવવા માટે વપરાતી કાલ્પનિક રેખાઓ છે.
$1$. તે ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
$2$. તે ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી કારણ કે જો તે છેદે,તો છેદબિંદુ પર વિદ્યુત ક્ષેત્રની બે દિશાઓ મળે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
$3$. ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતાના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે.
$4$. સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકની અંદરથી પસાર થતી નથી કારણ કે વાહકની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
તેથી,તે વાહકમાંથી પસાર થાય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(A) ધારો કે કેન્દ્ર $O$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $r$ છે. $r$ અંતરે રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ છે.
ધારો કે $\vec{E}_A, \vec{E}_B, \vec{E}_C, \vec{E}_D, \vec{E}_E, \vec{E}_F$ એ $A, B, C, D, E, F$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે $O$ પરના વિદ્યુતક્ષેત્રો છે.
વિદ્યુતભારો છે: $A(+q), B(-q), C(-q), D(+q), E(+Q), F(-q)$.
$O$ પર વિદ્યુતક્ષેત્રો:
$\vec{E}_A$ એ $A$ થી દૂર ( $D$ તરફ) દિશામાં છે.
$\vec{E}_D$ એ $D$ થી દૂર ($A$ તરફ) દિશામાં છે.
$q_A = q_D = +q$ હોવાથી,$\vec{E}_A + \vec{E}_D = 0$.
તે જ રીતે,$\vec{E}_B$ એ $B$ તરફ ($E$ થી દૂર) અને $\vec{E}_E$ એ $E$ થી દૂર ($B$ તરફ) દિશામાં છે.
$\vec{E}_C$ એ $C$ તરફ ($F$ થી દૂર) અને $\vec{E}_F$ એ $F$ તરફ ($C$ થી દૂર) દિશામાં છે.
ધારો કે $\vec{E}_0$ એ $A, B, C, D, F$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે પરિણામી ક્ષેત્ર છે.
$\vec{E}_0 = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_D + \vec{E}_F$.
$\vec{E}_A + \vec{E}_D = 0$ હોવાથી,$\vec{E}_0 = \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_F$.
આ બધા વિદ્યુતભારો ઋણ $(-q)$ હોવાથી,તે સંબંધિત શિરોબિંદુઓ તરફ દિશા ધરાવે છે: $\vec{E}_B$ એ $B$ તરફ,$\vec{E}_C$ એ $C$ તરફ,$\vec{E}_F$ એ $F$ તરફ.
સમાનતાને કારણે,આ ત્રણ ક્ષેત્રોનું પરિણામી સદિશ $E$ તરફ દિશા ધરાવતું $\frac{kq}{r^2}$ મૂલ્યનું સદિશ છે.
આપેલ છે: $|\vec{E}_0| = 2 |\vec{E}_E|$,જ્યાં $\vec{E}_E$ એ $E$ પરના $+Q$ ને કારણે ક્ષેત્ર છે.
$\frac{kq}{r^2} = 2 \frac{kQ}{r^2} \implies Q = \frac{q}{2}$.

(D) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = 20 \ \mu C \ m^{-2} = 20 \times 10^{-6} \ C \ m^{-2}$ છે.
ગોળાનો વ્યાસ $d = 3.5 \ cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1.75 \ cm = 1.75 \times 10^{-2} \ m$ થાય.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2 = 4 \times 3.14 \times (1.75 \times 10^{-2})^2 \ m^2$.
$A = 12.56 \times 3.0625 \times 10^{-4} \approx 3.848 \times 10^{-3} \ m^2$ મળે.
કુલ વિદ્યુતભાર $q = \sigma \times A = (20 \times 10^{-6}) \times (3.848 \times 10^{-3}) \approx 7.696 \times 10^{-8} \ C$ થાય.
ગૌસના નિયમ મુજબ,કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = q / \epsilon_0$ છે.
$\phi = (7.696 \times 10^{-8}) / (8.85 \times 10^{-12}) \approx 0.8696 \times 10^4 \approx 8.7 \times 10^3 \ N \cdot m^2 / C$ મળે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
પોલા નળાકાર માટે,કુલ ફ્લક્સ એ બે સમતલ સપાટીઓ ($A$ અને $C$) અને વક્ર સપાટી $(B)$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે.
ધારો કે સપાટી $A$,$C$ અને $B$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ અનુક્રમે $\phi_A$,$\phi_C$ અને $\phi_B$ છે.
તેથી,$\phi_A + \phi_C + \phi_B = \frac{q}{\epsilon_0}$.
આપેલ છે કે $\phi_B = \phi$,તેથી $\phi_A + \phi_C + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$.
નળાકારની સંમિતિને કારણે,બે સમતલ છેડાઓ $A$ અને $C$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હોવું જોઈએ,તેથી $\phi_A = \phi_C$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$.
$\phi_A$ માટે ઉકેલતા: $2\phi_A = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$.
તેથી,$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોલા નળાકાર માટે, કુલ ફ્લક્સ એ બે સમતલ સપાટીઓ ($A$ અને $B$) અને વક્ર સપાટી $(C)$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે: $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C$.
અહીં $\phi_C = \phi$ આપેલ છે અને સંમિતિને કારણે, બંને સમતલ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન છે, એટલે કે $\phi_A = \phi_B$.
આ કિંમતોને ગોસના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{q}{\epsilon_0} = \phi_A + \phi_A + \phi$.
$\frac{q}{\epsilon_0} - \phi = 2\phi_A$.
તેથી, સમતલ સપાટી $A$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ $\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$ થશે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા અને સમાન કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા નક્કર ગોળાનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \rho \times V = \rho \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભારીત ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ છે.
સૂત્રમાં $Q$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3)}{r^2}$ મળે છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,$E = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0}$ મળે છે.

(A) ગાઉસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $q_1 = 2 \mu C, q_2 = -3 \mu C, q_3 = 4 \mu C, q_4 = -4 \mu C$ અને $q_5 = -1 \mu C$ છે.
કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{net} = q_1 + q_2 + q_3 + q_4 + q_5$.
$q_{net} = (2 - 3 + 4 - 4 - 1) \mu C = -2 \mu C$.
તેથી,કુલ બહાર આવતું ફ્લક્સ $\phi = \frac{-2 \mu C}{\epsilon_0} = -\frac{2}{\epsilon_0} \mu V-m$ થાય.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{Q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $Q$ સમઘનના કેન્દ્રમાં હોવાથી,સંમિતિને કારણે ફ્લક્સ સમઘનની તમામ $6$ બાજુઓ પર સમાન રીતે વહેંચાયેલું હશે.
તેથી,એક બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{face} = \frac{1}{6} \phi_{total} = \frac{Q}{6 \epsilon_0}$ થાય.
પ્રશ્નમાં બે સામસામેની બાજુઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ પૂછવામાં આવ્યું છે.
આમ,બે સામસામેની બાજુઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $2 \times \phi_{face} = 2 \times \frac{Q}{6 \epsilon_0} = \frac{Q}{3 \epsilon_0}$ થશે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભારિત વાહકની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા વાહકની સપાટીને લંબ દિશામાં હોય છે.
જો ક્ષેત્ર લંબ ન હોત,તો વિદ્યુતક્ષેત્રનો એક ઘટક સપાટીને સમાંતર હોત,જેના કારણે વાહક પરના મુક્ત વિદ્યુતભારો ગતિ કરવા લાગત,જે સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનની ધારણાથી વિરુદ્ધ છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે અને તે સપાટીને લંબ છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આ પ્રશ્નમાં,વિદ્યુતભાર $q$ ફુગ્ગાની સપાટી પર વિતરિત થયેલ છે. જેમ જેમ ફુગ્ગો ફુલાવવામાં આવે છે,તેમ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
કારણ કે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q$ બદલાતો નથી,તેથી કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0}$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,વિદ્યુત ફ્લક્સ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
આપેલ ચારેય આકૃતિઓ $(a)$,$(b)$,$(c)$,અને $(d)$ માં,સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર સમાન છે,જે $+q$ છે.
દરેક સપાટી માટે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર સમાન હોવાથી અને $\epsilon_0$ અચળ હોવાથી,દરેક સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ સમાન જ રહેશે.
તેથી,બધી આકૃતિઓ માટે વિદ્યુત ફ્લક્સ સમાન છે.

(D) $q$ કુલંબના વિદ્યુતભારને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરેલું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = q(V_B - V_A)$
અહીં,બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = -5 \ V$ છે અને બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = q(V - (-5))$
$W = q(V + 5)$
હવે,$V$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{W}{q} = V + 5$
$V = \frac{W}{q} - 5$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 4x^2 + 8x - 3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $V$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^2 + 8x - 3) = 8x + 8$.
આને વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = -(8x + 8) = -8x - 8$.
હવે,$x = 0.5 \ m$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય શોધતા:
$E = -8(0.5) - 8 = -4 - 8 = -12 \ V/m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા ' $r$ ' છે અને દરેક પરનો ચાર્જ ' $q$ ' છે. નાના ટીપાંનું પોટેન્શિયલ $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ' $n$ ' ટીપાં જોડાઈને ' $R$ ' ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ જળવાઈ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = n^{1/3} r$.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ ચાર્જ $Q = n \cdot q$ છે.
મોટા ટીપાંનું પોટેન્શિયલ ' $V_{big}$ ' એ $V_{big} = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{1 - 1/3} \cdot \frac{kq}{r} = n^{2/3} \cdot V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = k \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$.
$a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કોઈપણ બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $a$ છે.
આપેલ વિદ્યુતભારો $q_1 = Q$,$q_2 = 2Q$ અને $q_3 = q$ છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{k}{a} (Q \cdot 2Q + 2Q \cdot q + q \cdot Q)$ થાય.
તંત્રની સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય કરવા માટે $U = 0$ લેતા:
$2Q^2 + 2Qq + qQ = 0$.
$2Q^2 + 3Qq = 0$.
$Q(2Q + 3q) = 0$.
અહીં $Q \neq 0$ હોવાથી,$2Q + 3q = 0$ મળે.
તેથી,$q = -\frac{2}{3} Q$ થાય.

(A) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_A = +\sigma$,$\sigma_B = -\sigma$,અને $\sigma_C = +\sigma$ છે. કવચો પરનો વિદ્યુતભાર $Q_A = 4\pi a^2 \sigma$,$Q_B = -4\pi b^2 \sigma$,અને $Q_C = 4\pi c^2 \sigma$ છે.
કવચ $A$ ની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન ત્રણેય કવચોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: $V_A = V_{A,A} + V_{A,B} + V_{A,C}$.
$A$ એ $B$ અને $C$ ની અંદર હોવાથી,$B$ અને $C$ ને કારણે $A$ ની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન તેમની પોતાની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય: $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q_A}{a} + \frac{Q_B}{b} + \frac{Q_C}{c} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{4\pi a^2 \sigma}{a} + \frac{-4\pi b^2 \sigma}{b} + \frac{4\pi c^2 \sigma}{c} \right)$.
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (4\pi a \sigma - 4\pi b \sigma + 4\pi c \sigma)$.
$V_A = \frac{\sigma}{\epsilon_0} (a - b + c)$.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બિંદુ $A$ એ $+2q$ અને $+2q$ વિદ્યુતભારો ધરાવતી બાજુનું મધ્યબિંદુ છે। આ દરેક વિદ્યુતભારથી $A$ નું અંતર $L$ છે।
સામેના ખૂણાઓ પર રહેલા $-2q$ વિદ્યુતભારોથી $A$ નું અંતર પાયથાગોરસના પ્રમેય દ્વારા શોધી શકાય છે। આડું અંતર $2L$ અને ઊભું અંતર $L$ હોવાથી, અંતર $r = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$ થાય।
$A$ પર કુલ સ્થિતિમાન એ ચારેય વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{2q}{L} + \frac{2q}{L} + \frac{-2q}{L\sqrt{5}} + \frac{-2q}{L\sqrt{5}} \right]$
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{4q}{L} - \frac{4q}{L\sqrt{5}} \right]$
$V_A = \frac{4q}{4\pi\epsilon_0 L} \left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right] = \frac{q}{\pi\epsilon_0 L} \left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right]$.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \sum \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવેલા ત્રણ સમાન વિદ્યુતભારો $q$ માટે,કુલ સ્થિતિઊર્જા $U = 3 \times \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{r} \right)$ થાય.
આપેલ છે: $q = 3 \mu C = 3 \times 10^{-6} \ C$,$r = 6 \ cm = 0.06 \ m$,અને $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$U = 3 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{(3 \times 10^{-6})^2}{0.06} \right)$
$U = 3 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{9 \times 10^{-12}}{0.06} \right)$
$U = 3 \times \left( \frac{81 \times 10^{-3}}{0.06} \right)$
$U = 3 \times 1.35 = 4.05 \ J$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $4.1 \ J$ મળે છે.

(B) નિયમિત ષટ્કોણમાં,કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર તેની બાજુની લંબાઈ જેટલું હોય છે. આપેલ બાજુ $a = 6 \ cm = 0.06 \ m$ છે.
અહીં $6$ શિરોબિંદુઓ છે,દરેક પર $q = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$ વિદ્યુતભાર છે,તેથી કેન્દ્ર પર કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V = 6 \times \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{a} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$V = 6 \times 9 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{0.06}$
$V = 54 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-2}}$
$V = 54 \times 10^9 \times \frac{1}{3} \times 10^{-4}$
$V = 18 \times 10^5 \ V = 1.8 \times 10^6 \ V$.

(B) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું અંતર $r_1$ થી બદલીને $r_2$ કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$.
આપેલ છે: $q_1 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 4 \times 10^{-6} \ C$,$r_1 = 10 \times 10^{-2} \ m$,$r_2 = (10 - 2) \times 10^{-2} = 8 \times 10^{-2} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = (9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{8 \times 10^{-2}} - \frac{1}{10 \times 10^{-2}} \right)$.
$W = 360 \times 10^{-3} \times \left( \frac{100}{8} - \frac{100}{10} \right) \times 10^{-2} = 0.36 \times (12.5 - 10) = 0.36 \times 2.5 = 0.9 \ J$.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $v = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n$ નાના ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,જે $R = n^{1/3} r$ આપે છે.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3} r} = n^{1 - 1/3} \cdot \frac{kq}{r} = n^{2/3} v$ થાય છે.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તંત્ર માટે,વિદ્યુતભારો $q_1 = Q$,$q_2 = -2q$,અને $q_3 = -2q$ છે. તેમની વચ્ચેના અંતર $r_{12} = l$,$r_{13} = l$,અને $r_{23} = \sqrt{l^2 + l^2} = l\sqrt{2}$ છે.
કુલ સ્થિતિ ઉર્જા:
$U = \frac{k Q(-2q)}{l} + \frac{k Q(-2q)}{l} + \frac{k (-2q)(-2q)}{l\sqrt{2}} = 0$
$k$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$-\frac{2Qq}{l} - \frac{2Qq}{l} + \frac{4q^2}{l\sqrt{2}} = 0$
$-\frac{4Qq}{l} + \frac{4q^2}{l\sqrt{2}} = 0$
$\frac{4Qq}{l} = \frac{4q^2}{l\sqrt{2}}$
$Q = \frac{q}{\sqrt{2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક નાના ટીપા પરનો વીજભાર $q$ છે.
નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r} = 20 \ V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n = 27$ ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વીજભાર ધરાવતું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$.
$n = 27$ માટે,$R = (27)^{1/3} r = 3r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = nq = 27q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V' = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right) = n^{2/3} V$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V' = (27)^{2/3} \times 20 = (3^3)^{2/3} \times 20 = 3^2 \times 20 = 9 \times 20 = 180 \ V$.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય છે તે બિંદુ $A$ $(2 \mu C)$ થી $x$ અંતરે આવેલું છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય થવા માટે,બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$V_A + V_B = 0$
$\frac{k(2 \times 10^{-6})}{x} + \frac{k(-3 \times 10^{-6})}{1 - x} = 0$
$\frac{2}{x} = \frac{3}{1 - x}$
$2(1 - x) = 3x$
$2 - 2x = 3x$
$2 = 5x$
$x = \frac{2}{5} = 0.4 \ m$.
આમ,$A$ થી અંતર $0.4 \ m$ છે.

(D) $q$ વીજભાર ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના વાહક ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને ગોળાઓ પર સમાન વીજભાર છે,તેથી $q_1 = q_2 = q$ લો.
પ્રથમ ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_1}$ છે.
બીજા ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_2}$ છે.
તેમના સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_1}}{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_2}} = \frac{r_2}{r_1}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) શ્રેણી જોડાણનો કુલ $EMF$ $E_{eq} = E + E = 2E$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = r_1 + r_2 + R$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2E}{r_1 + r_2 + R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોષ $E_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = E - Ir_1$ છે.
આપેલ છે કે $V_1 = 0$,તેથી $E - Ir_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = Ir_1$.
$I$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $E = \left( \frac{2E}{r_1 + r_2 + R} \right) r_1$ મળે છે.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા,$1 = \frac{2r_1}{r_1 + r_2 + R}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$r_1 + r_2 + R = 2r_1$ મળે છે.
તેથી,$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$.

(A) કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ત્રણ ભાગોને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે: સીધો તાર $PQ$, વક્ર ભાગ $QRS$, અને સીધો તાર $ST$.
$1$. સીધા તાર $PQ$ માટે: બિંદુ $O$ એ તારની અક્ષ પર આવેલું છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{PQ} = 0$.
$2$. વક્ર ભાગ $QRS$ માટે: કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $\theta = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} \text{ રેડિયન}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{QRS} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2}\right)$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, દિશા પેજની અંદરની તરફ $(-\widehat{k})$ છે.
$3$. સીધા તાર $ST$ માટે: બિંદુ $O$ એ તારથી $r$ લંબ અંતરે છે. તાર $S$ થી અનંત સુધી વિસ્તરેલો છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{ST} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (\sin 90^\circ + \sin 0^\circ) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, દિશા પેજની અંદરની તરફ $(-\widehat{k})$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{PQ} + B_{QRS} + B_{ST} = 0 + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2}\right) + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2} + 1\right) (-\widehat{k})$.

(C) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ઘટક $I d\vec{\ell}$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નીચે મુજબ છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{\ell} \times \vec{r})}{r^3}$
અહીં,$I = 10 \ A$,$d\vec{\ell} = \Delta x \hat{i} = 10^{-2} \hat{i} \ m$,અને સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 0.5 \hat{j} \ m$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $(d\vec{\ell} \times \vec{r}) = (10^{-2} \hat{i}) \times (0.5 \hat{j}) = 0.5 \times 10^{-2} (\hat{i} \times \hat{j}) = 0.005 \hat{k} \ m^2$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$|d\vec{B}| = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I |d\vec{\ell} \times \vec{r}|}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{10 \times 0.005}{(0.5)^3}$
$|d\vec{B}| = 10^{-7} \times \frac{0.05}{0.125} = 10^{-7} \times 0.4 = 4 \times 10^{-8} \ T$.

(C) $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ વહન કરતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ લંબાઈ માટે,બળ $F = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi d}$ છે.
નવી સ્થિતિમાં,અંતર $d' = \frac{d}{2}$ અને પ્રવાહ $I' = 2I$ છે.
નવું બળ $F_2 = \frac{\mu_0 (2I)(2I) L}{2 \pi (d/2)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે $F_2 = \frac{\mu_0 (4I^2) L}{2 \pi (d/2)} = 8 \times \left( \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi d} \right)$.
તેથી,$F_2 = 8F$.

(A) બે લાંબા સમાંતર વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
અંતર $3d$ કર્યા પછી,નવું બળ $F'$ એ $2/3 F$ (અપાકર્ષી) તરીકે મળે છે.
મૂળ બળ આકર્ષી હતું (સમાન દિશાના પ્રવાહો),તેથી અપાકર્ષી બળનો અર્થ એ છે કે એક પ્રવાહની દિશા ઉલટાવવી આવશ્યક છે.
ધારો કે નવા પ્રવાહો $I_1$ અને $I_2'$ છે. તો $F' = \frac{\mu_0 I_1 I_2'}{2 \pi (3d)} = \frac{2}{3} F$.
$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ મૂકતા,આપણને $\frac{\mu_0 I_1 I_2'}{6 \pi d} = \frac{2}{3} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right)$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{I_2'}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{I_2}{2} = \frac{I_2}{3}$.
આમ,$I_2' = I_2$. મૂલ્ય સમાન રહે છે,પરંતુ દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે.

(D) પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,તાર $x$-અક્ષ પર છે,તેથી લંબાઈ સદિશ $\vec{L} = L\hat{i}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ છે.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{F} = I(L\hat{i}) \times B_0(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$
$\vec{F} = ILB_0 [(\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) - (\hat{i} \times \hat{k})]$
સદિશ ગુણાકારના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા ($\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$):
$\vec{F} = ILB_0 [0 - \hat{k} - (-\hat{j})]$
$\vec{F} = ILB_0 (\hat{j} - \hat{k})$
બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = ILB_0 \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = ILB_0 \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ILB_0$ થાય.

(A) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. ચોરસ લૂપ માટે, પરિમિતિ $4a = L$ છે, તેથી બાજુની લંબાઈ $a = L/4$ થાય. ક્ષેત્રફળ $A_s = a^2 = (L/4)^2 = L^2/16$ થાય.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે, પરિઘ $2\pi r = L$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = L/(2\pi)$ થાય. ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi (L/(2\pi))^2 = L^2/(4\pi)$ થાય.
અહીં $\pi \approx 3.14$ હોવાથી, $4\pi \approx 12.56$ થાય, જે $16$ કરતા નાનું છે. તેથી, $A_c > A_s$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $N$, $I$, $B$ અને $\theta$ બંને લૂપ માટે સમાન હોવાથી, ટોર્ક એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આમ, $A_c > A_s$ હોવાથી, વર્તુળાકાર લૂપ પર લાગતું ટોર્ક વધારે હશે.

(D) સીધા વાયરને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r}$ છે.
બાજુ $AB$ માટે (અંતર $r_1 = L/3$),બળ $F_{AB} = I_1 L B_1 = I_1 L \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (L/3)} \right) = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{2 \pi}$ (આકર્ષી,વાયર તરફ).
બાજુ $CD$ માટે (અંતર $r_2 = L/3 + L = 4L/3$),બળ $F_{CD} = I_1 L B_2 = I_1 L \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (4L/3)} \right) = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi}$ (અપાકર્ષી,વાયરથી દૂર).
બાજુઓ $BC$ અને $AD$ વાયરને લંબ છે,અને તેમના પર લાગતા બળો સમાનતાને કારણે એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
કુલ બળ $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} - \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi} = \frac{12 \mu_0 I_1 I_2 - 3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi} = \frac{9 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi}$.