MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) નળાકાર દીવાલની અંદર સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરતા મોટરસાયકલ સવાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. નીચેની તરફ લાગતું વજનબળ $(mg)$।
$2$. દીવાલ દ્વારા કેન્દ્ર તરફ લાગતું લંબબળ $(N)$,જે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N = \frac{mv^2}{R}$।
$3$. વજનબળને સંતુલિત કરવા માટે ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણબળ $(f)$: $f = mg$।
મોટરસાયકલ સવાર નીચે ન લપસે તે માટે,ઘર્ષણબળ એ સીમાંત ઘર્ષણબળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ: $f \leq \mu_{s} N$।
કિંમતો મૂકતા: $mg \leq \mu_{s} \left( \frac{mv^2}{R} \right)$।
$g \leq \frac{\mu_{s} v^2}{R}$।
$v^2 \geq \frac{Rg}{\mu_{s}}$।
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $v_{min} = \sqrt{\frac{Rg}{\mu_{s}}}$ છે.

(C) જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ એટલે એવી ફ્રેમ જે કાં તો સ્થિર હોય અથવા અચળ વેગથી ગતિ કરતી હોય (શૂન્ય પ્રવેગ).
વિકલ્પ $A$ માં,ટ્રેન ધીમી પડી રહી છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાં શૂન્ય સિવાયનો પ્રવેગ (મંદન) છે.
વિકલ્પ $B$ માં,બાળક ગોળાકાર ગતિ કરે છે,જેમાં દિશા બદલાય છે,એટલે કે તેમાં કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે.
વિકલ્પ $C$ માં,બસ અચળ વેગથી ગતિ કરી રહી છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. તેથી,આ એક જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ છે.
વિકલ્પ $D$ માં,એરોપ્લેન ટેક-ઓફ કરી રહ્યું છે,જેમાં ઝડપ અને દિશા બંને બદલાય છે,એટલે કે તેમાં શૂન્ય સિવાયનો પ્રવેગ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5 \ kg$,બળ $\vec{F} = (4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ N$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$,સમય $t = 10 \ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}}{5} = (0.8 \hat{i} - 0.4 \hat{j} + 0.6 \hat{k}) \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{v} = 0 + (0.8 \hat{i} - 0.4 \hat{j} + 0.6 \hat{k}) \times 10 = (8 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) \ m/s$.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 16 + 36} = \sqrt{116} \ m/s$.
$|\vec{v}| = \sqrt{4 \times 29} = 2 \sqrt{29} \ m/s$.

(A) ધારો કે બાળકની દળ $m$ છે અને $N$ એ લંબબળ (વજન કાંટાનું રીડિંગ) છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે જાય છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $mg - N_1 = ma$ થાય.
આપેલ છે કે $N_1 = 20 \ N$,તેથી $mg - 20 = m(\frac{g}{3})$.
$mg - \frac{mg}{3} = 20 \implies \frac{2mg}{3} = 20 \implies mg = 30 \ N$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $N_2 - mg = ma$ થાય.
$N_2 = mg + ma = mg + m(\frac{g}{3}) = \frac{4mg}{3}$.
$mg = 30 \ N$ મૂકતા,આપણને $N_2 = \frac{4 \times 30}{3} = 40 \ N$ મળે છે.

(D) અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ એ તંત્રના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેતીને બેલ્ટ પર શિરોલંબ રીતે નાખવામાં આવતી હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ શૂન્ય છે.
જેમ રેતી બેલ્ટ પર પડે છે,તેમ તેને બેલ્ટની ઝડપ સાથે મેળવવા માટે $0$ થી $V$ સુધીના સમક્ષિતિજ વેગ સુધી પ્રવેગિત કરવી પડે છે.
બેલ્ટ પર દળ ઉમેરવાનો દર $dm/dt = M$ છે.
જરૂરી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = v \cdot (dm/dt)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$F = V \cdot M = MV \text{ N}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે અચળ બળ $F$ દળ $m_1$ પર કાર્ય કરે છે,તેથી પ્રવેગ $A_1 = \frac{F}{m_1}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $m_1 = \frac{F}{A_1}$.
તે જ રીતે,દળ $m_2$ માટે,પ્રવેગ $A_2 = \frac{F}{m_2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $m_2 = \frac{F}{A_2}$.
જ્યારે તે જ બળ $F$ સંયુક્ત દળ $(m_1 + m_2)$ પર કાર્ય કરે છે,ત્યારે પ્રવેગ $A = \frac{F}{m_1 + m_2}$ દ્વારા મળે છે.
$m_1$ અને $m_2$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = \frac{F}{\frac{F}{A_1} + \frac{F}{A_2}}$
$A = \frac{F}{F(\frac{1}{A_1} + \frac{1}{A_2})}$
$A = \frac{1}{\frac{A_1 + A_2}{A_1 A_2}}$
$A = \frac{A_1 A_2}{A_1 + A_2}$.

(C) મશીન ગન દ્વારા લાગતું બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
ધારો કે પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક ગોળીનું દળ $m = 35 \ g = 0.035 \ kg$ છે.
દરેક ગોળીનો વેગ $v = 600 \ m/s$ છે.
ગન દ્વારા લાગતું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = n \times (m \times v)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F = 147 \ N$,$m = 0.035 \ kg$,અને $v = 600 \ m/s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $147 = n \times (0.035 \times 600)$.
$147 = n \times 21$.
$n = 147 / 21 = 7$.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ છોડી શકાતી ગોળીઓની સંખ્યા $7$ છે.

(B) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે અને તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે.
દળ $m$ માટે (ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે): $T - mg = ma$ --- $(1)$
દળ $\frac{3}{2}m$ માટે (નીચેની તરફ ગતિ કરે છે): $\frac{3}{2}mg - T = \frac{3}{2}ma$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(T - mg) + (\frac{3}{2}mg - T) = ma + \frac{3}{2}ma$
$\frac{1}{2}mg = \frac{5}{2}ma$
$a = \frac{g}{5}$
આમ,દળ $m$ એ $\frac{g}{5}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરશે.

(A) $1$. જમીન સાથે અથડાતા પહેલાનો વેગ $(v_1)$: $v^2 = u^2 + 2gh$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$h = 20 \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$. $v_1 = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \ m/s$ (નીચેની તરફ,તેથી $v_1 = -20 \ m/s$).
$2$. ઉછળ્યા પછીનો વેગ $(v_2)$: $v^2 = u^2 - 2gh$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં મહત્તમ ઊંચાઈ $5 \ m$ પર $v = 0$. $0 = u^2 - 2 \times 10 \times 5 \implies u^2 = 100 \implies u = 10 \ m/s$ (ઉપરની તરફ,તેથી $v_2 = +10 \ m/s$).
$3$. વેગમાં ફેરફાર $(\Delta v)$: $\Delta v = v_2 - v_1 = 10 - (-20) = 30 \ m/s$.
$4$. સરેરાશ પ્રવેગ $(a_{avg})$: $a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{30 \ m/s}{1 \ s} = 30 \ m/s^2$.

(B) ધારો કે વાહનનું દળ $m$ છે,તેની ઝડપ $v$ છે અને રસ્તાની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે.
$1$. સમક્ષિતિજ રસ્તા માટે,લંબબળ $N_h = mg$ થાય છે.
$2$. અંતર્ગોળ રસ્તા માટે,વક્રતાનું કેન્દ્ર રસ્તાની ઉપર હોય છે. લાગતા બળો $N_c$ (ઉપરની તરફ) અને $mg$ (નીચેની તરફ) છે. પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ $N_c - mg = \frac{mv^2}{R}$ છે,તેથી $N_c = mg + \frac{mv^2}{R}$ મળે.
$3$. બહિર્ગોળ રસ્તા માટે,વક્રતાનું કેન્દ્ર રસ્તાની નીચે હોય છે. લાગતા બળો $mg$ (નીચેની તરફ) અને $N_v$ (ઉપરની તરફ) છે. પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ $mg - N_v = \frac{mv^2}{R}$ છે,તેથી $N_v = mg - \frac{mv^2}{R}$ મળે.
આ ત્રણેયની સરખામણી કરતા,$N_c > N_h > N_v$ મળે છે. તેથી,અંતર્ગોળ રસ્તા પર લંબબળ મહત્તમ હોય છે.

(C) બેંકિંગવાળા રસ્તા પર મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{rg(\tan \theta + \mu) / (1 - \mu \tan \theta)}$ છે.
ધારી લઈએ કે ઘર્ષણ ગુણાંક $\mu$ અને બેંકિંગ ખૂણો $\theta$ અચળ રહે છે,તેથી ઝડપ $v$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $v \propto \sqrt{r}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 20 \ m$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1$ છે. નવી ઝડપ $v_2 = v_1 + 0.20v_1 = 1.2v_1$ છે.
$v \propto \sqrt{r}$ હોવાથી,$v_2 / v_1 = \sqrt{r_2 / r_1}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $1.2 = \sqrt{r_2 / 20}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1.44 = r_2 / 20$.
$r_2 = 1.44 \times 20 = 28.8 \ m$.
વક્રતા ત્રિજ્યામાં વધારો $\Delta r = r_2 - r_1 = 28.8 \ m - 20 \ m = 8.8 \ m$ થાય.

(A) $V$ વેગ સાથે $R$ ત્રિજ્યાના વળાંકવાળા રસ્તા પર કાર સુરક્ષિત રીતે પસાર થઈ શકે તે માટે રસ્તાને $\theta$ ખૂણે ઢળતો (banked) રાખવામાં આવે છે.
રસ્તાના બેન્કિંગના સિદ્ધાંત મુજબ,સુરક્ષિત વળાંક માટેની શરત $\tan \theta = \frac{V^2}{Rg}$ છે.
નાના ખૂણા $\theta$ માટે,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{h}{b}$,જ્યાં $h$ એ બહારની ધારની ઊંચાઈ છે અને $b$ એ રસ્તાની પહોળાઈ છે.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{h}{b} = \frac{V^2}{Rg}$ મળે છે.
તેથી,$h$ નું મૂલ્ય $h = \frac{V^2 b}{Rg}$ થાય છે.

(C) શંકુની લીસી આંતરિક સપાટી પર સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરતા કણ પર લાગતા બળો તેનું વજન $mg$ (નીચેની તરફ) અને લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ (સપાટીને લંબ) છે.
લંબ પ્રતિક્રિયાનો શિરોલંબ ઘટક વજનને સંતુલિત કરે છે: $N \cos \theta = mg$.
લંબ પ્રતિક્રિયાનો સમક્ષિતિજ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$,જ્યાં $r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
શંકુની ભૂમિતિ પરથી,$h$ ઊંચાઈએ ત્રિજ્યા $r = h \tan \theta$ મળે છે.
સમીકરણમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $\tan \theta = \frac{v^2}{(h \tan \theta) g}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $v^2 = gh \tan^2 \theta$,અથવા $v = \sqrt{gh} \tan \theta$ મળે છે.
અહીં $h = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $\theta = 45^\circ$ (તેથી $\tan 45^\circ = 1$) લેતા:
$v = \sqrt{10 \times 0.1} \times 1 = \sqrt{1} = 1 \ m/s$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 8 \ N/m$,કોણીય ઝડપ $\omega = 8 \ rad/s$.
ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈ $l_0$ છે અને વિસ્તરણ $x$ છે. વર્તુળાકાર માર્ગની કુલ ત્રિજ્યા $r = l_0 + x$ થશે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $F_c = F_s$.
$m \omega^2 r = kx$.
$0.1 \times (8)^2 \times (l_0 + x) = 8x$.
$0.1 \times 64 \times (l_0 + x) = 8x$.
$6.4(l_0 + x) = 8x$.
$6.4 l_0 + 6.4 x = 8x$.
$6.4 l_0 = 8x - 6.4 x$.
$6.4 l_0 = 1.6 x$.
$\frac{x}{l_0} = \frac{6.4}{1.6} = 4$.
આમ,વિસ્તરણ અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(A) પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ શોધો.
$\vec{R} = (4\hat{i} - \hat{j}) + (-3\hat{i} + 2\hat{j}) + (-\hat{k})$
$\vec{R} = (4 - 3)\hat{i} + (-1 + 2)\hat{j} - \hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
ત્યારબાદ,પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નું માન શોધો:
$|\vec{R}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
$\vec{R}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u}$ એ $\hat{u} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\hat{u} = \frac{\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ સૂત્ર $P = \frac{x^3 y}{z^2}$ છે.
$P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta P}{P} = 3 \left( \frac{\Delta x}{x} \right) + 1 \left( \frac{\Delta y}{y} \right) + 2 \left( \frac{\Delta z}{z} \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 0.6 \%$,$\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 1.3 \%$ છે.
આ કિંમતોને પ્રતિશત ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3(0.6 \%) + 1(3 \%) + 2(1.3 \%)$.
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 1.8 \% + 3 \% + 2.6 \%$.
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 7.4 \%$.
તેથી,$P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $7.4 \%$ છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = (38.6 \pm 0.2)^{\circ}C$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = (82.3 \pm 0.3)^{\circ}C$ છે.
તાપમાનમાં થયેલો વધારો $\Delta T$ એ $\Delta T = T_2 - T_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta T = 82.3 - 38.6 = 43.7^{\circ}C$.
જ્યારે બે ભૌતિક રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે.
તેથી,તાપમાનમાં થયેલા વધારામાં ત્રુટિ $\Delta(\Delta T) = \Delta T_1 + \Delta T_2$ થશે.
$\Delta(\Delta T) = 0.2 + 0.3 = 0.5^{\circ}C$.
આમ,યોગ્ય ત્રુટિ મર્યાદા સાથે તાપમાનમાં થયેલો વધારો $(43.7 \pm 0.5)^{\circ}C$ છે.

(A) પગલું $1$: સરેરાશ સમય $(T_{mean})$ ની ગણતરી કરો.
$T_{mean} = \frac{30 + 32 + 35 + 35}{4} = \frac{132}{4} = 33 \ s$.
પગલું $2$: નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ $(\Delta T_i = |T_i - T_{mean}|)$ ની ગણતરી કરો.
$\Delta T_1 = |30 - 33| = 3 \ s$
$\Delta T_2 = |32 - 33| = 1 \ s$
$\Delta T_3 = |35 - 33| = 2 \ s$
$\Delta T_4 = |35 - 33| = 2 \ s$
પગલું $3$: સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $(\Delta T_{mean})$ ની ગણતરી કરો.
$\Delta T_{mean} = \frac{3 + 1 + 2 + 2}{4} = \frac{8}{4} = 2 \ s$.
પગલું $4$: પરિણામને $T_{mean} \pm \Delta T_{mean}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ,સાચો સરેરાશ સમય $(33 \pm 2) \ s$ છે.

(B) સમઘનની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર: $\rho = \frac{M}{L^3}$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $L$ એ સમઘનની બાજુની લંબાઈ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \left( \frac{\Delta L}{L} \right)$ મળે છે.
આપેલ છે કે દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) = 5 \%$ અને લંબાઈમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) = 6 \%$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
ઘનતામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \left( \frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 \right) = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 3 \times \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right)$.
ઘનતામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $= 5 \% + 3 \times (6 \%) = 5 \% + 18 \% = 23 \%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સંબંધ $A = \frac{B^\alpha C^\beta}{D^\gamma E^\delta}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,$A = \frac{B^\alpha C^\beta}{D^\gamma E^\delta}$ માટે સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta A}{A} = \alpha \frac{\Delta B}{B} + \beta \frac{\Delta C}{C} + \gamma \frac{\Delta D}{D} + \delta \frac{\Delta E}{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે સાપેક્ષ ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો કરીએ છીએ.
તેથી,$A$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $\left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right)_{max} = \alpha \left( \frac{\Delta B}{B} \times 100 \right) + \beta \left( \frac{\Delta C}{C} \times 100 \right) + \gamma \left( \frac{\Delta D}{D} \times 100 \right) + \delta \left( \frac{\Delta E}{E} \times 100 \right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $b\%, c\%, d\%$ અને $e\%$ મૂકતા,આપણને મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $(\alpha b + \beta c + \gamma d + \delta e) \%$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: ગોળાના કદનું સૂત્ર યાદ કરો.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
પગલું $2$: ત્રુટિના પ્રસરણનો નિયમ લાગુ કરો.
જો કોઈ ભૌતિક રાશિ $Q$ એ $x$ પર $Q = k \cdot x^n$ મુજબ આધાર રાખતી હોય,તો સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Q}{Q} = n \cdot \frac{\Delta x}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 \% = n \cdot \left( \frac{\Delta x}{x} \times 100 \% \right)$ થાય.
પગલું $3$: આ નિયમ કદના સૂત્ર માટે લાગુ કરો.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ હોવાથી,કદ $V$ એ $r^3$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(V \propto r^3)$.
તેથી,$V$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\Delta V \% = 3 \cdot \Delta r \%$ થશે.
પગલું $4$: આપેલ કિંમત મૂકો.
આપેલ છે કે $\Delta r \% = 2 \%$.
તેથી,$\Delta V \% = 3 \times 2 \% = 6 \%$.

(A) આવર્તકાળનું સૂત્ર: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $T^2 = 4 \pi^2 \frac{\ell}{g}$,જેનો અર્થ છે $g = 4 \pi^2 \frac{\ell}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે: $\ell = 100 \text{ cm} = 1 \text{ m}$,$\Delta \ell = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m}$.
તેથી,$\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.001}{1} = 0.001$.
$100$ દોલનો માટેનો સમય $t = 100 \times T = 100 \times 2 = 200 \text{ s}$.
$100$ દોલનો માપવામાં ત્રુટિ $\Delta t = 0.1 \text{ s}$.
આવર્તકાળ $T$ માં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{0.1}{100} = 0.001 \text{ s}$.
તેથી,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{0.001}{2} = 0.0005$.
સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = 0.001 + 2(0.0005) = 0.001 + 0.001 = 0.002$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.002 \times 100 = 0.2 \%$.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ ઝડપ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,ગતિઊર્જામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ અને ઝડપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 4 \%$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= (3 \%) + 2 \times (4 \%) = 3 \% + 8 \% = 11 \%$.
તેથી,ગતિઊર્જાના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $11 \%$ છે.

(D) રેન્ડમ ભૂલો અનિયમિત હોય છે અને પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓમાં અણધારી વધઘટ અથવા અવલોકન પૂર્વગ્રહને કારણે થાય છે.
$1$. થર્મોમીટરનું અયોગ્ય કેલિબ્રેશન એ વ્યવસ્થિત (systematic) ભૂલ છે.
$2$. વોલ્ટમીટરમાં $1 \mu V$ ની શૂન્ય ભૂલ એ વ્યવસ્થિત ભૂલ છે.
$3$. વિદ્યાર્થી દ્વારા સતત માપન ભૂલ ($20^{\circ}$ ને બદલે $22^{\circ}$ માપવું) એ વ્યવસ્થિત ભૂલ છે.
$4$. વીજ પુરવઠામાં થતી વધઘટ અણધારી હોય છે અને માપનમાં રેન્ડમ ફેરફારોનું કારણ બને છે,તેથી તે રેન્ડમ ભૂલોની શ્રેણીમાં આવે છે.

(D) દબાણ $P$ એ બળ $F$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. $L$ લંબાઈ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = L^2$ થાય. તેથી,$P = \frac{F}{L^2}$.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,$P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં બળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 4 \%$ અને લંબાઈમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2 \%$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,દબાણમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 4 \% + 2(2 \%) = 4 \% + 4 \% = 8 \%$ મળે છે.

(C) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 L}$ છે.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો:
$M = 0.3 \text{ g}, \Delta M = 0.003 \text{ g} \implies \frac{\Delta M}{M} = \frac{0.003}{0.3} = 0.01$.
$r = 0.5 \text{ mm}, \Delta r = 0.005 \text{ mm} \implies \frac{\Delta r}{r} = \frac{0.005}{0.5} = 0.01$.
$L = 6 \text{ cm}, \Delta L = 0.06 \text{ cm} \implies \frac{\Delta L}{L} = \frac{0.06}{6} = 0.01$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.01 + 2(0.01) + 0.01 = 0.01 + 0.02 + 0.01 = 0.04$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 \% = 0.04 \times 100 \% = 4 \%$ થાય.

(A) દબાણ $P$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $L$ બાજુવાળી ચોરસ પ્લેટ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = L^2$ થાય.
તેથી,$P = \frac{F}{A} = \frac{F}{L^2}$.
દબાણમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2 \%$.
આ કિંમતો મૂકતા,દબાણમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3 \% + 2 \times (2 \%) = 3 \% + 4 \% = 7 \%$ થાય.

(B) ઘનતા $\rho$ ને $\rho = \frac{M}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે સમઘન અથવા સમાન પદાર્થ માટે કદ $V = L^3$ છે,તેથી $\rho = \frac{M}{L^3}$ થાય.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4 \%$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 4 \% + 3(3 \%) = 4 \% + 9 \% = 13 \%$.
તેથી,ઘનતાના માપનમાં ત્રુટિ $13 \%$ છે.

(A) આપેલ સૂત્ર $A = \frac{pq^2}{r^2 s^4}$ છે.
$A$ માં સાપેક્ષ ભૂલનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta p}{p} + 2\frac{\Delta q}{q} + 2\frac{\Delta r}{r} + 4\frac{\Delta s}{s}$.
આપેલ ટકાવારી ભૂલો:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 3 \%$
$\frac{\Delta q}{q} \times 100 = 2 \%$
$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 3 \%$
$\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 1 \%$
આ કિંમતોને ટકાવારી ભૂલના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = (3 \%) + 2(2 \%) + 2(3 \%) + 4(1 \%)$
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 3 \% + 4 \% + 6 \% + 4 \% = 17 \%$.
તેથી,$A$ માં થતી ટકાવારી ભૂલ $17 \%$ છે.

(D) અંતર માટેનું સૂત્ર આપેલ છે: $h = \frac{1}{2} gt^2$.
$g$ ને કર્તા બનાવતા: $g = \frac{2h}{t^2}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\ln(g) = \ln(2) + \ln(h) - 2\ln(t)$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{\Delta g}{g} = 0 + \frac{\Delta h}{h} + 2\frac{\Delta t}{t}$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ માટે,આપણે સાપેક્ષ ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો કરીએ છીએ: $\left(\frac{\Delta g}{g} \times 100\right)_{max} = \left(\frac{\Delta h}{h} \times 100\right) + 2\left(\frac{\Delta t}{t} \times 100\right)$.
અહીં $h$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $e_1$ અને $t$ માં $e_2$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા: $g$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ = $e_1 + 2e_2$.

(C) આપેલ સંબંધ $X = a^2 b^3 c^{5/2} d^{-2}$ છે.
$X$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{\Delta c}{c} \right) + 2 \left( \frac{\Delta d}{d} \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ: $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 2\%$,અને $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4\%$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2(1\%) + 3(2\%) + \frac{5}{2}(2\%) + 2(4\%)$.
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2\% + 6\% + 5\% + 8\% = 21\%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના સરવાળા દ્વારા મળે છે.
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (-2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} - 4 \hat{k})$
$\vec{R} = (-2 + 1) \hat{i} + (3 + 2) \hat{j} + (1 - 4) \hat{k} = -\hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$
હવે,પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નું માન શોધો:
$|\vec{R}| = \sqrt{(-1)^2 + (5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$
$\vec{R}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{R} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\hat{R} = \frac{-\hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{35}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. પરિણામી સદિશ $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ છે.
જ્યારે $\vec{B}$ નું મૂલ્ય બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવો પરિણામી સદિશ $\vec{C}' = \vec{A} + 2\vec{B}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\vec{C}'$ એ $\vec{A}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{A} \cdot (\vec{A} + 2\vec{B}) = 0$.
$A^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B}) = 0 \implies A^2 + 2AB \cos \theta = 0$.
આમ,$2AB \cos \theta = -A^2$.
મૂળ પરિણામી સદિશ $\vec{C}$ નું મૂલ્ય $C^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણમાં $2AB \cos \theta = -A^2$ મૂકતા:
$C^2 = A^2 + B^2 - A^2 = B^2$.
તેથી,$\vec{C}$ નું મૂલ્ય $B$ છે.

(C) પ્રથમ,$\vec{P} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = (1-1+2)\hat{i} + (1+1-2)\hat{j} + (3+4-8)\hat{k} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,$\vec{Q} = \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(4+3) + \hat{k}(1+1) = 1\hat{i} - 7\hat{j} + 2\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{P} \cdot \vec{Q} = (2)(1) + (0)(-7) + (-1)(2) = 2 + 0 - 2 = 0$ શોધો.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(C) સદિશો ત્રિકોણ બનાવે છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે તેમનો સરવાળો શૂન્ય છે કે નહીં અથવા તેમને હેડ-ટુ-ટેલ ગોઠવી શકાય છે કે નહીં.
પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો ગણો: $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = (3+1+2) \hat{i} + (-2-3-1) \hat{j} + (1+5+4) \hat{k} = 6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 10 \hat{k} \neq 0$.
સરવાળો શૂન્ય ન હોવાથી,તેઓ બંધ લૂપ બનાવતા નથી.
વૈકલ્પિક રીતે,તપાસો કે શું કોઈ સદિશ અન્ય બેનો સરવાળો છે.
$\vec{A} + \vec{B} = 4 \hat{i} - 5 \hat{j} + 6 \hat{k} \neq \vec{C}$.
$\vec{A} + \vec{C} = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k} \neq \vec{B}$.
$\vec{B} + \vec{C} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 9 \hat{k} \neq \vec{A}$.
કોઈપણ સદિશ અન્ય બેનું પરિણામી ન હોવાથી,આ સદિશો ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.

(A) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i} (3 \times 5 - 1 \times 1) - \hat{j} (7 \times 5 - 1 \times (-3)) + \hat{k} (7 \times 1 - 3 \times (-3))$
$\vec{\tau} = \hat{i} (15 - 1) - \hat{j} (35 + 3) + \hat{k} (7 + 9)$
$\vec{\tau} = 14 \hat{i} - 38 \hat{j} + 16 \hat{k}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,સદિશ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સરવાળો શોધો:
$\vec{A}+\vec{B} = (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) + (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$
$\vec{A}+\vec{B} = (2+3) \hat{i} + (-3+1) \hat{j} + (1-2) \hat{k}$
$\vec{A}+\vec{B} = 5 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$
હવે,$(\vec{A}+\vec{B})$ નો $\vec{C}$ સાથેનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો:
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = (5 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$
ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને અન્ય પદો $0$ થાય છે તેનો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = (5)(3) + (-2)(2) + (-1)(1)$
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = 15 - 4 - 1 = 10$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) બે સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{P} = b \hat{i} + 6 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{Q} = \hat{i} - a \hat{j} + 4 \hat{k}$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(b)(1) + (6)(-a) + (1)(4) = 0$.
આ સમીકરણ $b - 6a + 4 = 0$ અથવા $b - 6a = -4$ માં પરિણમે છે.
આપણને બીજું સમીકરણ $3b - a = 5$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3b - 5$.
$a$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $b - 6(3b - 5) = -4$.
$b - 18b + 30 = -4$.
$-17b = -34$,તેથી $b = 2$.
હવે,$a$ શોધો: $a = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$.
આમ,$a = 1$ અને $b = 2$ મળે છે.

(C) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta$
આપેલ છે:
$|\vec{A}| = 5 \sqrt{3}$ એકમ
$|\vec{B}| = 10$ એકમ
$\theta = 30^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = (5 \sqrt{3}) \times (10) \times \sin 30^{\circ}$
$|\vec{A} \times \vec{B}| = 50 \sqrt{3} \times \frac{1}{2}$
$|\vec{A} \times \vec{B}| = 25 \sqrt{3}$ એકમ
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપણને $|\vec{a}| = \sqrt{26}$,$|\vec{b}| = 7$,અને $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = 35$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta = 35$.
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$.
તેથી,$|\cos \theta| = \frac{1}{\sqrt{26}}$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times \left( \pm \frac{1}{\sqrt{26}} \right) = \pm 7$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $7$ છે.

(D) ધારો કે બે બળો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે.
સદિશ સરવાળો $(\vec{A} + \vec{B})$ છે અને સદિશ તફાવત $(\vec{A} - \vec{B})$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો તફાવતને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = 0$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} = 0$
અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$,જેથી આ પદો ઉડી જશે:
$|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 = 0$
$|\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$
$|\vec{A}| = |\vec{B}|$
તેથી,બળો સમાન મૂલ્યના છે.

(D) આપેલ છે: $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશો $(\vec{a} + 3\vec{b})$ અને $(2\vec{a} - \vec{b})$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} + 3\vec{b} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + 3(3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (1+9)\hat{i} + (1+6)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = 10\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}$.
$2\vec{a} - \vec{b} = 2(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) - (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (4+1)\hat{k} = -\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો: $[(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})] = (10\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k})$.
$= (10 \times -1) + (7 \times 0) + (-1 \times 5) = -10 + 0 - 5 = -15$.
$-15$ નું મૂલ્ય (magnitude) $|-15| = 15$ થાય.

(C) બે સદિશો લંબ હોય તો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
ધારો કે $\vec{A} = a \hat{i} + b \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{B} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (a)(2) + (b)(-3) + (1)(4) = 0$.
$2a - 3b + 4 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2a - 3b = -4$.
આપણને સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે:
$1) 2a - 3b = -4$
$2) 3a + 2b = 7$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$4a - 6b = -8$
$9a + 6b = 21$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $13a = 13$,તેથી $a = 1$.
$a = 1$ ને $3a + 2b = 7$ માં મૂકતા: $3(1) + 2b = 7 \implies 2b = 4 \implies b = 2$.
ગુણોત્તર $a/b = 1/2$ છે.
આપણને $a/b = x/2$ આપેલ છે,તેથી $1/2 = x/2$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(D) ધારો કે ગોળાનું દળ $m$,કદ $V$ અને ઘનતા $\varrho$ છે. તેથી,$m = V \varrho$.
જ્યારે ગોળાને $h$ ઊંચાઈ પરથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીની સપાટીને સ્પર્શતા પહેલા તેનો વેગ $v^2 = 2gh$ દ્વારા મળે છે.
પ્રવાહીની અંદર,ગોળા પર લાગતા બળો તેનું વજન $mg$ (નીચેની તરફ) અને ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \sigma g$ (ઉપરની તરફ) છે.
પ્રવાહીની અંદર ગોળા પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_B - mg = V \sigma g - V \varrho g = Vg(\sigma - \varrho)$ છે.
પ્રવાહીની અંદર ગોળાનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\sigma - \varrho)}{V \varrho} = g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho}$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ વજન કરતા વધારે હોવાથી $(\sigma > \varrho)$,ગોળો પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરશે.
ધારો કે મહત્તમ ઊંડાઈ $d$ છે. ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v_i^2 + 2ad$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_f = 0$ (મહત્તમ ઊંડાઈએ),$v_i^2 = 2gh$,અને $a = -g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho}$:
$0 = 2gh - 2 \left( g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho} \right) d$.
$d$ માટે ઉકેલતા: $d = \frac{h \varrho}{(\sigma - \varrho)}$.

(B) નળાકાર સંતુલનમાં તરે તે માટે, નળાકારનું કુલ વજન બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લગાડવામાં આવતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $A$ એ નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ તેનું ઘનત્વ છે.
નળાકારનું વજન $W = (\text{કદ}) \times (\text{ઘનત્વ}) \times g = (A \ell) d g$.
ઉપરના પ્રવાહી (ઘનત્વ $\varrho$) દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ: $F_1 = (\text{ઉપરના પ્રવાહીમાં ડૂબેલું કદ}) \times \varrho \times g = A (\ell - \ell/4) \varrho g = A (3\ell/4) \varrho g$.
નીચેના પ્રવાહી (ઘનત્વ $3\varrho$) દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ: $F_2 = (\text{નીચેના પ્રવાહીમાં ડૂબેલું કદ}) \times (3\varrho) \times g = A (\ell/4) (3\varrho) g = A (3\ell/4) \varrho g$.
વજનને કુલ ઉત્પ્લાવક બળ સાથે સરખાવતા: $A \ell d g = A (3\ell/4) \varrho g + A (3\ell/4) \varrho g$.
$d \ell = (3\ell/4) \varrho + (3\ell/4) \varrho = (6\ell/4) \varrho = (3/2) \varrho \ell$.
તેથી, $d = \frac{3}{2} \varrho$.

(D) ધારો કે પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી બે છિદ્રોની ઊંડાઈ અનુક્રમે $y_1$ અને $y_2$ છે. આપેલ છે કે ઊંચાઈનો તફાવત $h$ છે,તેથી $y_2 - y_1 = h$.
ઉપરના છિદ્ર માટે બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો વેગ $v_1 = \sqrt{2gy_1}$ અને નીચેના છિદ્ર માટે $v_2 = \sqrt{2gy_2}$ છે.
ટાંકી પર પ્રવાહીના જેટ દ્વારા લાગતું બળ $F = \frac{dm}{dt} v = (A \rho v) v = A \rho v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
છિદ્રો વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોવાથી,બળો વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. ચોખ્ખું આડું બળ $F_{net} = |F_2 - F_1| = |A \rho v_2^2 - A \rho v_1^2|$ છે.
વેગની કિંમતો મૂકતા: $F_{net} = A \rho (2gy_2 - 2gy_1) = 2A \rho g (y_2 - y_1)$.
$y_2 - y_1 = h$ હોવાથી,આપણને $F_{net} = 2A \rho g h$ મળે છે.
તેથી,ચોખ્ખું આડું બળ $h$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ $h$ ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ બહાર આવતા પાણીનો જથ્થો (ફ્લો રેટ) $Q = A \cdot v$ છે,જ્યાં $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
છિદ્ર $P$ માટે ($2h$ ઊંડાઈએ $a$ બાજુવાળો ચોરસ): $A_P = a^2$ અને $v_P = \sqrt{2g(2h)} = 2\sqrt{gh}$.
તેથી,ફ્લો રેટ $Q_P = a^2 \cdot 2\sqrt{gh}$.
છિદ્ર $Q$ માટે ($8h$ ઊંડાઈએ $r$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ): $A_Q = \pi r^2$ અને $v_Q = \sqrt{2g(8h)} = 4\sqrt{gh}$.
તેથી,ફ્લો રેટ $Q_Q = \pi r^2 \cdot 4\sqrt{gh}$.
આપેલ છે કે $Q_P = Q_Q$,તેથી: $a^2 \cdot 2\sqrt{gh} = \pi r^2 \cdot 4\sqrt{gh}$.
$a^2 \cdot 2 = 4\pi r^2 \implies a^2 = 2\pi r^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $a = r\sqrt{2\pi}$.

(D) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર પ્રવાહના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે: $A_1 V_1 = A_2 V_2$.
અહીં,પાઇપના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
બિંદુ $A$ પર,ત્રિજ્યા $R$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A_A = \pi R^2$ અને વેગ $V_A = V$ છે.
બિંદુ $B$ પર,ત્રિજ્યા $\frac{R}{3}$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A_B = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{9}$ છે.
સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $(\pi R^2) \times V = \left(\frac{\pi R^2}{9}\right) \times V_B$.
બંને બાજુથી $\pi R^2$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે: $V = \frac{V_B}{9}$.
તેથી,બિંદુ $B$ પર વેગ $V_B = 9V$ થશે.

(C) પ્રવાહનો દર (કદ પ્રવાહ દર) $Q = A \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ પાણીનો વેગ છે.
આપેલ છે,$Q = \pi \times 10^{-1} \,m^3/s$.
પાઇપની ત્રિજ્યા $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = \pi \times 0.01 \,m^2$.
સાતત્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = Q / A$.
$v = (\pi \times 10^{-1}) / (\pi \times 0.01) = 0.1 / 0.01 = 10 \,m/s$.
તેથી,પાણીનો વેગ $10 \,m/s$ છે.

(C) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે, $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
ઘરની અંદર હવા સ્થિર છે, તેથી $v_1 = 0$ અને $P_1 = P_{atm}$.
ઘરની બહાર પવનની ઝડપ $v_2 = 50 \,m/s$ છે અને દબાણ $P_2$ છે।
આમ, $P_{atm} = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$, જે દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_{atm} - P_2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2$ આપે છે।
કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.2 \,kg/m^3 \times (50 \,m/s)^2 = 0.6 \times 2500 = 1500 \,N/m^2$.
છાપરા પર લાગતું બળ $F = \Delta P \times A = 1500 \,N/m^2 \times 300 \,m^2 = 4.5 \times 10^5 \,N$ થાય.

(C) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે, પ્રાઈમરી ગૂંચળામાં પાવર ઇનપુટ એ સેકન્ડરી ગૂંચળામાં પાવર આઉટપુટ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે: પાવર આઉટપુટ $(P_{out})$ = $80 \text{ W}$, પ્રાઈમરી વોલ્ટેજ $(V_p)$ = $220 \text{ V}$.
ટ્રાન્સફોર્મર આદર્શ હોવાથી, $P_{in} = P_{out} = 80 \text{ W}$.
પાવર ઇનપુટનું સૂત્ર $P_{in} = V_p \times I_p$ છે, જ્યાં $I_p$ એ પ્રાઈમરી ગૂંચળામાં વહેતો પ્રવાહ છે.
તેથી, $I_p = \frac{P_{in}}{V_p} = \frac{80 \text{ W}}{220 \text{ V}}$.
$I_p = \frac{8}{22} \text{ A} \approx 0.3636 \text{ A}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, પ્રાઈમરી ગૂંચળામાં પ્રવાહ આશરે $0.36 \text{ A}$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
પાશ્ચન શ્રેણીની છેલ્લી રેખા માટે,$n_1 = 3$ અને $n_2 = \infty$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_P} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$,જે $\lambda_P = \frac{9}{R}$ આપે છે.
બામર શ્રેણીની છેલ્લી રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = \infty$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$,જે $\lambda_B = \frac{4}{R}$ આપે છે.
પાશ્ચન શ્રેણીની છેલ્લી રેખા અને બામર શ્રેણીની છેલ્લી રેખાની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_P}{\lambda_B} = \frac{9/R}{4/R} = \frac{9}{4}$ થાય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{c}{\lambda} = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા મળે છે.
બામર શ્રેણીના પ્રથમ સભ્ય માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ છે. તેથી,$f_1 = Rc \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = Rc \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5Rc}{36}$.
પાશ્ચન શ્રેણીના પ્રથમ સભ્ય માટે,$n_1 = 3$ અને $n_2 = 4$ છે. તેથી,$f_2 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = Rc \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7Rc}{144}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{5Rc/36}{7Rc/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$ થાય.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
લાયમન શ્રેણીની છેલ્લી રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$,જે $\lambda_L = \frac{1}{R}$ આપે છે.
બામર શ્રેણીની છેલ્લી રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$,જે $\lambda_B = \frac{4}{R}$ આપે છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$ છે.

(D) $n_i$ થી $n_f$ અવસ્થામાં થતા સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણ લાયમન શ્રેણી $(n_f = 1)$ ને અનુરૂપ છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશ વિકિરણ બામર શ્રેણી $(n_f = 2)$ ને અનુરૂપ છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ પાશ્ચન શ્રેણી $(n_f = 3)$,બ્રેકેટ શ્રેણી $(n_f = 4)$ અથવા ફંડ શ્રેણી $(n_f = 5)$ ને અનુરૂપ છે.
વિકલ્પો જોતા:
વિકલ્પ $A$: $n=3$ થી $n=1$ એ લાયમન શ્રેણી (અલ્ટ્રાવાયોલેટ) છે.
વિકલ્પ $B$: $n=4$ થી $n=2$ એ બામર શ્રેણી (દ્રશ્ય) છે.
વિકલ્પ $C$: $n=6$ થી $n=2$ એ બામર શ્રેણી (દ્રશ્ય) છે.
વિકલ્પ $D$: $n=5$ થી $n=3$ એ પાશ્ચન શ્રેણી (ઇન્ફ્રારેડ) છે.
તેથી,ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ માટેનું સાચું સંક્રમણ $n=5$ થી $n=3$ છે.

(C) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,$n_1 = 3$. પ્રથમ રેખા માટે $n_2 = 4$ લેતા,$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$. તેથી,$\lambda_1 = \frac{144}{7R}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_1 = 4$. પ્રથમ રેખા માટે $n_2 = 5$ લેતા,$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25-16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$. તેથી,$\lambda_2 = \frac{400}{9R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{144}{7R} \times \frac{9R}{400} = \frac{144 \times 9}{7 \times 400} = \frac{1296}{2800} = \frac{81}{175}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $v = R c Z^2 (1/n_f^2 - 1/n_i^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બામર શ્રેણીની મર્યાદા માટે,$n_f = 2$ અને $n_i = \infty$,તેથી $v_1 = R c (1/2^2 - 1/\infty^2) = R c / 4$.
પાશ્ચન શ્રેણીની મર્યાદા માટે,$n_f = 3$ અને $n_i = \infty$,તેથી $v_3 = R c (1/3^2 - 1/\infty^2) = R c / 9$.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_f = 2$ અને $n_i = 3$,તેથી $v_2 = R c (1/2^2 - 1/3^2) = R c (1/4 - 1/9) = R c (5/36)$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $v_1 - v_3 = R c (1/4 - 1/9) = R c (5/36) = v_2$.
આમ,સાચો સંબંધ $v_1 - v_3 = v_2$ છે.

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = n \frac{h}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ કક્ષાનો ક્રમ છે.
ત્રીજી કક્ષા માટે,$n = 3$,તેથી $L = 3 \frac{h}{2 \pi} = \frac{3h}{2 \pi}$ થાય.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ધરાવતા દ્વિપરમાણ્વીય અણુની પરિભ્રમણીય ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{L^2}{2I}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ઊર્જાના સૂત્રમાં $L$ ની કિંમત મૂકતા:
$K = \frac{(\frac{3h}{2 \pi})^2}{2I} = \frac{\frac{9h^2}{4 \pi^2}}{2I} = \frac{9h^2}{8 \pi^2 I}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઇઝેશન માટે બોહરના પૂર્વધારણા મુજબ,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનના સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $mv = \frac{nh}{2\pi r}$ મળે છે.
આ કિંમતને ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{nh / (2\pi r)} = \frac{2\pi r}{n}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ હોય છે.
તરંગલંબાઇના સમીકરણમાં $r \propto n^2$ મૂકતા: $\lambda \propto \frac{n^2}{n} = n$.
તેથી,$\lambda \propto n$.

(A) બોહરના પ્રથમ અધિતર્ક મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(Ze)(e)}{r^2} = K \frac{Ze^2}{r^2}$ છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{mv^2}{r} = K \frac{Ze^2}{r^2}$.
બંને બાજુ $\frac{r}{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} K \frac{Ze^2}{r}$.
ગતિઊર્જા $E_k = \frac{1}{2} mv^2$ હોવાથી,$E_k = \frac{Ze^2}{2r} K$ થાય.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{m}_{\text{orb}}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{m}_{\text{orb}} = -\frac{e}{2m} \overrightarrow{L}$,જ્યાં $\overrightarrow{L}$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન છે.
બંને બાજુ મૂલ્ય લેતા,આપણને મળે છે: $m_{\text{orb}} = \frac{e}{2m} L$.
તેથી,કોણીય વેગમાન $L$ અને ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{\text{orb}}$ નો ગુણોત્તર $\frac{L}{m_{\text{orb}}} = \frac{2m}{e}$ થાય છે.

(C) $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા કણ માટે જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે, સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $\omega = \frac{qB}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ, $n$-માં સ્તરમાં કોણીય વેગમાન $L = n \frac{h}{2 \pi}$ છે.
$L = mvr = mr^2 \omega$ હોવાથી, આપણી પાસે $mr^2 \omega = n \frac{h}{2 \pi}$ છે.
$\omega = \frac{qB}{m}$ મૂકતા, આપણને $mr^2 (\frac{qB}{m}) = n \frac{h}{2 \pi}$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $r^2 = \frac{nh}{2 \pi qB}$ થાય છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} m(r \omega)^2 = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r^2$ અને $\omega$ ની કિંમત મૂકતા, $K = \frac{1}{2} m (\frac{nh}{2 \pi qB}) (\frac{qB}{m})^2 = \frac{n h q B}{4 \pi m}$ મળે છે.
બીજા સ્તર માટે, $n = 2$, તેથી $K = \frac{2 h q B}{4 \pi m} = \frac{qBh}{2 \pi m}$.

(D) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n \propto \frac{1}{n}$ છે.
$n^{\text{th}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ છે.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રમાણસરતા મૂકતા,આપણને $f \propto \frac{(1/n)}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ મળે છે.
તેથી,પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $n^3$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
પ્રથમ સંક્રમણ માટે: ઇલેક્ટ્રોન બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 3)$ માંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 2)$ માં કૂદકો મારે છે.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$. તેથી,$\lambda = \frac{36}{5R}$.
બીજા સંક્રમણ માટે: ઇલેક્ટ્રોન ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 4)$ માંથી બીજી કક્ષા $(n_f = 2)$ માં કૂદકો મારે છે.
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$. તેથી,$\lambda' = \frac{16}{3R}$.
આપણને $\lambda' = \frac{20 \lambda}{x}$ આપેલ છે. કિંમતો મૂકતા:
$\frac{16}{3R} = \frac{20}{x} \cdot \frac{36}{5R} \implies \frac{16}{3} = \frac{20 \cdot 36}{5x} \implies \frac{16}{3} = \frac{4 \cdot 36}{x} \implies \frac{16}{3} = \frac{144}{x}$.
$x = \frac{144 \cdot 3}{16} = 9 \cdot 3 = 27$.

(A) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = \frac{v_0}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_0$ એ અચળાંક છે.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{L}{v}$ શોધવાની જરૂર છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{L}{v} = \frac{nh/2\pi}{v_0/n}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{L}{v} = \frac{h}{2\pi v_0} \cdot n^2$ મળે છે.
અહીં $h$,$\pi$ અને $v_0$ અચળાંકો હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{L}{v}$ એ $n^2$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) ઉત્સર્જિત ફોટોનની આવૃત્તિ $\Delta E = h\nu$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta E$ એ બે ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ માં સ્તરની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ છે.
$n_i$ થી $n_f$ માં સંક્રમણ માટે ઉર્જા તફાવત $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \ eV$ છે.
સૌથી વધુ આવૃત્તિ મેળવવા માટે,આપણે સૌથી મોટો ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ જોઈએ.
દરેક વિકલ્પ માટે $\Delta E$ ની ગણતરી:
$A$: $n=1$ થી $n=3$ (શોષણ,ઉત્સર્જન નહીં)
$B$: $n=2$ થી $n=4$ (શોષણ,ઉત્સર્જન નહીં)
$C$: $n=5$ થી $n=3$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) \approx 0.96 \ eV$.
$D$: $n=2$ થી $n=1$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \ eV$.
$10.2 \ eV > 0.96 \ eV$ હોવાથી,$n=2$ થી $n=1$ નું સંક્રમણ સૌથી વધુ ઉર્જા મુક્ત કરે છે અને તેથી સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(D) વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$,જ્યાં $v$ એ વેગ છે અને $T$ એ આવર્તકાળ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$.
બોહરના મોડેલ મુજબ,ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ અને વેગ $v \propto n^{-1}$ છે.
આ પ્રમાણસરતા મૂકતા: $B \propto \frac{v}{r^2} \propto \frac{n^{-1}}{(n^2)^2} = \frac{n^{-1}}{n^4} = n^{-5}$.
તેથી,કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $n^{-5}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની આવૃત્તિ $E = h\nu = E_i - E_f$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_i$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા સ્તર છે અને $E_f$ એ અંતિમ ઉર્જા સ્તર છે.
ઉત્સર્જન થવા માટે,ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તર $(n_i > n_f)$ માં સંક્રમણ કરવું જોઈએ.
આમ,વિકલ્પો $A$ ($n=1$ થી $n=2$) અને $C$ ($n=2$ થી $n=6$) માં શોષણ થાય છે,ઉત્સર્જન નહીં,તેથી તેમને દૂર કરી શકાય છે.
ઉત્સર્જન સંક્રમણોની તુલના કરતા:
$1$. $n=2$ થી $n=1$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \text{ eV}$.
$2$. $n=6$ થી $n=2$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{6^2} \right) = 13.6 \left( 0.25 - 0.0277 \right) = 13.6 \times 0.2223 \approx 3.02 \text{ eV}$.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ હોવાથી,સૌથી મોટો ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ધરાવતું સંક્રમણ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરશે.
તેથી,$n=2$ થી $n=1$ નું સંક્રમણ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = \frac{E_0}{n^2}$ છે, જ્યાં $E_0 = -13.6 \ eV$.
પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે: $E_1 = \frac{E_0}{1^2} = E_0$.
ત્રીજી કક્ષા $(n=3)$ માટે: $E_3 = \frac{E_0}{3^2} = \frac{E_0}{9}$.
આપેલ સંબંધ $E_3 = x E_1$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_0}{9} = x E_0$.
બંને બાજુ $E_0$ વડે ભાગતા, આપણને $x = \frac{1}{9}$ મળે છે.

(D) $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા સ્થિતિ $(n=1)$ માટે, $E_1 = \frac{-13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$.
ત્રીજી કક્ષા $(n=3)$ માટે, $E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51 \text{ eV}$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \text{ eV}$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\text{max}} = \Delta E - \phi$ છે, જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
આપેલ છે કે $\phi = 4.1 \text{ eV}$, તેથી $K_{\text{max}} = 12.09 - 4.1 = 7.99 \text{ eV}$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ $K_{\text{max}}$ સાથે $K_{\text{max}} = e V_s$ દ્વારા સંબંધિત છે, તેથી $V_s \approx 8 \text{ V}$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો કક્ષીય વેગ $v_n = \frac{v_1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_1$ એ ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં વેગ છે.
આપેલ છે કે નવો વેગ $v_n = \frac{1}{3} v_1$ છે,તેથી $\frac{v_1}{n} = \frac{v_1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 r_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકતા,આપણને $r_3 = (3)^2 r_1 = 9 r_1$ મળે છે.
તેથી,તે કક્ષાની ત્રિજ્યા $9 r_1$ છે.

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = n \frac{h}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$,તેથી $L = 2 \frac{h}{2 \pi} = \frac{h}{\pi}$.
દ્વિપરમાણ્વીય અણુની પરિભ્રમણ ઉર્જા $E = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $E = \frac{(\frac{h}{\pi})^2}{2I} = \frac{h^2}{\pi^2 \cdot 2I} = \frac{h^2}{2 I \pi^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ઊર્જા સ્તર $n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંક્રમણ $(i)$ માટે,$n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$:
$\Delta E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \text{ eV}$.
સંક્રમણ (ii) માટે,$n_2 = \infty$ થી $n_1 = 3$:
$\Delta E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} \right) \text{ eV}$.
ગુણોત્તર $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times (5/36)}{13.6 \times (1/9)} = \frac{5}{36} \times 9 = \frac{5}{4}$ થાય છે.

(A) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષીય ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = \frac{e}{2m} L$ છે.
$L$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right)$ મળે છે.
અહીં $e$,$m$,$h$ અને $\pi$ અચળાંકો હોવાથી,$\mu \propto n$ થાય છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) કેપેસીટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ વાહક તારમાંથી વહેતા વહન પ્રવાહ $I_c$ જેટલો જ હોય છે,જેનું સૂત્ર $I_d = I_c = C \frac{dV}{dt}$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસીટન્સ $C = 1 \ \mu F = 1 \times 10^{-6} \ F$.
વોલ્ટેજમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 4 \ V/s$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_d = (1 \times 10^{-6} \ F) \times (4 \ V/s) = 4 \times 10^{-6} \ A = 4 \ \mu A$.
તેથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહ $4 \ \mu A$ છે.

(B) વિદ્યુતભાર $(Q)$,વોલ્ટેજ $(V)$ અને કેપેસિટન્સ $(C)$ વચ્ચેનો સંબંધ $Q = CV$ છે,જેને $V = Q/C$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ આલેખમાં,વોલ્ટેજ $(V)$ $y$-અક્ષ પર અને વિદ્યુતભાર $(Q)$ $x$-અક્ષ પર દર્શાવેલ છે.
આ આલેખનો ઢાળ $V/Q = 1/C$ થાય છે.
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે,નિશ્ચિત વિદ્યુતભાર $Q$ માટે,વોલ્ટેજ $V_B > V_A$ છે.
ઢાળ એ કેપેસિટન્સ $(C)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,જેનો ઢાળ વધારે હોય તેની કેપેસિટન્સ ઓછી હોય.
તેથી,રેખા $B$ નો ઢાળ રેખા $A$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે,જેનો અર્થ એ છે કે $A$ ની કેપેસિટન્સ $B$ ની કેપેસિટન્સ કરતા વધારે છે $(C_A > C_B)$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વાહક ગોળાનું કેપેસીટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળા માટે,કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
કદને સપાટીના ક્ષેત્રફળ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{V}{A} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3}$ મળે છે.
તેથી,$R = \frac{3V}{A}$.
$R$ ની આ કિંમતને કેપેસીટન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$C = 4 \pi \epsilon_0 \left( \frac{3V}{A} \right) = \frac{12 \pi \epsilon_0 V}{A}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જ્યારે $q_1$ અને $q_2$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી બે પ્લેટોને નજીક લાવીને સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટોની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{inner} = \frac{q_1 - q_2}{2}$ થાય છે.
આનું કારણ એ છે કે પ્લેટોની વચ્ચે સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવા માટે અંદરની સપાટીઓ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર સમાન અને વિરુદ્ધ હોવો જોઈએ.
કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ સૂત્ર $V = \frac{Q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ કેપેસિટરની પ્લેટોની અંદરની સપાટી પરના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે.
$Q = \frac{q_1 - q_2}{2}$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{q_1 - q_2}{2C}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
શરૂઆતમાં,સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = C V$ છે.
જ્યારે પોટેન્શિયલ $V_1$ જેટલો ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો પોટેન્શિયલ $(V - V_1)$ થાય છે.
નવો સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q_1 = C(V - V_1)$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$C = Q/V$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $Q_1 = (Q/V)(V - V_1)$.
$Q_1 = Q - (Q V_1 / V)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(Q V_1 / V) = Q - Q_1$.
તેથી,$V = \frac{Q V_1}{Q - Q_1}$.

(A) હવા માધ્યમ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ થાય છે.
આપેલ છે કે કેપેસીટન્સમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું કેપેસીટન્સ $C' = C_0 + 0.5 C_0 = 1.5 C_0 = \frac{3}{2} C_0$ છે.
સમીકરણો મૂકતા,$\frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{3}{2} \frac{\epsilon_0 A}{d}$ મળે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{d - t + \frac{t}{3}} = \frac{3}{2d}$ મળે છે.
ગુણાકાર કરતા $2d = 3(d - t + \frac{t}{3}) = 3(d - \frac{2t}{3}) = 3d - 2t$ મળે છે.
$t$ માટે ગોઠવતા,$2t = 3d - 2d = d$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{d}{2}$.

(D) શરૂઆતમાં,બંને કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે અને તેઓ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. તેથી,પ્રારંભિક સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq,i} = C + C = 2C$ થાય.
જ્યારે એક કેપેસિટરને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પદાર્થથી ભરવામાં આવે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે. બીજું કેપેસિટર $C$ જ રહે છે.
સમાંતર જોડાણનું નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq,f} = KC + C = C(K+1)$ થાય.
અસરકારક કેપેસિટન્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta C = C_{eq,f} - C_{eq,i} = C(K+1) - 2C = CK + C - 2C = C(K-1)$ છે.

(C) ધારો કે પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. હવાના કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_p = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે જગ્યાને $d/2$ જાડાઈના બે સમાંતર ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્તરોથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ તરીકે વર્તે છે.
$C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_1 \epsilon_0 A}{d} = 2 K_1 C_p$.
$C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_2 \epsilon_0 A}{d} = 2 K_2 C_p$.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_K$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_K} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$.
$\frac{1}{C_K} = \frac{1}{2 K_1 C_p} + \frac{1}{2 K_2 C_p} = \frac{1}{2 C_p} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{1}{2 C_p} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$.
તેથી,$C_K = \frac{2 C_p K_1 K_2}{K_1 + K_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{C_p}{C_K} = \frac{C_p}{\frac{2 C_p K_1 K_2}{K_1 + K_2}} = \frac{K_1 + K_2}{2 K_1 K_2}$.

(B) $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 50 \ cm^2 = 50 \times 10^{-4} \ m^2 = 5 \times 10^{-3} \ m^2$.
અંતર $d = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$.
ડાયલેક્ટ્રિકની જાડાઈ $t = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$.
ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 4$.
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{3 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} + \frac{1 \times 10^{-3}}{4}}$
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{2 \times 10^{-3} + 0.25 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{2.25 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{5 \epsilon_0}{2.25} = \frac{5 \epsilon_0}{9/4} = \frac{20 \epsilon_0}{9}$.

(C) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $t = \frac{2d}{3}$ જાડાઈની વાહક શીટ પ્લેટોની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર ઘટે છે.
નવું કેપેસીટન્સ $C_1$ એ $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$t = \frac{2d}{3}$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{2d}{3}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{3}} = 3 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right)$.
કારણ કે $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,તેથી $C_1 = 3C$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C} = 3:1$ થાય છે.

(A) હવા ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જગ્યા ભરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરને સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે જોઈ શકાય છે.
એક ભાગમાં $A/2$ ક્ષેત્રફળમાં હવા છે,અને બીજા ભાગમાં $A/2$ ક્ષેત્રફળમાં $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ છે.
હવા ભરેલા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{C_0}{2}$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક ભરેલા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K C_0}{2}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,નવું કેપેસિટન્સ $C_n = C_1 + C_2 = \frac{C_0}{2} + \frac{K C_0}{2} = C_0 \left(\frac{K+1}{2}\right)$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C_n}{C_0} = \frac{K+1}{2}$ મળે છે.

(A) જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ધ્રુવીભવન (polarization) થાય છે. આ ધ્રુવીભવન એક આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_i$ ઉત્પન્ન કરે છે જે પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_0 - E_i$ થાય છે,જે $E_0$ કરતા ઓછું હોય છે.
પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $V = E \cdot d$ (જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે) સંબંધ ધરાવે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઘટાડો થવાથી પ્લેટો વચ્ચેના પોટેન્શિયલ તફાવતમાં પણ ઘટાડો થાય છે.
$C = Q/V$ હોવાથી,અચળ વિદ્યુતભાર $Q$ માટે $V$ માં ઘટાડો થવાથી કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ વધે છે.

(B) હવાના કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 1 \mu F$ છે.
આકૃતિ પરથી,બે ડાયલેક્ટ્રિક્સ સમાંતરમાં મૂકવામાં આવ્યા છે,જેમાંથી દરેક પ્લેટના અડધા ક્ષેત્રફળ $(A_1 = A_2 = A/2)$ ને રોકે છે અને પ્લેટો વચ્ચેનું સંપૂર્ણ અંતર $d$ ધરાવે છે.
બે ભાગોનું કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ છે:
$C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_1 \frac{C_0}{2} = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \mu F$
$C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_2 \frac{C_0}{2} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \mu F$
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 4 \mu F + 2 \mu F = 6 \mu F$ થાય.

(D) આકૃતિ પરથી,$C_1 = C$,$C_2 = 2C$,અને $C_3 = 3C$ છે.
$C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં $V$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે જોડાયેલા છે.
શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{3}{2C}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$C_s = \frac{2C}{3}$.
શ્રેણી જોડાણ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_s = C_s V = \frac{2CV}{3}$ છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસિટર પર વિદ્યુતભાર સમાન હોવાથી,$C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = Q_s = \frac{2CV}{3}$ થશે.
કેપેસિટર $C_3$ બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલું છે,તેથી તેની પરનો વોલ્ટેજ $V$ છે.
$C_3$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_3 = C_3 V = (3C)V = 3CV$ છે.
$C_3$ અને $C_1$ પરના વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{Q_3}{Q_1} = \frac{3CV}{\frac{2CV}{3}} = \frac{9}{2} = 4.5$ છે.

(A) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_i = \frac{\epsilon_0 A}{d}$.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_i V = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી, વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
અંતિમ અંતર $d_f = 4d$.
અંતિમ કેપેસિટન્સ $C_f = \frac{\epsilon_0 A}{4d} = \frac{C_i}{4}$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C_i} = \frac{1}{2} C_i V^2 = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d}$.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C_f} = \frac{Q^2}{2(C_i/4)} = 4 \left( \frac{Q^2}{2C_i} \right) = 4 U_i$.
થયેલું કાર્ય $W = U_f - U_i = 4 U_i - U_i = 3 U_i$.
$U_i$ ની કિંમત મૂકતા, $W = 3 \left( \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d} \right) = \frac{3 \epsilon_0 A V^2}{2d}$.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ વીજભાર છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
ધારો કે મૂળ વીજભાર $Q$ છે. મૂળ ઉર્જા $U_1 = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે વીજભાર $3 \ C$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વીજભાર $Q' = Q + 3$ થાય છે.
નવી ઉર્જા $U_2 = \frac{(Q+3)^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $21 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $U_2 = U_1 + 0.21 U_1 = 1.21 U_1$.
$U_1$ અને $U_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{(Q+3)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{Q^2}{2C}$.
$(Q+3)^2 = 1.21 Q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$Q+3 = 1.1 Q$.
$3 = 1.1 Q - Q$.
$3 = 0.1 Q$.
$Q = \frac{3}{0.1} = 30 \ C$.
તેથી,કેપેસિટર પરનો મૂળ વીજભાર $30 \ C$ છે.

(A) $C_1$ મૂલ્યના $10$ કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq1} = \frac{C_1}{10}$ છે.
પ્રથમ જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} C_{eq1} (4V)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{C_1}{10} \right) (16V^2) = \frac{16}{20} C_1 V^2 = \frac{4}{5} C_1 V^2$ છે.
$C_2$ મૂલ્યના $8$ કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq2} = 8C_2$ છે.
બીજા જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{2} C_{eq2} V^2 = \frac{1}{2} (8C_2) V^2 = 4 C_2 V^2$ છે.
આપેલ છે કે $U_1 = U_2$,તેથી $\frac{4}{5} C_1 V^2 = 4 C_2 V^2$.
બંને બાજુ $4V^2$ વડે ભાગતા,આપણને $C_2 = \frac{C_1}{5}$ મળે છે.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $C = 4 \mu F = 4 \times 10^{-6} \ F$ અને $V = 10 \ V$ આપેલ છે,તેથી ઉર્જા $U = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (10)^2 = 2 \times 10^{-4} \ J$ થાય.
જ્યારે કેપેસિટરને ઇન્ડક્ટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે અને તે કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
ઇન્ડક્ટરમાં મહત્તમ ઉર્જા $U_{max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ દ્વારા મળે છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} L I_{max}^2 = \frac{1}{2} C V^2$.
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L} = \frac{4 \times 10^{-6} \times 100}{10 \times 10^{-3}} = \frac{4 \times 10^{-4}}{10^{-2}} = 4 \times 10^{-2} = 0.04$.
તેથી,$I_{max} = \sqrt{0.04} = 0.2 \ A$.

(A) ધારો કે કેપેસિટર પરનો મૂળ વિદ્યુતભાર $Q$ છે અને કેપેસિટન્સ $C$ છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારમાં $2 \text{ C}$ નો વધારો કરવામાં આવે, ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $Q' = Q + 2$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = \frac{(Q + 2)^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $21 \% $ નો વધારો થાય છે, તેથી $U' = U + 0.21U = 1.21U$.
$U$ અને $U'$ ના સમીકરણો મૂકતા, આપણને મળે છે: $\frac{(Q + 2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{Q^2}{2C}$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2C}$ ને દૂર કરતા, $(Q + 2)^2 = 1.21Q^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $Q + 2 = 1.1Q$ મળે છે.
પદોની ગોઠવણી કરતા, $0.1Q = 2$, જેનું સાદું રૂપ $Q = \frac{2}{0.1} = 20 \text{ C}$ થાય છે.

(C) કેપેસિટરને ત્રણ ભાગમાં વહેંચવામાં આવ્યું છે. ધારો કે કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ છે.
$1$. ડાબા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_1 = 4$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{2d} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ છે.
$2$. જમણી બાજુ બે ભાગમાં શ્રેણીમાં વહેંચાયેલી છે,દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને અંતર $d/2$ છે. ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_2 = 3$ અને $K_3 = 6$ છે.
$3$. ઉપરના જમણા ભાગનું કેપેસિટન્સ: $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d}$.
$4$. નીચેના જમણા ભાગનું કેપેસિટન્સ: $C_3 = \frac{K_3 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{6 \epsilon_0 A}{d}$.
$5$. $C_2$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{23}$ એ $\frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{d}{3 \epsilon_0 A} + \frac{d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{2d + d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{3d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{d}{2 \epsilon_0 A}$ દ્વારા મળે છે. આમ,$C_{23} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$.
$6$. $C_1$ અને $C_{23}$ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_{23} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d} + \frac{2 \epsilon_0 A}{d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{d}$ છે.

(D) શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસીટરો માટે,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ નું સૂત્ર: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ છે.
અહીં $C_1 = C_2 = C_3 = C$ હોવાથી,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$ મળે.
તેથી,$C_{eq} = \frac{C}{3}$.
જ્યારે કેપેસીટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ એ દરેક કેપેસીટરના વ્યક્તિગત બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજનો સરવાળો હોય છે,જો તેઓ સમાન હોય.
તેથી,કુલ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_{total} = V + V + V = 3 V$ થાય.
આમ,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $\frac{C}{3}$ અને બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $3 V$ છે.

(C) $1$. સમાંતર જોડાણમાં, દરેક કેપેસિટર પાસે પોટેન્શિયલ $V$ હોય છે. દરેક કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $q = CV$ છે. કુલ ચાર્જ $Q_{total} = nq = nCV$. કુલ ઉર્જા $U_p = n \times (1/2)CV^2 = (n/2)CV^2$ છે.
$2$. જ્યારે તેમને અલગ કરીને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે શ્રેણી જોડાણ પરનો કુલ ચાર્જ $q = CV$ રહે છે (કારણ કે તેઓ સ્ત્રોતથી ડિસ્કનેક્ટ થયેલ છે). સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = C/n$ છે.
$3$. શ્રેણી જોડાણ પરનો નવો પોટેન્શિયલ તફાવત $V' = Q_{total} / C_s = (CV) / (C/n) = nV$ છે.
$4$. શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત નવી ઉર્જા $U_s = (1/2) Q^2 / C_s = (1/2) (CV)^2 / (C/n) = (1/2) C^2V^2 / (C/n) = (n/2) CV^2$ છે.
$5$. પરિણામોની સરખામણી કરતા, પોટેન્શિયલ તફાવત $nV$ થાય છે અને કુલ ઉર્જા સમાન રહે છે.

(D) જ્યારે બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total}$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોનો સરવાળો છે અને કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસીટન્સનો સરવાળો છે.
આપેલ છે: $C_1 = 100 \mu F$,$V_1 = 20 \text{ V}$,$C_2 = 50 \mu F$,$V_2 = 40 \text{ V}$.
પ્રથમ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર: $Q_1 = C_1 V_1 = 100 \mu F \times 20 \text{ V} = 2000 \mu C$.
બીજા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર: $Q_2 = C_2 V_2 = 50 \mu F \times 40 \text{ V} = 2000 \mu C$.
કુલ વિદ્યુતભાર: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 2000 \mu C + 2000 \mu C = 4000 \mu C$.
સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ: $C_{eq} = C_1 + C_2 = 100 \mu F + 50 \mu F = 150 \mu F$.
સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ $V = \frac{Q_{total}}{C_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \frac{4000 \mu C}{150 \mu F} = \frac{400}{15} \text{ V} = \frac{80}{3} \text{ V}$.

(C) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે ઉપરની શાખામાં ત્રણ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1 = C + C + C = 3C$ થશે.
નીચેની શાખામાં બે કેપેસિટર શ્રેણી જોડાણમાં છે. આ શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2 = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$ થશે.
આ બંને શાખાઓ ($C_1$ અને $C_2$) બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી છે.
તેથી,પરિણામી કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $C_{eq} = 14 \mu F$,તેથી $14 = 3C + \frac{C}{2}$.
$14 = \frac{6C + C}{2} = \frac{7C}{2}$.
$7C = 28$,જે આપણને $C = 4 \mu F$ આપે છે.

(A) ધારો કે $n_1$ કેપેસિટરો સમાંતરમાં અને $n_2$ કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,જેથી $n_1 + n_2 = 7$ થાય.
$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા $n_1$ કેપેસિટરો સમાંતરમાં હોય ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = n_1 C$ થાય.
$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા $n_2$ કેપેસિટરો શ્રેણીમાં હોય ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{C}{n_2}$ થાય.
જ્યારે આ બંને જોડાણો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{eff}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_s} = \frac{1}{n_1 C} + \frac{n_2}{C} = \frac{1 + n_1 n_2}{n_1 C}$.
અહીં $C = 2 \mu F$ અને $C_{eff} = \frac{10}{11} \mu F$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{11}{10} = \frac{1 + n_1 n_2}{2 n_1} \implies 22 n_1 = 10 + 10 n_1 n_2 \implies 11 n_1 = 5 + 5 n_1 n_2$.
$n_2 = 7 - n_1$ લેતા,સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$11 n_1 = 5 + 5 n_1 (7 - n_1) \implies 11 n_1 = 5 + 35 n_1 - 5 n_1^2$.
$5 n_1^2 - 24 n_1 + 5 = 0$.
જો $n_1 = 5$ લઈએ,તો $5(25) - 24(5) + 5 = 125 - 120 + 5 = 10 \neq 0$. પરંતુ જો આપણે આકૃતિ $A$ મુજબ જોઈએ,તો $5$ કેપેસિટરો સમાંતરમાં અને $2$ કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે,જેનું કેપેસિટન્સ $C_p = 5 \times 2 = 10 \mu F$ અને $C_s = 2 / 2 = 1 \mu F$ થાય. તેથી $C_{eff} = (10 \times 1) / (10 + 1) = 10/11 \mu F$ મળે છે.

(B) $1$. $P$ અને $R$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{PR})$ શોધવા માટે: $P-Q-R$ માર્ગમાં બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જે $C/2$ આપે છે. $P-T-S-R$ માર્ગમાં ત્રણ કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જે $C/3$ આપે છે. આ બંને શાખાઓ સમાંતર છે. તેથી,$C_{PR} = C/2 + C/3 = 5C/6$.
$2$. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{PQ})$ શોધવા માટે: $P-Q$ માર્ગમાં એક કેપેસિટર $C$ છે. $P-T-S-R-Q$ માર્ગમાં ચાર કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જે $C/4$ આપે છે. આ બંને શાખાઓ સમાંતર છે. તેથી,$C_{PQ} = C + C/4 = 5C/4$.
$3$. ગુણોત્તર $C_{PR} / C_{PQ} = (5C/6) / (5C/4) = 4/6 = 2/3$.