MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - k x)$ છે,જ્યાં $A = 60 \ \mu m = 60 \times 10^{-6} \ m$,$\omega = 1200 \ rad/s$,અને $k = 6 \ m^{-1}$ છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $(v_p)$ $v_p = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_p = (60 \times 10^{-6} \ m) \times (1200 \ rad/s) = 72000 \times 10^{-6} \ m/s = 7.2 \times 10^{-2} \ m/s$.
તરંગનો વેગ $(v_w)$ $v_w = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_w = \frac{1200}{6} = 200 \ m/s$.
કણના મહત્તમ વેગ અને તરંગના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_w} = \frac{A \omega}{\omega/k} = A k$ થાય.
$\frac{v_p}{v_w} = (60 \times 10^{-6} \ m) \times (6 \ m^{-1}) = 360 \times 10^{-6} = 3.6 \times 10^{-4}$.

(D) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
અહીં $\Delta \phi = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \text{ રેડિયન}$ અને $\Delta x = 4.0 \text{ m}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 4.0$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = 8 \times 4.0 = 32 \text{ m}$.
તરંગનો વેગ $v = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = 300 \text{ Hz}$.
$v = 300 \text{ Hz} \times 32 \text{ m} = 9600 \text{ m/s}$.
$\text{km/s}$ માં ફેરવતા: $v = \frac{9600}{1000} \text{ km/s} = 9.6 \text{ km/s}$.

(D) $L$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L' = XL$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે,આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{n v}{2L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
પ્રથમ ઓવરટોન $n=2$ છે અને બીજો ઓવરટોન $n=3$ છે.
તેથી,ખુલ્લી પાઇપની બીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_o = \frac{3v}{2(XL)}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$f_c = f_o$,તેથી $\frac{v}{4L} = \frac{3v}{2XL}$.
બંને બાજુથી $v$ અને $L$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{1}{4} = \frac{3}{2X}$ મળે છે.
$X$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2X = 12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $X = 6$.

(C) આપેલ છે: રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 0.1 \ kg/m$,લંબાઈ $L = 0.9 \ m$,તણાવ $T = 40 \ N$,કંપવિસ્તાર $A = 0.3 \ cm = 0.003 \ m$,વિભાગોની સંખ્યા $n = 3$.
તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{40}{0.1}} = \sqrt{400} = 20 \ m/s$.
$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2L} = \frac{3 \times 20}{2 \times 0.9} = \frac{60}{1.8} = \frac{600}{18} = \frac{100}{3} \ Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f_n = 2 \pi \times \frac{100}{3} = \frac{200 \pi}{3} \ rad/s$.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A \omega = 0.003 \times \frac{200 \pi}{3} = \frac{3}{1000} \times \frac{200 \pi}{3} = \frac{\pi}{5} \ m/s$.

(B) $L_c$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ પાઇપ માટે,$n$-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_c = \frac{(2n+1)v}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોન નંબર છે. ચોથા ઓવરટોન $(n=4)$ માટે,$f_c = \frac{(2(4)+1)v}{4L_c} = \frac{9v}{4L_c}$.
$L_o$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી પાઇપ માટે,$m$-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_o = \frac{(m+1)v}{2L_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઓવરટોન નંબર છે. પાંચમા ઓવરટોન $(m=5)$ માટે,$f_o = \frac{(5+1)v}{2L_o} = \frac{6v}{2L_o} = \frac{3v}{L_o}$.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે,તેથી $f_c = f_o$,એટલે કે $\frac{9v}{4L_c} = \frac{3v}{L_o}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{9}{4L_c} = \frac{3}{L_o} \implies \frac{L_c}{L_o} = \frac{9}{4 \times 3} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
આમ,બંધ પાઇપ અને ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $3: 4$ છે.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
અહીં $\mu = \text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2) \rho = \pi (d/2)^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,તેથી $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi d^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
તાર $A$ માટે: $n_A = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
તાર $B$ માટે: $n_B = \frac{1}{(2L)(3d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi (2\rho)}} = \frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
ગુણોત્તર લેતા $n_B : n_A = \frac{\frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}}{\frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}} = \frac{1}{6}$.
આમ,$n_B : n_A$ નો ગુણોત્તર $1 : 6$ છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે. ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિ $f_w = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
$L$ લંબાઈની બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L}$ છે.
આપેલ છે કે $f_w = f_c$,તેથી $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{v}{4L} \implies \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{v}{2}$.
જ્યારે તણાવ $8 \ N$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $f_w' = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+8}{\mu}}$ થાય છે.
બંધ પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન $3f_c = \frac{3v}{4L}$ છે.
આપેલ છે કે $f_w' = 3f_c$,તેથી $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+8}{\mu}} = \frac{3v}{4L} \implies \sqrt{\frac{T+8}{\mu}} = \frac{3v}{2}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\sqrt{\frac{T+8}{T}} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T+8}{T} = 9 \implies T+8 = 9T \implies 8T = 8 \implies T = 1 \ N$.

(A) ખેંચાયેલા તાર માટે $n$-મી હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ છે.
આમ,$f = \frac{n}{2L r} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
પ્રથમ તાર માટે,પ્રથમ ઓવરટોન એ $2$-જો હાર્મોનિક $(n_1 = 2)$ છે.
તેથી,$f_1 = \frac{2}{2L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
બીજા તાર માટે,બીજો ઓવરટોન એ $3$-જો હાર્મોનિક $(n_2 = 3)$ છે.
તેથી,$f_2 = \frac{3}{2L_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $f_1 = f_2$ અને $r_1 = 2r_2$:
$\frac{1}{L_1 (2r_2)} = \frac{3}{2L_2 r_2}$.
$\frac{1}{2L_1} = \frac{3}{2L_2} \implies \frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{3}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 3$ છે.

(D) ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \ m/s$ અને આવૃત્તિ $f = 330 \ Hz$ છે. તરંગલંબાઈ $\lambda = v/f = 330/330 = 1 \ m$ થાય.
જ્યારે ખુલ્લી પાઈપનો એક છેડો પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે,ત્યારે તે એક છેડે બંધ પાઈપ તરીકે વર્તે છે.
હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L' = L - x$ છે,જ્યાં $L = 1.5 \ m$ એ કુલ લંબાઈ છે અને $x$ એ પાણીમાં ડૂબેલી લંબાઈ છે.
એક છેડે બંધ પાઈપ માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિ $f_n = (2n-1) \frac{v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n=1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ,$n=2$ એ $1^{\text{st}}$ ઓવરટોન અને $n=3$ એ $2^{\text{nd}}$ ઓવરટોન છે.
$2^{\text{nd}}$ ઓવરટોન માટે,$n=3$ લેતા,$f_3 = 5 \frac{v}{4L'}$.
આપેલ છે કે $f_3 = 330 \ Hz$,તેથી $330 = 5 \times \frac{330}{4L'}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $1 = \frac{5}{4L'}$,એટલે કે $4L' = 5$,તેથી $L' = 1.25 \ m$.
$L' = L - x$ હોવાથી,$1.25 = 1.5 - x$.
તેથી,$x = 1.5 - 1.25 = 0.25 \ m$.

(B) સોનોમીટર વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
અહીં $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{L}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = L$ અને પ્રારંભિક મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 50 \text{ Hz}$ છે.
નવી લંબાઈ $L_2 = L + 0.25L = 1.25L = \frac{5}{4}L$ છે.
નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2$ માટે,$\frac{f_2}{f_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$.
તેથી,$f_2 = 0.8 \times 50 \text{ Hz} = 40 \text{ Hz}$.
બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_n = n \times f_n$ છે. બીજા હાર્મોનિક $(n=2)$ માટે,$f'_2 = 2 \times f_2 = 2 \times 40 \text{ Hz} = 80 \text{ Hz}$.
પ્રારંભિક બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_1 = 2 \times f_1 = 2 \times 50 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$ હતી.
આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta f = f'_2 - f'_1 = 80 - 100 = -20 \text{ Hz}$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta f}{f'_1} \times 100 = \frac{-20}{100} \times 100 = -20 \%$.
આમ,બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(A) સોનોમીટર વાયર માટે,આવૃત્તિ $f$ એ વાયરની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $f \propto 1/l$ અથવા $f \cdot l = k$ (અચળાંક).
ધારો કે બે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ છે.
આપેલ છે કે $f_1 \cdot 23 = f_2 \cdot 24 = k$.
આનો અર્થ એ થાય કે $f_1 = k/23$ અને $f_2 = k/24$.
અહીં $f_1 > f_2$ હોવાથી,બીટ આવૃત્તિ $f_1 - f_2 = 4$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $k/23 - k/24 = 4$.
$k$ સામાન્ય લેતા: $k(24 - 23) / (23 \cdot 24) = 4$.
$k / 552 = 4 \implies k = 2208$.
હવે,$f_1 = 2208 / 23 = 96 \ Hz$.
અને $f_2 = 2208 / 24 = 92 \ Hz$.
આમ,આવૃત્તિઓ $96 \ Hz$ અને $92 \ Hz$ છે.

(C) સોનોમીટર વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$T$ તણાવ છે અને $\mu$ રેખીય દળ ઘનતા છે.
$\mu = \pi r^2 \rho$ હોવાથી (જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા છે),આવૃત્તિને આ રીતે લખી શકાય: $n = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{LD} \sqrt{T}$ મળે.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = n$ છે. નવી આવૃત્તિ $n_2$ ફેરફારોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$n_2 = n_1 \times \left( \frac{L_1}{L_2} \right) \times \left( \frac{D_1}{D_2} \right) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
અહીં $L_2 = 3L_1$,$D_2 = 2D_1$,અને $T_2 = 3T_1$ આપેલ છે:
$n_2 = n \times \left( \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) \times \sqrt{3} = n \times \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.
આમ,નવી આવૃત્તિ $\frac{n}{2 \sqrt{3}}$ થશે.

(A) ખેંચાયેલા તારની કંપન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કંપન કરતી લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ અચળ હોવાથી,આપણને $L \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
તારમાં તણાવ $T$ એ લટકાવેલા દળ $M$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે,તેથી $T = Mg$,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આમ,$L \propto \sqrt{g}$.
વિષુવવૃત્ત પર,$g$ નું મૂલ્ય ધ્રુવો કરતા ઓછું હોય છે $(g_{equator} < g_{poles})$.
$L$ એ $\sqrt{g}$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,સમાન આવૃત્તિ $f$ જાળવી રાખવા માટે વિષુવવૃત્ત પર કંપન કરતી લંબાઈ $L$ ઘટાડવી આવશ્યક છે.

(B) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $f \propto \frac{1}{L}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
લંબાઈ $L_1 = 40 \ cm$ માટે,તારની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{k}{40}$ છે. તે $5$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_1 = n \pm 5$.
લંબાઈ $L_2 = 39 \ cm$ માટે,તારની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{k}{39}$ છે. તે $5$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_2 = n \pm 5$.
$L_2 < L_1$ હોવાથી,$f_2 > f_1$. તેથી,$f_1 = n - 5$ અને $f_2 = n + 5$.
આમ,$\frac{k}{40} = n - 5$ અને $\frac{k}{39} = n + 5$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$k = 40(n - 5)$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$k = 39(n + 5)$.
બંનેને સરખાવતા: $40n - 200 = 39n + 195$.
$40n - 39n = 195 + 200$.
$n = 395 \ Hz$.

(C) સોનોમીટર પ્રયોગમાં,તાર એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f_0)$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હાર્મોનિક્સમાં કંપન કરે છે.
આપેલ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = 288 \ Hz$ છે.
હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = n \times f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
પ્રથમ થોડા હાર્મોનિક્સની ગણતરી કરતા:
$n=1: f_1 = 1 \times 288 = 288 \ Hz$
$n=2: f_2 = 2 \times 288 = 576 \ Hz$
$n=3: f_3 = 3 \times 288 = 864 \ Hz$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$844 \ Hz$ એ $288 \ Hz$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક નથી. તેથી,$844 \ Hz$ પર હાર્મોનિક્સ ઉત્પન્ન થશે નહીં.

(C) $L$ લંબાઈના એક છેડે બંધ હવાના સ્તંભ માટે,$n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{c} = (2n + 1) \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $5^{\text{th}}$ ઓવરટોન માટે,$n = 5$,તેથી $f_{c} = (2(5) + 1) \frac{v}{4L} = 11 \frac{v}{4L}$.
$L$ લંબાઈના બંને છેડે ખુલ્લા હવાના સ્તંભ માટે,$n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{o} = (n + 1) \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $5^{\text{th}}$ ઓવરટોન માટે,$n = 5$,તેથી $f_{o} = (5 + 1) \frac{v}{2L} = 6 \frac{v}{2L} = 12 \frac{v}{4L}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_{c}}{f_{o}} = \frac{11v/4L}{12v/4L} = \frac{11}{12}$ થાય છે.

(C) સોનોમીટર તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કારણ કે $\mu = \text{Area} \times \text{Density} = (\pi r^2) \rho = \pi (\frac{d}{2})^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,આપણે લખી શકીએ કે $n \propto \frac{1}{L d} \sqrt{\frac{T}{\rho}}$.
પ્રારંભિક શરતો: $n_1 = n$,$L_1 = L$,$T_1 = T$,$d_1 = d$.
નવી શરતો: $L_2 = 3L$,$T_2 = 3T$,$d_2 = 2d$.
નવી આવૃત્તિ $n_2$ આ મુજબ મળે: $n_2 = n_1 \times (\frac{L_1}{L_2}) \times (\frac{d_1}{d_2}) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $n_2 = n \times (\frac{L}{3L}) \times (\frac{d}{2d}) \times \sqrt{\frac{3T}{T}}$.
$n_2 = n \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} n = \frac{\sqrt{3}}{2 \times 3} n = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે બંને પાઇપની લંબાઈ $L$ છે. ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે.
ખુલ્લી પાઇપ માટે,આવૃત્તિઓ $f_{open, n} = n(v/2L)$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=2)$ એ $f_{open, 1st} = 2(v/2L) = v/L$ છે.
બંધ પાઇપ માટે,આવૃત્તિઓ $f_{closed, n} = (2n-1)(v/4L)$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=2)$ એ $f_{closed, 1st} = 3(v/4L)$ છે.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $4$ Hz છે: $|v/L - 3v/4L| = 4 \implies v/4L = 4 \implies v/L = 16$.
હવે,ખુલ્લી પાઇપની નવી લંબાઈ $L' = L/2$ છે અને બંધ પાઇપની નવી લંબાઈ $L'' = 2L$ છે.
નવી ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f'_{open} = v/(2L') = v/(2(L/2)) = v/L = 16$ Hz છે.
નવી બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f''_{closed} = v/(4L'') = v/(4(2L)) = v/8L = 16/8 = 2$ Hz છે.
ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $|f'_{open} - f''_{closed}| = |16 - 2| = 14$ Hz છે.

(C) ધારો કે ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $f_A$ અને ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $f_B$ છે. આપેલ છે કે $|f_A - f_B| = 5 \ Hz$.
$L_c = 20 \ cm = 0.2 \ m$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_A = \frac{v}{4L_c} = \frac{v}{4 \times 0.2} = \frac{v}{0.8}$ છે.
$L_o = 40.5 \ cm = 0.405 \ m$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_B = \frac{v}{2L_o} = \frac{v}{2 \times 0.405} = \frac{v}{0.81}$ છે.
કારણ કે $f_A > f_B$,તેથી $f_A - f_B = 5$.
$\frac{v}{0.8} - \frac{v}{0.81} = 5 \implies v \left( \frac{0.81 - 0.8}{0.8 \times 0.81} \right) = 5$.
$v \left( \frac{0.01}{0.648} \right) = 5 \implies v = \frac{5 \times 0.648}{0.01} = 500 \times 0.648 = 324 \ m/s$.
હવે,$f_A = \frac{324}{0.8} = 405 \ Hz$ અને $f_B = \frac{324}{0.81} = 400 \ Hz$.

(D) $L$ લંબાઈની ઓપન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{open, 1} = \frac{v}{2L}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક છે,જે $f_{open, 2} = 2 \times f_{open, 1} = 2 \times \frac{v}{2L} = \frac{v}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ લંબાઈની ક્લોઝ્ડ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{closed, 1} = \frac{v}{4L}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે,જે $f_{closed, 2} = 3 \times f_{closed, 1} = 3 \times \frac{v}{4L} = \frac{3v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓપન પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોન અને ક્લોઝ્ડ પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $\frac{f_{open, 2}}{f_{closed, 2}} = \frac{v/L}{3v/4L} = \frac{1}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ થાય છે.

(A) એક છેડે બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિ $f_n = (2n - 1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ અને $f_0 = 1500 \ Hz$ છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 1500 \ Hz$ છે.
ઓવરટોન્સ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ કરતા વધારે આવૃત્તિઓ છે,જે $n > 1$ માટે $f_n = (2n - 1)f_0$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $f_n \leq 19500 \ Hz$ ની જરૂર છે.
$(2n - 1) \times 1500 \leq 19500$.
$2n - 1 \leq \frac{19500}{1500} = 13$.
$2n \leq 14$,તેથી $n \leq 7$.
$n$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ છે.
કારણ કે $n=1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે,તેથી ઓવરટોન્સ $n = 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,કુલ $7 - 1 = 6$ ઓવરટોન્સ છે.

(B) ધારો કે સૌથી ઊંચા બિંદુએ ઝડપ $v_h$ છે અને સૌથી નીચા બિંદુએ ઝડપ $v_l$ છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ,તણાવ $T_h = \frac{mv_h^2}{L} - mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી નીચા બિંદુએ,તણાવ $T_l = \frac{mv_l^2}{L} + mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી ઊંચા અને નીચા બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2}mv_l^2 = \frac{1}{2}mv_h^2 + mg(2L)$,જેનું સાદું રૂપ $v_l^2 = v_h^2 + 4gL$ થાય છે.
$T_l$ ના સમીકરણમાં $v_l^2$ ની કિંમત મૂકતા: $T_l = \frac{m(v_h^2 + 4gL)}{L} + mg = \frac{mv_h^2}{L} + 4mg + mg = \frac{mv_h^2}{L} + 5mg$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_l}{T_h} = 3$ હોવાથી,$\frac{\frac{mv_h^2}{L} + 5mg}{\frac{mv_h^2}{L} - mg} = 3$.
ધારો કે $x = \frac{v_h^2}{L}$. તો $\frac{x + 5g}{x - g} = 3 \implies x + 5g = 3x - 3g \implies 2x = 8g \implies x = 4g$.
$x = \frac{v_h^2}{L}$ હોવાથી,$\frac{v_h^2}{L} = 4g$,જેનો અર્થ છે કે $v_h^2 = 4gL$.
તેથી,$v_h = 2\sqrt{gL}$.

(B) આપેલ છે: મહત્તમ તણાવ $T_{max} = 3.7 \ kg \ wt = 3.7 \times 10 \ N = 37 \ N$. દળ $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$. ત્રિજ્યા $r = 4 \ m$. $g = 10 \ m/s^2$.
શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં,પથના સૌથી નીચેના બિંદુએ તણાવ મહત્તમ હોય છે.
સૌથી નીચેના બિંદુએ તણાવનું સૂત્ર $T = mg + \frac{mv^2}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $37 = (0.5 \times 10) + \frac{0.5 \times v^2}{4}$.
$37 = 5 + \frac{0.5 \times v^2}{4}$.
$32 = \frac{0.5 \times v^2}{4}$.
$128 = 0.5 \times v^2$.
$v^2 = 256$.
$v = 16 \ m/s$.
આમ,$v = r\omega$ હોવાથી,$\omega = \frac{v}{r} = \frac{16}{4} = 4 \ rad/s$ મળે.

(B) ધારો કે બોબનું દળ $m$ છે અને દોરીની લંબાઈ $l$ છે. કોઈપણ ખૂણે $\phi$ પર દોરીમાં તણાવ $T = mg \cos \phi + \frac{mv^2}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતિમ સ્થિતિ પર,$\phi = \theta$ અને $v = 0$,તેથી ન્યૂનતમ તણાવ $T_{min} = mg \cos \theta$ છે.
સૌથી નીચા બિંદુ પર,$\phi = 0$. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mg(l - l \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $mv^2 = 2mgl(1 - \cos \theta)$.
મહત્તમ તણાવ $T_{max} = mg + \frac{mv^2}{l} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$ છે.
આપેલ છે કે $T_{max} = 4 T_{min}$,તેથી $mg(3 - 2 \cos \theta) = 4mg \cos \theta$.
$3 - 2 \cos \theta = 4 \cos \theta \implies 6 \cos \theta = 3 \implies \cos \theta = 0.5$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0.5)$.

(B) કણ શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરે તે માટે,ટોચના બિંદુ $A$ પર લઘુત્તમ વેગ $v_A = \sqrt{g\ell}$ છે.
બિંદુ $A$ અને બિંદુ $C$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2\ell) = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\ell$
$\frac{1}{2}m(g\ell) + 2mg\ell = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\ell$
$\frac{1}{2}g\ell + mg\ell = \frac{1}{2}mv_C^2$
$\frac{3}{2}g\ell = \frac{1}{2}v_C^2 \implies v_C^2 = 3g\ell$.
બિંદુ $A$ પર કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_A = \frac{v_A^2}{\ell} = \frac{g\ell}{\ell} = g$ છે.
બિંદુ $C$ પર કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_C = \frac{v_C^2}{\ell} = \frac{3g\ell}{\ell} = 3g$ છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગમાં થતો વધારો $\Delta a = a_C - a_A = 3g - g = 2g$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $= m$ $kg$,ત્રિજ્યા $r = 49$ $cm = 0.49$ $m$,આવૃત્તિ $f = 30$ $rpm = 0.5$ $rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 0.5 = \pi$ $rad/s$.
સૌથી નીચેના બિંદુએ,તણાવ $T = mg + mr\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = m(10) + m(0.49)(\pi^2)$.
$\pi^2 = 10$ લેતા: $T = 10m + m(0.49)(10) = 10m + 4.9m = 14.9m$ $N$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$T \approx 15m$ $N$.

(C) ધારો કે પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m u^2$ છે.
ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ અચળ રહે છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2} m v_x^2$ થશે.
$v_x = u \cos \theta$ મૂકતા,આપણને $E' = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$ મળે છે.
$E' = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta$.
કારણ કે $E = \frac{1}{2} m u^2$,તેથી $E' = E \cos^2 \theta$ થાય.

(C) ધારો કે લોલકની લંબાઈ $L = 1 \,m$ છે અને સૌથી નીચલા બિંદુએ પ્રારંભિક ઝડપ $v_0 = 4 \,m/s$ છે。
સૌથી નીચલા બિંદુએ, સ્થિતિ ઊર્જા $0$ લેવામાં આવે છે. કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv_0^2$ છે。
જ્યારે દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે, ત્યારે ગોળાની ઊંચાઈ $h = L(1 - \cos \theta)$ થાય છે。
કિંમતો મૂકતા, $h = 1(1 - \cos 60^{\circ}) = 1(1 - 0.5) = 0.5 \,m$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, સૌથી નીચલા બિંદુએ કુલ ઊર્જા એ $\theta$ ખૂણે કુલ ઊર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
$v^2 = v_0^2 - 2gh$
$v^2 = (4)^2 - 2(10)(0.5)$
$v^2 = 16 - 10 = 6$
$v = \sqrt{6} \,m/s$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,બળ $\vec{F} = t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m \vec{a}$,તેથી $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}$.
વેગ $\vec{v} = \int \vec{a} \ dt = \int (t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}) \ dt = \frac{t^2}{2} \hat{i} + \frac{2t^3}{3} \hat{j}$ (શરૂઆતનો વેગ શૂન્ય ધારતા).
પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = (t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}) \cdot (\frac{t^2}{2} \hat{i} + \frac{2t^3}{3} \hat{j})$.
$P = \frac{t^3}{2} + \frac{4t^5}{3}$.
$t = 3 \ s$ સમયે:
$P = \frac{3^3}{2} + \frac{4(3^5)}{3} = \frac{27}{2} + 4(3^4) = 13.5 + 4(81) = 13.5 + 324 = 337.5 \ W$.

(D) સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ $\vec{d} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{r}_P = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \ m$ અને $\vec{r}_Q = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \ m$ આપેલ છે.
તેથી,$\vec{d} = (2-3) \hat{i} + (3-4) \hat{j} + (4-5) \hat{k} = (-1 \hat{i} - 1 \hat{j} - 1 \hat{k}) \ m$.
અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ દ્વારા મળે છે.
$W = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (-1 \hat{i} - 1 \hat{j} - 1 \hat{k})$.
$W = (3 \times -1) + (4 \times -1) + (5 \times -1) = -3 - 4 - 5 = -12 \ J$.

(B) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $W = (3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k})$.
$W = (3 \times 2) + (-2 \times -3) + (-1 \times -3) = 6 + 6 + 3 = 15 \text{ J}$.
પાવર $P$ એ કાર્ય થવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $P = \frac{W}{t}$.
અહીં $t = 2 \text{ s}$ આપેલ છે,તેથી $P = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ W}$.
આમ,કાર્ય $15 \text{ J}$ અને પાવર $7.5 \text{ W}$ છે.

(C) $1$. ઉપરની શાખામાં એક $AND$ ગેટ છે જેની પાછળ $NOT$ ગેટ ($NAND$ ગેટ) છે. $AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $(A \cdot B)$ છે. $NOT$ ગેટ પછી,આઉટપુટ $(\overline{A \cdot B})$ બને છે.
$2$. નીચેની શાખામાં ઇનપુટ $A$ પર એક $NOT$ ગેટ છે (જે $\overline{A}$ આપે છે) અને ત્યારબાદ ઇનપુટ $B$ સાથે એક $AND$ ગેટ છે. આમ,આ શાખાનું આઉટપુટ $(\overline{A} \cdot B)$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ એક $OR$ ગેટમાં જાય છે. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બે પદોનો સરવાળો છે: $Y = (\overline{A \cdot B}) + (\overline{A} \cdot B)$.
$4$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ આપણા મેળવેલા સમીકરણ સાથે બંધ બેસે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
ઇનપુટ $B$ અને $C$ ને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જેનું આઉટપુટ $X = \overline{B+C}$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $X$ અને ઇનપુટ $A$ ને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ મળે છે.
તેથી,આઉટપુટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = A \cdot X = A \cdot (\overline{B+C})$ છે.
આઉટપુટ $Y$ ને $HIGH$ $(Y=1)$ થવા માટે,$A$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ અને $(\overline{B+C})$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
$(\overline{B+C}) = 1$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $B+C = 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $B=0$ અને $C=0$.
આમ,$Y=1$ ત્યારે મળે જ્યારે $A=1, B=0, C=0$ હોય.

(D) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે.
ધારો કે $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $X$ છે. તો $X = \overline{A + B}$.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે,તેથી $Y = X \cdot C = (\overline{A + B}) \cdot C$.
આપણે આઉટપુટ $Y = 0$ જોઈએ છે.
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
$A) A=1, B=1, C=0 \implies Y = (\overline{1+1}) \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0$.
$B) A=0, B=1, C=0 \implies Y = (\overline{0+1}) \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0$.
$C) A=1, B=0, C=1 \implies Y = (\overline{1+0}) \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0$.
$D) A=0, B=0, C=1 \implies Y = (\overline{0+0}) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$.
પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે કયો ઇનપુટ સેટ આઉટપુટ $0$ આપતો નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) જે લોજિક ગેટ માત્ર ત્યારે જ '$HIGH$' અથવા '$1$' આઉટપુટ આપે છે જ્યારે ઇનપુટમાં '$HIGH$' અથવા '$1$' ની સંખ્યા એકી (odd) હોય,તેને એક્સક્લુઝિવ-$OR$ (Ex-$OR$) ગેટ કહેવામાં આવે છે.
બે-ઇનપુટ Ex-$OR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y$ ને $Y = A \oplus B = A\bar{B} + \bar{A}B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બે-ઇનપુટ Ex-$OR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
જો $A=0, B=0$ હોય,તો $Y=0$.
જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y=1$.
જો $A=1, B=0$ હોય,તો $Y=1$.
જો $A=1, B=1$ હોય,તો $Y=0$.
જેમ જોઈ શકાય છે,આઉટપુટ ત્યારે જ '$1$' મળે છે જ્યારે '$HIGH$' ઇનપુટની સંખ્યા એકી હોય (એટલે કે,$1$ ઇનપુટ '$HIGH$' હોય).

(D) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે.
ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $X$ છે.
$OR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $B$ અને $C$ છે,તેથી $X = B + C$.
$AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $X$ છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = A \cdot X = A \cdot (B + C)$ છે.
આઉટપુટ $Y = 1$ મેળવવા માટે,$A$ ની કિંમત $1$ હોવી જોઈએ અને $(B + C)$ ની કિંમત $1$ હોવી જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) 0, 0, 0 \implies Y = 0 \cdot (0 + 0) = 0$
$B) 0, 1, 0 \implies Y = 0 \cdot (1 + 0) = 0$
$C) 1, 0, 0 \implies Y = 1 \cdot (0 + 0) = 0$
$D) 1, 0, 1 \implies Y = 1 \cdot (0 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$
આમ,ઇનપુટ્સ $A=1, B=0, C=1$ માટે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.

(C) આપેલ શરતો માટે ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies C=1$
$A=0, B=1 \implies C=1$
ચાલો આપેલા વિકલ્પો માટે ટ્રુથ ટેબલ તપાસીએ:
$1$. $OR$ ગેટ: $0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1$. (મેળ ખાતું નથી)
$2$. $AND$ ગેટ: $0 \cdot 0=0, 0 \cdot 1=0, 1 \cdot 0=0, 1 \cdot 1=1$. (મેળ ખાતું નથી)
$3$. $NAND$ ગેટ: $\overline{0 \cdot 0}=1, \overline{0 \cdot 1}=1, \overline{1 \cdot 0}=1, \overline{1 \cdot 1}=0$. (આપેલ શરતો સાથે મેળ ખાય છે)
$4$. $NOR$ ગેટ: $\overline{0+0}=1, \overline{0+1}=0, \overline{1+0}=0, \overline{1+1}=0$. (મેળ ખાતું નથી)
આમ,આ લોજિક ગેટ $NAND$ ગેટ છે.

(A) ચાલો આપેલા ઇનપુટ્સ સાથે દરેક લોજિક ગેટનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(A)$ આ $1$ અને $1$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $NAND$ ગેટ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે. $A=1, B=1$ માટે,$Y = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
$(B)$ આ $0$ અને $0$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $NOR$ ગેટ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A + B}$ છે. $A=0, B=0$ માટે,$Y = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ મળે છે.
$(C)$ આ $1$ અને $0$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $AND$ ગેટ છે. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A \cdot B$ છે. $A=1, B=0$ માટે,$Y = 1 \cdot 0 = 0$ મળે છે.
$(D)$ આ $0$ અને $1$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $XOR$ ગેટ છે. $XOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A \oplus B$ છે. $A=0, B=1$ માટે,$Y = 0 \oplus 1 = 1$ મળે છે.
આઉટપુટની સરખામણી કરતા,ગેટ $(A)$ અને $(C)$ '$0$' આઉટપુટ આપે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ અને $(C)$ છે.

(B) $1$. $AND$ ગેટ બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ લે છે અને આઉટપુટ $X = A \cdot B$ આપે છે.
$2$. આ આઉટપુટ $X$ ને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે.
$3$. $NOT$ ગેટ ઇનપુટને ઉલટાવે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{X}$ મળે છે.
$4$. $X$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Y = \overline{A \cdot B}$ મળે છે.
$5$. $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટના આ સંયોજનને $NAND$ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(C) સેન્ટર-ટેપ ફુલ-વેવ રેક્ટિફાયરમાં,ટ્રાન્સફોર્મરનું સેકન્ડરી વાઇન્ડિંગ સેન્ટર ટેપ દ્વારા બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાયેલું હોય છે.
જો સમગ્ર સેકન્ડરી વાઇન્ડિંગ પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V_s$ હોય,તો સેકન્ડરી વાઇન્ડિંગના દરેક અડધા ભાગ પરનો વોલ્ટેજ $\frac{V_s}{2}$ થાય.
ધન અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન,એક ડાયોડ વહન કરે છે અને લોડ પરનો વોલ્ટેજ એ સેકન્ડરીના ઉપરના અડધા ભાગનો વોલ્ટેજ હોય છે,જે $\frac{V_s}{2}$ છે.
ઋણ અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન,બીજો ડાયોડ વહન કરે છે અને લોડ પરનો વોલ્ટેજ એ સેકન્ડરીના નીચેના અડધા ભાગનો વોલ્ટેજ હોય છે,જે પણ $\frac{V_s}{2}$ છે.
તેથી,દરેક ડાયોડના સંદર્ભમાં આઉટપુટ વોલ્ટેજ $\frac{1}{2} V_s$ છે.

(C) અર્ધવાહકમાં,જેમ તાપમાન $(T)$ વધે છે,તેમ સહસંયોજક બંધો તૂટવાને કારણે વિદ્યુતભાર વાહકોની (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ) સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.
વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યામાં આ વધારો લેટીસના કંપનોમાં થતા વધારાની અસર કરતાં વધુ પ્રભાવી હોય છે (જે અન્યથા અવરોધકતામાં વધારો કરે છે).
પરિણામે,તાપમાનમાં વધારો થતાં અર્ધવાહકની અવરોધકતા $(\varrho)$ ઝડપથી ઘટે છે.
આ સંબંધ $\varrho = \varrho_0 e^{E_g / 2k_BT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_g$ એ બેન્ડ ગેપ ઉર્જા છે અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આલેખ $(C)$ તાપમાન સાથે અવરોધકતામાં થતા આ ઘાતાંકીય ઘટાડાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે: આંતરિક વાહક સાંદ્રતા $n_i = 10^{16} \ m^{-3}$.
ફોસ્ફરસ એ પંચસંયોજક અશુદ્ધિ છે,તેથી તે દાતા (donor) તરીકે કાર્ય કરે છે. ઉમેરવામાં આવેલા દાતા પરમાણુઓની સાંદ્રતા $N_D = 10^{21} \ m^{-3}$ છે.
અહીં $N_D \gg n_i$ હોવાથી,n-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા લગભગ દાતા સાંદ્રતા જેટલી જ હોય છે: $n_e \approx N_D = 10^{21} \ m^{-3}$.
સેમિકન્ડક્ટર માટે માસ એક્શનના નિયમ મુજબ,$n_e \cdot n_h = n_i^2$,જ્યાં $n_h$ એ હોલ સાંદ્રતા છે.
કિંમતો મૂકતા: $10^{21} \cdot n_h = (10^{16})^2$.
$10^{21} \cdot n_h = 10^{32}$.
$n_h = \frac{10^{32}}{10^{21}} = 10^{11} \ m^{-3}$.
તેથી,નવી હોલ સાંદ્રતા $10^{11} \ m^{-3}$ છે.

(C) $n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,આંતરિક સેમિકન્ડક્ટર ($Si$ અથવા $Ge$ જેવા) માં પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિ પરમાણુઓ ($P, As, Sb$ જેવા) ઉમેરવામાં આવે છે.
આ અશુદ્ધિ પરમાણુઓ વહન માટે વધારાના ઇલેક્ટ્રોન પૂરા પાડે છે.
આ દાતા ઇલેક્ટ્રોનને અનુરૂપ ઉર્જા સ્તરોને દાતા ઉર્જા સ્તરો $(E_D)$ કહેવામાં આવે છે.
આ દાતા ઉર્જા સ્તરો ફોરબિડન એનર્જી ગેપમાં,કન્ડક્શન બેન્ડની ધાર $(E_C)$ ની બરાબર નીચે આવેલા હોય છે.
તેઓ કન્ડક્શન બેન્ડની ખૂબ નજીક હોવાથી,ઓરડાના તાપમાને ઇલેક્ટ્રોન સરળતાથી ઉષ્મીય ઉર્જા મેળવીને કન્ડક્શન બેન્ડમાં કૂદી શકે છે અને વિદ્યુત વાહકતામાં ફાળો આપે છે.

(C) $n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં,ઇન્ટ્રિન્સિક સેમિકન્ડક્ટર (જેમ કે $Si$ અથવા $Ge$) માં પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિના પરમાણુઓ (જેમ કે $P, As, Sb$) ઉમેરવામાં આવે છે.
આ પેન્ટાવેલેન્ટ પરમાણુઓ કન્ડક્શન બેન્ડમાં વધારાના ઇલેક્ટ્રોન પૂરા પાડે છે,જેનાથી ઇલેક્ટ્રોન મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ બને છે.
તેનાથી વિપરીત,હોલ માત્ર થર્મલ એક્સાઇટેશનને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે,જે તેમને માઇનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ બનાવે છે.
તેથી,'હોલ માઇનોરિટી કેરિયર્સ છે અને પેન્ટાવેલેન્ટ પરમાણુઓ ડોપન્ટ્સ છે' તે વિધાન સાચું છે.

(C) સેમિકન્ડક્ટરમાં,તાપમાન વધવા સાથે ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યામાં ઘાતાંકીય વધારો થાય છે કારણ કે વધુ સહસંયોજક બંધો તૂટે છે,જેનાથી વધુ ચાર્જ કેરિયર્સ મુક્ત થાય છે.
જેમ જેમ ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યા વધે છે,તેમ સેમિકન્ડક્ટરની વિદ્યુત વાહકતા વધે છે,જે તેના વિદ્યુત અવરોધમાં ઘટાડો કરે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = V/R$. વોલ્ટેજ $V$ અચળ રહે છે અને અવરોધ $R$ ઘટે છે,તેથી પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વધશે.

(C) $n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં,સેમિકન્ડક્ટરને પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિ પરમાણુઓ (જેમ કે $P$,$As$,$Sb$) સાથે ડોપ કરવામાં આવે છે.
આ પેન્ટાવેલેન્ટ પરમાણુઓ કન્ડક્શન બેન્ડમાં વધારાના ઇલેક્ટ્રોન પૂરા પાડે છે,જેનાથી ઇલેક્ટ્રોન મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ બને છે.
તેનાથી વિપરીત,હોલ્સ માત્ર થર્મલ એક્સાઇટેશનને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે,જે તેમને માઇનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ બનાવે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન મેજોરિટી કેરિયર્સ છે અને પેન્ટાવેલેન્ટ પરમાણુઓ ડોપન્ટ્સ છે,જ્યારે હોલ્સ માઇનોરિટી કેરિયર્સ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે તે જણાવે છે કે હોલ્સ માઇનોરિટી કેરિયર્સ છે અને પેન્ટાવેલેન્ટ પરમાણુઓ ડોપન્ટ્સ છે.

(D) સોલર સેલ એ એક એવું ઉપકરણ છે જે સૌર ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે. સૌર વિકિરણ વર્ણપટમાં લગભગ $1.5 \ eV$ ની આસપાસ મહત્તમ તીવ્રતા હોય છે. સૌર વિકિરણને અસરકારક રીતે શોષવા માટે,સોલર સેલમાં વપરાતા સેમિકન્ડક્ટર પદાર્થનો બેન્ડ ગેપ આ ઉર્જા શ્રેણી સાથે મેળ ખાતો હોવો જોઈએ. $1.0 \ eV$ થી $1.8 \ eV$ ની વચ્ચે બેન્ડ ગેપ ધરાવતા પદાર્થો આ હેતુ માટે આદર્શ છે,કારણ કે તેઓ સૌર વર્ણપટનો નોંધપાત્ર ભાગ શોષી શકે છે. સિલિકોન,જેનો બેન્ડ ગેપ આશરે $1.1 \ eV$ છે,તે સોલર સેલ માટે સૌથી વધુ વપરાતો પદાર્થ છે.

(B) $LED$ દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ વપરાયેલ સેમિકન્ડક્ટર મટીરીયલની બેન્ડ ગેપ એનર્જી $(E_g)$ પર આધાર રાખે છે.
એલ્યુમિનિયમ ગેલિયમ આર્સેનાઇડ $(AlGaAs)$ એ એક એવું સેમિકન્ડક્ટર મટીરીયલ છે જેની બેન્ડ ગેપ એનર્જી ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સ્પેક્ટ્રમના ઇન્ફ્રારેડ વિભાગને અનુરૂપ હોય છે.
તેથી,$AlGaAs$ નો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવેલ $LED$ ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(A) ફ્રૉનહોફર વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2 \lambda D}{d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈ સ્લિટની પહોળાઈ કરતાં બમણી છે,તેથી $w = 2d$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2 \lambda D}{d} = 2d$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\lambda D}{d} = d$ મળે છે.
$D$ માટે ઉકેલતા,આપણને $D = \frac{d^2}{\lambda}$ મળે છે.

(C) ફ્રોનહોફર વિવર્તન માટે,$n$ માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $a \sin \theta = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y_n}{D}$,જ્યાં $y_n$ એ મધ્યસ્થ અધિક્તમથી અંતર છે.
તેથી,$y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
આપેલ છે: $a = 0.2 \ mm = 2 \times 10^{-4} \ m$,$D = 2 \ m$,અને $2y_1 = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-2} = \frac{2 \times \lambda \times 2}{2 \times 10^{-4}}$.
$10^{-2} = \frac{4 \lambda}{2 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^4 \lambda$.
$\lambda = \frac{10^{-2}}{2 \times 10^4} = 0.5 \times 10^{-6} \ m = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5000 \ Å$.

(D) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમ સૌથી વધુ તેજસ્વી અને પહોળું હોય છે. જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ ગૌણ અધિકતમની તીવ્રતા ઝડપથી ઘટે છે. મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $2\lambda D/a$ છે,જ્યારે ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ $\lambda D/a$ છે. તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ અને તીવ્રતા અસમાન હોય છે. વિકલ્પ $D$ જણાવે છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ અને તીવ્રતા સમાન હોય છે,જે ખોટું છે.

(B) વર્તુળાકાર છિદ્ર માટે રેલેના માપદંડ મુજબ,કોણીય વિભેદન $\theta = 1.22 \lambda / D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ છિદ્રનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે: તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,ત્રિજ્યા $r = 0.25 \ cm = 2.5 \times 10^{-3} \ m$,તેથી વ્યાસ $D = 2r = 5.0 \times 10^{-3} \ m$.
કોણીય વિભેદન $\theta = (1.22 \times 500 \times 10^{-9}) / (5.0 \times 10^{-3}) = 1.22 \times 10^{-4} \ rad$ છે.
$L = 25 \ cm = 0.25 \ m$ ના અંતરે લઘુત્તમ અંતર $d = L \times \theta$ છે.
$d = 0.25 \times 1.22 \times 10^{-4} = 0.305 \times 10^{-4} \ m = 30.5 \times 10^{-6} \ m = 30.5 \mu m$.
આમ,લઘુત્તમ અંતર લગભગ $30 \mu m$ છે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાત માટે,$n$-માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત છે: $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\theta$ એ વિવર્તન કોણ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
જ્યારે $\theta$ ખૂબ નાનો હોય,ત્યારે $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,જ્યાં $y$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે અને $D$ એ પડદા સુધીનું અંતર છે.
બીજા મહત્તમ માટે,$n = 2$. તેથી,$a \frac{y}{D} = (2 + \frac{1}{2}) \lambda = \frac{5}{2} \lambda$.
આપેલ છે: $a = 0.65 \ mm = 0.65 \times 10^{-3} \ m$,$D = 1.3 \ m$,અને $y = 2.6 \ mm = 2.6 \times 10^{-3} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.65 \times 10^{-3}) \times \frac{2.6 \times 10^{-3}}{1.3} = \frac{5}{2} \lambda$.
$(0.65 \times 10^{-3}) \times (2 \times 10^{-3}) = 2.5 \lambda$.
$1.3 \times 10^{-6} = 2.5 \lambda$.
$\lambda = \frac{1.3 \times 10^{-6}}{2.5} = 0.52 \times 10^{-6} \ m = 5200 \ \times 10^{-10} \ m = 5200 \ Å$.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાત માટે,ગૌણ મહત્તમની શરત $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ ગૌણ મહત્તમનો ક્રમ છે.
$\lambda_1 = 6384 Å$ તરંગલંબાઈ માટે બીજા ગૌણ મહત્તમ $(n = 2)$ ની શરત $a \sin \theta = (2 + \frac{1}{2}) \lambda_1 = \frac{5}{2} \lambda_1$ છે.
$\lambda_0$ તરંગલંબાઈ માટે ત્રીજા ગૌણ મહત્તમ $(n = 3)$ ની શરત $a \sin \theta = (3 + \frac{1}{2}) \lambda_0 = \frac{7}{2} \lambda_0$ છે.
જ્યારે સ્થાનો સંપાત થાય છે,ત્યારે આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ છીએ: $\frac{5}{2} \lambda_1 = \frac{7}{2} \lambda_0$.
આનું સાદું રૂપ $5 \lambda_1 = 7 \lambda_0$ થાય છે.
$\lambda_1 = 6384 Å$ મૂકતા,આપણને $\lambda_0 = \frac{5 \times 6384}{7} = \frac{31920}{7} = 4560 Å$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.3 \ mm = 0.3 \times 10^{-3} \ m$,પડદાનું અંતર $D = 1.5 \ m$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 4500 \ Å = 4500 \times 10^{-10} \ m$.
ફ્રોનહોફર વિવર્તન માટે,$n$-માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $a \sin \theta = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નાના $\theta$ માટે,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{D}$.
તેથી,$a \left( \frac{y}{D} \right) = n \lambda \implies y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
મધ્યસ્થ અધિક્તમથી પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ નું અંતર $y_1 = \frac{\lambda D}{a}$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2y_1 = \frac{2 \times 4500 \times 10^{-10} \times 1.5}{0.3 \times 10^{-3}}$.
$2y_1 = \frac{13500 \times 10^{-10}}{0.3 \times 10^{-3}} = 45000 \times 10^{-7} \ m = 4.5 \times 10^{-3} \ m = 4.5 \ mm$.

(C) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈનું સૂત્ર: $y = \frac{2D\lambda}{a}$ છે,જ્યાં '$D$' એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે,'$\lambda$' એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને '$a$' એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
શરૂઆતમાં,$y = \frac{2D\lambda}{a}$.
બીજા કિસ્સામાં,સ્લિટની પહોળાઈ અડધી કરવામાં આવે છે,તેથી નવી પહોળાઈ $a' = \frac{a}{2}$ થાય.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = 1.5\lambda = \frac{3}{2}\lambda$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની નવી પહોળાઈ '$y'$' માટેનું સૂત્ર: $y' = \frac{2D\lambda'}{a'} = \frac{2D(1.5\lambda)}{a/2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $y' = \frac{2D(3/2\lambda)}{a/2} = \frac{3D\lambda}{a/2} = \frac{6D\lambda}{a}$.
કારણ કે $y = \frac{2D\lambda}{a}$,તેથી આપણે $y'$ ના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકી શકીએ:
$y' = 3 \times (\frac{2D\lambda}{a}) = 3y$.
તેથી,મધ્યસ્થ અધિક્તમની નવી પહોળાઈ $3y$ થશે.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં $n^{\text{th}}$ ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત છે: $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda'$,જ્યાં $n$ એ ગૌણ મહત્તમનો ક્રમ છે.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઈના $4^{\text{th}}$ ગૌણ મહત્તમ માટે: $a \sin \theta_1 = (4 + \frac{1}{2}) \lambda_1 = \frac{9}{2} \lambda_1$.
$\lambda$ તરંગલંબાઈના $3^{\text{rd}}$ ગૌણ મહત્તમ માટે: $a \sin \theta_2 = (3 + \frac{1}{2}) \lambda = \frac{7}{2} \lambda$.
જ્યારે મહત્તમ સંપાત થાય,ત્યારે $\theta_1 = \theta_2$,તેથી $a \sin \theta_1 = a \sin \theta_2$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{9}{2} \lambda_1 = \frac{7}{2} \lambda$.
$\lambda_1$ માટે ઉકેલતા: $\lambda_1 = \frac{7}{9} \lambda$.

(B) ધારો કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે.
પ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા $I_{max} = (a_1 + a_2)^2$ છે.
અપ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા $I_{min} = (a_1 - a_2)^2$ છે.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{5}{1}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \frac{5}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{\sqrt{5}}{1}$ મળે છે.
પ્રકાશિત શલાકાનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{max} = a_1 + a_2$ છે અને અપ્રકાશિત શલાકાનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{min} = a_1 - a_2$ છે.
તેથી,પરિણામી કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_{max}}{A_{min}} = \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{\sqrt{5}}{1}$ થાય.

(B) ધારો કે આપાત તીવ્રતા $I$ છે.
બિંદુ $A$ પર,$I$ ના $25\%$ કિરણ $AB$ તરીકે પરાવર્તિત થાય છે. તેથી,$I_1 = 0.25I = I/4$.
વક્રીભૂત કિરણની તીવ્રતા $0.75I$ છે.
બિંદુ $C$ પર,આ કિરણ પરાવર્તિત થાય છે. આપાત ઊર્જા $(0.75I)$ ના $25\%$ પરાવર્તિત થાય છે. તેથી,$A^1$ સુધી પહોંચતા કિરણની તીવ્રતા $0.25 \times 0.75I = 0.1875I = (3/16)I$ છે.
બિંદુ $A^1$ પર,આ કિરણ $A^1B^1$ તરીકે વક્રીભૂત થાય છે. $A^1$ પર $25\%$ પરાવર્તિત થતું હોવાથી,આપાત ઊર્જાના $75\%$ પારગમિત થાય છે.
તેથી,$I_2 = 0.75 \times (3/16)I = (3/4) \times (3/16)I = (9/64)I$.
કંપવિસ્તાર $a_1 = \sqrt{I_1} = \sqrt{I/4} = (1/2)\sqrt{I}$ અને $a_2 = \sqrt{I_2} = \sqrt{9I/64} = (3/8)\sqrt{I}$ છે.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $a_1/a_2 = (1/2) / (3/8) = 4/3$ છે.
$I_{\text{max}} / I_{\text{min}} = (a_1 + a_2)^2 / (a_1 - a_2)^2 = ((4+3)/ (4-3))^2 = (7/1)^2 = 49/1$.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 9I$ આપેલ છે.
બિંદુ $P$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_P = \pi / 2$ છે. તેથી,$I_P = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi / 2) = 10I + 6I(0) = 10I$.
બિંદુ $Q$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_Q = \pi$ છે. તેથી,$I_Q = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi) = 10I + 6I(-1) = 10I - 6I = 4I$.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળ પરિણામી તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત $|I_P - I_Q| = |10I - 4I| = 6I$ થાય.

(B) ધારો કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $b = \frac{I_1}{I_2}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I_{\text{max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
જરૂરી ગુણોત્તર $R = \frac{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}$ છે.
$I_{\text{max}}$ અને $I_{\text{min}}$ ના પદો મૂકતા:
$R = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$R = \frac{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) + (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2})}{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) - (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2})} = \frac{2(I_1 + I_2)}{4\sqrt{I_1I_2}} = \frac{I_1 + I_2}{2\sqrt{I_1I_2}}$.
અંશ અને છેદને $I_2$ વડે ભાગતા:
$R = \frac{\frac{I_1}{I_2} + 1}{2\sqrt{\frac{I_1}{I_2}}} = \frac{b + 1}{2\sqrt{b}}$.

(A) વ્યતિકરણની ઘટનામાં, પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I_1$ અને $I_2$ એ બે તરંગોની તીવ્રતા છે。
કારણ કે $I \propto A^2$, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે, વિનાશક વ્યતિકરણના બિંદુઓ પર તીવ્રતા $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (A_1 - A_2)^2$ દ્વારા મળે છે。
જો કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ અલગ-અલગ હોય, તો $(A_1 - A_2)^2 \neq 0$ થાય。
તેથી, વિનાશક વ્યતિકરણના વિસ્તારમાં તીવ્રતા શૂન્ય હોતી નથી, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં પ્રકાશની થોડી અવશેષ તીવ્રતા રહેલી હોય છે。

(A) ધારો કે બિન-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0 = 256 \ W/m^2$ છે.
જ્યારે બિન-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $P_1$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2 = 256 / 2 = 128 \ W/m^2$ થાય છે.
$P_2$ ની પાસ એક્સિસ $P_1$ ની સાપેક્ષે $\theta_1 = 60^{\circ}$ ના ખૂણે છે. મેલસના નિયમ મુજબ,$P_2$ પછીની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2(\theta_1) = 128 \times \cos^2(60^{\circ}) = 128 \times (0.5)^2 = 128 \times 0.25 = 32 \ W/m^2$ છે.
$P_3$ ની પાસ એક્સિસ $P_1$ ની સાપેક્ષે $90^{\circ}$ ના ખૂણે છે. $P_2$ અને $P_3$ ની પાસ એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
$P_3$ માટે ફરીથી મેલસનો નિયમ લાગુ પાડતા,બિંદુ $O$ પર અંતિમ તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(\theta_2) = 32 \times \cos^2(30^{\circ}) = 32 \times (\sqrt{3}/2)^2 = 32 \times (3/4) = 24 \ W/m^2$ મળે છે.

(B) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે.
ત્યારબાદના પોલેરોઇડ માટે,આપણે મેલસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I_n = I_{n-1} \cos^2 \theta$,જ્યાં $\theta = 30^{\circ}$ છે.
બીજા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા: $I_2 = I_1 \cos^2 30^{\circ} = (I_0 / 2) \times (\sqrt{3} / 2)^2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3 I_0 / 8$.
ત્રીજા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા: $I_3 = I_2 \cos^2 30^{\circ} = (3 I_0 / 8) \times (3 / 4) = 9 I_0 / 32$.
ચોથા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા: $I_4 = I_3 \cos^2 30^{\circ} = (9 I_0 / 32) \times (3 / 4) = 27 I_0 / 128$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,પોલરોઇડમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{incident} \cos^2 \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ પોલરોઇડની પાસ અક્ષ અને આપાત પ્રકાશના ધ્રુવીભવનના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બીજા પોલરોઇડ માટે,તેની પાસ અક્ષ અને પ્રથમ પોલરોઇડની પાસ અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 30^{\circ}$ છે. તેથી,બીજા પોલરોઇડમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 30^{\circ} = \left(\frac{I_0}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{I_0}{2}\right) \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{3 I_0}{8}$ થાય છે.
ત્રીજા પોલરોઇડ માટે,તેની પાસ અક્ષ અને બીજા પોલરોઇડની પાસ અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ છે. તેથી,ત્રીજા પોલરોઇડમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2 60^{\circ} = \left(\frac{3 I_0}{8}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3 I_0}{8}\right) \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3 I_0}{32}$ થાય છે.

(B) $1$. જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
$2$. પ્રથમ અને બીજા પોલેરોઇડ એકબીજાને લંબ (ક્રોસ્ડ) છે (ધરી વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે),તેથી શરૂઆતમાં બીજા પોલેરોઇડમાંથી કોઈ પ્રકાશ પસાર થતો નથી.
$3$. ત્રીજો પોલેરોઇડ તેમની વચ્ચે પ્રથમ પોલેરોઇડ સાથે $\theta$ ખૂણે મૂકવામાં આવે છે. ત્રીજા અને બીજા પોલેરોઇડ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^\circ - \theta)$ થશે.
$4$. ત્રીજા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા: $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$.
$5$. મેલસના નિયમ મુજબ બીજા (છેલ્લા) પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા: $I_3 = I_2 \cos^2(90^\circ - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$.
$6$. $I_2$ ની કિંમત મૂકતા: $I_3 = (\frac{I_0}{2} \cos^2 \theta) \sin^2 \theta = \frac{I_0}{2} (\sin \theta \cos \theta)^2 = \frac{I_0}{2} (\frac{\sin 2 \theta}{2})^2 = \frac{I_0}{8} \sin^2 2 \theta$.

(D) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે.
આ પ્રકાશ હવે સમતલ ધ્રુવીભૂત છે.
જ્યારે આ પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે જેની ટ્રાન્સમિશન ધરી પ્રથમ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2$ માલસના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $I_2 = (I_0 / 2) \cos^2 30^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \sqrt{3} / 2$,તેથી $\cos^2 30^{\circ} = 3 / 4$.
તેથી,$I_2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3 I_0 / 8$.
અંશની ગણતરી કરતા: $3 / 8 = 0.375$,જે $37.5 \%$ છે.

(D) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \tan(i_p)$ છે,જ્યાં $i_p$ એ પોલરાઇઝિંગ એંગલ છે.
વળી,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(C)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(V)$ નો ગુણોત્તર છે: $\mu = \frac{C}{V}$.
$\mu$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{C}{V} = \tan(i_p)$.
આને $\frac{C}{V} = \frac{\sin(i_p)}{\cos(i_p)}$ તરીકે લખી શકાય.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $C \cos(i_p) = V \sin(i_p)$ મળે છે,જે $V \sin(i_p) = C \cos(i_p)$ ને સમાન છે.

(A) બ્રુસ્ટરનો નિયમ જણાવે છે કે $\tan(i_B) = \mu_{21}$, જ્યાં $\mu_{21} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ એ પ્રથમ માધ્યમની સાપેક્ષે બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે。
હવા $(\mu_1 = 1)$ થી કાચ $(\mu_2 = \mu)$ માં પ્રકાશના પ્રસરણ માટે, બ્રુસ્ટરનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan(\theta) = \frac{\mu}{1} = \mu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
કાચ $(\mu_1 = \mu)$ થી હવા $(\mu_2 = 1)$ માં પ્રકાશના પ્રસરણ માટે, બ્રુસ્ટરનો ખૂણો $i_B'$ એ $\tan(i_B') = \frac{1}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
કારણ કે $\tan(\theta) = \mu$, તેથી $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\tan(\theta)} = \cot(\theta) = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$。
તેથી, $i_B' = \frac{\pi}{2} - \theta$।

(C) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ પોલરાઇઝિંગ ખૂણો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક $\mu$ એ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ નો ગુણોત્તર છે,તેથી $\mu = \frac{c}{v}$.
$\mu$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\tan \theta = \frac{c}{v}$ મળે છે.
તેથી,$\cot \theta = \frac{v}{c}$ થાય.
આમ,$\theta = \cot^{-1}\left(\frac{v}{c}\right)$.

(A) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,હવાના સાપેક્ષમાં કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu = \tan \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ પોલરાઇઝિંગ કોણ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક $\mu$ એ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ $(c_a)$ અને કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c_g)$ ના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $\mu = \frac{c_a}{c_g}$.
જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે,તેથી પ્રકાશની ઝડપ અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ $c = f \lambda$ છે.
તેથી,$\mu = \frac{f \lambda_a}{f \lambda_g} = \frac{\lambda_a}{\lambda_g}$.
$\mu$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\tan \theta = \frac{\lambda_a}{\lambda_g}$ મળે છે.
આને ગોઠવતા,$\lambda_g = \frac{\lambda_a}{\tan \theta} = \lambda_a \cot \theta$ મળે છે.

(B) ધારો કે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
જ્યારે પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની તીવ્રતા $I_1 = I_0/2$ થાય છે (અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ માટે).
બીજા પોલેરોઇડ માટે,ટ્રાન્સમિશન ધરી અને આપાત પ્રકાશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે. મેલસના નિયમ મુજબ,$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = (I_0/2) \times (1/2)^2 = I_0/8$.
ત્રીજા પોલેરોઇડ માટે,તેની ટ્રાન્સમિશન ધરી અને બીજા પોલેરોઇડની ધરી વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\theta = 60^{\circ}$ છે.
તેથી,$I_3 = I_2 \cos^2(60^{\circ}) = (I_0/8) \times (1/2)^2 = I_0/32$.
સિસ્ટમમાંથી પસાર થતી આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાનો અંશ $I_3/I_0 = 1/32$ છે.

(B) હ્યુજેન્સનો પ્રકાશનો તરંગવાદ સૂચવે છે કે પ્રકાશ એક કાલ્પનિક માધ્યમમાં તરંગો તરીકે ગતિ કરે છે જેને લ્યુમિનીફેરસ ઈથર કહેવાય છે.
આ સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રકાશના વિવિધ રંગો આ તરંગોની અલગ-અલગ તરંગલંબાઇ (અથવા આવૃત્તિ) ને અનુરૂપ હોય છે.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે તે પ્રકાશના તરંગ સ્વભાવ સાથે સુસંગત છે.
વિકલ્પ $B$ ન્યૂટનના કણવાદ (Corpuscular theory) નો ઉલ્લેખ કરે છે,જે સૂચવે છે કે પ્રકાશ વિવિધ રંગો માટે અલગ-અલગ કદના કણો (કણિકાઓ) નો બનેલો છે. આ હ્યુજેન્સના તરંગવાદનો ભાગ નથી.
વિકલ્પ $C$ હ્યુજેન્સના સિદ્ધાંતની આગાહી છે,જે સાચી રીતે જણાવે છે કે પ્રકાશ પાતળા માધ્યમની સરખામણીમાં ઘટ્ટ માધ્યમમાં ધીમો ગતિ કરે છે.
વિકલ્પ $D$ સાચો છે કારણ કે હ્યુજેન્સનો સિદ્ધાંત તરંગ-અગ્ર (wave-fronts) નો ઉપયોગ કરીને પરાવર્તન અને વક્રીભવનના નિયમોને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે.
તેથી,હ્યુજેન્સના તરંગવાદ મુજબ જે વિધાન સાચું નથી તે $B$ છે.

(D) ઓપ્ટિકલ પાથ લંબાઈ એટલે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક અને પ્રકાશ દ્વારા કાપવામાં આવેલ ભૌમિતિક અંતરનો ગુણાકાર.
શૂન્યાવકાશ (અથવા હવા) માં,$t$ અંતર માટે ઓપ્ટિકલ પાથ $t_{opt} = 1 \times t = t$ થાય છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી માઈકાની ફિલ્મ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશ ફિલ્મમાંથી $t$ અંતર કાપે છે.
ફિલ્મમાંથી પસાર થતો ઓપ્ટિકલ પાથ $t'_{opt} = n \times t = nt$ થાય છે.
ઓપ્ટિકલ પાથમાં થતો ફેરફાર $\Delta = t'_{opt} - t_{opt} = nt - t = (n-1)t$ છે.
અહીં $n > 1$ હોવાથી,ઓપ્ટિકલ પાથ $(n-1)t$ જેટલો વધે છે.

(C) કોઈપણ એક સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{d^2}{2D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા ન્યૂનતમ માટે,પથ તફાવતની શરત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 3$.
તેથી,$\frac{d^2}{2D} = (2(3) - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{5\lambda}{2}$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{d^2}{D} = 5\lambda$.
હવે,તે જ બિંદુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,ધારો કે નવી તરંગલંબાઇ $\lambda'$ છે. શરત છે $\Delta x = (2(1) - 1) \frac{\lambda'}{2} = \frac{\lambda'}{2}$.
પથ તફાવતને સરખાવતા: $\frac{d^2}{2D} = \frac{\lambda'}{2}$,જે આપે છે $\frac{d^2}{D} = \lambda'$.
પ્રથમ કિસ્સામાંથી $\frac{d^2}{D}$ ની કિંમત મૂકતા: $\lambda' = 5\lambda$.
તરંગલંબાઇમાં ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 5\lambda - \lambda = 4\lambda$ છે.

(C) પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$, જ્યાં $\Delta x$ એ પથ તફાવત છે.
$\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે, કળા તફાવત $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
તીવ્રતા $I_1 = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $I_1 = \frac{K}{2}$, તેથી $\frac{I_0}{2} = \frac{K}{2}$, જેનો અર્થ છે કે $I_0 = K$.
$\Delta x = \lambda$ માટે, કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ થાય.
તીવ્રતા $I_2 = I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_0 \cos^2(\pi) = I_0 (1)^2 = I_0$ થાય.
કારણ કે $I_0 = K$, તેથી તીવ્રતા $I_2 = K$ થશે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત એ છે કે પથ તફાવત $\Delta x$ એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = (2n-1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ તફાવતનું સૂત્ર કળા તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n-1) \frac{\lambda}{2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\Delta \phi = (2n-1) \pi$ રેડિયન.
આમ,$n$ મી અપ્રકાશિત શલાકા માટે કળા તફાવત $(2n-1) \pi$ છે.

(A) નિશ્ચિત પહોળાઈ $W$ ધરાવતા પડદા પર જોવા મળતી શલાકાઓની સંખ્યા $N$ એ શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે,$D$ પડદાનું અંતર છે અને $d$ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
$N$ શલાકાઓ દ્વારા આવરી લેવામાં આવતી કુલ પહોળાઈ $W = N \beta$ હોવાથી,$W = N \frac{\lambda D}{d}$ મળે.
પડદાની નિશ્ચિત પહોળાઈ $W$ માટે,$N \lambda = \text{અચળ}$ થાય.
તેથી,$N_1 \lambda_1 = N_2 \lambda_2$.
આપેલ છે કે $N_1 = 18$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,અને $\lambda_2 = 400 \ nm$.
કિંમતો મૂકતા: $18 \times 600 = N_2 \times 400$.
$N_2 = \frac{18 \times 600}{400} = \frac{18 \times 6}{4} = \frac{108}{4} = 27$.
આમ,જોવા મળતી શલાકાઓની સંખ્યા $27$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટ એક સ્લિટની સામે મૂકવામાં આવે ત્યારે પાર્શ્વ સ્થાનાંતર (ફ્રિન્જ શિફ્ટ) $y$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$y = \frac{D}{d} (\mu - 1) t$
આપેલ છે:
પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $D = 1 \ m$
સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$
વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$
જાડાઈ $t = 0.04 \ mm = 0.04 \times 10^{-3} \ m = 4 \times 10^{-5} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$y = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} (1.5 - 1) \times 4 \times 10^{-5}$
$y = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} (0.5) \times 4 \times 10^{-5}$
$y = \frac{0.5 \times 4 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-3}}$
$y = \frac{2 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-3}} = 10^{-2} \ m$
$y = 1 \ cm$
તેથી,ફ્રિન્જનું પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $1 \ cm$ થશે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\lambda = 600 \ nm = 6 \times 10^{-7} \ m$,$d = 10^{-3} \ m$,અને $\Delta\beta = 3 \times 10^{-5} \ m$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં ફેરફાર $\Delta\beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-5} = \frac{6 \times 10^{-7}}{10^{-3}} \Delta D$.
$3 \times 10^{-5} = 6 \times 10^{-4} \Delta D$.
$\Delta D = \frac{3 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = 0.5 \times 10^{-1} \ m = 0.05 \ m = 5 \ cm$.
જો $\Delta\beta$ ધન હોય (વધારો),તો પડદાને $5 \ cm$ દૂર ખસેડવો જોઈએ. જો $\Delta\beta$ ઋણ હોય (ઘટાડો),તો પડદાને સ્લિટ્સ તરફ $5 \ cm$ ખસેડવો જોઈએ. પ્રશ્ન મૂલ્યમાં ફેરફાર વિશે પૂછે છે,તેથી $5 \ cm$ દૂર ખસેડવું અથવા $5 \ cm$ નજીક ખસેડવું બંને ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં $3 \times 10^{-5} \ m$ નો ફેરફાર લાવે છે. આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,એક સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta x$ એ બે સ્લિટથી તે બિંદુ સુધીના અંતરનો તફાવત છે.
ધારો કે સ્લિટ $y = d/2$ અને $y = -d/2$ પર છે. એક સ્લિટની સામેનું બિંદુ $y = d/2$ પર છે.
પ્રથમ સ્લિટથી અંતર $0$ છે.
બીજી સ્લિટથી અંતર $\sqrt{D^2 + d^2}$ છે.
તેથી,પથ તફાવત $\Delta x = \sqrt{D^2 + d^2} - D$ થાય.
$d \ll D$ માટે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta x \approx D(1 + \frac{d^2}{2D^2}) - D = \frac{d^2}{2D}$.
ન્યૂનતમ (વિનાશક વ્યતિકરણ) માટે,પથ તફાવત અડધી તરંગલંબાઈનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{d^2}{2D} = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = \frac{d^2}{D(2n - 1)}$ મળે છે.
$n = 1, 2, 3, \dots$ માટે,તરંગલંબાઈઓ $\frac{1}{D}, \frac{1}{3D}, \frac{1}{5D}, \dots$ ના પ્રમાણમાં છે.