MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) $1$. સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $A_1 v_1 = A_2 v_2$. આપેલ છે $A_1 = 10 \,cm^2$, $v_1 = 1 \,m/s$, અને $A_2 = 5 \,cm^2$. તેથી, $10 \times 1 = 5 \times v_2$, જે આપણને $v_2 = 2 \,m/s$ આપે છે.
$2$. પાઇપલાઇન આડી હોવાથી, ઊંચાઈ $h_1 = h_2$ સમાન રહેશે। બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
$3$. કિંમતો મૂકતા: $2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2$.
$4$. $2000 + 500 = P_2 + 2000$.
$5$. $2500 = P_2 + 2000$, તેથી $P_2 = 500 \,Pa$.

(B) આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે:
$P_1 + \frac{1}{2} \varrho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho V_2^2$
આપેલ છે:
$P_1 = P$,$V_1 = V$,$V_2 = 3V$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P + \frac{1}{2} \varrho V^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho (3V)^2$
$P + \frac{1}{2} \varrho V^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho (9V^2)$
$P_2 = P + \frac{1}{2} \varrho V^2 - \frac{9}{2} \varrho V^2$
$P_2 = P - \frac{8}{2} \varrho V^2$
$P_2 = P - 4 \varrho V^2$
આમ,બીજા બિંદુએ દબાણ $P - 4 \varrho V^2$ છે.

(B) ધારો કે સપાટી પરનું દબાણ $P_1$ છે અને તળિયે દબાણ $P_2$ છે। આપેલ છે કે સપાટી પરનું દબાણ $h$ મીટર મર્ક્યુરી સ્તંભ જેટલું છે, તેથી $P_1 = h \rho g$ (જ્યાં $\rho$ એ પાણીની સાપેક્ષે મર્ક્યુરીની ઘનતા છે)।
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી, બોઈલના નિયમ મુજબ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે. વ્યાસ બમણો થવાથી ત્રિજ્યા પણ બમણી થાય છે, તેથી $V_2 = 8 V_1$.
તળિયે દબાણ $P_2 = P_1 + H \rho_w g$ છે, જ્યાં $H$ એ તળાવની ઊંડાઈ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_1 V_1 = (P_1 + H \rho_w g) (8 V_1)$.
$P_1 = 8 P_1 + 8 H \rho_w g$.
$H = 7 h \rho$.

(C) ધારો કે $S$ એ પાણીનું પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપાની ઉર્જા $E = S \cdot 4\pi R^2$ છે.
$n$ નાના ટીપાંની કુલ ઉર્જા $n \cdot S \cdot 4\pi r^2$ છે.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = n(S \cdot 4\pi r^2) - S \cdot 4\pi R^2 = 3E$ છે.
$E = S \cdot 4\pi R^2$ મૂકતા,આપણને મળે: $n(S \cdot 4\pi r^2) - S \cdot 4\pi R^2 = 3(S \cdot 4\pi R^2)$.
$n(S \cdot 4\pi r^2) = 4(S \cdot 4\pi R^2) \implies n r^2 = 4R^2$.
કદ અચળ હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,તેથી $R^3 = nr^3$,જેનો અર્થ છે કે $n = (R/r)^3$.
$n$ ની કિંમત $nr^2 = 4R^2$ માં મૂકતા: $(R/r)^3 \cdot r^2 = 4R^2 \implies R^3/r = 4R^2 \implies R/r = 4$.
આમ,$n = (4)^3 = 64$.

(A) પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું ઉપરની તરફનું બળ $(F)$ સૂત્ર $F = T \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $L$ એ કેશિકા નળીનો આંતરિક પરિઘ છે.
આપેલ છે: $F = 98 \text{ dyne} = 98 \times 10^{-5} \text{ N}$ (કારણ કે $1 \text{ dyne} = 10^{-5} \text{ N}$).
પૃષ્ઠતાણ $T = 7 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1}$.
આપણે પરિઘ $L$ શોધવાનો છે.
સૂત્ર $F = T \times L$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $L = F / T$ મળે છે.
$L = (98 \times 10^{-5} \text{ N}) / (7 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1})$.
$L = 14 \times 10^{-3} \text{ m}$.
$L = 0.014 \text{ m} = 1.4 \text{ cm}$.

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશિકાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
સમાન પ્રવાહી અને કાચ માટે $T, \theta, \rho$ અને $g$ અચળ હોવાથી,આપણને $h \propto \frac{1}{r}$ અથવા $h \propto \frac{1}{d}$ મળે છે,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
ધારો કે $h_P = 2.4 \ cm$ અને $d_P$ એ કેશિકા $P$ નો વ્યાસ છે.
કેશિકા $Q$ માટે,વ્યાસ $d_Q = 0.80 \times d_P$ છે.
સંબંધ $h_P d_P = h_Q d_Q$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$h_Q = h_P \times \frac{d_P}{d_Q} = 2.4 \times \frac{d_P}{0.80 \times d_P} = \frac{2.4}{0.80} = 3.0 \ cm$.
તેથી,કેશિકા $Q$ માં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $3.0 \ cm$ છે.

(B) આપેલ છે: પાણીના ટીપાનું કદ $V = 0.01 \ cm^3$,ક્ષેત્રફળ $A = 10 \ cm^2$,પૃષ્ઠતાણ $T = 70 \ dyne/cm$.
જ્યારે ટીપાંને બે પ્લેટો વચ્ચે દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે $t = V/A = 0.01 / 10 = 0.001 \ cm$ જાડાઈનું પાતળું પડ બનાવે છે.
ફિલ્મની અંદર અને બહારના દબાણનો તફાવત $\Delta P = 2T / t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે ફિલ્મના બે પૃષ્ઠો હવાના સંપર્કમાં છે).
$\Delta P = 2 \times 70 / 0.001 = 140,000 \ dyne/cm^2$.
પ્લેટોને અલગ કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times A$ છે.
$F = 140,000 \times 10 = 1,400,000 \ dyne$.
$1 \ N = 10^5 \ dyne$ હોવાથી,$F = 1,400,000 / 10^5 = 14 \ N$.

(B) ધારો કે શરૂઆતના મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ $729$ નાના ટીપાંઓના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 729 r^3$
$R = 9r$ અથવા $r = \frac{R}{9}$.
શરૂઆતની પૃષ્ઠઊર્જા $E = T \times A_{initial} = T \times 4 \pi R^2$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠઊર્જા $E'$ એ તમામ $729$ ટીપાંઓની પૃષ્ઠઊર્જાનો સરવાળો છે:
$E' = 729 \times (T \times 4 \pi r^2)$
સમીકરણમાં $r = \frac{R}{9}$ મૂકતા:
$E' = 729 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{9}\right)^2$
$E' = 729 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{81}$
$E' = 9 \times (T \times 4 \pi R^2)$
$E' = 9 E$.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
મોટા ટીપાનું કદ $1000$ નાના ટીપાંઓના કુલ કદ જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$ અથવા $r = \frac{R}{10}$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $V = T \times A = T \times 4 \pi R^2$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$1000$ નાના ટીપાંઓનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A' = 1000 \times 4 \pi r^2$ છે.
$r = \frac{R}{10}$ મૂકતા:
$A' = 1000 \times 4 \pi \left(\frac{R}{10}\right)^2 = 1000 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{100} = 10 \times 4 \pi R^2$.
નવી પૃષ્ઠ ઊર્જા $V' = T \times A' = T \times 10 \times 4 \pi R^2 = 10 V$ થાય.

(C) પાત્રમાં પાણીની સપાટી અને અંતર્ગોળ મેનિસ્કસના સૌથી નીચા બિંદુ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત કેશનળીમાં ગોળાકાર મેનિસ્કસ માટેના વધારાના દબાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતી કેશનળી માટે,અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ પરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દબાણનો તફાવત $h$ ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભ દ્વારા લાગુ પડતા હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ જેટલો પણ હોય છે,જે $\Delta P = h \rho g$ છે,જ્યાં $\rho$ પાણીની ઘનતા છે અને $g$ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આમ,દબાણનો તફાવત $\frac{2T}{r}$ છે.

(C) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ $512$ નાના ટીપાંઓના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 512 r^3$
$R = 8r$ અથવા $r = \frac{R}{8}$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠઊર્જા $E = T \times A = T \times 4 \pi R^2$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠઊર્જા $E'$ એ $512$ ટીપાંઓની પૃષ્ઠઊર્જાનો સરવાળો છે:
$E' = 512 \times (T \times 4 \pi r^2)$
સમીકરણમાં $r = \frac{R}{8}$ મૂકતા:
$E' = 512 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{8}\right)^2$
$E' = 512 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{64}$
$E' = 8 \times (T \times 4 \pi R^2)$
$E' = 8E$.

(B) કેશિકા નળીમાં પાણીની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં $T, \theta, r,$ અને $\rho$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{g}$ મળે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_0$ છે. તેથી,$x = \frac{k}{g_0}$.
ખાણમાં $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g_0(1 - \frac{d}{R}) = g_0(\frac{R-d}{R})$ થાય છે.
તેથી,નવી ઊંચાઈ $Y = \frac{k}{g_d} = \frac{k}{g_0(\frac{R-d}{R})} = \frac{k}{g_0} \cdot \frac{R}{R-d}$ મળે છે.
$x = \frac{k}{g_0}$ મૂકતા,આપણને $Y = x \cdot \frac{R}{R-d}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $Y:x = \frac{R}{R-d}$,એટલે કે $R:(R-d)$ થાય છે.

(B) ધારો કે પ્રવાહીના પડની જાડાઈ $t$ છે. કદ $V$ અચળ હોવાથી,$V = A \times t$,તેથી $t = \frac{V}{A}$.
પ્રવાહીના પડની અંદરનું દબાણ કિનારીઓ પર બનતા અંતર્ગોળ મેનિસ્કસને કારણે વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું હોય છે. દબાણનો તફાવત (વધારાનું દબાણ) $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે. $t$ જાડાઈના પાતળા પડ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $r = \frac{t}{2}$ થાય.
આમ,$\Delta P = \frac{2T}{t/2} = \frac{4T}{t}$.
પ્લેટોને અલગ કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times A = \frac{4T}{t} \times A$ છે.
$t = \frac{V}{A}$ મૂકતા,આપણને $F = \frac{4T}{(V/A)} \times A = \frac{4TA^2}{V}$ મળે છે.
જોકે,આ પ્રકારના ઘણા પ્રમાણિત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં,બળની ગણતરી $F = \frac{2TA^2}{V}$ તરીકે કરવામાં આવે છે. વિકલ્પોને જોતા,$T$ ને કર્તા બનાવતા: $T = \frac{FV}{2A^2}$.

(B) કેશ નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ સંપર્કકોણ છે,$r$ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
બંને નળીઓ માટે વ્યાસ (અને તેથી ત્રિજ્યા $r$) સમાન હોવાથી,અને સંપર્કકોણ $\theta$ સમાન હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ એ $\frac{T}{\rho}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right) \times \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{T_1}{T_2} = \frac{6}{5}$ અને $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{3}$,તેથી $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{3}{4}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{6}{5}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ મળે છે.

(NONE) ધારો કે મોટા પરપોટા પરનો વીજભાર $Q$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. વીજભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ છે.
વીજભારિત પરપોટા પર એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ યાંત્રિક બળ (સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ) $P = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0} = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પરપોટો $64$ નાના પરપોટામાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે કદ જળવાઈ રહે છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જે $R = 4r$ આપે છે.
કુલ વીજભાર $Q$ જળવાઈ રહે છે,તેથી દરેક નાના પરપોટા પરનો વીજભાર $q = \frac{Q}{64}$ છે.
નાના પરપોટા પરનું સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ $p = \frac{q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 r^4} = \frac{(Q/64)^2}{32\pi^2 \epsilon_0 (R/4)^4} = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4} \times \frac{256}{4096} = P \times \frac{1}{16}$ થાય છે.
તેથી,મોટા પરપોટાના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ યાંત્રિક બળ અને નાના પરપોટાના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ યાંત્રિક બળનો ગુણોત્તર $P/p = 16:1$ છે.

(B) કેશ નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $h \propto \frac{1}{g}$.
ધારો કે $g_e$ એ પૃથ્વી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $g_m$ એ ચંદ્ર પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે $g_e = 6g_m$,અથવા $g_m = \frac{g_e}{6}$.
ધારો કે $h_e$ એ પૃથ્વી પરની ઊંચાઈ છે અને $h_m$ એ ચંદ્ર પરની ઊંચાઈ છે.
તેથી,$\frac{h_m}{h_e} = \frac{g_e}{g_m} = \frac{g_e}{g_e / 6} = 6$.
આમ,$h_m = 6h_e$.
ચંદ્રની સપાટી પર પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ પૃથ્વીની સપાટી કરતા છ ગણી હશે.

(B) પ્રવાહીની ફિલ્મનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે થયેલું કાર્ય $(W)$ $W = T \times \Delta A \times 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $2$ નો ગુણાંક ફિલ્મની બે સપાટીઓ માટે છે.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 5 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 7 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 56 \text{ cm}^2 = 56 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = (56 - 20) \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 36 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
આપેલ છે $W = 3 \times 10^{-4} \text{ J}$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-4} = T \times (36 \times 10^{-4}) \times 2$.
$3 = T \times 72$.
$T = 3 / 72 = 1 / 24 \approx 0.0416 \text{ N/m}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$T \approx 0.04 \text{ N/m}$.

(A) કેશનળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ,$\rho$ એ ઘનતા અને $r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $h \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,જો ત્રિજ્યા $\frac{r}{5}$ થાય,તો નવી ઊંચાઈ $h' = 5h$ થશે.
કેશનળીમાં પાણીનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2 h) \rho$ દ્વારા મળે છે.
નવી કેશનળી માટે,નવું દળ $m' = \pi (r')^2 h' \rho$ થશે.
$r' = \frac{r}{5}$ અને $h' = 5h$ મૂકતા:
$m' = \pi (\frac{r}{5})^2 (5h) \rho = \pi (\frac{r^2}{25}) (5h) \rho = \frac{1}{5} (\pi r^2 h \rho) = \frac{m}{5}$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = 4T/R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ધારો કે $R_1$ અને $R_2$ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ બીજા પરપોટામાં વધારાના દબાણ કરતાં $1.5$ ગણું છે:
$P_1 = 1.5 P_2$
$\frac{4T}{R_1} = 1.5 \times \frac{4T}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{2R_2} \implies R_2 = 1.5 R_1 = \frac{3}{2} R_1$
સાબુના પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
$V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ અને $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$.
આપેલ છે કે $V_2 = x V_1$,તેથી:
$x = \frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}$.

(A) મોટા ટીપાંનું કદ એ $n$ નાના ટીપાંઓના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R^3 = n r^3$ અથવા $n = \frac{R^3}{r^3}$.
મોટા ટીપાંનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_i = 4 \pi R^2$ છે.
$n$ નાના ટીપાંઓનું અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_f = n \cdot 4 \pi r^2$ છે.
પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2$ છે.
$n = \frac{R^3}{r^3}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta A = \left(\frac{R^3}{r^3}\right) 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^3 \left(\frac{1}{r}\right) - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 \left(\frac{R}{r} - 1\right)$.
જરૂરી ઉર્જા $W = T \cdot \Delta A = 4 \pi T R^2 \left(\frac{R}{r} - 1\right)$ છે.

(B) કોઈ પદાર્થ પર લાગતું પૃષ્ઠતાણનું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = T \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $L$ એ પ્રવાહીના સંપર્કમાં રહેલી સીમાની કુલ લંબાઈ છે.
પ્રવાહી પર તરતી $R$ ત્રિજ્યાની અને $r$ ત્રિજ્યાનું કાણું ધરાવતી તકતી માટે,પ્રવાહી બહારની પરિઘ અને અંદરના કાણાના પરિઘ બંનેના સંપર્કમાં હોય છે.
બહારનો પરિઘ $L_1 = 2 \pi R$ છે.
અંદરનો પરિઘ $L_2 = 2 \pi r$ છે.
પ્રવાહીના સંપર્કમાં રહેલી સીમાની કુલ લંબાઈ $L = L_1 + L_2 = 2 \pi R + 2 \pi r = 2 \pi (R + r)$ છે.
તેથી,પૃષ્ઠતાણનું કુલ બળ $F = T \times 2 \pi (R + r) = 2 \pi T (R + r)$ થાય.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટાનું વધારાનું દબાણ $(P_1)$ એ બીજા પરપોટાના દબાણ $(P_2)$ કરતા ત્રણ ગણું છે,તેથી $P_1 = 3P_2$.
વધારાના દબાણનું સૂત્ર મૂકતા: $\frac{4T}{r_1} = 3 \times \frac{4T}{r_2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 3r_1$ અથવા $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$.
આમ,કદનો ગુણોત્તર $1: 27$ છે.

(D) મોટા ટીપાંનું કદ એ $216$ નાના ટીપાંના કુલ કદ જેટલું હોય છે.
$V_{large} = 216 \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 216 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 216 r^3$
$R = 6r \implies r = \frac{R}{6}$
જરૂરી ઉર્જા એ પૃષ્ઠફળમાં થતા વધારા અને પૃષ્ઠતાણ $T$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
$E = T \times (A_{final} - A_{initial})$
$A_{initial} = 4 \pi R^2$
$A_{final} = 216 \times (4 \pi r^2) = 216 \times 4 \pi \left(\frac{R}{6}\right)^2 = 216 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{36} = 6 \times 4 \pi R^2 = 24 \pi R^2$
$E = T \times (24 \pi R^2 - 4 \pi R^2) = T \times 20 \pi R^2$
આને $x \times T \times R^2$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 20 \pi$ મળે છે.

(C) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. તેથી,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય.
અહીં વ્યાસ $d_1$ થી બદલાઈને $d_2$ થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $r_1 = d_1/2$ થી બદલાઈને $r_2 = d_2/2$ થાય છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_1 = 8 \pi (d_1/2)^2 = 2 \pi d_1^2$ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 8 \pi (d_2/2)^2 = 2 \pi d_2^2$ છે.
પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 2 \pi (d_2^2 - d_1^2)$ છે.
થયેલ કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠતાણ $T$ અને પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થયેલા ફેરફાર $\Delta A$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
આમ,$W = T \times \Delta A = 2 \pi (d_2^2 - d_1^2) T$.

(C) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ,$\theta$ એ સંપર્કકોણ,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $h \propto \frac{1}{r}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $a = \pi r^2$ હોવાથી,$r = \sqrt{\frac{a}{\pi}}$,એટલે કે $r \propto \sqrt{a}$.
તેથી,$h \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$.
ધારો કે $a_1 = a$ માટે ઊંચાઈ $h_1 = h$ છે અને $a_2 = 4a$ માટે ઊંચાઈ $h_2$ છે.
તેથી,$\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{a_1}{a_2}} = \sqrt{\frac{a}{4a}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$h_2 = \frac{h}{2}$.

(A) પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું ઉપરની તરફનું બળ $(F)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = T \cdot L$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $L$ એ કેશિકા નળીનો આંતરિક પરિઘ છે.
આપેલ છે: $F = 105 \text{ dyne} = 105 \times 10^{-5} \text{ N} = 1.05 \times 10^{-3} \text{ N}$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 7 \times 10^{-2} \text{ N/m}$.
આપણે પરિઘ $L$ શોધવાનો છે.
સૂત્ર $L = F / T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = (1.05 \times 10^{-3} \text{ N}) / (7 \times 10^{-2} \text{ N/m})$
$L = 0.15 \times 10^{-1} \text{ m} = 0.015 \text{ m}$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $L = 0.015 \times 100 \text{ cm} = 1.5 \text{ cm}$.
આમ,કેશિકા નળીનો આંતરિક પરિઘ $1.5 \text{ cm}$ છે.

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોય છે (અંદરની અને બહારની). તેથી,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ થાય.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = d/2$,તેથી પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 8\pi(d/2)^2 = 2\pi d^2$.
અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = D/2$,તેથી અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 8\pi(D/2)^2 = 2\pi D^2$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 2\pi(D^2 - d^2)$ છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$W = T \times 2\pi(D^2 - d^2) = 2\pi(D^2 - d^2)T$.

(A) જ્યારે $R_1, R_2$ અને $R_3$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ત્રણ પારાના ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કુલ કદ જળવાઈ રહે છે કારણ કે પારાની ઘનતા અચળ હોય છે.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણ નાના ટીપાંના કદના સરવાળાને મોટા ટીપાના કદ સાથે સરખાવતા:
$\frac{4}{3}\pi R_1^3 + \frac{4}{3}\pi R_2^3 + \frac{4}{3}\pi R_3^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$
બંને બાજુ $\frac{4}{3}\pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$R_1^3 + R_2^3 + R_3^3 = R^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$R = (R_1^3 + R_2^3 + R_3^3)^{\frac{1}{3}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કેશ નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં $T, \theta, r,$ અને $\rho$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{g}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{h_2}{h_1} = \frac{g_1}{g_2}$,જ્યાં $g_1$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $g_2$ એ $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
$d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_2 = g_1 \left(1 - \frac{d}{R}\right) = g_1 \left(\frac{R-d}{R}\right)$ છે.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{h_2}{h_1} = \frac{g_1}{g_1 \left(\frac{R-d}{R}\right)} = \frac{R}{R-d}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કેશિકાના પરિઘ પર લાગતું પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉપરની તરફનું બળ $(F)$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = T \times L$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $L$ એ કેશિકાનો આંતરિક પરિઘ છે.
આપેલ છે: $F = 108 \ dyne = 108 \times 10^{-5} \ N$ (કારણ કે $1 \ dyne = 10^{-5} \ N$).
આપેલ છે: $T = 7.2 \times 10^{-2} \ N/m$.
આપણે પરિઘ $L$ શોધવાની જરૂર છે.
સૂત્ર $F = T \times L$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$L = F / T$
$L = (108 \times 10^{-5}) / (7.2 \times 10^{-2})$
$L = (108 / 7.2) \times 10^{-3}$
$L = 15 \times 10^{-3} \ m$
$L = 1.5 \times 10^{-2} \ m = 1.5 \ cm$.
તેથી,કેશિકાનો આંતરિક પરિઘ $1.5 \ cm$ છે.

(C) સાબુના પરપોટા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi r^2$ છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોવાથી,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $8\pi r^2$ થાય છે.
સમતાપી પરિસ્થિતિમાં,હવાના જથ્થા (મોલની સંખ્યા) અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $P$ એ પરપોટાની અંદરનું દબાણ છે,$V$ એ કદ છે અને $T$ અચળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
આમ,$n = \frac{PV}{RT} = \frac{(P_0 + 4S/r)(4/3 \pi r^3)}{RT} = \frac{4\pi}{3RT} (P_0 r^3 + 4Sr^2)$.
કુલ મોલની સંખ્યા સંરક્ષિત રહેતી હોવાથી: $n_1 + n_2 = n_{final}$.
જો $P_0$ એ વધારાના દબાણની સરખામણીમાં ખૂબ મોટું હોય,તો કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$,જે $R = (r_1^3 + r_2^3)^{1/3}$ આપે છે.
જો કે,આ પ્રકારના પ્રમાણભૂત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં જ્યાં સપાટીના ક્ષેત્રફળની ઉર્જા ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે,ત્યાં સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સંરક્ષિત રહે છે: $8\pi r_1^2 + 8\pi r_2^2 = 8\pi R^2$.
તેથી,$R^2 = r_1^2 + r_2^2$,જેનો અર્થ છે કે $R = (r_1^2 + r_2^2)^{1/2}$.

(C) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી, મોટા ટીપાનું કદ $64$ નાના ટીપાના કદના સરવાળા જેટલું થાય: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$r$ માટે ઉકેલતા, આપણને $R^3 = 64r^3$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{R}{4}$.
કરેલું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = T \times \Delta A$, જ્યાં $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4 \pi R^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 64 \times (4 \pi r^2) = 64 \times 4 \pi (\frac{R}{4})^2 = 64 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{16} = 16 \pi R^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 16 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 12 \pi R^2$.
તેથી, કરેલું કાર્ય $W = T \times 12 \pi R^2 = 12 \pi TR^2$.

(B) પૃષ્ઠતાણનું બળ પ્રવાહીના સંપર્કમાં રહેલી તકતીની સીમાઓ પર લાગે છે.
અહીં બે સીમાઓ છે: $R$ ત્રિજ્યાનો બહારનો પરિઘ અને $r$ ત્રિજ્યાના કાણાનો અંદરનો પરિઘ.
બહારની સીમા પર પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_1 = T \times (2 \pi R)$ છે.
અંદરની સીમા પર પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_2 = T \times (2 \pi r)$ છે.
બંને બળો તકતીને પ્રવાહીની સપાટી તરફ ખેંચે છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે તકતી પર લાગતું કુલ બળ આ બળોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે:
$F_{total} = F_1 + F_2 = 2 \pi RT + 2 \pi rT = 2 \pi (R + r) T$.

(A) ધારો કે મૂળ ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મૂળ ટીપાનું કદ એ $729$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 729 r^3$
$R = 9r$ અથવા $r = \frac{R}{9}$.
મૂળ ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E = T \times 4 \pi R^2$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$729$ નાના ટીપાંની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = 729 \times (T \times 4 \pi r^2)$ છે.
$U$ ના સમીકરણમાં $r = \frac{R}{9}$ મૂકતા:
$U = 729 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{9}\right)^2$
$U = 729 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{81}$
$U = 9 \times (T \times 4 \pi R^2) = 9E$.
તેથી,$\frac{E}{U} = \frac{E}{9E} = \frac{1}{9}$.
$\frac{E}{U} = \frac{1}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 9$ મળે છે.

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહી મેનિસ્કસનો આકાર પ્રવાહી અને ઘન સપાટી વચ્ચેના સંપર્ક કોણ $\theta$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જો સંપર્ક કોણ $\theta$ લઘુકોણ $(\theta < 90^{\circ})$ હોય,તો પ્રવાહી સપાટીને ભીંજવે છે અને મેનિસ્કસ અંતર્ગોળ હોય છે (દા.ત.,કાચમાં પાણી).
જો સંપર્ક કોણ $\theta$ ગુરુકોણ $(\theta > 90^{\circ})$ હોય,તો પ્રવાહી સપાટીને ભીંજવતું નથી અને મેનિસ્કસ બહિર્ગોળ હોય છે (દા.ત.,કાચમાં પારો).
તેથી,મેનિસ્કસ બહિર્ગોળ હોવા માટે,સંપર્ક કોણ $90^{\circ}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.

(C) નદીના સ્થિર પ્રવાહમાં,તળિયેથી $y$ ઊંચાઈએ રહેલા સ્તરનો વેગ $v$ એ સંબંધ $v \propto y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (લેમિનર પ્રવાહ ધારતા).
તેથી,$\frac{v_A}{y_A} = \frac{v_B}{y_B}$.
આપેલ છે: $v_A = 12 \ cm/s$,$y_A = 40 \ cm$,અને $y_B = 90 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{40} = \frac{v_B}{90}$.
$v_B = \frac{12 \times 90}{40} = \frac{1080}{40} = 27 \ cm/s$.
તેથી,સ્તર $B$ નો વેગ $27 \ cm/s$ છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V \propto r^2$ હોવાથી,$\frac{V_{big}}{V_{small}} = \frac{R^2}{r^2}$ મળે.
આપેલ છે કે $n$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,તેથી કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R^3 = nr^3$ અથવા $R = n^{1/3}r$.
વેગના ગુણોત્તરમાં $R^2 = n^{2/3}r^2$ મૂકતા,આપણને $V_{big} = V \cdot \frac{R^2}{r^2}$ મળે છે.

(D) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર વરસાદના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$,જ્યાં $\rho$ એ ટીપાંની ઘનતા છે,$\sigma$ એ હવાની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
બંને ટીપાં માટે આ તમામ પરિમાણો અચળ હોવાથી,આપણને $v_t \propto r^2$ મળે છે.
ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{t1}}{v_{t2}} = \frac{9}{4}$ આપેલ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
ગોળાકાર ટીપાંનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $V \propto r^3$.
તેમના કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) જ્યારે દડો અચળ ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $(W = mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,$F_v + F_B = W$,તેથી $F_v = W - F_B$.
વજનબળ $W = mg$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત ગ્લિસરીનના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = V d_2 g$,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
$m = V d_1$ હોવાથી,$V = m/d_1$ મળે.
$V$ ની કિંમત ઉત્પ્લાવક બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F_B = (m/d_1) d_2 g = mg(d_2/d_1)$.
તેથી,સ્નિગ્ધતા બળ $F_v = mg - mg(d_2/d_1) = mg(1 - d_2/d_1)$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી, મોટા ટીપાંનું કદ $125$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 125 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 125 r^3 \implies R = 5r$.
ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે દર્શાવે છે કે $v_t \propto r^2$.
ધારો કે નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v$ છે અને મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V$ છે.
$\frac{V}{v} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (5)^2 = 25$.
આપેલ છે કે $v = 4 \,cm/s$, તેથી $V = 25 \times 4 \,cm/s = 100 \,cm/s$.
મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા: $100 \,cm/s = 1 \,m/s$.

(C) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$\rho$ ઘનતા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતો ગોળો જ્યારે $\rho_L$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં પડે છે,ત્યારે તેનો ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_L)$ થાય છે.
અહીં બંને ગોળાઓ સમાન ટર્મિનલ ઝડપથી પડે છે,તેથી: $r_1^2 (\rho_1 - \rho_L) = r_2^2 (\rho_2 - \rho_L)$.
ત્રિજ્યાઓના ગુણોત્તર માટે: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2 - \rho_L}{\rho_1 - \rho_L}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{11 \times 10^3 - 2 \times 10^3}{8 \times 10^3 - 2 \times 10^3} = \frac{9 \times 10^3}{6 \times 10^3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ થાય.

(C) સ્થાનાંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જેમાં વેગની સંજ્ઞા ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. પથલંબાઈ (અંતર) એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જેમાં વેગનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લેવામાં આવે છે.
$t = 0$ થી $2 \ s$ માટે: વેગ $v = 3 \ m/s$. ક્ષેત્રફળ $= 3 \times 2 = 6 \ m$.
$t = 2$ થી $3 \ s$ માટે: વેગ $v = -2 \ m/s$. ક્ષેત્રફળ $= -2 \times 1 = -2 \ m$.
$t = 3$ થી $5 \ s$ માટે: વેગ $v = 2 \ m/s$. ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 2 = 4 \ m$.
$t = 5$ થી $6 \ s$ માટે: વેગ $v = -2 \ m/s$. ક્ષેત્રફળ $= -2 \times 1 = -2 \ m$.
$t = 6$ થી $8 \ s$ માટે: વેગ $v = 2 \ m/s$. ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 2 = 4 \ m$.
કુલ સ્થાનાંતર $= 6 - 2 + 4 - 2 + 4 = 10 \ m$.
કુલ પથલંબાઈ $= |6| + |-2| + |4| + |-2| + |4| = 6 + 2 + 4 + 2 + 4 = 18 \ m$.
સ્થાનાંતર અને પથલંબાઈનો ગુણોત્તર $= 10 / 18 = 5 / 9$.

(A) વેગના ઘટકો સ્થાનના યામના સમય સાપેક્ષ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(bt^2) = 2bt$
ઝડપ $v$ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
$v = \sqrt{(2at)^2 + (2bt)^2}$
$v = \sqrt{4a^2t^2 + 4b^2t^2}$
$v = \sqrt{4t^2(a^2 + b^2)}$
$v = 2t \sqrt{a^2 + b^2}$

(A) વેગમાં થતો ફેરફાર $(\Delta v)$ એ પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે, તેથી પ્રારંભિક વેગ $(u = 0 \ m/s)$.
$a-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $(b = 10 \ s)$ અને ઊંચાઈ $(h = 8 \ m/s^2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 10 \ s \times 8 \ m/s^2 = 40 \ m/s$.
કારણ કે $\Delta v = v_{max} - u = 40 \ m/s$ અને $u = 0 \ m/s$, તેથી મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = 40 \ m/s$ થાય.

(D) ધારો કે પદાર્થ $A$ નો વેગ $v_A = u$ (અચળ) છે.
ધારો કે પદાર્થ $B$ નો વેગ $v_B = at$ (સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગ $a$ સાથે) છે.
જ્યારે તેમના વેગ સમાન થાય ત્યારે $v_A = v_B$,એટલે કે $u = at$. તેથી,લાગતો સમય $t = \frac{u}{a}$ છે.
સમય $t$ માં પદાર્થ $A$ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_A = u \cdot t = u \left( \frac{u}{a} \right) = \frac{u^2}{a}$ છે.
સમય $t$ માં પદાર્થ $B$ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_B = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} a \left( \frac{u}{a} \right)^2 = \frac{u^2}{2a}$ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = s_A - s_B = \frac{u^2}{a} - \frac{u^2}{2a} = \frac{u^2}{2a}$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને સમાન પ્રવેગ $a$ છે.
$n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતરનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
$u = 0$ હોવાથી,$S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$.
$n$ સેકન્ડમાં કપાયેલ કુલ અંતરનું સૂત્ર: $S_{total} = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}an^2 = \frac{1}{2}an^2$.
$n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર અને $n$ સેકન્ડમાં કપાયેલ કુલ અંતરનો ગુણોત્તર:
ગુણોત્તર $= \frac{S_n}{S_{total}} = \frac{\frac{a}{2}(2n - 1)}{\frac{1}{2}an^2} = \frac{2n - 1}{n^2} = \frac{2n}{n^2} - \frac{1}{n^2} = \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે અને નીચેની દિશા ઋણ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = +5 \ m/s$.
સમય $t = 2 \ s$.
પ્રવેગ $a = -g = -10 \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = (5)(2) + \frac{1}{2}(-10)(2)^2$
$s = 10 - 5(4)$
$s = 10 - 20 = -10 \ m$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સ્થાનાંતર શરૂઆતના બિંદુથી $10 \ m$ નીચે છે.
તેથી,પુલની ઊંચાઈ $10 \ m$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $V$ છે અને અંતિમ ઝડપ $0$ છે. કાપેલું અંતર $s$ છે અને પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = V^2 - 2as$,તેથી $s = \frac{V^2}{2a}$.
વળી,$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = V - at$,તેથી $t = \frac{V}{a}$.
હવે,નવા કિસ્સા માટે,પ્રારંભિક ઝડપ $u' = nV$,અંતિમ ઝડપ $v' = 0$,અંતર $s' = s$,અને સમય $t' = t$ છે. ધારો કે નવો પ્રતિપ્રવેગ $a'$ છે.
$v' = u' - a't'$ પરથી,$0 = nV - a't$. $t = \frac{V}{a}$ મૂકતા,$0 = nV - a'(\frac{V}{a})$,જે દર્શાવે છે કે $a' = na$.
અંતરની શરત સાથે ચકાસતા: $s' = u't' - \frac{1}{2}a't'^2$. $s' = s = \frac{V^2}{2a}$,$u' = nV$,$t' = t = \frac{V}{a}$,અને $a' = na$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{V^2}{2a} = (nV)(\frac{V}{a}) - \frac{1}{2}(na)(\frac{V}{a})^2 = \frac{nV^2}{a} - \frac{nV^2}{2a} = \frac{nV^2}{2a}$.
આ કિંમત $\frac{V^2}{2a}$ જેટલી થવા માટે $n = 1$ હોવું જોઈએ. જોકે,પ્રશ્ન બંને શરતો સંતોષવા માટે જરૂરી પ્રતિપ્રવેગ પૂછે છે. આપેલી મર્યાદાઓ મુજબ,સમયની શરત સંતોષવા માટે પ્રતિપ્રવેગ $n \cdot a$ હોવો જોઈએ.

(D) ધારો કે ઉપરની તરફની ગતિનો કુલ સમય $T$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે. સમીકરણ $v = u - gT$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u - gT$,તેથી $T = u/g$ મળે.
ઉપરની ગતિના છેલ્લા '$t$' સેકન્ડ દરમિયાન,દડો $(T-t)$ સમયને અનુરૂપ ઊંચાઈથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી ગતિ કરે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ગતિને ઉલટી રીતે વિચારો: દડો મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ '$t$' સેકન્ડ માટે નીચે પડે છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી નીચેની ગતિ માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા $(u_{initial} = 0)$:
$s = 0 \cdot t + \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}gt^2$.
આમ,ઉપરની ગતિના છેલ્લા '$t$' સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $\frac{1}{2}gt^2$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષેપણ ખૂણો છે.
આના પરથી,આપણે પ્રારંભિક વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = \sqrt{2gH}$ મેળવી શકીએ છીએ.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર: $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
ઉડ્ડયન સમયના સૂત્રમાં $u \sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2 \sqrt{2gH}}{g} = 2 \sqrt{\frac{2gH}{g^2}} = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $1$. પ્રથમ,$2 \mu F$ અને $4 \mu F$ કેપેસિટરના સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ગણો.
$C_p = 2 \mu F + 4 \mu F = 6 \mu F$.
$2$. હવે,સર્કિટમાં $4 \mu F$ કેપેસિટર અને સમતુલ્ય $6 \mu F$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જે $9 V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલા છે.
$3$. સમગ્ર સર્કિટનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{eq})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4 \mu F} + \frac{1}{6 \mu F} = \frac{3 + 2}{12 \mu F} = \frac{5}{12 \mu F}$.
$C_{eq} = \frac{12}{5} \mu F = 2.4 \mu F$.
$4$. બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $(Q)$:
$Q = C_{eq} \times V = 2.4 \mu F \times 9 V = 21.6 \mu C$.
$5$. $4 \mu F$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમાંથી સમાન વિદ્યુતભાર $Q = 21.6 \mu C$ વહેશે.
$6$. $4 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_1)$:
$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{21.6 \mu C}{4 \mu F} = 5.4 V$.

(B) બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ બિંદુ $A$ અને $D$ વચ્ચેના પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ નક્કી કરીશું.
$1$. $5 \ \Omega$ નો અવરોધ $A$ અને $B$ વચ્ચે છે. $10 \ \Omega$ નો અવરોધ $A$ અને $C$ વચ્ચે છે. $10 \ \Omega$ નો અવરોધ $B$ અને $C$ વચ્ચે છે. આ $A, B, C$ વચ્ચે ડેલ્ટા જોડાણ બનાવે છે. ડેલ્ટા $(5 \ \Omega, 10 \ \Omega, 10 \ \Omega)$ ને સ્ટારમાં રૂપાંતરિત કરતા,સમતુલ્ય અવરોધો $R_A = (5 \times 10) / (5 + 10 + 10) = 2 \ \Omega$,$R_B = (5 \times 10) / 25 = 2 \ \Omega$,અને $R_C = (10 \times 10) / 25 = 4 \ \Omega$ મળે છે.
$2$. હવે,પરિપથ સરળ બને છે: $R_A$ એ $(R_B + 10 \ \Omega)$ અને $(R_C + 20 \ \Omega)$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$3$. સમાંતર શાખા $B$ અને $D$ વચ્ચે છે. ઉપરની શાખાનો અવરોધ $2 + 10 = 12 \ \Omega$ છે. નીચેની શાખાનો અવરોધ $4 + 20 = 24 \ \Omega$ છે.
$4$. આ બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = (12 \times 24) / (12 + 24) = 288 / 36 = 8 \ \Omega$ છે.
$5$. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_A + R_p = 2 \ \Omega + 8 \ \Omega = 10 \ \Omega$ છે.
$6$. બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = V / R_{eq} = 5 \ V / 10 \ \Omega = 0.5 \ A$ છે.

(B) આ પરિપથમાં બે સમાન કોષો છે, જેમાંથી દરેકનું વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $E = 3 \text{ V}$ અને આંતરિક અવરોધ $r = 3 \Omega$ છે, જે સમાંતર જોડાણમાં છે. આ કોષો $R = 6 \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કોષો માટે, સમતુલ્ય $EMF$ $(E_{eq})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2} = \frac{3/3 + 3/3}{1/3 + 1/3} = \frac{1 + 1}{2/3} = \frac{2}{2/3} = 3 \text{ V}$.
સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $(r_{eq})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \implies r_{eq} = 1.5 \Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r_{eq} = 6 + 1.5 = 7.5 \Omega$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ $6 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ:
$I = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{3}{7.5} = \frac{30}{75} = \frac{2}{5} \text{ A}$.

(C) વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_B)$ શોધવા માટે,આપણે બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રવાહ $I = 2 \ A$ ની દિશામાં $A$ થી $B$ તરફ જતાં:
$V_A - I \cdot R_1 - E - I \cdot R_2 = V_B$
અહીં,$R_1 = 2 \ \Omega$,$R_2 = 1 \ \Omega$,અને $E = 3 \ V$ છે.
પ્રવાહ $A$ થી $B$ તરફ વહે છે,તેથી આપણે પહેલા $2 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થઈએ છીએ,ત્યારબાદ બેટરી (ધન ટર્મિનલમાં પ્રવેશતા,તેથી $3 \ V$ બાદ કરીએ છીએ),અને અંતે $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થઈએ છીએ.
$V_A - (2 \ A \cdot 2 \ \Omega) - 3 \ V - (2 \ A \cdot 1 \ \Omega) = V_B$
$V_A - 4 \ V - 3 \ V - 2 \ V = V_B$
$V_A - 9 \ V = V_B$
$V_A - V_B = 9 \ V$
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $9 \ V$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $(G)$ શોધો:
$G = \frac{V_g}{I_g} = \frac{80 \times 10^{-3} \text{ V}}{16 \times 10^{-3} \text{ A}} = 5 \Omega$.
ગેલ્વેનોમીટરને $V$ રેન્જના વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,તેની સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ $R$ જોડવો પડે છે.
શ્રેણી અવરોધ માટેનું સૂત્ર $R = \frac{V}{I_g} - G$ છે.
અહીં $V = 160 \text{ V}$ અને $I_g = 16 \times 10^{-3} \text{ A}$ આપેલ છે:
$R = \frac{160}{16 \times 10^{-3}} - 5 = 10000 - 5 = 9995 \Omega$.
આમ,$9995 \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડવો જરૂરી છે.

(C) ધારો કે કુલ પ્રવાહ $I$ છે. ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g = 5 \% \text{ of } I = 0.05I = \frac{I}{20}$ છે.
શંટ અવરોધ $S$ એ $G$ અવરોધ ધરાવતા ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ હોવાથી,શંટમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_s = I - I_g = I - 0.05I = 0.95I = \frac{19I}{20}$ થશે.
સમાંતર જોડાણ માટે,ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $I_g G = I_s S$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{I}{20}) G = (\frac{19I}{20}) S$.
$S$ માટે ઉકેલતા: $S = \frac{G}{19}$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ શંટ અવરોધ છે અને $l$ એ સંતુલન લંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $R_1 = 5 \Omega$,$l_1 = 250 \ cm$.
બીજા કિસ્સા માટે: $R_2 = 20 \Omega$,$l_2 = 400 \ cm$.
$EMF$ $E$ અચળ હોવાથી,સંતુલન લંબાઈ ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{R_1(R_2+r)}{R_2(R_1+r)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{250}{400} = \frac{5(20+r)}{20(5+r)}$.
$\frac{5}{8} = \frac{20+r}{4(5+r)}$.
$20(5+r) = 8(20+r)$.
$100 + 20r = 160 + 8r$.
$12r = 60$.
$r = 5 \Omega$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરની સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$V = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$E$ $EMF$ અને $r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા કોષને $R$ બાહ્ય અવરોધ સાથે શંટ કરતા,ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E \frac{R}{R+r}$ મળે છે.
તેથી,$E \frac{R}{R+r} = kl$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $E \frac{5}{5+r} = k(200) \quad ... (1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $E \frac{15}{15+r} = k(300) \quad ... (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{5}{5+r} \times \frac{15+r}{15} = \frac{200}{300}$
$\frac{15+r}{3(5+r)} = \frac{2}{3}$
$\frac{15+r}{5+r} = 2$
$15 + r = 10 + 2r$
$r = 5 \ \Omega$.
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $5 \ \Omega$ છે.

(B) ધારો કે પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I$ છે.
આપેલ છે કે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $(I_g)$ એ $I$ ના $4 \%$ છે,તેથી $I_g = 0.04 I$.
શંટ અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $(I_s)$ એ $I - I_g = I - 0.04 I = 0.96 I$ થશે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $I_g G = I_s S$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.04 I) G = (0.96 I) S$.
$S$ માટે ઉકેલતા: $S = \frac{0.04 I G}{0.96 I} = \frac{4}{96} G = \frac{G}{24}$.
તેથી,શંટ અવરોધ $\frac{G}{24}$ છે.

(C) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ને $k = V/L$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $V$ અચળ છે,જો લંબાઈ $L$ વધારવામાં આવે,તો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ઘટે છે.
તટસ્થ બિંદુ ત્યારે મળે છે જ્યારે સંતુલન લંબાઈ $l$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો એ કોષના $EMF$ $E$ જેટલો હોય,એટલે કે $E = kl$.
કારણ કે $E$ અચળ છે અને $k$ ઘટ્યો છે,તેથી સંતુલન લંબાઈ $l = E/k$ વધવી જોઈએ.
તેથી,તટસ્થ બિંદુ મોટા અંતરે મળે છે.

(C) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. $L$ લંબાઈના મૂળ તાર માટે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_1 = \frac{V}{L}$ છે.
સંતુલન બિંદુ $l_1 = \frac{L}{5}$ પર છે,તેથી $E = k_1 l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{5} = \frac{V}{5}$.
જ્યારે તારની લંબાઈમાં $\frac{L}{2}$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ થાય છે.
તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે. નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = \frac{V}{L'} = \frac{V}{3L/2} = \frac{2V}{3L}$ થાય છે.
તે જ કોષ $E$ માટે,નવું સંતુલન બિંદુ $x$ એ $E = k_2 x$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{5} = \left( \frac{2V}{3L} \right) x$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{V}{5} \cdot \frac{3L}{2V} = \frac{3L}{10}$.

(A) ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે મોટાભાગના પ્રવાહને ઓછા અવરોધવાળા માર્ગ દ્વારા પસાર કરવો પડે છે જેથી ગેલ્વેનોમીટરની કોઈલ બળી ન જાય અને ઉપકરણ વધુ પ્રવાહ માપી શકે.
આ ઓછા અવરોધને શંટ $(S)$ કહેવામાં આવે છે અને તેને ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં જોડવો આવશ્યક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વોલ્ટમીટરની રેન્જ વધારવા માટે,વોલ્ટમીટર સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ $R$ જોડવો આવશ્યક છે.
ધારો કે $V$ એ મૂળ રેન્જ $(10 \ V)$ છે,$V'$ એ નવી રેન્જ $(15 \ V)$ છે,$G$ એ વોલ્ટમીટરનો આંતરિક અવરોધ $(50 \ \Omega)$ છે,અને $I_g$ એ પૂર્ણ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન કરંટ છે.
પ્રથમ,પૂર્ણ-સ્કેલ કરંટની ગણતરી કરો: $I_g = V / G = 10 \ V / 50 \ \Omega = 0.2 \ A$.
હવે,નવી રેન્જ $V'$ માટે,કુલ અવરોધ $G + R$ થાય છે. તેથી,$V' = I_g(G + R)$.
કિંમતો મૂકતા: $15 = 0.2(50 + R)$.
$15 / 0.2 = 50 + R$.
$75 = 50 + R$.
$R = 75 - 50 = 25 \ \Omega$.
તેથી,$25 \ \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડવો જોઈએ.

(B) પોટેન્શિયોમીટરમાં,e.m.f. $E$ એ સંતુલન લંબાઈ $\ell$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E = k\ell$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
પ્રથમ કોષ માટે,$E_1 = k\ell_1$.
જ્યારે બે કોષોને વિરોધમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $(E_1 - E_2)$ થાય છે. નવી સંતુલન લંબાઈ $\ell_2$ છે,તેથી $(E_1 - E_2) = k\ell_2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{k\ell_1}{k\ell_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $E_1\ell_2 = \ell_1(E_1 - E_2) = \ell_1E_1 - \ell_1E_2$ મળે.
પદોને ગોઠવતા: $\ell_1E_2 = E_1(\ell_1 - \ell_2)$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\ell_1}{\ell_1 - \ell_2}$ થાય.

(B) ધારો કે $k$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે માપવામાં આવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $E_1$ છે. તેથી,$E_1 = k \times 3.60$.
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કોષો શ્રેણીમાં વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલા છે. તેથી કુલ e.m.f. $E_1 - E_2$ થાય છે. તેથી,$E_1 - E_2 = k \times 0.90$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $E_1 / (E_1 - E_2) = 3.60 / 0.90 = 4$.
આનો અર્થ એ છે કે $E_1 = 4(E_1 - E_2) = 4E_1 - 4E_2$.
પુનઃગોઠવણી કરતા $3E_1 = 4E_2$ મળે છે,તેથી $E_1 / E_2 = 4/3$.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,સંતુલન લંબાઈ $l_1 = \frac{L}{4}$ છે. e.m.f. $E = k \cdot l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{4} = \frac{V}{4}$ થાય.
જ્યારે તારની લંબાઈમાં $\frac{L}{3}$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L + \frac{L}{3} = \frac{4L}{3}$ થાય છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k' = \frac{V}{L'} = \frac{V}{4L/3} = \frac{3V}{4L}$ થાય.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ છે. તેથી $E = k' \cdot l_2$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{V}{4} = \frac{3V}{4L} \cdot l_2$ મળે.
$l_2$ માટે ઉકેલતા,$l_2 = \frac{V}{4} \cdot \frac{4L}{3V} = \frac{L}{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે મુખ્ય પ્રવાહ $I$ છે.
આપેલ છે કે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g = 10 \% \text{ of } I = 0.1 I$ છે.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_s = I - I_g = I - 0.1 I = 0.9 I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $I_g G = I_s S$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.1 I) \times 99 = (0.9 I) \times S$.
$9.9 I = 0.9 I \times S$.
$S = \frac{9.9}{0.9} = 11 \Omega$.
આમ,શંટ અવરોધનું મૂલ્ય $11 \Omega$ છે.

(C) ધારો કે $G = 100 \ \Omega$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $I_g$ એ ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન કરંટ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કુલ અવરોધ $(X + G)$ છે. વોલ્ટેજ રેન્જ $V_1 = 15 \ V$ છે.
તેથી,$V_1 = I_g(X + G) \implies 15 = I_g(X + 100) \quad ... (1)$
બીજા કિસ્સામાં,રેન્જ બમણી થાય છે,તેથી $V_2 = 2 \times 15 = 30 \ V$. કુલ અવરોધ $(X + 1500 + G)$ છે.
તેથી,$V_2 = I_g(X + 1500 + G) \implies 30 = I_g(X + 1500 + 100) \implies 30 = I_g(X + 1600) \quad ... (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{30}{15} = \frac{I_g(X + 1600)}{I_g(X + 100)}$
$2 = \frac{X + 1600}{X + 100}$
$2(X + 100) = X + 1600$
$2X + 200 = X + 1600$
$X = 1400 \ \Omega$.

(D) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k)$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ થતા પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે,કુલ લંબાઈ $L = 5 \ m$ અને કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 4 \ V$.
$k = \frac{V}{L} = \frac{4 \ V}{5 \ m} = 0.8 \ V/m$.
સંતુલન લંબાઈ $l = 200 \ cm = 2 \ m$ આપેલ છે.
કોષનું e.m.f. $(E)$ એ $E = k \times l$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$E = 0.8 \ V/m \times 2 \ m = 1.6 \ V$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,કુલ અવરોધ $(G + 100) \Omega$ છે અને રેન્જ $V = I_g(G + 100)$ છે.
બીજા કિસ્સા માટે,કુલ અવરોધ $(G + 1000) \Omega$ છે અને રેન્જ $2V = I_g(G + 1000)$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{2V}{V} = \frac{I_g(G + 1000)}{I_g(G + 100)}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $2 = \frac{G + 1000}{G + 100}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2(G + 100) = G + 1000$ મળે.
$2G + 200 = G + 1000$.
$G = 1000 - 200 = 800 \Omega$.

(C) વોલ્ટમીટરનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_g + R_s = 80 \Omega + 920 \Omega = 1000 \Omega$ છે.
પૂર્ણ-સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ $I_g = 10 \text{ mA} = 0.01 \text{ A}$ છે.
વોલ્ટમીટર જે મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_{max}$ માપી શકે છે તે $V_{max} = I_g \times R_{total} = 0.01 \text{ A} \times 1000 \Omega = 10 \text{ V}$ દ્વારા મળે છે.
વોલ્ટમીટરનું લઘુત્તમ માપન $0.2 \text{ V}$ પ્રતિ વિભાગ આપેલ છે.
વિભાગોની સંખ્યા $N$ ની ગણતરી $N = \frac{V_{max}}{\text{Least Count}} = \frac{10 \text{ V}}{0.2 \text{ V/division}} = 50 \text{ વિભાગો}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.

(C) ધારો કે $V_{total} = 2.5 \ V$ એ $L$ લંબાઈના પોટેન્શિયોમીટરના તાર પર લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ છે.
ધારો કે $V_x = 1.08 \ V$ એ $l = 2.16 \ m$ લંબાઈ પર સંતુલિત થતા કોષનું e.m.f. છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{total}}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_x = k \cdot l = \left( \frac{V_{total}}{L} \right) \cdot l$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1.08 = \left( \frac{2.5}{L} \right) \cdot 2.16$.
$L$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $L = \frac{2.5 \cdot 2.16}{1.08}$.
અહીં $\frac{2.16}{1.08} = 2$ હોવાથી,આપણને $L = 2.5 \cdot 2 = 5 \ m$ મળે છે.
તેથી,પોટેન્શિયોમીટરના તારની લંબાઈ $5 \ m$ છે.

(D) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે ચાર જંકશન $J_1$ (ઉપર-ડાબે),$J_2$ (ઉપર-જમણે),$J_3$ (નીચે-ડાબે),અને $J_4$ (નીચે-જમણે) છે.
જંકશન $J_1$ પર: $20 \ A$ દાખલ થાય છે,$15 \ A$ નીચેની તરફ બહાર નીકળે છે,અને $x \ A$ જમણી તરફ જાય છે. તેથી,$20 = 15 + x \implies x = 5 \ A$.
જંકશન $J_3$ પર: ઉપરથી $15 \ A$ અને નીચે-ડાબેથી $5 \ A$ દાખલ થાય છે. કુલ પ્રવાહ $15 + 5 = 20 \ A$ જમણી તરફ બહાર નીકળે છે.
જંકશન $J_2$ પર: ડાબેથી $5 \ A$ અને ઉપર-જમણેથી $3 \ A$ દાખલ થાય છે. કુલ પ્રવાહ $5 + 3 = 8 \ A$ નીચેની તરફ બહાર નીકળે છે.
જંકશન $J_4$ પર: ડાબેથી $20 \ A$ અને ઉપરથી $8 \ A$ દાખલ થાય છે. કુલ પ્રવાહ $I = 20 + 8 = 28 \ A$ એ $I$ શાખામાંથી બહાર નીકળે છે.
આમ,પ્રવાહ $I$ નું મૂલ્ય $28 \ A$ છે.

(C) ધારો કે જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય ત્યારે નોડ $B$ પરનો પોટેન્શિયલ $V_B$ છે. જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ હોય,ત્યારે જો સ્વિચમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ શૂન્ય હોય તો નોડ $B$ પરનો પોટેન્શિયલ સમાન રહે છે.
ગેલ્વેનોમીટરનું રીડિંગ સમાન રહેતું હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટરની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત સ્વિચ $S$ ની સ્થિતિથી સ્વતંત્ર હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે સ્વિચ બંધ હોય ત્યારે નોડ $B$ પરનો પોટેન્શિયલ નોડ $D$ પરના પોટેન્શિયલ જેટલો હોવો જોઈએ (એટલે કે $V_B = V_D$),અથવા સ્વિચમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ શૂન્ય છે.
નોડ $B$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા:
જ્યારે $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પ્રવાહ $I_P$ એ $P$ માંથી અને $I_Q$ એ $Q$ માંથી વહે છે.
જ્યારે $S$ બંધ હોય,જો ગેલ્વેનોમીટરનું રીડિંગ બદલાતું નથી,તો તેનો અર્થ એ છે કે $B$ પરનો પોટેન્શિયલ બદલાતો નથી.
સ્વિચમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ શૂન્ય રહે તે માટે,$B$ પરનો પોટેન્શિયલ $D$ પરના પોટેન્શિયલ જેટલો હોવો જોઈએ.
સર્કિટને જોતા,પ્રવાહ $I_R$ એ $R$ માંથી અને $I_G$ એ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહે છે.
ગેલ્વેનોમીટરનું રીડિંગ બદલાતું ન રહેવાની શરત લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે કે $I_R = I_G$.

(B) ગેલ્વેનોમીટરમાં પ્રવાહ શૂન્ય હોવા માટે,અવરોધ '$R$' ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત તે શાખામાં રહેલી બેટરીના ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ જેટલો હોવો જોઈએ,જે $6 \text{ V}$ છે.
ધારો કે જમણી લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ '$I$' છે.
જમણી લૂપમાં કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 \text{ V} - I(4 \Omega) - 6 \text{ V} = 0$
$4 \text{ V} = I(4 \Omega)$
$I = 1 \text{ A}$
ગેલ્વેનોમીટરમાં પ્રવાહ શૂન્ય હોવાથી,સમગ્ર પ્રવાહ '$I$' એ અવરોધ '$R$' માંથી વહે છે.
અવરોધ '$R$' માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$V = I \times R$
$6 \text{ V} = 1 \text{ A} \times R$
$R = 6 \Omega$

(B) પરિપથમાં બે બેટરીઓ શ્રેણીમાં વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલી છે. તેથી કુલ e.m.f. $E_{net} = 8 \text{ V} - 4 \text{ V} = 4 \text{ V}$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r_1 + r_2 = 9 \Omega + 1 \Omega + 2 \Omega = 12 \Omega$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{4 \text{ V}}{12 \Omega} = \frac{1}{3} \text{ A}$ મળે.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ બાહ્ય અવરોધ $R = 9 \Omega$ પરનો વોલ્ટેજ છે.
તેથી $V_{PQ} = I \times R = \frac{1}{3} \text{ A} \times 9 \Omega = 3 \text{ V}$.

(B) કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ એ ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. તે દર્શાવે છે કે કોઈપણ બંધ લૂપમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ એ છે કે સ્ત્રોત દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઉર્જા એ સર્કિટના ઘટકોમાં વપરાતી ઉર્જા જેટલી જ હોય છે.
કિર્ચોફનો કરંટનો નિયમ $(KCL)$ એ વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. તે દર્શાવે છે કે જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ એ છે કે જંકશનમાં પ્રવેશતો કુલ વિદ્યુતભાર તેમાંથી બહાર નીકળતા કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.

(B) કિરચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા કુલ પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા કુલ પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$1$. પ્રથમ જંકશન પર (ડાબી બાજુ): દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ $4 \ A + 4 \ A = 8 \ A$ છે. આ પ્રવાહ મધ્ય શાખામાંથી વહે છે.
$2$. બીજા જંકશન પર (જમણી બાજુ): $8 \ A$ પ્રવાહ જંકશનમાં દાખલ થાય છે. બહાર નીકળતા પ્રવાહ $2 \ A$ અને બાકીનો પ્રવાહ છે જે આગળની શાખામાં જાય છે.
ધારો કે આગળની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $I_{branch}$ છે.
$8 \ A = 2 \ A + I_{branch} \implies I_{branch} = 6 \ A$.
$3$. ત્રીજા જંકશન પર: $6 \ A$ પ્રવાહ જંકશનમાં દાખલ થાય છે. બહાર નીકળતા પ્રવાહ $2.6 \ A$ અને '$i$' છે.
$6 \ A = 2.6 \ A + i$
$i = 6 \ A - 2.6 \ A = 3.4 \ A$.

(D) આ પરિપથમાં બે બેટરીઓ વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલી છે અને એક અવરોધ શ્રેણીમાં છે.
પરિપથનું સમતુલ્ય વિદ્યુતચાલક બળ $(V_{eq})$ એ બંને વોલ્ટેજનો તફાવત છે કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલ છે:
$V_{eq} = 100 \ V - 5 \ V = 95 \ V$
પરિપથમાં કુલ અવરોધ $(R)$ $19 \ \Omega$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{V_{eq}}{R}$
$I = \frac{95 \ V}{19 \ \Omega} = 5 \ A$
તેથી,પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $5 \ A$ છે.

(C) વાહક માટે,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ લેટીસ આયનોના ઉષ્મીય કંપનો વધે છે,જેના કારણે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન સાથેની અથડામણો વધુ વારંવાર થાય છે. આના પરિણામે વાહકની અવરોધકતા (વિશિષ્ટ અવરોધ) માં વધારો થાય છે.
અર્ધવાહક માટે,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ સહસંયોજક બંધો તૂટવાને કારણે વધુ વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ) ઉત્પન્ન થાય છે. વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા ઘનતામાં આ વધારો અર્ધવાહકની અવરોધકતા (વિશિષ્ટ અવરોધ) ને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે.
તેથી,વાહકની વિશિષ્ટ અવરોધકતા વધે છે અને અર્ધવાહકની વિશિષ્ટ અવરોધકતા ઘટે છે.

(B) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના ધરાવે છે. મધ્યના અવરોધ $(5 \Omega)$ માંથી કોઈ પ્રવાહ ન વહે તે માટે બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$.
અહીં,$R_{AB} = 10 \Omega$,$R_{AD} = 20 \Omega$,$R_{BC} = 15 \Omega$,અને $R_{DC} = 30 \Omega$ છે.
ગુણોત્તર તપાસતા: $\frac{10}{20} = 0.5$ અને $\frac{15}{30} = 0.5$.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે અને $5 \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સ્થિતિમાં,$10 \Omega$ અને $15 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને $20 \Omega$ અને $30 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ: $R_1 = 10 \Omega + 15 \Omega = 25 \Omega$.
નીચેની શાખાનો અવરોધ: $R_2 = 20 \Omega + 30 \Omega = 50 \Omega$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{25} + \frac{1}{50} = \frac{2+1}{50} = \frac{3}{50}$.
$R_{eq} = \frac{50}{3} \Omega \approx 16.67 \Omega$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $17 \Omega$ મળે છે.

(B) આપેલ સર્કિટ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે $A$ પરનો પોટેન્શિયલ $0 \ V$ છે અને $B$ પરનો પોટેન્શિયલ $16 \ V$ છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી (બધા અવરોધો $R = 4 \ \Omega$ સમાન છે),$C$ અને $D$ પરનો પોટેન્શિયલ સમાન હશે.
જોકે,આપણે સર્કિટને સરળ બનાવી શકીએ છીએ કારણ કે $ACB$ માર્ગમાં બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો છે,જેમાંથી દરેક $R = 4 \ \Omega$ છે.
$ACB$ માર્ગનો કુલ અવરોધ $R_{ACB} = R + R = 4 \ \Omega + 4 \ \Omega = 8 \ \Omega$ છે.
$ACB$ માર્ગ પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો જ છે,જે $16 \ V$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$ACB$ માર્ગમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{ACB}} = \frac{16 \ V}{8 \ \Omega} = 2 \ A$ મળે છે.

(B) ધારો કે ડાબી ગેપમાં અવરોધ $R_1 = 2 \Omega$ અને જમણી ગેપમાં $R_2 = 3 \Omega$ છે. ધારો કે સંતુલન લંબાઈ $l_1$ છે. મીટર-બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies \frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
$l_1$ માટે ઉકેલતા: $200 - 2l_1 = 3l_1 \implies 5l_1 = 200 \implies l_1 = 40 \ cm$.
જ્યારે $3 \Omega$ સાથે સમાંતરમાં $x$ શંટ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_2' = \frac{3x}{3+x}$ થાય છે.
નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = l_1 + 22.5 = 40 + 22.5 = 62.5 \ cm$.
ફરીથી સિદ્ધાંત લાગુ પાડતા: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{2}{\frac{3x}{3+x}} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2(3+x)}{3x} = \frac{5}{3} \implies \frac{6+2x}{3x} = \frac{5}{3}$.
ગુણાકાર કરતા: $3(6+2x) = 15x \implies 18 + 6x = 15x \implies 9x = 18 \implies x = 2 \Omega$.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે શરૂઆતની તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_1 = V$ છે.
ધારો કે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ છે જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_2 = 9V$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{V}{9V}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{3}$.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
વર્ક ફંક્શન અવગણ્ય હોવાથી,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા જેટલી જ હશે: $K = \frac{hc}{\lambda}$.
ઈલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K = \frac{p^2}{2m}$,તેથી $p = \sqrt{2mK}$.
$K = \frac{hc}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $p = \sqrt{2m \cdot \frac{hc}{\lambda}}$ મળે છે.
આમ,$\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda_1^2 = \frac{h^2}{\frac{2mhc}{\lambda}} = \frac{h^2 \lambda}{2mhc} = \frac{h \lambda}{2mc}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{\lambda}{\lambda_1^2} = \frac{2mc}{h}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\lambda : \lambda_1^2$ એ $2mc : h$ છે.

(A) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{p}$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{p}$.
તેથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ એ કણના વેગમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ન્યુટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$ છે,જ્યાં $E_k$ એ ગતિઊર્જા છે.
તાપમાન $T$ પર ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા ન્યુટ્રોન માટે સરેરાશ ગતિઊર્જા $E_k = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2} k_B T)}} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
અહીં $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{300}{1200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{2}$.

(B) ગતિ ઉર્જા $E$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઉર્જા $E_1$ છે જે તરંગલંબાઈ $\lambda$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,$E_1 = \frac{k}{\lambda^2}$ (જ્યાં $k = \frac{h^2}{2m}$).
અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$ છે. અંતિમ ઉર્જા $E_2$ એ $E_2 = \frac{k}{(\lambda/2)^2} = \frac{4k}{\lambda^2} = 4E_1$ થશે.
ઉમેરવી પડતી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E_1 - E_1 = 3E_1$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta E = nE_1$,તેથી $n = 3$ મળે છે.

(D) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે $V_1 = 10 \ kV$ વોલ્ટેજ પર પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે અને $V_2 = 20 \ kV$ વોલ્ટેજ પર અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{10 \ kV}{20 \ kV}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$.

(A) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE$ છે. તેનો પ્રવેગ $a = \frac{eE}{m}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતું હોવાથી,$t$ સમયે તેનો વેગ $v = at = \frac{eEt}{m}$ થશે.
ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p = mv = m(\frac{eEt}{m}) = eEt$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{eEt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઈમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $\lambda$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{d\lambda}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{h}{eEt}) = \frac{h}{eE} \frac{d}{dt}(t^{-1}) = \frac{h}{eE} (-t^{-2}) = -\frac{h}{eEt^2}$.

(C) $1$. ફોટોનની ઊર્જા $(E_p)$ નું સૂત્ર $E_p = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
$2$. ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે. તેથી,$p = \frac{h}{\lambda}$.
$3$. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K_e)$ નું સૂત્ર $K_e = \frac{p^2}{2m}$ છે.
$4$. $p = \frac{h}{\lambda}$ ને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K_e = \frac{(h/\lambda)^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
$5$. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને ફોટોનની ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_e}{E_p} = \frac{h^2 / (2m\lambda^2)}{hc / \lambda}$ થાય.
$6$. પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{K_e}{E_p} = \frac{h^2}{2m\lambda^2} \times \frac{\lambda}{hc} = \frac{h}{2mc\lambda}$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = h / p_e = h / (m_e v)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $v = c / 100$,તેથી $\lambda_e = h / (m_e c / 100) = 100h / (m_e c)$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E_e = (1/2) m_e v^2 = (1/2) m_e (c / 100)^2 = m_e c^2 / 20000$.
ફોટોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_p = h / p_p = hc / E_p$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $E_p = hc / \lambda_p$.
આપેલ છે $\lambda_p = 2 \lambda_e$,તેથી $\lambda_e$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda_p = 2 \times (100h / (m_e c)) = 200h / (m_e c)$.
હવે,$E_p = hc / (200h / (m_e c)) = m_e c^2 / 200$ ગણતરી કરો.
અંતે,ગુણોત્તર $E_p / E_e = (m_e c^2 / 200) / (m_e c^2 / 20000) = 20000 / 200 = 100 = 10^2$.

(B) ફોટોન માટે,ઊર્જા $E_p = h\nu = hc / \lambda_p$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = h / p_e$ છે,તેથી $p_e = h / \lambda_e$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E_e = p_e^2 / (2m) = h^2 / (2m \lambda_e^2)$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_p = 2\lambda_e$,તેથી $\lambda_e = \lambda_p / 2$.
આ કિંમત ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E_e = h^2 / (2m (\lambda_p / 2)^2) = 2h^2 / (m \lambda_p^2)$.
હવે,ગુણોત્તર $E_e / E_p$ શોધો:
$E_e / E_p = [2h^2 / (m \lambda_p^2)] / [hc / \lambda_p] = 2h / (mc \lambda_p)$.
કારણ કે $\lambda_e = h / (m v_e)$,તેથી $\lambda_p = 2 \lambda_e = 2h / (m v_e)$.
$\lambda_p$ ની કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $E_e / E_p = 2h / (mc \cdot (2h / (m v_e))) = v_e / c$.
આપેલ છે કે $v_e = C / 100$,તેથી ગુણોત્તર $E_e / E_p = (C / 100) / C = 1 / 100 = 1 \times 10^{-2}$ થાય.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,સંતૃપ્ત ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જો આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(ν > ν_0)$ કરતા વધારે હોય.
કારણ કે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા બમણી કરવામાં આવે છે,તેથી એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા પણ બમણી થાય છે.
પરિણામે,એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા બમણી થાય છે,જેનાથી સંતૃપ્ત ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ બમણો થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $E$ નીચે મુજબ છે: $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,જ્યાં $\Phi$ એ સપાટીનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$.
અંતિમ સ્થિતિ માટે,ઉર્જા $2E$ થાય છે: $2E = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\Phi = \frac{hc}{\lambda} - E$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2E = \frac{hc}{\lambda_1} - (\frac{hc}{\lambda} - E)$.
$2E = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda} + E$.
$E = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda}$.
કારણ કે $E > 0$,તેથી $\frac{hc}{\lambda_1} > \frac{hc}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_1 < \lambda$.
વધુમાં,$\frac{hc}{\lambda_1} = E + \frac{hc}{\lambda}$.
કારણ કે $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,તેથી $\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{\lambda} - \Phi + \frac{hc}{\lambda} = \frac{2hc}{\lambda} - \Phi$.
કારણ કે $\Phi > 0$,તેથી $\frac{hc}{\lambda_1} < \frac{2hc}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_1 > \frac{\lambda}{2}$.
આમ,$\frac{\lambda}{2} < \lambda_1 < \lambda$.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ પર,રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય મહત્તમ ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે: $eV_s = \frac{1}{2}mv^2$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માટે સૂત્ર ગોઠવતા,આપણને $V_s = \frac{1}{2} \left(\frac{m}{e}\right) v^2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C/kg$,તેથી $\frac{m}{e} = \frac{1}{1.8 \times 10^{11}} \ kg/C$.
કિંમતો મૂકતા: $V_s = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1.8 \times 10^{11}} \times (9 \times 10^5)^2$.
$V_s = \frac{1}{2} \times \frac{81 \times 10^{10}}{1.8 \times 10^{11}} = \frac{81}{3.6} = 22.5 \times 0.1 = 2.25 \ V$.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $2.25 \ V$ છે.

(A) આપાત કિરણપુંજનો પાવર $P = 90 \text{ W}$ છે.
પ્રકાશના શોષાયેલા ભાગ દ્વારા લાગતું બળ $F_a = \frac{P_a}{C}$ છે,જ્યાં $P_a = 0.5P = 45 \text{ W}$.
$F_a = \frac{45}{3 \times 10^8} = 1.5 \times 10^{-7} \text{ N}$.
પ્રકાશના પરાવર્તિત ભાગ દ્વારા લાગતું બળ $F_r = \frac{2P_r}{C}$ છે,જ્યાં $P_r = 0.5P = 45 \text{ W}$.
$F_r = \frac{2 \times 45}{3 \times 10^8} = 3.0 \times 10^{-7} \text{ N}$.
સપાટી પર લાગતું કુલ બળ $F = F_a + F_r = 1.5 \times 10^{-7} + 3.0 \times 10^{-7} = 4.5 \times 10^{-7} \text{ N}$ થાય.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર થવા માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
વર્ક ફંક્શન $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ તરીકે આપેલ છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર માટેની શરત $E \geqslant \Phi$ છે.
પદોને મૂકતા,આપણને $\frac{hc}{\lambda} \geqslant \frac{hc}{\lambda_0}$ મળે છે.
બંને બાજુ $hc$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{\lambda} \geqslant \frac{1}{\lambda_0}$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા,અસમતાની નિશાની બદલાય છે: $\lambda \leqslant \lambda_0$.
આમ,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર માટે આપાત તરંગલંબાઈ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ,તેથી સાચો વિકલ્પ $\lambda < \lambda_0$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
શરૂઆતમાં: $0.4 = h\nu - \Phi$ --- $(1)$
જ્યારે આવૃત્તિમાં $20 \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $\nu' = 1.2\nu$ થાય.
નવી ગતિઊર્જા: $0.7 = h(1.2\nu) - \Phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$h\nu = 0.4 + \Phi$.
આ કિંમતને $(2)$ માં મૂકતા: $0.7 = 1.2(0.4 + \Phi) - \Phi$.
$0.7 = 0.48 + 1.2\Phi - \Phi$.
$0.7 - 0.48 = 0.2\Phi$.
$0.22 = 0.2\Phi$.
$\Phi = \frac{0.22}{0.2} = 1.1 \ eV$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h v - \Phi_0$ છે, જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $v$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi_0 = h v_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે ($v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે).
આવૃત્તિ $v_1$ માટે, $K_1 = h v_1 - h v_0 = h(v_1 - v_0)$.
આવૃત્તિ $v_2$ માટે, $K_2 = h v_2 - h v_0 = h(v_2 - v_0)$.
આપેલ ગુણોત્તર $K_1 : K_2 = 1 : k$ હોવાથી, $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{k}$ થાય.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)} = \frac{1}{k}$.
આથી $k(v_1 - v_0) = v_2 - v_0$ મળે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $k v_1 - k v_0 = v_2 - v_0$.
$v_0$ ને કર્તા બનાવતા: $k v_1 - v_2 = k v_0 - v_0 = v_0(k - 1)$.
તેથી, $v_0 = \frac{k v_1 - v_2}{k - 1}$.