MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે $A$ પરનો છોકરો ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને $B$ પરનો છોકરો $(x, 0)$ પર છે.
$B$ પરનો છોકરો $y$-અક્ષ પર $v_1$ વેગથી ગતિ કરે છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $(x, v_1 t)$ છે.
$A$ પરનો છોકરો $v$ વેગથી ગતિ કરીને $t$ સમયે $B$ વાળા છોકરાને મળે છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $(v_x t, v_y t)$ છે,જેથી $\sqrt{(v_x t)^2 + (v_y t)^2} = vt$ થાય.
તેઓ $(x, v_1 t)$ પર મળે છે,તેથી $v_x t = x$ અને $v_y t = v_1 t$ થાય.
વેગના માનની શરતનો ઉપયોગ કરતા: $(v_x t)^2 + (v_y t)^2 = (vt)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 + (v_1 t)^2 = v^2 t^2$.
$t^2$ માટે ગોઠવતા: $v^2 t^2 - v_1^2 t^2 = x^2$.
$t^2 (v^2 - v_1^2) = x^2$.
$t = \frac{x}{\sqrt{v^2 - v_1^2}}$.

(D) ધારો કે $A$ પરની છોકરીનું સ્થાન $(0, 0)$ છે અને $B$ પરની છોકરીનું સ્થાન $(b, 0)$ છે.
$B$ પરની છોકરી $V_1$ વેગ સાથે $\vec{V_1} = V_1 \hat{j}$ દિશામાં ગતિ કરે છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $\vec{r_B}(t) = b \hat{i} + V_1 t \hat{j}$ છે.
$A$ પરની છોકરી $V_2$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. ધારો કે $\vec{V_2} = V_2 \cos \theta \hat{i} + V_2 \sin \theta \hat{j}$.
$t$ સમયે તેનું સ્થાન $\vec{r_A}(t) = (V_2 \cos \theta) t \hat{i} + (V_2 \sin \theta) t \hat{j}$ છે.
તેઓ મળે તે માટે,$\vec{r_A}(t) = \vec{r_B}(t)$ હોવું જોઈએ,તેથી $V_2 \cos \theta t = b$ અને $V_2 \sin \theta t = V_1 t$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\sin \theta = V_1 / V_2$. તેથી,$\cos \theta = \sqrt{1 - (V_1/V_2)^2} = \frac{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}{V_2}$.
$\cos \theta$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $V_2 \left( \frac{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}{V_2} \right) t = b$.
તેથી,$t = \frac{b}{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}$.

(C) વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{\pi}{2} \,m$ છે。
કણ $t$ સમયમાં $x$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે。
$x$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું કુલ અંતર $d = x \times (2\pi r)$ થાય。
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $d = x \times (2\pi \times \frac{\pi}{2}) = x \times \pi^2 = \pi^2 x \,m$。
સ્પર્શકીય વેગ $v$ એ કાપેલા કુલ અંતર અને લીધેલા સમયનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{d}{t} = \frac{\pi^2 x}{t} \,m/s$。
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે。

(B) અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ગતિ કરે છે.
$1$. વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. ઝડપ અચળ હોવાથી,સ્પર્શકીય પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. માત્ર કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ હાજર હોય છે,જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. તેથી,વિધાન $D$ સાચું છે.
$3$. પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_c$ કેન્દ્ર તરફ હોવાથી અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વર્તુળને સ્પર્શક (ત્રિજ્યાને લંબ) હોવાથી,વેગ અને પ્રવેગ સદિશ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે. તેથી,વિધાન $C$ સાચું છે.
$4$. પ્રવેગ સદિશ કેન્દ્ર તરફ હોવાથી,તે વર્તુળને સ્પર્શક હોતો નથી. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.

(A) જ્યારે વાહન વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે બોબ પર બહારની તરફ આભાસી બળ $F_p = \frac{mv^2}{r}$ અને નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ લાગે છે.
ધારો કે $\theta$ એ દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો છે.
વાહનના સંદર્ભમાં,બોબ તણાવ $T$,આભાસી બળ અને વજન હેઠળ સંતુલનમાં છે.
ઘટકો લેતા,આપણને મળે છે $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ અને $T \cos \theta = mg$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}$.
આપેલ છે $v = 10 \ m/s$,$r = 20 \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
$\tan \theta = \frac{10^2}{20 \times 10} = \frac{100}{200} = 0.5$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(0.5)$.

(C) $m$ દળ $r = \ell \sin \theta$ ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{1}{\pi} = 2 \text{ rad/s}$ છે.
દળ પર લાગતા બળો તણાવ $T$ (દોરીની દિશામાં) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
તણાવના ઘટકો પાડતા: $T \cos \theta = mg$ અને $T \sin \theta = m\omega^2 r$.
$r = \ell \sin \theta$ મૂકતા,$T \sin \theta = m\omega^2 \ell \sin \theta$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $T = m\omega^2 \ell$ થાય છે.
$\omega = 2 \text{ rad/s}$ મૂકતા,$T = m(2)^2 \ell = 4m\ell$ મળે છે.

(B) ધારો કે હલકા પથ્થરનું દળ $m_1 = m$ અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે. તેની સ્પર્શક ઝડપ $v_1$ છે.
ધારો કે ભારે પથ્થરનું દળ $m_2 = 3m$ અને તેની ત્રિજ્યા $r_2 = r/3$ છે. તેની સ્પર્શક ઝડપ $v_2$ છે.
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્રગામી બળો સમાન છે: $F_1 = F_2$.
$\frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m_2 v_2^2}{r_2}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{m v_1^2}{r} = \frac{3m v_2^2}{(r/3)}$
$\frac{m v_1^2}{r} = \frac{9m v_2^2}{r}$
$v_1^2 = 9 v_2^2$
$v_1 = 3 v_2$
તેથી,$v_1 = n v_2$ હોવાથી,$n = 3$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એ $x$-અક્ષ પર અનુક્રમે $(-d, 0, 0)$ અને $(d, 0, 0)$ પર છે. દળ $m$ એ $xy$-સમતલમાં બિંદુ $R$ પર $(0, -h, 0)$ પર છે,જ્યાં $h = \sqrt{L^2 - d^2}$ છે.
જ્યારે દળને સમતલમાંથી થોડું બહારની તરફ ($z$-દિશામાં) $z$ જેટલા અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,ત્યારે $P$ અને $Q$ થી દળનું નવું અંતર $L' = \sqrt{h^2 + z^2 + d^2} = \sqrt{L^2 + z^2}$ થાય છે.
દરેક દોરીમાં તણાવ $T = \frac{mg}{2 \cos \theta}$ છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{h}{L'}$.
$z$-દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ $F = -2T \sin \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ દોરી અને $xy$-સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે,$\sin \phi = \frac{z}{L'}$.
આમ,$F = -2 \left( \frac{mg}{2(h/L')} \right) \left( \frac{z}{L'} \right) = -\frac{mgz}{h}$.
અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{h} = \frac{mg}{\sqrt{L^2 - d^2}}$ છે.
આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{mg/\sqrt{L^2 - d^2}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{L^2 - d^2}}{g}}$ થાય.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર લિફ્ટ માટે,$g_{eff} = g$,તેથી $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = \sqrt{3} \ s$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = g/3$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + g/3 = 4g/3$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{4g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3L}{4g}} = \sqrt{\frac{3}{4}} \times (2\pi \sqrt{\frac{L}{g}})$ દ્વારા મળે છે.
$T_1 = \sqrt{3} \ s$ કિંમત મૂકતા,આપણને $T_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1.5 \ s$ મળે છે.

(D) સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવેલા $m$ દળના દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
આપેલ છે કે $m$ દળ માટે આવર્તકાળ $T_1 = 2 \ s$ છે.
તેથી,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
હવે,નવા દળ $m' = 4m$ માટે,નવો આવર્તકાળ $T_2$ આ મુજબ થશે: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}}$.
આપણે આને આ રીતે લખી શકીએ: $T_2 = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{m}{k}})$.
સમીકરણમાં $T_1$ ની કિંમત મૂકતા: $T_2 = 2 \times T_1$.
કારણ કે $T_1 = 2 \ s$,તેથી $T_2 = 2 \times 2 \ s = 4 \ s$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,આધારબિંદુ સ્થિર છે,તેથી $g_{eff} = g = 10 \ m/s^2$. આમ,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
જ્યારે આધારબિંદુ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
સ્થાનાંતર $y = kt^2$ આપેલ છે,તેથી પ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે દ્વિતીય વિકલન છે: $a = \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d^2}{dt^2}(kt^2) = 2k$.
$k = 1 \ m/s^2$ આપેલ હોવાથી,$a = 2(1) = 2 \ m/s^2$ મળે.
તેથી,$g_{eff} = g + a = 10 + 2 = 12 \ m/s^2$.
નવો આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{12}}$ થશે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{4\pi^2 (L/g)}{4\pi^2 (L/g_{eff})} = \frac{g_{eff}}{g} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$,જ્યાં $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{L}$.
ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L_1 = L$ છે અને મૂળ આવર્તકાળ $T_1 = T$ છે.
નવી લંબાઈ $L_2 = 3L$ છે.
ધારો કે નવો આવર્તકાળ $T_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $T \propto \sqrt{L}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{T} = \sqrt{\frac{3L}{L}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$T_2 = \sqrt{3} T$.

(C) જ્યારે '$r$' ત્રિજ્યાનો એક નાનો દડો '$R$' ત્રિજ્યાની વક્ર સપાટી પર ગબડે છે,ત્યારે દડાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર '$(R-r)$' ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
નાના દોલનો માટે,આ ગતિ '$L_{eff} = R-r$' અસરકારક લંબાઈ ધરાવતા સાદા લોલકને સમતુલ્ય છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eff}}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અસરકારક લંબાઈ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{R-r}{g}}$ મળે છે.
તેથી,દોલનનો આવર્તકાળ $\sqrt{\frac{R-r}{g}}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) વોચ ગ્લાસમાં દોલન કરતો નાનો ગોળો સાદા લોલક તરીકે વર્તે છે.
આ સમતુલ્ય લોલકની અસરકારક લંબાઈ $L$ એ વોચ ગ્લાસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ જેટલી હોય છે.
આપેલ છે કે,$R = 1.6 \ m$ અને $g = 10 \ m/s^2$.
સાદા લોલકના આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.6}{10}}$.
$T = 2\pi \sqrt{0.16}$.
$T = 2\pi \times 0.4$.
$T = 0.8\pi \ s$.

(C) પ્રારંભિક ગોઠવણીમાં,દળ $m$ બે સમાંતર સ્પ્રિંગો સાથે જોડાયેલું છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = K + K = 2K$ છે.
દોલન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગ $S_2$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે માત્ર એક સ્પ્રિંગ બાકી રહે છે જેનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ છે.
નવો અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K'_{eff} = K$ છે.
નવી દોલન આવૃત્તિ $f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$ છે.
$f'$ અને $f$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\frac{f'}{f} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{m}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$f' = \frac{f}{\sqrt{2}}$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે $g_{eff} = g$,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$ છે.
આપેલ છે કે $T' = \frac{T}{2}$,તેથી $\frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \right) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} \left( \frac{L}{g} \right) = \frac{L}{g+a}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $g + a = 4g$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3g$.

(D) $k$ અચળાંક ધરાવતી બે સમાન સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોય ત્યારે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_s = \frac{k \cdot k}{k + k} = \frac{k}{2}$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં દોલનની આવૃત્તિ $f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_s}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}$ છે.
$k$ અચળાંક ધરાવતી બે સમાન સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં જોડાયેલ હોય ત્યારે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_p = k + k = 2k$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં દોલનની આવૃત્તિ $f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_p}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}$ છે.
તેમની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_s}{f_p} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}} = \sqrt{\frac{k}{2m} \cdot \frac{m}{2k}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(a)$ માટે: અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq,a} = K$ છે. તેથી,$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$.
આકૃતિ $(b)$ માટે: બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $\frac{1}{K_{eq,b}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ છે,તેથી $K_{eq,b} = \frac{K}{2}$. તેથી,$T_b = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{K}} = \sqrt{2} T_a$.
આકૃતિ $(c)$ માટે: બે સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq,c} = K + K = 2K$ છે. તેથી,$T_c = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$.
પરિણામોની સરખામણી કરતા: $T_b = \sqrt{2} T_a$ અને $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$.
આથી,$T_b = \sqrt{2} (\sqrt{2} T_c) = 2 T_c$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) સાદા લોલકની કુલ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે, $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$, તેથી ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m (\frac{g}{l}) A^2 = \frac{mgA^2}{2l}$ થાય છે.
અહીં કંપવિસ્તાર $A$ અચળ રહે છે અને લંબાઈ $l$ બદલાઈને $l' = \frac{l}{3}$ થાય છે, તેથી નવી ઉર્જા $E'$ એ $E' = \frac{mgA^2}{2(l/3)} = 3 \times \frac{mgA^2}{2l} = 3E$ થશે.
આમ, કુલ ઉર્જા મૂળ ઉર્જા કરતા $3$ ગણી થશે.

(C) $S.H.M.$ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર ગતિ ઉર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$.
$x$ ની કિંમત ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} k (A^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2} A)^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - \frac{3}{4} A^2) = \frac{1}{2} k (\frac{1}{4} A^2) = \frac{1}{8} k A^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,$E = n \times K$.
$E$ અને $K$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} k A^2 = n \times (\frac{1}{8} k A^2)$.
બંને બાજુ $\frac{1}{2} k A^2$ વડે ભાગતા:
$1 = n \times \frac{1}{4}$.
તેથી,$n = 4$.

(B) કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અડધા કંપવિસ્તાર પર,સ્થાનાંતર $x = A/2$ છે.
$S.H.M.$ માં કણની સ્થિતિઊર્જા $(U)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = A/2$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} k (A/2)^2 = \frac{1}{8} k A^2$ મળે છે.
કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
ગતિઊર્જા $(K)$ $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{8} k A^2 = \frac{3}{8} k A^2$ છે.
હવે,ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $K/U = (\frac{3}{8} k A^2) / (\frac{1}{8} k A^2) = 3/1$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(D) $S.H.M.$ કરતા કણની $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા $(U_{max})$ અંતિમ સ્થાનો પર મળે છે જ્યાં $x = \pm A$,તેથી $U_{max} = \frac{1}{2} k A^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિતિઊર્જા તેના મહત્તમ મૂલ્ય કરતા અડધી છે: $U = \frac{1}{2} U_{max}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $x^2 = \frac{1}{2} A^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$.
આમ,સ્થાનાંતર $\pm \frac{A}{\sqrt{2}}$ છે.

(D) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega = 2\pi/T$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$t = T/6$ સમયે,સ્થાનાંતર $x = A \sin((2\pi/T) \cdot (T/6)) = A \sin(\pi/3) = A \sqrt{3}/2$ થાય છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (A \sqrt{3}/2)^2 = \frac{3}{8} k A^2$ છે.
કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
ગતિ ઊર્જા $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{3}{8} k A^2 = \frac{1}{8} k A^2$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $U/K = (3/8 k A^2) / (1/8 k A^2) = 3/1$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા સાદા લોલકની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ દળ છે,$\omega$ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ કંપવિસ્તાર છે.
સાદા લોલક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે,તેથી $\omega^2 = \frac{g}{L}$.
આ કિંમત ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E = \frac{1}{2} m \left(\frac{g}{L}\right) A^2$.
આપેલ છે કે $E_A = E_B$,$M_1 = M_2 = M$,અને $L_1 = 2 L_2$:
$\frac{1}{2} M \left(\frac{g}{L_1}\right) A_A^2 = \frac{1}{2} M \left(\frac{g}{L_2}\right) A_B^2$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{A_A^2}{L_1} = \frac{A_B^2}{L_2}$ મળે છે.
$L_1 = 2 L_2$ મૂકતા: $\frac{A_A^2}{2 L_2} = \frac{A_B^2}{L_2}$.
આનાથી $A_A^2 = 2 A_B^2$ અથવા $A_A = \sqrt{2} A_B$ મળે છે.
તેથી,$A_B = \frac{A_A}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $B$ નો કંપવિસ્તાર $A$ ના કંપવિસ્તાર કરતા નાનો છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા સાદા લોલકની કુલ ઉર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે.
સાદા લોલક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $\omega^2 = \frac{g}{l}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{1}{2} m (\frac{g}{l}) A^2$ મળે છે.
દળ $(m)$,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$,અને કંપનવિસ્તાર $(A)$ અચળ હોવાથી,કુલ ઉર્જા લોલકની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto \frac{1}{l}$.
જો નવી લંબાઈ $l' = \frac{l}{4}$ હોય,તો નવી ઉર્જા $E'$ એ $E' \propto \frac{1}{l/4} = 4 \times (\frac{1}{l}) = 4E$ થશે.
તેથી,કુલ ઉર્જા પ્રારંભિક ઉર્જા કરતા $4$ ગણી થશે.

(A) વર્ટિકલ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રમાં,સંતુલન સ્થિતિ તે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ $x_0 = \frac{mg}{k}$ જેટલી ખેંચાયેલી હોય છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k}{m} = \omega^2 = \left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2$.
આપેલ છે $T = 0.1 \ s$,તેથી $\omega = \frac{2 \pi}{0.1} = 20 \pi \ rad/s$.
સંતુલન સ્થિતિએ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ $x_0 = \frac{g}{\omega^2} = \frac{10}{(20 \pi)^2} = \frac{10}{400 \pi^2} = \frac{1}{40 \pi^2} \ m$ છે.
કારણ કે સ્પ્રિંગ સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ ખેંચાયેલી નથી,તેથી દોલનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ સંતુલન વિસ્તરણ $x_0$ જેટલો જ થાય,એટલે કે $A = x_0 = \frac{1}{40 \pi^2} \ m$.
$S.H.M.$ માં મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{max} = \left(\frac{1}{40 \pi^2}\right) \times (20 \pi) = \frac{20 \pi}{40 \pi^2} = \frac{1}{2 \pi} \ m/s$.

(A) $S.H.M.$ માં, સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -ky = -k A \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે બળ એ સ્થાનાંતર સાથે $180^{\circ}$ (અથવા $\pi$ રેડિયન) કળા તફાવત ધરાવે છે.
જો સ્થાનાંતરનો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો સાઈન તરંગ હોય, તો બળનો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો ઉલટો સાઈન તરંગ (ઋણ સાઈન તરંગ) હોવો જોઈએ.
તેથી, બળ-સમયનો આલેખ એ સમયની ધરી પર સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનું પ્રતિબિંબ હશે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા કણના સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ છે: $T = 8 \ s$,તેથી $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$. કંપવિસ્તાર $A = 4\sqrt{2} \ m$.
તેથી,$x(t) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} t)$.
પ્રથમ સેકન્ડમાં ($t=0$ થી $t=1$) કાપેલ અંતર: $x(1) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = 4\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \ m$.
બીજી સેકન્ડમાં ($t=1$ થી $t=2$) કાપેલ અંતર: $x(2) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{2\pi}{4}) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = 4\sqrt{2} \times 1 = 4\sqrt{2} \ m$.
બીજી સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર $d_2 = x(2) - x(1) = 4\sqrt{2} - 4 = 4(\sqrt{2} - 1) \ m$.
પ્રથમ સેકન્ડ અને બીજી સેકન્ડમાં કાપેલ અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{4(\sqrt{2} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ થાય.

(C) $S.H.M.$ નો આવર્તકાળ $T = 16 \ s$ આપેલ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ rad/s$ થાય.
કોઈપણ સમયે $t$ માટે કળા $\phi = \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_1 = 2 \ s$ સમયે કળા $\phi_1 = \omega t_1 = \frac{\pi}{8} \times 2 = \frac{\pi}{4}$ થાય.
$t_2 = 4 \ s$ સમયે કળા $\phi_2 = \omega t_2 = \frac{\pi}{8} \times 4 = \frac{\pi}{2}$ થાય.
કળા તફાવત $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(C) $S.H.M.$ માં રહેલા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x$ પર વેગ $V$ નું સૂત્ર $V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ છે અને પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ છે.
પ્રવેગના સમીકરણ પરથી,$x = -a/\omega^2$ મળે છે.
આ કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $V^2 = \omega^2 A^2 - a^2/\omega^2$.
બે સ્થિતિઓ માટે:
$V_1^2 = \omega^2 A^2 - a_1^2/\omega^2$
$V_2^2 = \omega^2 A^2 - a_2^2/\omega^2$
બંનેની બાદબાકી કરતા: $V_1^2 - V_2^2 = (a_2^2 - a_1^2)/\omega^2$.
બે સ્થિતિઓ વચ્ચેનું અંતર $d = |x_1 - x_2| = |(-a_1/\omega^2) - (-a_2/\omega^2)| = |a_2 - a_1|/\omega^2$.
બાદબાકીના પરિણામ પરથી,$1/\omega^2 = (V_1^2 - V_2^2) / (a_2^2 - a_1^2)$.
આ કિંમત અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા: $d = |a_2 - a_1| \cdot \frac{V_1^2 - V_2^2}{a_2^2 - a_1^2} = \frac{V_1^2 - V_2^2}{a_2 + a_1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) કણનું સ્થાનાંતર $x = A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$ અને $\omega = 2 \pi \text{ rad/s}$ છે.
કણનો વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t)$.
ઝડપ $|v| = A \omega |\sin(\omega t)|$ છે.
મહત્તમ ઝડપ ત્યારે મળે છે જ્યારે $|\sin(\omega t)| = 1$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$.
પ્રથમ વખત માટે,$\omega t = \frac{\pi}{2}$ લો.
$\omega = 2 \pi$ મૂકતા,આપણને $2 \pi t = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = 1/4 \text{ s}$ મળે છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ એ સૂત્ર $a_{max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ સમાન છે $(A_1 = A_2 = A)$,તેથી મહત્તમ પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{a_{max,1}}{a_{max,2}} = \frac{\omega_1^2 A}{\omega_2^2 A} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$
આપેલ કિંમતો $\omega_1 = 300 \ rad/s$ અને $\omega_2 = 3000 \ rad/s$ મૂકતા:
$\frac{a_{max,1}}{a_{max,2}} = \left( \frac{300}{3000} \right)^2 = \left( \frac{1}{10} \right)^2 = \frac{1}{100} = 1: 10^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સરેરાશ સ્થાનથી શરૂ થતા $S.H.M.$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega = 2\pi/T$ છે. આપેલ છે કે $T = 8 \ s$,તેથી $\omega = 2\pi/8 = \pi/4 \ rad/s$ થાય.
$t=0$ સમયે,$x(0) = 0$.
$t=1 \ s$ સમયે,$x(1) = A \sin(\pi/4 \times 1) = A/\sqrt{2}$. પ્રથમ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_1 = |x(1) - x(0)| = A/\sqrt{2}$.
$t=2 \ s$ સમયે,$x(2) = A \sin(\pi/4 \times 2) = A \sin(\pi/2) = A$. બીજી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_2 = |x(2) - x(1)| = |A - A/\sqrt{2}| = A(1 - 1/\sqrt{2}) = A(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}$.
ગુણોત્તર $d_1/d_2 = (A/\sqrt{2}) / [A(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}] = 1/(\sqrt{2}-1)$.

(D) $S.H.M.$ માં '$x$' સ્થાનાંતરે કણની ઝડપ $u = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણની મહત્તમ ઝડપ $V_{\text{max}} = a\omega$ છે.
આપેલ છે કે ઝડપ '$u$' એ મહત્તમ ઝડપ કરતા અડધી છે,તેથી $u = \frac{V_{\text{max}}}{2} = \frac{a\omega}{2}$.
ઝડપ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{a\omega}{2} = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$.
બંને બાજુથી $\omega$ દૂર કરતા: $\frac{a}{2} = \sqrt{a^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{a^2}{4} = a^2 - x^2$.
'$x^2$' માટે ગોઠવતા: $x^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x = \frac{\sqrt{3}a}{2}$.

(D) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો $t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 2 \ s$ પર,$A(2) = \frac{1}{3} A_0$.
તેથી,$\frac{1}{3} A_0 = A_0 e^{-b(2)/2m} \implies e^{-b/m} = \frac{1}{3}$.
આપણે $t = 6 \ s$ પર કંપવિસ્તાર શોધવો છે,જે $A(6) = A_0 e^{-b(6)/2m} = A_0 (e^{-b/m})^3$ છે.
$e^{-b/m}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A(6) = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = A_0 \left(\frac{1}{27}\right)$ મળે છે.
આને $A(6) = \frac{1}{n} A_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 27$ મળે છે.

(C) $y = A \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા દર્શાવતા તરંગ માટે,તરંગનો વેગ $V = \frac{\omega}{k}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ છે.
તેથી,$V = \frac{\omega}{2 \pi / \lambda} = \frac{\omega \lambda}{2 \pi}$.
$S.H.M.$ માં કણનો મહત્તમ વેગ $\nu = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,$\omega = \frac{\nu}{A}$ મળે છે.
$V$ ના સમીકરણમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{(\nu / A) \lambda}{2 \pi} = \frac{\lambda \nu}{2 \pi A}$.
$\nu$ માટે ગોઠવતા:
$\nu = \frac{2 \pi A}{\lambda} V$.
તેથી,સાચો સંબંધ $\nu = \frac{2 \pi A}{\lambda} V$ છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $x = A \sin \omega t + B \cos \omega t$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x = R \sin(\omega t + \phi)$ માં દર્શાવવા માટે,આપણે $\sqrt{A^2 + B^2}$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \sin \omega t + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \cos \omega t \right)$.
ધારો કે $\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \cos \phi$ અને $\frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sin \phi$.
તેથી,$x = \sqrt{A^2 + B^2} (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(\omega t + \phi)$.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે,જેમાં કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{A^2 + B^2} = (A^2 + B^2)^{1/2}$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ કોઈપણ સ્થાન $x$ પર તેની ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = K + U = 1 \ J + 0.6 \ J = 1.6 \ J$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = m \omega^2$,જ્યાં $\omega = 2 \pi f$.
અહીં $f = \frac{25}{\pi} \ Hz$ આપેલ છે,તેથી $\omega = 2 \pi (\frac{25}{\pi}) = 50 \ rad/s$.
આમ,$k = 0.2 \times (50)^2 = 0.2 \times 2500 = 500 \ N/m$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે કુલ ઊર્જાના સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$1.6 = \frac{1}{2} \times 500 \times A^2$.
$1.6 = 250 \times A^2$.
$A^2 = \frac{1.6}{250} = \frac{16}{2500} = 0.0064$.
$A = \sqrt{0.0064} = 0.08 \ m$.

(A) કણનું સ્થાનાંતર $x = A \cos(\omega t + \pi/6)$ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \pi/6)$.
ઝડપ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે વેગનું મૂલ્ય $|v|$ મહત્તમ હોય,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $|\sin(\omega t + \pi/6)| = 1$ હોય.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $(\omega t + \pi/6) = \pi/2$ હોય.
$\omega t + \pi/6 = \pi/2$ લેતા,આપણને $\omega t = \pi/2 - \pi/6 = 3\pi/6 - \pi/6 = 2\pi/6 = \pi/3$ મળે છે.
તેથી,$t = \frac{\pi}{3 \omega} \text{ s}$.

(C) કણ $A$ ને બે દોલનો પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t = 2T$ છે.
કણ $A$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_A = \frac{2\pi}{T}$ છે.
સમય $t = 2T$ પર કણ $A$ ની કળા $\phi_A = \omega_A t = \left(\frac{2\pi}{T}\right)(2T) = 4\pi$ છે.
કણ $B$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_B = \frac{2\pi}{(3T/2)} = \frac{4\pi}{3T}$ છે.
સમય $t = 2T$ પર કણ $B$ ની કળા $\phi_B = \omega_B t = \left(\frac{4\pi}{3T}\right)(2T) = \frac{8\pi}{3}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta\phi = |\phi_A - \phi_B| = |4\pi - \frac{8\pi}{3}| = |\frac{12\pi - 8\pi}{3}| = \frac{4\pi}{3}$ થાય.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1 \,kg$, બળ અચળાંક $k = 4 \,N/m$, વેગ $v = 20 \,cm/s = 0.2 \,m/s$, કંપવિસ્તાર $A = 0.4 \,m$.
પ્રથમ, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{4/1} = 2 \,rad/s$ ગણો.
$S.H.M.$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.2 = 2 \sqrt{0.4^2 - x^2}$.
$2$ વડે ભાગતા: $0.1 = \sqrt{0.16 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $0.01 = 0.16 - x^2$.
$x^2$ માટે ગોઠવતા: $x^2 = 0.16 - 0.01 = 0.15$.
તેથી, સ્થાનાંતર $x = \sqrt{0.15} \,m$ થાય.

(A) $S.H.M.$ માં,કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ અંતિમ સ્થાનથી શરૂ થતો હોવાથી,$t = 0$ સમયે,$x = A$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = 0$. તેથી,$x(t) = A \cos(\omega t)$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ સ્થાનાંતરના દ્વિતીય વિકલન દ્વારા મળે છે: $a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 A \cos(\omega t)$.
આપણે પ્રવેગને $a(t) = \omega^2 A \cos(\omega t + \pi)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
સ્થાનાંતર $(\omega t)$ અને પ્રવેગ $(\omega t + \pi)$ ની કળાની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\pi \ rad$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: કંપવિસ્તાર $A = 4 \ cm$,સ્થાનાંતર $x = 3 \ cm$.
$S.H.M.$ માં વેગનું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
$S.H.M.$ માં પ્રવેગનું સૂત્ર $a = \omega^2 x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વેગનું મૂલ્ય અને પ્રવેગનું મૂલ્ય સમાન છે: $|v| = |a|$.
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
$\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{4^2 - 3^2} = \omega (3)$.
$\sqrt{16 - 9} = 3 \omega$.
$\sqrt{7} = 3 \omega$.
$\omega = \frac{\sqrt{7}}{3} \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$T = \frac{2 \pi}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{6 \pi}{\sqrt{7}} \ s$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x = a \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં આવર્તકાળ $T$ આપેલ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ થશે.
$x = \frac{a}{2}$ સ્થાને વેગ:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}$
$v = \frac{\sqrt{3} \pi a}{T}$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,કંપવિસ્તાર $A = 0.2 \text{ m}$,સરેરાશ સ્થાન પર ગતિઊર્જા $K_{max} = 16 \times 10^{-3} \text{ J}$.
સરેરાશ સ્થાન પર વેગ મહત્તમ હોય છે,$v_{max} = A\omega$.
મહત્તમ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m (A\omega)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $16 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (0.2 \times \omega)^2$.
$16 \times 10^{-3} = 0.1 \times 0.04 \times \omega^2$.
$16 \times 10^{-3} = 0.004 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{16 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-3}} = 4$.
$\omega = 2 \text{ rad/s}$.
$S.H.M.$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
પ્રારંભિક કળા $\phi = 0^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$Y = 0.2 \sin(2t)$ મળે.

(D) ઉભી સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T = 6 \ s$,તેથી $6 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $3 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9 = \pi^2 \frac{m}{k}$ મળે.
$g = \pi^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $9 = g \frac{m}{k}$,અથવા $\frac{m}{k} = \frac{9}{g}$.
જ્યારે દળ સ્થિર હોય,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં થતું ખેંચાણ $x$ એવું હોય છે કે સ્પ્રિંગ બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સમાન થાય: $kx = mg$.
તેથી,ખેંચાણ $x = \frac{mg}{k} = m \cdot \frac{g}{k}$.
$\frac{m}{k} = \frac{9}{g}$ મૂકતા,આપણને $x = \frac{g}{k} \cdot m = \frac{9}{g} \cdot g = 9 \ m$ મળે છે.

(A) $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક દળ $x$ માટે,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{x/k}$ છે.
જ્યારે દળમાં $Y \ g$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવું દળ $(x + Y)$ થાય છે અને નવો આવર્તકાળ $T' = 4T/3$ થાય છે.
આમ,$T' = 2\pi \sqrt{(x + Y)/k} = 4T/3$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $T$ ની કિંમત મૂકતા: $2\pi \sqrt{(x + Y)/k} = (4/3) \cdot 2\pi \sqrt{x/k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + Y)/k = (16/9) \cdot (x/k)$.
બંને બાજુથી $k$ દૂર કરતા: $x + Y = (16/9)x$.
$Y$ શોધવા માટે ગોઠવતા: $Y = (16/9)x - x = (7/9)x$.
તેથી,ગુણોત્તર $Y/x = 7/9$ છે.

(C) સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતના દળ $m$ માટે,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
જ્યારે દળમાં $m_0$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવું દળ $m' = m + m_0$ થાય છે. નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $\frac{5T}{4}$ આપેલ છે.
તેથી,$T' = 2\pi \sqrt{\frac{m + m_0}{k}} = \frac{5}{4} T$.
$T$ નું સૂત્ર મૂકતા: $2\pi \sqrt{\frac{m + m_0}{k}} = \frac{5}{4} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{m + m_0}{k} = \frac{25}{16} \frac{m}{k}$.
બંને બાજુથી $k$ દૂર કરતા: $m + m_0 = \frac{25}{16} m$.
$m_0$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $m_0 = \frac{25}{16} m - m = \frac{9}{16} m$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_0}{m} = \frac{9}{16}$ થાય છે.

(C) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે અને $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે.
લોલકો એક જ જગ્યાએ હોવાથી,$g$ અચળ રહેશે.
તેથી,$f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$,જેનો અર્થ છે કે $f^2 \propto \frac{1}{L}$ અથવા $L \propto \frac{1}{f^2}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1 : f_2 = 4 : 3$ આપેલ છે,તેથી $\frac{f_1}{f_2} = \frac{4}{3}$.
તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{f_2^2}{f_1^2} = \left( \frac{f_2}{f_1} \right)^2$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$.
આમ,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $9: 16$ છે.

(C) પ્રારંભિક સ્થિતિ: જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = I$,કોણીય વેગ $\omega_1 = \omega$. પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} I \omega^2$.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $L_i = L_f$.
$I \omega = (I + I) \omega_f \implies I \omega = 2I \omega_f \implies \omega_f = \frac{\omega}{2}$.
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (2I) (\frac{\omega}{2})^2 = I \cdot \frac{\omega^2}{4} = \frac{I \omega^2}{4}$.
ગતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{4} I \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે: $\frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(1)$
તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{2\lambda}{3}$ માટે: $\frac{1}{2}mv'^2 = \frac{hc}{2\lambda/3} - \phi = \frac{3hc}{2\lambda} - \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{hc}{\lambda} = \frac{1}{2}mV^2 + \phi$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $\frac{1}{2}mv'^2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2 + \phi) - \phi = \frac{3}{4}mV^2 + \frac{1}{2}\phi$.
અહીં $\phi > 0$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv'^2 > \frac{3}{4}mV^2$.
તેથી $v'^2 > \frac{3}{2}V^2$,જેનો અર્થ છે કે $v' > \sqrt{\frac{3}{2}}V$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે આપાત ઉર્જા $E_1 = 2\Phi$ હોય,ત્યારે મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_1 = 2\Phi - \Phi = \Phi$ થાય.
$K_1 = \frac{1}{2} m V_1^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2} m V_1^2 = \Phi$,જેનો અર્થ છે કે $V_1 = \sqrt{\frac{2\Phi}{m}}$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે આપાત ઉર્જા $E_2 = 3\Phi$ હોય,ત્યારે મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_2 = 3\Phi - \Phi = 2\Phi$ થાય.
$K_2 = \frac{1}{2} m V_2^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2} m V_2^2 = 2\Phi$,જેનો અર્થ છે કે $V_2 = \sqrt{\frac{4\Phi}{m}}$.
$V_1: V_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\sqrt{\frac{2\Phi}{m}}}{\sqrt{\frac{4\Phi}{m}}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $V_1: V_2$ એ $1: \sqrt{2}$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - \Phi_0$,જ્યાં $K_{max}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે,$h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે,અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$1$. પ્રકાશનો તરંગવાદ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરને સમજાવવામાં નિષ્ફળ જાય છે કારણ કે તે ઈલેક્ટ્રોનના ત્વરિત ઉત્સર્જન અથવા થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિના અસ્તિત્વને સમજાવી શકતો નથી.
$2$. $K_{max}$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $(
u)$ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં.
$3$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ એ $eV_s = K_{max} = h\nu - \Phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,તે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુના વર્ક ફંક્શન બંને પર આધાર રાખે છે.
$4$. સંતૃપ્ત પ્રવાહ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,જેમ તીવ્રતા વધે છે,તેમ સંતૃપ્ત પ્રવાહ વધે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,જ્યાં $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e \left( \frac{V_1}{6} \right) = \frac{hc}{3\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left( \frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$6 = \frac{\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$6 \left( \frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{2}{\lambda_1} - \frac{6}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{2}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_1} = \frac{6}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{\lambda_1} = \frac{5}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 5\lambda_1$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v$ હોવાથી,કાર્ય વિધેય $\Phi = hv$ થાય.
$4v$ આવૃત્તિ ધરાવતા આપાત વિકિરણની ઊર્જા $E = h(4v) = 4hv$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{max} = 4hv - hv = 3hv$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$,તેથી:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = 3hv$.
$v_{max}$ માટે ઉકેલતા:
$v_{max}^2 = \frac{6hv}{m}$.
$v_{max} = \sqrt{\frac{6hv}{m}}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV_s = h\nu - \phi$
$V_s = (h/e)\nu - (\phi/e)$
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને ઢાળ $m = h/e$ મળે છે.
અહીં,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે.
કારણ કે $h$ અને $e$ બંને સાર્વત્રિક અચળાંકો છે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ વિરુદ્ધ આવૃત્તિના આલેખનો ઢાળ પદાર્થના વર્ક ફંક્શન $\phi$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,બંને પદાર્થો માટે ઢાળ સમાન છે,એટલે કે $h/e$.
આમ,ઢાળનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$eV_s = h\nu - \phi$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$V_s$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi}{e}$
આ એક સુરેખ રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,બે બિંદુઓ $( \nu_1, V_1 )$ અને $( \nu_2, V_2 )$ નો ઉપયોગ કરીને રેખાનો ઢાળ શોધી શકાય છે:
ઢાળ $= \frac{V_2 - V_1}{\nu_2 - \nu_1}$
ઢાળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{h}{e} = \frac{V_2 - V_1}{\nu_2 - \nu_1}$
તેથી,પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ નું મૂલ્ય:
$h = \frac{e(V_2 - V_1)}{\nu_2 - \nu_1}$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = \Phi + K_{max}$,જ્યાં $\Phi$ એ કાર્ય વિધેય છે અને $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ અને વેગ $V$ માટે: $\frac{hc}{\lambda_1} = \Phi + \frac{1}{2}mV^2$ --- $(1)$
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ અને વેગ $2V$ માટે: $\frac{hc}{\lambda_2} = \Phi + \frac{1}{2}m(2V)^2 = \Phi + 2mV^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$. તેને $4$ વડે ગુણતા,$2mV^2 = \frac{4hc}{\lambda_1} - 4\Phi$ મળે.
આ કિંમતને $(2)$ માં મૂકતા: $\frac{hc}{\lambda_2} = \Phi + \frac{4hc}{\lambda_1} - 4\Phi$.
$\frac{hc}{\lambda_2} = \frac{4hc}{\lambda_1} - 3\Phi$.
$3\Phi = \frac{4hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = hc \left( \frac{4\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2} \right)$.
$\Phi = \frac{hc}{3 \lambda_1 \lambda_2} (4 \lambda_2 - \lambda_1)$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $K_{max} = eV_s$ છે,તેથી $eV_s = h\nu - \phi$ અથવા $V_s = \frac{h\nu}{e} - \frac{\phi}{e}$ મળે.
શરૂઆતમાં,ધારો કે આવૃત્તિ $\nu_1$ છે અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s1} = \frac{h\nu_1}{e} - \frac{\phi}{e}$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે,$\nu_2 = 2\nu_1$,ત્યારે નવું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s2} = \frac{h(2\nu_1)}{e} - \frac{\phi}{e} = \frac{2h\nu_1}{e} - \frac{\phi}{e}$ થાય.
$V_{s2}$ ની $V_{s1}$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_{s2} = 2V_{s1} + \frac{\phi}{e}$.
અહીં $\frac{\phi}{e} > 0$ હોવાથી,$V_{s2} > 2V_{s1}$ થાય.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ બમણા કરતા વધારે થશે.

(D) પદાર્થની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ છે. પ્રારંભિક આપાત આવૃત્તિ $\nu_1 = 3\nu_0$ છે.
જ્યારે આપાત આવૃત્તિ બદલીને $\nu_2 = \frac{1}{4} \nu_1 = \frac{1}{4} (3\nu_0) = 0.75 \nu_0$ કરવામાં આવે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર થવા માટે,આપાત આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી $(\nu \ge \nu_0)$ હોવી જોઈએ.
નવી આવૃત્તિ $\nu_2 = 0.75 \nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ કરતા ઓછી હોવાથી,આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા ગમે તેટલી હોય તો પણ કોઈ ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે નહીં.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ શૂન્ય થશે.

(A) $1$. આવૃત્તિ $(f)$: સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ પોટેન્શિયલ છે જ્યાં ફોટોકરન્ટ શૂન્ય થાય છે. તે $eV_0 = hf - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે. વધુ નકારાત્મક સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ આપાત વિકિરણની ઊંચી આવૃત્તિ સૂચવે છે.
આલેખ પરથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{0a} = V_{0b} < V_{0c} < V_{0d}$ છે.
તેથી,$f_a = f_b < f_c < f_d$.
$2$. તીવ્રતા $(I)$: સેચ્યુરેશન કરન્ટ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. આલેખ પરથી,વક્ર $c$ અને $d$ માટે સેચ્યુરેશન કરન્ટ સમાન છે,જ્યારે $a$ અને $b$ માટે સેચ્યુરેશન કરન્ટ ઓછા છે.
આમ,$I_c = I_d$ અને $I_a < I_b < I_c = I_d$.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ તારવેલા સંબંધો સાથે સૌથી વધુ સુસંગત છે,ખાસ કરીને $f_b = f_a$ (કારણ કે $f_a = f_b$) અને $I_c = I_d$.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત ફોટોનની ઉર્જા $(E)$ ધાતુની સપાટીના વર્ક ફંક્શન $(\Phi_0)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય.
આપાત ઉર્જા $E = 2.41 \ eV$ આપેલ છે.
વર્ક ફંક્શન નીચે મુજબ છે:
$Cs$ માટે: $\Phi_0 = 2.14 \ eV$
$K$ માટે: $\Phi_0 = 2.30 \ eV$
$Na$ માટે: $\Phi_0 = 2.75 \ eV$
$E$ ની $\Phi_0$ સાથે સરખામણી કરતા:
$Cs$ માટે: $2.41 \ eV > 2.14 \ eV$ (ઉત્સર્જન થશે)
$K$ માટે: $2.41 \ eV > 2.30 \ eV$ (ઉત્સર્જન થશે)
$Na$ માટે: $2.41 \ eV < 2.75 \ eV$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં)
તેથી, $Cs$ અને $K$ બંને સપાટીઓ ફોટોઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $W$ એ કાર્ય વિધેય છે.
કિસ્સો $1$: $E_1 = 4W$.
$K_1 = 4W - W = 3W$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv_1^2 = 3W$,તેથી $v_1 = \sqrt{\frac{6W}{m}}$.
કિસ્સો $2$: $E_2 = 6W$.
$K_2 = 6W - W = 5W$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{2}mv_2^2 = 5W$,તેથી $v_2 = \sqrt{\frac{10W}{m}}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{6W/m}}{\sqrt{10W/m}} = \sqrt{\frac{6}{10}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{3}: \sqrt{5}$ થાય.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi$ છે, જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $E_1 = 3\phi$. તેથી, $K_{max1} = 3\phi - \phi = 2\phi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$, તેથી $\frac{1}{2}mv_1^2 = 2\phi$ --- $(1)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $E_2 = 7\phi$. તેથી, $K_{max2} = 7\phi - \phi = 6\phi$.
તેથી, $\frac{1}{2}mv_2^2 = 6\phi$ --- $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા: $\frac{v_2^2}{v_1^2} = \frac{6\phi}{2\phi} = 3$.
તેથી, $v_2 = v_1 \sqrt{3}$.
અહીં $v_1 = 4 \times 10^6 \,m/s$ આપેલ છે, તેથી $v_2 = 4 \sqrt{3} \times 10^6 \,m/s$ મળે.

(C) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ $e = -\frac{d\Phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ $(I)$ $I = \frac{e}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$ છે,જ્યાં $R$ એ લૂપનો અવરોધ છે.
લૂપમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $(q)$ $q = \int I dt$ દ્વારા મળે છે.
$I$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને મળે છે $q = \int -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt} dt = -\frac{1}{R} \int d\Phi$.
તેથી,$q = -\frac{\Delta\Phi}{R}$,જ્યાં $\Delta\Phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો કુલ ફેરફાર છે.
આમ,પ્રેરિત કુલ વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા કુલ ફેરફાર પર આધાર રાખે છે.

(B) $L$ આત્મ-પ્રેરકત્વ ધરાવતા ઇન્ડક્ટરમાં $I$ પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આપણે ચુંબકીય ફ્લક્સ સ્થાપિત કરવા માટે થયેલ કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ,તો તે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જાને સમકક્ષ છે.
એકમ પ્રવાહ $(I = 1 \ A)$ માટે,સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L (1)^2 = \frac{L}{2}$ છે.
તેથી,$L = 2U$.
આનો અર્થ એ છે કે આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ પરિપથમાં એકમ પ્રવાહ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સ્થાપિત કરવા માટે થયેલ કાર્ય (અથવા સંગ્રહિત ઉર્જા) ના બમણા જેટલું હોય છે.

(B) જ્યારે ઇન્ડક્ટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ એ વ્યક્તિગત ઇન્ડક્ટન્સના સરવાળા જેટલું હોય છે.
દરેક $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા ત્રણ ઇન્ડક્ટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,$L_{eq} = L + L + L = 3L$ થાય.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ છે.
$L_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} (3L) I^2 = \frac{3}{2} L I^2$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) બલ્બની તેજસ્વિતા પરિપથમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ પર આધાર રાખે છે,જ્યાં $I = \frac{V}{Z}$. $LR$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L = 2\pi f L$. તેજસ્વિતા ઘટવા માટે,પ્રવાહ $I$ ઘટવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધવો જોઈએ.
$1$. જ્યારે ગૂંચળામાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરમીબિલિટી વધવાને કારણે આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધે છે. પરિણામે,$X_L$ વધે છે,$Z$ વધે છે,અને પ્રવાહ $I$ ઘટે છે,જેનાથી તેજસ્વિતામાં ઘટાડો થાય છે.
$2$. જો આવૃત્તિ $f$ ઘટાડવામાં આવે,તો $X_L$ ઘટે છે,$Z$ ઘટે છે,અને પ્રવાહ $I$ વધે છે,જેનાથી તેજસ્વિતા વધે છે.
$3$. જો આંટાની સંખ્યા $N$ ઘટાડવામાં આવે,તો $L$ ઘટે છે (કારણ કે $L \propto N^2$),$X_L$ ઘટે છે,$Z$ ઘટે છે,અને પ્રવાહ $I$ વધે છે,જેનાથી તેજસ્વિતા વધે છે.
$4$. કેપેસિટર ઉમેરવાથી જો પરિપથ રેઝોનન્સમાં આવે તો પ્રવાહ વધે છે,ઘટે નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આ પરિપથમાં $0.7 \ H$ ના બે ઇન્ડક્ટર સમાંતર જોડાણમાં છે,જે ત્યારબાદ $0.85 \ H$ ના ઇન્ડક્ટર સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
પ્રથમ,બે સમાંતર ઇન્ડક્ટરનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $(L_p)$ ગણો:
$\frac{1}{L_p} = \frac{1}{0.7} + \frac{1}{0.7} = \frac{2}{0.7}$
$L_p = \frac{0.7}{2} = 0.35 \ H$
હવે,આ સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $0.85 \ H$ ના ઇન્ડક્ટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
કુલ સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $(L_{eq})$ છે:
$L_{eq} = L_p + 0.85 \ H$
$L_{eq} = 0.35 \ H + 0.85 \ H = 1.20 \ H$
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $1.20 \ H$ છે.

(B) $1$. પરિપથનું વિશ્લેષણ: પરિપથ શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ઇન્ડક્ટર્સનો બનેલો છે.
$2$. $2 H$ અને $3 H$ ના ઇન્ડક્ટર્સ ઇનપુટ નોડ $A$ અને કેન્દ્રિય નોડ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} H$ થાય.
$3$. $4 H$ અને $6 H$ ના ઇન્ડક્ટર્સ કેન્દ્રિય નોડ અને આઉટપુટ નોડ $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_2 = \frac{4 \times 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} H$ થાય.
$4$. આ બંને સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટર્સ $L_1$ અને $L_2$ શ્રેણીમાં છે.
$5$. કુલ સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq} = L_1 + L_2 = \frac{6}{5} + \frac{12}{5} = \frac{18}{5} = 3.6 H$ થાય.

(D) જ્યારે પ્રવાહ તેના સ્થાયી મૂલ્ય $I_0$ પર પહોંચે ત્યારે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I_0^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સ્થાયી પ્રવાહ $I_0$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે: $I_0 = \frac{V}{R}$.
બંને સર્કિટમાં સમાન $e.m.f.$ $V = 10 \ V$ અને સમાન અવરોધ $R = 40 \ \Omega$ હોવાથી,સ્થાયી પ્રવાહ $I_0$ બંને સર્કિટ માટે સમાન છે.
તેથી,સર્કિટ $A$ અને સર્કિટ $B$ માં સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_A}{U_B} = \frac{\frac{1}{2} L_A I_0^2}{\frac{1}{2} L_B I_0^2} = \frac{L_A}{L_B}$ થશે.
આપેલ છે કે $L_A = 10 \ H$ અને $L_B = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H = 0.01 \ H$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{10}{0.01} = 1000$ છે.

(C) આપેલ છે: દરેક ઇન્ડક્ટરનું ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = L_2 = 80 \ mH = 80 \times 10^{-3} \ H$.
ઇન્ડક્ટર્સ સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$.
$L_{eq} = \frac{L_1 \times L_2}{L_1 + L_2} = \frac{80 \times 80}{80 + 80} \ mH = \frac{6400}{160} \ mH = 40 \ mH = 40 \times 10^{-3} \ H$.
સંયોજનમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I = 2.1 \ A$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ છે.
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-3}) \times (2.1)^2$.
$U = 20 \times 10^{-3} \times 4.41$.
$U = 88.2 \times 10^{-3} \ J = 8.82 \times 10^{-2} \ J$.

(A) $L-R$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ (સમય અચળાંક) ગુણોત્તર $\tau = \frac{L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\tau$ એ સમય દર્શાવે છે,તેથી તેનો $SI$ એકમ સેકન્ડ $(s)$ છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ: ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2} A^{-2}]$ છે અને અવરોધ $R$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ છે.
તેથી,$\frac{L}{R}$ નું પરિમાણ $\frac{[M L^2 T^{-2} A^{-2}]}{[M L^2 T^{-3} A^{-2}]} = [T]$ થાય છે.
આમ,$\frac{L}{R}$ નો $SI$ એકમ સેકન્ડ છે.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ,$\phi_1 = 4 \times 10^{-4} \ Wb$.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ,$\phi_2 = \phi_1$ ના $30 \% = 0.30 \times 4 \times 10^{-4} \ Wb = 1.2 \times 10^{-4} \ Wb$.
પ્રેરિત e.m.f.,$|e| = 0.56 \ mV = 0.56 \times 10^{-3} \ V$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|e| = |\frac{\Delta \phi}{\Delta t}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |1.2 \times 10^{-4} - 4 \times 10^{-4}| = 2.8 \times 10^{-4} \ Wb$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.56 \times 10^{-3} = \frac{2.8 \times 10^{-4}}{t}$.
$t = \frac{2.8 \times 10^{-4}}{0.56 \times 10^{-3}} = \frac{2.8}{5.6} = 0.5 \ s$.
તેથી,$t$ નું મૂલ્ય $0.5 \ s$ છે.

(B) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આ વિરોધનો અર્થ એ છે કે ચુંબકને કોઈ ગૂંચળાની નજીક કે દૂર લઈ જવા માટે ચુંબકીય બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
આ કરવામાં આવેલ યાંત્રિક કાર્ય ગૂંચળામાં વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,લેન્ઝનો નિયમ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર $\varepsilon = B l v \sin \theta$ છે,જ્યાં $l$ એ વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ વાહકની લંબાઈ છે.
પ્રારંભિક કિસ્સામાં,કોઈલની લંબાઈ શિરોલંબ છે,તેથી $L$ લંબાઈની શિરોલંબ બાજુ વેગ $v$ (જે સમક્ષિતિજ છે) ને લંબ છે. આમ,પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon_1 = B L v$ મળે છે.
કોઈલને $90^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી,લંબાઈ $L$ સમક્ષિતિજ (વેગ $v$ ને સમાંતર) થઈ જાય છે. જે બાજુ અગાઉ સમક્ષિતિજ હતી (પહોળાઈ $W$),તે હવે શિરોલંબ બને છે. હવે પ્રેરિત e.m.f. વેગને લંબ બાજુ દ્વારા નક્કી થાય છે,જે $W$ લંબાઈની બાજુ છે. તેથી,$\varepsilon_2 = B W v$.
સામાન્ય રીતે લંબચોરસ કોઈલની લંબાઈ $L$ તેની પહોળાઈ $W$ કરતા વધારે હોય છે $(L > W)$,તેથી નવું પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon_2$ એ પ્રારંભિક પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon_1$ કરતા ઓછું હશે.

(D) એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ભ્રમણ કરતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત e.m.f. $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $\epsilon = -\frac{d}{dt} [BA \cos(\omega t)] = BA\omega \sin(\omega t)$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta) = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\epsilon = BA\omega \cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$.
ફ્લક્સની કળા $(\omega t)$ અને પ્રેરિત e.m.f. ની કળા $(\omega t - \frac{\pi}{2})$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(B) $1$. લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. જેમ રીંગ તાર તરફ નીચે પડે છે, તેમ અંતર $r$ ઘટે છે, જેનો અર્થ છે કે રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ વધે છે.
$3$. લેન્ઝના નિયમ મુજબ, રીંગમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરશે.
$4$. તારમાંથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ જાય છે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને). સમતલની અંદર ફ્લક્સ વધી રહ્યું હોવાથી, આ ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહે સમતલની બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું પડશે.
$5$. જમણા હાથના નિયમ મુજબ, જે પ્રવાહ સમતલની બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે તે વિષમઘડી (anticlockwise) દિશામાં હોવો જોઈએ.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$.
આપેલ છે કે $\phi = 50t^2 + 4$,તેથી સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(50t^2 + 4) = 100t$.
આમ,પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = 100t$ થાય.
$t = 2 \ s$ સમયે,પ્રેરિત $EMF$ $|\varepsilon| = 100(2) = 200 \ V$ મળે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ ગૂંચળામાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ છે.
અવરોધ $R = 400 \ \Omega$ આપેલ હોવાથી,$I = \frac{200}{400} = 0.5 \ A$ થાય.

(B) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,જ્યારે ગજિયો ચુંબક તાંબાની રીંગમાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થવાને કારણે રીંગમાં પ્રેરિત $EMF$ અને એડી કરંટ (ભમર પ્રવાહ) ઉત્પન્ન થાય છે.
આ પ્રેરિત પ્રવાહ એક એવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
જ્યારે ચુંબક રીંગમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ચુંબક પર ઉપરની તરફ અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
જ્યારે ચુંબક રીંગમાંથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ચુંબક પર ઉપરની તરફ આકર્ષણ બળ લગાડે છે.
બંને કિસ્સામાં,પ્રેરિત ચુંબકીય બળ ચુંબકની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં (ઉપરની તરફ) લાગે છે,જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગે છે.
તેથી,ચુંબકનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a = g - a_{induced}$ થાય છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે મળતા પ્રવેગ $(g)$ કરતા ઓછો છે.

(A) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,લૂપમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રેરિત પ્રવાહ તેના ઉત્પન્ન થવાના કારણનો વિરોધ કરશે. અહીં,ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ લૂપથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી લૂપ ચુંબકની સામેની બાજુએ દક્ષિણ ધ્રુવ બનાવીને તેને આકર્ષવાનો પ્રયત્ન કરશે.
આ માટે લૂપમાં (ચુંબકની બાજુથી જોતા) ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં પ્રવાહની જરૂર પડશે.
આ પ્રવાહના માર્ગને અનુસરીને,વીજભાર લૂપ દ્વારા પ્લેટ 'b' થી પ્લેટ 'a' તરફ વહે છે.
પરિણામે,પ્લેટ 'a' પર ધન વીજભાર અને પ્લેટ 'b' પર ઋણ વીજભાર જમા થાય છે.
તેથી,વધારાનો ધન વીજભાર પ્લેટ 'a' પર આવશે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$n$ આંટા ધરાવતા ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ $e = -n \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t$ સમયમાં ફ્લક્સમાં $\phi_1$ થી $\phi_2$ જેટલો ફેરફાર થતો હોય,તો સરેરાશ પ્રેરિત emf $|e| = n \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t} = \frac{n(\phi_1 - \phi_2)}{t}$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R/4 = \frac{5R}{4}$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|e|}{R_{total}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{n(\phi_1 - \phi_2) / t}{5R / 4} = \frac{4n(\phi_1 - \phi_2)}{5Rt}$ મળે.

(B) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -n \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = -\frac{n}{R} \frac{d\phi}{dt}$ છે.
કોઈલમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $q$ એ સમય સાથે પ્રવાહનું સંકલન છે: $q = \int I dt = \int -\frac{n}{R} \frac{d\phi}{dt} dt = -\frac{n}{R} \int d\phi$.
જ્યારે કોઈલને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_{final} - \phi_{initial} = 0 - BA = -BA$ થાય છે.
આ કિંમતને વિદ્યુતભારના સમીકરણમાં મૂકતા: $q = -\frac{n}{R} (-BA) = \frac{nBA}{R}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B$ માટે ઉકેલતા,આપણને $B = \frac{qR}{nA}$ મળે છે.

(A) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે,$\vec{B} = B_0(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$.
ચોરસ $x-y$ સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $x-y$ સમતલને લંબ એટલે કે $z$-અક્ષની દિશામાં હશે.
આમ,$\vec{A} = L^2 \hat{k}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$
$\Phi = [B_0(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})] \cdot [L^2 \hat{k}]$
$\Phi = B_0 L^2 (2 \hat{i} \cdot \hat{k} + 3 \hat{j} \cdot \hat{k} + 4 \hat{k} \cdot \hat{k})$
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$,અને $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$\Phi = B_0 L^2 (0 + 0 + 4(1)) = 4 B_0 L^2$.
તેથી,ફ્લક્સનું મૂલ્ય $4 B_0 L^2$ છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$n$ આંટા ધરાવતા ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ $e = -n \frac{d\Phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ માં ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1$ હોય,તો સરેરાશ પ્રેરિત emf $|e| = n \frac{|\Phi_2 - \Phi_1|}{t} = n \frac{|\Phi_1 - \Phi_2|}{t}$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|e|}{R_{total}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{n|\Phi_1 - \Phi_2| / t}{3R / 2} = \frac{2n|\Phi_1 - \Phi_2|}{3Rt}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) જ્યારે ગજિયા ચુંબકને સંપૂર્ણ વાહક રીંગમાંથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારને કારણે રીંગમાં પ્રેરિત પ્રવાહ વહે છે,જે લેન્ઝના નિયમ મુજબ ચુંબકની ગતિનો વિરોધ કરતું અપાકર્ષી બળ ઉત્પન્ન કરે છે,પરિણામે પ્રવેગ $g$ કરતા ઓછો મળે છે.
જોકે,આ કિસ્સામાં,તાંબાની રીંગમાં કાપો છે,જેનો અર્થ છે કે તે સંપૂર્ણ લૂપ બનાવતી નથી. તેથી,રીંગમાં કોઈ પ્રેરિત પ્રવાહ વહી શકતો નથી.
કોઈ પ્રેરિત પ્રવાહ ન હોવાથી,ચુંબક પર તેની ગતિનો વિરોધ કરતું કોઈ ચુંબકીય બળ (અપાકર્ષી કે આકર્ષી) લાગતું નથી.
પરિણામે,પડતા ચુંબક પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જ લાગે છે.
આમ,પડતા ચુંબકનો પ્રવેગ $g$ જેટલો જ રહે છે.

(C) આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times 10^{-2} \, T$
ક્ષેત્રફળ $A = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$
આંટાની સંખ્યા $N = 50$
પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon = 0.1 \, V$
કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A \cdot \cos(0^\circ) = B \cdot A$ થાય.
પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_i = B \cdot A = (4 \times 10^{-2} \, T) \times (10^{-2} \, m^2) = 4 \times 10^{-4} \, Wb$.
અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_f = 0$ (કારણ કે તેને ક્ષેત્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે).
ફેરાડેના નિયમ મુજબ સરેરાશ પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય:
$|\varepsilon| = N \cdot \frac{|\Delta \phi|}{t} = N \cdot \frac{|\phi_f - \phi_i|}{t}$
$0.1 = 50 \times \frac{|0 - 4 \times 10^{-4}|}{t}$
$0.1 = \frac{50 \times 4 \times 10^{-4}}{t}$
$0.1 = \frac{200 \times 10^{-4}}{t} = \frac{0.02}{t}$
$t = \frac{0.02}{0.1} = 0.2 \, s$.
તેથી, '$t$' નું મૂલ્ય $0.2 \, s$ છે.

(C) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,લૂપમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રેરિત પ્રવાહ તેની સાથે સંકળાયેલા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
જ્યારે સમાન દિશામાં પ્રવાહ ધરાવતા બે કોએક્સિયલ લૂપ્સ એકબીજાની નજીક આવે છે,ત્યારે બીજા લૂપના ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે દરેક લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે.
આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,દરેક લૂપમાં મૂળ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે.
મૂળ પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
તેથી,દરેક લૂપમાં ચોખ્ખો પ્રવાહ ઘટે છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$N$ આંટા ધરાવતી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ $e = -N \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t$ સમયમાં ફ્લક્સ $\phi_1$ થી $\phi_2$ માં થતા ફેરફાર માટે,સરેરાશ પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|e| = N \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t}$ થાય.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ એ કોઈલ અને ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધનો સરવાળો છે: $R_{total} = R + 6R = 7R$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|e|}{R_{total}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = \frac{N|\phi_2 - \phi_1|}{7Rt}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 3 \,m^2$, પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 0.05 \,Wb/m^2$, સમય $dt = 10 \,s$.
ગૂંચળું ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવ્યું છે, તેથી ખૂણો $\theta = 0^\circ$ અને $\cos \theta = 1$.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1 = B_1 A = 0.05 \times 3 = 0.15 \,Wb$.
ક્ષેત્ર તેના મૂળ મૂલ્યના $20 \%$ સુધી ઘટે છે, તેથી $B_2 = 0.20 \times 0.05 = 0.01 \,Wb/m^2$.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = B_2 A = 0.01 \times 3 = 0.03 \,Wb$.
પ્રેરિત e.m.f. ફેરાડેના નિયમ દ્વારા મળે છે: $|e| = |\frac{d\phi}{dt}| = |\frac{\phi_2 - \phi_1}{dt}|$.
$|e| = |\frac{0.03 - 0.15}{10}| = |\frac{-0.12}{10}| = 0.012 \,V$.
મિલીવોલ્ટમાં ફેરવતા: $0.012 \,V = 12 \,mV$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $L$ લંબાઈના વાહકમાં ઉત્પન્ન થતું ગતિકીય e.m.f. $\varepsilon = BLv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લોલક માટે,મહત્તમ વેગ $v_{max}$ દોલનના સૌથી નીચલા બિંદુએ મળે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ ખૂણા $\theta$ પરની સ્થિતિ ઉર્જા સૌથી નીચલા બિંદુએ ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgL(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv_{max}^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$v_{max}^2 = 2gL(1 - \cos \theta)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta / 2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v_{max}^2 = 2gL(2 \sin^2(\theta / 2)) = 4gL \sin^2(\theta / 2)$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$v_{max} = 2\sqrt{gL} \sin(\theta / 2)$.
e.m.f. ના સૂત્રમાં $v_{max}$ ની કિંમત મૂકતા: $\varepsilon_{max} = BL(2\sqrt{gL} \sin(\theta / 2)) = 2BL\sqrt{gL} \sin(\theta / 2)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $V$ વેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર રહેલી $\ell$ લંબાઈની આડી બાજુ પર પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = B \ell V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B \ell V}{R}$ છે.
લૂપની આડી બાજુ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = I \ell B = \left( \frac{B \ell V}{R} \right) \ell B = \frac{B^2 \ell^2 V}{R}$ છે.
લૂપ અચળ વેગ $V$ સાથે મુક્તપણે નીચે પડે તે માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગતા ચુંબકીય બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ:
$mg = F_m$
$mg = \frac{B^2 \ell^2 V}{R}$
$V$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$V = \frac{mg R}{B^2 \ell^2}$.

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતી $r_1$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r_1 > r_2$ હોવાથી,મોટી કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાની કોઈલના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે.
$r_2$ ત્રિજ્યાની નાની કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) (\pi r_2^2)$ છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\phi = M I$ થાય છે.
તેથી,$M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$.

(D) પરસ્પર પ્રેરણને કારણે ગૌણ ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતા પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$|\varepsilon| = M \cdot \left| \frac{dI}{dt} \right|$
આપેલ છે:
પરસ્પર પ્રેરકત્વ $M = 2 \text{ H}$
પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon = 2 \text{ kV} = 2000 \text{ V}$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I = 6 \text{ A} - 3 \text{ A} = 3 \text{ A}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2000 = 2 \cdot \left( \frac{3}{\Delta t} \right)$
$2000 = \frac{6}{\Delta t}$
$\Delta t = \frac{6}{2000} \text{ s}$
$\Delta t = 3 \times 10^{-3} \text{ s}$
તેથી,જરૂરી સમય $3 \times 10^{-3} \text{ s}$ છે.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં ઉત્પન્ન થતું ઇન્ડ્યુસ્ડ e.m.f. $(e)$ સૂત્ર $e = -L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$L$ એ ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે,જે અચળ છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઇન્ડ્યુસ્ડ e.m.f. પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે (લેન્ઝનો નિયમ).
જેમ કે $L$ અચળ છે,તેથી $e$ અને $\frac{dI}{dt}$ વચ્ચેનો સંબંધ $y = mx$ પ્રકારનું રેખીય સમીકરણ છે,જ્યાં $m = -L$ છે.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આપેલા ગ્રાફ જોતા,ગ્રાફ $B$ એ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતી અને જેમ $\frac{dI}{dt}$ વધે તેમ ઋણ $e$ વિસ્તારમાં જતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે $e = -L \frac{dI}{dt}$ સંબંધને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) લાંબા સોલેનોઇડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\ell$ એ લંબાઈ છે.
ધારો કે $r$ એ સોલેનોઇડની ત્રિજ્યા છે,તેથી $A = \pi r^2$. આમ,$L = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{\ell}$.
તારની કુલ લંબાઈ $W$ એ એક આંટાનો પરિઘ ગુણ્યા આંટાની સંખ્યા છે: $W = N(2 \pi r)$.
આના પરથી,$N = \frac{W}{2 \pi r}$.
$N$ ની કિંમત ઇન્ડક્ટન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $L = \frac{\mu_0 (W / 2 \pi r)^2 \pi r^2}{\ell} = \frac{\mu_0 W^2 \pi r^2}{\ell (4 \pi^2 r^2)} = \frac{\mu_0 W^2}{4 \pi \ell}$.
$W$ માટે ઉકેલતા: $W^2 = \frac{4 \pi \ell L}{\mu_0}$,જે આપે છે $W = \left[\frac{4 \pi \ell L}{\mu_0}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(A) કોઈલ $Q$ માં બદલાતા પ્રવાહને કારણે કોઈલ $P$ માં પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon_P = M \frac{dI_Q}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આપેલ છે કે $\varepsilon_P = 15 \ mV = 15 \times 10^{-3} \ V$ અને $\frac{dI_Q}{dt} = 10 \ A/s$.
$15 \times 10^{-3} = M \times 10 \implies M = 1.5 \times 10^{-3} \ H = 1.5 \ mH$.
જ્યારે કોઈલ $P$ માંથી પ્રવાહ $I_P$ વહે છે ત્યારે કોઈલ $Q$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_Q = M I_P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I_P = 1.8 \ A$ અને $M = 1.5 \ mH$.
$\phi_Q = 1.5 \ mH \times 1.8 \ A = 2.7 \ mWb$.

(C) સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ સૂત્ર $L = \mu_0 n^2 A l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ કોઈલની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે તમામ રેખીય પરિમાણોમાં $k = 3$ ના ગુણાંકમાં વધારો થાય છે:
$1$. લંબાઈ $l$ એ $l' = kl = 3l$ થાય છે.
$2$. આડછેદ લંબચોરસ હોવાથી,જો તેની બાજુઓ $a$ અને $b$ હોય,તો ક્ષેત્રફળ $A = ab$ થાય. જ્યારે પરિમાણોને $k$ વડે સ્કેલ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (ka)(kb) = k^2 A = 3^2 A = 9A$ થાય છે.
$3$. એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ અચળ રહે છે.
આ કિંમતોને નવા ઇન્ડક્ટન્સ $L'$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L' = \mu_0 n^2 A' l' = \mu_0 n^2 (k^2 A) (kl) = k^3 (\mu_0 n^2 A l) = k^3 L$.
$k = 3$ મૂકતા:
$L' = 3^3 L = 27L$.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ $27$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(B) ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ ને $\phi = LI$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આ સમીકરણ પરથી,સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને $L = \frac{\phi}{I}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ આલેખમાં,$\phi$ ને $y$-અક્ષ પર અને $I$ ને $x$-અક્ષ પર દર્શાવવામાં આવ્યું છે.
તેથી,$\phi-I$ આલેખનો ઢાળ ઇન્ડક્ટરના સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને દર્શાવે છે.
આલેખનો ઢાળ $\tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ રેખા દ્વારા પ્રવાહ અક્ષ ($I$-અક્ષ) સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
જેમ ખૂણો $\theta$ વધે છે,તેમ $\tan(\theta)$ નું મૂલ્ય વધે છે.
આલેખ જોતા,ઇન્ડક્ટર $P$ માટેની રેખા $I$-અક્ષ સાથે સૌથી મોટો ખૂણો બનાવે છે.
આમ,ઇન્ડક્ટર $P$ નો ઢાળ સૌથી વધુ છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ સૌથી વધુ છે.

(D) આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ ને કારણે ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -L \frac{di}{dt}$.
અહીં,વિદ્યુતપ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta i = i_f - i_i = (-5 \ A) - (5 \ A) = -10 \ A$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 0.5 \ s$ છે.
પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|e| = 2 \ V$ છે.
મૂલ્યના સૂત્ર $|e| = L \left| \frac{\Delta i}{\Delta t} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = L \left( \frac{10 \ A}{0.5 \ s} \right)$.
$2 = L \times 20$.
$L = \frac{2}{20} \ H = 0.1 \ H$.
મિલીહેન્રી $(mH)$ માં રૂપાંતર કરતા: $0.1 \ H = 100 \ mH$.