MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઉષ્મા (ઉત્સર્જક પાવર) $E = \epsilon \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\epsilon$ એ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ સમાન ઉષ્માનું વિકિરણ કરે છે,તેથી $E_A = E_B$.
તેથી,$\epsilon_A \sigma T_1^4 = \epsilon_B \sigma T_2^4$.
ઉત્સર્જકતાનો ગુણોત્તર $\frac{\epsilon_A}{\epsilon_B} = \frac{16}{1}$ આપેલ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $16 \sigma T_1^4 = 1 \sigma T_2^4$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $16 T_1^4 = T_2^4$ મળે છે.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા: $2 T_1 = T_2$,જેનો અર્થ છે કે $T_1 = 0.5 T_2$.
આને $T_1 = x T_2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 0.5$ મળે છે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,જે તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ પર કૃષ્ણ પદાર્થ મહત્તમ ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે તે તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda_m T = b$ (અચળાંક).
ધારો કે $\lambda_A$ અને $\lambda_B$ એ પદાર્થ $A$ અને $B$ માટે મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ છે,અને $T_A$ અને $T_B$ તેમના તાપમાન છે.
આપેલ છે: $T_A = 3T_B$.
વીનના નિયમ પરથી: $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$.
$T_A$ ની કિંમત મૂકતા: $\lambda_A (3T_B) = \lambda_B T_B$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_B = 3\lambda_A$.
તરંગલંબાઈનો તફાવત આપેલ છે: $\lambda_B - \lambda_A = 4 \mu m$.
$\lambda_B = 3\lambda_A$ મૂકતા: $3\lambda_A - \lambda_A = 4 \mu m$,તેથી $2\lambda_A = 4 \mu m$,જે $\lambda_A = 2 \mu m$ આપે છે.
તેથી,$\lambda_B = 3 \times 2 \mu m = 6 \mu m$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$A$ ક્ષેત્રફળ અને $T$ તાપમાન ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે.
ગોળાકાર કૃષ્ણ પદાર્થ માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma (4 \pi R^2) T^4$ થાય.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન પાવરનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી $P_1 = P_2$.
માટે,$\sigma (4 \pi R_1^2) T_1^4 = \sigma (4 \pi R_2^2) T_2^4$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$R_1^2 T_1^4 = R_2^2 T_2^4$ મળે.
ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2}$ શોધવા માટે,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{T_2^4}{T_1^4}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{T_2^4}{T_1^4}} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$ મળે.

(C) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ, $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{80 - 50}{5} = K \left( \frac{80 + 50}{2} - 20 \right) \implies 6 = K(65 - 20) \implies 6 = 45K \implies K = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{50 - 30}{t} = K \left( \frac{50 + 30}{2} - 20 \right) \implies \frac{20}{t} = K(40 - 20) \implies \frac{20}{t} = 20K \implies \frac{1}{t} = K$.
$K = \frac{2}{15}$ કિંમત મૂકતા, $\frac{1}{t} = \frac{2}{15} \implies t = 7.5 \text{ min}$.
કુલ લાગતો સમય $5 \text{ min} + 7.5 \text{ min} = 12.5 \text{ min}$ છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,વિકિરણનો દર $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ પૃષ્ઠફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$,$A_1 = 4 \ cm \times 2 \ cm = 8 \ cm^2$,$E_1 = E = \sigma A_1 T_1^4$.
અંતિમ સ્થિતિ: $T_2 = T_1 + 400 = 400 + 400 = 800 \ K$,$A_2 = A_1 / 2 = 4 \ cm^2$.
નવો વિકિરણનો દર $E_2 = \sigma A_2 T_2^4$.
ગુણોત્તર લેતા: $E_2 / E_1 = (A_2 / A_1) \times (T_2 / T_1)^4$.
$E_2 / E = (1/2) \times (800 / 400)^4 = (1/2) \times (2)^4 = 16 / 2 = 8$.
તેથી,$E_2 = 8E$.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's Displacement Law) મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\lambda_m T = \text{અચળ}$,અથવા $\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
આપેલ છે: $\lambda_1 = \lambda$,$T_1 = T$,અને $T_2 = 1.5 \ T = \frac{3}{2} \ T$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda \cdot T = \lambda_2 \cdot (1.5 \ T)$
$\lambda_2 = \frac{\lambda \cdot T}{1.5 \ T} = \frac{\lambda}{1.5} = \frac{\lambda}{3/2} = \frac{2 \lambda}{3}$.
તેથી,નવી તરંગલંબાઈ $\frac{2 \lambda}{3}$ થશે.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળ}$, તેથી $T \propto \frac{1}{\lambda_m}$.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_P}{\lambda_Q} = \frac{4}{5}$ આપેલ છે, તેથી તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_P}{T_Q} = \frac{\lambda_Q}{\lambda_P} = \frac{5}{4}$ થશે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ ઉત્સર્જિત પાવર $E = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ છે.
તેથી, ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{r_P}{r_Q} \right)^2 \left( \frac{T_P}{T_Q} \right)^4$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_P}{r_Q} = \frac{4}{3}$ અને $\frac{T_P}{T_Q} = \frac{5}{4}$.
$\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{4}{3} \right)^2 \times \left( \frac{5}{4} \right)^4 = \frac{16}{9} \times \frac{625}{256} = \frac{625}{9 \times 16} = \frac{625}{144}$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) માંથી વિકિરણનો દર (પાવર) $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ગોળા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,$E = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
જ્યારે ત્રિજ્યા $R' = R/2$ અને તાપમાન $T' = 3T$ થાય છે,ત્યારે નવો વિકિરણનો દર $E'$ નીચે મુજબ મળે:
$E' = \sigma (4 \pi (R/2)^2) (3T)^4$
$E' = \sigma (4 \pi R^2 / 4) (81 T^4)$
$E' = \frac{81}{4} \sigma (4 \pi R^2) T^4$
કારણ કે $E = \sigma (4 \pi R^2) T^4$,તેથી $E' = \frac{81}{4} E$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$A$ ક્ષેત્રફળ અને $T$ તાપમાન ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે.
ગોળાકાર પદાર્થ માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ થાય.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન પાવરનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી $P_1 = P_2$.
માટે,$\sigma (4 \pi r_1^2) T_1^4 = \sigma (4 \pi r_2^2) T_2^4$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$r_1^2 T_1^4 = r_2^2 T_2^4$ મળે.
ગુણોત્તર $\frac{r_2}{r_1}$ શોધવા માટે,$\frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{T_1^4}{T_2^4}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{r_2}{r_1} = \frac{T_1^2}{T_2^2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$ મળે.

(A) સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = A \sigma T^4$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર તારા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
તેથી,તારા દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = (4 \pi r^2) \sigma T^4$ છે.
આ પાવર તારાના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે આવેલા $R$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પૃષ્ઠ પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
$R$ અંતરે તીવ્રતા $I$ (એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં મળતી વિકિરણ ઉર્જા) $I = \frac{P}{4 \pi R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I = \frac{4 \pi r^2 \sigma T^4}{4 \pi R^2} = \frac{\sigma r^2 T^4}{R^2}$ મળે છે.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ,તાપમાન $T$ અને મહત્તમ વર્ણપટ ઉત્સર્જન શક્તિને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda_{m}$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$\lambda_{m} T = b$ (અચળ)
આપેલ છે:
$T_1 = 2000 \ K$
$T_2 = 3000 \ K$
ધારો કે $T_2$ તાપમાને તરંગલંબાઈ $\lambda'_{m}$ છે.
તેથી,$\lambda_{m} T_1 = \lambda'_{m} T_2$
$\lambda'_{m} = \lambda_{m} \times \frac{T_1}{T_2}$
$\lambda'_{m} = \lambda_{m} \times \frac{2000}{3000}$
$\lambda'_{m} = \frac{2}{3} \lambda_{m}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે તાપમાન $T$ પર બે સળિયાની લંબાઈ $\ell_1(T)$ અને $\ell_2(T)$ છે.
તાપમાન $T + \Delta T$ પર,નવી લંબાઈઓ $\ell_1' = \ell_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ અને $\ell_2' = \ell_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$ થશે.
બંને લંબાઈઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta \ell = \ell_1 - \ell_2$ છે.
જો આ તફાવત તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોય,તો બંને સળિયામાં થતો લંબાઈનો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta \ell_1 = \Delta \ell_2$.
તેથી,$\ell_1 \alpha_1 \Delta T = \ell_2 \alpha_2 \Delta T$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\ell_1 \alpha_1 = \ell_2 \alpha_2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$ મળે છે.

(C) કેલ્વિન સ્કેલ $(K)$ અને ફેરનહીટ સ્કેલ $(F)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\frac{K - 273.15}{5} = \frac{F - 32}{9}$.
આપેલ છે કે બંને સ્કેલ પર તાપમાન $x$ છે,તેથી સમીકરણમાં $K = x$ અને $F = x$ મૂકતા:
$\frac{x - 273.15}{5} = \frac{x - 32}{9}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $9(x - 273.15) = 5(x - 32)$.
$9x - 2458.35 = 5x - 160$.
$4x = 2458.35 - 160$.
$4x = 2298.35$.
$x = \frac{2298.35}{4} \approx 574.58$.
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા,$x \approx 574$ મળે છે.

(B) પારાના કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_0 \gamma \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે: $V_0 = 10^{-6} \,m^3$, $\gamma = 18 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$, અને $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = (10^{-6} \,m^3) \times (18 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C) \times (100^{\circ} C) = 18 \times 10^{-9} \,m^3$.
સ્ટેમનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.002 \,cm^2 = 0.002 \times 10^{-4} \,m^2 = 2 \times 10^{-7} \,m^2$.
કદમાં થતો ફેરફાર એ ક્ષેત્રફળ અને પારાના સ્તંભની લંબાઈના ગુણાકાર જેટલો હોય છે: $\Delta V = A \times L$.
તેથી, $L = \frac{\Delta V}{A} = \frac{18 \times 10^{-9} \,m^3}{2 \times 10^{-7} \,m^2} = 9 \times 10^{-2} \,m = 9 \,cm$.

(A) કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ એ કદમાં થતા ફેરફાર $\Delta V$ સાથે સૂત્ર $\Delta V = V \gamma \Delta T$ દ્વારા સંબંધિત છે.
અહીં $\frac{\Delta V}{V} = 0.33 \% = 0.0033$ અને $\Delta T = 50^{\circ} C$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.0033 = \gamma \times 50$.
તેથી,$\gamma = \frac{0.0033}{50} = 0.000066 = 6.6 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6.6 \times 10^{-5}}{3} = 2.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.

(B) ધારો કે $0^{\circ}C$ તાપમાને સળિયા $A$ અને $B$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $\ell_A$ અને $\ell_B$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈનો તફાવત તમામ તાપમાને અચળ રહે છે,તેથી કોઈપણ તાપમાનના ફેરફાર $\Delta T$ માટે બંને સળિયામાં થતો લંબાઈનો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
$\Delta \ell_A = \Delta \ell_B$
$\ell_A \alpha_A \Delta T = \ell_B \alpha_B \Delta T$
$\ell_A \alpha_A = \ell_B \alpha_B$
$\ell_A (18 \times 10^{-6}) = \ell_B (27 \times 10^{-6})$
$\ell_A / \ell_B = 27 / 18 = 3 / 2$
તેથી,$\ell_A = 1.5 \ell_B$.
આપેલ છે કે લંબાઈનો તફાવત $60 \ cm$ છે,તેથી $\ell_A - \ell_B = 60 \ cm$.
સમીકરણમાં $\ell_A = 1.5 \ell_B$ મૂકતા:
$1.5 \ell_B - \ell_B = 60 \ cm$
$0.5 \ell_B = 60 \ cm$
$\ell_B = 120 \ cm$.
તેથી,$\ell_A = 1.5 \times 120 \ cm = 180 \ cm$.
આમ,લંબાઈ $\ell_A = 180 \ cm$ અને $\ell_B = 120 \ cm$ છે.

(C) પાત્રનો કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_v)$ અને તેના રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma_v = 3\alpha$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\gamma}{3}$,તેથી $\gamma_v = 3 \times (\frac{\gamma}{3}) = \gamma$ થાય.
પ્રવાહીનો કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_l = \gamma)$ એ પાત્રના કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_v = \gamma)$ જેટલો હોવાથી,તાપમાનમાં થતા ફેરફાર માટે પ્રવાહી અને પાત્ર બંને સમાન કદના પ્રમાણમાં વિસ્તરણ પામશે.
તેથી,પાત્રમાં પ્રવાહીનું સ્તર લગભગ સમાન રહેશે.

(B) ધારો કે તાપમાન $T$ પર સ્ટીલ અને કોપરના સળિયાની લંબાઈ અનુક્રમે $L_s$ અને $L_c$ છે.
આપેલ છે કે તમામ તાપમાને $L_s - L_c = 5 \ cm$,તેથી તાપમાનમાં થતા કોઈપણ ફેરફાર $\Delta T$ માટે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\Delta L_s = \Delta L_c$.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L_s \alpha_s \Delta T = L_c \alpha_c \Delta T$.
$L_s \alpha_s = L_c \alpha_c$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $L_s (1.1 \times 10^{-5}) = L_c (1.7 \times 10^{-5})$.
$L_s / L_c = 1.7 / 1.1 = 17 / 11$.
ધારો કે $L_s = 17x$ અને $L_c = 11x$.
$L_s - L_c = 5 \ cm$ હોવાથી,$17x - 11x = 5$,જે આપણને $6x = 5$ આપે છે,તેથી $x = 5/6 \approx 0.833$.
આમ,$L_s = 17 \times (5/6) \approx 14.16 \ cm$ અને $L_c = 11 \times (5/6) \approx 9.16 \ cm$.
આ કિંમતો આશરે $14 \ cm$ અને $9 \ cm$ છે.

(B) સેલ્સિયસ $(C)$ અને ફેરનહીટ $(F)$ સ્કેલ વચ્ચેના તાપમાનનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{C}{5} = \frac{F - 32}{9}$.
અહીં આપેલ ફેરનહીટ તાપમાન $F = 140^{\circ} F$ છે.
સૂત્રમાં $F$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{C}{5} = \frac{140 - 32}{9}$
$\frac{C}{5} = \frac{108}{9}$
$\frac{C}{5} = 12$
$C = 12 \times 5 = 60^{\circ} C$.
તેથી,સેન્ટિગ્રેડ થર્મોમીટર દ્વારા નોંધાયેલ તાપમાન $60^{\circ} C$ છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T = 0$ થાય છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(U = f(T))$,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
$\Delta U = 0$ મૂકતા,આપણને $\Delta Q = \Delta W$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વાયુને આપવામાં આવતી તમામ ઉષ્માનો ઉપયોગ બાહ્ય કાર્ય કરવા માટે થાય છે.

(C) મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{5}{2}R$ અને અચળ કદે $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
જ્યારે વાયુને અચળ દબાણે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આપવામાં આવતી કુલ ઉષ્મા $dQ = n C_p dT = n (\frac{5}{2}R) dT$ છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = n C_v dT = n (\frac{3}{2}R) dT$ છે.
વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $dW = dQ - dU = n (C_p - C_v) dT = n R dT$ છે.
આંતરિક ઊર્જા માટે વપરાતી ઉષ્માનો ભાગ $A = \frac{dU}{dQ} = \frac{n (3/2) R dT}{n (5/2) R dT} = \frac{3}{5}$ છે.
બાહ્ય કાર્ય માટે વપરાતી ઉષ્માનો ભાગ $B = \frac{dW}{dQ} = \frac{n R dT}{n (5/2) R dT} = \frac{2}{5}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $A: B = \frac{3}{5} : \frac{2}{5} = 3: 2$ થાય.

(D) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$n R \Delta T = P \Delta V$ મળે છે.
ચોક્કસ ઉષ્મા $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma-1} \right) \Delta T = \frac{n R \Delta T}{\gamma-1}$.
$n R \Delta T = P \Delta V$ મૂકતા,આપણને $\Delta U = \frac{P \Delta V}{\gamma-1}$ મળે છે.
અહીં કદ $V$ થી બદલાઈને $2V$ થાય છે,તેથી કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 2V - V = V$ છે.
તેથી,$\Delta U = \frac{P(V)}{\gamma-1} = \frac{PV}{\gamma-1}$.

(B) દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2}R$ અને અચળ દબાણે $C_P = \frac{7}{2}R$ છે.
સિલિન્ડર $B$ માં,પિસ્ટન સ્થિર છે,તેથી પ્રક્રિયા સમકદ (constant volume) છે. આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_V \Delta T_B$ છે.
અહીં $\Delta T_B = 49 \ K$ આપેલ છે,તેથી $Q = n (\frac{5}{2}R) (49)$.
સિલિન્ડર $A$ માં,પિસ્ટન મુક્ત છે,તેથી પ્રક્રિયા સમદાબી (constant pressure) છે. આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_P \Delta T_A$ છે.
બંને કિસ્સામાં $Q$ સમાન હોવાથી,$n (\frac{5}{2}R) (49) = n (\frac{7}{2}R) \Delta T_A$.
$n$,$R$ અને $2$ ને બંને બાજુથી દૂર કરતા: $5 \times 49 = 7 \times \Delta T_A$.
$\Delta T_A = \frac{5 \times 49}{7} = 5 \times 7 = 35 \ K$.

(D) અચળ દબાણે થતી પ્રક્રિયા માટે,આપેલી ઉષ્મા $dQ = n C_p dT$ છે.
વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $dW = P dV = n R dT$ છે.
બાહ્ય કાર્ય કરવામાં વપરાતી ઉષ્મા ઉર્જાનો અંશ $\frac{dW}{dQ} = \frac{n R dT}{n C_p dT} = \frac{R}{C_p}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{dW}{dQ} = \frac{R}{\frac{\gamma R}{\gamma - 1}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} = 1 - \frac{1}{\gamma}$.
અહીં $\gamma = \frac{5}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{dW}{dQ} = 1 - \frac{1}{5/3} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $\frac{2}{5} \times 100 \% = 40 \%$.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અચળ રહે છે.
તંત્રને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $Q = n C_{P} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V$ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અચળ દબાણની પ્રક્રિયા માટે,$P \Delta V = nR \Delta T$ થાય.
તેથી,$W = nR \Delta T$.
આપવામાં આવેલી ઉષ્મા અને થયેલા કાર્યનો ગુણોત્તર $\frac{Q}{W} = \frac{n C_{P} \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{C_{P}}{R}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_{P} - C_{V} = R$,તેથી $R = C_{P} - C_{V}$.
ગુણોત્તરમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{Q}{W} = \frac{C_{P}}{C_{P} - C_{V}}$.
અંશ અને છેદને $C_{V}$ વડે ભાગતા: $\frac{Q}{W} = \frac{C_{P}/C_{V}}{(C_{P}/C_{V}) - 1}$.
કારણ કે $\frac{C_{P}}{C_{V}} = \gamma$,તેથી આપણને $\frac{Q}{W} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $n = 2 \text{ મોલ}$,$T_3 = 2400 \text{ K}$,$2 T_4 = 2400 \implies T_4 = 1200 \text{ K}$,$3 T_2 = 2400 \implies T_2 = 800 \text{ K}$,$6 T_1 = 2400 \implies T_1 = 400 \text{ K}$.
આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $1 \to 2$ સમકદ $(P = \text{અચળ})$,$2 \to 3$ સમદાબી $(P \propto T)$,$3 \to 4$ સમકદ,અને $4 \to 1$ સમદાબી છે.
ચક્રમાં થયેલ કાર્ય $W = \oint P \, dV$. સમદાબી પ્રક્રિયાઓ માટે $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$W = \oint nR \, dT$.
$W_{12} = 0$ (સમકદ).
$W_{23} = nR(T_3 - T_2) = 2R(2400 - 800) = 3200R$.
$W_{34} = 0$ (સમકદ).
$W_{41} = nR(T_1 - T_4) = 2R(400 - 1200) = -1600R$.
કુલ કાર્ય $W = W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{41} = 0 + 3200R + 0 - 1600R = 1600R$.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta U) = 0$ થાય છે કારણ કે તાપમાન અચળ રહે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
અહીં,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = -150 \ J$ છે (કારણ કે વાયુ પર્યાવરણની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે,તેથી તંત્ર ઉર્જા ગુમાવે છે).
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 0 + (-150 \ J) = -150 \ J$.
$\Delta Q$ માટે ઋણ ચિહ્ન સૂચવે છે કે તંત્રમાંથી ઉષ્મા દૂર કરવામાં આવી છે.
તેથી,વાયુમાંથી $150 \ J$ ઉષ્મા દૂર કરવામાં આવી છે.

(D) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$,જ્યાં $dW = P dV$ છે.
સમકદ પ્રક્રિયા માટે,કદ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $dV = 0$.
પરિણામે,થયેલ કાર્ય $dW = P dV = 0$ થાય છે.
આ કિંમત પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $dQ = dU + 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $dQ = dU$ થાય છે.
તેથી,શરત $dQ = dU$ એ સમકદ પ્રક્રિયા માટે સાચી છે.

(C) અચળ દબાણે ગરમ થતા આદર્શ વાયુ માટે,આપેલી ઉષ્મા $(Q_p)$ નું સૂત્ર $Q_p = n C_p \Delta T = 100 \ J$ છે.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = n R \Delta T$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.
આ કિંમત ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા: $Q_p = n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) \Delta T = 100 \ J$.
તેથી,$n R \Delta T = Q_p \left( \frac{\gamma - 1}{\gamma} \right)$.
આપેલ છે કે $\gamma = 5/3$,તેથી $\frac{\gamma - 1}{\gamma} = \frac{5/3 - 1}{5/3} = \frac{2/3}{5/3} = 2/5$.
આમ,$W = 100 \ J \times (2/5) = 40 \ J$.

(B) અચળ દબાણે આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઊર્જા $Q$ નું સૂત્ર $Q = n C_p \Delta T$ છે.
સૌ પ્રથમ,નાઈટ્રોજન $(N_2)$ ના મોલની સંખ્યા $n$ શોધો:
$n = \frac{\text{દળ}}{\text{આણ્વીય દળ}} = \frac{14 \ g}{28 \ g/mol} = 0.5 \ mol$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 48^{\circ} C$ અને અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{7}{2} R$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = 0.5 \times \left(\frac{7}{2} R\right) \times 48$.
$Q = 0.5 \times 3.5 R \times 48$.
$Q = 1.75 R \times 48 = 84 R$.
તેથી,આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઊર્જા $84 R$ છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W_{net}$. આપેલ છે કે $\Delta Q = 5 \ J$,તેથી $W_{net} = 5 \ J$.
ચક્રમાં થયેલ કાર્ય એ $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (10 - 5) \times (2 - 1) = 2.5 \ J$ થાય.
પ્રક્રિયા $C$ થી $A$ માટે,કાર્ય $W_{CA} = \text{રેખા } CA$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (P_C + P_A) \times (V_A - V_C) = \frac{1}{2} \times (5 + 10) \times (1 - 2) = -7.5 \ J$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $-10 \ J$ છે.

(D) દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
અચળ દબાણે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
કરેલું કાર્ય $\Delta W = n R \Delta T$ છે.
સંબંધ $C_p = \frac{f+2}{2} R$ અને $C_v = \frac{f}{2} R$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta Q = n \left( \frac{5+2}{2} \right) R \Delta T = \frac{7}{2} n R \Delta T$.
$\Delta U = n \left( \frac{5}{2} \right) R \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T$.
$\Delta W = n R \Delta T = \frac{2}{2} n R \Delta T$.
આમ,ગુણોત્તર $\Delta Q : \Delta U : \Delta W = \frac{7}{2} : \frac{5}{2} : \frac{2}{2} = 7 : 5 : 2$ થાય.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
આપેલ છે કે $\eta = \frac{1}{5}$,તેથી $\frac{1}{5} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{4}{5}$ અથવા $T_2 = 0.8 T_1$.
જ્યારે $T_2$ ને $45 \ K$ ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવું તાપમાન $T_2' = T_2 - 45$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = \frac{1}{2}$ છે,તેથી $\frac{1}{2} = 1 - \frac{T_2 - 45}{T_1}$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{T_2 - 45}{T_1} = \frac{1}{2}$ અથવા $T_2 - 45 = 0.5 T_1$ મળે છે.
$T_2 = 0.8 T_1$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $0.8 T_1 - 45 = 0.5 T_1$.
$0.3 T_1 = 45$,જે આપણને $T_1 = \frac{45}{0.3} = 150 \ K$ આપે છે.
હવે,$T_2$ શોધીએ: $T_2 = 0.8 \times 150 = 120 \ K$.
આમ,તાપમાન $150 \ K$ અને $120 \ K$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
કિસ્સો $1$: $\eta_1 = \frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \implies \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6} T_1$.
કિસ્સો $2$: $\eta_2 = \frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 57}{T_1} \implies \frac{T_2 - 57}{T_1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \implies T_2 - 57 = \frac{2}{3} T_1$.
બીજા સમીકરણમાં $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ મૂકતા:
$\frac{5}{6} T_1 - 57 = \frac{2}{3} T_1$
$\frac{5}{6} T_1 - \frac{4}{6} T_1 = 57$
$\frac{1}{6} T_1 = 57$
$T_1 = 57 \times 6 = 342 \ K$.
આમ,સોર્સનું તાપમાન $342 \ K$ છે.

(B) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ એ આઉટપુટ પાવર $(P_{\text{out}})$ અને ઇનપુટ પાવર $(P_{\text{in}})$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}$
અહીં,$\eta = 20 \% = 0.20$ અને $P_{\text{in}} = 2 \text{ kW} = 2000 \text{ W}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.20 = \frac{P_{\text{out}}}{2000 \text{ W}}$
$P_{\text{out}} = 0.20 \times 2000 \text{ W} = 400 \text{ W}$.
તેથી,એન્જિનનો આઉટપુટ પાવર $400 \text{ W}$ છે.

(A) $T_1$ (સ્ત્રોત) અને $T_2$ (સિંક) તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા રેફ્રિજરેટર માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેફ્રિજરેટરના સમીકરણ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{\beta} = \frac{T_1 - T_2}{T_2} = \frac{T_1}{T_2} - 1$.
તેથી,$\frac{T_1}{T_2} = 1 + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + 1}{\beta}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\beta}{1 + \beta}$.
આ કિંમતને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{\beta}{1 + \beta} = \frac{1 + \beta - \beta}{1 + \beta} = \frac{1}{1 + \beta}$.
આમ,સાચો સંબંધ $\eta = \frac{1}{1 + \beta}$ છે.

(C) સિલિન્ડર $A$ માં,પિસ્ટન મુક્ત હોવાથી વાયુ અચળ દબાણે વિસ્તરણ પામે છે. આપેલી ઉષ્મા $Q_{A} = n C_{P} dT_{A}$ છે.
સિલિન્ડર $B$ માં,પિસ્ટન સ્થિર હોવાથી વાયુ અચળ કદે ગરમ થાય છે. આપેલી ઉષ્મા $Q_{B} = n C_{V} dT_{B}$ છે.
આપેલ છે કે બંને સિલિન્ડરમાં સમાન ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,તેથી $Q_{A} = Q_{B}$.
તેથી,$n C_{P} dT_{A} = n C_{V} dT_{B}$.
$dT_{B}$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $dT_{B} = \frac{C_{P}}{C_{V}} dT_{A}$ મળે છે.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,તેથી સિલિન્ડર $B$ માં તાપમાનમાં થતો વધારો $dT_{B} = \gamma dT_{A}$ થશે.

(B) ધારો કે નમૂના $X, Y$ અને $Z$ ના પ્રારંભિક દબાણ અનુક્રમે $P_X, P_Y$ અને $P_Z$ છે. પ્રારંભિક કદ $V$ છે. બધા માટે અંતિમ કદ $2V$ છે.
નમૂના $X$ માટે (સમતાપી પ્રક્રિયા): $P_X V = P_{X,f} (2V) \implies P_{X,f} = P_X / 2$.
નમૂના $Y$ માટે (સમોષ્મી પ્રક્રિયા): $P_Y V^{\gamma} = P_{Y,f} (2V)^{\gamma} \implies P_{Y,f} = P_Y / 2^{\gamma}$. આપેલ છે $\gamma = 3/2$,તેથી $P_{Y,f} = P_Y / 2^{3/2} = P_Y / (2\sqrt{2})$.
નમૂના $Z$ માટે (સમદાબી પ્રક્રિયા): $P_Z = P_{Z,f}$.
આપેલ છે કે $P_{X,f} = P_{Y,f} = P_{Z,f} = P_0$,તેથી:
$P_X / 2 = P_0 \implies P_X = 2P_0$.
$P_Y / (2\sqrt{2}) = P_0 \implies P_Y = 2\sqrt{2} P_0$.
$P_Z = P_0$.
આમ,ગુણોત્તર $P_X : P_Y : P_Z = 2P_0 : 2\sqrt{2} P_0 : P_0 = 2 : 2\sqrt{2} : 1$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વાયુના શરૂઆતના અને અંતિમ મોલની સંખ્યા શોધી શકીએ છીએ.
શરૂઆતના મોલની સંખ્યા,$n_1 = \frac{PV}{RT}$.
અંતિમ મોલની સંખ્યા,$n_2 = \frac{P^{\prime}V}{RT}$.
બહાર નીકળી ગયેલા વાયુના મોલની સંખ્યા એ શરૂઆતના અને અંતિમ મોલનો તફાવત છે: $\Delta n = n_1 - n_2$.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta n = \frac{PV}{RT} - \frac{P^{\prime}V}{RT} = \frac{V}{RT}(P - P^{\prime})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવેલ કાર્ય $P-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે।
ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ચક્ર માટે કાર્ય ધન હોય છે અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) ચક્ર માટે તે ઋણ હોય છે।
આપેલ ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ છે।
તીરની દિશા જોતા, ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે।
તેથી, કરવામાં આવેલ કાર્ય ઋણ હશે।
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$W = -\text{ત્રિકોણ } ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = -\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
પાયો $AB = 3V - V = 2V$
વેધ $BC = 4P - P = 3P$
$W = -\frac{1}{2} \times (2V) \times (3P) = -3 PV$
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે।

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
અહીં $V_i = V_0$,$V_f = \frac{V_0}{32}$,અને $\gamma = \frac{7}{5}$ આપેલ છે.
તેથી $\gamma - 1 = \frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_i (V_0)^{2/5} = T_f \left(\frac{V_0}{32}\right)^{2/5}$.
$T_f = T_i \left(\frac{V_0}{V_0/32}\right)^{2/5} = T_i (32)^{2/5}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી $T_f = T_i (2^5)^{2/5} = T_i (2^2) = 4T_i$.
$T_f = xT_i$ ને $T_f = 4T_i$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 270 \text{ kPa}$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 37^{\circ}C = 37 + 273 = 310 \text{ K}$.
ધારો કે ટાયરનું કદ અચળ રહે છે,ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{270}{300} = \frac{P_2}{310}$.
$P_2 = \frac{270 \times 310}{300} = 0.9 \times 310 = 279 \text{ kPa}$.
તેથી,અંતિમ દબાણ $279 \text{ kPa}$ છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછું ફરે છે. તેથી,તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\Delta U = 0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ અનુસાર,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
કારણ કે $\Delta U = 0$,તેથી આપણને $\Delta Q = \Delta W$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ચક્રીય પ્રક્રિયામાં તંત્ર દ્વારા શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા એ તંત્ર દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય જેટલી હોય છે.

(D) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અહીં $n = \frac{m}{M}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે,તેથી $PV = \frac{m}{M} RT$ થાય.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} = \varrho \frac{RT}{M}$ મળે છે,જ્યાં $\varrho$ એ ઘનતા છે.
આમ,$\varrho = \frac{PM}{RT}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $\varrho_0 = \frac{P_0 M}{R T_0}$.
અંતિમ સ્થિતિ માટે: $\varrho' = \frac{P' M}{R T'} = \frac{(3 P_0) M}{R (2 T_0)}$.
$\varrho'$ ના સમીકરણમાં $\varrho_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\varrho' = \frac{3}{2} \left( \frac{P_0 M}{R T_0} \right) = \frac{3}{2} \varrho_0$ મળે છે.

(B) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $(P)$ અને તાપમાન $(T)$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આને $P \propto T^{c}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ મળે છે.
દ્રઢ ડાયટોમિક વાયુ માટે,સ્વતંત્રતાના અંશો $(f)$ $5$ છે.
એડિયાબેટિક ઘાતાંક $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1.4$.
$c$ ના સમીકરણમાં $\gamma$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$c = \frac{1.4}{1.4 - 1} = \frac{1.4}{0.4} = \frac{14}{4} = 3.5$.
તેથી,$c$ નું મૂલ્ય $3.5$ છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે,જે $U = f(n, R, T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં $T$ અચળ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય છે.
તેથી,વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^{n} = \text{constant}$ માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ નું સૂત્ર $C = C_{V} + \frac{R}{1-n}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = 0$, તેથી: $0 = C_{V} + \frac{R}{1-n}$.
$C_{V} = \frac{R}{\gamma-1}$ મૂકતા, આપણને મળે છે: $0 = \frac{R}{\gamma-1} + \frac{R}{1-n}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{R}{n-1} = \frac{R}{\gamma-1}$.
આનો અર્થ એ છે કે $n-1 = \gamma-1$, જેનું સાદું રૂપ $n = \gamma$ થાય છે.
તેથી, આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે અને $n$ નું મૂલ્ય $\gamma$ છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુ મોનોએટોમિક હોવાથી, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે.
તેથી, $\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા સિલિન્ડરમાં વાયુનું કદ $V = A \times L$ છે.
આમ, $T_1 (A L_1)^{2/3} = T_2 (A L_2)^{2/3}$.
પદોને ગોઠવતા, આપણને $(T_2 / T_1) = (L_1 / L_2)^{2/3}$ મળે છે.

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P_0$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V}{8}$ છે.
સમોષ્મી ઘાતાંક $\gamma = \frac{4}{3}$ આપેલ છે.
સંબંધ $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P_0 V^{\gamma} = P_2 \left(\frac{V}{8}\right)^{\gamma}$.
$P_2 = P_0 \left(\frac{V}{V/8}\right)^{\gamma} = P_0 (8)^{\gamma}$.
$\gamma = \frac{4}{3}$ મૂકતા:
$P_2 = P_0 (8)^{4/3} = P_0 (2^3)^{4/3} = P_0 (2^4) = 16 P_0$.
આમ,નવું દબાણ $16 P_0$ થશે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta U)$ એ $\Delta U = Q + W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Q$ એ સિસ્ટમમાં ઉમેરવામાં આવેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ સિસ્ટમ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય છે.
આપેલ છે કે આંતરિક ઉર્જામાં વધારો એ સિસ્ટમ પર કરવામાં આવેલા કાર્ય જેટલો છે, તેથી $\Delta U = W$.
આને પ્રથમ નિયમના સમીકરણ સાથે સરખાવતા, આપણને $Q = 0$ મળે છે.
એક થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા જેમાં આસપાસ સાથે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી $(Q = 0)$ તેને એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) તારની લંબાઈ $L$ એ વર્તુળાકાર ગૂંચળાનો પરિઘ બનાવે છે,તેથી $L = 2 \pi r$,જ્યાં $r$ એ ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે.
આમ,$r = \frac{L}{2 \pi}$.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ છે.
ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A = I \left( \frac{L^2}{4 \pi} \right)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતું મહત્તમ ટોર્ક $\tau = M B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\sin \theta = 1$.
તેથી,$\tau_{max} = M B = \left( \frac{I L^2}{4 \pi} \right) B = \frac{L^2 IB}{4 \pi}$.

(D) ધારો કે દરેક તારની લંબાઈ $L$ છે।
ચોરસ લૂપ માટે, પરિમિતિ $4a = L$, તેથી $a = L/4$. ક્ષેત્રફળ $A_s = a^2 = (L/4)^2 = L^2/16$.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે, પરિઘ $2\pi r = L$, તેથી $r = L/(2\pi)$. ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi (L/(2\pi))^2 = L^2/(4\pi)$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $N$, $I$, $B$ અને $\theta$ સમાન હોવાથી, ટોર્ક એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે।
$A_c > A_s$ હોવાથી, વર્તુળાકાર લૂપ પર લાગતું ટોર્ક ચોરસ લૂપ કરતા વધારે હશે।

(A) તારની લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે તેને એક આંટાવાળા ચોરસ ગૂંચળામાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ચોરસની પરિમિતિ $L$ થાય છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. તેથી $4a = L$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{L}{4}$.
ચોરસ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16}$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\sin \theta = 1$.
અહીં $N = 1$ આપેલ છે,તેથી મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = IAB = I \times (\frac{L^2}{16}) \times B = \frac{IBL^2}{16}$ થાય.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ સ્થાયી સંતુલન સ્થિતિ છે,એટલે કે $\theta_1 = 0^{\circ}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\theta_2 = 90^{\circ}$:
$W_1 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ}) = MB(1 - 0) = MB$.
બીજા કિસ્સા માટે,$\theta_2 = 60^{\circ}$:
$W_2 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5MB$.
પ્રશ્ન મુજબ,$W_1 = n \times W_2$.
કિંમતો મૂકતા: $MB = n \times (0.5MB)$.
$1 = n \times 0.5$.
$n = 1 / 0.5 = 2$.

(D) ધારો કે તાર $z$-અક્ષ પર છે. બિંદુ $P$ થી તાર સુધીની રેખાઓ લંબ હોવાથી અને $P$ સમાન અંતરે હોવાથી,દરેક તારથી $P$ નું અંતર $r = d / \sqrt{2} = 5 / \sqrt{2} \ cm = 0.05 / \sqrt{2} \ m$ છે.
લાંબા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 I / (2 \pi r)$ છે.
$B_1 = (4 \pi \times 10^{-7} \times 4) / (2 \pi \times (0.05 / \sqrt{2})) = 1.6 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.
$B_2 = (4 \pi \times 10^{-7} \times 3) / (2 \pi \times (0.05 / \sqrt{2})) = 1.2 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી અને રેખાઓ લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(1.6 \sqrt{2} \times 10^{-5})^2 + (1.2 \sqrt{2} \times 10^{-5})^2} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.

(D) વિદ્યુતભાર $q = 1000e = 1000 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-16} \ C$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = 1 \ Hz$.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = qf = 1.6 \times 10^{-16} \times 1 = 1.6 \times 10^{-16} \ A$.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
આપેલ છે કે $B = x \mu_0$,જ્યાં $x = 2 \times 10^{-16}$.
તેથી,$x \mu_0 = \frac{\mu_0 I}{2r} \implies x = \frac{I}{2r}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^{-16} = \frac{1.6 \times 10^{-16}}{2r}$.
$2 = \frac{0.8}{r} \implies r = \frac{0.8}{2} = 0.4 \ m$.

(C) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. એક આંટા માટે,ત્રિજ્યા $R$ એ $L = 2 \pi R$ દ્વારા મળે છે,તેથી $R = L / (2 \pi)$. કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{\mu_0 I}{2(L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ છે.
જ્યારે તે જ તારને $n$ આંટામાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r_1$ એ $L = n(2 \pi r_1)$ દ્વારા મળે છે,તેથી $r_1 = L / (2 \pi n) = R / n$.
$n$ આંટા માટે કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = n \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ છે.
$r_1 = R / n$ મૂકતા,આપણને $B' = n \frac{\mu_0 I}{2 (R / n)} = n^2 \frac{\mu_0 I}{2 R} = n^2 B$ મળે છે.

(A) તાર ત્રણ વિભાગોનો બનેલો છે: $(i)$ એક સીધો અર્ધ-અનંત તાર,(ii) $R$ ત્રિજ્યાનો અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ,અને (iii) બીજો એક સીધો અર્ધ-અનંત તાર.
વિભાગ $(i)$ માટે,બિંદુ '$O$' તારની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 0$ થાય.
વિભાગ (iii) માટે,બિંદુ '$O$' પણ તારની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_3 = 0$ થાય.
વિભાગ (ii) માટે,અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,'$O$' પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 + B_3 = 0 + \frac{\mu_0 I}{4 R} + 0 = \frac{\mu_0 I}{4 R}$ થાય.

(C) ધારો કે તાર વચ્ચેનું અંતર $2d$ છે. લાંબા તારને કારણે $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોય,ત્યારે મધ્યબિંદુએ ક્ષેત્રો એકબીજાની વિરુદ્ધ હોય છે: $B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi d} (I_1 - I_2) = 8 \times 10^{-6} \ T$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે $I_2$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે ક્ષેત્રોનો સરવાળો થાય છે: $B_1 + B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi d} (I_1 + I_2) = 3.2 \times 10^{-5} \ T$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા: $\frac{I_1 - I_2}{I_1 + I_2} = \frac{8 \times 10^{-6}}{32 \times 10^{-6}} = \frac{1}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $4I_1 - 4I_2 = I_1 + I_2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $3I_1 = 5I_2$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = \frac{3}{5}$ છે.

(A) ધારો કે બે તાર $W_1$ અને $W_2$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $2r$ છે. બિંદુ $P$ એ $W_2$ થી $r$ અંતરે અને $W_1$ થી $3r$ અંતરે છે।
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $W_1$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ પાનાની અંદરની તરફ (ક્રોસ) છે અને તેનું મૂલ્ય $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$ છે।
$W_2$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ પાનાની બહારની તરફ (ડોટ) છે અને તેનું મૂલ્ય $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે।
જો આપણે બંને ક્ષેત્રોનો સરવાળો કરીએ (જેમ કે વિકલ્પ $A$ માં સૂચવેલ છે), તો $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I + 3 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{4 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{2}{3} \frac{\mu_0 I}{\pi r}$.

(A) ધારો કે બે તાર વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. મધ્યબિંદુનું દરેક તારથી અંતર $r = d/2$ છે.
લાંબા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે.
મધ્યબિંદુ માટે,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (d/2)} = \frac{\mu_0 I}{\pi d}$ થાય.
કિસ્સો $1$: પ્રવાહ સમાન દિશામાં છે. મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં છે. પરિણામી ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{\pi d} (I_1 - I_2) = 6 \times 10^{-6} \ T$ છે.
કિસ્સો $2$: $I_2$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે. હવે ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં છે. પરિણામી ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{\pi d} (I_1 + I_2) = 3 \times 10^{-5} \ T$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{I_1 + I_2}{I_1 - I_2} = \frac{3 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-6}} = \frac{30}{6} = 5$.
$I_1 + I_2 = 5 I_1 - 5 I_2 \implies 4 I_1 = 6 I_2 \implies \frac{I_1}{I_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
આમ,$I_1 : I_2$ નો ગુણોત્તર $3 : 2$ છે.

(A) $N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર $I$ વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ છે.
ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. પ્રથમ કોઈલ માટે,$L = N_1 (2\pi R_1)$,જ્યાં $N_1 = 9$. તેથી,$R_1 = \frac{L}{18\pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 N_1 I}{2R_1} = \frac{\mu_0 (9) I}{2(L/18\pi)} = \frac{81 \mu_0 I \pi}{L}$ થાય.
બીજી કોઈલ માટે,$N_2 = 3$. તેથી,$R_2 = \frac{L}{2\pi N_2} = \frac{L}{6\pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I}{2R_2} = \frac{\mu_0 (3) I}{2(L/6\pi)} = \frac{9 \mu_0 I \pi}{L}$ થાય.
$B_1$ અને $B_2$ ની સરખામણી કરતા,$\frac{B_2}{B_1} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$ મળે.
તેથી,$B_2 = \frac{B_1}{9}$.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર તારના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1$ ત્રિજ્યાના મોટા અર્ધવર્તુળ માટે,$O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4R_1}$ છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ,બહારની તરફ).
$R_2$ ત્રિજ્યાના નાના અર્ધવર્તુળ માટે,$O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_2}$ છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ,અંદરની તરફ).
સીધા વિભાગો $PQ$ અને $SR$ કેન્દ્ર $O$ પર કોઈ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતા નથી કારણ કે બિંદુ $O$ તેમની અક્ષ પર આવેલું છે.
તેથી,$O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_1} - \frac{\mu_0 I}{4R_2} = \frac{\mu_0 I}{4} \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$ થાય.

(C) $n$ આંટા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 n I}{2R}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$B = 3.14 \times 10^{-4} \ T$
$I = 0.4 \ A$
$R = 8 \ cm = 0.08 \ m$
$\mu_0 = 12.56 \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$3.14 \times 10^{-4} = \frac{(12.56 \times 10^{-7}) \times n \times 0.4}{2 \times 0.08}$
$3.14 \times 10^{-4} = \frac{12.56 \times 10^{-7} \times n \times 0.4}{0.16}$
$3.14 \times 10^{-4} = (78.5 \times 10^{-7}) \times 0.4 \times n$
$3.14 \times 10^{-4} = 31.4 \times 10^{-7} \times n$
$n = \frac{3.14 \times 10^{-4}}{31.4 \times 10^{-7}} = 100$.

(B) $N$ આંટા,$R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બંને ગૂંચળાઓ સમાન છે અને પરસ્પર લંબ સમતલોમાં (એક $xy$-સમતલમાં અને બીજું $yz$-સમતલમાં) રાખવામાં આવ્યા છે.
ધારો કે $B_1$ એ ગૂંચળા $1$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $B_2$ એ ગૂંચળા $2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. બંનેનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ છે.
ગૂંચળાઓ એકબીજાને લંબ હોવાથી,સામાન્ય કેન્દ્ર $O$ પર તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો પણ એકબીજાને લંબ હશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ એ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2B^2} = B\sqrt{2}$.
$B$ ની કિંમત મૂકતા:
$B_{net} = \left( \frac{\mu_0 NI}{2R} \right) \sqrt{2} = \frac{\mu_0 NI}{\sqrt{2}R}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા લાંબા સીધા તાર માટે જેમાં પ્રવાહ $I$ સમાન રીતે વહેંચાયેલો છે:
$1$. તારની અંદર $(x < r)$,અક્ષથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I x}{2 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. $x = \frac{r}{2}$ અંતરે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I (r/2)}{2 \pi r^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ થાય.
$3$. તારની બહાર $(x > r)$,અક્ષથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B^1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. $x = 3r$ અંતરે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B^1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$ થાય.
$5$. ગુણોત્તર $\frac{B}{B^1} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi r}{\mu_0 I / 6 \pi r} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ છે.

(C) લાંબા સોલેનોઈડ માટે,તેના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 nI$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ અને મુક્ત અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \mu_0 H$ છે.
$B$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\mu_0 H = \mu_0 nI$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = nI$ થાય છે.

(C) $n$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલમાંથી $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો હોય,તો તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$
અહીં $x = 2\sqrt{2}r$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + (2\sqrt{2}r)^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + 8r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(9r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(3r)^3}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(27r^3)}$
$B = \frac{\mu_0 n I}{54r}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારના ત્રણ ભાગોને કારણે છે: બે સીધા અર્ધ-અનંત વિભાગો અને એક ચતુર્થાંશ-વર્તુળાકાર ચાપ.
$1$. સીધા તારના વિભાગ $1$ (અર્ધ-અનંત) માટે,$P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
$2$. સીધા તારના વિભાગ $3$ (અર્ધ-અનંત) માટે,$P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
$3$. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ચતુર્થાંશ-વર્તુળાકાર ચાપ $2$ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{1}{4} \left( \frac{\mu_0 I}{2 r} \right) = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,આ પ્રકારના પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોના આધારે સૌથી યોગ્ય જવાબ $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{4 r}$ છે.

(C) વાહક ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે: બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર અને એક વર્તુળાકાર ચાપ.
$1$. બે અર્ધ-અનંત સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર: દરેક તાર કેન્દ્ર '$o$' પર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ જેટલું ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. બે તાર માટે કુલ ક્ષેત્ર $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ થશે.
$2$. વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર: જો આપણે આકૃતિને સંપૂર્ણ વર્તુળ તરીકે ગણીએ,તો કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2r}$ થશે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{straight} + B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}(\pi + 1)$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા અક્ષીય બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
આપેલ છે કે $B_1 = \frac{B_2}{8}$,તેથી:
$\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R}$.
$8R^3 = (R^2 + x^2)^{3/2}$.
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા:
$(8R^3)^{2/3} = R^2 + x^2$.
$4R^2 = R^2 + x^2$.
$x^2 = 3R^2$.
$x = R \sqrt{3}$.

(D) ધારો કે બે વાહકો વચ્ચેનું અંતર $2d$ છે. $I$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $d$ અંતરે મધ્યબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહો સમાન દિશામાં હોય,ત્યારે મધ્યબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેથી,કુલ ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi d} (I_1 - I_2) = 20 \mu T$ થાય.
જ્યારે $I_2$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે મધ્યબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હોય છે. તેથી,કુલ ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi d} (I_1 + I_2) = 50 \mu T$ થાય.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{I_1 + I_2}{I_1 - I_2} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(I_1 + I_2) = 5(I_1 - I_2) \implies 2I_1 + 2I_2 = 5I_1 - 5I_2$.
પદોને ગોઠવતા: $7I_2 = 3I_1$,જે આપે છે $\frac{I_2}{I_1} = \frac{3}{7}$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B_{axis} = \frac{1}{27} B_{centre}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27R}$.
આથી,$\frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{R}{(R^2 + x^2)^{1/2}} = \frac{1}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{R^2}{R^2 + x^2} = \frac{1}{9}$.
$9R^2 = R^2 + x^2$,જે દર્શાવે છે કે $x^2 = 8R^2$.
તેથી,$x = \sqrt{8}R = 2\sqrt{2}R$.

(B) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ આપેલ હોવાથી, $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{A/\pi}} = \frac{\mu_0 I \sqrt{\pi}}{2 \sqrt{A}}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $I = \frac{2 B \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા: $M = \left( \frac{2 B \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}} \right) A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ નું સૂત્ર $M = I \cdot A$ છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે,તારની લંબાઈ $L$ એ પરિઘ જેટલી હોય છે,તેથી $L = 2\pi r$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{L}{2\pi}$.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{L^2}{4\pi}$ થાય.
આ કિંમતને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા: $M = I \cdot \left(\frac{L^2}{4\pi}\right)$.
અહીં $I$ અને $4\pi$ અચળ હોવાથી,$M \propto L^2$ મળે છે.

(B) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ એ $\mu = IA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં '$I$' એ પ્રવાહ છે અને '$A$' એ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
'$r$' ત્રિજ્યાની કક્ષામાં '$v$' ઝડપથી ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,આવર્તકાળ '$T$' એ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતુલ્ય પ્રવાહ '$I$' એ $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = I \times A = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{V}$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$.
અહીં $\vec{V} = a \hat{i}$ અને $\vec{B} = b \hat{j} + c \hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{V} \times \vec{B} = (a \hat{i}) \times (b \hat{j} + c \hat{k}) = ab(\hat{i} \times \hat{j}) + ac(\hat{i} \times \hat{k})$.
એકમ સદિશના ગુણાકારના નિયમ મુજબ $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ હોવાથી,આપણને મળે: $\vec{V} \times \vec{B} = ab \hat{k} - ac \hat{j}$.
તેથી,$\vec{F} = q(ab \hat{k} - ac \hat{j})$.
બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = q \sqrt{(ab)^2 + (-ac)^2} = q \sqrt{a^2b^2 + a^2c^2} = qa \sqrt{b^2 + c^2}$ થાય.

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા $e$ વીજભાર સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $I = \frac{e}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
ઇલેક્ટ્રોન $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,તેથી સમયગાળો $T = \frac{2 \pi r}{v}$ થાય છે.
પ્રવાહના સૂત્રમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{ev}{2 \pi r}$ મળે છે.
ગુણોત્તર $\frac{r}{v}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{r}{v} = \frac{e}{2 \pi I}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ એ વેગ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર હોવાથી,તે હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે.
બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\vec{F} \perp \vec{v}$ છે,તેથી ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ થાય છે.
આમ,ચુંબકીય બળ દ્વારા વિદ્યુતભારિત કણ પર થતું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(C) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થ માટે,ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ નાની અને ઋણ હોય છે.
તે પદાર્થના તાપમાન $(T)$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$(\chi)$ વિરુદ્ધ $(T)$ નો આલેખ તાપમાનની અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખા છે,જે $(\chi)$ અક્ષના ઋણ ભાગમાં આવેલી છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,આલેખ $(A)$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) ચુંબકીય હિસ્ટરિસીસ એ એક એવી ઘટના છે જેમાં પદાર્થનું મેગ્નેટાઇઝેશન લાગુ કરેલા ચુંબકીય ક્ષેત્ર કરતા પાછળ રહે છે.
આ વર્તણૂક ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોમાં,ચુંબકીય ડોમેન્સની હાજરીને કારણે જ્યારે તેમને ચક્રીય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે ત્યારે હિસ્ટરિસીસ લૂપ ($B-H$ કર્વ) રચાય છે.
પેરામેગ્નેટિક અને ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબકીય હિસ્ટરિસીસ દર્શાવતા નથી કારણ કે તેમની પાસે સ્વયંભૂ મેગ્નેટાઇઝેશન અથવા ડોમેન સ્ટ્રક્ચર હોતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સાધનને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રથી બચાવવા માટે,ચુંબકીય શીલ્ડિંગ (magnetic shielding) ની ઘટનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
ચુંબકીય શીલ્ડિંગ એ સાધનને ઉચ્ચ ચુંબકીય પરમીએબિલિટી ધરાવતા પદાર્થ,જેમ કે નરમ લોખંડ (નરમ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ) વડે ઘેરીને પ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે.
જ્યારે તેને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હવા અથવા સાધનની અંદરની જગ્યાને બદલે ઉચ્ચ પરમીએબિલિટી ધરાવતા પદાર્થમાંથી પસાર થવાનું પસંદ કરે છે.
પરિણામે,અંદરનો ભાગ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રથી મુક્ત રહે છે,જે સાધનને અસરકારક રીતે સુરક્ષિત કરે છે.

(D) ચુંબકીય પદાર્થની અંદરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પદાર્થના પ્રેરિત મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સરવાળો છે.
ગાણિતિક રીતે,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$B = \mu_0(H + M)$
અહીં,$\mu_0$ એ મુક્ત અવકાશની પરમિયેબિલિટી છે,$H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,અને $M$ એ મેગ્નેટાઇઝેશન છે.

(C) સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $(\mu_r)$ અને ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi_m)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu_r = 1 + \chi_m$
અહીં આપેલ છે કે લોખંડની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m = 5499$ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\mu_r = 1 + 5499$
$\mu_r = 5500$
તેથી,લોખંડની સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $5500$ છે.

(C) ધારો કે ચુંબક $A$ અને $B$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ અનુક્રમે $M_A = 2M$ અને $M_B = M$ છે. તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = I_B = I$ છે (કારણ કે તેઓ ભૌમિતિક રીતે સમાન છે).
જ્યારે સમાન ધ્રુવો સાથે રાખવામાં આવે,ત્યારે કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net1} = M_A + M_B = 2M + M = 3M$ થાય. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{net} = I_A + I_B = 2I$ થાય.
આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{net}}{M_{net}B_H}}$ છે.
તેથી,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{3MB_H}}$.
જ્યારે અસમાન ધ્રુવો સાથે રાખવામાં આવે,ત્યારે કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net2} = M_A - M_B = 2M - M = M$ થાય.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{net} = 2I$ જ રહે છે.
તેથી,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{MB_H}}$.
ગુણોત્તર લેતા,$T_1 / T_2 = \sqrt{\frac{2I}{3MB_H} / \frac{2I}{MB_H}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = 1 : \sqrt{3}$.

(D) હવા ધરાવતા ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આ જગ્યાને $\chi$ ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી ધરાવતા પદાર્થથી ભરવામાં આવે,ત્યારે સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 1 + \chi$ થાય છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_r B_0 = (1 + \chi) B_0$ થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો વધારો $\Delta B = B - B_0 = (1 + \chi) B_0 - B_0 = \chi B_0$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 = \frac{\chi B_0}{B_0} \times 100 = \chi \times 100$ દ્વારા મળે છે.

(D) મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ એ માપદંડ છે કે કોઈ પદાર્થ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કેટલી સરળતાથી ચુંબકીય બની શકે છે.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, પરમાણુઓ કાયમી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે.
જ્યારે તેમને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે આ ડાયપોલ્સ ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવાય છે, જેના પરિણામે ક્ષેત્રની દિશામાં નિર્બળ ચુંબકીયકરણ થાય છે.
તેથી, પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ ધન અને નાની હોય છે (સામાન્ય રીતે $10^{-5}$ થી $10^{-3}$ ની રેન્જમાં).
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $I$ ને એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$I = M/V$.
આપેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 2.4 \text{ Am}^2$.
સળિયાનું દળ $m = 66 \text{ g} = 0.066 \text{ kg}$.
ઘનતા $\rho = 7700 \text{ kg/m}^3$.
સળિયાનું કદ $V = m / \rho = 0.066 / 7700 \text{ m}^3$.
હવે,મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $I = M / V = 2.4 / (0.066 / 7700)$ ગણો.
$I = (2.4 \times 7700) / 0.066$.
$I = 18480 / 0.066 = 280000 \text{ Am}^{-1}$.
$I = 2.8 \times 10^5 \text{ Am}^{-1}$.

(C) ક્યુરીના નિયમ મુજબ,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\chi \propto \frac{1}{T}$ અથવા $\chi T = \text{અચળ}$.
તેથી,$T_1, T_2$ અને $T_3$ તાપમાન માટે,આપણને $\chi_1 T_1 = \chi_2 T_2 = \chi_3 T_3$ મળે છે.
$\chi_1 T_1 = \chi_2 T_2$ પરથી,આપણને $\frac{\chi_1}{\chi_2} = \frac{T_2}{T_1}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\chi_1 : \chi_2 = T_2 : T_1$.
$\chi_2 T_2 = \chi_3 T_3$ પરથી,આપણને $\frac{\chi_2}{\chi_3} = \frac{T_3}{T_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\chi_2 : \chi_3 = T_3 : T_2$.
આમ,સાચો સંબંધ $\chi_1 : \chi_2 = T_2 : T_1$ અને $\chi_2 : \chi_3 = T_3 : T_2$ છે.

(A) હવા ગર્ભ ધરાવતા લાંબા સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \mu_0 ni$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $\chi$ મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી ધરાવતો પદાર્થ સોલેનોઈડની અંદર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થની સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 1 + \chi$ થાય છે.
ગર્ભ સાથે સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_r B_0$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $B = (1 + \chi) \mu_0 ni$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે $A$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ અને પરમાણુ દળાંક $A_{mass}$ છે.
$1$. પ્રથમ ક્ષયમાં: $A \rightarrow B + {}_{2}^{4}He$. તત્વ $B$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $(Z-2)$ અને પરમાણુ દળાંક $(A_{mass}-4)$ થશે.
$2$. બીજા ક્ષયમાં: $B \rightarrow C + 2e^{-}$. બે ઇલેક્ટ્રોન (બીટા કણો) ના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંકમાં $2$ નો વધારો થાય છે પરંતુ પરમાણુ દળાંક બદલાતો નથી.
$3$. તેથી,$C$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $(Z-2) + 2 = Z$ અને તેનો પરમાણુ દળાંક $(A_{mass}-4)$ છે.
$4$. $A$ (પરમાણુ ક્રમાંક $Z$,પરમાણુ દળાંક $A_{mass}$) અને $C$ (પરમાણુ ક્રમાંક $Z$,પરમાણુ દળાંક $A_{mass}-4$) ની સરખામણી કરતા,તેઓ સમાન પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવે છે પરંતુ અલગ પરમાણુ દળાંક ધરાવે છે. આમ,$A$ અને $C$ આઈસોટોપ્સ છે.

(B) આપેલ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં, કાર્બન-$11$ ન્યુક્લિયસ પોઝિટ્રોન $(\beta^{+})$ ઉત્સર્જિત કરીને બોરોન-$11$ ન્યુક્લિયસમાં ક્ષય પામે છે।
આ પ્રક્રિયાને $\beta^{+}$ ક્ષય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે।
લેપ્ટોન સંખ્યાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પ્રક્રિયા પહેલા અને પછી કુલ લેપ્ટોન સંખ્યા અચળ રહેવી જોઈએ।
પોઝિટ્રોન $(\beta^{+})$ ની લેપ્ટોન સંખ્યા $-1$ છે।
સમીકરણને સંતુલિત કરવા માટે, $+1$ લેપ્ટોન સંખ્યા ધરાવતો કણ ઉત્સર્જિત થવો જોઈએ।
આ કણ ન્યુટ્રિનો ($\nu_{e}$) છે।
તેથી, પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${ }_{6}^{11}C \longrightarrow{ }_{5}^{11}B+\beta^{+}+\nu_{e}$.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $N_A(t) = N_0 e^{-(7 \lambda) t}$.
પદાર્થ $B$ માટે: $N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
આપણને આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = e$ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-7 \lambda t}} = e$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $e^{-\lambda t + 7 \lambda t} = e^1$.
$e^{6 \lambda t} = e^1$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $6 \lambda t = 1$.
તેથી,$t = \frac{1}{6 \lambda}$.

(A) ધારો કે $n_{\alpha}$ એ આલ્ફા કણોની સંખ્યા છે અને $n_{\beta}$ એ બીટા કણોની સંખ્યા છે.
દળ ક્રમાંક $(A)$ માટે: $226 = 206 + 4n_{\alpha} + 0n_{\beta}$
$20 = 4n_{\alpha} \implies n_{\alpha} = 5$.
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ માટે: $88 = 82 + 2n_{\alpha} - 1n_{\beta}$
$88 = 82 + 2(5) - n_{\beta}$
$88 = 82 + 10 - n_{\beta}$
$88 = 92 - n_{\beta}$
$n_{\beta} = 92 - 88 = 4$.
આમ,આલ્ફા કણોની સંખ્યા $5$ છે અને બીટા કણોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ ના નિયમનું પાલન કરે છે.
આપેલ છે કે $A(0) = N_0$ અને $A(3) = \frac{N_0}{e}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{N_0}{e} = N_0 e^{-\lambda (3)}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $e^{-1} = e^{-3\lambda}$,તેથી $3\lambda = 1$,જે ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{1}{3} \text{ min}^{-1}$ આપે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ એ સૂત્ર $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = \frac{1}{3}$ મૂકતા,આપણને $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{1/3} = 3 \ln 2$ મિનિટ મળે છે.

(A) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ ${ }_{92}^{242} X$ છે.
$\alpha$ કણ ${ }_{2}^{4} He$ છે,ઇલેક્ટ્રોન (બીટા-માઈનસ) ${ }_{-1}^{0} e$ છે,અને પોઝિટ્રોન (બીટા-પ્લસ) ${ }_{1}^{0} e$ છે.
ઉત્સર્જન પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${ }_{92}^{242} X \rightarrow 2({ }_{2}^{4} He) + 1({ }_{-1}^{0} e) + 2({ }_{1}^{0} e) + { }_{P}^{234} Y$.
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ નું સંરક્ષણ: $92 = 2(2) + 1(-1) + 2(1) + P$.
$92 = 4 - 1 + 2 + P$.
$92 = 5 + P$.
$P = 92 - 5 = 87$.

(A) કોઈપણ સમયે $t$ પર વિભંજન દર $R$ એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દર $R_0 = 9000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$.
$t = 2 \text{ મિનિટ}$ પછીનો દર $R = 3000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3000 = 9000 e^{-\lambda \times 2}$
બંને બાજુ $9000$ વડે ભાગતા:
$\frac{3000}{9000} = e^{-2\lambda}$
$\frac{1}{3} = e^{-2\lambda}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\log_e)$ લેતા:
$\log_e(\frac{1}{3}) = -2\lambda$
$-\log_e 3 = -2\lambda$
$\lambda = \frac{\log_e 3}{2} = 0.5 \log_e 3$.
આમ, ક્ષય અચળાંક $0.5 \log_e 3 \text{ min}^{-1}$ છે.

(C) કોઈપણ સમયે $t$ પર વિઘટન દર $R$ એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે $R_0 = 8000$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ.
$t = 4$ મિનિટ પછી,$R = 2000$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $2000 = 8000 e^{-\lambda (4)}$.
બંને બાજુ $8000$ વડે ભાગતા: $\frac{2000}{8000} = e^{-4\lambda}$.
$\frac{1}{4} = e^{-4\lambda}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/4) = -4\lambda$.
$-\ln(4) = -4\lambda$.
$\ln(2^2) = 4\lambda$.
$2 \ln(2) = 4\lambda$.
$\lambda = \frac{2 \ln(2)}{4} = 0.5 \ln(2)$ પ્રતિ મિનિટ.
તેથી,ક્ષય અચળાંક $0.5 \log _e 2$ પ્રતિ મિનિટ છે.

(D) ધારો કે $M_1$ અને $M_2$ બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$M_1$ માટે,સમય $t$ પર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1(t) = N_0 e^{-(9 \lambda) t}$ છે.
$M_2$ માટે,સમય $t$ પર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
$M_1$ અને $M_2$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{1}{e}$ આપેલ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{N_0 e^{-9 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = \frac{1}{e}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $e^{-9 \lambda t + \lambda t} = e^{-1}$ મળે છે.
$e^{-8 \lambda t} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-8 \lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{8 \lambda}$.

(C) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અંશ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અહીં,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 30 \ min$ અને કુલ સમય $t = 90 \ min$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90}{30} = 3$.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
તેથી,રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો અક્ષયિત રહેલો અંશ $\frac{1}{8}$ છે.