MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના $n$ નાના ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3 \implies n = \frac{R^3}{r^3}$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ઘટાડો $\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^3 \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $W = T \cdot \Delta A = 4 \pi R^3 T \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = \frac{W}{J} = \frac{4 \pi R^3 T}{J} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
ઉષ્મા $Q = m \cdot s \cdot \Delta \theta$,જ્યાં $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot s \cdot \Delta \theta = \frac{4 \pi R^3 T}{J} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
તેથી,$\Delta \theta = \frac{3T}{\rho s J} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(D) સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ હોવાથી,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય.
ગોળાકાર પરપોટા માટે,કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r = (\frac{3V}{4\pi})^{1/3}$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $A = 8 \pi (\frac{3V}{4\pi})^{2/3} \propto V^{2/3}$.
આમ,$W \propto A$ હોવાથી,$W \propto V^{2/3}$ મળે.
ધારો કે $2V$ કદ માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W'$ છે. તો $\frac{W'}{W} = (\frac{2V}{V})^{2/3} = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
તેથી,$W' = 4^{1/3} W$.

(B) કેશનળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $h \propto \frac{1}{r}$.
કેશનળીમાં રહેલા પાણીનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2 h) \rho$ છે.
દળના સમીકરણમાં $h \propto \frac{1}{r}$ મૂકતા,આપણને $m \propto r^2 \times \frac{1}{r}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $m \propto r$ થાય છે.
નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{3}$ માટે,નવું દળ $m' = m \times \frac{r'}{r} = m \times \frac{r/3}{r} = \frac{m}{3}$ થશે.

(A) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ એવો ગુણધર્મ છે જેના કારણે તેની સપાટી ખેંચાયેલી સ્થિતિસ્થાપક પટલ જેવું વર્તન કરે છે અને તેના સપાટીના ક્ષેત્રફળને ન્યૂનતમ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે.
જ્યારે પાણીમાં સાબુ કે ડિટર્જન્ટ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સર્ફેક્ટન્ટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
સર્ફેક્ટન્ટ્સ સપાટી પરના પાણીના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને ઘટાડે છે.
પરિણામે,પાણીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.
ઓછું પૃષ્ઠતાણ પાણીને વધુ સરળતાથી ફેલાવા દે છે અને નાના ટીપાં બનાવે છે,જેનાથી તેનો છંટકાવ કરવો ખૂબ જ સરળ બને છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$1000$ નાના ટીપાંનું કદ = મોટા ટીપાનું કદ: $1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
આથી $R^3 = 1000 r^3$,એટલે કે $R = 10r$.
$1000$ નાના ટીપાંની પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_1 = 1000 \times (4 \pi r^2 T)$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપાની અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_2 = 4 \pi R^2 T$ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા અને પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \frac{4 \pi R^2 T}{1000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{R^2}{1000 r^2}$ થાય.
$R = 10r$ મૂકતા,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{(10r)^2}{1000 r^2} = \frac{100 r^2}{1000 r^2} = \frac{1}{10}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:10$ છે.

(C) પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,પરપોટાની અંદર રહેલા હવાના મોલની સંખ્યા અચળ રહે છે. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અને નોંધતા કે $T$ અને $R$ અચળ છે,આપણને $PV \propto n$ મળે છે. $n$ નું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,બે પરપોટા માટે દબાણ અને કદના ગુણાકારનો સરવાળો અંતિમ પરપોટા માટેના દબાણ અને કદના ગુણાકાર જેટલો થાય છે:
$P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_3 V_3$
$P = \frac{4T}{r}$ અને $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ મૂકતા:
$\left(\frac{4T}{a}\right) \left(\frac{4}{3}\pi a^3\right) + \left(\frac{4T}{b}\right) \left(\frac{4}{3}\pi b^3\right) = \left(\frac{4T}{c}\right) \left(\frac{4}{3}\pi c^3\right)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$a^2 + b^2 = c^2$
તેથી,પરિણામી પરપોટાની ત્રિજ્યા $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ મળે છે.

(B) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ એક પરિમાણરહિત રાશિ છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહની સ્થિતિમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે થાય છે。
તેનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $Re = \frac{\rho v d}{\eta}$.
જ્યાં:
$\rho$ = $\text{પ્રવાહીની ઘનતા}$
$v$ = $\text{પ્રવાહીનો વેગ}$
$d$ = $\text{પાઇપનો વ્યાસ}$
$\eta$ = $\text{પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક}$。
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચું સૂત્ર $\frac{\rho v d}{\eta}$ છે。

(C) આપેલ છે: ગોળાનું દળ $= m$,ગોળાની ઘનતા $= \sigma_1$,પ્રવાહીની ઘનતા $= \sigma_2$.
ટર્મિનલ વેગ $v_t$ પર,ગોળા પર લાગતા બળો સંતુલિત હોય છે.
નીચેની તરફ લાગતું બળ એ વજન $W = mg$ છે.
ઉપરની તરફ લાગતા બળો સ્નિગ્ધતા બળ $F_V$ અને ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ છે.
$W = F_V + F_B$
$mg = F_V + (\text{કદ} \times \sigma_2 \times g)$
કારણ કે $m = \sigma_1 \times \text{કદ}$,તેથી $\text{કદ} = \frac{m}{\sigma_1}$.
$mg = F_V + \left(\frac{m}{\sigma_1} \times \sigma_2 \times g\right)$
$F_V = mg - \frac{m \sigma_2 g}{\sigma_1}$
$F_V = mg \left(1 - \frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)$

(B) પાઈપમાંથી વહેતા પ્રવાહીના ક્રાંતિક વેગ $(v_c)$ માટેનું સૂત્ર રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R_e = \frac{\rho v_c d}{\eta}$
ક્રાંતિક વેગ $(v_c)$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$v_c = \frac{R_e \eta}{\rho d}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ક્રાંતિક વેગ $(v_c)$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$ ના સમપ્રમાણમાં છે અને ઘનતા $(\rho)$ તથા નળીના વ્યાસ $(d)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે ક્રાંતિક વેગ $\eta$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર દડાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
જ્યાં $\rho$ એ દડાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
દ્રવ્ય અને પ્રવાહી સમાન હોવાથી,$\rho$,$\sigma$ અને $\eta$ અચળ છે.
તેથી,$v \propto r^2$.
અહીં $r_1 = r$ અને $r_2 = \frac{r}{3}$ આપેલ છે,તેથી ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{r^2}{(\frac{r}{3})^2} = \frac{r^2}{\frac{r^2}{9}} = 9$.
આમ,$v_2 = \frac{v_1}{9} = \frac{V}{9}$.

(A) સંપર્કકોણ $\theta$ એ પ્રવાહીના પૃષ્ઠતાણ,ઘન-પ્રવાહી આંતરપૃષ્ઠના પૃષ્ઠતાણ અને ઘન-હવા આંતરપૃષ્ઠના પૃષ્ઠતાણ પર આધાર રાખે છે,જે યંગના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\cos \theta = \frac{T_{sa} - T_{sl}}{T_{la}}$.
જ્યારે પ્રવાહીમાં દ્રાવ્ય અશુદ્ધિ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સામાન્ય રીતે પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ $(T_{la})$ ઘટાડે છે.
મોટાભાગના પ્રવાહી જે સપાટીને ભીંજવે છે (જ્યાં $\theta < 90^{\circ}$ હોય છે),તેમાં દ્રાવ્ય અશુદ્ધિઓ (જેમ કે ડિટર્જન્ટ અથવા સાબુ) ઉમેરવાથી પૃષ્ઠતાણ વધુ ઘટે છે,જેના પરિણામે સંપર્કકોણ $\theta$ માં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,દ્રાવ્ય અશુદ્ધિઓ ઉમેરવાથી સામાન્ય રીતે સંપર્કકોણ ઘટે છે.

(C) ધારો કે ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = g$:
$H = \frac{1}{2}gt^2$ --- $(i)$
$\frac{t}{2}$ સમય પછી,પદાર્થે ટોચથી કાપેલું અંતર $x$ છે:
$x = \frac{1}{2}g(\frac{t}{2})^2 = \frac{1}{2}g(\frac{t^2}{4}) = \frac{1}{8}gt^2$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{2}gt^2 = H$,તેથી $\frac{1}{4}(\frac{1}{2}gt^2) = \frac{H}{4}$.
આમ,ટોચથી અંતર $x = \frac{H}{4}$ છે.
જમીનથી પદાર્થની ઊંચાઈ $H - x = H - \frac{H}{4} = \frac{3H}{4}$ મીટર થશે.

(B) સૌ પ્રથમ, ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરીને જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં દડાનો વેગ શોધો. દડો મુક્ત પતન કરે છે, તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
$v^2 = 0 + 2 \times 10 \times 20 = 400$
$v = \sqrt{400} = 20 \,ms^{-1}$.
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ એ ઉછાળાના વેગ $(v')$ અને અથડામણના વેગ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $e = \frac{v'}{v}$.
અહીં $e = 0.4$ આપેલ છે, તેથી પ્રથમ ઉછાળા પછીનો વેગ $v' = e \times v$ થશે.
$v' = 0.4 \times 20 = 8 \,ms^{-1}$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_2$ છે. દડો જમીન પર પાછો આવતો હોવાથી,કુલ સ્થાનાંતર $0$ થાય છે. ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -g$:
$0 = u(t_1 + t_2) - \frac{1}{2}g(t_1 + t_2)^2$
$u = \frac{1}{2}g(t_1 + t_2)$
હવે,$t_1$ સમયે પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h$ નીચે મુજબ છે:
$h = ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$
$u$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = \left[\frac{1}{2}g(t_1 + t_2)\right]t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$
$h = \frac{1}{2}gt_1^2 + \frac{1}{2}gt_1t_2 - \frac{1}{2}gt_1^2$
$h = \frac{1}{2}gt_1t_2$

(D) પગલું $1$: દડો ગ્લિસરીનમાં પ્રવેશતા પહેલા તેનો વેગ શોધો। $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u = 0$, $g = 9.8 \,m/s^2$, અને $h = 1.5 \,m$:
$v_i^2 = 2 \times 9.8 \times 1.5 = 29.4 \,m^2/s^2$.
પગલું $2$: હવા માં $1.5 \,m$ પડવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે। $h = \frac{1}{2}gt_1^2 \implies 1.5 = 0.5 \times 9.8 \times t_1^2 \implies t_1^2 = \frac{3}{9.8} \approx 0.306 \implies t_1 \approx 0.55 \,s$.
પગલું $3$: ગ્લિસરીનમાં વિતાવેલો સમય $t_2 = 1.5 - 0.55 = 0.95 \,s$ છે।
પગલું $4$: ગ્લિસરીનમાં, દડો પ્રતિપ્રવેગ $a = -2.66 \,m/s^2$ અનુભવે છે। ગ્લિસરીન ભાગ માટે $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h_{gly} = v_i t_2 - \frac{1}{2} |a| t_2^2$.
$v_i = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \,m/s$.
$h_{gly} = (5.42 \times 0.95) - (0.5 \times 2.66 \times 0.95^2) = 5.15 - 1.20 = 3.95 \,m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, $3.2 \,m$ એ સૌથી નજીકનો ભૌતિક અંદાજ છે।

(A) જ્યારે બે ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોય, ત્યારે એક ટ્રેનનો બીજી ટ્રેનની સાપેક્ષ વેગ $V_{rel} = V_1 + V_2 = 5 \,m/s + 10 \,m/s = 15 \,m/s$ થાય છે.
એકબીજાને સંપૂર્ણપણે ઓળંગવા માટે, કાપેલું કુલ અંતર બંને ટ્રેનોની લંબાઈના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ.
કુલ અંતર $L = 30 \,m + 30 \,m = 60 \,m$.
ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{V_{rel}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, $t = \frac{60 \,m}{15 \,m/s} = 4 \,s$.

(A) પદાર્થનો વેગ એ તેના સ્થાન વિધેયનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે,$V(t) = \frac{dR}{dt}$.
કાર $A$ માટે: $V_{A}(t) = \frac{d}{dt}(at + bt^2) = a + 2bt$.
કાર $B$ માટે: $V_{B}(t) = \frac{d}{dt}(xt - t^2) = x - 2t$.
જ્યારે કારનો વેગ સમાન હોય તે સમય $t$ શોધવા માટે,આપણે $V_{A} = V_{B}$ લઈએ:
$a + 2bt = x - 2t$
$t$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2bt + 2t = x - a$
$t(2b + 2) = x - a$
$t = \frac{x - a}{2(b + 1)}$.

(B) $1$. વિકલ્પ $A$ સાચો છે: ઉર્ધ્વ દિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગ $0$ હોય છે પરંતુ પ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) હોય છે.
$2$. વિકલ્પ $B$ ખોટો છે: વેગ એ સદિશ રાશિ છે જે $\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો વેગ અચળ હોય,તો તેનું મૂલ્ય (ઝડપ) અને દિશા બંને અચળ રહેવા જોઈએ. તેથી,અચળ વેગ ધરાવતા પદાર્થની ઝડપ બદલાઈ શકે નહીં.
$3$. વિકલ્પ $C$ સાચો છે: નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,ઝડપ અચળ હોય છે,પરંતુ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,તેથી વેગ બદલાતો રહે છે.
$4$. વિકલ્પ $D$ સાચો છે: પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પ્રવેગ અચળ ($g$ નીચેની તરફ) હોય છે,પરંતુ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.

(A) પદાર્થ $A$ માટે જે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે (પ્રારંભિક વેગ $u=0$):
$S_A = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$
પદાર્થ $B$ માટે જે $V$ જેટલા સમાન વેગ સાથે ગતિ કરે છે:
$S_B = Vt$
તેઓ $t$ સમય પછી એક જ બિંદુએ મળે છે,તેથી તેમનું સ્થાનાંતર સમાન હોવું જોઈએ:
$S_A = S_B$
$\frac{1}{2}at^2 = Vt$
બંને બાજુ $t$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ ધારીને):
$\frac{1}{2}at = V$
$t = \frac{2V}{a}$

(C) આપેલ સ્થાનનું વિધેય: $x = at^2 - bt^3$
વેગ $v$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 2at - 3bt^2$
પ્રવેગ $a_{acc}$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a - 6bt$
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય શોધવા માટે,$a_{acc} = 0$ લેતા:
$0 = 2a - 6bt$
$6bt = 2a$
$t = \frac{2a}{6b} = \frac{a}{3b}$

(A) મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
દડા $A$ માટે,જે શિરોલંબ (ક્ષિતિજ સાથે $90^{\circ}$) ફેંકવામાં આવે છે,તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1 = \frac{u^2}{2g}$ છે.
દડા $B$ માટે,જે શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,ક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
દડા $B$ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $h_2 = \frac{u^2 \sin^2(60^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3u^2}{8g}$ છે.
સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{PE_A}{PE_B} = \frac{mgh_1}{mgh_2} = \frac{h_1}{h_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{u^2}{2g} \times \frac{8g}{3u^2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $4:3$ છે.

(B) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
ગતિ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી હોવાથી,$u = 0$,તેથી $v^2 = 2 a_t s$.
તેથી,$a_t = \frac{v^2}{2s}$.
ત્રીજા પરિભ્રમણના અંતે,કાપેલું કુલ અંતર $s = 3 \times (2 \pi r) = 6 \pi r$ થાય.
$s$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a_t = \frac{v^2}{2 \times 6 \pi r} = \frac{v^2}{12 \pi r}$.
આપેલ ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m v^2$ પરથી,$v^2 = \frac{2E}{m}$ મળે.
$v^2$ ની કિંમત $a_t$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $a_t = \frac{2E}{m \times 12 \pi r} = \frac{E}{6 \pi rm}$.

(D) વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{\pi}{2} \ m$ છે.
$x$ પરિભ્રમણમાં કણ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $d = x \times (2\pi r)$ થાય.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $d = x \times (2\pi \times \frac{\pi}{2}) = x \times \pi^2 = \pi^2 x \ m$.
સ્પર્શકીય વેગ $v$ એ કાપેલું કુલ અંતર અને લીધેલા સમયનો ગુણોત્તર છે: $v = \frac{d}{t}$.
તેથી,$v = \frac{\pi^2 x}{t} \ m/s$.

(B) દડા પર લાગતા બળો દોરીમાં રહેલું તણાવબળ $T$ અને નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે. તણાવબળ $T$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $T \cos \theta$ જે શિરોલંબ ઉપરની તરફ લાગે છે અને $T \sin \theta$ જે સમક્ષિતિજ દિશામાં વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
શિરોલંબ સંતુલન માટે:
$T \cos \theta = mg$ --- $(1)$
સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ગતિ માટે,કેન્દ્રગામી બળ તણાવબળના સમક્ષિતિજ ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$T \sin \theta = mr \omega^2$ --- $(2)$
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = l \sin \theta$ છે.
સમીકરણ $(2)$ માં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$T \sin \theta = m(l \sin \theta) \omega^2$
બંને બાજુને $m l \sin \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin \theta \neq 0$):
$\omega^2 = \frac{T}{ml}$
તેથી,કોણીય વેગ:
$\omega = \sqrt{\frac{T}{ml}}$

(C) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણ માટે,કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન સદિશ $\vec{p}$ બંને વર્તુળાકાર ગતિના સમતલમાં આવેલા હોય છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ ની દિશા ગતિના સમતલને લંબ હોય છે.
કણ એક નિશ્ચિત વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરવા માટે બંધાયેલ હોવાથી,ગતિનું સમતલ બદલાતું નથી.
તેથી,ઝડપમાં ફેરફાર થવા છતાં,સમગ્ર ગતિ દરમિયાન કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા અચળ રહે છે.

(B) ધારો કે કણનું દળ '$m$' છે. ઝડપ '$v$' અચળ હોવાથી,કોઈપણ બિંદુએ વેગમાનનું મૂલ્ય $p = mv$ થાય.
જ્યારે કણ એક બિંદુથી તેના વ્યાસાંતે આવેલા બીજા બિંદુ સુધી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના વેગ સદિશની દિશા ઉલટાઈ જાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = m\vec{v}$ છે અને અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_f = -m\vec{v}$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર નીચે મુજબ છે:
$\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -m\vec{v} - (m\vec{v}) = -2m\vec{v}$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = 2mv$ છે.
ઝડપ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અચળ રહે છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $0$ છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ માં થતો ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ માં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સ્થિતિમાંથી જમીન પર પડે છે,ત્યારે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h = \frac{l}{2}$ જેટલી ઊંચાઈ નીચે ઉતરે છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $mgh = mg \left( \frac{l}{2} \right) = \frac{mgl}{2}$.
મિજાગરાવાળા છેડા $A$ ની સાપેક્ષે સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{ml^2}{3} \right) \omega^2 = \frac{ml^2 \omega^2}{6}$.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડાને ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારા સાથે સરખાવતા:
$\frac{mgl}{2} = \frac{ml^2 \omega^2}{6}$.
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{mgl}{2} \times \frac{6}{ml^2} = \frac{3g}{l}$.
તેથી,કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$ મળે છે.

(B) શંકુ આકારના લોલક (conical pendulum) ના કિસ્સામાં,$m$ દળ $r = L \sin \theta$ ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ફરે છે.
પદાર્થ પર લાગતા બળો દોરીમાં તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે.
તણાવનો શિરોલંબ ઘટક વજનને સંતુલિત કરે છે: $T \cos \theta = mg$.
તણાવનો સમક્ષિતિજ ઘટક કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T \sin \theta = mr \omega^2$.
કેન્દ્રગામી બળના સમીકરણમાં $r = L \sin \theta$ મૂકતા: $T \sin \theta = m(L \sin \theta) \omega^2$.
બંને બાજુ $\sin \theta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $T = mL \omega^2$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{V}_i = V \hat{i}$ છે અને અડધા પરિભ્રમણ પછીનો અંતિમ વેગ $\vec{V}_f = -V \hat{i}$ છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{V} = \vec{V}_f - \vec{V}_i = -V \hat{i} - V \hat{i} = -2V \hat{i}$ થાય.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{V}| = 2V$ છે.
અડધા વર્તુળમાં કાપેલું અંતર $d = \pi r$ છે.
અડધું પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{V} = \frac{\pi r}{V}$ છે.
સરેરાશ પ્રવેગની વ્યાખ્યા મુજબ $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{V}}{t}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$a_{avg} = \frac{2V}{\frac{\pi r}{V}} = \frac{2V^2}{\pi r}$ મળે.

(C) અડધા પરિભ્રમણમાં પૈડા દ્વારા કાપેલું અંતર $d = \frac{C}{2} = \frac{2 \pi r}{2} = \pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ પૈડાનો પરિઘ છે.
અડધા પરિભ્રમણ પછી,શરૂઆતમાં સપાટીના સંપર્કમાં રહેલું બિંદુ (બિંદુ $A$) પૈડાની ટોચ પર (બિંદુ $B$) પહોંચે છે.
પૈડાના કેન્દ્ર દ્વારા કાપેલું આડું અંતર $\pi r$ છે અને બિંદુનું ઊભું સ્થાનાંતર પૈડાના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $2r$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $AB$ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(\text{આડું અંતર})^2 + (\text{ઊભું અંતર})^2}$
$AB = \sqrt{(\pi r)^2 + (2r)^2} = r \sqrt{\pi^2 + 4}$
અહીં $r = 1 \ m$ આપેલ હોવાથી,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $AB = \sqrt{\pi^2 + 4} \ m$ થશે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહ માટે આપેલ છે: $M_p = 2M_e$ અને $R_p = 2R_e$.
આમ,પૃથ્વી અને ગ્રહ પરના ગુરુત્વાકર્ષણનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_e}{g_p} = \frac{M_e}{M_p} \times \left(\frac{R_p}{R_e}\right)^2 = \frac{M_e}{2M_e} \times \left(\frac{2R_e}{R_e}\right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
તેથી,$g_p = \frac{g_e}{2}$.
લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે,જે સૂચવે છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
તેથી,$\frac{T_p}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_p}} = \sqrt{2}$.
પૃથ્વી પર સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T_e = 2 \ s$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$T_p = T_e \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \ s$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર,નવો આવર્તકાળ $T' = xT$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
$h = R$ હોવાથી,$g_h = \frac{GM}{(R+R)^2} = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2} = \frac{g}{4}$ થાય.
હવે,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T'}{T} = \frac{2\pi \sqrt{l/g_h}}{2\pi \sqrt{l/g}} = \sqrt{\frac{g}{g_h}}$ છે.
$g_h = \frac{g}{4}$ મૂકતા,આપણને $x = \sqrt{\frac{g}{g/4}} = \sqrt{4} = 2$ મળે છે.

(B) સાદા લોલકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$f = F = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$.
સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ થાય છે.
અહીં $d = \frac{R}{3}$ આપેલ હોવાથી,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{R/3}{R}) = g(1 - \frac{1}{3}) = \frac{2g}{3}$ થાય.
ઊંડાઈ $d$ પર આવૃત્તિ $f_d = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_d}{l}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2g}{3l}}$ મળે.
સપાટી પરની આવૃત્તિ સાથે સરખામણી કરતા:
$f_d = \sqrt{\frac{2}{3}} \times \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \right) = \sqrt{\frac{2}{3}} F$.
કારણ કે $\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{1.5}} = \frac{1}{\sqrt{1.5}}$,તેથી આવૃત્તિ $\frac{F}{\sqrt{1.5}}$ થાય.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{4}$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g - a$ થાય છે.
$g_{\text{eff}} = g - \frac{g}{4} = \frac{3g}{4}$.
નવો આવર્તકાળ $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\frac{3g}{4}}}$ થશે.
$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{4L}{3g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} \times \sqrt{\frac{4}{3}}$.
આમ,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ હોવાથી,$T_1 = T \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} T$ મળે છે.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
જ્યારે બોબને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળને કારણે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ બદલાય છે.
અસરકારક વજન $W' = V \rho g - V \sigma g$,જ્યાં $\rho$ એ બોબની ઘનતા છે અને $\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $\sigma = \frac{\rho}{8}$,તેથી અસરકારક પ્રવેગ $g'$:
$g' = g \left(1 - \frac{\sigma}{\rho}\right) = g \left(1 - \frac{1}{8}\right) = g \left(\frac{7}{8}\right)$.
નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(7/8)}} = \sqrt{\frac{8}{7}} \left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right) = \sqrt{\frac{8}{7}} T$.

(A) નાના કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ ધરાવતા સાદા લોલક માટે,$t$ સમયે કોણીય સ્થાન $\theta(t)$ એ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t)$.
અહીં,પ્રારંભિક કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ છે,તેથી $\theta(t) = \theta \cos(\omega t)$.
સાદા લોલકની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$t$ સમયે કોણીય સ્થાનાંતર $\theta(t) = \theta \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}} \cdot t\right)$ છે.
ચાપ પર લોલકનું રેખીય સ્થાનાંતર $s$ એ લોલકની લંબાઈ અને કોણીય સ્થાનાંતરના ગુણાકાર જેટલું હોય છે: $s = L \cdot \theta(t)$.
$\theta(t)$ નું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $s = L \theta \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}} \cdot t\right)$ મળે છે.

(D) $S.H.M.$ માં કણની ગતિજ ઉર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જા અડધી સ્થિતિ અને અડધી ગતિજ છે, તેથી $K.E. = P.E.$
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા, $A^2 - x^2 = x^2$, જેનો અર્થ થાય છે $A^2 = 2x^2$.
તેથી, $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
કંપનવિસ્તાર $A = 4 \,cm$ આપેલ હોવાથી, $x = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \,cm$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $K.E. = P.E. + 25\% \text{ of } P.E.$
$K.E. = P.E. + 0.25 P.E. = 1.25 P.E. = \frac{5}{4} P.E.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $S.H.M.$ માટે,$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ અને $P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ થાય.
આ કિંમતોને આપેલ શરતમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{5}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 x^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{5}{4} x^2$
$A^2 = x^2 + \frac{5}{4} x^2 = \frac{9}{4} x^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $A = \frac{3}{2} x$.
અહીં $A = 3 \,cm$ આપેલ છે,તેથી $3 = \frac{3}{2} x$.
આમ,$x = 2 \,cm$ મળે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $S.H.M.$ માં પદાર્થની સ્થિતિ ઊર્જા $E_P = \frac{1}{2} Kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ બળ અચળાંક છે.
સ્થાનાંતર $x$ માટે,$E_1 = \frac{1}{2} Kx^2 \Rightarrow x = \sqrt{\frac{2E_1}{K}}$.
સ્થાનાંતર $y$ માટે,$E_2 = \frac{1}{2} Ky^2 \Rightarrow y = \sqrt{\frac{2E_2}{K}}$.
સ્થાનાંતર $(x+y)$ પર સ્થિતિ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} K(x+y)^2$ છે.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} K \left( \sqrt{\frac{2E_1}{K}} + \sqrt{\frac{2E_2}{K}} \right)^2$
$E = \frac{1}{2} K \left( \sqrt{\frac{2}{K}} \right)^2 (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
$E = \frac{1}{2} K \cdot \frac{2}{K} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
$E = (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$.

(D) $S.H.M.$ માં કણની કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} kA^2$ છે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $K.E. = 50 \%$ $T.E.$,જેનો અર્થ છે કે $K.E. = \frac{1}{2} T.E.$
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{1}{2} k(A^2 - x^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} kA^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{1}{2} A^2$
$x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \frac{A}{\sqrt{2}}$
મધ્યમાન સ્થિતિથી શરૂ થતા કણ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\frac{2\pi t}{T})$ છે.
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ અને $T = 4 \ s$ મૂકતા:
$\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\frac{2\pi t}{4})$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi t}{2})$
$\frac{\pi t}{2} = \frac{\pi}{4}$
$t = 0.5 \ s$.

(C) સરેરાશ સ્થિતિમાંથી પસાર થતી વખતે સળિયાની ગતિઊર્જા પરિભ્રમણીય ગતિઊર્જાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$
અહીં,$I$ એ નિલંબન બિંદુ (એક છેડો) ની સાપેક્ષમાં સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની એક છેડાની સાપેક્ષમાં જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m l^2}{3}$ છે.
આ કિંમતને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2} \times \left( \frac{m l^2}{3} \right) \times \omega^2$
$K.E. = \frac{m l^2 \omega^2}{6}$

(D) આપેલ સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \cos \omega t$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \omega t = \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
આ કિંમત મૂકતા,$y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
આ બે સરળ આવર્ત ગતિઓનું સંપાતીકરણ દર્શાવે છે,જેમાં કંપવિસ્તાર $A_1 = \frac{1}{\sqrt{a}}$ અને $A_2 = \frac{1}{\sqrt{b}}$ છે,અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{a}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{b}})^2} = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \sqrt{\frac{a+b}{ab}}$.

(D) $S.H.M.$ માં કણનો મહત્તમ વેગ $V = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
આપેલ છે કે નવો આવર્તકાળ $T' = \frac{1}{3}T$ અને નવો કંપવિસ્તાર $A' = 2A$ છે.
નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \frac{2\pi}{T'} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}T} = 3 \left(\frac{2\pi}{T}\right) = 3\omega$ થશે.
નવો મહત્તમ વેગ $V' = A'\omega'$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V' = (2A) \times (3\omega) = 6(A\omega) = 6V$.

(B) સ્થાનાંતર માટે આપેલા સમીકરણો:
$y_1 = 0.1 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{3} \right)$
$y_2 = 0.1 \cos (100 \pi t) = 0.1 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2} \right)$
વેગ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$v_1 = \frac{dy_1}{dt} = 0.1 \times 100 \pi \cos \left(100 \pi t + \frac{\pi}{3} \right) = 10 \pi \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} \right) = 10 \pi \sin \left(100 \pi t + \frac{5\pi}{6} \right)$
$v_2 = \frac{dy_2}{dt} = 0.1 \times 100 \pi \cos \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2} \right) = 10 \pi \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = 10 \pi \sin (100 \pi t + \pi)$
$v_1$ ની કળા $\phi_1 = 100 \pi t + \frac{5\pi}{6}$ છે અને $v_2$ ની કળા $\phi_2 = 100 \pi t + \pi$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2 = \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6}$.

(C) સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ દ્વારા અને ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા એ ગતિઊર્જા કરતા $8$ ગણી છે:
$U = 8K$
સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = 8 \times \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$x^2 = 8(A^2 - x^2)$
$x^2 = 8A^2 - 8x^2$
$9x^2 = 8A^2$
$x^2 = \frac{8A^2}{9}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \frac{\sqrt{8} A}{3} = \frac{2\sqrt{2} A}{3}$

(B) કણનું સ્થાનાંતર $x = a \sin (\omega t - \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતરનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [a \sin (\omega t - \phi)] = a \omega \cos (\omega t - \phi)$.
હવે,આપેલ સમય $t = \frac{\phi}{\omega}$ ને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = a \omega \cos \left( \omega \left( \frac{\phi}{\omega} \right) - \phi \right)$.
$v = a \omega \cos (\phi - \phi) = a \omega \cos (0)$.
કારણ કે $\cos 0^{\circ} = 1$,તેથી:
$v = a \omega \times 1 = a \omega$.

(B) કોઈપણ ખૂણે $\theta$ પર સાદા લોલકની દોરીમાં તણાવ $T$ ત્રિજ્યાવર્તી બળ સંતુલન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{l}$
નાના દોલનો માટે,$\cos \theta \approx 1$ અને વેગ $v$ એ મધ્યમાન સ્થિતિ $(\theta = 0)$ પર મહત્તમ હોય છે.
આમ,મહત્તમ તણાવ $T_{\max}$ મધ્યમાન સ્થિતિ પર જોવા મળે છે:
$T_{\max} = mg + \frac{mv_{\max}^2}{l}$
સાદા લોલક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ છે.
$S$.$H$.$M$. માં મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A\omega$ છે.
તણાવના સમીકરણમાં $v_{\max}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T_{\max} = mg + \frac{m(A\omega)^2}{l}$
$T_{\max} = mg + \frac{m A^2 \omega^2}{l}$
કારણ કે $\omega^2 = \frac{g}{l}$,તેથી આપણને મળે છે:
$T_{\max} = mg + \frac{m A^2 (g/l)}{l}$
$T_{\max} = mg + \frac{m A^2 g}{l^2}$
$T_{\max} = mg \left[1 + \left(\frac{A}{l}\right)^2\right]$

(A) $S.H.M.$ કરતા કણ માટે પ્રવેગ $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ છે。
બ્લોક પિસ્ટનથી અલગ થાય તે માટે, પિસ્ટનનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ。
આમ, અલગ થવાની શરત $a_{max} \geq g$ છે。
આવર્તકાળ $T = 1 \,s$ આપેલ છે, તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \,rad/s$ થાય。
શરત $a_{max} = g$ મૂકતા:
$\omega^2 A = g$
$(2\pi)^2 A = 10$
$4\pi^2 A = 10$
$\pi^2 = 10$ આપેલ હોવાથી, $4(10) A = 10$ મળે。
$40 A = 10$
$A = \frac{10}{40} = 0.25 \,m$.

(C) બે સંપાત થતા તરંગોના પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$
અહીં આપેલ છે કે દરેક તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_1 = A_2 = A$ છે અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ (એટલે કે $90^{\circ}$) છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2 A^2 \cos 90^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી,સમીકરણનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ મળે:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 0} = \sqrt{2 A^2} = \sqrt{2} A$

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ આધારબિંદુ અને ગોળાના ગુરુત્વકેન્દ્ર $(CG)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,પાણીથી ભરેલા દડાનું ગુરુત્વકેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
જેમ જેમ પાણી નાના છિદ્રમાંથી બહાર નીકળે છે,તેમ બાકી રહેલા પાણીનું ગુરુત્વકેન્દ્ર નીચેની તરફ ખસે છે,જેનાથી લોલકની અસરકારક લંબાઈ $L$ વધે છે,પરિણામે આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
જેમ દડો લગભગ ખાલી થઈ જાય છે,તેમ ગુરુત્વકેન્દ્ર ફરીથી દડાના ભૌમિતિક કેન્દ્ર તરફ ઉપરની તરફ ખસવા લાગે છે.
પરિણામે,અસરકારક લંબાઈ $L$ ઘટે છે અને તેના મૂળ મૂલ્ય પર પાછી આવે છે.
તેથી,આવર્તકાળ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે,અને અંતે તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય જેટલું જ થઈ જાય છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત છે કે નહીં. સંતુલિત બ્રિજ માટેની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે.
અહીં,$P = 5 \Omega$,$Q = 10 \Omega$,$R = 20 \Omega$,અને $S = 40 \Omega$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{P}{Q} = \frac{5}{10} = 0.5$ અને $\frac{R}{S} = \frac{20}{40} = 0.5$ મળે છે.
જેથી $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી $(I_g = 0)$.
જંકશન $D$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,$40 \Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવેશતો પ્રવાહ એ $20 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I_2$ જેટલો જ હોય છે,કારણ કે ગેલ્વેનોમીટરની શાખામાં કોઈ પ્રવાહ જતો નથી.
તેથી,$40 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$ છે.

(D) ધારો કે $R_1$ એ ડાબા ગેપમાં જોડેલ $3 \, m$ લાંબા તારનો અવરોધ છે અને $R_2 = 8 \, \Omega$ એ જમણા ગેપમાં રહેલ અવરોધ છે।
મીટર-બ્રિજ માટે, સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બ્રિજ વાયરના ભાગોનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 = 3:2$ આપેલ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_1}{8} = \frac{3}{2}$.
તેથી, $R_1 = \frac{3}{2} \times 8 = 12 \, \Omega$.
તારની લંબાઈ $3 \, m$ છે અને તેનો અવરોધ $12 \, \Omega$ છે, તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\frac{12 \, \Omega}{3 \, m} = 4 \, \Omega/m$ થાય।
$1 \, \Omega$ ના અવરોધને અનુરૂપ તારની લંબાઈ $l = \frac{1 \, \Omega}{4 \, \Omega/m} = 0.25 \, m$ થાય।

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} = \frac{1.228}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$ અથવા $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^2$.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \lambda_1 + 0.5\lambda_1 = 1.5\lambda_1 = \frac{3}{2}\lambda_1$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{1.5\lambda_1}{\lambda_1}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

(C) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = V$ છે અને અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = 2V$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
તેથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ના અવયવ જેટલી ઘટે છે.

(D) રિડબર્ગના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન $2^{\text{nd}}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 3)$ થી $1^{\text{st}}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_1 = 2)$ માં જાય છે:
$\frac{1}{\lambda_0} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
બીજા કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન $3^{\text{rd}}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 4)$ થી $2^{\text{nd}}$ કક્ષા $(n_1 = 2)$ માં જાય છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{R(5/36)}{R(3/16)} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{20}{27}$.
તેથી,$\lambda = \frac{20}{27} \lambda_0$.
$\frac{20}{x} \lambda_0$ સાથે સરખાવતા,$x = 27$ મળે છે.

(D) $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_1 = V$ પર તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 4\lambda$ છે.
ધારો કે અંતિમ સ્થિતિમાન $V_2 = 4V$ પર તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ છે.
પ્રમાણસરતાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{4\lambda} = \sqrt{\frac{V}{4V}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\lambda_2 = 4\lambda \times \frac{1}{2} = 2\lambda$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$p = \sqrt{2mqV}$ હોવાથી,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\lambda = \left( \frac{h}{\sqrt{2mq}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{V}} \right)$ મળે છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \lambda$ અને $x = \frac{1}{\sqrt{V}}$,આલેખનો ઢાળ $\text{Slope} = \frac{h}{\sqrt{2mq}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $h$ અને $q$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $\text{Slope} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
તેથી,નાનો ઢાળ એ મોટા દળને અનુરૂપ છે.
આલેખ જોતા,$m_1$ ને અનુરૂપ રેખાનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
આમ,$m_1$ એ સૌથી વધુ દળ ધરાવતો કણ છે.

(A) પ્રકાશની દ્વૈત પ્રકૃતિ એટલે કે તે તરંગ અને કણ બંને તરીકે વર્તે છે.
વિવર્તન એ એવી ઘટના છે જે પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે,કારણ કે તેમાં પ્રકાશના તરંગો અવરોધોની કિનારીઓ પર વળે છે.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર એ એવી ઘટના છે જે પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે,જ્યાં પ્રકાશ ફોટોન નામના ઉર્જાના નાના પેકેટો તરીકે વર્તે છે જે ધાતુની સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોનને મુક્ત કરે છે.
તેથી,વિવર્તન અને ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરનું સંયોજન પ્રકાશની દ્વૈત પ્રકૃતિ માટે પુરાવા પૂરા પાડે છે.

(C) બોહરના બીજા અધિતર્ક મુજબ,કોણીય વેગમાન $\frac{nh}{2 \pi} = mvr_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_n = \frac{h}{mv} = \frac{2 \pi r_n}{n}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n^{\text{th}}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = r_1 \times n^2$ છે,જ્યાં $r_1 = r$ છે.
$4^{\text{th}}$ કક્ષા $(n = 4)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_4 = r \times 4^2 = 16r$ થાય.
આ કિંમતોને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda_4 = \frac{2 \pi r_4}{4} = \frac{2 \pi \times (16r)}{4} = 8 \pi r$.

(D) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $(E)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $p = \sqrt{2mE}$.
આ કિંમતને ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે છે.
અહીં $h$ અને $m$ (કણનું દળ) અચળ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,જે $\lambda \propto E^{-\frac{1}{2}}$ ને સમાન છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ $eV_0 = h\nu - h\nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ $\nu$ માટે: $eV_0 = h\nu - h\nu_0$ ... $(i)$
આવૃત્તિ $\frac{\nu}{2}$ માટે: $e\frac{V_0}{4} = h\frac{\nu}{2} - h\nu_0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$4 = \frac{h\nu - h\nu_0}{\frac{h\nu}{2} - h\nu_0} = \frac{\nu - \nu_0}{\frac{\nu}{2} - \nu_0}$
$4(\frac{\nu}{2} - \nu_0) = \nu - \nu_0$
$2\nu - 4\nu_0 = \nu - \nu_0$
$2\nu - \nu = 4\nu_0 - \nu_0$
$\nu = 3\nu_0$
$\nu_0 = \frac{\nu}{3}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K.E_{\max} = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 2\phi_0$. તેથી,$K.E_1 = 2\phi_0 - \phi_0 = \phi_0$.
$K.E_1 = \frac{1}{2}mv_1^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}mv_1^2 = \phi_0$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 3\phi_0$. તેથી,$K.E_2 = 3\phi_0 - \phi_0 = 2\phi_0$.
$K.E_2 = \frac{1}{2}mv_2^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}mv_2^2 = 2\phi_0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{\phi_0}{2\phi_0}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,ગુણોત્તર $v_1: v_2$ એ $1: \sqrt{2}$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ ... $(i)$
આપેલ છે કે જ્યારે તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{\lambda}{3}$ થાય છે,ત્યારે ગતિઊર્જા $E' = 4E$ થાય છે.
આ કિંમતોને ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણમાં મૂકતા: $4E = \frac{hc}{\lambda/3} - \phi_0$
$4E = \frac{3hc}{\lambda} - \phi_0$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી $E$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$4\left(\frac{hc}{\lambda} - \phi_0\right) = \frac{3hc}{\lambda} - \phi_0$
$\frac{4hc}{\lambda} - 4\phi_0 = \frac{3hc}{\lambda} - \phi_0$
$\frac{4hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda} = 4\phi_0 - \phi_0$
$\frac{hc}{\lambda} = 3\phi_0$
$\phi_0 = \frac{hc}{3\lambda}$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ, ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = h\nu - \Phi_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે, અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે।
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $K_{max}$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $(\nu)$ સાથે સુરેખ રીતે બદલાય છે।
વધુમાં, મહત્તમ ગતિઊર્જા એ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે, કારણ કે તીવ્રતા માત્ર એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને અસર કરે છે।

(B) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ $(i)$
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે,$K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$ (ii)
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 3 \lambda_2$,આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$K_1 = \frac{hc}{3 \lambda_2} - \phi$ (iii)
સમીકરણ (ii) પરથી,$\frac{hc}{\lambda_2} = K_2 + \phi$. આ કિંમત સમીકરણ (iii) માં મૂકતા:
$K_1 = \frac{1}{3} (K_2 + \phi) - \phi$
$K_1 = \frac{K_2}{3} + \frac{\phi}{3} - \phi$
$K_1 = \frac{K_2}{3} - \frac{2\phi}{3}$
કારણ કે વર્ક ફંક્શન $\phi > 0$ છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $K_1 < \frac{K_2}{3}$.

(B) આપાત પ્રકાશની ઉર્જા $(E)$:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 eV \cdot nm}{310 nm} = 4 eV$
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{max} = E - \phi_0$
જ્યાં $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$K_{max} = 4 eV - 1.13 eV = 2.87 eV$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ $K_{max} = eV_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, $V_0 = 2.87 V$.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e \left( \frac{V}{6} \right) = hc \left( \frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$6 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}}{\frac{\lambda_0 - 3\lambda}{3\lambda \lambda_0}} = \frac{3(\lambda_0 - \lambda)}{\lambda_0 - 3\lambda}$
$6(\lambda_0 - 3\lambda) = 3\lambda_0 - 3\lambda$
$6\lambda_0 - 18\lambda = 3\lambda_0 - 3\lambda$
$3\lambda_0 = 15\lambda$
$\lambda_0 = 5\lambda$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K.E._{\max})$ એ $K.E._{\max} = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 2\phi_0$,તેથી $K.E._{\max 1} = 2\phi_0 - \phi_0 = \phi_0$.
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 5\phi_0$,તેથી $K.E._{\max 2} = 5\phi_0 - \phi_0 = 4\phi_0$.
મહત્તમ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K.E._{\max 1}}{K.E._{\max 2}} = \frac{\phi_0}{4\phi_0} = \frac{1}{4}$ છે.
કારણ કે $K.E._{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{K.E._{\max 1}}{K.E._{\max 2}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ થશે.

(D) પદાર્થની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ છે. આપાત પ્રકાશની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $\nu_1 = 1.5 \nu_0$ છે. કારણ કે $\nu_1 > \nu_0$,તેથી ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે.
જ્યારે આવૃત્તિ અડધી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $\nu_2 = \frac{1.5 \nu_0}{2} = 0.75 \nu_0$ થાય છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી $(\nu \ge \nu_0)$ હોવી જોઈએ.
અહીં $0.75 \nu_0 < \nu_0$ હોવાથી,નવી આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા ઓછી છે.
તેથી,આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા ગમે તેટલી હોય,ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં.
આમ,ફોટોકરંટ શૂન્ય થઈ જશે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જકનું વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ એ સૂત્ર $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\phi_0 \propto \frac{1}{\lambda_0}$.
પ્રથમ ઉત્સર્જક માટે,આપાત તરંગલંબાઈ $300 \ nm$ છે. ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે,તેથી થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_{0_1}$ ઓછામાં ઓછી $300 \ nm$ હોવી જોઈએ.
બીજા ઉત્સર્જક માટે,થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_{0_2}$ એ $600 \ nm$ તરીકે આપવામાં આવે છે.
ધારી લઈએ કે પ્રથમ ઉત્સર્જક $300 \ nm$ માટે થ્રેશોલ્ડ પર છે,તો આપણી પાસે $\lambda_{0_1} = 300 \ nm$ અને $\lambda_{0_2} = 600 \ nm$ છે.
વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_{0_1}}{\phi_{0_2}} = \frac{\lambda_{0_2}}{\lambda_{0_1}} = \frac{600 \ nm}{300 \ nm} = \frac{2}{1}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે ધરાસ્થિતિમાં $(m=1)$ સંક્રમણ માટે રિડબર્ગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda R} = 1 - \frac{1}{n^2}$
$\frac{1}{n^2} = 1 - \frac{1}{\lambda R}$
$\frac{1}{n^2} = \frac{\lambda R - 1}{\lambda R}$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$n^2 = \frac{\lambda R}{\lambda R - 1}$
તેથી,ઉત્તેજિત અવસ્થાનો ક્વોન્ટમ આંક:
$n = \sqrt{\frac{\lambda R}{\lambda R - 1}}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $4.8 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e} \quad \dots(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,જ્યાં તરંગલંબાઈ $2\lambda$ છે: $1.6 = \frac{hc}{e(2\lambda)} - \frac{\phi}{e} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$4.8 - 1.6 = \left(\frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}\right) - \left(\frac{hc}{2e\lambda} - \frac{\phi}{e}\right)$
$3.2 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{hc}{2e\lambda} = \frac{hc}{2e\lambda}$
તેથી,$\frac{hc}{e\lambda} = 6.4$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$4.8 = 6.4 - \frac{\phi}{e} \Rightarrow \frac{\phi}{e} = 6.4 - 4.8 = 1.6$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\frac{\phi}{e} = \frac{hc}{e\lambda_0} = 1.6$.
કારણ કે $\frac{hc}{e\lambda} = 6.4$,તેથી $\frac{hc}{e\lambda_0} = \frac{1}{4} \left(\frac{hc}{e\lambda}\right)$.
તેથી,$\lambda_0 = 4\lambda$.

(C) આપેલ છે: અવરોધ $R = 10 \ \Omega$,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 6t^2 + 7t + 1 \ mWb$,અને સમય $t = 1 \ s$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત e.m.f. $(e)$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$e = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$
$\phi$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 + 7t + 1) = 12t + 7$
$t = 1 \ s$ કિંમત મૂકતા:
$e = 12(1) + 7 = 19 \ mV$
તેથી,$t = 1 \ s$ સમયે પ્રેરિત e.m.f. $19 \ mV$ છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ અનુસાર,પ્રેરિત e.m.f. $(e)$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે ચુંબક અને ગૂંચળા વચ્ચેના સાપેક્ષ વેગ $(v_{rel})$ પર આધાર રાખે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ગૂંચળું સ્થિર છે અને ચુંબક $V$ ઝડપથી ગતિ કરે છે. તેથી,સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = V$ છે. પ્રેરિત e.m.f. $e \propto V$ છે,તેથી $e = k V$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
બીજા કિસ્સામાં,ચુંબક અને ગૂંચળું બંને એકબીજાથી $V$ ઝડપથી દૂર જાય છે. તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel}' = V + V = 2V$ થશે.
પ્રેરિત e.m.f. સાપેક્ષ વેગના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,નવું પ્રેરિત e.m.f. $(e')$ નીચે મુજબ થશે:
$e' \propto v_{rel}'$
$e' \propto 2V$
$e' = k(2V) = 2(kV) = 2e$.
તેથી,ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $2e$ છે.

(C) વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય e.m.f. નું સૂત્ર $e = Bvl$ છે.
અહીં ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = 1000 \ A/m$ આપેલ છે,તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B = \mu_0 H$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \ Wb/Am) \times (1000 \ A/m) = 4 \pi \times 10^{-4} \ T$.
વાહકની લંબાઈ $l = 10 \ cm = 0.1 \ m$ અને ઝડપ $v = 1 \ m/s$ છે.
હવે,પ્રેરિત e.m.f. ની ગણતરી કરતા:
$e = (4 \pi \times 10^{-4} \ T) \times (1 \ m/s) \times (0.1 \ m)$
$e = 0.4 \pi \times 10^{-4} \ V = 40 \pi \times 10^{-6} \ V = 40 \pi \ \mu V$.

(C) ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગૂંચળાને લંબ હોવાથી, $\theta = 0^\circ$ અને $\cos 0^\circ = 1$ થાય.
પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_1 = NBA = 50 \times (2 \times 10^{-2} \,T) \times (100 \times 10^{-4} \,m^2) = 50 \times 2 \times 10^{-2} \times 10^{-2} = 10^{-2} \,Wb$.
અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_2 = 0$ (કારણ કે તેને ક્ષેત્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે).
પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|e| = \frac{|\Delta \phi|}{t} = \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 = \frac{|0 - 10^{-2}|}{t}$.
તેથી, $t = \frac{10^{-2}}{0.1} = 0.1 \,s$.

(C) કોઈલમાંથી પસાર થતું પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_i = B \cdot A$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $25 \%$ નો ઘટાડો થતો હોવાથી,અંતિમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_f = B - 0.25B = 0.75B = \frac{3}{4}B$ થશે.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_f = \frac{3}{4}B \cdot A$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \Phi = \Phi_f - \Phi_i = \frac{3}{4}BA - BA = -\frac{1}{4}BA$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ છે.
અહીં $\Delta t = 2 \ s$ આપેલ છે,તેથી $\varepsilon = -\left( \frac{-\frac{1}{4}BA}{2} \right) = \frac{BA}{8}$.
આમ,પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $\frac{AB}{8}$ છે.

(C) કોઈલ (ગૂંચળા) માં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -L \frac{di}{dt}$,જ્યાં $L$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે,$e$ એ પ્રેરિત $EMF$ છે,અને $\frac{di}{dt}$ એ પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર છે.
$L$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $L = \frac{e}{di/dt}$.
$EMF$ $(e)$ નો એકમ વોલ્ટ $(V)$ છે,પ્રવાહ $(i)$ નો એકમ એમ્પીયર $(A)$ છે,અને સમય $(t)$ નો એકમ સેકન્ડ $(S)$ છે.
તેથી,સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ નો એકમ $\frac{V}{A/S} = \frac{V \cdot S}{A}$ થાય છે,જેને હેનરી $(H)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

(D) શ્રેણીમાં જોડાયેલા ઇન્ડક્ટર્સ માટે, અસરકારક ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eff} = L_1 + L_2 + L_3$ છે। સમાંતરમાં જોડાયેલા ઇન્ડક્ટર્સ માટે, અસરકારક ઇન્ડક્ટન્સ $\frac{1}{L_{eff}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$1$. સંયોજન $P$: ઇન્ડક્ટર્સ શ્રેણીમાં છે। $L_{eff} = 2 + 3 + 6 = 11 \ H$.
$2$. સંયોજન $Q$: ઇન્ડક્ટર્સ સમાંતરમાં છે। $\frac{1}{L_{eff}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \ H^{-1}$. તેથી, $L_{eff} = 1 \ H$.
$3$. સંયોજન $R$: $L_1$ અને $L_2$ શ્રેણીમાં છે, અને આ સંયોજન $L_3$ સાથે સમાંતરમાં છે। $L_{series} = 2 + 3 = 5 \ H$. પછી $\frac{1}{L_{eff}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{11}{30}$, તેથી $L_{eff} = \frac{30}{11} \approx 2.72 \ H$.
$4$. સંયોજન $S$: આ એક મિશ્ર શ્રેણી-સમાંતર સર્કિટ છે। $L_1$ એ $L_3$ સાથે સમાંતરમાં છે, અને આ સંયોજન $L_2$ સાથે શ્રેણીમાં છે। $\frac{1}{L_{parallel}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \ H^{-1}$, તેથી $L_{parallel} = 1.5 \ H$. પછી $L_{eff} = 1.5 + 3 = 4.5 \ H$.
તેથી, સાચું સંયોજન $Q$ છે।

(D) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = L\omega = L(2\pi f)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $X_L = \frac{1}{\pi} \times 2\pi \times 200 = 400 \text{ } \Omega$.
$LR$ શ્રેણી પરિપથમાં ફેઝ એંગલ $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથનો અવરોધ $R$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{\Delta \phi}{R \Delta t}$ થાય.
પરિપથમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ પ્રવાહ અને સમયનો ગુણાકાર છે: $Q = I \times \Delta t$.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $Q = \left( \frac{\Delta \phi}{R \Delta t} \right) \times \Delta t$.
તેથી,કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \frac{\Delta \phi}{R}$ થાય.

(D) તકતીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ લંબાઈનો એક નાનો ત્રિજ્યાવર્તી ખંડ વિચારો.
જેમ તકતી ફરે છે,તેમ આ ખંડ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ $v = r\omega$ ના રેખીય વેગથી ગતિ કરે છે.
આ નાના ખંડ પર ઉદ્ભવતું ગતિકીય e.m.f. $de = Bv dr = B(r\omega) dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર (અક્ષ) અને ધાર (ત્રિજ્યા $R$) વચ્ચે કુલ પ્રેરિત e.m.f. $e$ શોધવા માટે,આપણે $r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$e = \int_{0}^{R} B\omega r dr$
$e = B\omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R}$
$e = \frac{1}{2} B\omega R^2$.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$KE = eV = \frac{1}{2} mv^2$
આના પરથી,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ છે:
$v = \sqrt{\frac{2 eV}{m}}$
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબ રૂપે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,જેનું સૂત્ર છે:
$R = \frac{mv}{eB}$
$v$ ની કિંમત $R$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R = \frac{m}{eB} \sqrt{\frac{2 eV}{m}} = \frac{1}{eB} \sqrt{m^2 \cdot \frac{2 eV}{m}} = \frac{1}{eB} \sqrt{2 Vme} = \sqrt{\frac{2 Vme}{e^2 B^2}} = \sqrt{\frac{2 Vm}{eB^2}}$

(D) પ્રેરિત e.m.f. માટેનું સૂત્ર $e = \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t}$ છે,જ્યાં $\phi = BA \cos \theta$. ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,$\theta = 0^\circ$ અને $\cos 0^\circ = 1$ થાય,તેથી $\phi = BA$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = B$ થી બદલાઈને $B_2 = 0.25 B = \frac{1}{4} B$ થાય છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = A(B_1 - B_2) = A(B - \frac{1}{4} B) = \frac{3}{4} AB$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 1 \text{ s}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \frac{\frac{3}{4} AB}{1} = \frac{3}{4} AB$.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2r} \left( \frac{\theta}{2\pi} \right)$ છે.
અહીં,કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{16}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \left( \frac{\pi/16}{2\pi} \right)$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{\pi/16}{2\pi} = \frac{\pi}{16 \times 2\pi} = \frac{1}{32}$.
હવે,આ કિંમત $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \times \frac{1}{32} = \frac{\mu_0 I}{64r}$.

(C) લાંબા સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી છે,$N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $L \propto A$.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) કપલિંગ કોએફિશિયન્ટ $(K)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$K = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$
આપેલ છે:
$M = 3 \ H$
$L_1 = 4 \ H$
$L_2 = 9 \ H$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{3}{\sqrt{4 \times 9}}$
$K = \frac{3}{\sqrt{36}}$
$K = \frac{3}{6}$
$K = 0.5$

(B) કોઈલ $B$ માં પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર $e = M \frac{dI}{dt}$ છે.
આપેલ છે: $M = 0.008 \ H$, $I = I_{m} \sin \omega t$, $I_{m} = 5 \ A$, અને $\omega = 200 \pi \ rad \ s^{-1}$.
પ્રવાહનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dI}{dt} = I_{m} \omega \cos \omega t$.
આ કિંમત e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા: $e = M I_{m} \omega \cos \omega t$.
e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય $(e_{\max})$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \omega t = 1$ હોય.
તેથી, $e_{\max} = M I_{m} \omega$.
કિંમતો મૂકતા: $e_{\max} = 0.008 \times 5 \times 200 \pi$.
$e_{\max} = 0.04 \times 200 \pi = 8 \pi \ V$.

(A) ઇન્ડક્ટર માટે ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ અને પ્રવાહ $(I)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આ સમીકરણની સરખામણી ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે કરતા,આપણને $L = \phi / I$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ એ $\phi$ વિરુદ્ધ $I$ ના આલેખના ઢાળ (slope) જેટલું છે.
આપેલ ચાર રેખાઓમાંથી રેખા $A$ નો ઢાળ સૌથી વધુ હોવાથી,તે સૌથી વધુ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે.
આ ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 r_1}$ છે.
અહીં $r_2 \ll r_1$ હોવાથી,નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ લગભગ સમાન ગણી શકાય.
$r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = B_1 \cdot A_2 = B_1 \cdot \pi r_2^2$ છે.
$B_1$ ની કિંમત મૂકતા,$\phi_2 = \left( \frac{\mu_0 I_1}{2 r_1} \right) \pi r_2^2$ મળે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $M = \frac{\phi_2}{I_1}$ થાય.
તેથી,$M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$.

(D) પરસ્પર પ્રેરકત્વને કારણે ગૌણ કોઈલમાં ઉદ્ભવતું કુલ e.m.f. સૂત્ર $e_{total} = M \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં પ્રવાહ $I$ થી $0$ સુધી $t$ સમયમાં બદલાય છે,તેથી ઉદ્ભવતા કુલ e.m.f. નું મૂલ્ય $e_{total} = M \frac{I}{t}$ થાય.
કોઈલમાં કુલ $N$ આંટા હોવાથી,આ કુલ e.m.f. $N$ આંટાઓ વચ્ચે વહેંચાય છે.
તેથી,પ્રતિ આંટા દીઠ ઉદ્ભવતું e.m.f. = $\frac{e_{total}}{N} = \frac{MI}{Nt}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 100$, પ્રવાહ $I = 1 \,A$, પ્રતિ આંટા દીઠ ફ્લક્સ $\phi = 2.5 \times 10^{-5} \,Wb/\text{turn}$.
કુલ ફ્લક્સ સાંકળ $N\phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નું સૂત્ર $L = \frac{N\phi}{I}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{100 \times 2.5 \times 10^{-5}}{1} \,H$.
$L = 2.5 \times 10^{-3} \,H$.
કારણ કે $1 \,mH = 10^{-3} \,H$, તેથી $L = 2.5 \,mH$ થાય.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર $I$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ છે.
અહીં $R \gg r$ હોવાથી,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ લગભગ સમાન રહે છે.
નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ નાના ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 R} \right) \times \pi r^2$ મળે છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $M = \frac{\phi}{I}$ થાય.
તેથી,$M = \frac{\frac{\mu_0 I}{2 R} \times \pi r^2}{I} = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2 R}$.

(B) સોલેનોઈડના આત્મ-પ્રેરકત્વનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે,$N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઈડની લંબાઈ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $L \propto A$ અને $L \propto \frac{1}{l}$.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધારવા માટે,ક્ષેત્રફળ $A$ વધવું જોઈએ અને લંબાઈ $l$ ઘટવી જોઈએ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) બીજી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. સૂત્ર $|e_s| = M \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I = I_0 \sin \omega t$,તેથી સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dI}{dt} = I_0 \omega \cos \omega t$.
આ કિંમત e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|e_s| = M I_0 \omega \cos \omega t$.
પ્રેરિત e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \omega t = 1$ હોય,તેથી $|e_s|_{\max} = M I_0 \omega$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $M = 0.004 \ H$,$I_0 = 10 \ A$,અને $\omega = 50 \pi \ rad \ s^{-1}$:
$|e_s|_{\max} = 0.004 \times 10 \times 50 \pi = 2 \pi \ V$.

(C) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{total} = N(BA)$ છે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\phi_{total} = N \left( \frac{\mu_0 NI}{l} \right) A = \frac{\mu_0 N^2 IA}{l}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\phi_{total}}{I}$ છે.
તેથી,$L = \frac{\frac{\mu_0 N^2 IA}{l}}{I} = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$.

(A) સોલેનોઈડના દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ $\phi = 2.8 \times 10^{-3} \, Wb$ આપેલ છે।
$N = 1500$ આંટા ધરાવતા સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi_{net})$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\Phi_{net} = N \times \phi = 1500 \times 2.8 \times 10^{-3} = 4.2 \, Wb$.
કુલ ફ્લક્સ, આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ અને પ્રવાહ $(I)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Phi_{net} = L \times I$ છે।
તેથી, આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L = \frac{\Phi_{net}}{I} = \frac{4.2}{3.5} = 1.2 \, H$.

(C) આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ છે.
વિચલન કોણ $\delta = 15^{\circ}$ છે.
વક્રીભવન કોણ $r$ એ $\delta = i - r$ દ્વારા મળે છે,તેથી $r = i - \delta = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2}$,જ્યાં $v_1$ એ હવામાં ઝડપ છે અને $v_2$ એ પ્રવાહીમાં ઝડપ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{0.5}{1/\sqrt{2}} = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$v_2 = \frac{v_1}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times 10^8}{1.414} \approx 2.12 \times 10^8 \ m/s$.
આમ,પ્રવાહીમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $2.1 \times 10^8 \ m/s$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને તેમના પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી; તેઓ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપે $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ ગતિ કરી શકે છે.
આનું કારણ એ છે કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો હોય છે જે એકબીજાને ટકાવી રાખે છે,જે મેક્સવેલના સમીકરણો દ્વારા સમજાવી શકાય છે.
તેથી,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના પ્રસરણ માટે ભૌતિક માધ્યમ જરૂરી છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(B) ધારો કે દરેક શિરોબિંદુથી સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r$ છે. કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V = V_{2q} + V_{-q} + V_{-q} = \frac{k(2q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} = \frac{k}{r}(2q - q - q) = 0$. આમ,કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટે,સદિશો $\vec{E}_{2q}, \vec{E}_{-q},$ અને $\vec{E}_{-q}$ મધ્યગાઓની દિશામાં છે. બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે અને તેમનું પરિણામી ક્ષેત્ર પાયાના મધ્યબિંદુ તરફ છે,જ્યારે $2q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર તેનાથી દૂરની દિશામાં છે,તેથી આ ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય નથી. તેથી,કેન્દ્ર પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી.