MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
અહીં $T_1 = T$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$ અને $\gamma = 3/2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $T V^{\gamma-1} = T_2 (2V)^{\gamma-1}$.
$T_2 = T \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R T (1 - 1/\sqrt{2})}{1/2}$.
$W = 2 R T \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} R T (\sqrt{2}-1) = R T (2 - \sqrt{2})$.

(D) આઈસોકોરિક (અચળ કદ) પરિસ્થિતિઓમાં,કદમાં થતો ફેરફાર $dV = 0$ હોય છે.
કારણ કે થયેલ કાર્ય $dW = P \cdot dV$ છે,તેથી $dW = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$.
$dW = 0$ મૂકતા,આપણને $dQ = dU$ મળે છે.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 50 \% = 0.5$ અને સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_{H1} = 600 \ K$ આપેલ છે.
$0.5 = 1 - \frac{T_C}{600} \implies \frac{T_C}{600} = 0.5 \implies T_C = 300 \ K$.
હવે,સિંકનું તાપમાન $T_C = 300 \ K$ અચળ રાખીને કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 70 \% = 0.7$ કરવામાં આવે છે.
$0.7 = 1 - \frac{300}{T_{H2}}$.
$\frac{300}{T_{H2}} = 1 - 0.7 = 0.3$.
$T_{H2} = \frac{300}{0.3} = 1000 \ K$.
આમ,સ્ત્રોતનું નવું તાપમાન $1000 \ K$ હશે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $R = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$T$ એ ગોળાનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
આપેલ છે: $T_1 = 627^{\circ} C = 627 + 273 = 900 \ K$,$T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$,અને $T_0 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
ઉષ્મા ગુમાવવાના દરનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{900^4 - 300^4}{600^4 - 300^4} = \frac{(300 \times 3)^4 - 300^4}{(300 \times 2)^4 - 300^4}$.
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{300^4 (3^4 - 1)}{300^4 (2^4 - 1)} = \frac{81 - 1}{16 - 1} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3} \approx 5.33$.
આમ,ગુણોત્તર આશરે $5.3$ છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સા $(i)$ માટે,સિંકનું તાપમાન $T_C = 100 \ K$ અને સોર્સનું તાપમાન $T_H = 600 \ K$ છે.
તેથી,$\eta_1 = 1 - \frac{100}{600} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
કિસ્સા $(ii)$ માટે,સિંકનું તાપમાન $T_C = T \ K$ અને સોર્સનું તાપમાન $T_H = 960 \ K$ છે.
તેથી,$\eta_2 = 1 - \frac{T}{960}$.
બંને કિસ્સામાં કાર્યક્ષમતા સમાન હોવાથી,$\eta_1 = \eta_2$.
$\frac{5}{6} = 1 - \frac{T}{960}$.
$\frac{T}{960} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.
$T = \frac{960}{6} = 160 \ K$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
અહીં,સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \ K$.
સિંકનું તાપમાન $T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ અથવા $\frac{2}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1}$,જ્યાં $W$ એ થયેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ આપેલી ઉષ્મા છે.
આપેલ છે કે $Q_1 = 50 \ kJ$,તેથી $W = \eta \times Q_1$.
$W = 0.4 \times 50 \ kJ = 20 \ kJ$.

(B) રેફ્રિજરેટરનો કાર્યક્ષમતા ગુણાંક $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે.
હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{1}{\frac{T_1}{T_1 - T_2}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $\frac{T_1}{T_1 - T_2} = \frac{(T_1 - T_2) + T_2}{T_1 - T_2} = 1 + \frac{T_2}{T_1 - T_2} = 1 + \beta$ છે,
આ કિંમતને કાર્યક્ષમતાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\eta = \frac{1}{1 + \beta}$ મળે છે.

(B) આદર્શ રેફ્રિજરેટર માટે પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(COP)$,$\beta$ નું સૂત્ર: $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ છે,જ્યાં $T_2$ એ ફ્રીઝરનું તાપમાન છે અને $T_1$ એ આસપાસનું તાપમાન (સિંક) છે.
આપેલ છે: $\beta = 5$ અને $T_2 = -13^{\circ} C = (-13 + 273) K = 260 K$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{260}{T_1 - 260}$
$5(T_1 - 260) = 260$
$5T_1 - 1300 = 260$
$5T_1 = 1560$
$T_1 = 312 K$
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_1 = (312 - 273)^{\circ} C = 39^{\circ} C$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
અહીં $V_i = V_0$,$V_f = \frac{V_0}{32}$,અને $\gamma = \frac{7}{5}$ આપેલ છે.
તેથી $\gamma - 1 = \frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_i (V_0)^{2/5} = T_f \left(\frac{V_0}{32}\right)^{2/5}$.
$T_f = T_i \left(\frac{V_0}{V_0/32}\right)^{2/5} = T_i (32)^{2/5}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી $T_f = T_i (2^5)^{2/5} = T_i (2^2) = 4T_i$.
$T_f = xT_i$ ને $T_f = 4T_i$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(C) સમતાપી સ્થિતિમાં,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,પરપોટાની અંદર રહેલા હવાના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે.
ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ છે,જ્યાં $P_0$ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $S$ પૃષ્ઠતાણ છે.
નાના પરપોટા માટે,$P \approx \frac{4S}{r}$.
$PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અચળ $T$ અને $n$ માટે,$PV$ અચળ રહે છે.
$P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_R V_R$
$\left(\frac{4S}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_1^3\right) + \left(\frac{4S}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right) = \left(\frac{4S}{R}\right) \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right)$
$\frac{16}{3} \pi S r_1^2 + \frac{16}{3} \pi S r_2^2 = \frac{16}{3} \pi S R^2$
$r_1^2 + r_2^2 = R^2$
$R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = Nk_B T$ મુજબ,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
પાત્ર $P$ માટે,સમીકરણ છે: $PV = N_P k_B T$ ... $(i)$
પાત્ર $Q$ માટે,સમીકરણ છે: $(2P) \left( \frac{V}{4} \right) = N_Q k_B (2T)$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{PV}{2} = N_Q k_B (2T)$
$\Rightarrow PV = 4 N_Q k_B T$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા:
$N_P k_B T = 4 N_Q k_B T$
$N_P = 4 N_Q$
તેથી,પાત્ર $P$ અને પાત્ર $Q$ માં રહેલા અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_P}{N_Q} = 4:1$ છે.

(C) પ્રક્રિયા અચાનક થતી હોવાથી,તે એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ છે.
આપેલ છે: $V_2 = \frac{V_1}{4}$,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = 4$.
આપેલ છે: $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = (4)^{3/2}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,અંતિમ દબાણ $P_2 = 8 P_1$ થાય,જે પ્રારંભિક દબાણ કરતા $8$ ગણું છે.

(C) જ્યારે પાત્રને અચાનક રોકવામાં આવે છે ત્યારે વાયુની ગતિઊર્જા આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે. વાયુનું કુલ દળ $m_{total} = nM$ થાય.
વાયુની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} (nM) V^2$ છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{2} n M V^2 = n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T$
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{3}{2} R \Delta T$
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{MV^2}{3R}$

(C) સમકદ પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં તંત્રનું કદ $(V)$ અચળ રહે છે.
$P-V$ આલેખમાં,અચળ કદની પ્રક્રિયાને શિરોલંબ રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,કારણ કે $V$ ના એક જ મૂલ્ય માટે,દબાણ $(P)$ બદલાઈ શકે છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા:
આલેખ $(A)$ માં $P$ એ $V$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
આલેખ $(B)$ માં અચળ દબાણ (સમદાબી) દર્શાવેલ છે.
આલેખ $(C)$ માં શિરોલંબ રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે $P$ બદલાય છે ત્યારે $V$ અચળ રહે છે.
આલેખ $(D)$ માં વક્ર રેખા છે.
તેથી,આલેખ $(C)$ સમકદ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

(A) આદર્શ વાયુનો r.m.s. વેગ $V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી $V_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$, એટલે કે $T \propto V_{\text{rms}}^2$.
જો $V_{\text{rms}}$ ને $3$ ગણો ઘટાડવામાં આવે, તો $T_2 = \frac{T_1}{3^2} = \frac{T_1}{9}$, તેથી $\frac{T_1}{T_2} = 9$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$, જેનો અર્થ છે કે $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
આથી $\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$.
અહીં $\gamma = 1.5$ હોવાથી, $\gamma - 1 = 0.5 = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_2}{V_1} = (9)^{\frac{1}{1/2}} = (9)^2 = 81$.
આમ, વાયુનું $81$ ગણું વિસ્તરણ કરવું પડે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેના પર્યાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી $(Q = 0)$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$. કારણ કે $Q = 0$,તેથી $\Delta U = -W$,જેનો અર્થ છે કે કરવામાં આવેલું તમામ કાર્ય આંતરિક ઉર્જાના ભોગે થાય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે. વિધાન $PV = \text{અચળ}$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે,એડિબેટિક નહીં.
તેથી,'$PV=$ અચળ' વિધાન ખોટું છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,સિસ્ટમને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ $\Delta Q = \Delta U + dW$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
આ કિંમત પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + dW$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\Delta U = -dW$ મળે છે.
તેથી,શરત $\Delta U = -dW$ એ એડિબેટિક પ્રક્રિયા સૂચવે છે.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{\rho}$ થાય. આ કિંમત સમોષ્મી સમીકરણમાં મૂકતા:
$P \left(\frac{m}{\rho}\right)^{\gamma} = \text{અચળ}$
$P \rho^{-\gamma} = \text{અચળ}$
તેથી,$\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right)^{\gamma}$.
અહીં $\frac{\rho^{\prime}}{\rho} = 32$ અને $\gamma = \frac{7}{5}$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{\frac{7}{5}}$
$\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{\frac{7}{5}} = 2^7 = 128$.

(D) અચળ તાપમાને બોઈલના નિયમ મુજબ,$P \propto \frac{1}{V}$,જેનો અર્થ છે કે $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ છે.
નવું દબાણ $P_2 = P + 0.05P = 1.05P$ થશે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $P V_1 = 1.05P V_2$.
નવા કદ માટે ઉકેલતા: $V_2 = \frac{V_1}{1.05} \approx 0.9524 V_1$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = 0.9524 V_1 - V_1 = -0.0476 V_1$ છે.
કદમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $\frac{|\Delta V|}{V_1} \times 100 = 0.0476 \times 100 = 4.76 \%$ છે.

(D) એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા જેમાં સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ગરમીની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેને એડિયાબેટિક (adiabatic) પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો ફેરફાર $dQ = 0$ હોય છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$,તેથી એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$dU = -dW$ થાય છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(U = f(T))$,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. કારણ કે $\Delta U = 0$,તેથી $\Delta Q = \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે વિનિમય પામેલી તમામ ઉર્જા કાર્ય કરવા માટે વપરાય છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે તંત્રનું પર્યાવરણ સાથે સંપૂર્ણ ઉષ્મીય સંતુલનમાં હોવું જરૂરી છે જેથી તાપમાન અચળ જળવાઈ રહે.
આદર્શ વાયુ માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે. અહીં $n$,$R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$PV$ અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,'$PV$ અચળ નથી' તે વિધાન ખોટું છે.

(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
અહીં $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $nl = k$ (અચળાંક).
આપેલ છે કે કુલ લંબાઈ $l = l_1 + l_2 + l_3$,તેથી દરેક ભાગની લંબાઈ $l_1 = \frac{k}{n_1}$,$l_2 = \frac{k}{n_2}$,અને $l_3 = \frac{k}{n_3}$ તરીકે લખી શકાય.
મૂળ લંબાઈ $l = \frac{k}{n}$ છે.
આ કિંમતોને લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_1} + \frac{k}{n_2} + \frac{k}{n_3}$.
બંને બાજુ $k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}$ મળે છે.

(B) સરળ આવર્ત પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y=A \sin 2 \pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y=a \sin 2 \pi(b t-c x)$.
બંનેની સરખામણી કરતા,કંપવિસ્તાર $A=a$,આવૃત્તિ $n = \frac{1}{T} = b$,અને તરંગ સંખ્યા $\frac{1}{\lambda} = c$ મળે છે.
મહત્તમ કણ વેગ $(v_p)_{\max} = A \omega = A(2 \pi n) = a(2 \pi b) = 2 \pi ab$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગ વેગ $v = n \lambda = \frac{n}{1/\lambda} = \frac{b}{c}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(v_p)_{\max} = \frac{1}{2} v$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \pi ab = \frac{1}{2} \left( \frac{b}{c} \right)$.
બંને બાજુથી $b$ દૂર કરતા: $2 \pi a = \frac{1}{2c}$.
$c$ માટે ઉકેલતા: $c = \frac{1}{4 \pi a}$.

(D) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 6 \sin(12 \pi t - 0.02 \pi x + \frac{\pi}{3})$ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 12 \pi \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 0.02 \pi \ rad/m$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
$v = \frac{12 \pi}{0.02 \pi}$
$v = \frac{12}{0.02} = \frac{1200}{2} = 600 \ m/s$.

(C) સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નોડ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે, $\frac{\lambda}{2} = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
તેથી, તરંગલંબાઇ $\lambda = 2 \times 0.05 \,m = 0.1 \,m$.
કંપનની આવૃત્તિ $f$ એ તરંગના વેગ $v$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda$ સાથે $f = \frac{v}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા, $f = \frac{2 \,m/s}{0.1 \,m} = 20 \,Hz$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$y_1 = a_1 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right)$
$y_2 = a_2 \cos \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi\right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$.
તેથી,$y_2$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$y_2 = a_2 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right)$
બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \Phi$ એ તેમના આર્ગ્યુમેન્ટ્સનો તફાવત છે:
$\Delta \Phi = \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right) = \phi + \frac{\pi}{2}$
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\Delta \Phi$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \times \Delta \Phi$
$\Delta \Phi$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \left(\phi + \frac{\pi}{2}\right)$

(D) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(2\omega t - 2kx)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega' t - k' x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k' = 2k$ મળે છે.
કણનો વેગ $v_p = \frac{dy}{dt} = A \cdot (2\omega) \cos(2\omega t - 2kx)$ છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p,max} = 2A\omega$ છે.
તરંગનો વેગ $v_w = \frac{\omega'}{k'} = \frac{2\omega}{2k} = \frac{\omega}{k}$ છે.
આપેલ છે કે $v_{p,max} = v_w$,તેથી $2A\omega = \frac{\omega}{k}$.
આમ,$A = \frac{1}{2k}$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત $A$ ના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$A = \frac{1}{2(2\pi / \lambda)} = \frac{\lambda}{4\pi}$.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ અથવા $y = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 5 \sin (10 \pi t - 0.02 \pi x + \pi / 3)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણે કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ મેળવી શકીએ છીએ:
$\omega = 10 \pi \ rad/s$
$k = 0.02 \pi \ rad/m$
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{10 \pi}{0.02 \pi}$
$v = \frac{10}{0.02} = \frac{1000}{2} = 500 \ m/s$
તેથી,તરંગનો વેગ $500 \ m/s$ છે.

(B) પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = a \sin (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = a \sin (2 \pi n t - \frac{2 \pi x}{5})$ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi n$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2 \pi}{5}$.
તરંગ વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / 5} = 5n$.
કણનો વેગ $v_p = \frac{dY}{dt} = a \omega \cos (\omega t - kx)$.
મહત્તમ કણ વેગ $v_m = a \omega = a (2 \pi n) = 2 \pi n a$.
મહત્તમ કણ વેગ અને તરંગ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_m}{v} = \frac{2 \pi n a}{5n} = \frac{2 \pi a}{5}$ થાય.

(A) જ્યારે લંબગત તરંગ એક સખત દીવાલ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેનું પરાવર્તન થાય છે. સખત આધાર માટેની સીમા શરતો મુજબ,તરંગમાં $180^{\circ}$ (અથવા $\pi$ રેડિયન) નો કળા તફાવત ઉદભવે છે. માધ્યમ સમાન રહેતું હોવાથી,તરંગની ઝડપ બદલાતી નથી,જોકે પ્રસરણની દિશા ઉલટાઈ જાય છે. તેથી,કળા $180^{\circ}$ જેટલી બદલાય છે,પરંતુ વેગનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.

(C) તાર $PQ$ માટે એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m_{PQ} = \frac{0.06}{4.8} = \frac{1}{80} \ kg/m$ છે.
તાર $QR$ માટે એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m_{QR} = \frac{0.2}{2.56} = \frac{5}{64} \ kg/m$ છે.
તાર $PQ$ માં તરંગનો વેગ $v_{PQ} = \sqrt{\frac{T}{m_{PQ}}} = \sqrt{\frac{80}{1/80}} = \sqrt{6400} = 80 \ m/s$ છે.
તાર $PQ$ માં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{L_{PQ}}{v_{PQ}} = \frac{4.8}{80} = 0.06 \ s$ છે.
તાર $QR$ માં તરંગનો વેગ $v_{QR} = \sqrt{\frac{T}{m_{QR}}} = \sqrt{\frac{80}{5/64}} = \sqrt{\frac{80 \times 64}{5}} = \sqrt{16 \times 64} = 4 \times 8 = 32 \ m/s$ છે.
તાર $QR$ માં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{L_{QR}}{v_{QR}} = \frac{2.56}{32} = 0.08 \ s$ છે.
કુલ લાગતો સમય $t = t_1 + t_2 = 0.06 + 0.08 = 0.14 \ s$ છે.

(C) કંપન કરતા વાયરની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $fl = \text{અચળ}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ છે.
શરૂઆતમાં,લંબાઈ $l_1 = 50 \ cm$ છે અને બીટ આવૃત્તિ $3$ છે,તેથી વાયરની આવૃત્તિ $f_1 = f - 3$ (અથવા $f + 3$) થાય.
લંબાઈ $1 \ cm$ ઘટાડ્યા પછી,$l_2 = 49 \ cm$ થાય છે. બીટ આવૃત્તિ હજુ પણ $3$ છે,તેથી વાયરની આવૃત્તિ $f_2 = f + 3$ (અથવા $f - 3$) થાય.
$f_1 l_1 = f_2 l_2$ હોવાથી,$(f - 3) \times 50 = (f + 3) \times 49$.
$50f - 150 = 49f + 147$.
$50f - 49f = 147 + 150$.
$f = 297 \ Hz$.

(B) સોનોમીટરના તાર માટે,આવૃત્તિ $n$ એ લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto 1/L)$,તેથી $n_1 L_1 = n_2 L_2$.
અહીં $L_1 = 49 \ cm$ અને $L_2 = 48 \ cm$ છે,અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = n$ છે.
તેથી $n \times 49 = n_2 \times 48$,જે આપણને $n_2 = \frac{49}{48} n$ આપે છે.
તારની લંબાઈ ઘટાડવાથી આવૃત્તિ વધે છે,તેથી $n_2 > n_1$.
બીટ આવૃત્તિ $n_2 - n_1 = 6$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
$n_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{49}{48} n - n = 6$.
$\frac{n}{48} = 6$.
$n = 6 \times 48 = 288 \ Hz$.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે શ્રોતા ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ વધે છે,તેથી અંશ $(V+V_L)$ થાય છે.
જ્યારે ઉદગમ શ્રોતા તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી તરંગલંબાઇ ઘટે છે,જેનાથી આવૃત્તિ વધે છે,તેથી છેદ $(V-V_S)$ થાય છે.
તેથી,અવલોકિત આવૃત્તિ $n$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n=n_0\left[\frac{V+V_{L}}{V-V_{s}}\right]$

(B) સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે,સંભળાતી આવૃત્તિ $n_1 = n_0 \left[ \frac{v + v_L}{v} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા સ્ત્રોત માટે,સંભળાતી આવૃત્તિ $n_2 = n_0 \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો $v = 330 \,m/s$,$v_L = 50 \,m/s$,અને $v_s = 50 \,m/s$ મૂકતા:
$n_1 = n_0 \left[ \frac{330 + 50}{330} \right] = n_0 \left[ \frac{380}{330} \right] \approx 1.151 n_0$.
$n_2 = n_0 \left[ \frac{330}{330 - 50} \right] = n_0 \left[ \frac{330}{280} \right] \approx 1.178 n_0$.
બંને પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $n_2 > n_1$.
તેથી,પ્રથમ કિસ્સા કરતા બીજા કિસ્સામાં સંભળાતી આવૃત્તિ વધારે હશે.

(D) જ્યારે ઉદ્ગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ $n_b = \left( \frac{v}{v - v_s} \right) n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઉદ્ગમ સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જતું હોય ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ $n_a = \left( \frac{v}{v + v_s} \right) n$ છે.
આ બે આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n_b}{n_a} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{n_b}{n_a} = \frac{11}{9}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{11}{9} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$11(v - v_s) = 9(v + v_s)$
$11v - 11v_s = 9v + 9v_s$
$2v = 20v_s$
$v_s = \frac{2v}{20} = \frac{v}{10}$.

(B) વેગ $(v)$,આવૃત્તિ $(n)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = n \lambda$ છે.
બંને ધ્વનિ સ્ત્રોતો સમાન તાપમાને હોવાથી,બંને કિસ્સામાં ધ્વનિનો વેગ $(v)$ સમાન રહેશે.
ધારો કે આવૃત્તિઓ $n_1$ અને $n_2$ છે જે અનુક્રમે $\lambda_1 = 50 \ cm = 0.5 \ m$ અને $\lambda_2 = 50.5 \ cm = 0.505 \ m$ તરંગલંબાઇ સાથે સંકળાયેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
તેથી,$n_1 (0.5) = n_2 (0.505)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n_1}{n_2} = \frac{0.505}{0.5} = 1.01$.
આપેલ છે કે $|n_1 - n_2| = 6 \ Hz$,તેથી $n_1 = n_2 + 6$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{n_2 + 6}{n_2} = 1.01$.
$1 + \frac{6}{n_2} = 1.01 \implies \frac{6}{n_2} = 0.01$.
$n_2 = \frac{6}{0.01} = 600 \ Hz$.
હવે,વેગની ગણતરી કરતા: $v = n_2 \lambda_2 = 600 \times 0.505 \ m = 303 \ m/s$.

(A) ડોપ્લર અસર એ ધ્વનિના ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ પર આધાર રાખે છે.
આ કિસ્સામાં, મુસાફર (અવલોકનકાર) અને એન્જિન (ઉદગમ) બંને એક જ ટ્રેનમાં છે.
તેઓ સમાન વેગથી સાથે ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી, ઉદગમ અને શ્રોતા વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ નથી.
તેથી, મુસાફર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f$ એ સીટીની વાસ્તવિક આવૃત્તિ $n$ જેટલી જ હોય છે.
આમ, $f = n$.

(A) જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ $v_S$ ઝડપે ગતિ કરતો હોય,ત્યારે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ આભાસી આવૃત્તિ $n$ નીચે મુજબ મળે છે: $n = n_0 \left( \frac{v}{v - v_S} \right)$,જ્યાં $n_0$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે અને $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
અહીં આપેલ છે કે $v_S = \frac{v}{10}$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{n}{n_0} = \frac{v}{v - \frac{v}{10}}$
$\frac{n}{n_0} = \frac{v}{\frac{9v}{10}}$
$\frac{n}{n_0} = \frac{10}{9}$
આમ,આભાસી અને વાસ્તવિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $10:9$ છે.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઈપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{3v_1}{4L_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{2v_2}{2L_2} = \frac{v_2}{L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે,તેથી $\frac{3v_1}{4L_1} = \frac{v_2}{L_2}$.
વાયુમાં અવાજની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{1}{\rho K}}$ છે,જ્યાં $K$ એ સંકોચનક્ષમતા છે. બંને વાયુઓ માટે $K$ સમાન હોવાથી,$v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$.
આમ,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$.
આ કિંમતને આવૃત્તિના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3}{4L_1} \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}} = \frac{1}{L_2}$.
$L_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $L_2 = \frac{4L_1}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$ મળે છે.

(B) ખુલ્લી પાઇપ માટે, અંતિમ સુધારો $e$ એ સૂત્ર $e = 0.6 \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $d$ એ પાઇપનો આંતરિક વ્યાસ છે.
આપેલ છે કે અંતિમ સુધારો $e = 0.8 \,cm$ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $0.8 = 0.6 \times d$.
તેથી, $d = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3} \,cm$.
આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ એ વ્યાસ $d$ ના અડધા હોવાથી, $r = \frac{d}{2}$ થાય.
$r = \frac{4/3}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \,cm$.
આમ, પાઇપની આંતરિક ત્રિજ્યા $\frac{2}{3} \,cm$ છે.

(B) $l$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v = 333 \,m/s$ અને $l = 33.3 \,cm = 0.333 \,m$ આપેલ છે.
$f_0 = \frac{333}{2 \times 0.333} = \frac{333}{0.666} = 500 \,Hz$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપમાં, બધા જ હાર્મોનિક્સ હાજર હોય છે, તેથી $n$-મો ઓવરટોન એ $(n+1)$-મો હાર્મોનિક છે.
પાંચમો ઓવરટોન એ છઠ્ઠા હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે.
પાંચમા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_5 = 6 \times f_0 = 6 \times 500 \,Hz = 3000 \,Hz$ થાય.

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
પ્રવાહી '$A$' માટે આપેલ છે: $h_1 = 5 \,cm$,પૃષ્ઠતાણ = $T_1$,ઘનતા = $\rho_1$.
પ્રવાહી '$B$' માટે આપેલ છે: પૃષ્ઠતાણ $T_2 = 2T_1$,ઘનતા $\rho_2 = 2\rho_1$,અને નળીની ત્રિજ્યા $r$ તથા સંપર્કકોણ $\theta$ સમાન રહે છે.
પ્રવાહી '$B$' માટે સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$h_2 = \frac{2T_2 \cos \theta}{r \rho_2 g} = \frac{2(2T_1) \cos \theta}{r(2\rho_1) g} = \frac{4T_1 \cos \theta}{2r \rho_1 g} = \frac{2T_1 \cos \theta}{r \rho_1 g}$.
અહીં $h_1 = \frac{2T_1 \cos \theta}{r \rho_1 g} = 5 \,cm$ હોવાથી,$h_2 = h_1 = 5 \,cm$ મળે.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $5 \,cm = 0.05 \,m$.

(D) ખેંચાયેલી દોરી માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ (પ્રથમ હાર્મોનિક) $n = \frac{v}{2l} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $2n = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન એ મૂળભૂત આવૃત્તિ પછીની આગામી શક્ય આવૃત્તિ છે,જે $n_1 = \frac{2v}{2l} = \frac{v}{l} = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ એ બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ જેટલી જ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{\text{open}} = \frac{v}{2L} = n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ... $(i)$
પાઇપ દોરી સાથે સુમેળમાં હોવાથી,દોરીની આવૃત્તિ $n_s = n = \frac{v}{2L}$ છે.
જ્યારે નળીને પાણીમાં એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની લંબાઈના $75 \%$ અંદર હોય,ત્યારે હવાના સ્તંભની બાકી રહેલી લંબાઈ $l_1 = 25 \% \times L = \frac{L}{4}$ થાય છે.
હવે આ પાઇપ બંધ ઓર્ગન પાઇપ (એક છેડે બંધ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{\text{closed}} = \frac{v}{4l_1} = \frac{v}{4(L/4)} = \frac{v}{L}$ છે.
આપણે ડૂબેલી નળીના હવાના સ્તંભની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n_{\text{closed}})$ અને દોરીની આવૃત્તિ $(n_s)$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
ગુણોત્તર $= \frac{n_{\text{closed}}}{n_s} = \frac{v/L}{v/2L} = \frac{2}{1}$.

(A) $L_1$ લંબાઈની બંધ પાઇપ $A$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{4L_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L_2$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ $B$ માટે,આવૃત્તિઓ $n = \frac{mv}{2L_2}$ છે,જ્યાં $m = 1, 2, 3, \dots$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $m=2$ અને બીજો ઓવરટોન $m=3$ છે.
આમ,પાઇપ $B$ ના બીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $n_2 = \frac{3v}{2L_2}$ છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે,તેથી $n_1 = n_2$.
તેથી,$\frac{v}{4L_1} = \frac{3v}{2L_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{L_1}{L_2} = \frac{2}{4 \times 3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $1:6$ છે.

(C) ધારો કે ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈ $l$ છે અને બંધ પાઇપની લંબાઈ $L$ છે. ધારો કે હવામાં અવાજની ઝડપ $v$ છે.
ખુલ્લી પાઇપ માટે,$p$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_p = (p+1) \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બીજો ઓવરટોન $p=2$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{o} = 3 \frac{v}{2l}$.
બંધ પાઇપ માટે,$p$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_p = (2p+1) \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રથમ ઓવરટોન $p=1$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{c} = 3 \frac{v}{4L}$.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે: $f_{o} = f_{c}$.
$\frac{3v}{2l} = \frac{3v}{4L}$.
બંને બાજુથી $3v$ દૂર કરતા,આપણને $\frac{1}{2l} = \frac{1}{4L}$ મળે છે.
તેથી,$2l = 4L$,જેનું સાદું રૂપ $l = 2L$ થાય છે.

(A) તરંગનો વેગ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $v = 50 \,m/s$ અને $f = 200 \,Hz$ આપેલ છે।
તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી કરતા:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{50}{200} = 0.25 \,m$.
સ્થિત તરંગમાં, બે ક્રમિક પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા ભાગ $(\frac{\lambda}{2})$ જેટલું હોય છે।
અંતર $= \frac{0.25 \,m}{2} = 0.125 \,m$.

(B) $l$ લંબાઈની અને બંને છેડે '$e$' અંતિમ સુધારો ધરાવતી ખુલ્લી પાઈપ માટે અસરકારક લંબાઈ $L_{eff} = l + 2e$ થાય છે.
ખુલ્લી પાઈપ માટે મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{2L_{eff}}$ છે.
હાર્મોનિક્સ $n_p = p \cdot n_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન $p=2$ છે અને બીજો ઓવરટોન $p=3$ છે.
તેથી,બીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $n_3 = \frac{3v}{2(l+2e)}$ થાય.
સંબંધ $v = n_3 \lambda_3$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lambda_3 = \frac{v}{n_3}$ મળે છે.
$n_3$ ની કિંમત મૂકતા,$\lambda_3 = \frac{v}{\frac{3v}{2(l+2e)}} = \frac{2(l+2e)}{3}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $l_1$ અને $l_2$ એ પ્રથમ અને દ્વિતીય રેઝોનન્સ માટેની લંબાઈ છે અને $x$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ માટે: $l_1 + x = \frac{\lambda}{4}$
દ્વિતીય રેઝોનન્સ માટે: $l_2 + x = \frac{3\lambda}{4}$
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{l_2 + x}{l_1 + x} = 3 \implies l_2 + x = 3l_1 + 3x \implies 2x = l_2 - 3l_1$
$2x = 70.2 - 3(22.7) = 70.2 - 68.1 = 2.1 \,cm \implies x = 1.05 \,cm$
ત્રીજા રેઝોનન્સ માટે: $l_3 + x = \frac{5\lambda}{4} = 5(l_1 + x)$
$l_3 = 5l_1 + 4x = 5(22.7) + 4(1.05) = 113.5 + 4.2 = 117.7 \,cm$

(D) સીધા સળિયાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times L$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
જ્યારે સળિયાને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈ $L$ એ અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ બને છે.
તેથી,$L = \pi r$,જે ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{\pi}$ આપે છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{\text{new}}$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને અસરકારક લંબાઈ (બે છેડા વચ્ચેનું અંતર,જે વ્યાસ $2r$ છે) નો ગુણાકાર છે.
$M_{\text{new}} = m \times (2r) = m \times \left( \frac{2L}{\pi} \right)$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = \frac{M}{L}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$M_{\text{new}} = \left( \frac{M}{L} \right) \times \left( \frac{2L}{\pi} \right) = \frac{2M}{\pi}$.

(D) મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$M = \frac{m_{net}}{V}$.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{net} = M \times V$ છે.
નળાકાર સળિયાનું કદ $V = \pi r^2 l = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $M = 5.3 \times 10^3 \ A/m$,$l = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$d = 1 \ cm = 0.01 \ m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.005 \ m$.
$V = 3.142 \times (0.005)^2 \times 0.05 = 3.142 \times 25 \times 10^{-6} \times 0.05 = 3.9275 \times 10^{-6} \ m^3$.
$m_{net} = (5.3 \times 10^3) \times (3.9275 \times 10^{-6}) \approx 2.08 \times 10^{-2} \ J/T$.

(C) વર્તુળાકાર પથ પર ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ઓર્બિટલ મેગ્નેટિક મોમેન્ટ $M_0$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M_0 = \frac{-e}{2m_e} L$
જ્યાં '$e$' એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,'$m_e$' એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,અને '$L$' એ કોણીય વેગમાન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ઓર્બિટલ મેગ્નેટિક મોમેન્ટ $M_0$ એ ઇલેક્ટ્રોનના કોણીય વેગમાન $L$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(m)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$m = nIA$
જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$m = nI(\pi r^2)$
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટ એ આંટાની સંખ્યા $(n)$,વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ અને ગૂંચળાની ત્રિજ્યા $(r)$ પર આધાર રાખે છે.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે $P$ મોમેન્ટ ધરાવતા ડાયપોલના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે છે. $27P$ મોમેન્ટ ધરાવતા ડાયપોલથી તેનું અંતર $(24 - x)$ થશે.
ડાયપોલની અક્ષ પરના બિંદુ માટે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જે બિંદુએ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય, ત્યાં બંને ડાયપોલને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2P}{x^3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2(27P)}{(24 - x)^3}$
$\frac{1}{x^3} = \frac{27}{(24 - x)^3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{3}{24 - x}$
$24 - x = 3x$
$4x = 24$
$x = 6 \,cm$.

(B) તારની લંબાઈ અચળ રહે છે. ધારો કે $N_1 = n$ અને $N_2$ એ નવા ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા છે.
તારની કુલ લંબાઈ $L = N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi R_2)$ છે,જ્યાં $R_2 = \frac{R}{3}$:
$N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi \frac{R}{3})$
$N_1 = \frac{N_2}{3} \implies N_2 = 3 N_1$.
ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = N I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi R^2$.
મૂળ ગૂંચળા માટે: $\mu_1 = N_1 I (\pi R^2)$.
નવા ગૂંચળા માટે: $\mu_2 = N_2 I (\pi R_2^2) = (3 N_1) I \pi (\frac{R}{3})^2 = 3 N_1 I \pi \frac{R^2}{9} = \frac{1}{3} N_1 I \pi R^2$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\frac{1}{3} N_1 I \pi R^2}{N_1 I \pi R^2} = \frac{1}{3}$.

(D) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = i \pi r^2$ છે.
ગુણોત્તર $x = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 i / 2r}{i \pi r^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi r^3}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ $i$ બમણો $(2i)$ અને ત્રિજ્યા $r$ બમણી $(2r)$ થાય,ત્યારે નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \frac{\mu_0 (2i)}{2(2r)} = \frac{\mu_0 i}{2r} = B$ થાય.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = (2i) \pi (2r)^2 = (2i) \pi (4r^2) = 8(i \pi r^2) = 8M$ થાય.
નવો ગુણોત્તર $x' = \frac{B'}{M'} = \frac{B}{8M} = \frac{1}{8} \left( \frac{B}{M} \right) = \frac{x}{8}$ થાય.

(C) વર્તુળાકાર લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = I A$ છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
તેથી,$M = I (\pi R^2)$.
તારની લંબાઈ $L$ એ લૂપનો પરિઘ બનાવે છે,તેથી $L = 2 \pi R$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{L}{2 \pi}$.
$R$ ની કિંમત ચુંબકીય મોમેન્ટના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M = I \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2$
$M = I \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right)$
$M = \frac{I L^2}{4 \pi}$
$L$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$L^2 = \frac{4 M \pi}{I}$
$L = \sqrt{\frac{4 M \pi}{I}}$ અથવા $\left[ \frac{4 M \pi}{I} \right]^{\frac{1}{2}}$.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ માટે,ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
$\therefore R = \frac{mv}{qB}$ ... $(i)$
અહીં નવી ઝડપ $v' = \frac{v}{2}$ અને નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = 2B$ આપેલ છે.
નવી ત્રિજ્યા $R'$ નીચે મુજબ મળે:
$R' = \frac{mv'}{qB'} = \frac{m(v/2)}{q(2B)}$
$R' = \frac{mv}{4qB}$
સમીકરણ $(i)$ ને $R'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R' = \frac{R}{4}$

(C) $h$ અંતરે રહેલા $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા બે સમાંતર તારો વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું હશે।
સંતુલન સ્થિતિમાં,અપાકર્ષી ચુંબકીય બળ તાર $PQ$ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે:
$F = mg$
$\frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi h} = mg$
આપેલ છે: $I = 25 \,A$,$l = 1 \,m$,$m = 2.5 \,g = 2.5 \times 10^{-3} \,kg$,$g = 9.8 \,m/s^2$,$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા:
$h = \frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi m g} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (25)^2 \times 1}{2 \pi \times (2.5 \times 10^{-3}) \times 9.8}$
$h = \frac{2 \times 10^{-7} \times 625}{2.5 \times 10^{-3} \times 9.8} = \frac{1250 \times 10^{-7}}{24.5 \times 10^{-3}} = \frac{1250}{24.5} \times 10^{-4} \,m \approx 51 \times 10^{-4} \,m \approx 5.1 \,mm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $5 \,mm$ છે।

(D) વર્તુળાકાર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ દ્વારા તેની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનને તે જ અક્ષ પર પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તેનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય છે.
તેથી,વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ કાં તો $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ હોય છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\sin(0^{\circ}) = 0$ અથવા $\sin(180^{\circ}) = 0$ મળે છે.
આમ,$F = 0$. ઇલેક્ટ્રોન કોઈ બળ અનુભવશે નહીં.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય ઈ.એમ.એફ. (e.m.f.) નું સૂત્ર: $\varepsilon = B \cdot l \cdot v$ છે.
આપેલ કિંમતો:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \times 10^{-5} \ T$,
પાંખની લંબાઈ $l = 40 \ m$,
ઝડપ $v = 500 \ m/s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\varepsilon = (5 \times 10^{-5} \ T) \times (40 \ m) \times (500 \ m/s)$
$\varepsilon = 5 \times 10^{-5} \times 20000$
$\varepsilon = 5 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^4$
$\varepsilon = 10 \times 10^{-1} \ V$
$\varepsilon = 1 \ V$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતું ઈ.એમ.એફ. $1 \ V$ છે.

(B) ક્યુરીના નિયમ અનુસાર,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થનું મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ એ લાગુ પાડેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના સમપ્રમાણમાં અને નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $M \propto \frac{B}{T}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ક્યુરીના અચળાંક $C$ ને દાખલ કરતા,આપણને $M = C \frac{B}{T}$ સંબંધ મળે છે,જેને $M = \frac{CB}{T}$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) રિટિન્ટિવિટી અથવા રિમેનન્સ એ ચુંબકીય પદાર્થની બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં પણ ચુંબકત્વ જાળવી રાખવાની ક્ષમતા છે.
જ્યારે ચુંબકીય બળ $(H)$ ને ઘટાડીને શૂન્ય કરવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થમાં બાકી રહેલા ચુંબકીય પ્રેરણ $(B)$ ને રિટિન્ટિવિટી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,જ્યારે $H = 0$ હોય ત્યારે $B$ નું મૂલ્ય રિટિન્ટિવિટી દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે: $N = 100$, $A = 2 \, m^2$, $\omega = 30 \, rad/s$, $B = 2 \times 10^{-2} \, T$, $R = 600 \, \Omega$.
કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E_0)$ નીચે મુજબ છે:
$E_0 = N A B \omega$
$E_0 = 100 \times 2 \times (2 \times 10^{-2}) \times 30$
$E_0 = 100 \times 2 \times 0.02 \times 30 = 120 \, V$.
$A.C.$ સર્કિટમાં વ્યય થતો મહત્તમ પાવર નીચે મુજબ છે:
$P_{\max} = \frac{E_0^2}{2R}$
કિંમતો મૂકતા:
$P_{\max} = \frac{120 \times 120}{2 \times 600}$
$P_{\max} = \frac{14400}{1200} = 12 \, W$.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભાર '$q$' એ વેગ '$\overrightarrow{v}$' સાથે એવા વિસ્તારમાં ગતિ કરે છે જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર '$\overrightarrow{E}$' અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$\overrightarrow{B}$' બંને હાજર હોય,ત્યારે તે બે બળો અનુભવે છે:
$1$. વિદ્યુત બળ: $\overrightarrow{F}_e = q\overrightarrow{E}$
$2$. ચુંબકીય બળ (લોરેન્ટ્ઝ બળ): $\overrightarrow{F}_m = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ એ આ બંને બળોનો સદિશ સરવાળો છે,જેને લોરેન્ટ્ઝ બળ કહેવામાં આવે છે:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_e + \overrightarrow{F}_m = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જ્યારે ગજિયો ચુંબક પોલી ધાતુની પાઇપમાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે પાઇપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં સતત ફેરફાર થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો આ ફેરફાર પાઇપમાં વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ પ્રેરિત કરે છે.
પાઇપ સુવાહક હોવાથી,આ પ્રેરિત $emf$ ને કારણે પાઇપના શરીરમાં એડી પ્રવાહો (eddy currents) ઉત્પન્ન થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ એડી પ્રવાહો એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે પડતા ચુંબકની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
આ વિરોધ કરતું બળ ઉપરની દિશામાં લાગે છે,જે ચુંબક પર લાગતા કુલ નીચેની તરફના બળને ઘટાડે છે.
પરિણામે,ચુંબકનો ચોખ્ખો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ કરતા ઓછો હોય છે.

(A) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થોની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ નાની અને ઋણ હોય છે. તે ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિને કારણે ઉદ્ભવે છે અને તે મૂળભૂત રીતે તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે. તેનાથી વિપરીત, પેરામેગ્નેટિક અને ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી અનુક્રમે ક્યુરીના નિયમ અને ક્યુરી-વેઇસના નિયમ મુજબ તાપમાન પર આધાર રાખે છે.

(A) ચુંબકીય શીલ્ડિંગ એ સંવેદનશીલ સાધનને ઉચ્ચ ચુંબકીય પરમીએબિલિટી ધરાવતા પદાર્થ,જેમ કે નરમ લોખંડ,ના કવચમાં રાખીને કરવામાં આવે છે.
જ્યારે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હવા અથવા આંતરિક અવકાશને બદલે ઉચ્ચ પરમીએબિલિટી ધરાવતા પદાર્થમાંથી પસાર થવાનું પસંદ કરે છે.
આ અસરકારક રીતે ચુંબકીય ફ્લક્સને સુરક્ષિત વિસ્તારની આસપાસ વાળે છે,જેનાથી સાધનને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રથી સુરક્ષિત રાખવામાં આવે છે.

(D) જ્યારે તાર ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ = ગુરુત્વાકર્ષણ બળ
$iBl = mg$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R}$ અને પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $e = Bvl$ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{Bvl}{R} \cdot Bl = mg$
$\frac{B^2 l^2 v}{R} = mg$
ટર્મિનલ વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v = \frac{mgR}{B^2 l^2}$

(B) રેડિયોએક્ટિવ વિઘટનના નિયમ મુજબ,$t$ સમયે પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ નીચે મુજબ મળે છે: $N = N_0 e^{-\lambda t}$.
અહીં,$N_0$ એ શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
આપણે $t = \frac{1}{2 \lambda}$ સમયે $\frac{N_0}{N}$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda \times \frac{1}{2 \lambda}}$
$\frac{N}{N_0} = e^{-\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N}$ શોધવા માટે વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{N_0}{N} = e^{\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N} = \sqrt{e}$

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ એ સૂત્ર $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ છે.
બે રેડિયોએક્ટિવ તત્વો માટે,તેમની એક્ટિવિટી નીચે મુજબ છે:
$A_1 = \lambda_1 N_1 = \frac{\ln 2}{T_1} N_1$
$A_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\ln 2}{T_2} N_2$
તેમની એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{(\frac{\ln 2}{T_1}) N_1}{(\frac{\ln 2}{T_2}) N_2}$
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{N_1}{T_1} \times \frac{T_2}{N_2} = \frac{N_1 T_2}{N_2 T_1}$

(B) ધારો કે મૂળ ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z} X^{A}$ છે.
જ્યારે એક $\alpha$ કણ $({ }_{2} He^{4})$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z-2} Y^{A-4}$ બને છે.
જ્યારે એક $\beta^{-}$ કણ $({ }_{-1} e^{0})$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે $(Z-2+1 = Z-1)$.
જ્યારે બે $\beta^{-}$ કણો ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો વધે છે $(Z-2+2 = Z)$.
આમ,અંતિમ ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z} X^{A-4}$ મળે છે,જે મૂળ ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z} X^{A}$ નું આઈસોટોપ છે કારણ કે બંનેનો પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ સમાન છે પરંતુ દળ ક્રમાંક અલગ છે.

(C) આપેલ છે:
કુલ સમય,$T = 10$ વર્ષ
અર્ધ-આયુષ્ય,$T_{1/2} = 5$ વર્ષ
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા,$n = \frac{T}{T_{1/2}} = \frac{10}{5} = 2$
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,બાકી રહેતો અંશ $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ દ્વારા મળે છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
આનો અર્થ એ છે કે $10$ વર્ષ પછી મૂળ પદાર્થનો $\frac{1}{4}$ ભાગ બાકી રહેશે.
ક્ષય પામેલો અંશ $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ: $\frac{3}{4} \times 100 = 75 \%$
તેથી,$10$ વર્ષમાં નમૂનાનો $75 \%$ ભાગ ક્ષય પામશે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,અવિભંજિત રહેલા નમૂનાનો ભાગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$
અહીં,કુલ સમય $t = 6400$ વર્ષ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T = 1600$ વર્ષ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{6400}{1600}}$
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$
$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$
આમ,$6400$ વર્ષ પછી નમૂનાનો $\frac{1}{16}$ ભાગ અવિભંજિત રહેશે.

(D) જ્યારે પ્રકાશ લેન્સમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઇ પર આધાર રાખે છે. વિવિધ રંગોની તરંગલંબાઇ અલગ-અલગ હોવાથી,તેમનું વક્રીભવન પણ અલગ-અલગ માત્રામાં થાય છે. પરિણામે,લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી વિવિધ રંગોના કિરણો એક જ બિંદુ પર કેન્દ્રિત થતા નથી. આ ઘટનાને વર્ણવિપથન (chromatic aberration) કહેવામાં આવે છે.

(D) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણનું સૂત્ર $\delta = (\mu - 1)A$ છે,જ્યાં $\mu$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષમાં પ્રિઝમ દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
$1$. જ્યારે પ્રિઝમ હવામાં હોય:
$\mu_1 = \frac{\mu_{\text{glass}}}{\mu_{\text{air}}} = \frac{3/2}{1} = \frac{3}{2}$
$\delta_1 = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$
$2$. જ્યારે પ્રિઝમ પાણીમાં હોય:
$\mu_2 = \frac{\mu_{\text{glass}}}{\mu_{\text{water}}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$
$\delta_2 = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$
$3$. ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{\delta_1}{\delta_2} = \frac{\frac{1}{2}A}{\frac{1}{8}A} = \frac{1}{2} \times 8 = 4$
તેથી,ગુણોત્તર $\delta_1 : \delta_2$ એ $4 : 1$ છે.

(C) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f} = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +40 \ cm$ અને $R_2 = -40 \ cm$ છે.
હવામાં $(n_a = 1)$: $P_{air} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.5 \times \frac{2}{40} = \frac{0.5}{20} = \frac{1}{40} \ cm^{-1}$.
પ્રવાહીમાં $(n_l = 1.25)$: સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $n_{rel} = \frac{n_g}{n_l} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2$ થાય.
$P_{liquid} = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.2 \times \frac{2}{40} = \frac{0.4}{40} = \frac{1}{100} \ cm^{-1}$.
પ્રવાહીમાં પાવર અને હવામાં પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_{liquid}}{P_{air}} = \frac{1/100}{1/40} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ થાય.

(B) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f$ એ મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ છે.
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે, સમતુલ્ય પાવર $P$ એ વ્યક્તિગત પાવરનો બેઝિક સરવાળો છે:
$P = P_1 + P_2$
આપેલ છે:
$P_1 = -15 D$
$P_2 = +5 D$
કિંમતો મૂકતા:
$P = -15 D + 5 D = -10 D$
હવે, કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ની ગણતરી કરો:
$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-10} \,m$
$f = -0.1 \,m$
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતરિત કરતા $(1 \,m = 100 \,cm)$:
$f = -0.1 \times 100 \,cm = -10 \,cm$
આમ, સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $-10 \,cm$ છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રતિબિંબ અંતર અને $u$ એ વસ્તુ અંતર છે. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$m$ ઋણ હોય છે. ધારો કે મોટવણીનું મૂલ્ય $M = |m|$ છે. તેથી $v = M u$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$.
$u = \frac{v}{M}$ મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{M}{v} = \frac{1}{F}$.
$\frac{1-M}{v} = \frac{1}{F} \implies v = F(1-M)$.
જોકે,પ્રમાણિત સંજ્ઞાપ્રણાલી મુજબ જ્યાં $m$ એ પ્રતિબિંબના કદ અને વસ્તુના કદનો ગુણોત્તર છે,વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે $v = F(1+m)$ એ $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ પરથી મળતું પ્રમાણિત પરિણામ છે (જ્યાં $u$ ઋણ લેવામાં આવે છે).
આમ,$v = F(1+m)$.

(A) દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
ધારો કે $R_1 = R_2 = R$, તેથી $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
જ્યારે લેન્સને ઉભી અક્ષ પરથી બે સમાન ભાગમાં કાપવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક ભાગ એક સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ બને છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, એક વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે અને બીજી $\infty$ છે.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $F'$ માટે લેન્સ મેકરનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{1}{F'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\frac{1/F}{1/F'} = \frac{(\mu - 1) \times (2/R)}{(\mu - 1) / R} = 2$.
તેથી, $\frac{F'}{F} = 2$, જે દર્શાવે છે કે $F' = 2 F$.

(A) લેન્સ અથવા અરીસાની પ્રકાશના કિરણોને કેન્દ્રિત અથવા વિકેન્દ્રિત કરવાની ક્ષમતાને તેનો પાવર કહેવામાં આવે છે.
લેન્સ માટે,પાવર $P$ એ તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ (મીટરમાં) ના વ્યસ્ત જેટલો હોય છે,એટલે કે $P = 1/f$.
તેથી,આ ક્ષમતા માટેનો સાચો શબ્દ ફૉકલ પાવર (અથવા માત્ર પાવર) છે.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
આમ,$\frac{1}{f} = \frac{2(\mu - 1)}{R}$.
જ્યારે એક સપાટીને ઘસીને સમતલ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યાઓ $R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$ થાય છે.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ માટે,$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$\frac{1}{f'} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{f} \right)$,જેનો અર્થ છે કે $f' = 2f$.
લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ હોવાથી,નવો પાવર $P' = \frac{1}{f'} = \frac{1}{2f} = \frac{P}{2}$.
તેથી,નવી કેન્દ્રલંબાઈ $2f$ અને નવો પાવર $\frac{P}{2}$ થશે.

(D) ધારો કે બે લેન્સનો પાવર $P_1$ અને $P_2$ છે. જ્યારે લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સમતુલ્ય પાવર $P = P_1 + P_2 = 10 D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લેન્સ $d = 0.25 m$ ના અંતરે હોય,ત્યારે સમતુલ્ય પાવર $P = P_1 + P_2 - d P_1 P_2 = 6 D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા સમીકરણમાં $P_1 + P_2 = 10$ મૂકતા: $10 - 0.25 P_1 P_2 = 6$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $0.25 P_1 P_2 = 4$ મળે,તેથી $P_1 P_2 = 16$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(P_1 - P_2)^2 = (P_1 + P_2)^2 - 4 P_1 P_2$.
$(P_1 - P_2)^2 = (10)^2 - 4(16) = 100 - 64 = 36$.
આમ,$P_1 - P_2 = 6 D$.
$P_1 + P_2 = 10$ અને $P_1 - P_2 = 6$ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $2 P_1 = 16 \Rightarrow P_1 = 8 D$ અને $P_2 = 2 D$ મળે છે.

(B) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(P)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$.
અહીં,$\mu$ એ વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,$\theta$ એ વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના શંકુનો અડધો ખૂણો છે,અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
રિઝોલ્વિંગ પાવર સુધારવા માટે,અંશમાં વધારો કરવો અથવા છેદમાં ઘટાડો કરવો જરૂરી છે.
તેથી,વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ વધારવાથી રિઝોલ્વિંગ પાવરમાં વધારો થાય છે.

(C) ગૌણ મેઘધનુષના નિર્માણમાં પાણીના ટીપાંની અંદર બે વાર વક્રીભવન,બે વાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અને પ્રકાશનું કોણીય વિક્ષેપન થાય છે.
વ્યતિકરણ એ તરંગ પ્રકૃતિની ઘટના છે જે મેઘધનુષના નિર્માણની ભૌમિતિક પ્રકાશશાસ્ત્રની સમજૂતીમાં મુખ્ય પ્રક્રિયા નથી.
તેથી,ગૌણ મેઘધનુષના નિર્માણમાં વ્યતિકરણનો સમાવેશ થતો નથી.

(D) ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી પ્રકાશનું કિરણ તેના મૂળ માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
પ્રિઝમમાં,પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન કોણ '$r_1$' છે. પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,બીજી સપાટી પર આપાતકોણ '$r_2$' છે. કિરણ લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,'$r_2 = 0$'.
સંબંધ '$A = r_1 + r_2$' નો ઉપયોગ કરતા,આપણને '$A = r_1 + 0$' મળે છે,તેથી '$r_1 = A$'.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: '$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$'.
આપાતકોણ '$i = 2A$' આપેલ હોવાથી,'$\mu = \frac{\sin 2A}{\sin A}$'.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ '$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$' નો ઉપયોગ કરતા,આપણને '$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$' મળે છે.
આમ,પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક '$2 \cos A$' છે.

(A) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y}$ છે,જ્યાં $\delta_v$ એ જાંબલી પ્રકાશ માટેનું વિચલન છે,$\delta_r$ એ લાલ પ્રકાશ માટેનું વિચલન છે,અને $\delta_y$ એ સરેરાશ વિચલન છે,જે $\delta_y = \frac{\delta_v + \delta_r}{2}$ દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
પ્રથમ પ્રિઝમ માટે:
$\delta_v = 11^{\circ}$,$\delta_r = 9^{\circ}$.
$\delta_{y1} = \frac{11 + 9}{2} = 10^{\circ}$.
$\omega_1 = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
બીજા પ્રિઝમ માટે:
$\delta_v = 13^{\circ}$,$\delta_r = 11^{\circ}$.
$\delta_{y2} = \frac{13 + 11}{2} = 12^{\circ}$.
$\omega_2 = \frac{13 - 11}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
બીજા પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિનો પહેલા પ્રિઝમ સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{1/6}{1/5} = \frac{5}{6}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $5: 6$ છે.

(C) આપેલ છે: કિરણ બીજી સપાટી પરથી લંબરૂપે બહાર નીકળે છે,તેથી નિર્ગમન કોણ $e = 0$ છે.
$e = 0$ હોવાથી,બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 0$ થશે.
પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = r_1 + r_2$. $r_2 = 0$ મૂકતા,આપણને $A = r_1$ મળે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ નાનો હોવાથી,$i$ અને $r_1$ પણ નાના હશે,તેથી $\sin i \approx i$ અને $\sin r_1 \approx r_1$ લઈ શકાય.
આમ,$\mu = \frac{i}{r_1}$.
$r_1 = A$ મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{i}{A}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $i = \mu A$.

(B) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $(i)$ એ નિર્ગમનકોણ $(e)$ જેટલો છે,અને $e = \frac{3}{4} A$.
$A$ ની કિંમત મૂકતા:
$e = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$.
કારણ કે $i = e$,તેથી $i = 45^{\circ}$ થાય.
વિચલનકોણ $(\delta)$ માટેનું સૂત્ર $\delta = i + e - A$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,વિચલનકોણ $30^{\circ}$ છે.

(C) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તનકોણ $r$ જેટલો હોય છે,તેથી $i = r$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે વક્રીભવનાંક $n$ (જ્યાં $n$ એ પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષે ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,$n > 1$):
$\frac{\sin i}{\sin r^{\prime}} = \frac{1}{n}$
$i = r$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{\sin r}{\sin r^{\prime}} = \frac{1}{n}$.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને કાટખૂણે છે,તેથી સીધી રેખા પરના ખૂણાઓનો સરવાળો $r + 90^{\circ} + r^{\prime} = 180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$r^{\prime} = 90^{\circ} - r$.
આ કિંમત સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા:
$\frac{\sin r}{\sin(90^{\circ} - r)} = \frac{1}{n}$
$\frac{\sin r}{\cos r} = \frac{1}{n}$
$\tan r = \frac{1}{n}$
ક્રાંતિકોણ $i_c$ ની વ્યાખ્યા $\sin i_c = \frac{1}{n}$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\sin i_c = \tan r$.
તેથી,$i_c = \sin^{-1}(\tan r)$.

(D) જ્યારે બે સમતલ અરીસાઓ $\theta$ ખૂણે નમેલા હોય ત્યારે રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n$ માટેનું સૂત્ર $n = \left( \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1 \right)$ છે, જો $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોય.
અહીં આપેલ છે કે પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = 3$ છે, તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$3 = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$
$4 = \frac{360^{\circ}}{\theta}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$
આમ, બે સમતલ અરીસાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ.

(D) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે.
$TIR$ થવા માટે બે શરતો પૂરી થવી જોઈએ:
$1$. પ્રકાશનું કિરણ પ્રકાશીય ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પ્રકાશીય પાતળા માધ્યમમાં જવું જોઈએ.
$2$. આપાતકોણ $(i)$ એ આપેલા માધ્યમોની જોડી માટે ક્રાંતિકોણ $(i_{c})$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,સાચી શરત $i > i_{c}$ છે.

(B) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા કાચના સ્લેબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સામાન્ય સ્થાનાંતર (normal shift) $x$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x = t \left(1 - \frac{1}{\mu}\right)$
$t$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$x = t \left(\frac{\mu - 1}{\mu}\right)$
$t = \frac{x \cdot \mu}{\mu - 1}$
તેથી,કાચના સ્લેબની જાડાઈ $t = \frac{\mu x}{\mu - 1}$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ સપાટીથી હવાના પરપોટાનું અંતર $l_1$ છે અને બીજી સપાટીથી $l_2$ છે. સમઘનની કુલ લંબાઈ $L = 24 \,cm$ છે. તેથી, $l_1 + l_2 = 24 \,cm$, જેનો અર્થ થાય છે $l_2 = 24 - l_1$.
આભાસી ઊંડાઈ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}}$ છે.
પ્રથમ સપાટી માટે:
$\mu = \frac{l_1}{10} \quad \dots(i)$
બીજી સપાટી માટે:
$\mu = \frac{l_2}{6} = \frac{24 - l_1}{6} \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{l_1}{10} = \frac{24 - l_1}{6}$
$6l_1 = 10(24 - l_1)$
$6l_1 = 240 - 10l_1$
$16l_1 = 240$
$l_1 = \frac{240}{16} = 15 \,cm$
તેથી, પ્રથમ સપાટીથી હવાના પરપોટાનું અંતર $15 \,cm$ છે.

(B) પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = 1.33$ છે અને હવાનો વક્રીભવનાંક $\mu_a = 1.0$ છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_l$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_m$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
દ્વિ-બહિર્ગોળ હવાના પરપોટા માટે,$R_1 > 0$ અને $R_2 < 0$ હોવાથી,$(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) > 0$ થાય છે.
અહીં,$\mu_l = \mu_a = 1.0$ અને $\mu_m = \mu_w = 1.33$ છે.
જેহেতু $\frac{\mu_a}{\mu_w} = \frac{1.0}{1.33} < 1$ છે,તેથી $(\frac{\mu_a}{\mu_w} - 1)$ પદ ઋણ બને છે.
આથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે હવાનો પરપોટો અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(D) આપેલ છે: $u = -x$ (પદાર્થ હવામાં છે),$v = +x$ (પ્રતિબિંબ કાચમાં છે),$n_1 = 1$ (હવાનો વક્રીભવનાંક),$n_2 = 1.5$ (કાચનો વક્રીભવનાંક),અને $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
ગોળીય સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} R = 5 R$
તેથી,અંતર $x$ એ $5 R$ જેટલું છે.

(C) પ્રિઝમ માટે,વિચલનકોણ $\delta = i + e - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ પાયાને સમાંતર હોય,ત્યારે પ્રિઝમ લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં હોય છે. લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ એ નિર્ગમનકોણ જેટલો હોય છે,એટલે કે $i = e$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ઝેનર ડાયોડ $V_{Z} = 5.0 \, V$ ના અચળ વોલ્ટેજ પર કાર્ય કરે છે।
આપેલ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{S} = 12 \, V$ અને મહત્તમ પાવર રેટિંગ $P_{Z} = 2.0 \, W$ છે।
ઝેનર ડાયોડ દ્વારા સહન કરી શકાતો મહત્તમ પ્રવાહ $I_{Z_{\max}}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$I_{Z_{\max}} = \frac{P_{Z}}{V_{Z}} = \frac{2.0 \, W}{5.0 \, V} = 0.4 \, A = 400 \, mA$.
શ્રેણી અવરોધ $R_{S}$ નો ઉપયોગ વધારાના વોલ્ટેજ $(V_{S} - V_{Z})$ ને ઘટાડવા અને પ્રવાહને $I_{Z_{\max}}$ સુધી મર્યાદિત કરવા માટે થાય છે।
$R_{S} = \frac{V_{S} - V_{Z}}{I_{Z_{\max}}} = \frac{12 \, V - 5.0 \, V}{0.4 \, A} = \frac{7}{0.4} \, \Omega = 17.5 \, \Omega$.

(B) જ્યારે $p-n$ જંકશન ડાયોડને રિવર્સ બાયસ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બેટરીનો ધન છેડો $n$-વિસ્તાર સાથે અને ઋણ છેડો $p$-વિસ્તાર સાથે જોડવામાં આવે છે.
આ ગોઠવણી મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ ($p$-વિસ્તારમાં હોલ્સ અને $n$-વિસ્તારમાં ઈલેક્ટ્રોન) ને જંકશનથી દૂર ખેંચે છે.
પરિણામે,ડેપ્લેશન સ્તરમાંથી ચાર્જ કેરિયર્સ વધુ દૂર થાય છે,જેના કારણે તેની પહોળાઈ વધે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.