MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) એક સ્લિટ વડે થતા પ્રકાશના વિવર્તનમાં,મધ્યસ્થ (મુખ્ય) અધિકતમની રેખીય પહોળાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W_{c} = \frac{2 \lambda D}{d}$
પ્રશ્ન મુજબ,મુખ્ય અધિકતમની રેખીય પહોળાઈ સ્લિટની પહોળાઈ જેટલી છે,તેથી $W_{c} = d$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{2 \lambda D}{d}$
$D$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$D = \frac{d^2}{2 \lambda}$

(D) આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.6 \, mm = 0.6 \times 10^{-3} \, m$, પડદાનું અંતર $D = 1.2 \, m$, તરંગલંબાઇ $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m$, અને પડદા પરનું સ્થાન $y = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$.
પથ તફાવત $\Delta x$ એ $y$ બિંદુ પર $\Delta x = \frac{d \cdot y}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{(0.6 \times 10^{-3} \, m) \times (3 \times 10^{-3} \, m)}{1.2 \, m} = \frac{1.8 \times 10^{-6}}{1.2} \, m = 1.5 \times 10^{-6} \, m$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ પથ તફાવત સાથે $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{6000 \times 10^{-10}} \times 1.5 \times 10^{-6} = \frac{2 \pi \times 1.5 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = \frac{3 \pi \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = 0.5 \pi \times 10 = 5 \pi \, \text{રેડિયન}$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જ વિડ્થ $(W)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને સ્ક્રીન વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે છે,તેથી નવું અંતર $d' = 2d$ થાય.
આપણે ફ્રિન્જ વિડ્થ સમાન રાખવા માંગીએ છીએ,તેથી $W' = W$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda D'}{2d}$
$W = W'$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{\lambda D}{d} = \frac{\lambda D'}{2d}$
બંને બાજુથી $\lambda$ અને $d$ ને દૂર કરતા:
$D = \frac{D'}{2}$
તેથી,$D' = 2D$.
આમ,સ્લિટથી સ્ક્રીનનું અંતર બમણું કરવું જોઈએ.

(C) માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $\lambda_{\text{air}} = 6300 \,Å = 6300 \times 10^{-10} \,m$ અને $\mu = 1.33$ છે।
તેથી, $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{6300 \times 10^{-10}}{1.33} \,m$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $W$ નું સૂત્ર $W = \frac{\lambda_{\text{liquid}} \times D}{d}$ છે।
અહીં $D = 1.33 \,m$ અને $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}}$
$W = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} = 6300 \times 10^{-7} \,m = 6.3 \times 10^{-4} \,m$.

(B) શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $W = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $W \propto \lambda$,$W \propto D$ અને $W \propto \frac{1}{d}$.
શલાકાઓને એકબીજાની વધુ નજીક લાવવા માટે,શલાકાની પહોળાઈ $W$ ઘટવી જોઈએ.
કારણ કે $W \propto \lambda$,તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઘટાડવાથી શલાકાની પહોળાઈ ઘટશે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા ઓછી હોય છે $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{green}})$.
તેથી,લીલા પ્રકાશને બદલે વાદળી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવાથી શલાકાઓ એકબીજાની વધુ નજીક આવશે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ પ્રકાશિત પટ્ટાથી $n$ મી પ્રકાશિત શલાકા (મહત્તમ) નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઈ માટે પાંચમી મહત્તમ $(n = 5)$ નું અંતર $y_1 = \frac{5 \lambda_1 D}{d}$ છે.
$\lambda_2$ તરંગલંબાઈ માટે પાંચમી મહત્તમ $(n = 5)$ નું અંતર $y_2 = \frac{5 \lambda_2 D}{d}$ છે.
બંને અંતરોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{\frac{5 \lambda_1 D}{d}}{\frac{5 \lambda_2 D}{d}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$-મી અપ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે। નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y_n}{D}$ થાય.
આમ, $n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$, $D = 2 \,m$, $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$.
પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=1)$:
$y_1 = \frac{1 \times 600 \times 10^{-9} \times 2}{10^{-3}} = 1200 \times 10^{-6} \,m = 1.2 \times 10^{-3} \,m = 1.2 \,mm$.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાની બંને બાજુએ આવેલી પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $2 y_1 = 2 \times 1.2 \,mm = 2.4 \,mm$ થાય.

(A) બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $W$ નું સૂત્ર $W = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
બંને સેટઅપ માટે શલાકાની પહોળાઈ $W$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે $W = \frac{\lambda D_1}{d_1} = \frac{\lambda D_2}{d_2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{D_1}{d_1} = \frac{D_2}{d_2}$,અથવા $\frac{D_1}{D_2} = \frac{d_1}{d_2}$.
સ્લિટના અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{3}$ આપેલ હોવાથી,અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{D_1}{D_2} = \frac{2}{3}$ થશે.

(C) કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
પ્રથમ બિંદુ માટે,પથ તફાવત $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ છે.
તેથી,$\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
પરિણામી તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2}) = 2I_0(1 + \cos \phi)$ છે.
$\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ માટે,$I_1 = 2I_0(1 + \cos(\frac{\pi}{2})) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$.
બીજા બિંદુ માટે,પથ તફાવત $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{3}$ છે.
તેથી,$\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$\phi_2 = \frac{2\pi}{3}$ માટે,$I_2 = 2I_0(1 + \cos(\frac{2\pi}{3})) = 2I_0(1 - \frac{1}{2}) = 2I_0(\frac{1}{2}) = I_0$.
તેથી,$\frac{I_1 + I_2}{I_0} = \frac{2I_0 + I_0}{I_0} = \frac{3I_0}{I_0} = 3$.

(D) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પારદર્શક શીટ દાખલ કરવાથી મધ્યસ્થ શલાકામાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$.
અહીં આપેલ છે કે મધ્યસ્થ શલાકા $25^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાને જાય છે,તેથી સ્થાનાંતર $25\beta$ જેટલું થાય,જ્યાં $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
સ્થાનાંતરને સરખાવતા: $\frac{(\mu - 1)tD}{d} = 25 \frac{\lambda D}{d}$.
આથી: $(\mu - 1)t = 25\lambda$.
આપેલ કિંમતો: $t = 2.9 \times 10^{-3} \ cm = 2.9 \times 10^{-5} \ m$ અને $\lambda = 5800 \ \mathring{A} = 5800 \times 10^{-10} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu - 1 = \frac{25 \times 5800 \times 10^{-10}}{2.9 \times 10^{-5}}$.
$\mu - 1 = \frac{145000 \times 10^{-10}}{2.9 \times 10^{-5}} = \frac{1.45 \times 10^{-5}}{2.9 \times 10^{-5}} = 0.5$.
તેથી,$\mu = 1 + 0.5 = 1.50$.

(A) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટ દાખલ કરવાને કારણે શલાકાનું સ્થાનાંતર $y$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $y = \frac{D}{\text{d}} (\mu - 1) t = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t$.
પ્રથમ પ્લેટ માટે આપેલ છે કે $\mu_1 = 1.44$,તેથી સ્થાનાંતર $y_1 = y = \frac{\beta}{\lambda} (1.44 - 1) t = 0.44 t \frac{\beta}{\lambda}$.
બીજી પ્લેટ માટે $\mu_2 = 1.66$,નવું સ્થાનાંતર $y_2$ આ મુજબ છે: $y_2 = \frac{\beta}{\lambda} (1.66 - 1) t = 0.66 t \frac{\beta}{\lambda}$.
બંને સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{y_2}{y_1} = \frac{0.66}{0.44} = \frac{66}{44} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$y_2 = \frac{3}{2} y$.

(B) વ્યતિકરણને કારણે કોઈ બિંદુ પરની તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ તફાવત $\Delta x$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ થાય છે.
પથ તફાવત $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
પથ તફાવત $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{6}$ માટે,કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય છે.
ધારો કે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની તીવ્રતા સમાન છે,એટલે કે $I_1 = I_2 = I_0$,તો તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = 2I_0(1 + \cos \phi)$ બને છે.
$\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ માટે,$I_1 = 2I_0(1 + \cos 90^{\circ}) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$.
$\phi_2 = \frac{\pi}{3}$ માટે,$I_2 = 2I_0(1 + \cos 60^{\circ}) = 2I_0(1 + 0.5) = 2I_0(1.5) = 3I_0$.
તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{2I_0}{3I_0} = \frac{2}{3}$ થાય છે.

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, $n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે।
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે, $n = 1$, તેથી $d \frac{y}{D} = \lambda$.
સ્લિટની પહોળાઈ $d$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $d = \frac{\lambda D}{y}$.
આપેલ છે: $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$, $D = 2 \text{ m}$, અને $y = 5 \text{ mm} = 5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{(5 \times 10^{-7} \text{ m}) \times (2 \text{ m})}{5 \times 10^{-3} \text{ m}} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $d = 2 \times 10^{-4} \times 10^2 \text{ cm} = 0.02 \text{ cm}$.

(D) આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = 3 \mu m = 3 \times 10^{-6} \text{ m}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$ છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત $\Delta x = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-6} = n \times (5 \times 10^{-7})$.
$n = \frac{3 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{30}{5} = 6$.
અહીં $n = 6$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,બિંદુ $Q$ એ $6^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકા દર્શાવે છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ મહત્તમથી $n^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \frac{n \lambda D}{a}$,જ્યાં $n$ એ મહત્તમનો ક્રમ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $D$ અને $a$ અચળ હોવાથી,$d \propto n \lambda$ થાય.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઈ માટે $8^{\text{th}}$ મહત્તમ: $d_1 = 8 \lambda_1 \times (\frac{D}{a})$.
$\lambda_2$ તરંગલંબાઈ માટે $6^{\text{th}}$ મહત્તમ: $d_2 = 6 \lambda_2 \times (\frac{D}{a})$.
ગુણોત્તર $\frac{d_2}{d_1}$ લેતા:
$\frac{d_2}{d_1} = \frac{6 \lambda_2}{8 \lambda_1} = \frac{3 \lambda_2}{4 \lambda_1}$.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તનની ભાતમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમ સૌથી વધુ તેજસ્વી અને પહોળું હોય છે. મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $2\lambda D/a$ છે,જ્યારે ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ $\lambda D/a$ છે. જેમ જેમ શલાકાઓનો ક્રમ વધે છે,તેમ તીવ્રતામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે. તેથી,એક સ્લિટ દ્વારા મેળવવામાં આવતી વિવર્તન શલાકાઓ અસમાન પહોળાઈ અને અસમાન તીવ્રતા ધરાવે છે.

(D) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$-માં મહત્તમ માટેની શરત $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે।
પ્રથમ મહત્તમ $(n=1)$ માટે,સ્ક્રીન પરનું સ્થાન $x = \frac{3 \lambda D}{2 d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે: $\lambda_1 = 590 \,nm$,$\lambda_2 = 596 \,nm$,$D = 1.5 \,m$,$d = 2 \times 10^{-6} \,m$.
પ્રથમ મહત્તમની સ્થિતિઓ વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = x_2 - x_1 = \frac{3 D}{2 d} (\lambda_2 - \lambda_1)$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{3 \times 1.5}{2 \times 2 \times 10^{-6}} \times (596 - 590) \times 10^{-9} \,m$.
$\Delta x = \frac{4.5}{4 \times 10^{-6}} \times 6 \times 10^{-9} \,m$.
$\Delta x = 1.125 \times 10^6 \times 6 \times 10^{-9} \,m = 6.75 \times 10^{-3} \,m = 6.75 \,mm$.

(C) શલાકા ભાતમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta x$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$.
પ્રકાશિત શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$.
અહીં આપેલ છે કે શલાકાનું સ્થાનાંતર એ શલાકાની પહોળાઈ જેટલું છે,તેથી $\Delta x = \beta$.
તેથી,$\frac{(\mu - 1) t D}{d} = \frac{\lambda D}{d}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$(\mu - 1) t = \lambda$ મળે છે.
વક્રીભવનાંક $\mu$ માટે સૂત્ર: $\mu = \frac{\lambda}{t} + 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 6 \times 10^{-5} \ cm$ અને $t = 12 \times 10^{-5} \ cm$.
$\mu = \frac{6 \times 10^{-5}}{12 \times 10^{-5}} + 1 = 0.5 + 1 = 1.5$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં બે કક્ષાઓ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત તરંગ સંખ્યા માટેના રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આવૃત્તિ $f$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ સાથે $f = \frac{C}{\lambda}$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{f}{C} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આવૃત્તિ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને મળે છે $f = RC \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અહીં $n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ આપેલ છે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$f = RC \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = RC \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$.
અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરતા: $\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}$.
આમ,ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $f = \frac{5RC}{36}$ છે.