MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{o,fund} = \frac{v}{2L_o}$ છે. ખુલ્લી પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક છે,જે $f_{o,1} = 2 \times \frac{v}{2L_o} = \frac{v}{L_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{c,fund} = \frac{v}{4L_c}$ છે. બંધ પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે,જે $f_{c,1} = 3 \times \frac{v}{4L_c} = \frac{3v}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિઓ સમાન છે:
$\frac{v}{L_o} = \frac{3v}{4L_c}$
બંધ પાઇપની લંબાઈ $(L_c)$ અને ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈ $(L_o)$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{L_c}{L_o} = \frac{3}{4}$
તેથી,બંધ પાઇપ અને ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(D) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,બંને છેડા પરના અંતિમ સુધારા $(e)$ ને ધ્યાનમાં લેતા અસરકારક લંબાઈ $(L)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L = l + 2e$
ખુલ્લી પાઇપ માટે દરેક છેડા પરનો અંતિમ સુધારો $e = 0.6r$ હોવાથી,અસરકારક લંબાઈ થશે:
$L = l + 2(0.6r) = l + 1.2r$
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{V}{2L}$
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $L$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{V}{2(l + 1.2r)}$

(B) જ્યારે ધ્વનિ તરંગો સંપૂર્ણ પરાવર્તક દીવાલ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે, ત્યારે આપાત અને પરાવર્તિત તરંગોના સંપાતપણાને લીધે સ્થિત તરંગો રચાય છે.
સંપૂર્ણ પરાવર્તક દીવાલ પર નિસ્પંદ બિંદુ (node) રચાય છે કારણ કે દીવાલ એક દ્રઢ સીમા છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ એ શૂન્ય સ્થાનાંતરના બિંદુઓ છે, જ્યારે પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) એ મહત્તમ સ્થાનાંતર (મહત્તમ કંપવિસ્તાર) ના બિંદુઓ છે.
દીવાલ (નિસ્પંદ બિંદુ) થી પ્રથમ પ્રસ્પંદ બિંદુનું અંતર $d = \lambda/4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ, તરંગલંબાઇ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = v/f$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો, જ્યાં $v = 300 \,ms^{-1}$ અને $f = 600 \,Hz$ છે.
$\lambda = 300/600 = 0.5 \,m$.
હવે, અંતર $d = \lambda/4 = 0.5/4 = 0.125 \,m = 1/8 \,m$ ની ગણતરી કરો.
આમ, દીવાલથી તે લઘુત્તમ અંતર જ્યાં કણો મહત્તમ કંપવિસ્તાર ધરાવે છે તે $1/8 \,m$ છે.

(C) આપેલ છે: અવાજનો વેગ $v = 320 \,m/s$, આવૃત્તિ $f = 480 \,Hz$, કંપનોની સંખ્યા $N = 180$.
વેગ, આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
તેથી, તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{320}{480} = \frac{2}{3} \,m$.
$N$ કંપનો પછી તરંગ દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $D = N \times \lambda$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = 180 \times \frac{2}{3} = 120 \,m$.

(D) સ્થિર તરંગો (જેને સ્ટેન્ડિંગ વેવ્સ પણ કહેવાય છે) એ મર્યાદિત માધ્યમમાં વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતીકરણ દ્વારા રચાય છે.
આ તરંગોને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે અને સીમાઓ પર પરાવર્તન થવું જરૂરી છે.
યાંત્રિક તરંગો દ્રવ્યની ત્રણેય અવસ્થાઓ (ઘન,પ્રવાહી અને વાયુ) માં પ્રસરણ કરી શકતા હોવાથી,સ્થિર તરંગો આ તમામ માધ્યમોમાં ઉત્પન્ન કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,ખેંચાયેલી દોરી (ઘન),પાણીના સ્તંભ (પ્રવાહી) અને હવાના સ્તંભ (વાયુ) માં સ્થિર તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે.

(B) આપેલ સરળ આવર્ત પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y=A \sin (100 \pi t+3 x)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (\omega t+kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k=3 \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,$3 = \frac{2 \pi}{\lambda}$,તેથી $\lambda = \frac{2 \pi}{3} \ m$ મળે છે.
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\Delta \phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \times \Delta \phi$ છે.
અહીં કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta x = \frac{2 \pi / 3}{2 \pi} \times \frac{\pi}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{9} \ m$ મળે છે.

(C) તારનું દળ $m = \frac{W}{g} = \frac{50}{10} = 5 \,kg$ છે.
તારની રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{5}{20} = 0.25 \,kg/m$ છે.
તારના મધ્યબિંદુએ તણાવ $T$ એ તારના નીચેના અડધા ભાગના વજન જેટલું હોય છે.
નીચેના અડધા ભાગનું દળ $m' = \frac{m}{2} = 2.5 \,kg$ છે.
તેથી,$T = m'g = 2.5 \times 10 = 25 \,N$.
તરંગની ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{25}{0.25}} = \sqrt{100} = 10 \,ms^{-1}$.

(A) ધારો કે નીચેના છેડે તરંગનો વેગ $v_1$ છે અને ઉપરના છેડે $v_2$ છે.
તરંગની આવૃત્તિ $n$ અચળ રહેતી હોવાથી,$\lambda = \frac{v}{n}$ પરથી $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1}$ મળે.
દોરડા પર લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આમ,$v \propto \sqrt{T}$.
નીચેના છેડે,તણાવ $T_1$ એ $m_2$ દળના બ્લોકને કારણે છે,તેથી $T_1 = m_2 g$.
ઉપરના છેડે,તણાવ $T_2$ એ દોરડા અને બ્લોકના કુલ દળને કારણે છે,તેથી $T_2 = (m_1 + m_2) g$.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2)g}{m_2 g}} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_2}}$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1 + m_2}} = \left[\frac{m_2}{m_1+m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$ મળે છે.

(D) તરંગની કળા સાઇન વિધેયના આર્ગ્યુમેન્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$\phi = kx - \omega t$.
પ્રથમ તરંગ માટે,$\phi_1 = 20x - 30t$.
બીજા તરંગ માટે,$\phi_2 = 25x - 40t$.
આપેલ છે કે $x = 5 \ cm$ અને $t = 2 \ s$:
$\phi_1 = 20(5) - 30(2) = 100 - 60 = 40 \ \text{રેડિયન}$.
$\phi_2 = 25(5) - 40(2) = 125 - 80 = 45 \ \text{રેડિયન}$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |45 - 40| = 5 \ \text{રેડિયન}$.

(D) $N.T.P$ પર, તાપમાન $T_0 = 273 \,K$ છે. ધ્વનિનો વેગ $v_0 = f \lambda_0 = 220 \,Hz \times 1.5 \,m = 330 \,m/s$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે તાપમાન વધીને $27^{\circ} C$ થાય છે, ત્યારે નવું તાપમાન $T = 273 + 27 = 300 \,K$ થાય છે.
હવામાં ધ્વનિનો વેગ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{v}{v_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = 330 \times \sqrt{\frac{300}{273}} = 330 \times 1.05 = 346.5 \,m/s$.
નવી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{346.5}{220} = 1.575 \,m$ મળે છે.
તરંગલંબાઇમાં થતો વધારો $\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = 1.575 \,m - 1.5 \,m = 0.075 \,m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $0.07 \,m$ છે.

(B) આપેલ પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y = 12 \sin (5t - 4x)$ છે.
પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin (\omega t - kx)$ છે,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 4$ મળે છે.
કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ છે.
અહીં કળા તફાવત $\Delta \phi = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{2} = 4 \cdot \Delta x$.
તેથી,$\Delta x = \frac{\pi}{2 \cdot 4} = \frac{\pi}{8}$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ અને તણાવ અનુક્રમે $l$ અને $T$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m$ અચળ રહે છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરફારો પછી:
નવી લંબાઈ $l' = l - 0.40l = 0.6l = \frac{3}{5}l$.
નવું તણાવ $T' = T + 0.44T = 1.44T = \frac{144}{100}T$.
નવી આવૃત્તિ $n'$ એ $n' = \frac{1}{2l'} \sqrt{\frac{T'}{m}}$ દ્વારા મળે છે.
અંતિમ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n'}{n} = \frac{l}{l'} \sqrt{\frac{T'}{T}} = \frac{l}{0.6l} \sqrt{\frac{1.44T}{T}} = \frac{1}{0.6} \times \sqrt{1.44} = \frac{1}{0.6} \times 1.2 = \frac{1.2}{0.6} = 2$.
તેથી,અંતિમ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ છે.
આમ,$n = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
પ્રથમ તારનો પ્રથમ ઓવરટોન $n_1 = 2 \times n_{1, \text{fund}} = 2 \times \frac{1}{2l_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ છે.
બીજા તારનો બીજો ઓવરટોન $n_2 = 3 \times n_{2, \text{fund}} = 3 \times \frac{1}{2l_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{3}{2l_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ છે.
આપેલ છે કે $n_1 = n_2$,તેથી $\frac{1}{l_1 r_1} = \frac{3}{2l_2 r_2}$.
લંબાઈના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2r_2}{3r_1}$.
કારણ કે $r_1 = 2r_2$,આ કિંમત મૂકતા $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2r_2}{3(2r_2)} = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(C) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y=2 \sin (0.01 x+30 t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y=A \sin (kx+\omega t)$ સાથે સરખાવતા:
આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.01 \ cm^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 30 \ rad/s$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{0.01} = 3000 \ cm/s$ થાય.
વેગને મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં ફેરવતા: $v = 30 \ m/s$.
દોરીની લંબાઈ $L$ એ $t = 0.5 \ s$ સમયમાં તરંગ દ્વારા કાપેલું અંતર છે.
$L = v \times t = 30 \ m/s \times 0.5 \ s = 15 \ m$.

(C) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu = \text{એકમ લંબાઈ દીઠ દળ} = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi \cdot (\frac{d}{2})^2 = \frac{\rho \pi d^2}{4}$ છે.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા,$f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\frac{\rho \pi d^2}{4}}} = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ મળે છે.
તાર $A$ માટે: $n = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho_1}}$.
તાર $B$ માટે: $n = \frac{1}{l(2d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho_2}}$.
બંને આવૃત્તિઓને સરખાવતા: $\frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho_1}} = \frac{1}{2ld} \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho_2}}$.
સામાન્ય પદોને દૂર કરતા: $\sqrt{\frac{1}{\rho_1}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{\rho_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{\rho_1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\rho_2} = \frac{1}{2\rho_2}$.
તેથી,$2\rho_2 = \rho_1$,જે દર્શાવે છે કે $\rho_2 = \frac{\rho_1}{2}$.

(B) ધારો કે $1^{\text{st}}$ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_1$ છે.
આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,જેમાં સામાન્ય તફાવત $d = 5 \text{ Hz}$ છે.
$41^{\text{st}}$ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_{41} = n_1 + (41 - 1) \times d$ દ્વારા મળે છે.
$n_{41} = n_1 + 40 \times 5 = n_1 + 200$.
આપેલ છે કે છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ પ્રથમ કરતા બમણી છે,તેથી $n_{41} = 2n_1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2n_1 = n_1 + 200$.
$n_1$ માટે ઉકેલતા: $n_1 = 200 \text{ Hz}$.
તેથી,$n_{41} = 2 \times 200 = 400 \text{ Hz}$.

(C) કંપન કરતી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m = \frac{\text{કદ} \times \text{ઘનતા}}{l} = \frac{(\pi R^2 l) \rho}{l} = \pi R^2 \rho$.
જેમ કે $\pi$ અને $\rho$ અચળ છે,તેથી $m \propto R^2$.
આને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $n \propto \frac{1}{l \sqrt{R^2}} \propto \frac{1}{lR}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $l_2 = 2l_1$ અને $R_2 = 2R_1$,તેથી નવી આવૃત્તિ $n_2$ અને મૂળ આવૃત્તિ $n_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{l_1 R_1}{l_2 R_2} = \frac{l_1 R_1}{(2l_1)(2R_1)} = \frac{1}{4}$.
તેથી,નવી આવૃત્તિ $n_2 = \frac{n}{4}$ થાય.

(A) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તારમાં રહેલું તણાવબળ છે.
તાર સાથે $M$ દળનો બ્લોક જોડાયેલ હોવાથી,તણાવબળ $T = Mg = V\rho g$ થાય,જ્યાં $V$ એ બ્લોકનું કદ છે.
આમ,$n \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{\rho Vg}$.
જ્યારે બ્લોકને $\sigma$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક વજન (તણાવબળ) $T' = V(\rho - \sigma)g$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $n'$ માટે $n' \propto \sqrt{T'}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{V(\rho - \sigma)g}{V\rho g}} = \sqrt{\frac{\rho - \sigma}{\rho}}$.
તેથી,$n' = n \left[\frac{\rho - \sigma}{\rho}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(D) સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{l}$ થાય.
ધારો કે $f_1$ અને $f_2$ એ બે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ છે જે અનુક્રમે $l_1 = 0.97 \ m$ અને $l_2 = 0.96 \ m$ લંબાઈ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,$f_1 = \frac{k}{0.97}$ અને $f_2 = \frac{k}{0.96}$,જ્યાં $k = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $f_2 - f_1 = 5 \ Hz$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{k}{0.96} - \frac{k}{0.97} = 5$.
$k \left( \frac{0.97 - 0.96}{0.96 \times 0.97} \right) = 5$.
$k \left( \frac{0.01}{0.9312} \right) = 5 \implies k = 5 \times 93.12 = 465.6$.
હવે,$f_1 = \frac{465.6}{0.97} = 480 \ Hz$.
અને $f_2 = \frac{465.6}{0.96} = 485 \ Hz$.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = 10 \sin \left(\frac{2 \pi t}{30} + \alpha\right)$ છે.
$t = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $Y = 5 \text{ cm}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $5 = 10 \sin \left(\frac{2 \pi \times 0}{30} + \alpha\right)$.
$5 = 10 \sin \alpha \implies \sin \alpha = 0.5$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $\alpha = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$.
કોઈપણ સમય $t$ પર કુલ કળા $\phi$ એ $\phi = \frac{2 \pi t}{30} + \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 7.5 \text{ s}$ સમયે:
$\phi = \frac{2 \pi \times 7.5}{30} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{15 \pi}{30} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{3 \pi + \pi}{6} = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3} \text{ rad}$.

(C) બંને છેડે જડિત દોરીની અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = n f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ (સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ) છે અને $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
આપેલ છે કે $315 \,Hz$ અને $420 \,Hz$ ની વચ્ચે કોઈ અનુનાદિત આવૃત્તિ નથી,તેથી આ બે આવૃત્તિઓ ક્રમિક હાર્મોનિક્સ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f_n = 315 \,Hz$ અને $f_{n+1} = 420 \,Hz$.
આમ,$n f_0 = 315$ અને $(n+1) f_0 = 420$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(n+1) f_0 - n f_0 = 420 - 315$,જે $f_0 = 105 \,Hz$ આપે છે.
તેથી,સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ $105 \,Hz$ છે.

(A) શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પ્રથમ પથ્થર માટે,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v^2}{2g}$ છે.
મહત્તમ બિંદુ પર સ્થિતિ ઊર્જા $PE_1 = mgh_1 = mg \left( \frac{v^2}{2g} \right) = \frac{mv^2}{2}$ છે.
બીજા પથ્થર માટે,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,જેનો અર્થ છે કે સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
બીજા પથ્થર દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h_2 = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{v^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{v^2 (0.5)^2}{2g} = \frac{v^2}{8g}$ છે.
મહત્તમ બિંદુ પર સ્થિતિ ઊર્જા $PE_2 = mgh_2 = mg \left( \frac{v^2}{8g} \right) = \frac{mv^2}{8}$ છે.
તેમની સ્થિતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{PE_1}{PE_2} = \frac{mv^2/2}{mv^2/8} = \frac{8}{2} = 4:1$ છે.

(B) દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ ઊર્ધ્વ અંતર $(s+h)$ છે.
દડો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $mg(s+h)$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગ $h$ જેટલા અંતરે દબાય છે,ત્યારે આ ઊર્જા સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $\frac{1}{2} kh^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,દડાની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે:
$mg(s+h) = \frac{1}{2} kh^2$
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ માટે ઉકેલતા:
$k = \frac{2mg(s+h)}{h^2}$

(D) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી નીચલા બિંદુએ,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ એ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે અને પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરે છે.
સૌથી નીચલા બિંદુએ તણાવબળનું સમીકરણ $T = \frac{mv^2}{r} + mg$ છે.
શિરોલંબ લૂપ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી નીચલા બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v = \sqrt{5gr}$ હોવો જોઈએ.
આ $v$ ની કિંમત તણાવબળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = \frac{m(\sqrt{5gr})^2}{r} + mg$
$T = \frac{m(5gr)}{r} + mg$
$T = 5mg + mg$
$T = 6mg$.
આમ,સૌથી નીચલા બિંદુએ આભાસી વજન (તણાવબળ) $6mg$ છે.

(C) સોલર સેલ એ $P-N$ જંકશન ઉપકરણ છે જે પ્રકાશ ઊર્જાનું વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતર કરે છે. વિકલ્પ $C$ જણાવે છે કે તે વિદ્યુત ઊર્જાનું પ્રકાશમાં રૂપાંતર કરે છે,જે ખોટું છે. તેથી,આ અસંગત જોડી છે.

(D) જ્યારે ડાયોડ $D$ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય,ત્યારે તે શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે. સર્કિટમાં $40 \ \Omega$ અને $400 \ \Omega$ ના બે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,અસરકારક અવરોધ $R_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_1 = \frac{40 \times 400}{40 + 400} = \frac{16000}{440} = \frac{1600}{44} = \frac{400}{11} \ \Omega$
જ્યારે ડાયોડ $D$ રિવર્સ બાયસમાં હોય,ત્યારે તે ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે વર્તે છે. ઉપરની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,અસરકારક અવરોધ $R_2$ એ ફક્ત નીચેની શાખાનો અવરોધ છે:
$R_2 = 400 \ \Omega$
હવે,$R_1: R_2$ નો ગુણોત્તર ગણતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{400/11}{400} = \frac{1}{11}$
આમ,ગુણોત્તર $R_1: R_2$ એ $1: 11$ છે.

(D) ફોટોડાયોડ રિવર્સ બાયસ સ્થિતિમાં કાર્ય કરે છે. સર્કિટ $(B)$ માં,$p$-બાજુને નેગેટિવ ટર્મિનલ સાથે અને $n$-બાજુને પોઝિટિવ ટર્મિનલ સાથે જોડવામાં આવી છે,જે રિવર્સ બાયસ છે. આમ,ફોટોડાયોડ માટે $(B)$ સાચું છે.
$LED$ (લાઇટ એમિટિંગ ડાયોડ) ફોરવર્ડ બાયસ સ્થિતિમાં કાર્ય કરે છે. સર્કિટ $(D)$ માં,$p$-બાજુને પોઝિટિવ ટર્મિનલ સાથે અને $n$-બાજુને નેગેટિવ ટર્મિનલ સાથે જોડવામાં આવી છે,જે ફોરવર્ડ બાયસ છે. આમ,$LED$ માટે $(D)$ સાચું છે.
તેથી,સામાન્ય કામગીરી માટે સાચી સર્કિટ આકૃતિઓ $(B)$ અને $(D)$ છે.

(D) જ્યારે $p-n$ જંકશન ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,ત્યારે બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $p$-વિસ્તાર સાથે અને ઋણ ટર્મિનલ $n$-વિસ્તાર સાથે જોડાયેલ હોય છે.
આ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર આંતરિક બેરિયર વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે,મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ જંકશન તરફ ધકેલાય છે,જે ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ ઘટાડે છે.
તેથી,બેરિયર પોટેન્શિયલ ઘટે છે,જેના કારણે ડાયોડમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ સરળતાથી વહી શકે છે.

(D) જ્યારે $p-n$ જંકશનને ફોરવર્ડ બાયસ આપવામાં આવે છે,ત્યારે બાહ્ય બેટરીનો ધન છેડો $p$-પ્રકારના વિસ્તાર સાથે અને ઋણ છેડો $n$-પ્રકારના વિસ્તાર સાથે જોડવામાં આવે છે.
આ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ડેપ્લેશન રીજનના આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે,અસરકારક પોટેન્શિયલ બેરિયર $(V_B)$ ઘટે છે.
પોટેન્શિયલ બેરિયરમાં ઘટાડો થવાને કારણે,મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ જંકશન તરફ ધકેલાય છે,જેનાથી ડેપ્લેશન રીજનની પહોળાઈ $(X)$ ઘટે છે.
તેથી,પોટેન્શિયલ બેરિયર અને ડેપ્લેશન રીજનની પહોળાઈ બંને ઘટે છે.

(B) જ્યારે $P$-ટર્મિનલનું પોટેન્શિયલ $(V_P)$ એ $N$-ટર્મિનલના પોટેન્શિયલ $(V_N)$ કરતા વધારે હોય,એટલે કે $V_P > V_N$ હોય,ત્યારે જંકશન ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોય છે.
દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$: $V_P = +5 \ V$,$V_N = +10 \ V$. અહીં $V_P < V_N$ છે,તેથી તે રિવર્સ બાયસ્ડ છે.
$B$: $V_P = -1.0 \ V$,$V_N = -1.5 \ V$. અહીં $V_P > V_N$ છે (કારણ કે $-1.0 > -1.5$),તેથી તે ફોરવર્ડ બાયસ્ડ છે.
$C$: $V_P = 0 \ V$,$V_N = +1 \ V$. અહીં $V_P < V_N$ છે,તેથી તે રિવર્સ બાયસ્ડ છે.
$D$: $V_P = -2 \ V$,$V_N = 0 \ V$. અહીં $V_P < V_N$ છે,તેથી તે રિવર્સ બાયસ્ડ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $P-N$ જંકશન ડાયોડમાં,જ્યારે રિવર્સ બાયસ વોલ્ટેજને મોટા મૂલ્ય સુધી વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તે અંતે બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ સુધી પહોંચે છે.
આ બિંદુએ,સ્ફટિક લેટીસમાં રહેલા સહસંયોજક બંધો તૂટે છે,જેના પરિણામે વિદ્યુતભાર વાહકોનું ઝડપથી સર્જન થાય છે.
પરિણામે,ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ અચાનક વધી જાય છે.

(D) આલેખ પ્રથમ ચરણમાં $y$-અક્ષ પર પ્રવાહ $I$ ($mA$ માં) અને $x$-અક્ષ પર વોલ્ટેજ $V$ ($Volt$ માં) દર્શાવે છે,જે ફોરવર્ડ બાયસ લાક્ષણિકતાઓ સૂચવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,લાઈટ એમિટિંગ ડાયોડ $(LED)$ ફોરવર્ડ બાયસમાં કાર્ય કરે છે,જ્યાં થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ પછી વોલ્ટેજ સાથે પ્રવાહ ઘાતાંકીય રીતે વધે છે,જેના પરિણામે ચાર્જ કેરિયર્સના પુનઃસંયોજનને કારણે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન થાય છે.
તેથી,આ આલેખ $LED$ ની ફોરવર્ડ બાયસ લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે છે.

(B) અવાહકોમાં,વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ વચ્ચેનો ઉર્જા ગેપ ખૂબ મોટો હોય છે (સામાન્ય રીતે $> 3 \ eV$).
પરમ શૂન્ય તાપમાને,વેલેન્સ બેન્ડ ઇલેક્ટ્રોનથી સંપૂર્ણ ભરેલું હોય છે અને કન્ડક્શન બેન્ડ સંપૂર્ણપણે ખાલી હોય છે.
મોટા ઉર્જા ગેપને કારણે,ઓરડાના તાપમાને પણ ઇલેક્ટ્રોન વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં કૂદી શકતા નથી,તેથી જ અવાહકો વિદ્યુતનું વહન કરતા નથી.

(C) ઇન્સ્યુલેટર્સમાં,વેલેન્સ બેન્ડ ઇલેક્ટ્રોનથી સંપૂર્ણ ભરેલો હોય છે અને કન્ડક્શન બેન્ડ સંપૂર્ણપણે ખાલી હોય છે.
વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ વચ્ચે ખૂબ જ મોટો એનર્જી બેન્ડ ગેપ (સામાન્ય રીતે $E_g > 3 \ eV$) હોય છે.
આ મોટા એનર્જી ગેપને કારણે,ઓરડાના તાપમાને પણ ઇલેક્ટ્રોન વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં સરળતાથી જઈ શકતા નથી.
તેથી,બેન્ડ ગેપ ખૂબ જ વધારે હોય છે અને કન્ડક્શન બેન્ડ ખાલી હોય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ઓરડાના તાપમાને,અર્ધવાહકમાં વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કેટલાક ઇલેક્ટ્રોનને કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઉત્તેજિત કરવા માટે ઉષ્મીય ઉર્જા પૂરતી હોય છે.
જોકે,વેલેન્સ બેન્ડમાં રહેલા કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યાની સરખામણીમાં ઉત્તેજિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ખૂબ જ ઓછી હોય છે.
તેથી,વેલેન્સ બેન્ડ લગભગ સંપૂર્ણપણે ભરાયેલું રહે છે અને કન્ડક્શન બેન્ડમાં માત્ર થોડી સંખ્યામાં ઇલેક્ટ્રોન હોય છે,જેના કારણે તે આંશિક રીતે ભરાયેલું હોય છે.
આમ,સાચું વર્ણન એ છે કે વેલેન્સ બેન્ડ લગભગ સંપૂર્ણપણે ભરાયેલું હોય છે અને કન્ડક્શન બેન્ડ આંશિક રીતે ભરાયેલું હોય છે.

(D) એમ્પ્લીફાયરનો પાવર ગેઈન એ વોલ્ટેજ ગેઈન અને કરંટ ગેઈનનો ગુણાકાર છે.
$\text{Power Gain} = \text{Voltage Gain} \times \text{Current Gain}$
તેથી,પાવર ગેઈન અને વોલ્ટેજ ગેઈનનો ગુણોત્તર એ કરંટ ગેઈન જેટલો થાય છે.
કોમન એમિટર કન્ફિગ્યુરેશનમાં,કરંટ ગેઈનને $\beta$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ,$\frac{\text{Power Gain}}{\text{Voltage Gain}} = \beta$.

(C) ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટર-બેઝ જંકશન હંમેશા ફોરવર્ડ-બાયસ હોય છે જેથી ચાર્જ કેરિયર્સ બેઝમાં જઈ શકે.
$n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટર $n$-પ્રકારનું હોય છે,તેથી તે બેઝમાં ઇલેક્ટ્રોન (મેજોરિટી કેરિયર્સ) દાખલ કરે છે.
$p-n-p$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટર $p$-પ્રકારનું હોય છે,તેથી તે બેઝમાં હોલ્સ (મેજોરિટી કેરિયર્સ) દાખલ કરે છે.
તેથી,કાર્યપદ્ધતિમાં મુખ્ય તફાવત એ છે કે એમિટર દ્વારા બેઝ વિસ્તારમાં કયા પ્રકારના ચાર્જ કેરિયર્સ દાખલ કરવામાં આવે છે: $p-n-p$ હોલ્સ દાખલ કરે છે,જ્યારે $n-p-n$ ઇલેક્ટ્રોન દાખલ કરે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ ગેઇન $\alpha$ અને $\beta$ વચ્ચેનો સંબંધ $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે મૂળભૂત પ્રવાહ સંબંધ $I_E = I_C + I_B$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ $I_C$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{I_E}{I_C} = 1 + \frac{I_B}{I_C}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{1}{\alpha} = 1 + \frac{1}{\beta}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\beta} = 1$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{0.98} - \frac{1}{49} \approx 1.0204 - 0.0204 = 1$.

(D) આપેલ છે કે ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનમાંથી $80 \%$ ઇલેક્ટ્રોન કલેક્ટર સુધી પહોંચે છે, જેનો અર્થ છે કે કલેક્ટર પ્રવાહ $I_c$ એ ઉત્સર્જક પ્રવાહ $I_e$ ના $80 \%$ છે.
$I_c = 0.80 \times I_e$
અહીં $I_c = 28 \,mA$ આપેલ છે, તેથી $28 = 0.80 \times I_e$.
$I_e = \frac{28}{0.80} = 35 \,mA$.
ટ્રાન્ઝિસ્ટર પ્રવાહના સંબંધ $I_e = I_c + I_b$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે બેઝ પ્રવાહ $I_b$ શોધી શકીએ છીએ.
$I_b = I_e - I_c = 35 \,mA - 28 \,mA = 7 \,mA$.

(B) આ સર્કિટમાં $A$ અને $C$ ઇનપુટ ધરાવતો એક $OR$ ગેટ છે, જ્યાં $C$ એ $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા ગેટ $G$ નું આઉટપુટ છે। તેથી, આઉટપુટ $Y = A + C = A + (A \text{ gate } B)$ છે.
ચાલો ગેટ $G$ માટે વિકલ્પો તપાસીએ:
$1$. જો $G$ એ $AND$ ગેટ હોય, તો $C = A \cdot B$. આઉટપુટ $Y = A + (A \cdot B)$ થશે.
$(A, B) = (0, 0)$ માટે, $Y = 0 + (0 \cdot 0) = 0$.
$(A, B) = (0, 1)$ માટે, $Y = 0 + (0 \cdot 1) = 0$.
$(A, B) = (1, 0)$ માટે, $Y = 1 + (1 \cdot 0) = 1$.
$(A, B) = (1, 1)$ માટે, $Y = 1 + (1 \cdot 1) = 1$.
આ આપેલ ટ્રુથ ટેબલ સાથે સંપૂર્ણ રીતે મેળ ખાય છે. તેથી, $G$ એ $AND$ ગેટ હોવો જોઈએ.

(D) સર્કિટનું આઉટપુટ $Y = A + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $C$ એ $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા ગેટ $G$ નું આઉટપુટ છે. તેથી, $C = A \text{ (gate } G) B$.
ચાલો ગેટ $G$ માટે વિકલ્પો તપાસીએ:
જો $G$ એ $NOR$ હોય, તો $C = \overline{A+B}$.
આઉટપુટ $Y = A + \overline{A+B}$.
ચાલો આને તમામ ઇનપુટ્સ માટે ચકાસીએ:
$1$. $A=0, B=0$ માટે: $C = \overline{0+0} = 1$. તેથી $Y = 0 + 1 = 1$. (મેળ ખાય છે)
$2$. $A=0, B=1$ માટે: $C = \overline{0+1} = 0$. તેથી $Y = 0 + 0 = 0$. (મેળ ખાય છે)
$3$. $A=1, B=0$ માટે: $C = \overline{1+0} = 0$. તેથી $Y = 1 + 0 = 1$. (મેળ ખાય છે)
$4$. $A=1, B=1$ માટે: $C = \overline{1+1} = 0$. તેથી $Y = 1 + 0 = 1$. (મેળ ખાય છે)
બધી કિંમતો આપેલ ટ્રુથ-ટેબલ સાથે મેળ ખાતી હોવાથી, ગેટ $G$ એ $NOR$ છે.

(C) ધારો કે $OR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = A + B$ છે.
આ આઉટપુટ $Y_1$ ને $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ સાથે જોડવામાં આવે છે. ધારો કે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $X_1 = Y_1$ અને $X_2 = Y_1$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{X_1 \cdot X_2} = \overline{Y_1 \cdot Y_1} = \overline{Y_1}$ છે.
કારણ કે $Y_1 = A + B$,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{A + B}$ મળે છે.
આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

ઇનપુટ $(A, B)$	$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(Y_1 = A+B)$	અંતિમ આઉટપુટ $(Y = \overline{Y_1})$
$0, 0$	$0$	$1$
$0, 1$	$1$	$0$
$1, 0$	$1$	$0$
$1, 1$	$1$	$0$

આ સત્યાર્થતા કોષ્ટક (Truth table) $NOR$ ગેટ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) $NAND$ ગેટ એ $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.
સૌ પ્રથમ,ઇનપુટ $A$ અને $B$ પર $AND$ ઓપરેશન કરવામાં આવે છે,જેનું પરિણામ $A \cdot B$ મળે છે.
ત્યારબાદ,આ પરિણામ પર $NOT$ ઓપરેશન લાગુ કરવામાં આવે છે,જે આઉટપુટને ઉલટાવે છે.
તેથી,$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ અને એક $NOT$ ગેટ છે,જેના આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$1$. ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ મળે છે.
$2$. ઇનપુટ $C$ ને $NOT$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{C}$ મળે છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. બે ઇનપુટ $X$ અને $Z$ માટે $OR$ ઓપરેશન $X+Z$ થાય છે.
$4$. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ અગાઉના બે આઉટપુટનો $OR$ સરવાળો છે: $Y = \overline{A \cdot B} + \overline{C}$.

(D) આ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ અને તેની પાછળ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $AND$ ગેટના માત્ર એક ઇનપુટ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે.
$AND$ ગેટ એ મલ્ટી-ઇનપુટ લોજિક ગેટ છે જેને તેનું લોજિકલ કાર્ય કરવા માટે ઓછામાં ઓછા બે ઇનપુટ સિગ્નલની જરૂર હોય છે.
આ સર્કિટમાં $AND$ ગેટને માત્ર એક જ ઇનપુટ મળતું હોવાથી,તે પ્રમાણભૂત લોજિક ગેટ તરીકે કાર્ય કરી શકતું નથી.
તેથી,આ ગેટ કાર્યરત નથી.

(C) આપેલ પરિપથમાં એક $OR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટ છે,જેના આઉટપુટને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $(\overline{A \cdot B})$ છે.
આ અંતિમ $AND$ ગેટ માટેના ઇનપુટ છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$.
$Y = (A + B) \cdot (\bar{A} + \bar{B})$
$Y = A \cdot \bar{A} + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + B \cdot \bar{B}$
કારણ કે $A \cdot \bar{A} = 0$ અને $B \cdot \bar{B} = 0$,તેથી:
$Y = 0 + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + 0$
$Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) આ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ,અને બે $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઉપરના $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ છે.
ધારો કે નીચેની શાખા ($NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOR$ ગેટ) નું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{\overline{A} + B}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y_1$ અને $Y_2$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે,તેથી $Y = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{(\overline{A \cdot B}) + (\overline{\overline{A} + B})}$.
વિકલ્પો ચકાસતા:
$A=1, B=1$ માટે:
$Y_1 = \overline{1 \cdot 1} = 0$
$Y_2 = \overline{\overline{1} + 1} = \overline{0 + 1} = 0$
$Y = \overline{0 + 0} = 1$.
આમ,$A=1, B=1$ માટે આઉટપુટ $Y$ એ $1$ મળે છે.

(C) $NAND$ ગેટના બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ હોય છે,અને તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો બંને ઇનપુટને શોર્ટ કરવામાં આવે,તો $A = B$ થાય. ધારો કે આ સામાન્ય ઇનપુટ $A$ છે.
આ કિંમતને $NAND$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $Y = \overline{A \cdot A}$ મળે છે.
બુલિયન બીજગણિતમાં $A \cdot A = A$ હોવાથી,સમીકરણ $Y = \overline{A}$ બને છે.
સમીકરણ $Y = \overline{A}$ એ $NOT$ ગેટની કામગીરી દર્શાવે છે.
તેથી,જ્યારે $NAND$ ગેટના ઇનપુટને શોર્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ,બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થઈને $\overline{A}$ બને છે અને ઇનપુટ $B$ સીધું પ્રથમ $AND$ ગેટમાં જાય છે. આ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે.
$2$. ઇનપુટ $B$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થઈને $\overline{B}$ બને છે અને ઇનપુટ $A$ સીધું બીજા $AND$ ગેટમાં જાય છે. આ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot \overline{B}$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બે સમીકરણોનો સરવાળો છે: $Y = (\overline{A} \cdot B) + (A \cdot \overline{B})$.
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOR$ ગેટ છે જેના આઉટપુટ એક $OR$ ગેટમાં જાય છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. ઉપરના $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A+B}$ છે અને નીચેના $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $D = \overline{A+B}$ છે. આ બંનેને $OR$ ગેટમાં આપતા,અંતિમ આઉટપુટ $Y = C + D = \overline{A+B} + \overline{A+B} = \overline{A+B}$ મળે છે.
આ સંયોજન માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$C = \overline{A+B}$	$D = \overline{A+B}$	$Y = C + D$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$

આ ટ્રુથ ટેબલને પ્રમાણિત લોજિક ગેટ્સ સાથે સરખાવતા,આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $1$ મળે છે જ્યારે $A$ અને $B$ બંને $0$ હોય,જે $NOR$ ગેટનું લાક્ષણિક વર્તન છે.

(B) હાફ-વેવ રેક્ટિફાયરમાં, આઉટપુટ પલ્સ દરેક ઇનપુટ સાયકલ દીઠ એકવાર મળે છે. તેથી, આઉટપુટ આવૃત્તિ ઇનપુટ આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે, જે $50 \,Hz$ છે.
ફૂલ-વેવ રેક્ટિફાયરમાં, આઉટપુટ પલ્સ દરેક ઇનપુટ સાયકલ દીઠ બે વાર મળે છે (દરેક હાફ-સાયકલ માટે એકવાર). તેથી, આઉટપુટ આવૃત્તિ ઇનપુટ આવૃત્તિ કરતા બમણી થાય છે, જે $2 \times 50 \,Hz = 100 \,Hz$ છે.
આમ, આઉટપુટ આવૃત્તિઓ અનુક્રમે $50 \,Hz$ અને $100 \,Hz$ છે.

(C) ફુલ વેવ રેક્ટિફાયરની મહત્તમ કાર્યક્ષમતા $x = 81.2 \%$ છે.
હાફ વેવ રેક્ટિફાયરની મહત્તમ કાર્યક્ષમતા $y = 40.6 \%$ છે.
આ બંને મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $x = 2 \times 40.6 \% = 2y$.
તેથી,સાચો સંબંધ $x = 2y$ છે.

(B) ઇન્ટ્રિન્સિક સેમિકન્ડક્ટર એ શુદ્ધ સેમિકન્ડક્ટર છે જેમાં કોઈ પણ પ્રકારની અશુદ્ધિ (dopant) ઉમેરવામાં આવતી નથી.
ઇન્ટ્રિન્સિક સેમિકન્ડક્ટરમાં,વિદ્યુતભાર વાહકો માત્ર ઉષ્મીય ઉત્તેજનાને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
જ્યારે ઉષ્મીય ઉર્જાને કારણે સહસંયોજક બંધ તૂટે છે,ત્યારે એક ઇલેક્ટ્રોન વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં જાય છે,જે વેલેન્સ બેન્ડમાં એક હોલ છોડી જાય છે.
દરેક ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડી એકસાથે ઉત્પન્ન થતી હોવાથી,કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n_{e})$ એ વેલેન્સ બેન્ડમાં હોલની સંખ્યા $(n_{h})$ જેટલી જ હોવી જોઈએ.
તેથી,ઇન્ટ્રિન્સિક સેમિકન્ડક્ટર માટે,$n_{h} = n_{e}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: $Si$ પરમાણુઓની ઘનતા $= 4 \times 10^{28} \text{ પરમાણુ}/m^3$.
$1 \text{ ppm}$ (દસ લાખના ભાગમાં એક) $Sb$ (એન્ટિમની) સાથે ડોપિંગ કર્યા પછી,$Sb$ પરમાણુઓની સાંદ્રતા:
$Sb \text{ પરમાણુઓની સંખ્યા} = \frac{4 \times 10^{28}}{10^6} = 4 \times 10^{22} \text{ પરમાણુ}/m^3$.
$Sb$ એ પંચ-સંયોજક અશુદ્ધિ હોવાથી,દરેક $Sb$ પરમાણુ સ્ફટિક લેટીસમાં એક મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન આપે છે.
તેથી,ઉપલબ્ધ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $4 \times 10^{22} \ m^{-3}$ થશે.

(A) સેમિકન્ડક્ટરની અવરોધકતા $\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{e(n_e \mu_e + n_h \mu_h)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સેમિકન્ડક્ટરમાં અશુદ્ધિના પરમાણુઓ ઉમેરવામાં આવે છે (ડોપિંગ),ત્યારે વિદ્યુતભાર વાહકોની સાંદ્રતા ($n_e$ અથવા $n_h$) નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
વાહકતા $\sigma$ એ વાહક સાંદ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,વાહકતામાં વધારો થાય છે.
અવરોધકતા $\rho$ એ વાહકતાનો વ્યસ્ત હોવાથી,વાહકતામાં વધારો થવાથી અવરોધકતામાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,ડોપિંગ સામાન્ય રીતે સેમિકન્ડક્ટરની અવરોધકતા ઘટાડે છે.

(B) ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,કરંટ ગેઈન પેરામીટર્સ $\beta = \frac{I_C}{I_B}$ અને $\alpha = \frac{I_C}{I_E}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે $I_E = I_B + I_C$,આપણે લખી શકીએ કે $\alpha = \frac{I_C}{I_B + I_C}$.
અંશ અને છેદને $I_C$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\alpha = \frac{1}{\frac{I_B}{I_C} + 1} = \frac{1}{\frac{1}{\beta} + 1} = \frac{\beta}{1 + \beta}$.
આના પરથી,આપણે મેળવી શકીએ કે $\frac{1}{\alpha} = \frac{1 + \beta}{\beta} = \frac{1}{\beta} + 1$,જે સૂચવે છે કે $\frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha} - 1$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સંબંધ $\alpha = \frac{\beta}{1 - \beta}$ ખોટો છે.

(B) જે અર્ધવાહકમાં વાહકતા સંપૂર્ણપણે વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનના ઉષ્મીય ઉત્તેજનને કારણે હોય છે,જેના પરિણામે સહસંયોજક બંધ તૂટે છે,તેને ઇન્ટ્રિન્સિક (શુદ્ધ) અર્ધવાહક કહેવામાં આવે છે. આ સ્થિતિમાં,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા હોલ્સની સંખ્યા જેટલી હોય છે $(n_e = n_h)$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
$1$. પરંપરાગત પ્રકાશ સ્ત્રોતોની તુલનામાં $LED$ ખૂબ જ ઉર્જા કાર્યક્ષમ છે.
$2$. જો ઉચ્ચ ગુણવત્તા સાથે ઉત્પાદિત કરવામાં આવે તો $LED$ નું આયુષ્ય ખૂબ લાંબુ હોય છે.
$3$. $LED$ દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તેજસ્વીતા તેમાંથી પસાર થતા ફોરવર્ડ કરંટને બદલીને સરળતાથી નિયંત્રિત કરી શકાય છે. તેથી,તે નિયંત્રિત કરી શકાતું નથી તેવું વિધાન ખોટું છે.
$4$. $LED$ દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશ મોનોક્રોમેટિક હોય છે અને સમય જતાં ઝાંખો પડતો નથી.

(D) લાઇટ એમિટિંગ ડાયોડ $(LED)$ એ એક હેવીલી ડોપ્ડ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે જે ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય ત્યારે સ્વયંભૂ વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
ફોરવર્ડ બાયસ સ્થિતિમાં,પોટેન્શિયલ બેરિયર ઘટે છે,જેનાથી $n$-વિસ્તારના ઇલેક્ટ્રોન અને $p$-વિસ્તારના હોલ્સ જંકશનને ઓળંગી શકે છે.
આ ચાર્જ કેરિયર્સ જંકશન પર પુનઃસંયોજન (recombine) પામે છે અને ફોટોન (પ્રકાશ) સ્વરૂપે ઉર્જા મુક્ત કરે છે.
તેથી,પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરવા માટે $LED$ હંમેશા ફોરવર્ડ બાયસ સ્થિતિમાં જ કાર્યરત હોય છે.

(C) $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y'_m = \frac{(2m - 1) \lambda_2 D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $5^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા એ $6^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકા સાથે સંપાત થાય છે,તેથી $n = 5$ અને $m = 6$ લેતા:
$\frac{5 \lambda_1 D}{d} = \frac{(2 \times 6 - 1) \lambda_2 D}{2d}$
$\frac{5 \lambda_1 D}{d} = \frac{11 \lambda_2 D}{2d}$
બંને બાજુથી $D$ અને $d$ ને દૂર કરતા:
$5 \lambda_1 = \frac{11 \lambda_2}{2}$
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{11}{5 \times 2} = \frac{11}{10}$

(B) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કોણીય પહોળાઈ $\theta$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\theta \propto \frac{1}{a}$.
તેથી,જેમ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ વધે છે,તેમ મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ ઘટે છે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ એ સ્લિટની પહોળાઈ $(a)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યારે સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ વધે છે.

(C) સિંગલ-સ્લિટ ડિફ્રેક્શન પેટર્નમાં,મુખ્ય મહત્તમની તીવ્રતા સ્લિટની પહોળાઈના વર્ગ $(a^2)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. જ્યારે સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ને બમણી કરીને $2a$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તરંગોનો કંપવિસ્તાર $2$ ના ગુણાંકમાં વધે છે. તીવ્રતા એ કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોવાથી,નવી તીવ્રતા $I \propto (2a)^2 = 4I_0$ થશે. આમ,મુખ્ય મહત્તમની તીવ્રતા $4$ ગણી વધશે.

(D) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$ છે.
પ્રથમ બિંદુ માટે,$\Delta x_1 = 0$,તેથી $\Delta \phi_1 = 0$. તીવ્રતા $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{\Delta \phi_1}{2}) = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$ થશે.
બીજા બિંદુ માટે,$\Delta x_2 = \frac{\lambda}{2}$,તેથી $\Delta \phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{2} = \pi$. તીવ્રતા $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ થશે.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}}{0} = \infty$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $\infty: 1$ છે.

(C) બિંદુ $P$ આગળ કુલ કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ ઉદગમો વચ્ચેના પ્રારંભિક કળા તફાવત અને પથ તફાવતને કારણે ઉદ્ભવતા કળા તફાવતનો સરવાળો છે.
ધારો કે $\phi_1$ એ ઉદગમો $A$ અને $B$ વચ્ચેનો પ્રારંભિક કળા તફાવત છે. આપેલ છે કે $\phi_1 = 54^{\circ}$.
રેડિયનમાં રૂપાંતર કરતા: $\phi_1 = 54 \times \frac{\pi}{180} = 0.3 \pi \text{ rad}$.
ધારો કે $\phi_2$ એ પથ તફાવત $\Delta x = PB - PA = 2.5 \lambda$ ને કારણે ઉદ્ભવતો કળા તફાવત છે.
પથ તફાવતને કારણે કળા તફાવતનું સૂત્ર $\phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \times 2.5 \lambda = 5 \pi \text{ rad}$.
ઉદગમ $A$ કળામાં આગળ હોવાથી, કુલ કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 + \phi_1 = 5 \pi + 0.3 \pi = 5.3 \pi \text{ rad}$ થાય.

(B) બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $Z = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d$ અચળ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{\lambda}{d}$ એ અચળ મૂલ્ય છે.
તેથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{Z}{D} = \frac{\lambda}{d} = \text{અચળ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $D$ અને $Z$ ના વિવિધ મૂલ્યો માટે,આ ગુણોત્તર સમાન રહે છે:
$\frac{Z_1}{D_1} = \frac{Z_2}{D_2} = \frac{Z_3}{D_3} = \frac{Z_4}{D_4}$.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,વ્યતિકરણ શલાકાઓની તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$I_1 = I_2 = I_0$ હોવાથી,$I_{max} = 4I_0$ અને $I_{min} = 0$ મળે છે.
જ્યારે એક સ્લિટને ઢાંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1' = 0.5 I_0$ થાય છે,જ્યારે $I_2 = I_0$ રહે છે.
હવે,નવી મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}' = (\sqrt{0.5 I_0} + \sqrt{I_0})^2 = I_0(0.5 + 1 + 2\sqrt{0.5}) \approx 2.91 I_0$ થાય છે,જે $4I_0$ કરતા ઓછી છે.
નવી ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min}' = (\sqrt{I_0} - \sqrt{0.5 I_0})^2 = I_0(1 + 0.5 - 2\sqrt{0.5}) \approx 0.086 I_0$ થાય છે,જે $0$ કરતા વધારે છે.
તેથી,પ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા ઘટે છે અને અપ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા વધે છે.

(A) મેલસના નિયમ મુજબ,પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બે પોલરાઈઝરની ટ્રાન્સમિશન ધરી વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,મુખ્ય સમતલો સમાંતર છે,તેથી $\theta = 0^{\circ}$ અને તીવ્રતા $I_0 = I_{max}$ છે.
જ્યારે સ્ફટિક $B$ ને $45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ટ્રાન્સમિશન ધરી વચ્ચેનો નવો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ થાય છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = I_0 \cos^2(45^{\circ})$
$I = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = I_0 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{I_0}{2}$.

(A) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,વક્રીભવનાંક $n = \tan \theta_{B}$ છે,જ્યાં $\theta_{B}$ એ બ્રુસ્ટર કોણ છે.
અહીં $\theta_{B} = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $n = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
હવે,સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sin i}{\sin r} = n$,જ્યાં $i = 45^{\circ}$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભૂતકોણ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sin r = \frac{\sin 45^{\circ}}{n} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
તેથી,વક્રીભૂતકોણ $r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ થશે.

(C) આપેલ છે: પ્રિઝમનો ખૂણો $= A$,આપાતકોણ $i = 2A$.
પ્રકાશનું કિરણ ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી તેના મૂળ માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r$ છે. પ્રિઝમની અંદરના કિરણ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાંથી,ભૂમિતિ મુજબ $r = A$ મળે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 2A}{\sin A}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$

(D) એક સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગમાં,મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે. જો સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ને બમણી $(a' = 2a)$ કરવામાં આવે,તો નવી કોણીય પહોળાઈ $\theta' = \frac{2\lambda}{2a} = \frac{\theta}{2}$ થાય છે. આમ,કોણીય પહોળાઈ અડધી થઈ જાય છે.
તીવ્રતાના સંદર્ભમાં,મધ્યસ્થ અધિક્તમની તીવ્રતા સ્લિટની પહોળાઈના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto a^2)$. જો સ્લિટની પહોળાઈ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી તીવ્રતા $I'$ એ $I' \propto (2a)^2 = 4a^2 = 4I$ થાય છે. તેથી,તીવ્રતા $4$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(A) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
$n$ માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે આપેલ છે: $a \sin 30^{\circ} = \lambda \Rightarrow a(1/2) = \lambda \Rightarrow a = 2\lambda$.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(n=1)$ માટે: $a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$.
સમીકરણમાં $a = 2\lambda$ મૂકતા: $(2\lambda) \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$.
$\sin \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) આપેલ છે: ફ્રિન્જની પહોળાઈ $W = 2 \, mm$.
પડદાના કેન્દ્રથી $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત ફ્રિન્જનું અંતર $y_n = nW$ છે.
પડદાના કેન્દ્રથી $n^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત ફ્રિન્જનું અંતર $y'_n = (n - 0.5)W$ છે.
$13^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત ફ્રિન્જ માટે, $n = 13$: $y_{13} = 13 \times 2 = 26 \, mm$.
$4^{\text{થી}}$ અપ્રકાશિત ફ્રિન્જ માટે, $n = 4$: $y'_4 = (4 - 0.5) \times 2 = 3.5 \times 2 = 7 \, mm$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $y_{13} - y'_4 = 26 \, mm - 7 \, mm = 19 \, mm$ થાય.

(B) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\Delta \phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે.
સૂત્રમાં $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{I}{I_0} = \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{I}{I_0} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$ થાય.