MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,જ્યારે દબાણ અચળ રાખવામાં આવે ત્યારે આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત જથ્થાનું કદ $(V)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $V \propto T$ અથવા $V = kT$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આ સંબંધ $V$ વિરુદ્ધ $T$ ના આલેખ પર ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $Q$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે અચળ દબાણે તાપમાન સાથે કદના ફેરફારને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ છે.
ઓક્સિજન વાયુ $(O_2)$ માટે: $P_1 V_1 = \frac{m_1}{M_1} RT_1$ ... $(i)$
હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ માટે: $P_2 V_2 = \frac{m_2}{M_2} RT_2$ ... (ii)
આપેલ છે કે $P_1 = P_2$,$V_1 = V_2$,અને $m_1 = m_2$,સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{P_1 V_1}{P_2 V_2} = \frac{m_1 / M_1}{m_2 / M_2} \cdot \frac{T_1}{T_2}$
$1 = \frac{M_2}{M_1} \cdot \frac{T_1}{T_2}$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{M_1}{M_2}$
મોલર દળ $M_1 (O_2) = 32 \text{ g/mol}$ અને $M_2 (H_2) = 2 \text{ g/mol}$ મૂકતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{32}{2} = \frac{16}{1}$
તેથી,તેમના નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણોત્તર $16: 1$ છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ એ તેના અણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
તેથી,તાપમાન એ વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું માપ છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ આદર્શ વાયુ દ્વારા પાત્રની દીવાલો પર લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણને $P = \frac{nRT}{V}$ મળે છે.
બંધ પાત્ર માટે $n$,$R$ અને $V$ અચળ હોવાથી,દબાણ $P$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $P \propto T$.
દીવાલો પર લાગતું બળ $F = P \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દીવાલનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંધ પાત્ર માટે $A$ અચળ હોવાથી,$F \propto P$.
તેથી,$F \propto T$,જેનો અર્થ છે કે $F \propto T^{1}$.
આને $T^{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(C) એડિયાબેટિક (રૂદ્ધોષ્મ) સંકોચન માટે,સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
આપેલ છે: $V_{\text{new}} = \frac{1}{4} V$ અને $\gamma = \frac{3}{2}$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$
$P \cdot V^{\gamma} = P_{\text{new}} \cdot \left(\frac{V}{4}\right)^{\gamma}$
$\frac{P_{\text{new}}}{P} = \left(\frac{V}{V/4}\right)^{\gamma} = (4)^{\gamma}$
$\frac{P_{\text{new}}}{P} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$
તેથી,$P_{\text{new}} = 8P$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે દબાણ $P$ અને કદ $V$ નો અણુઓની સંખ્યા $N$ અને અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle K \rangle$ સાથેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$PV = \frac{2}{3} N \langle K \rangle$
આપેલ છે:
$V = 500 \text{ c.c.} = 500 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^3$
$P = 2 \times 10^5 \text{ N/m}^2$
$\langle K \rangle = 6 \times 10^{-21} \text{ J}$
$N$ શોધવા માટે સૂત્રને કર્તા બનાવતા:
$N = \frac{3PV}{2\langle K \rangle}$
કિંમતો મુકતા:
$N = \frac{3 \times (2 \times 10^5) \times (5 \times 10^{-4})}{2 \times (6 \times 10^{-21})}$
$N = \frac{3 \times 10^2}{12 \times 10^{-21}} = \frac{300}{12} \times 10^{21} = 25 \times 10^{21} = 2.5 \times 10^{22}$
આમ,વાયુના અણુઓની સંખ્યા $2.5 \times 10^{22}$ છે.

(B) આદર્શ વાયુનું દબાણ $P$ ગતિવાદના સિદ્ધાંત મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$
જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે,$m$ એ દરેક અણુનું દળ છે,$V$ એ કદ છે,અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગમૂળ ઝડપ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $P \propto m \cdot v_{rms}^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ છે. પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ છે.
આપેલ નવી શરતો મુજબ:
$m_2 = \frac{m}{2}$
$v_2 = 2v$
હવે,નવું દબાણ $P_2$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2}{m_1} \times \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2$
$\frac{P_2}{P} = \left( \frac{m/2}{m} \right) \times \left( \frac{2v}{v} \right)^2$
$\frac{P_2}{P} = \left( \frac{1}{2} \right) \times (2)^2$
$\frac{P_2}{P} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$
તેથી,$P_2 = 2P$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = Nk_B T$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
પાત્ર $A$ માટે: $PV = N_A k_B T$ --- $(i)$
પાત્ર $B$ માટે: $(2P) \times (V/4) = N_B k_B (2T)$
ડાબી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $(1/2) PV = N_B k_B (2T)$
$PV = 4 N_B k_B T$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા: $N_A k_B T = 4 N_B k_B T$
$N_A = 4 N_B$
તેથી,ગુણોત્તર $N_A / N_B = 4/1$ અથવા $4: 1$ થાય.

(D) કદનું સંરક્ષણ: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = n r^3$.
પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડાને કારણે મુક્ત થતી ઉર્જા: $\Delta U = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2)$.
$n = \frac{R^3}{r^3}$ હોવાથી, $\Delta U = 4 \pi T \left( \frac{R^3}{r} - R^2 \right) = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
આ ઉર્જા મોટા ટીપાની ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે: $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$, જ્યાં $M = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} (\rho \times \frac{4}{3} \pi R^3) v^2 = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2}{3} \rho \pi R^3 v^2 = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
$v^2 = \frac{4 \pi T R^3 \times 3}{2 \pi \rho R^3} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right) = \frac{6 T}{\rho} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
તેથી, $v = \sqrt{\frac{6 T}{\rho} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)}$.

(A) પગલું $1$: $V$ થી $2V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે.
$P(V) = P_2(2V) \implies P_2 = P/2$.
પગલું $2$: $2V$ થી $16V$ સુધી એડિબેટિક વિસ્તરણ.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
અહીં $P_2 = P/2$,$V_2 = 2V$,$V_3 = 16V$,અને $\gamma = 5/3$ આપેલ છે.
$P_3 = P_2 (V_2 / V_3)^\gamma = (P/2) (2V / 16V)^{5/3}$.
$P_3 = (P/2) (1/8)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,$(1/8)^{5/3} = (1/2^3)^{5/3} = (1/2)^5 = 1/32$.
$P_3 = (P/2) \times (1/32) = P/64$.

(A) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n = m/M$ (દળ/મોલર દળ).
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $PV = (m/M)RT$ મળે છે.
ઘનતા $\rho = m/V$ હોવાથી,આપણે $P = (\rho/M)RT$ લખી શકીએ,જેનો અર્થ છે કે $\rho = (PM)/(RT)$.
તેથી,$\rho \propto P/T$.
આપેલ છે: પ્રારંભિક સ્થિતિ $(\rho_0, P_0, T_0)$ અને અંતિમ સ્થિતિ $(\rho', 3P_0, 2T_0)$ છે.
પ્રમાણસરતા $\rho' / \rho_0 = (P'/P_0) \times (T_0/T')$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\rho' = \rho_0 \times (3P_0 / P_0) \times (T_0 / 2T_0)$.
$\rho' = \rho_0 \times 3 \times (1/2) = \frac{3}{2} \rho_0$.

(B) આદર્શ વાયુનું દબાણ ગતિવાદના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે દબાણ $P$ એ અણુઓના દળ $m$ અને તેમના સરેરાશ વર્ગિત વેગના વર્ગ $v_{rms}^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે,જો અણુઓની સંખ્યા $N$ અને કદ $V$ અચળ રહે: $P \propto m v_{rms}^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $P_1 = P_0$,દળ $m_1 = m$,અને વેગ $v_1 = v$ છે.
અંતિમ સ્થિતિમાં,દળ અડધું થાય છે: $m_2 = \frac{m}{2}$,અને વેગ બમણો થાય છે: $v_2 = 2v$.
અંતિમ દબાણ $P_2$ અને પ્રારંભિક દબાણ $P_1$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2 v_2^2}{m_1 v_1^2} = \frac{(\frac{m}{2}) (2v)^2}{m v^2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{(\frac{m}{2}) (4v^2)}{m v^2} = \frac{2 m v^2}{m v^2} = 2$.
તેથી,અંતિમ દબાણ $P_2 = 2 P_1 = 2 P_0$ થશે.

(D) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,વાયુ દ્વારા લગાડવામાં આવતું દબાણ એ પાત્રની દીવાલો સાથે વાયુના અણુઓની અથડામણને કારણે હોય છે,ન કે અણુઓ વચ્ચેની પરસ્પર અથડામણને કારણે.
અણુઓ વચ્ચેની અથડામણોને મેક્રોસ્કોપિક દબાણમાં ફાળો આપવાની દ્રષ્ટિએ નગણ્ય ગણવામાં આવે છે.
તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે.

(A) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ આપેલ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$ આપેલ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_{rms_2}}{v_{rms_1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_{rms_2} = 2 \cdot v_{rms_1}$.
આમ,r.m.s. ઝડપ પ્રારંભિક ઝડપ કરતા બમણી થાય છે.

(C) વાયુના અણુઓની r.m.s. ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં વાયુ સમાન હોવાથી,$V_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવતા:
$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \ K$
r.m.s. ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{400}{800}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: \sqrt{2}$ છે.

(C) પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -68^{\circ} C = -68 + 273 = 205 \ K$ છે.
વાયુના અણુઓનો r.m.s. વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $(v_{rms})_1$ છે અને અંતિમ વેગ $(v_{rms})_2 = 2(v_{rms})_1$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \sqrt{\frac{T_2}{205}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{T_2}{205}$.
તેથી,$T_2 = 4 \times 205 = 820 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 820 - 273 = 547^{\circ} C$.

(A) વાયુની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
ધારો કે પ્રથમ વાયુનું આણ્વિય દળ $M_1 = 32$ અને $r.m.s.$ ઝડપ $(v_{rms})_1$ છે.
ધારો કે બીજા વાયુનું આણ્વિય દળ $M_2$ અને $r.m.s.$ ઝડપ $(v_{rms})_2 = 4(v_{rms})_1$ છે.
સંબંધ $\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે આપેલી કિંમતો મૂકીએ:
$4 = \sqrt{\frac{32}{M_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $16 = \frac{32}{M_2}$ મળે છે.
તેથી,$M_2 = \frac{32}{16} = 2$.

(A) શંકુ આકારના લોલકમાં,ગોળા પર લાગતા બળો દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે.
તણાવ $T$ ના ઘટકો પાડતા:
$T \cos \theta = mg$ (શિરોલંબ સંતુલન)
$T \sin \theta = F_c$ (જ્યાં $F_c$ એ કેન્દ્રગામી બળ છે)
લોલકની ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{r}{L}$.
તેથી,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{r^2}{L^2}} = \frac{\sqrt{L^2-r^2}}{L}$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$T = \frac{mg}{\cos \theta} = \frac{mgL}{\sqrt{L^2-r^2}}$.
$T$ ની કિંમત કેન્દ્રગામી બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_c = T \sin \theta = \left( \frac{mgL}{\sqrt{L^2-r^2}} \right) \times \left( \frac{r}{L} \right) = \frac{mgr}{\sqrt{L^2-r^2}}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર રસ્તા પર વાહનની મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $V = \sqrt{\mu rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે.
સૂકા રસ્તા માટે: $V = \sqrt{\mu rg}$ $(i)$
ભીના રસ્તા માટે,ધારો કે નવો ઘર્ષણાંક $\mu^{\prime}$ છે. નવી ઝડપ $\frac{V}{2} = \sqrt{\mu^{\prime} rg}$ (ii) છે.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{V}{V/2} = \frac{\sqrt{\mu rg}}{\sqrt{\mu^{\prime} rg}}$
$2 = \sqrt{\frac{\mu}{\mu^{\prime}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{\mu}{\mu^{\prime}}$
$\therefore \mu^{\prime} = \frac{\mu}{4}$

(A) નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = R\omega$ શરતનું પાલન થાય છે.
ચાકગતિઊર્જા $E_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} MR^2 \omega^2 = \frac{1}{5} Mv^2$ થાય.
કુલ ગતિઊર્જા $E_{total}$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $E_{total} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{5} Mv^2 = (\frac{5+2}{10}) Mv^2 = \frac{7}{10} Mv^2$.
કુલ ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{total}}{E_{rot}} = \frac{\frac{7}{10} Mv^2}{\frac{1}{5} Mv^2} = \frac{7}{10} \times 5 = \frac{7}{2}$ થાય.

(A) બેંકિંગવાળા ટ્રેક માટે,બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રેકની ભૂમિતિ પરથી,જ્યાં $h$ એ ઊંચાઈ છે અને $d$ એ બે રેલ વચ્ચેનું અંતર છે,આપણી પાસે $\tan \theta = \frac{h}{d}$ છે.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{v^2}{rg} = \frac{h}{d}$
વક્રતા ત્રિજ્યા $r$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$r = \frac{v^2 d}{gh}$

(D) નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{S} = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{C} = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
ઢળતી સપાટી પર ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નળાકારના પ્રવેગ '$a_{c}$' અને ગોળાના પ્રવેગ '$a_{s}$' નો ગુણોત્તર:
$\frac{a_{c}}{a_{s}} = \frac{1 + \frac{I_{S}}{MR^2}}{1 + \frac{I_{C}}{MR^2}} = \frac{1 + \frac{2}{5}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{3}{2}} = \frac{7}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{15}$ થાય.

(C) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળભૂત લંબાઈ $L$ છે અને વિસ્તરણ $x$ છે.
વર્તુળાકાર માર્ગની કુલ ત્રિજ્યા $R = L + x$ છે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતું પુનઃસ્થાપક બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$F_{\text{restoring}} = F_{\text{centripetal}}$
$kx = m(L + x)\omega^2$
આપેલ છે: $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,$k = 12.5 \text{ N/m}$,$\omega = 5 \text{ rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$12.5x = 0.2(L + x)(5)^2$
$12.5x = 0.2(L + x)(25)$
$12.5x = 5(L + x)$
$12.5x = 5L + 5x$
$7.5x = 5L$
$\frac{x}{L} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$
તેથી,વિસ્તરણ અને મૂળભૂત લંબાઈનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(C) ગોળા પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_{\text{electric}} = qE$ છે,જે આકૃતિ મુજબ ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
ગોળાનું અસરકારક વજન $mg_{\text{eff}} = mg - F_{\text{electric}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g - \frac{qE}{m}$ થાય.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$g_{\text{eff}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g - \frac{qE}{m}}} = 2 \pi \left[ \frac{L}{g - \frac{qE}{m}} \right]^{\frac{1}{2}}$ મળે છે.

(B) બ્લોકની જમણી બાજુએ,$K$ અને $2K$ બળ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગો દીવાલ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલી છે. તેમનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_R = K + 2K = 3K$ છે.
બ્લોકની ડાબી બાજુએ,$2K$ અને $2K$ બળ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગો દીવાલ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે. તેમનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_L$ માટે $\frac{1}{K_L} = \frac{1}{2K} + \frac{1}{2K} = \frac{2}{2K} = \frac{1}{K}$,તેથી $K_L = K$ મળે છે.
બ્લોક આ બે સમૂહોની વચ્ચે હોવાથી,તંત્રનો અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = K_R + K_L = 3K + K = 4K$ થાય છે.
દોલનોની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{4K}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય છે, ત્યારે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ બેગના વજન જેટલું હોય છે: $W = mg = 49 \,N$.
$g = 9.8 \,m/s^2$ આપેલ હોવાથી, બેગનું દળ $m = \frac{49}{9.8} = 5 \,kg$ થાય.
જ્યારે લિફ્ટ $a = 5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $T = m(g - a)$.
કિંમતો મૂકતા: $T = 5(9.8 - 5)$.
$T = 5(4.8) = 24 \,N$.
તેથી, સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $24 \,N$ હશે.

(B) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક તેની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $kl = \text{અચળ}$.
ધારો કે $k_1$ અને $k_2$ એ $l_1$ અને $l_2$ લંબાઈની બે સ્પ્રિંગના બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $l = l_1 + l_2$ અને $l_1 = n l_2$.
સંબંધ $kl = k_1 l_1 = k_2 l_2$ પરથી,આપણી પાસે છે:
$k_1 = \frac{kl}{l_1}$ અને $k_2 = \frac{kl}{l_2}$.
$l_1 = n l_2$ હોવાથી,$l = n l_2 + l_2 = l_2(n+1)$.
$k_1$ ના સમીકરણમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા:
$k_1 = \frac{k \cdot l_2(n+1)}{n l_2} = \frac{K(n+1)}{n}$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વધારાનું દળ $M_1$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે. હૂકના નિયમ મુજબ,પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx = M_1 g$ થાય છે.
તેથી,સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k = \frac{M_1 g}{x}$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ પર દોલન કરતું કુલ દળ $m = M + M_1$ છે.
આ કિંમતોને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M + M_1}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{M + M_1}{\frac{M_1 g}{x}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{(M + M_1) x}{M_1 g}}$.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \sqrt{m}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$T \propto \sqrt{m_1}$.
બીજા કિસ્સા માટે,કુલ દળ $(m_1 + m_2)$ છે,તેથી નવો આવર્તકાળ $T' \propto \sqrt{m_1 + m_2}$.
આપેલ છે કે $T' = \frac{3}{2} T$,તેથી:
$\frac{T'}{T} = \frac{\sqrt{m_1 + m_2}}{\sqrt{m_1}} = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{m_1 + m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$.
$1 + \frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$.
$\frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{5}$.

(C) બંને સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k + k = 2k$ થશે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{12}{2k}}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $1 = \pi \sqrt{\frac{6}{k}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \pi^2 \times \frac{6}{k}$.
આપેલ છે કે $\pi^2 = 10$,તેથી $1 = 10 \times \frac{6}{k}$.
આમ,$k = 60 \ Nm^{-1}$.

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1 V_1 = A_2 V_2$.
જ્યાં $Av$ નો ગુણાકાર અચળ હોવાથી,સૌથી સાંકડા ભાગમાં જ્યાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ન્યૂનતમ હોય છે,ત્યાં વેગ $v$ મહત્તમ હશે.
આડા પાઈપ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ ($h$ અચળ છે),$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{અચળ}$.
જેમ વેગ $v$ વધે છે,તેમ સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,સૌથી સાંકડા ભાગમાં વેગ મહત્તમ અને દબાણ ન્યૂનતમ હોય છે.

(B) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,પાઇપના કોઈપણ બિંદુએ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
અહીં,$A_1$ એ પાઇપનું ક્ષેત્રફળ છે,$V$ એ પાઇપમાં વેગ છે,$A_n$ એ નોઝલનું ક્ષેત્રફળ છે અને $V_1$ એ નોઝલ પરનો વેગ છે.
$A_1 = \frac{\pi d^2}{4}$ અને $A_n = \frac{\pi d_n^2}{4}$,જ્યાં $d_n$ એ નોઝલનો વ્યાસ છે.
આ કિંમતોને સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\pi d^2}{4} \times V = \frac{\pi d_n^2}{4} \times V_1$
$d^2 V = d_n^2 V_1$
$d_n^2 = d^2 \frac{V}{V_1}$
$d_n = d \sqrt{\frac{V}{V_1}}$

(A) ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે. જ્યારે પદાર્થ સરોવરની સપાટી સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
પાણીની અંદર,પદાર્થ પર લાગતા બળો તેનું વજન $W = \rho V g$ (નીચેની તરફ) અને ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \sigma V g$ (ઉપરની તરફ) છે.
પરિણામી ઉપરની તરફનું બળ $F_{net} = F_B - W = Vg(\sigma - \rho)$ છે.
પાણીની અંદર પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\sigma - \rho)}{\rho V} = \frac{g(\sigma - \rho)}{\rho}$ છે.
બળ ઉપરની તરફ હોવાથી,પ્રવેગ ઉપરની તરફ (ગતિની વિરુદ્ધ) લાગે છે,તેથી $a = -\frac{g(\sigma - \rho)}{\rho}$.
ધારો કે મહત્તમ ઊંડાઈ $H$ છે. આ ઊંડાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aH$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 - (\sqrt{2gh})^2 = 2 \left( -\frac{g(\sigma - \rho)}{\rho} \right) H$
$-2gh = -\frac{2g(\sigma - \rho)}{\rho} H$
$h = \frac{(\sigma - \rho)}{\rho} H$
$H = \frac{h \rho}{(\sigma - \rho)}$.

(A) સુરેખ પ્રવાહમાં,કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ પ્રવાહીનો વેગ સમય સાથે હંમેશા અચળ રહે છે. આનું કારણ એ છે કે પ્રવાહીનો દરેક કણ એક સુનિશ્ચિત માર્ગને અનુસરે છે,અને કણો વચ્ચે કોઈ મિશ્રણ કે માર્ગોનું એકબીજાને ઓળંગવું થતું નથી. તેથી,એવું વિધાન કે કોઈ આપેલ બિંદુએ વેગ 'ક્યારેય અચળ હોતો નથી' તે ખોટું છે.

(C) વેન્ચ્યુરીમીટર એ પાઇપમાંથી વહેતા અદબનીય પ્રવાહીના વહનનો દર માપવા માટે વપરાતું સાધન છે. તે બર્નુલીના પ્રમેયના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જેમાં પાઇપમાં રહેલો સાંકડો ભાગ દબાણમાં ઘટાડો કરે છે જે પ્રવાહના દરના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) પ્રવાહીની અંદરના અણુઓ ચારે બાજુથી અન્ય અણુઓ દ્વારા ઘેરાયેલા હોય છે,જેના પરિણામે તેમના પર લાગતું ચોખ્ખું આકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.
જો કે,પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ ચોખ્ખા અંદરની તરફના આકર્ષણ બળનો અનુભવ કરે છે કારણ કે તેમની ઉપર કોઈ પ્રવાહીના અણુઓ હોતા નથી જે નીચે તરફના ખેંચાણને સંતુલિત કરી શકે.
અણુને અંદરના ભાગમાંથી સપાટી પર લાવવા માટે,આ અંદરના આકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
આ કાર્ય અણુમાં સ્થિતિ ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
તેથી,સપાટી પરના અણુની સ્થિતિ ઉર્જા પ્રવાહીની અંદરના અણુ કરતા વધારે હોય છે.

(C) સાતત્યના સમીકરણ અને ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,પાણીના વહનનો દર નીચે મુજબ છે:
$A \left( -\frac{dh}{dt} \right) = a \sqrt{2gh}$
સંકલન માટે પદોને ગોઠવતા:
$\int_{h}^{0} \frac{-dh}{\sqrt{h}} = \int_{0}^{t} \frac{a}{A} \sqrt{2g} dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$[2\sqrt{h}]_{0}^{h} = \frac{a}{A} \sqrt{2g} t$
$2\sqrt{h} = \frac{a}{A} \sqrt{2g} t$
આમ,પાત્ર ખાલી થવા માટે લાગતો સમય ઊંચાઈના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે:
$t \propto \sqrt{h}$
આપેલ છે કે $h$ ઊંચાઈ માટે સમય $t_1 = t$ છે,અને $h_2 = 4h$ ઊંચાઈ માટે સમય $t_2$ છે:
$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} = \sqrt{\frac{4h}{h}} = \sqrt{4} = 2$
તેથી,$t_2 = 2t_1 = 2t$.

(C) સાબુના પરપોટાની અંદરના વધારાના દબાણનું સૂત્ર $P = \frac{4T}{R}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ કિંમતો $P = 25.6 \ Nm^{-2}$ અને $T = 3.2 \times 10^{-2} \ Nm^{-1}$ છે.
ત્રિજ્યા $R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$R = \frac{4T}{P}$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{4 \times 3.2 \times 10^{-2}}{25.6}$
$R = \frac{12.8 \times 10^{-2}}{25.6} = 0.5 \times 10^{-2} \ m = 0.5 \ cm$.
વ્યાસ $D$ એ ત્રિજ્યા કરતા બમણો હોય છે:
$D = 2R = 2 \times 0.5 \ cm = 1 \ cm$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $\Delta P_1$ છે અને બીજા પરપોટામાં $\Delta P_2$ છે. આપેલ છે કે $\Delta P_1 = 3 \Delta P_2$.
તેથી,$\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = 3$.
કારણ કે $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = \frac{r_2}{r_1}$,તેથી $\frac{r_2}{r_1} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $V \propto r^3$.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા,$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$.

(B) સાબુની ફિલ્મની બે સપાટી હોય છે। સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times l \times \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l = 10 \,cm = 0.1 \,m$ અને $\Delta x = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ છે。
$\Delta A = 2 \times 0.1 \,m \times 10^{-3} \,m = 2 \times 10^{-4} \,m^2$.
કરેલું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે, જે $W = T \times \Delta A$ દ્વારા મળે છે。
અહીં $T = 65 \times 10^{-2} \,N/m$ આપેલ છે。
$W = (65 \times 10^{-2} \,N/m) \times (2 \times 10^{-4} \,m^2) = 130 \times 10^{-6} \,J = 1.3 \times 10^{-4} \,J = 13.0 \times 10^{-5} \,J$.
આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે。

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીના સ્તરની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં $h, T, r$,અને $g$ ત્રણેય પ્રવાહી માટે અચળ છે.
તેથી,$\frac{\cos \theta}{\rho} = \text{અચળ}$.
આનો અર્થ એ થાય કે: $\frac{\cos \theta_1}{\rho_1} = \frac{\cos \theta_2}{\rho_2} = \frac{\cos \theta_3}{\rho_3}$.
આપેલ છે કે $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$,તેથી $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ થાય.
કોસાઈન વિધેય $[0, \pi/2]$ ના ગાળામાં ઘટતું વિધેય હોવાથી,મોટી કોસાઈન કિંમત માટે ખૂણો નાનો હોય છે.
તેથી,$\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$.

(A) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ તેના અણુઓ વચ્ચેના આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળોને કારણે ઉદભવે છે.
જેમ જેમ પ્રવાહીનું તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જેનાથી આકર્ષણ બળો નબળા પડે છે.
ક્રિટીકલ તાપમાન $(T_c)$ પર,પ્રવાહી અને બાષ્પ અવસ્થા વચ્ચેનો તફાવત નાબૂદ થાય છે,એટલે કે પ્રવાહીની ઘનતા તેની સંતૃપ્ત બાષ્પની ઘનતા જેટલી થઈ જાય છે.
આ બિંદુએ આંતરઆણ્વિય બળો શૂન્ય થઈ જતા હોવાથી,પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ $0$ થઈ જાય છે.

(C) થયેલું કાર્ય,$W = S \times \Delta A$,જ્યાં $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર છે.
મોટા ટીપાનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ,$A_{\text{initial}} = 4 \pi R^2$.
ધારો કે નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કુલ કદ અચળ રહે છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$ અથવા $r = R/2$.
$8$ નાના ટીપાનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ,$A_{\text{final}} = 8 \times 4 \pi r^2 = 32 \pi (R/2)^2 = 32 \pi (R^2/4) = 8 \pi R^2$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર,$\Delta A = A_{\text{final}} - A_{\text{initial}} = 8 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2$.
થયેલું કાર્ય,$W = S \times \Delta A = S \times 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 S$.

(D) કેશ નળીમાં પ્રવાહીના સ્તરની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં વ્યાસ $(2r)$,સંપર્કકોણ $(\theta)$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ અચળ હોવાથી,ઊંચાઈ એ પૃષ્ઠતાણ અને ઘનતાના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે: $h \propto \frac{T}{\rho}$.
તેથી,ઊંચાઈનો ગુણોત્તર: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{T_1}{\rho_1} \times \frac{\rho_2}{T_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right) \times \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)$.
આપેલ છે કે $\frac{T_1}{T_2} = \frac{6}{5}$ અને $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{3}$,તેથી $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{3}{4}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{6}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{20} = 0.9$.

(B) મૂળ ટીપાનું કદ એ $n$ નાના ટીપાંના કુલ કદ જેટલું હોય છે.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$r^3 = \frac{R^3}{n} \implies r = \frac{R}{n^{1/3}}$
થયેલું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતા ફેરફાર અને પૃષ્ઠતાણ $T$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$W = (A_{\text{final}} - A_{\text{initial}}) T$
$W = (n \cdot 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) T$
$r = R \cdot n^{-1/3}$ કિંમત મૂકતા:
$W = (n \cdot 4 \pi (R \cdot n^{-1/3})^2 - 4 \pi R^2) T$
$W = (4 \pi R^2 \cdot n \cdot n^{-2/3} - 4 \pi R^2) T$
$W = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1) T$

(D) $r$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $r_1$ અને $r_2$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ટીપામાં વધારાનું દબાણ બીજા ટીપા કરતાં ત્રણ ગણું છે: $P_1 = 3P_2$.
સૂત્ર મૂકતા: $\frac{2T}{r_1} = 3 \left( \frac{2T}{r_2} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
ટીપાનું દળ $m = V \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે.
બંને ટીપાં પાણીના હોવાથી,ઘનતા $\rho$ બંને માટે સમાન છે.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3 \rho}{\frac{4}{3} \pi r_2^3 \rho} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{m_1}{m_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$.

(D) ધારો કે $R$ એ મૂળ મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ $1000$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$.
ગોળાકાર ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા $E = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ $(4\pi r^2)$ છે.
$E_1 = T(4\pi R^2)$
$E_2 = 1000 \times T(4\pi r^2)$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{T(4\pi R^2)}{1000 \times T(4\pi r^2)} = \frac{R^2}{1000 r^2}$
$R = 10r$ મૂકતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{(10r)^2}{1000 r^2} = \frac{100 r^2}{1000 r^2} = \frac{1}{10}$
આપેલ છે કે $\frac{E_1}{E_2} = \frac{x}{10}$,બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(D) સાબુના પડને બે સપાટી હોય છે, તેથી ક્ષેત્રફળમાં થતો કુલ ફેરફાર $2 \times \Delta A$ છે。
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 3 \times 3 \,cm^2 = 9 \times 10^{-4} \,m^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 5 \times 5 \,cm^2 = 25 \times 10^{-4} \,m^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = (25 - 9) \times 10^{-4} \,m^2 = 16 \times 10^{-4} \,m^2$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 2.5 \times 10^{-2} \,N/m$.
થયેલું કાર્ય $W = T \times (2 \Delta A) = 2.5 \times 10^{-2} \times 2 \times 16 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 5 \times 10^{-2} \times 16 \times 10^{-4} \,J = 80 \times 10^{-6} \,J$.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3$
$R = 2r$
પૃષ્ઠ ઉર્જા $E = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_1 = 8 \times (T \times 4 \pi r^2) = 32 \pi r^2 T$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_2 = T \times 4 \pi R^2 = T \times 4 \pi (2r)^2 = 16 \pi r^2 T$.
ફેરફાર પહેલાં અને પછીની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{32 \pi r^2 T}{16 \pi r^2 T} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$ છે અને ટીપાંની સંખ્યા $n = 27$ છે.
જ્યારે $n$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
તેથી, $R = n^{1/3} r = (27)^{1/3} \times r = 3r$.
મુક્ત થતી ઉર્જા એ પૃષ્ઠફળમાં થતા ઘટાડા અને પૃષ્ઠતાણ $T$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$\Delta E = T \times (A_{initial} - A_{final}) = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2)$.
$R = 3r$ મૂકતા:
$\Delta E = 4 \pi T r^2 (n - 9)$.
$n = 27$ આપેલ હોવાથી, $\Delta E = 4 \pi T r^2 (27 - 9) = 4 \pi T r^2 (18) = 72 \pi T r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 72 \times 3.14 \times 0.072 \times (10^{-4})^2$.
$\Delta E \approx 1.627 \times 10^{-7} \,J$.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછા ઉર્જા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે $n_2 = 2$ પર થાય છે.
$\frac{1}{\lambda_{\max(L)}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{\max(L)} = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછા ઉર્જા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે $n_2 = 3$ પર થાય છે.
$\frac{1}{\lambda_{\max(B)}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9-4}{36} \right] = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{\max(B)} = \frac{36}{5R}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\max(L)}}{\lambda_{\max(B)}} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$ છે.

(D) દ-બ્રોગ્લીની પરિકલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
બોહરના કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટમીકરણના અધિતર્ક મુજબ,$L = mvr_n = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
આ સમીકરણને વેગમાન $mv$ માટે ગોઠવતા,આપણને $mv = \frac{nh}{2\pi r_n}$ મળે છે.
$mv$ ની આ કિંમતને દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{(nh / 2\pi r_n)} = \frac{2\pi r_n}{n}$.
આમ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\frac{2\pi r}{n}$ થાય છે.

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ છે.
તેથી,$vr = \frac{nh}{2 \pi m} \dots (i)$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણ માટે,ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $mv = qBr$,અથવા $v = \frac{qBr}{m} \dots (ii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $v$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$(\frac{qBr}{m})r = \frac{nh}{2 \pi m}$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 = \frac{nh}{2 \pi qB}$.
ગતિ ઉર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે. કારણ કે $mv = qBr$,તેથી $E = \frac{1}{2}m(\frac{qBr}{m})^2 = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $r^2$ ની કિંમત મૂકતા: $E = \frac{q^2 B^2}{2m} \times \frac{nh}{2 \pi qB} = \frac{nhqB}{4 \pi m}$.

(D) બોહરના હાઇડ્રોજન પરમાણુના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{th}$ સ્થિર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E_n$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_n = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$
જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કુલ ઉર્જા $E_n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$E_n \propto \frac{1}{n^2}$.

(B) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ એ $\frac{1}{n}$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(v \propto \frac{1}{n})$.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ $n^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(r \propto n^2)$.
આ સંબંધોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F \propto \frac{v^2}{r}$
$F \propto \frac{(1/n)^2}{n^2}$
$F \propto \frac{1/n^2}{n^2}$
$F \propto \frac{1}{n^4}$ અથવા $F \propto n^{-4}$.

(B) $n^{th}$ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{Ze^2}{2 \varepsilon_0 nh}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે વેગ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $v_n \propto \frac{1}{n}$.
પ્રથમ કક્ષા માટે $n_1 = 1$ અને બીજી કક્ષા માટે $n_2 = 2$ છે.
તેથી,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{2}{1}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ગતિ કરતા $m$ દળ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$-મી બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$
બીજી બોહર કક્ષા માટે,$n = 2$. સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા:
$r_2 = \frac{\varepsilon_0 h^2 (2)^2}{\pi m e^2} = \frac{4 \varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$
હવે,બીજી કક્ષા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ની ગણતરી કરીએ:
$I = m \times (r_2)^2$
$I = m \times \left( \frac{4 \varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \right)^2$
$I = m \times \frac{16 \varepsilon_0^2 h^4}{\pi^2 m^2 e^4}$
$I = \frac{16 \varepsilon_0^2 h^4}{\pi^2 m e^4}$

(C) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta L = L_2 - L_1$.
અહીં,$n_1 = 4$ અને $n_2 = 5$ છે.
$\Delta L = \frac{n_2 h}{2\pi} - \frac{n_1 h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi} (n_2 - n_1)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta L = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14} (5 - 4)$.
$\Delta L = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.28} \approx 1.055 \times 10^{-34} \text{ J s}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ફેરફાર આશરે $1 \times 10^{-34} \text{ J s}$ છે.

(B) આપેલ છે કે પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 2.5 \mu F$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ડાયઇલેક્ટ્રિકથી અડધું ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે,જેમાં દરેકનું પ્લેટ ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને અંતર $d$ છે.
પ્રથમ ભાગ હવા દ્વારા ભરેલો છે (ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_1 = 1$):
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{2.5 \mu F}{2} = 1.25 \mu F$.
બીજો ભાગ ડાયઇલેક્ટ્રિક દ્વારા ભરેલો છે (ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_2 = K$):
$C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = K \times 1.25 \mu F$.
તેઓ સમાંતર હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2$ થાય.
આપેલ છે કે $C_{eq} = 5 \mu F$:
$5 = 1.25 + 1.25 K$
$3.75 = 1.25 K$
$K = \frac{3.75}{1.25} = 3$.
તેથી,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $3$ છે.

(B) જ્યારે કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
આપેલ છે: $C_1 = 3 \mu F$,$C_2 = 2 \mu F$.
કેપેસિટરના બે છેડે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં $Q$ સમાન હોવાથી,$V \propto \frac{1}{C}$ થાય.
તેથી,$C_2$ અને $C_1$ ના બે છેડે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{Q/C_2}{Q/C_1} = \frac{C_1}{C_2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{3 \mu F}{2 \mu F} = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(B) કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ બંને પ્લેટોના પોટેન્શિયલના તફાવત જેટલો હોય છે.
$V = V_1 - V_2 = 20 \,V - (-20 \,V) = 40 \,V$.
કેપેસિટરની પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $Q = 40 \,C$ આપેલ છે.
કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $C = \frac{Q}{V}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$C = \frac{40 \,C}{40 \,V} = 1 \,F$ મળે છે.
તેથી,કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $1 \,F$ છે.

(D) ધારો કે ચાર કેપેસિટર $C_1, C_2, C_3, C_4$ ડાબેથી જમણે હરોળમાં છે.
ટર્મિનલ $A$ એ $C_1$ ની ડાબી પ્લેટ સાથે જોડાયેલ છે.
$C_1$ ની જમણી પ્લેટ,$C_2$ ની ડાબી પ્લેટ અને $C_4$ ની જમણી પ્લેટ એકબીજા સાથે જોડાયેલ છે.
$C_2$ ની જમણી પ્લેટ અને $C_3$ ની ડાબી પ્લેટ જોડાયેલ છે.
$C_3$ ની જમણી પ્લેટ અને $C_4$ ની ડાબી પ્લેટ ટર્મિનલ $B$ સાથે જોડાયેલ છે.
પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $C_1, C_2, C_3$ શ્રેણીમાં છે અને આ સંયોજન $C_4$ સાથે સમાંતર છે.
ત્રણ કેપેસિટરનું શ્રેણીમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C} \implies C_s = \frac{C}{3}$.
હવે,આ $C_s$ ચોથા કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતરમાં છે.
$C_{eq} = C_s + C = \frac{C}{3} + C = \frac{4C}{3}$.

(A) ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરની સ્થિતિ ઉર્જા $U_0 = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ પ્લેટો પરનો ચાર્જ છે અને $C$ એ પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ છે.
જ્યારે $K$ અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબને પ્લેટોની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
ધારો કે કેપેસિટર અલગ કરેલું છે (ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે),તો નવી સ્થિતિ ઉર્જા $U'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(KC)}$
$U' = \frac{1}{K} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$U' = \frac{U_0}{K}$

(D) આ કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય,જેમાં દરેકનું પ્લેટ ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને ડાયઇલેક્ટ્રિકની જાડાઈ $d_1 = \frac{d}{4}$ અને $d_2 = \frac{3d}{4}$ છે.
પ્રથમ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ:
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d/4} = \frac{4 K_1 \varepsilon_0 A}{d}$
બીજા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ:
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{3d/4} = \frac{4 K_2 \varepsilon_0 A}{3d}$
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 K_1 \varepsilon_0 A} + \frac{3d}{4 K_2 \varepsilon_0 A}$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 \varepsilon_0 A} \left[\frac{1}{K_1} + \frac{3}{K_2}\right]$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 \varepsilon_0 A} \left[\frac{K_2 + 3 K_1}{K_1 K_2}\right]$
તેથી,$C = \frac{4 \varepsilon_0 A}{d} \left[\frac{K_1 K_2}{3 K_1 + K_2}\right]$.

(A) જ્યારે બેટરી સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર સાથે જોડાયેલી રહે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સૂત્ર $E = V/d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,$V$ અચળ છે. જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસીટન્સ વધે છે,પરંતુ પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો જ રહે છે.
જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબને બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે સિસ્ટમ તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછી આવે છે કારણ કે બેટરી દરેક સમયે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ જાળવી રાખે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સ્લેબ દાખલ કર્યા પહેલા હતું તેટલું જ રહે છે.

(C) હવાથી ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે જગ્યામાં $K = 8$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ભરવામાં આવે અને અંતર બદલીને $d'$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી કેપેસીટન્સ $C_2 = \frac{K A \varepsilon_0}{d'} = \frac{8 A \varepsilon_0}{d'}$ થાય છે.
આપેલ છે કે કેપેસીટન્સ $16$ ગણી વધે છે,તેથી $C_2 = 16 C_1$.
સમીકરણો મૂકતા,$\frac{8 A \varepsilon_0}{d'} = 16 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{8}{d'} = \frac{16}{d}$.
$d'$ માટે ઉકેલતા,$d' = \frac{8d}{16} = \frac{d}{2}$ મળે છે.

(C) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 10 \mu F$ છે.
જ્યારે ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે અને તેમાં $K_1$ અને $K_2$ ડાયઇલેક્ટ્રિક ભરવામાં આવે છે,ત્યારે આ બે ભાગો સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે.
દરેક ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{A}{2}$ છે અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ સમાન રહે છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A'}{d} = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{K_1}{2} C$ થાય.
બીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A'}{d} = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{K_2}{2} C$ થાય.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 = \frac{C}{2} (K_1 + K_2)$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $C_{\text{eq}} = \frac{10 \mu F}{2} (2 + 4) = 5 \mu F \times 6 = 30 \mu F$.

(D) તંત્રની પ્રારંભિક ઊર્જા,$U_i = \frac{1}{2} CV_1^2 + \frac{1}{2} CV_2^2 = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2)$.
જ્યારે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{CV_1 + CV_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ થાય છે.
તંત્રની અંતિમ ઊર્જા,$U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
ઊર્જામાં ઘટાડો,$\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2) - \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C(V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2) = \frac{1}{4} C(V_1 - V_2)^2$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma = \frac{q}{A}$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં $E$ ની કિંમત મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \right)^2 = \frac{\sigma^2}{2 \varepsilon_0}$.
હવે,$\sigma = \frac{q}{A}$ મૂકતા:
$u = \frac{(q/A)^2}{2 \varepsilon_0} = \frac{q^2}{2 \varepsilon_0 A^2}$.

(D) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_0 V_0$ છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવતી હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
અંતિમ અંતર $d' = 3d$ છે.
અંતિમ કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} = \frac{C_0}{3}$ થાય.
પ્રારંભિક સ્થિતિઉર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C_0} = \frac{1}{2} C_0 V_0^2$ છે.
અંતિમ સ્થિતિઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C_0/3)} = \frac{3Q^2}{2C_0} = \frac{3}{2} C_0 V_0^2$ થાય.
કરેલું કાર્ય $W = U_f - U_i = \frac{3}{2} C_0 V_0^2 - \frac{1}{2} C_0 V_0^2 = C_0 V_0^2$ મળે.
$C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ મૂકતા,$W = \frac{\varepsilon_0 A V_0^2}{d}$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ગોળાકાર વાહકનું કેપેસીટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ છે. $C \propto r$ હોવાથી,કેપેસીટન્સનો ગુણોત્તર ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર જેટલો થાય: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$.
બંને ગોળાઓ સમાન પોટેન્શિયલ $V$ પર હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V$ અને $Q_2 = C_2 V$ થશે.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = CV$ મૂકતા,આપણને $\sigma = \frac{CV}{4 \pi r^2}$ મળે છે.
$C = 4 \pi \epsilon_0 r$ હોવાથી,$\sigma = \frac{(4 \pi \epsilon_0 r) V}{4 \pi r^2} = \frac{\epsilon_0 V}{r}$ મળે.
આમ,$\sigma \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{2 \ cm}{3 \ cm} = \frac{2}{3}$.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
અહીં $C$ અચળ હોવાથી,$U \propto Q^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક વીજભાર $Q_1$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્જા $U_1$ છે.
જ્યારે વીજભાર $3 \ C$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વીજભાર $Q_2 = Q_1 + 3$ થાય છે.
નવી ઉર્જા $U_2 = U_1 + 44\% \text{ of } U_1 = 1.44 \ U_1$ થાય છે.
પ્રમાણસરતા $U \propto Q^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{Q_2}{Q_1} \right)^2$
$1.44 = \left( \frac{Q_1 + 3}{Q_1} \right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$1.2 = \frac{Q_1 + 3}{Q_1}$
$1.2 \ Q_1 = Q_1 + 3$
$0.2 \ Q_1 = 3$
$Q_1 = \frac{3}{0.2} = 15 \ C$.

(B) આપેલ છે: $C_1: C_2 = 1: 2$. તેથી,$C_2 = 2C_1$.
સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ: $C_P = C_1 + C_2 = C_1 + 2C_1 = 3C_1$.
શ્રેણી જોડાણમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ: $C_S = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C_1(2C_1)}{3C_1} = \frac{2}{3}C_1$.
ધારો કે $V_P$ અને $V_S$ એ અનુક્રમે સમાંતર અને શ્રેણી જોડાણ પર લાગુ પાડવામાં આવેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2}CV^2$ બંને કિસ્સામાં સમાન હોવાથી:
$\frac{1}{2} C_P V_P^2 = \frac{1}{2} C_S V_S^2$
$\frac{V_P^2}{V_S^2} = \frac{C_S}{C_P} = \frac{\frac{2}{3}C_1}{3C_1} = \frac{2}{9}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{V_P}{V_S} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

(C) સમાંતર જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે $V = 5 \text{ V}$,$C_1 = 2C$,અને $C_2 = C$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q_1 = C_1 V = (2C)(5) = 10C \text{ C}$.
$Q_2 = C_2 V = (C)(5) = 5C \text{ C}$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E_1 = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} (2C) (5)^2 = 25C \text{ J}$.
$E_2 = \frac{1}{2} C_2 V^2 = \frac{1}{2} (C) (5)^2 = 12.5C \text{ J}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{E_1-E_2}{Q_1-Q_2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{E_1-E_2}{Q_1-Q_2} = \frac{25C - 12.5C}{10C - 5C} = \frac{12.5C}{5C} = \frac{12.5}{5} = 2.5 = \frac{5}{2}$.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા ત્રણ કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{s}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$
તેથી,$C_{s} = \frac{C}{3}$.
આ જોડાણને બીજા એક $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા સમાન કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ થશે:
$C_{eq} = C_{s} + C = \frac{C}{3} + C = \frac{4C}{3}$.

(B) $1$. કેપેસિટર્સ $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_S$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \implies C_S = 4 \mu F$.
$2$. કેપેસિટર્સ $C_5$ અને $C_6$ સમાંતરમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_P$ નીચે મુજબ છે:
$C_P = C_5 + C_6 = 4 \mu F + 4 \mu F = 8 \mu F$.
$3$. હવે,$C_2$ અને $C_P$ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{2P}$ નીચે મુજબ છે:
$C_{2P} = \frac{C_2 \cdot C_P}{C_2 + C_P} = \frac{8 \cdot 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4 \mu F$.
$4$. આ $C_{2P}$ એ $C_S$ સાથે સમાંતરમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{total}'$ નીચે મુજબ છે:
$C_{total}' = C_{2P} + C_S = 4 \mu F + 4 \mu F = 8 \mu F$.
$5$. અંતે,$C_1$ અને $C_{total}'$ શ્રેણીમાં છે. પરિણામી કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ નીચે મુજબ છે:
$C_{AB} = \frac{C_1 \cdot C_{total}'}{C_1 + C_{total}'} = \frac{8 \cdot 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4 \mu F$.

(A) પરિપથ બે મુખ્ય ભાગોનો બનેલો છે જે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
$1$. પ્રથમ ભાગ (ડાબી બાજુ) ઇનપુટ નોડ અને મધ્યવર્તી નોડ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસિટર્સનો બનેલો છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1 = C + C + C = 3C$ છે.
$2$. બીજો ભાગ (જમણી બાજુ) મધ્યવર્તી નોડ અને બિંદુ $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસિટર્સનો બનેલો છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2 = C + C + C = 3C$ છે.
$3$. હવે,આ બે સમતુલ્ય કેપેસિટર્સ $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે.
$4$. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{3C} = \frac{2}{3C}$.
$5$. તેથી,$C_{AB} = \frac{3C}{2} = 1.5C$.

(A) ધારો કે $m$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાયેલા છે અને $n$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,જેથી કુલ કેપેસિટરની સંખ્યા $m + n = 7$ થાય.
$m$ કેપેસિટર સમાંતરમાં હોય ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = mC$ થાય.
$n$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોય ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = C/n$ થાય.
જ્યારે આ બે જૂથો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{net}}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{\text{net}}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_s} = \frac{1}{mC} + \frac{n}{C} = \frac{1 + mn}{mC}$.
આપેલ છે કે $C_{\text{net}} = \frac{10}{11} \mu F$ અને $C = 2 \mu F$:
$\frac{11}{10} = \frac{1 + mn}{2m} \implies \frac{11}{5} = \frac{1 + mn}{m} = \frac{1}{m} + n$.
વિકલ્પો ચકાસતા જ્યાં $m + n = 7$:
જો $m = 5$ અને $n = 2$ હોય,તો $\frac{1}{5} + 2 = 0.2 + 2 = 2.2 = \frac{11}{5}$.
આ મૂલ્ય જરૂરી મૂલ્ય સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,$5$ કેપેસિટર સમાંતરમાં અને $2$ શ્રેણીમાં હોવા જોઈએ.

(B) બંને કેપેસિટર બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સનો સરવાળો છે:
$C_{eq} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$
કેપેસિટરને ચાર્જ કરવા માટે બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સમતુલ્ય કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા જેટલું હોય છે:
$W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$C_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \left( \frac{3C}{2} \right) V^2$
$W = \frac{3}{4} CV^2$

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{1}{2}mv^2 = eV$
$V$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$V = \frac{mv^2}{2e}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$v = 1.6 \times 10^7 \ m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$V = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^7)^2}{2 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$V = \frac{9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{14}}{3.2 \times 10^{-19}}$
$V = \frac{23.04 \times 10^{-17}}{3.2 \times 10^{-19}}$
$V = 7.2 \times 10^2 \ V$

(B) બેટરીના સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય e.m.f. નું સૂત્ર $\varepsilon_{eq} = r_{eq} \left( \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} \right)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = \frac{3}{2} \Omega^{-1}$.
તેથી,$r_{eq} = \frac{2}{3} \Omega$.
હવે,સમતુલ્ય e.m.f. ના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon_{eq} = \frac{2}{3} \left( \frac{12}{2} + \frac{6}{1} \right) = \frac{2}{3} (6 + 6) = \frac{2}{3} \times 12 = 8 \text{ V}$.
વોલ્ટમીટર સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે,જે પરિપથના સમતુલ્ય e.m.f. જેટલો હોય છે.
આમ,વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $8 \text{ V}$ છે.

(C) $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર તાર વચ્ચેનું બળ $F = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{r} \cdot l$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રારંભિક બળ $F = 1 \times 10^{-3} \ N$ છે.
જ્યારે બંને તારમાં પ્રવાહ બમણો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવા પ્રવાહો $I_1' = 2I_1$ અને $I_2' = 2I_2$ થાય છે.
નવું બળ $F'$ આ મુજબ મળે: $F' = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2(2I_1)(2I_2)}{r} \cdot l = 4 \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{r} \cdot l \right)$.
પ્રારંભિક બળની કિંમત મૂકતા: $F' = 4 \times (1 \times 10^{-3} \ N) = 4 \times 10^{-3} \ N$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = qE$ છે અને ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$ છે.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને $ma = qE$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ થાય.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 - u^2 = 2aS$,જ્યાં $u = 0$ (સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત) અને $S = L$ છે:
$v^2 - 0^2 = 2 \left( \frac{qE}{m} \right) L$
$v^2 = \frac{2qEL}{m}$
$v = \sqrt{\frac{2qEL}{m}}$

(A) સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_B)$ શોધવા માટે, આપણે પરિપથમાં બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$A$ થી શરૂ કરીને, આપણે અવરોધ $(12 \, \Omega)$, ઇન્ડક્ટર $(6 \, H)$, અને બેટરી $(12 \, V)$ માંથી પસાર થઈને $B$ સુધી પહોંચીએ છીએ.
પ્રવાહ $I = 2 \, A$ એ $A$ થી $B$ તરફ વહે છે.
અવરોધ પરનો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_R = I \cdot R = 2 \, A \times 12 \, \Omega = 24 \, V$ છે.
ઇન્ડક્ટર પરનો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_L = L \frac{dI}{dt} = 6 \, H \times (-1 \, A/s) = -6 \, V$ છે.
બેટરી પરનો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો $12 \, V$ છે (ધનથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ જતાં).
$KVL$ લાગુ પાડતા: $V_A - I \cdot R - L \frac{dI}{dt} - 12 = V_B$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $V_A - V_B = I \cdot R + L \frac{dI}{dt} + 12$.
કિંમતો મૂકતા: $V_A - V_B = (2)(12) + 6(-1) + 12$.
$V_A - V_B = 24 - 6 + 12 = 30 \, V$.

(C) જ્યારે બે વાહકોને પાતળા વાહક તાર દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે.
$V_1 = V_2$ હોવાથી,$\frac{k q_1}{R} = \frac{k q_2}{r}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{q_1}{q_2} = \frac{R}{r}$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ને $\sigma = \frac{q}{4 \pi R^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,તેમની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q_1 / (4 \pi R^2)}{q_2 / (4 \pi r^2)} = \left( \frac{q_1}{q_2} \right) \left( \frac{r^2}{R^2} \right)$.
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{R}{r}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \left( \frac{R}{r} \right) \left( \frac{r^2}{R^2} \right) = \frac{r}{R}$.
આમ,ગુણોત્તર $r: R$ છે.

(B) કિર્ચોફના પ્રથમ નિયમ (જંકશનનો નિયમ) મુજબ, જંકશન પર મળતા વિદ્યુતપ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય થાય છે. ધારો કે વાહક $PQ$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ બિંદુ $P$ થી દૂર જતી દિશામાં છે.
અંદર આવતા વિદ્યુતપ્રવાહોનો સરવાળો = બહાર જતા વિદ્યુતપ્રવાહોનો સરવાળો
$5 \,A + 4 \,A = 5 \,A + 3 \,A + I$
$9 \,A = 8 \,A + I$
$I = 9 \,A - 8 \,A = 1 \,A$
પરિણામ ધન હોવાથી, ધારેલી દિશા (બિંદુ $P$ થી દૂર) સાચી છે. તેથી, $1 \,A$ વિદ્યુતપ્રવાહ $P$ થી $Q$ તરફ વહે છે.

(B) ધારો કે પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I$ છે.
આપેલ છે કે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $(I_g)$ એ $I$ ના $4 \%$ છે,તેથી $I_g = 0.04 I$.
શંટ અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $(I_s)$ એ $I - I_g = I - 0.04 I = 0.96 I$ થશે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $I_g G = I_s S$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.04 I) G = (0.96 I) S$.
$S$ માટે ઉકેલતા: $S = \frac{0.04 I G}{0.96 I} = \frac{4}{96} G = \frac{G}{24}$.
તેથી,શંટ અવરોધ $\frac{G}{24}$ છે.

(A) ધારો કે કુલ પ્રવાહ $I$ છે અને ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G$ છે અને શંટ અવરોધ $S = 0.1 G$ છે.
કરંટ ડિવાઇડરના નિયમ મુજબ,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_g = I \left( \frac{S}{S + G} \right)$
$S$ ની કિંમત મૂકતા:
$I_g = I \left( \frac{0.1 G}{0.1 G + G} \right)$
$I_g = I \left( \frac{0.1 G}{1.1 G} \right)$
$I_g = I \left( \frac{1}{11} \right)$
તેથી,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહનો ભાગ $\frac{1}{11} I$ છે.

(B) આપેલ છે: ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 20 \Omega$.
ફુલ સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ $I_g$: કારણ કે $5$ કાપા $1 \text{ mA}$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $50$ કાપા $I_g = (1 \text{ mA} / 5) \times 50 = 10 \text{ mA} = 0.01 \text{ A}$ ને અનુરૂપ થશે.
જરૂરી વોલ્ટેજ રેન્જ $V = 25 \text{ V}$.
ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,તેની સાથે શ્રેણીમાં મોટો અવરોધ $R$ જોડવો પડે.
સૂત્ર: $V = I_g(R + G)$.
$R$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $R = (V / I_g) - G$.
કિંમતો મૂકતા: $R = (25 / 0.01) - 20 = 2500 - 20 = 2480 \Omega$.
આમ,આપણે $2480 \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડવો જોઈએ.

(D) ધારો કે કુલ પ્રવાહ $I$ છે અને ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$I_g = 1\% \text{ of } I = \frac{I}{100}$.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_s = I - I_g = I - \frac{I}{100} = \frac{99I}{100}$ થશે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_g \times G = I_s \times S$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I}{100} \times G = \frac{99I}{100} \times S$.
$S$ માટે ઉકેલતા:
$S = \frac{G}{99}$.

(A) ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G$ અને પૂર્ણ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન વોલ્ટેજ $V_g$ છે. પૂર્ણ-સ્કેલ પ્રવાહ $I_g$ એ $I_g = \frac{V_g}{G}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગેલ્વેનોમીટરને $V$ રેન્જના વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં અવરોધ $R$ જોડવો આવશ્યક છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R + G$ થાય છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,નવી રેન્જ $V$ માટે,પ્રવાહ $I_g$ સમાન રહે છે:
$V = I_g(R + G)$
સમીકરણમાં $I_g = \frac{V_g}{G}$ મૂકતા:
$V = \left(\frac{V_g}{G}\right)(R + G)$
$\frac{V}{V_g} = \frac{R+G}{G}$
$\frac{V}{V_g} = \frac{R}{G} + 1$
$\frac{R}{G} = \frac{V}{V_g} - 1$
$R = G\left(\frac{V}{V_g} - 1\right)$

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના e.m.f. ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto l$ અથવા $E = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષો સમાન ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 + E_2 = k l_1$ થાય છે.
અહીં $l_1 = 64 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $E_1 + E_2 = 64k$ --- (સમીકરણ $1$).
જ્યારે $E_2$ ની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 - E_2 = k l_2$ થાય છે.
અહીં $l_2 = 32 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $E_1 - E_2 = 32k$ --- (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{64k}{32k} = \frac{2}{1}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$.
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = 3: 1$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $K$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{E_{driving} \times R}{(R + r) L}$
અહીં $E_{driving} = 5 \, V$, $r = 4 \, \Omega$, $L = 5 \, m$, અને $R = 16 \, \Omega$ છે:
$K = \frac{5 \times 16}{(16 + 4) \times 5} = \frac{80}{100} = 0.8 \, V/m$
કિસ્સો $1$: કોષો એકબીજાને મદદ કરે છે $(E_{net} = E_1 + E_2)$
$E_1 + E_2 = K l_1$
$1.3 + 1.1 = 0.8 \times l_1$
$2.4 = 0.8 \times l_1 \implies l_1 = 3 \, m$
કિસ્સો $2$: કોષો એકબીજાનો વિરોધ કરે છે $(E_{net} = E_1 - E_2)$
$E_1 - E_2 = K l_2$
$1.3 - 1.1 = 0.8 \times l_2$
$0.2 = 0.8 \times l_2 \implies l_2 = 0.25 \, m$
આમ, સંતુલન લંબાઈ $3 \, m$ અને $0.25 \, m$ છે.

(C) આપેલ છે કે,જે લંબાઈ પર કોષ સંતુલિત થાય છે તે $l = 300 \ cm = 3 \ m$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $2 \ \Omega/m$ છે.
તારના ભાગનો કુલ અવરોધ $R = 3 \ m \times 2 \ \Omega/m = 6 \ \Omega$ થાય.
પોટેન્શિયોમીટર સંતુલિત હોવાથી,તારના ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત કોષના e.m.f. જેટલો એટલે કે $1.5 \ V$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ $V = IR$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = V / R = 1.5 \ V / 6 \ \Omega = 0.25 \ A$.
મિલીએમ્પિયરમાં ફેરવતા,$I = 0.25 \times 1000 \ mA = 250 \ mA$.

(B) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{series} + r = 5 \, \Omega + 992 \, \Omega + 3 \, \Omega = 1000 \, \Omega$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{4 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.004 \, A$ છે.
$4 \, m$ ના આખા તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.004 \, A \times 5 \, \Omega = 0.02 \, V$ છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ (એકમ લંબાઈ દીઠ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ) $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.02 \, V}{4 \, m} = 0.005 \, V/m$ છે.
$0.75 \, m$ ની લંબાઈ દ્વારા સંતુલિત થતું e.m.f. $E' = k \times l = 0.005 \, V/m \times 0.75 \, m = 0.00375 \, V$ છે.
મિલિવોલ્ટમાં ફેરવતા, $E' = 0.00375 \times 1000 \, mV = 3.75 \, mV$ મળે છે.

(D) ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ એ બે કોષોના e.m.f. છે.
જ્યારે કોષો શ્રેણીમાં હોય,ત્યારે કુલ e.m.f. $E_1 + E_2$ થાય અને સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 8 \ m$ મળે છે. તેથી,$E_1 + E_2 = k l_1 = 8k$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષો વિરોધમાં હોય,ત્યારે કુલ e.m.f. $E_1 - E_2$ થાય અને સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 4 \ m$ મળે છે. તેથી,$E_1 - E_2 = k l_2 = 4k$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{8k}{4k} = 2$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા: $\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = 3:1$.

(C) ધારો કે $R_{G}$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $I_{g}$ એ પૂર્ણ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે.
ગેલ્વેનોમીટરની મૂળ વોલ્ટેજ રેન્જ $V_{g} = I_{g}R_{G}$ છે.
જ્યારે તેને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે $R_{s} = nR_{G}$ જેટલો શ્રેણી અવરોધ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી વોલ્ટેજ રેન્જ $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = I_{g}(R_{s} + R_{G})$
સમીકરણમાં $R_{s} = nR_{G}$ મૂકતા:
$V = I_{g}(nR_{G} + R_{G})$
$V = I_{g}R_{G}(n + 1)$
કારણ કે $V_{g} = I_{g}R_{G}$,તેથી:
$V = V_{g}(n + 1)$
આમ,વોલ્ટમીટર હવે $MCG$ ની મૂળ વોલ્ટેજ રેન્જ કરતાં $(n + 1)$ ગણો વોલ્ટેજ માપવા માટે સક્ષમ છે.

(D) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ધારો કે વાહક '$OP$' માં પ્રવાહ $x$ છે અને તે બિંદુ '$O$' થી દૂર (એટલે કે $O$ થી $P$ તરફ) વહે છે.
જંકશન '$O$' માં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો = $10 \ A + 2.5 \ A + 5 \ A = 17.5 \ A$.
જંકશન '$O$' માંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહનો સરવાળો = $6 \ A + x$.
$KCL$ લાગુ પાડતા: $17.5 \ A = 6 \ A + x$.
$x = 17.5 \ A - 6 \ A = 11.5 \ A$.
પરિણામ ધન હોવાથી,આપણી ધારણા કે પ્રવાહ $O$ થી $P$ તરફ વહે છે તે સાચી છે.
તેથી,પ્રવાહનું મૂલ્ય $11.5 \ A$ છે અને તેની દિશા $O$ થી $P$ તરફ છે.

(D) કોષનું e.m.f. $E = 3 \ V$ છે.
વોલ્ટમીટર પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = 2.5 \ V$ છે.
વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R = 150 \ \Omega$ છે.
કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$r = \left[ \frac{E}{V} - 1 \right] R$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r = \left[ \frac{3}{2.5} - 1 \right] 150$
$r = [1.2 - 1] \times 150$
$r = 0.2 \times 150$
$r = 30 \ \Omega$
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $30 \ \Omega$ છે.

(C) $20 \, \Omega$ અવરોધ ધરાવતો તાર $(R_w)$ અને $10 \, \Omega$ નો બાહ્ય અવરોધ $(R)$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે。
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{net} = R_w + R = 20 \, \Omega + 10 \, \Omega = 30 \, \Omega$ છે。
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{net}} = \frac{3 \, V}{30 \, \Omega} = 0.1 \, A$ છે。
તારના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_w = I \times R_w = 0.1 \, A \times 20 \, \Omega = 2 \, V$ છે。
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ એટલે તારની એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો: $\text{પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ} = \frac{V_w}{L} = \frac{2 \, V}{10 \, m} = 0.2 \, V/m$.