MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્પ્રિંગ માટે જેનો બળ અચળાંક $k$ છે,તેનો આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{m/k}$ છે.
જ્યારે $l$ લંબાઈ અને $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો બળ અચળાંક $k' = 2k$ થાય છે,કારણ કે $k \propto 1/l$.
નવા તંત્ર માટે સમાન દળ $m$ અને નવા બળ અચળાંક $k' = 2k$ સાથે,આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{m/(2k)}$ થાય છે.
ગુણોત્તર લેતા: $T_1 / T_2 = \frac{2\pi \sqrt{m/k}}{2\pi \sqrt{m/(2k)}} = \sqrt{\frac{m/k}{m/(2k)}} = \sqrt{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $T_1 / T_2 = \sqrt{2}$ થાય છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર લિફ્ટમાં,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g$ છે,તેથી $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે લોલક દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $g_{eff} = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T^{\prime}$ એ $T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{4g/3}}$ દ્વારા મળે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,$T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{3l}{4g}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right)$.
કારણ કે $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,તેથી $T^{\prime} = \frac{\sqrt{3}}{2} T$ થાય છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
શરૂઆતના દળ $m$ માટે,આવર્તકાળ $T = 3 \text{ s}$ છે,તેથી $3 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
વધારેલા દળ $m+1$ માટે,આવર્તકાળ $T' = 5 \text{ s}$ છે,તેથી $5 = 2 \pi \sqrt{\frac{m+1}{k}}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T}{T'} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{m+1}{k}}} = \sqrt{\frac{m}{m+1}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{5} = \sqrt{\frac{m}{m+1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{9}{25} = \frac{m}{m+1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9(m+1) = 25m \implies 9m + 9 = 25m$.
$16m = 9 \implies m = \frac{9}{16} \text{ kg}$.

(A) જ્યારે બ્લોકને ઉર્ધ્વ દિશામાં $x$ જેટલું નાનું સ્થાનાંતર આપવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F = - (A x \rho) g$ છે.
આ બળ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $F = -kx$,જ્યાં $k = A \rho g$ એ અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$ છે.
આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{\omega}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$.

(B) આપેલ દળ $m = 0.04 \text{ kg}$ છે.
બળ-સ્થાનાંતરના આલેખ પરથી,બળ $F$ એ સ્થાનાંતર $x$ સાથે $F = -kx$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આલેખનો ઢાળ બળ અચળાંક $k$ આપે છે.
$k = |\frac{F}{x}| = |\frac{-8}{2}| = 4 \text{ N/m}$.
સરળ આવર્ત ગતિ માટે આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.04}{4}}$
$T = 2 \pi \sqrt{0.01}$
$T = 2 \pi \times 0.1$
$T = 0.2 \pi \text{ s}$.

(A) પુનઃસ્થાપક બળ $F$ હેઠળ દોલન કરતા પદાર્થ માટે,$F = kx$,જ્યાં $k = m\omega^2$.
આમ,$\omega^2 = \frac{F}{mx}$.
પ્રથમ બળ $F_1$ માટે,$\omega_1^2 = \frac{F_1}{mx}$.
બીજા બળ $F_2$ માટે,$\omega_2^2 = \frac{F_2}{mx}$.
જ્યારે બંને બળો એકસાથે કાર્ય કરે છે,ત્યારે પરિણામી બળ $F_{res} = F_1 + F_2$ થાય છે.
પરિણામી કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ માટે,$\omega^2 = \frac{F_1 + F_2}{mx} = \frac{F_1}{mx} + \frac{F_2}{mx} = \omega_1^2 + \omega_2^2$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \left(\frac{2\pi}{T_1}\right)^2 + \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)^2$.
$4\pi^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ મળે છે.
$\frac{1}{T^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$.
તેથી,$T = \sqrt{\frac{T_1^2 T_2^2}{T_1^2 + T_2^2}}$.

(A) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણનો કોણીય વેગ $\omega$ તેના આવર્તકાળ $T$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
અહીં બંને કણો માટે આવર્તકાળ $T$ સમાન છે $(T_1 = T_2 = T)$,તેથી તેમના કોણીય વેગ:
$\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$ અને $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2}$ થશે.
આમ,$\omega_1 = \omega_2$.
તેથી,પ્રથમ કણ અને બીજા કણના કોણીય વેગનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{1}{1}$ થશે.

(A) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ તેના સ્થાન સદિશ $r$ અને રેખીય વેગમાન $p = Mv$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L = r \times (Mv)$
જ્યારે દળ $M$ એ $X$-અક્ષને સમાંતર અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરતું હોય, ત્યારે તેનું સ્થાન $r = xi + yj$ તરીકે લખી શકાય, જ્યાં $y$ એ $X$-અક્ષથી લંબ અંતર છે જે અચળ રહે છે.
વેગ સદિશ $v = vi$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = (xi + yj) \times (Mvi) = Mv(xi \times i) + Mv(yj \times i)$ થશે.
કારણ કે $i \times i = 0$ અને $j \times i = -k$, તેથી $L = -Mvyk$ મળે છે.
અહીં $M$, $v$, અને $y$ બધા અચળ હોવાથી, કોણીય વેગમાન $L$ નું મૂલ્ય અને દિશા સમય સાથે અચળ રહે છે.

(B) ડિસ્કની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના રોટેશનલ સ્વરૂપ મુજબ,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\tau$ એ ટોર્ક છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
ધાર પર લગાડવામાં આવતું સ્પર્શક બળ $F$ એ ટોર્ક $\tau = F \times R$ આપે છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા: $F \times R = (\frac{1}{2} M R^2) \times (\frac{\omega}{t})$.
$F$ માટે ઉકેલતા: $F = \frac{M R \omega}{2 t}$.

(D) ધારો કે $m$ એ દળ,$v$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ,$R$ એ ત્રિજ્યા અને $I$ એ વસ્તુની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $KE_{\text{trans}} = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
વસ્તુ સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$v = \omega R$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમત ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{R^2}\right) v^2$.
આપેલ છે કે $KE_{\text{trans}} = KE_{\text{rot}}$,તેથી $\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{R^2}\right) v^2$.
આના પરથી $m = \frac{I}{R^2}$ અથવા $I = mR^2$ મળે છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ એ રીંગ (અથવા પાતળા પોલા નળાકાર) માટે તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને હોય છે.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
બંને તકતીઓ માટે દળ $M$ સમાન હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ થાય.
તકતીનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi R^2 t) d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $M$ અને $t$ અચળ હોવાથી,$R^2 \propto \frac{1}{d}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R^2 d = \text{અચળ}$.
તેથી,$R_1^2 d_1 = R_2^2 d_2$,જે આપણને $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{d_2}{d_1}$ આપે છે.
આ કિંમત જડત્વની ચાકમાત્રાના ગુણોત્તરમાં મૂકતા,આપણને $\frac{I_1}{I_2} = \frac{d_2}{d_1}$ મળે છે.

(B) $M$ દળ અને $b$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ લેમિનાની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{lamina}} = \frac{M(b^2 + b^2)}{12} = \frac{Mb^2}{6}$ છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્કની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{disc}} = \frac{MR^2}{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંનેની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન છે:
$\frac{Mb^2}{6} = \frac{MR^2}{2}$.
બંને બાજુથી $M$ દૂર કરતા,આપણને મળે:
$\frac{b^2}{6} = \frac{R^2}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{b^2}{R^2}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{b^2}{R^2} = \frac{6}{2} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{b}{R} = \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{1}$.

(D) એક વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I_{cm} = \frac{MR^2}{2}$ છે.
સાત તકતીઓની સિસ્ટમ માટે,મધ્યસ્થ તકતીના કેન્દ્ર (બિંદુ $O$) માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ મધ્યસ્થ તકતી અને છ આસપાસની તકતીઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
$1$. મધ્યસ્થ તકતી માટે: અક્ષ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{MR^2}{2}$ છે.
$2$. છ આસપાસની તકતીઓ માટે: મધ્યસ્થ તકતીના કેન્દ્ર અને કોઈપણ આસપાસની તકતીના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દરેક આસપાસની તકતીની મધ્યસ્થ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{MR^2}{2} + M(2R)^2 = \frac{MR^2}{2} + 4MR^2 = \frac{9MR^2}{2}$ છે.
આવી છ આસપાસની તકતીઓ હોવાથી,તેમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $6 \times I_2 = 6 \times \frac{9MR^2}{2} = 27MR^2$ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + 6I_2 = \frac{MR^2}{2} + 27MR^2 = \frac{MR^2 + 54MR^2}{2} = \frac{55MR^2}{2}$.

(B) ધારો કે $I_0$ એ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I_0 = \frac{Ma^2}{6}$ છે.
કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ ખૂણા $A$ સુધીનું અંતર $h$ એ ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈનું અડધું છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ છે.
તેથી,અંતર $h = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ થાય.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ખૂણા $A$ માંથી પસાર થતી અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A$ નીચે મુજબ મળે:
$I_A = I_0 + Mh^2$
$I_A = \frac{Ma^2}{6} + M\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I_A = \frac{Ma^2}{6} + \frac{Ma^2}{2}$
$I_A = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2}{3}Ma^2$.

(D) ધારો કે અક્ષ ગોળા $1$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $2R$ છે.
ગોળા $1$ માટે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેના પોતાના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{c1} = \frac{2}{5} M (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{10} MR^2$ છે.
ગોળા $2$ માટે,અક્ષ તેના કેન્દ્રથી $d = 2R$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = I_{c2} + Md^2 = \frac{2}{5} M (\frac{R}{2})^2 + M(2R)^2 = \frac{1}{10} MR^2 + 4MR^2 = \frac{41}{10} MR^2$ મળે.
સળિયો દળરહિત છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $0$ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{c1} + I_2 = \frac{1}{10} MR^2 + \frac{41}{10} MR^2 = \frac{42}{10} MR^2 = \frac{21}{5} MR^2$ થાય.

(A) ધારો કે તકતીનું દળ $M$ અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે.
તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_c$ માટે $I_c = MK_c^2$ લેતા,$MK_c^2 = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $K_c = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{4}MR^2$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_d$ માટે $I_d = MK_d^2$ લેતા,$MK_d^2 = \frac{1}{4}MR^2$,તેથી $K_d = \frac{R}{2}$.
હવે ગુણોત્તર $K_c : K_d = \frac{R/\sqrt{2}}{R/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} : 1$ થાય.

(A) તકતીના બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_r)$ સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$I_r = I_{\text{disc}} - I_{\text{hole}}$
જ્યાં $I_{\text{disc}}$ એ મૂળ તકતીની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,અને $I_{\text{hole}}$ એ દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$1$. મૂળ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} MR^2$
$2$. દૂર કરેલા કાણાના ગુણધર્મો:
કાણાની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{2}$.
પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$ સમાન હોવાથી,કાણાનું દળ $M_h$:
$M_h = \sigma \cdot \pi r^2 = \left(\frac{M}{\pi R^2}\right) \cdot \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{M}{4}$.
$3$. મૂળ તકતીની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને કાણાની જડત્વની ચાકમાત્રા:
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{\text{hole}} = I_{\text{cm}} + M_h d^2$,જ્યાં $I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} M_h r^2$ અને $d = \frac{R}{2}$ એ કાણાના કેન્દ્ર અને મૂળ તકતીના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_{\text{hole}} = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 + \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2$
$I_{\text{hole}} = \frac{MR^2}{32} + \frac{MR^2}{16} = \frac{MR^2 + 2MR^2}{32} = \frac{3MR^2}{32}$.
$4$. બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_r = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3MR^2}{32} = \frac{16MR^2 - 3MR^2}{32} = \frac{13MR^2}{32}$.

(A) કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રથમ તકતીની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
શરૂઆતમાં,$L_i = I_1 \omega = \frac{1}{2} MR^2 \omega$.
જ્યારે $\frac{M}{2}$ દળની બીજી તકતી પ્રથમ તકતી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = I_1 + I_{\text{disc2}} = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{2} (\frac{M}{2}) R^2 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 = \frac{3}{4} MR^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $I_1 \omega = I_2 \omega_2$.
$\frac{1}{2} MR^2 \omega = \frac{3}{4} MR^2 \omega_2$.
$\omega_2$ માટે ઉકેલતા: $\omega_2 = (\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}) \omega = \frac{2}{3} \omega$.

(D) સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = I_{CM} + Mh^2$.
વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર $h = \frac{2R}{3}$ છે.
આ કિંમતોને સમાંતર અક્ષના પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{2R}{3}\right)^2$
$I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{4R^2}{9}\right)$
$I_2 = MR^2 \left(\frac{1}{2} + \frac{4}{9}\right) = MR^2 \left(\frac{9 + 8}{18}\right) = \frac{17}{18}MR^2$.
હવે,$\frac{I_2}{I_1}$ ગુણોત્તર મેળવતા:
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{\frac{17}{18}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{17}{18} \times 2 = \frac{17}{9}$.
આને આપેલા ગુણોત્તર $\frac{x}{9}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 17$ મળે છે.

(A) તારનું કુલ દળ $M = \lambda L$ છે. તારને $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળામાં વાળવામાં આવે છે,તેથી પરિઘ $2 \pi R = L$ થાય,એટલે કે $R = \frac{L}{2 \pi}$.
વર્તુળાકાર રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ગૂંચળાના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{diam} + M R^2$ થાય.
$I = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{3}{2} M R^2$.
$M = \lambda L$ અને $R = \frac{L}{2 \pi}$ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{3}{2} (\lambda L) \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{3}{2} \lambda L \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{3 \lambda L^3}{8 \pi^2}$.

(C) નક્કર ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,દરેક ગોળા માટે પરિભ્રમણની અક્ષ તેના પોતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને ગોળાઓના સમતલને લંબ છે.
બધા ચાર ગોળાઓ સમાન હોવાથી (સમાન દળ '$M$' અને ત્રિજ્યા '$R$') અને દરેક ગોળા માટે પરિભ્રમણની અક્ષ સમાન હોવાથી (તેના પોતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે),દરેક ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા અન્ય ગોળાઓના સ્થાનથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$I_{A} = I_{B} = I_{C} = I_{D} = \frac{2}{5}MR^2$.

(B) એક નક્કર ગોળાની તેના પોતાના કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી અંતર છે.
ગોળા $A$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ માટે:
$I_A = I_A' + I_B' + I_C' + I_D'$
$I_A = \frac{2}{5} MR^2 + (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(6R)^2)$
$I_A = \frac{8}{5} MR^2 + M(4R^2 + 16R^2 + 36R^2) = 1.6 MR^2 + 56 MR^2 = 57.6 MR^2$.
ગોળા $B$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ માટે:
$I_B = I_A' + I_B' + I_C' + I_D'$
$I_B = (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + \frac{2}{5} MR^2 + (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2)$
$I_B = \frac{8}{5} MR^2 + M(4R^2 + 4R^2 + 16R^2) = 1.6 MR^2 + 24 MR^2 = 25.6 MR^2$.
તફાવત $|I_A - I_B| = 57.6 MR^2 - 25.6 MR^2 = 32 MR^2$ થાય.

(C) આપેલ છે: લોલકની લંબાઈ $l = 2 \ m$,કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 60^{\circ}$,દળ $m = 200 \ g = 0.2 \ kg$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
જ્યારે લોલકનો બોબ સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = l \sin \theta$ થાય છે.
બોબ સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરે તે માટે,તેના પર લાગતા બળો તણાવ $T$ અને વજન $mg$ છે.
તણાવનો શિરોલંબ ઘટક વજનને સંતુલિત કરે છે: $T \cos \theta = mg$ ... $(i)$
તણાવનો સમક્ષિતિજ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T \sin \theta = m r \omega^2 = m (l \sin \theta) \omega^2$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{m l \sin \theta \omega^2}{mg}$
$\tan \theta = \frac{l \omega^2 \sin \theta}{g}$
કારણ કે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{l \omega^2}{g}$
$\omega^2 = \frac{g}{l \cos \theta}$
કિંમતો મૂકતા: $\omega^2 = \frac{10}{2 \times \cos 60^{\circ}} = \frac{10}{2 \times 0.5} = \frac{10}{1} = 10$
$\omega = \sqrt{10} = \sqrt{4 \times 2.5} = 2 \sqrt{2.5} \ rad/s$.

(D) '$m$' દળનો કણ '$r$' ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર '$v$' વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$ હોવાથી,$v = \frac{L}{mr}$ મળે.
આ કિંમત કેન્દ્રગામી બળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^2$
$F = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^2}{m^2 r^2}$
$F = \frac{L^2}{mr^3}$.

(C) ભ્રમણ ગતિ માટે $n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કપાતું કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_n$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta_n = \omega_0 + \frac{\alpha}{2}(2n - 1)$.
આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે.
$P^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કોણીય સ્થાનાંતર $\beta$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\beta = 0 + \frac{\alpha}{2}(2P - 1)$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધવા માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $\alpha = \frac{2 \beta}{(2P - 1)}$.

(C) ઘનતા $\rho = \frac{M}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બધા પદાર્થો એક જ દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$\rho$ સમાન છે. આપેલ છે કે દળ $M$ પણ સમાન છે,તેથી બધા પદાર્થોનું કદ $V$ સમાન હોવું જોઈએ.
અચળ કદ માટે,ગોળા,સમઘન અને તકતીમાંથી પાતળી વર્તુળાકાર તકતીનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ સૌથી વધુ હોય છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} \propto A(T^4 - T_0^4)$ છે.
તકતીનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_{\text{plate}}$ સૌથી વધુ હોવાથી,તકતી માટે ઠંડા પડવાનો દર સૌથી વધુ છે.
તેથી,વર્તુળાકાર તકતી સૌથી ઝડપથી ઓરડાના તાપમાને પહોંચશે.

(B) આપાત ઉષ્મા ઉર્જાનો દર $P_i = 1000 \ J \ min^{-1}$ છે.
ઉષ્મા વિકિરણ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પરાવર્તન $(r)$,શોષણ $(a)$ અને પ્રસરણ $(t)$ ના ગુણાંકોનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $r + a + t = 1$.
અહીં $r = 0.1$ અને $a = 0.8$ આપેલ છે,તેથી પ્રસરણ ગુણાંક $(t)$ શોધી શકાય:
$t = 1 - (r + a) = 1 - (0.1 + 0.8) = 1 - 0.9 = 0.1$.
પ્રસારિત ઉષ્મા ઉર્જાનો દર $P_t = t \times P_i = 0.1 \times 1000 \ J \ min^{-1} = 100 \ J \ min^{-1}$ છે.
$5$ મિનિટના સમયગાળા માટે,કુલ પ્રસારિત ઉષ્મા ઉર્જા $(Q_t)$:
$Q_t = P_t \times \text{સમય} = 100 \ J \ min^{-1} \times 5 \ min = 500 \ J$.

(B) સંવહન એ ઉષ્મા પ્રસરણની એક રીત છે જે પ્રવાહી અને વાયુઓમાં માધ્યમના અણુઓના વાસ્તવિક સ્થાનાંતરને કારણે થાય છે.
જ્યારે હીટર દ્વારા રૂમને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે હીટરની નજીકની હવા ગરમ થાય છે,તેની ઘનતા ઘટે છે અને તે ઉપર તરફ જાય છે,જ્યારે ઠંડી અને વધુ ઘનતાવાળી હવા તેની જગ્યા લેવા માટે નીચે આવે છે. હવાની આ સતત ગતિને સંવહન પ્રવાહ કહેવામાં આવે છે,જે આખા રૂમને ગરમ કરે છે.
તાંબાના વાસણ અને લોખંડના સળિયાને ગરમ કરવા એ ઉષ્માવહન (conduction) ના ઉદાહરણો છે,જ્યારે સૂર્યમાંથી પૃથ્વી પર ઉષ્માનું પ્રસરણ વિકિરણ (radiation) દ્વારા થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{\max} T = b$,જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે. તેથી,$T = \frac{b}{\lambda_{\max}}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની કુલ ઉત્સર્જન શક્તિ $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E = \sigma T^4$.
$T$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $E = \sigma \left( \frac{b}{\lambda_{\max}} \right)^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે અને અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{2 \lambda}{3}$ છે.
કારણ કે $E \propto \frac{1}{\lambda_{\max}^4}$,આપણે ઉત્સર્જન શક્તિનો ગુણોત્તર આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{E'}{E} = \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E'}{E} = \left( \frac{\lambda}{\frac{2 \lambda}{3}} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\frac{E'}{E} = \frac{81}{16}$.
તેથી,નવી ઉત્સર્જન શક્તિ $E' = \frac{81}{16} E$ થશે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = T + 0.5T = 1.5T$ છે.
પ્રારંભિક વિકિરણ $E_1 = \sigma T^4$ છે.
અંતિમ વિકિરણ $E_2 = \sigma (1.5T)^4 = \sigma (5.0625) T^4 = 5.0625 E_1$ છે.
વિકિરણમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5.0625 E_1 - E_1}{E_1} \times 100 = 4.0625 \times 100 = 406.25 \%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,વધારો આશરે $400 \%$ થાય છે.

(B) કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \sigma A T^4$,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રથમ કૃષ્ણ પદાર્થ માટે: $P_1 = \sigma (4\pi r_1^2) T_1^4$.
બીજા કૃષ્ણ પદાર્થ માટે: $P_2 = \sigma (4\pi r_2^2) T_2^4$.
પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{\sigma 4\pi r_1^2 T_1^4}{\sigma 4\pi r_2^2 T_2^4} = \frac{r_1^2 T_1^4}{r_2^2 T_2^4}$.
ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉષ્મા $E = e \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો માટે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉષ્મા સમાન છે,તેથી $e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$.
$\sigma$ અચળ હોવાથી,આ સમીકરણ $e_1 T_1^4 = e_2 T_2^4$ માં પરિણમે છે.
ઉત્સર્જકતાનો ગુણોત્તર $e_1 : e_2 = 1 : 3$ આપેલ હોવાથી,$\frac{e_1}{e_2} = \frac{1}{3}$ થાય.
તાપમાનના ગુણોત્તર માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4 = \frac{e_2}{e_1} = \frac{3}{1}$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,આપણને $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{3}{1}\right)^{1/4} = 3^{1/4} : 1$ મળે છે.

(A) કૃષ્ણ પદાર્થ એ એક આદર્શ પદાર્થ છે જે તમામ આપાત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોનું શોષણ અને ઉત્સર્જન કરે છે. પ્લાન્કના કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા તરંગલંબાઈ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
$1$. બધી તરંગલંબાઈઓ માટે તીવ્રતા સમાન હોતી નથી; તે એક ચોક્કસ વિતરણ વક્ર (પ્લાન્કનો વક્ર) ને અનુસરે છે જે તાપમાનના આધારે ચોક્કસ તરંગલંબાઈ પર મહત્તમ હોય છે.
$2$. તેથી,'બધી તરંગલંબાઈઓ માટે,તીવ્રતા સમાન હોય છે' તે વિધાન ખોટું છે.
$3$. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ મહત્તમ તીવ્રતા ટૂંકી તરંગલંબાઈ તરફ ખસે છે,પરંતુ તીવ્રતા સમગ્ર વર્ણપટમાં સતત બદલાતી રહે છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જન દર $E = A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ગોળા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,$E = (4 \pi R^2) \sigma T^4$,જે સૂચવે છે કે $E \propto R^2 T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $E_1 = E$,$R_1 = R$ અને $T_1 = T$ છે.
ધારો કે અંતિમ સ્થિતિ $E_2$,$R_2 = R/3$ અને $T_2 = 3T$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{R/3}{R} \right)^2 \left( \frac{3T}{T} \right)^4$.
$\frac{E_2}{E} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times (3)^4 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$.
તેથી,$E_2 = 9E$.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda T = b$ (અચળ),તેથી $T \propto \frac{1}{\lambda}$.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{\lambda}{3}$ હોવાથી,નવું તાપમાન $T' = 3T$ થશે.
કૃષ્ણ પદાર્થની ઉત્સર્જન શક્તિ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \sigma T^4$.
તેથી,નવી ઉત્સર્જન શક્તિ $E'$ નીચે મુજબ થશે:
$E' = \sigma (T')^4 = \sigma (3T)^4 = 81 \sigma T^4$.
અહીં $E = \sigma T^4$ હોવાથી,આપણને $E' = 81 E$ મળે છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$E = \sigma T^4$
$\Rightarrow E \propto T^4$
આપેલ છે:
$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$E_1 = 5 \ cal / cm^2 \ s$
$T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
$\frac{E_2}{5} = \left(\frac{1200}{400}\right)^4$
$\frac{E_2}{5} = (3)^4$
$\frac{E_2}{5} = 81$
$E_2 = 81 \times 5 = 405 \ cal / cm^2 \ s$

(A) કોઈપણ પદાર્થ માટે,શોષણ $(a)$,પરાવર્તન $(r)$ અને પ્રસરણ $(t)$ ના સહગુણકોનો સરવાળો હંમેશા $1$ હોય છે,એટલે કે $a + r + t = 1$.
અપારદર્શક પદાર્થ એટલે એવો પદાર્થ જેમાંથી કોઈ પણ વિકિરણ પસાર થઈ શકતું નથી.
તેથી,અપારદર્શક પદાર્થ માટે પ્રસરણ સહગુણક $t = 0$ થાય છે.
સમીકરણ $a + r + t = 1$ માં $t = 0$ મૂકતા,આપણને $a + r = 1$ મળે છે.
આમ,અપારદર્શક પદાર્થ માટે $t = 0$ અને $a + r = 1$ થાય છે.

(C) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે ઘન પદાર્થના કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V \gamma \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ પ્રારંભિક કદ છે,$\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
બંને સળિયા પિત્તળના બનેલા હોવાથી,બંને માટે $\gamma$ સમાન છે. આપેલ છે કે $\Delta T$ પણ સમાન છે,તેથી કદમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર એ પ્રારંભિક કદના ગુણોત્તર જેટલો થાય.
સળિયા $A$ નું પ્રારંભિક કદ: $V_A = \pi (2r)^2 l = 4 \pi r^2 l$.
સળિયા $B$ નું પ્રારંભિક કદ: $V_B = \pi (r)^2 (2l) = 2 \pi r^2 l$.
કદમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta V_A}{\Delta V_B} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{4 \pi r^2 l}{2 \pi r^2 l} = \frac{2}{1}$ થાય.

(B) સમઘનનું પ્રારંભિક કદ $V = L^3 = (1 \ m)^3 = 1 \ m^3$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$ છે.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 18 \times 10^{-6} /^{\circ} C$,તેથી $\gamma = 3 \times 18 \times 10^{-6} = 54 \times 10^{-6} /^{\circ} C$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V \gamma \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = 1 \times (54 \times 10^{-6}) \times 100 = 54 \times 10^{-4} \ m^3$.

(C) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,$\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય.
$R$ ત્રિજ્યાના પ્રથમ પરપોટા માટે: $W_1 = 8 \pi R^2 T_1$.
$2R$ ત્રિજ્યાના બીજા પરપોટા માટે: $W_2 = 8 \pi (2R)^2 T_2 = 32 \pi R^2 T_2$.
જો તાપમાન અચળ રહે $(T_1 = T_2)$,તો કાર્ય $W_2$ એ બરાબર $4 W_1$ થાત.
પરંતુ,દ્રાવણને ગરમ કરવાથી પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે $(T_2 < T_1)$.
તેથી,$W_2 = 4 W_1 \times (T_2 / T_1)$. કારણ કે $T_2 < T_1$,તેથી $W_2 < 4 W_1$ થાય.

$(A)$ રેખીય પ્રસરણાંકનું સૂત્ર $\alpha = \frac{\Delta L}{L_1 \Delta T}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = 2 \,m$.
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 1.6 \,mm = 1.6 \times 10^{-3} \,m$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 60^{\circ} C - 0^{\circ} C = 60^{\circ} C$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\alpha = \frac{1.6 \times 10^{-3}}{2 \times 60}$
$\alpha = \frac{1.6 \times 10^{-3}}{120}$
$\alpha = \frac{1.6}{120} \times 10^{-3} = 0.01333 \times 10^{-3} = 1.33 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે:
ઉષ્માના વહનનો દર (conduction rate) $P_{\text{cond}} = 1600 \text{ cal/s}$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 40^{\circ} C$.
ઉષ્મીય અવરોધ $R_T$ નું સૂત્ર તાપમાનના તફાવત અને ઉષ્માના વહન દરના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R_T = \frac{\Delta T}{P_{\text{cond}}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$R_T = \frac{40}{1600}$
$R_T = \frac{1}{40} = 0.025^{\circ} C s/cal$.
આમ,ઉષ્મીય અવરોધ $0.025^{\circ} C s/cal$ છે.

(B) આપેલ છે: લંબાઈનો તફાવત $\Delta l = l_{A} - l_{B} = 60 \text{ cm}$ જે તમામ તાપમાને અચળ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ તાપમાનના ફેરફાર $\Delta T$ માટે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
$\Delta l_{A} = \Delta l_{B}$
$l_{A} \alpha_{A} \Delta T = l_{B} \alpha_{B} \Delta T$
$l_{A} \alpha_{A} = l_{B} \alpha_{B}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$l_{A} (18 \times 10^{-6}) = l_{B} (27 \times 10^{-6})$
$l_{A} (18) = l_{B} (27)$
$l_{A} = \frac{27}{18} l_{B} = 1.5 l_{B}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $l_{A} - l_{B} = 60 \text{ cm}$.
$l_{A} = 1.5 l_{B}$ મૂકતા:
$1.5 l_{B} - l_{B} = 60 \text{ cm}$
$0.5 l_{B} = 60 \text{ cm}$
$l_{B} = 120 \text{ cm}$
તેથી,$l_{A} = 1.5 \times 120 = 180 \text{ cm}$.

(C) કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = \frac{0.225}{100} = 0.00225$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 30^{\circ} C$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
કદ પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta V = V \gamma \Delta T$ છે,જેને $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ તરીકે લખી શકાય.
$\gamma = 3\alpha$ મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = 3\alpha \Delta T$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.00225 = 3 \times \alpha \times 30$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા: $\alpha = \frac{0.00225}{90} = 2.5 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.

(B) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુ દ્વારા લગાડવામાં આવતું દબાણ $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ વર્ગમૂળ સરેરાશ ઝડપ છે.
કારણ કે $\rho = \frac{M}{V}$,આપણે લખી શકીએ $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$.
વળી,સરેરાશ વર્ગ ઝડપને $\langle v^2 \rangle = \frac{1}{N} \sum v_i^2 = v_{rms}^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,દબાણ $P$ એ વાયુના અણુઓની ઝડપના વર્ગની સરેરાશ એટલે કે $\langle v^2 \rangle$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) સ્લેબનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ $R = \frac{L}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ જાડાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $R_1 = \frac{x}{KA}$.
બીજા પદાર્થ માટે: $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$.
સ્લેબ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{T_2 - T_1}{R_{eq}} = \frac{T_2 - T_1}{\frac{3x}{KA}} = \frac{KA(T_2 - T_1)}{3x}$.
આપેલ સમીકરણ $\left[\frac{A(T_2 - T_1)K}{x}\right] \cdot f$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$f = \frac{1}{3}$.

(B) તાપમાનનો ઢાળ એ અંતરની સાપેક્ષમાં તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે $T_g = \frac{T_h - T_c}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_h$ એ ગરમ છેડાનું તાપમાન છે,$T_c$ એ ઠંડા છેડાનું તાપમાન છે અને $L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 75 \ cm = 0.75 \ m$
તાપમાનનો ઢાળ $T_g = 40^{\circ} C/m$
ઠંડા છેડાનું તાપમાન $T_c = 10^{\circ} C$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$40 = \frac{T_h - 10}{0.75}$
$T_h - 10 = 40 \times 0.75$
$T_h - 10 = 30$
$T_h = 30 + 10 = 40^{\circ} C$
તેથી,ગરમ છેડાનું તાપમાન $40^{\circ} C$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પદાર્થો કાળા હોવાથી,સમાન પદાર્થના બનેલા હોવાથી અને સમાન વાતાવરણમાં સમાન તાપમાને ઠંડા થતા હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર તેમના પૃષ્ઠફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે બંને પદાર્થોનું કદ $V$ છે. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળા માટે,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$. $a$ બાજુ ધરાવતા સમઘન માટે,$V = a^3$.
કદ સમાન હોવાથી,$a^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $a = (\frac{4}{3} \pi r^3)^{1/3}$.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A_s = 4 \pi r^2$ છે.
સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $A_c = 6 a^2 = 6 (\frac{4}{3} \pi r^3)^{2/3}$ છે.
ઉષ્મા ગુમાવવાનો દરનો ગુણોત્તર $\frac{A_s}{A_c} = \frac{4 \pi r^2}{6 (\frac{4}{3} \pi r^3)^{2/3}}$ છે.
આનું સાદુરૂપ આપતા,$\frac{A_s}{A_c} = (\frac{\pi}{6})^{1/3}$ મળે છે.

(C) ન્યુટનના શીતલન (cooling) ના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવત સાથે સીધા પ્રમાણમાં હોય છે: $R = k(\theta - \theta_0)$.
આપેલ છે:
કિસ્સો $1$: $R_1 = 4^{\circ}C/min$,$\theta_1 = 90^{\circ}C$
કિસ્સો $2$: $R_2 = 1^{\circ}C/min$,$\theta_2 = 30^{\circ}C$
બંને દરોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\theta_1 - \theta_0}{\theta_2 - \theta_0}$
$\frac{4}{1} = \frac{90 - \theta_0}{30 - \theta_0}$
$4(30 - \theta_0) = 90 - \theta_0$
$120 - 4\theta_0 = 90 - \theta_0$
$120 - 90 = 4\theta_0 - \theta_0$
$30 = 3\theta_0$
$\theta_0 = 10^{\circ}C$
આમ,આસપાસનું તાપમાન $10^{\circ}C$ છે.

$(A)$ ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q = \Delta U + W$, જ્યાં $W = P \Delta V$ છે。
આપેલ છે: દબાણ $P = 50 \,N/m^2$, પ્રારંભિક કદ $V_1 = 10 \,m^3$, અંતિમ કદ $V_2 = 4 \,m^3$, અને ઉમેરવામાં આવેલ ઉષ્મા $Q = 100 \,J$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = 4 - 10 = -6 \,m^3$ છે。
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = 50 \times (-6) = -300 \,J$ છે。
પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $Q = \Delta U + W$, તેથી $100 = \Delta U + (-300)$.
આમ, $\Delta U = 100 + 300 = 400 \,J$.
$\Delta U$ ધન હોવાથી, આંતરિક ઉર્જામાં $400 \,J$ નો વધારો થાય છે.

(A) કોઈપણ બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે મળતું સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$+q$ વિદ્યુતભારો $A, B$ અને $C$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
સંમિતિને કારણે,$D$ નું $A$ થી અંતર $a$ છે,$B$ થી અંતર $a$ છે અને $C$ થી અંતર $\sqrt{AC^2 + AD^2 - 2(AC)(AD) \cos A} = \sqrt{(2a)^2 + a^2 - 2(2a)(a) \cos A}$ છે.
તે જ રીતે,$E$ નું $A$ થી અંતર $a$ છે,$C$ થી અંતર $a$ છે અને $B$ થી અંતર $\sqrt{AB^2 + AE^2 - 2(AB)(AE) \cos A} = \sqrt{(2a)^2 + a^2 - 2(2a)(a) \cos A}$ છે.
કોણ $A$ ની સાપેક્ષમાં રચના સંમિત હોવાથી,$D$ પરનું સ્થિતિમાન $(V_D)$ અને $E$ પરનું સ્થિતિમાન $(V_E)$ સમાન છે.
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AD} + \frac{q}{BD} + \frac{q}{CD} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{a} + \frac{q}{a} + \frac{q}{CD} \right)$.
$V_E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AE} + \frac{q}{CE} + \frac{q}{BE} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{a} + \frac{q}{a} + \frac{q}{BE} \right)$.
સંમિતિને કારણે $CD = BE$ હોવાથી,$V_D = V_E$.
તેથી,કરવું પડતું કાર્ય $W = Q(V_E - V_D) = Q(0) = 0$.

(D) બિંદુવત ચાર્જ $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ બંને ચાર્જ $Q$ થી સમાન અંતર $r$ પર હોવાથી,તેઓ સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતી સપાટી (equipotential surface) પર આવેલા છે.
બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $(V_A)$ એ બિંદુ $B$ પરના સ્થિતિમાન $(V_B)$ જેટલું જ છે.
ચાર્જ $q$ ને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ છે.
અહીં $V_B = V_A$ હોવાથી,થયેલ કાર્ય $W = q(0) = 0$ થાય.

(C) વાહક ગોળાની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = \sigma A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $A = 4 \pi R^2$ એ ગોળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $\sigma = 1.8 \times 10^{-6} \ C/m^2$,$R = 0.1 \ m$.
$q = (1.8 \times 10^{-6}) \times (4 \pi \times (0.1)^2) = 1.8 \times 10^{-6} \times 4 \pi \times 0.01 = 7.2 \pi \times 10^{-8} \ C$.
કેન્દ્રથી $d = 0.2 \ m$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{d^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{7.2 \pi \times 10^{-8}}{(0.2)^2}$.
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{7.2 \pi \times 10^{-8}}{0.04} = \frac{1.8 \pi \times 10^{-8}}{\pi \varepsilon_0} = \frac{1.8 \times 10^{-8}}{\varepsilon_0} \ Vm^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,$E \approx \frac{2 \times 10^{-7}}{\varepsilon_0} \ Vm^{-1}$ મળે છે.

(C) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ એક વીજભારનું મૂલ્ય $q$ અને તેમના વચ્ચેના અંતર $2l$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
આપેલ છે: $q = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$,$2l = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$p = q \times 2l = (2 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (3 \times 10^{-2} \text{ m}) = 6 \times 10^{-8} \text{ C-m}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\theta = 90^{\circ}$ હોવું જોઈએ,તેથી $\sin 90^{\circ} = 1$.
$\tau_{\max} = pE = (6 \times 10^{-8} \text{ C-m}) \times (2 \times 10^5 \text{ N/C}) = 12 \times 10^{-3} \text{ N-m}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$180^{\circ}$ જેટલું ફેરવતા $\theta_2 = 180^{\circ}$ થાય છે.
$w = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = pE(1 - (-1)) = 2pE$.
તેથી,$pE = \frac{w}{2}$.
બીજા કિસ્સામાં,$60^{\circ}$ જેટલું ફેરવતા $\theta_2 = 60^{\circ}$ થાય છે.
$W' = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = pE(1 - \frac{1}{2}) = pE(\frac{1}{2})$.
$pE = \frac{w}{2}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$W' = (\frac{w}{2}) \times (\frac{1}{2}) = \frac{w}{4}$.

(D) $p$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા ટૂંકા વિદ્યુત ડાયપોલ માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે અક્ષીય રેખા પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{a} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{2p}{r^{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી સમાન અંતર $r$ પર વિષુવવૃત્તીય રેખા પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{q} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{p}{r^{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $E_{a} = 2 \times (\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{p}{r^{3}}) = 2E_{q}$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $E_{a} = 2E_{q}$ છે.

(C) $A < R < B$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે, આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કેન્દ્ર પર $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર ગૌસિયન સપાટીની કલ્પના કરો.
આ ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર ફક્ત અંદરના નક્કર ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર છે, જે $+3Q$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ, $R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_{\text{enclosed}}}{R^2}$
$q_{\text{enclosed}} = 3Q$ મૂકતા, આપણને મળે છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q}{R^2} = \frac{3Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$

(D) કુલંબના નિયમ મુજબ,શૂન્યાવકાશ અથવા હવામાં બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગોળાઓને $k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે બળ $F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 k} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ થાય છે.
તેથી,નવા બળ $F'$ અને મૂળ બળ $F$ વચ્ચેનો સંબંધ $F' = \frac{F}{k}$ છે.
અહીં ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $k = 5$ આપેલ હોવાથી,નવું બળ $F' = \frac{F}{5}$ થશે.

(A) ટૂંકા ડાયપોલને કારણે અક્ષીય રેખા પર વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r_1^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિષુવવૃત્તીય રેખા પર ટૂંકા ડાયપોલને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{\text{equatorial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r_2^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_{\text{axial}} = E_{\text{equatorial}}$,તેથી:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r_1^3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r_2^3}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2}{r_1^3} = \frac{1}{r_2^3}$.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા $\frac{r_1^3}{r_2^3} = 2$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $\frac{r_1}{r_2} = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$ મળે છે.
તેથી,$r_1: r_2 = \sqrt[3]{2}: 1$.

(C) સ્થિત-વિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વાહક માટે,સપાટીની બરાબર બહારનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર દરેક બિંદુએ સપાટીને લંબ હોવું જોઈએ. જો તેનો કોઈ સ્પર્શકીય ઘટક હોય,તો વિદ્યુતભારો બળ અનુભવે અને સપાટી પર ગતિ કરે,જે સ્થિર સ્થિતિની વિરુદ્ધ છે. તેથી,ક્ષેત્ર સપાટીને સ્પર્શક હોવું જોઈએ તેવું વિધાન 'ખોટું' છે.

(A) ધારો કે શિરોલંબ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $dl = r d\theta$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ છે. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = \lambda r d\theta$ છે.
આ ખંડને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{\lambda d\theta}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.
સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. આપણે માત્ર શિરોલંબ ઘટક $dE \cos \theta$ નું $-\pi/2$ થી $\pi/2$ સુધી સંકલન કરવાની જરૂર છે.
$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda \cos \theta d\theta}{4 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$.
$E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} (1 - (-1)) = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$.

(A) ગોસના પ્રમેય મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = E \cdot A = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને સમાન કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે,કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enc}$ એ ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે:
$q_{enc} = \rho \times V = \rho \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને ગોસના નિયમમાં મૂકતા:
$E (4 \pi r^2) = \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3)}{\varepsilon_0}$.
બંને બાજુ $4 \pi r^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0}$.

(A) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ એ વિદ્યુતભાર $q$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $\sigma = \frac{q}{A} = \frac{17.7 \times 10^{-4} \ C}{200 \ m^2} = 8.85 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
એક મોટી અવાહક શીટ માટે,તેની નજીકના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ એ અંતરથી સ્વતંત્ર છે અને તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{8.85 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{10^{-6}}{2 \times 10^{-12}} = 0.5 \times 10^6 = 5 \times 10^5 \ N/C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું વિદ્યુતબળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = F/q = 3000 \, N / 3 \, C = 1000 \, N/C$ છે।
એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $d$ અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Ed$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
અહીં $d = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ આપેલ છે।
કિંમતો મૂકતા, $V = 1000 \, N/C \times 10^{-2} \, m = 10 \, V$ મળે છે।

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = 30x^2 \hat{i}$ અને $d\vec{r} = dx \hat{i}$ આપેલ છે,તેથી $dV = -30x^2 dx$ થાય.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_0)$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = 2$ સુધી સંકલન કરીશું:
$\int_{V_0}^{V_A} dV = -\int_{0}^{2} 30x^2 dx$.
$V_A - V_0 = -[10x^3]_{0}^{2}$.
$V_A - V_0 = -(10(2)^3 - 10(0)^3) = -(10 \times 8) = -80 \ V$.

(C) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
પ્રથમ કેપેસીટર માટે આપેલ છે: $C_1 = 900 \mu F$ અને $V_1 = 100 \ V$.
પ્રથમ કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} C_1 V_1^2$ છે.
જ્યારે આ ઉર્જા $C_2 = 100 \mu F$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા બીજા કેપેસીટરમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે, ત્યારે ધારો કે નવું પોટેન્શિયલ $V_u$ છે.
કુલ ઉર્જા સ્થાનાંતરિત થતી હોવાથી, $U_1 = U_2$, જ્યાં $U_2 = \frac{1}{2} C_2 V_u^2$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} C_2 V_u^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times 900 \times 10^{-6} \times (100)^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times V_u^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $900 \times 100^2 = 100 \times V_u^2$.
$V_u^2 = \frac{900 \times 10000}{100} = 90000$.
$V_u = \sqrt{90000} = 300 \ V$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
$r$ બાજુ લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે, તંત્રની સ્થિતિઊર્જા:
$U = \frac{k(q)(2q)}{r} + \frac{k(q)(Q)}{r} + \frac{k(2q)(Q)}{r} = 0$
$\frac{k}{r}$ વડે ભાગતા:
$2q^2 + qQ + 2qQ = 0$
$2q^2 + 3qQ = 0$
$3qQ = -2q^2$
$Q = -\frac{2q}{3}$

(C) પરિપથમાં બિંદુ $P$ અને $R$ વચ્ચે બે સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે. $P$ આગળ દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ $I = 5 \, A$ છે.
શાખા $1$ (ઉપરની) માં $6 \, \Omega$ અને $3 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_1 = 6 + 3 = 9 \, \Omega$.
શાખા $2$ (નીચેની) માં $8 \, \Omega$ અને $4 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_2 = 8 + 4 = 12 \, \Omega$.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, ઉપરની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$:
$I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 5 \times \frac{12}{9 + 12} = 5 \times \frac{12}{21} = 5 \times \frac{4}{7} \approx 2.857 \, A$.
$Q$ ની સાપેક્ષે $P$ આગળનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ $6 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે:
$V_{PQ} = I_1 \times 6 = 2.857 \times 6 \approx 17.14 \, V$.
આમ, વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત આશરે $17 \, V$ છે.

(D) $n$ બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{\text{બધી જોડીઓ}} \frac{q_j q_k}{r_{jk}}$
અહીં ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_1 = q$,$q_2 = -2q$,અને $q_3 = q$ અનુક્રમે $x = 0$,$x = r$,અને $x = 2r$ પર મૂકેલા છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} \right]$
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(q)(-2q)}{r} + \frac{(-2q)(q)}{r} + \frac{(q)(q)}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{2q^2}{r} - \frac{2q^2}{r} + \frac{q^2}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{4q^2}{r} + \frac{q^2}{2r} \right] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{-8q^2 + q^2}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( -\frac{7q^2}{2r} \right) = -\frac{7q^2}{8 \pi \varepsilon_0 r}$

(A) $P$ પર પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $I = 5 \,A$ છે. આ પરિપથ એક બ્રિજ નેટવર્ક છે. ધારો કે $P$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_P$ છે અને આઉટપુટ નોડ પર $V_R = 0 \,V$ છે.
આપણે $Q$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $(V_Q)$ શોધવાનું છે.
ઉપરની શાખામાં $6 \,\Omega$ અને $3 \,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. નીચેની શાખામાં $8 \,\Omega$ અને $4 \,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
ધારો કે $I_1$ એ ઉપરની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ છે અને $I_2$ એ નીચેની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ છે.
$I_1 = I \times \frac{R_{lower}}{R_{upper} + R_{lower}} = 5 \times \frac{8+4}{(6+3) + (8+4)} = 5 \times \frac{12}{9+12} = 5 \times \frac{12}{21} = 5 \times \frac{4}{7} \approx 2.857 \,A$.
$P$ ની સાપેક્ષમાં $Q$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ $6 \,\Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે.
$V_P - V_Q = I_1 \times 6 = 2.857 \times 6 = 17.14 \,V$.
આમ,$P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત આશરે $17 \,V$ છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની કુલ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
આપેલ ગોઠવણી માટે,વિદ્યુતભારો $+Q$,$+2q$ અને $+q$ છે. તેમની વચ્ચેના અંતર $a$,$a$ અને $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q(2q)}{a} + \frac{Q(q)}{a} + \frac{(2q)(q)}{a\sqrt{2}} \right) = 0$
અહીં $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \neq 0$ હોવાથી:
$\frac{2Qq}{a} + \frac{Qq}{a} + \frac{2q^2}{a\sqrt{2}} = 0$
$\frac{3Qq}{a} + \frac{\sqrt{2}q^2}{a} = 0$
$3Qq + \sqrt{2}q^2 = 0$
$3Q = -\sqrt{2}q$
$Q = -\frac{\sqrt{2}}{3} q$

(C) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે $r$ અંતરે રહેલી સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{K q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d$ અંતરે પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = \frac{K q_1 q_2}{d}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q_2$ ને $q_1$ તરફ $x$ અંતરે ખસેડવામાં આવે,ત્યારે નવું અંતર $r' = d - x$ થાય છે.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{K q_1 q_2}{d - x}$ થાય છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{K q_1 q_2}{d - x} - \frac{K q_1 q_2}{d}$
$\Delta U = K q_1 q_2 \left( \frac{1}{d - x} - \frac{1}{d} \right)$
$\Delta U = K q_1 q_2 \left( \frac{d - (d - x)}{d(d - x)} \right)$
$\Delta U = \frac{K q_1 q_2 x}{d(d - x)}$.

(A) શ્રેણી જોડાણનો કુલ $EMF$ $E_{eq} = E + E = 2E$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = r_1 + r_2 + R$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2E}{r_1 + r_2 + R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોષ $E_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = E - Ir_1$ છે.
આપેલ છે કે $V_1 = 0$,તેથી $E - Ir_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = Ir_1$.
$I$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $E = \left( \frac{2E}{r_1 + r_2 + R} \right) r_1$ મળે છે.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા,$1 = \frac{2r_1}{r_1 + r_2 + R}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$r_1 + r_2 + R = 2r_1$ મળે છે.
તેથી,$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$.

(C) $1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સ્થિત-વિદ્યુત બળ કરતા ઘણું નિર્બળ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા આકર્ષી હોય છે,પરંતુ સ્થિત-વિદ્યુત બળ વિદ્યુતભારોના પ્રકાર પર આધાર રાખીને આકર્ષી કે અપાકર્ષી હોઈ શકે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$3$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ) અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ (કુલંબનો નિયમ) બંને કેન્દ્રીય બળો છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ બે પદાર્થોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ બંને વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ $(F \propto \frac{1}{r^2})$ નું પાલન કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(B) ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = 25 \, cm^2 = 25 \times 10^{-4} \, m^2$ છે।
બાજુની લંબાઈ $l = \sqrt{A} = 5 \, cm = 0.05 \, m$ છે।
વેગ $v = \frac{l}{t} = \frac{0.05 \, m}{1 \, s} = 0.05 \, m/s$ છે।
પ્રેરિત $EMF$ $e = B l v$ છે।
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{40 \times 0.05 \times 0.05}{10} = 0.01 \, A$.
વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = B I l$ છે।
$F = 40 \times 0.01 \times 0.05 = 0.02 \, N$.
કરેલું કાર્ય $W = F \times l = 0.02 \, N \times 0.05 \, m = 1 \times 10^{-3} \, J$ થાય.

(D) આપેલ છે: પાવર $P = 1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}$,વોલ્ટેજ $V = 100 \text{ V}$,અંતર $a = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
સૌ પ્રથમ,$P = VI$ નો ઉપયોગ કરીને વાયરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ શોધો:
$I = \frac{P}{V} = \frac{1000}{100} = 10 \text{ A}$.
બે સમાંતર વાયરો વચ્ચે પ્રતિ એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f$ નું સૂત્ર:
$f = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi a}$.
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (10)^2}{2\pi \times (2 \times 10^{-3})}$.
$f = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{4\pi \times 10^{-3}}$.
$f = 10^{-7} \times 10^2 \times 10^3 = 10^{-2} \text{ N/m}$.
આમ,પ્રતિ મીટર લાગતું બળ $10^{-2} \text{ N}$ છે.

(C) બે સમાંતર લાંબા વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
શરૂઆતમાં,બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ છે.
જ્યારે એક વાહકમાં પ્રવાહ બમણો $(I_1' = 2I_1)$ કરવામાં આવે છે અને તેની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે નવો પ્રવાહ $-2I_1$ થાય છે. અંતર વધારીને $d' = 3d$ કરવામાં આવે છે.
નવું બળ $F'$ આ મુજબ મળે છે: $F' = \frac{\mu_0 (-2I_1) I_2}{2 \pi (3d)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $F' = -\frac{2}{3} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right)$.
શરૂઆતના બળ $F$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $F' = -\frac{2F}{3}$.

(B) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $A$ અને $B$ માટે: બંને સમાન દિશામાં $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવે છે. $B$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_1$ આકર્ષી પ્રકારનું છે,જેનું મૂલ્ય $F_1 = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi d}$ છે.
તાર $A$ અને $C$ માટે: તાર $A$ માં $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ઉપરની તરફ અને તાર $C$ માં $2I$ વિદ્યુતપ્રવાહ નીચેની તરફ વહે છે. વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,$C$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_2$ અપાકર્ષી પ્રકારનું છે,જેનું મૂલ્ય $F_2 = \frac{\mu_0 I (2I)}{2 \pi (2d)} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi d}$ છે.
આમ,બળો $F_1$ અને $F_2$ ના મૂલ્યો સમાન છે પરંતુ તેમની દિશાઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવાથી,$F_1 = -F_2$ થાય છે.

(C) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I_s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = \frac{N_s}{L}$.
આપેલ છે: $N_s = 500$, $L = 0.4 \ m$, $I_s = 3 \ A$.
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (500 / 0.4) \times 3 = 4\pi \times 10^{-7} \times 1250 \times 3 = 15000\pi \times 10^{-7} = 1.5\pi \times 10^{-3} \ T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N_c I_c A B \sin \theta$ છે.
આપેલ છે: $N_c = 10$, $I_c = 0.4 \ A$, $r = 0.1 \ m$, $\theta = 90^{\circ}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi \ m^2$.
$\tau = 10 \times 0.4 \times (0.01\pi) \times (1.5\pi \times 10^{-3}) \times \sin 90^{\circ}$.
$\tau = 4 \times 0.01 \times 1.5 \times \pi^2 \times 10^{-3} \times 1$.
$\pi^2 = 10$ લેતા:
$\tau = 0.06 \times 10 \times 10^{-3} = 0.6 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-4} \ Nm$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા તારમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $e = B_H \cdot l \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $h = 10 \ m$ ની ઊંચાઈએથી મુક્તપતન કરે છે,તેથી જમીન પર અથડાતા પહેલા તેનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \ m/s$.
હવે,પ્રેરિત $EMF$ ની ગણતરી કરતા: $e = (2 \times 10^{-5} \ T) \times (2500 \ \text{m}) \times (10\sqrt{2} \ m/s)$.
$e = 50000 \times 10^{-5} \times \sqrt{2} = 0.5 \sqrt{2} \ V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{e}{R}$ દ્વારા મળે છે.
$I = \frac{0.5 \sqrt{2}}{25 \sqrt{2}} = \frac{0.5}{25} = 0.02 \ A$.

(D) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$R = \frac{\mu_0 I}{2\pi B}$
આપેલ કિંમતો:
$I = 12 \ A$
$B = 3 \times 10^{-5} \ Wb/m^2$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ Wb/Am$
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 12}{2\pi \times 3 \times 10^{-5}}$
$R = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{3 \times 10^{-5}}$
$R = \frac{24 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-5}}$
$R = 8 \times 10^{-2} \ m$
મીટરને મિલીમીટરમાં $(mm)$ ફેરવવા માટે $1000$ વડે ગુણતા:
$R = 8 \times 10^{-2} \times 10^3 \ mm = 80 \ mm$

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $V$ વેગથી ગતિ કરતા $L$ લંબાઈના વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $emf$ $e = BLV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ અવરોધ ધરાવતા પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{e}{R} = \frac{BLV}{R}$ છે.
લૂપમાં ઉષ્મા ઉર્જા ઉત્પન્ન થવાનો દર (પાવર) $P = I^2 R$ દ્વારા મળે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = \left( \frac{BLV}{R} \right)^2 R = \frac{B^2 L^2 V^2}{R^2} \cdot R = \frac{B^2 L^2 V^2}{R}$.
વૈકલ્પિક રીતે,લૂપને ખેંચવા માટે જરૂરી યાંત્રિક પાવર $P = F \cdot V$ છે,જ્યાં $F = BIL$ એ ચુંબકીય બળ છે.
$P = (B \cdot I \cdot L) \cdot V = B \cdot \left( \frac{BLV}{R} \right) \cdot L \cdot V = \frac{B^2 L^2 V^2}{R}$.

(A) લાંબા સીધા તાર વડે $X$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi X}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ થી દરેક તારનું અંતર $X$ છે। બિંદુ $P$ ને તાર સાથે જોડતી રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોવાથી,બે તાર અને બિંદુ $P$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેનો કર્ણ $7 \,cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $X^2 + X^2 = 7^2 \implies 2X^2 = 49 \implies X = \frac{7}{\sqrt{2}} \,cm = \frac{7}{1.4} \times 10^{-2} \,m = 5 \times 10^{-2} \,m$.
બે તારને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi X}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi X}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવાથી,$P$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો એકબીજાને લંબ છે। તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi X} \sqrt{I_1^2 + I_2^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{\text{net}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi \times 5 \times 10^{-2}} \sqrt{15^2 + 8^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-2}} \sqrt{225 + 64} = \frac{2 \times 10^{-5}}{5} \sqrt{289} = 0.4 \times 10^{-5} \times 17 = 6.8 \times 10^{-5} \,T = 68 \times 10^{-6} \,T$.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 100 mH = 100 \times 10^{-3} H = 0.1 H$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1 A$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1)^2$
$E = 0.05 J$.

(C) આપેલ છે: $n = 500 \ turns/m$,$I = 3 \ A$,$\mu_r = 5001$.
સૌ પ્રથમ,સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ શોધો:
$H = nI = 500 \times 3 = 1500 \ A/m$.
ત્યારબાદ,ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m$ શોધો:
$\chi_m = \mu_r - 1 = 5001 - 1 = 5000$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$M = \chi_m H$.
કિંમતો મૂકતા:
$M = 5000 \times 1500 = 7.5 \times 10^6 \ Am^{-1}$.

(D) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
પ્રથમ કોઈલ માટે: $B_1 = \frac{\mu_0 \times 2}{2R} = \frac{\mu_0}{R}$.
બીજી કોઈલ માટે: $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4}{2(3R)} = \frac{2\mu_0}{3R}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 / R}{2\mu_0 / 3R} = \frac{\mu_0}{R} \times \frac{3R}{2\mu_0} = \frac{3}{2}$.
આમ,$B_1: B_2$ નો ગુણોત્તર $3: 2$ છે.

(D) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર વચ્ચેનું અંતર $d = 3 \ m$ આપેલું છે,તેથી મધ્યબિંદુ દરેક તારથી $r = 1.5 \ m$ ના અંતરે છે.
પ્રથમ તાર માટે,$I_1 = 3 \ A$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2 \pi \times 1.5} = \frac{2 \mu_0}{2 \pi}$ છે.
બીજા તાર માટે,$I_2 = 4.5 \ A$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4.5}{2 \pi \times 1.5} = \frac{3 \mu_0}{2 \pi}$ છે.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,મધ્યબિંદુ પર બંને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હશે.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} + \frac{3 \mu_0}{2 \pi} = \frac{5 \mu_0}{2 \pi}$ થાય.

(B) સોલેનોઇડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે અને $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ધારો કે જરૂરી તારની કુલ લંબાઈ $x$ છે. તારને $N$ આંટામાં વીંટાળવામાં આવે છે, તેથી $x = (2 \pi r) N$, જેનો અર્થ છે કે $N = \frac{x}{2 \pi r}$.
$N$ ની કિંમત ઇન્ડક્ટન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{\mu_0 (x / 2 \pi r)^2 \times \pi r^2}{l} = \frac{\mu_0 x^2}{4 \pi l}$.
$x$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$x^2 = \frac{4 \pi L l}{\mu_0} \implies x = \sqrt{\frac{4 \pi L l}{\mu_0}}$.
અહીં $L = 1 \,mH = 10^{-3} \,H$, $l = 1 \,m$, અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ આપેલ છે:
$x = \sqrt{\frac{4 \pi \times 10^{-3} \times 1}{4 \pi \times 10^{-7}}} = \sqrt{10^4} = 100 \,m$.
કિલોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $100 \,m = 0.10 \,km$.

(B) પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ તારનો લંબાઈ સદિશ છે。
ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $EF = 5 \,cm$, $EG = 12 \,cm$ અને $GF = 13 \,cm$ છે。
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ બાજુ $GF$ ને સમાંતર છે. ધારો કે બાજુ $EF$ અને બાજુ $GF$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે。
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી, $\sin \theta = \frac{EG}{GF} = \frac{12}{13}$.
બાજુ $EF$ પર લાગતું બળ $F_{EF} = I \cdot L_{EF} \cdot B \sin \theta$ છે。
આપેલ છે કે $I = 2 \,A$, $L_{EF} = 0.05 \,m$, $B = 0.75 \,T$ અને $\sin \theta = \frac{12}{13}$.
$F_{EF} = 2 \times 0.05 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.1 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.075 \times \frac{12}{13} = \frac{0.9}{13} = \frac{9}{130} \,N$.
આને $\frac{x}{130} \,N$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 9$ મળે છે。

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ગૂંચળા માટે જેમાં $I$ પ્રવાહ વહે છે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ છે.
બીજા ગૂંચળા માટે જેમાં $2I$ પ્રવાહ વહે છે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 (2I)}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{R}$ છે.
બે ગૂંચળાના સમતલ એકબીજાને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 I}{R}\right)^2}$
$B = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{2 \mu_0 I}{2 R}\right)^2}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1^2 + 2^2}$
$B = \frac{\sqrt{5} \mu_0 I}{2 R}$.

(A) લાંબા સોલેનોઈડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $l$ એ લંબાઈ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$L = \mu_0 \left(\frac{N}{l}\right)^2 \times l \times \frac{\pi d^2}{4}$
આપેલ છે કે $n = N/l$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ ઇન્ડક્ટન્સ:
$\frac{L}{l} = \mu_0 n^2 \left(\frac{\pi d^2}{4}\right)$
$\frac{L}{l} = \mu_0 \pi \left(\frac{nd}{2}\right)^2$

(A) વર્તુળમાં ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = \frac{q}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $T$ એ સમયગાળો છે.
આપેલ છે કે $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ અને $T = 1 \ s$,તેથી $I = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{1} = 1.6 \times 10^{-19} \ A$.
વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8}$.
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = 4 \pi \times 10^{-26} \ T$.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ગૂંચળાઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો તફાવત હશે: $B_{\text{net}} = |B_1 - B_2|$.
આપેલ છે: $n_1 = n_2 = 10$, $r_1 = 0.2 \, m$, $r_2 = 0.4 \, m$, $I_1 = 0.2 \, A$, $I_2 = 0.3 \, A$.
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 10 \times 0.2}{2 \times 0.2} = \frac{10 \mu_0}{2} = 5 \mu_0$.
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 10 \times 0.3}{2 \times 0.4} = \frac{3 \mu_0}{0.8} = 3.75 \mu_0$.
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 - 3.75 \mu_0 = 1.25 \mu_0$.
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ મૂકતા:
$B_{\text{net}} = 1.25 \times 4 \pi \times 10^{-7} = 5 \pi \times 10^{-7} \, T$.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
સામાન્ય કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,ગૂંચળા $A$ અને $B$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
ગૂંચળા $A$ માં પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં હોવાથી,તેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની બહારની તરફ હશે. તેથી,ગૂંચળા $B$ એ સમતલની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ,જેના માટે સમઘડી દિશામાં પ્રવાહની જરૂર પડે.
ધારો કે $I_A = 0.5 \text{ A}$,$R_A = 0.2 \text{ m}$,$R_B = 0.1 \text{ m}$,અને $I_B$ એ ગૂંચળા $B$ માંનો પ્રવાહ છે.
બંનેના મૂલ્યો સમાન લેતા: $\frac{\mu_0 I_A}{2 R_A} = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.5}{0.2} = \frac{I_B}{0.1}$.
$I_B = \frac{0.5 \times 0.1}{0.2} = 0.25 \text{ A}$.
આમ,ગૂંચળા $B$ માં $0.25 \text{ A}$ પ્રવાહ સમઘડી દિશામાં હોવો જોઈએ.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર $h$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B_{a} = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + h^2)^{3/2}}$
કોઈલના કેન્દ્ર પર $(h=0)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B_{c} = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
$B_c$ અને $B_a$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\mu_0 n I / 2r}{\mu_0 n I r^2 / 2(r^2 + h^2)^{3/2}}$
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{(r^2 + h^2)^{3/2}}{r^3} = \left(\frac{r^2 + h^2}{r^2}\right)^{3/2} = \left(1 + \frac{h^2}{r^2}\right)^{3/2}$
તેથી,$B_c = B_a \left(1 + \frac{h^2}{r^2}\right)^{3/2}$.

(B) વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય પ્રેરણ $B_{C} = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અક્ષ પર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય પ્રેરણ $B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + r^{2})^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $r = \sqrt{3} R$,તેથી $B_{A}$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + (\sqrt{3} R)^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + 3 R^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(4 R^{2})^{3/2}}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $(4 R^{2})^{3/2} = (2^{2} R^{2})^{3/2} = (2 R)^{3} = 8 R^{3}$.
તેથી,$B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(8 R^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{16 R}$.
હવે,ગુણોત્તર $B_{A} : B_{C}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{B_{A}}{B_{C}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{16 R}}{\frac{\mu_{0} I}{2 R}} = \frac{2 R}{16 R} = \frac{1}{8}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 8$ છે.

(D) $n^{\text{th}}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ છે.
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n \propto \frac{1}{n}$ છે.
કોણીય વેગ $\omega_n = \frac{v_n}{r_n} \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ થાય છે.
પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I_n = \frac{e}{T_n} = \frac{e \omega_n}{2 \pi} \propto \omega_n \propto \frac{1}{n^3}$ છે.
કક્ષાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_n = \frac{\mu_0 I_n}{2 r_n}$ છે.
પ્રમાણસરતા મૂકતા: $B_n \propto \frac{I_n}{r_n} \propto \frac{1/n^3}{n^2} = \frac{1}{n^5}$.
તેથી,$B_n \propto n^{-5}$.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન છે,તેથી $\frac{\mu_0 I_1}{2 r_1} = \frac{\mu_0 I_2}{2 r_2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{r_1}{r_2}$. કારણ કે $r_1 = 2r_2$,આપણને $\frac{I_1}{I_2} = 2$ મળે છે (સમીકરણ $i$).
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગૂંચળા એક જ તારમાંથી બનેલા હોવાથી,$\rho$ અને $A$ અચળ છે,તેથી $R \propto l$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે તારની લંબાઈ $l = 2\pi r$ છે,તેથી $R \propto r$.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{r_1}{r_2} = 2$ (સમીકરણ $ii$).
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = IR$ છે. વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{I_1 R_1}{I_2 R_2}$ છે.
(સમીકરણ $i$) અને (સમીકરણ $ii$) માંથી ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $\frac{V_1}{V_2} = 2 \times 2 = 4$ મળે છે.

(C) $N$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$N_1 = 1$,ત્રિજ્યા $r_1$ છે,તેથી $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2r_1}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$N_2 = n$,ત્રિજ્યા $r_2$ છે,તેથી $B_2 = \frac{\mu_0 nI}{2r_2}$.
તારની કુલ લંબાઈ $L$ અચળ રહે છે. તેથી,$L = 2\pi r_1 = n(2\pi r_2)$.
આનો અર્થ એ છે કે $r_1 = n r_2$,અથવા $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{n}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 2r_1}{\mu_0 nI / 2r_2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:n^2$ છે.

(A) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બંને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ કેન્દ્ર '$O$' ની સાપેક્ષમાં એક જ દિશામાં (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) છે.
તેથી,બંને ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર '$O$' પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં (કાગળના સમતલની અંદરની તરફ) હશે.
કેન્દ્ર '$O$' પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$B_{\text{net}} = B_1 + B_2$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{4R_1} + \frac{\mu_0 I}{4R_2}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$