MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $|\overline{a}| = \sqrt{3}, |\overline{b}| = 1, |\overline{c}| = 2$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - (\overline{a} \cdot \overline{a}) \overline{c}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - |\overline{a}|^2 \overline{c} + 3 \overline{b} = \overline{0}$.
કારણ કે $|\overline{a}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$,તેથી $(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - 3 \overline{c} = -3 \overline{b}$.
બંને બાજુ માનનો વર્ગ લેતા: $|(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - 3 \overline{c}|^2 = |-3 \overline{b}|^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 |\overline{a}|^2 + 9 |\overline{c}|^2 - 6 (\overline{a} \cdot \overline{c})(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 |\overline{b}|^2$.
$(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 (3) + 9 (2)^2 - 6 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 9 (1)^2$.
$-3 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 + 36 = 9$.
$-3 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = -27 \implies (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 9$.
આમ,$\overline{a} \cdot \overline{c} = \pm 3$.
કારણ કે $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}| |\overline{c}| \cos \theta$,તેથી $(\sqrt{3})(2) \cos \theta = \pm 3$.
$\cos \theta = \pm \frac{3}{2\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overline{a}| = |\overline{b}| = |\overline{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ: $\overline{a} + 2\overline{c} = -2\overline{b}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\overline{a} + 2\overline{c}|^2 = |-2\overline{b}|^2$
$|\overline{a}|^2 + 4|\overline{c}|^2 + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4|\overline{b}|^2$
કારણ કે $|\overline{a}| = |\overline{b}| = |\overline{c}| = 1$,તેથી:
$1 + 4(1) + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4(1)$
$5 + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4$
$4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = -1$
$\overline{a} \cdot \overline{c} = -\frac{1}{4}$
કારણ કે $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}||\overline{c}| \cos \theta = \cos \theta$,તેથી $\cos \theta = -\frac{1}{4}$.
ત્યારબાદ $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
અંતે,$|\overline{a} \times \overline{c}| = |\overline{a}||\overline{c}| \sin \theta = (1)(1) \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $\overline{b} \cdot \overline{c} = 10$.
$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}| |\overline{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$ હોવાથી,$(5) |\overline{c}| (\frac{1}{2}) = 10$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $|\overline{c}| = 4$.
આપણને આપેલ છે કે $\overline{a}$ એ $\overline{b} \times \overline{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\overline{a}$ અને $\overline{b} \times \overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
તેથી,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}|$ થાય.
હવે,$|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = (5)(4)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 10\sqrt{3}$.
આમ,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = (\sqrt{3})(10\sqrt{3}) = 10 \times 3 = 30$.

(B) આપેલ છે: $|\overline{a}|=3$,$|\overline{b}|=5$,$\overline{b} \cdot \overline{c}=10$,અને $\overline{b}$ તથા $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$.
પ્રથમ,$|\overline{c}|$ શોધો: $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}| |\overline{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$.
$5 \times |\overline{c}| \times \frac{1}{2} = 10 \implies |\overline{c}| = 4$.
હવે,$|\overline{b} \times \overline{c}|$ શોધો: $|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.
કારણ કે $\overline{a}$ એ $\overline{b} \times \overline{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\overline{a}$ અને $(\overline{b} \times \overline{c})$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ થાય.
તેથી,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = 3 \times 10\sqrt{3} \times 1 = 30\sqrt{3}$.

(B) વિધેય $f(x)$ એ સદિશો $\overline{a}, \overline{b}, \text{ અને } \overline{c}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર છે:
$f(x) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x$
$f(x) = x^3 - 27x + 26$
સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$f'(x) = 3x^2 - 27 = 0$
$3(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$
દ્વિતીય વિકલિત કસોટી મુજબ,$f''(x) = 6x$:
$x = 3$ આગળ,$f''(3) = 18 > 0$,તેથી $x_0 = 3$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$x = 3$ આગળ,$\overline{a} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\overline{b} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ થાય.
અદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \cdot \overline{b}$ શોધતા:
$\overline{a} \cdot \overline{b} = (3)(-2) + (-2)(3) + (3)(-1) = -6 - 6 - 3 = -15$.

(D) આપેલ છે કે,$\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{a}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overline{b} \times (\overline{c} - \overline{a}) = \overline{0}$.
તેથી,$\overline{c} - \overline{a} = \lambda \overline{b}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે,એટલે કે $\overline{c} = \overline{a} + \lambda \overline{b}$.
આપેલ છે કે $\overline{c} \cdot \overline{a} = 0$,તેથી $(\overline{a} + \lambda \overline{b}) \cdot \overline{a} = 0$.
આનાથી આપણને $|\overline{a}|^2 + \lambda (\overline{b} \cdot \overline{a}) = 0$ મળે છે.
કિંમતો ગણતા: $|\overline{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 6$ અને $\overline{b} \cdot \overline{a} = (1)(1) + (1)(2) + (-1)(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6 + 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
હવે,$\overline{c} = \overline{a} - \frac{3}{2} \overline{b}$.
તેથી $\overline{c} \cdot \overline{b} = (\overline{a} - \frac{3}{2} \overline{b}) \cdot \overline{b} = \overline{a} \cdot \overline{b} - \frac{3}{2} |\overline{b}|^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{a} \cdot \overline{b} = 4$ અને $|\overline{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3$.
તેથી,$\overline{c} \cdot \overline{b} = 4 - \frac{3}{2}(3) = 4 - \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\overline{c}|^2+|\overline{a}|^2-2(\overline{a} \cdot \overline{c})=8$ મળે.
અહીં $|\overline{a}| = \sqrt{2^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ અને $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$ હોવાથી,$|\overline{c}|^2+9-2|\overline{c}|=8$ થાય.
આ સમીકરણ $|\overline{c}|^2-2|\overline{c}|+1=0$ એટલે કે $(|\overline{c}|-1)^2=0$ માં પરિણમે છે,તેથી $|\overline{c}|=1$.
હવે,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ મળે.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{9} = 3$ છે.
છેલ્લે,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 3 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

(B) સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|[\bar{u} \bar{v} \bar{w}]| = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \pm 1$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(1-3) - 1(1-6) + \lambda(1-2) = \pm 1$
$-2 + 5 - \lambda = \pm 1$
$3 - \lambda = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: $3 - \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 2$.
કિસ્સો $2$: $3 - \lambda = -1 \Rightarrow \lambda = 4$.
અહીં $\bar{u} = \hat{i} + \hat{j} + \lambda \hat{k}$ અને $\bar{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\lambda = 2$ માટે: $\bar{u} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{\bar{u} \cdot \bar{w}}{|\bar{u}| |\bar{w}|} = \frac{(1)(2) + (1)(1) + (2)(1)}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+1^2+1^2}} = \frac{2+1+2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{6}$.

(C) ધારો કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = V$ છે.
આપેલ પદાવલિ $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b}) = 54$ છે.
આ સદિશો $\overline{u} = \overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}$,$\overline{v} = \overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a}$,અને $\overline{w} = \overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારને સહગુણકોના નિશ્ચાયક તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = 54$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$1(1-6) - 2(3-4) + 3(9-2) = 1(-5) - 2(-1) + 3(7) = -5 + 2 + 21 = 18$.
આમ,$18 [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = 54$.
તેથી,$[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = \frac{54}{18} = 3$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{b} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $\vec{c} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$.
સદિશોનો સરવાળો $\vec{v} = \vec{b} + \vec{c} = (2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
$\vec{v}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{v} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2+6^2+(-2)^2}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\hat{v}$ નો અદિશ ગુણાકાર $1$ છે:
$\vec{a} \cdot \hat{v} = 1$
$\frac{(1)(2+\lambda) + (1)(6) + (1)(-2)}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = 1$
$\frac{\lambda+6}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = 1$
$\lambda+6 = \sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\lambda+6)^2 = \lambda^2+4 \lambda+44$
$\lambda^2+12 \lambda+36 = \lambda^2+4 \lambda+44$
$8 \lambda = 8$
$\lambda = 1$.

(A) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \left| \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & \alpha \\ \alpha & 0 & 1 \end{vmatrix} \right| = |1(1-0) - \alpha(0-\alpha^2) + 1(0-\alpha)| = |1 + \alpha^3 - \alpha|$.
ધારો કે $f(\alpha) = 1 + \alpha^3 - \alpha$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(\alpha)$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(\alpha) = 3\alpha^2 - 1$.
$f'(\alpha) = 0$ લેતા,$3\alpha^2 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ: $f''(\alpha) = 6\alpha$.
$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f''(\alpha) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f''(\alpha) = 6(-\frac{1}{\sqrt{3}}) < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
આમ,$\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ પર ઘનફળ મહત્તમ થાય છે.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = (\bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}) \cdot [(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})]$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટના ભાગને સરળ બનાવો:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}) = (\bar{a} \times \bar{a}) - (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c}) - (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{b} \times \bar{b}) + (\bar{b} \times \bar{c})$.
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$,$\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,આપણને મળે છે:
$= 0 - (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c}) + (\bar{a} \times \bar{b}) + 0 + (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) - (\bar{a} \times \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a})$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો:
$E = (\bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$.
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) = 0$ અને $\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$ જેવા પદો શૂન્ય થઈ જાય છે.
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 2[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] + 0 + 0$.
કારણ કે $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$,આપણને મળે છે:
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.

(C) સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j}+\alpha \hat{k}$,અને $\vec{c} = \alpha \hat{i}+\hat{k}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના માનાંક જેટલું હોય છે:
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & \alpha \\ \alpha & 0 & 1 \end{array}\right|$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = 1(1 - 0) - \alpha(0 - \alpha^2) + 1(0 - \alpha) = 1 + \alpha^3 - \alpha$
ન્યૂનતમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dV}{d\alpha} = 3\alpha^2 - 1 = 0$
$\alpha^2 = \frac{1}{3} \implies \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ:
$\frac{d^2V}{d\alpha^2} = 6\alpha$
$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$\frac{d^2V}{d\alpha^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આમ,$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ પર ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-6 \hat{j}+10 \hat{k}$,$\vec{b} = -\hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$,$\vec{c} = 5 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$,અને $\vec{d} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$ છે.
ધાર દર્શાવતા સદિશો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (\lambda-10)\hat{k}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB} \ \vec{AC} \ \vec{AD}]|$ છે.
$V = 11$ આપેલ છે,તેથી $11 = \frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})|$.
$66 = |\det \begin{bmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{bmatrix}|$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$-2(-15 - 2\lambda + 20) - 3(-12 - 6\lambda + 60) - 3(8 - 30) = 22\lambda - 88$.
$|22\lambda - 88| = 66$ હોવાથી,$22\lambda - 88 = 66$ અથવા $22\lambda - 88 = -66$.
કિસ્સો $1$: $22\lambda = 154 \Rightarrow \lambda = 7$.
કિસ્સો $2$: $22\lambda = 22 \Rightarrow \lambda = 1$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$\lambda = 7$ સાચો જવાબ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ હોય,તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે,ઘનફળ $= 158$.
$|\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})| = \left|\begin{vmatrix} 1 & 1 & n \\ 2 & 4 & -n \\ 1 & n & 3 \end{vmatrix}\right| = 158$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(12 + n^2) - 1(6 + n) + n(2n - 4) = \pm 158$.
$(12 + n^2) - (6 + n) + (2n^2 - 4n) = \pm 158$.
$3n^2 - 5n + 6 = \pm 158$.
કિસ્સો $1$: $3n^2 - 5n + 6 = 158 \Rightarrow 3n^2 - 5n - 152 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(3)(-152)}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{1849}}{6} = \frac{5 \pm 43}{6}$.
$n \geq 0$ હોવાથી,$n = \frac{48}{6} = 8$.
કિસ્સો $2$: $3n^2 - 5n + 6 = -158 \Rightarrow 3n^2 - 5n + 164 = 0$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$n = 8$.

(C) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સદિશો મેળવતા:
$\vec{AB} = -4\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{AC} = 1\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AD} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + (x-3)\hat{k}$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય:
$|\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}| = \begin{vmatrix} -4 & -3 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & x-3 \end{vmatrix} = 7x - 17$
આપેલ છે કે $V = \frac{11}{6}$,તેથી $\frac{1}{6} |7x - 17| = \frac{11}{6} \implies |7x - 17| = 11$.
કિસ્સો $1$: $7x - 17 = 11 \implies 7x = 28 \implies x = 4$.
કિસ્સો $2$: $7x - 17 = -11 \implies 7x = 6 \implies x = \frac{6}{7}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$x = 4$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{r}$ એ $\overrightarrow{a}$ ને લંબ છે.
$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{r}| |\overrightarrow{b}|$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = 1$,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{r}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. આમ,$\overrightarrow{r}$ એ $\overrightarrow{b}$ ને લંબ છે.
તે જ રીતે,$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{r}| |\overrightarrow{c}|$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે $\overrightarrow{r}$ એ $\overrightarrow{c}$ ને લંબ છે.
કારણ કે $\overrightarrow{r}$ એ શૂન્યતર સદિશ છે જે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ ત્રણેયને લંબ છે,તેથી આ ત્રણેય સદિશો $\overrightarrow{r}$ ને લંબ સમતલમાં આવેલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ સમતલીય છે.
કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશો માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
આમ,$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$.

(C) ધારો કે $\bar{s} = \bar{b} + \bar{c} = (2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$\bar{s}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{s} = \frac{\bar{s}}{|\bar{s}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}}$.
આપેલ શરત મુજબ $\bar{a} \cdot \hat{s} = 1$ હોવાથી:
$(\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \cdot \left( \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} \right) = 1$.
અંશમાં અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\frac{(2+\lambda) - 4 + 2}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} = 1$.
$\frac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\lambda^2 = \lambda^2 + 4\lambda + 12$.
$4\lambda = -12$.
$\lambda = -3$.

(A) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\bar{b}+\bar{c}}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c} = \frac{1}{\sqrt{2}} \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} \bar{c}$.
પદોને ગોઠવતા:
$(\bar{a} \cdot \bar{c} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \bar{c} = 0$.
કારણ કે $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ અસમતલીય છે (અને તેથી સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે),સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow \bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
તેથી,$|\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,જ્યાં $\theta$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\theta = \frac{3 \pi}{4}$.

(A) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ છે.
આપેલ છે કે $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \overline{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \overline{c}$,તેથી $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ સમાંતર ન હોવાથી આપણે $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરીએ.
આમ,$\overline{a} \cdot \overline{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $-\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\overline{a} \cdot \overline{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ એકમ સદિશો છે,$\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta = (1)(1) \cos \theta = \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\theta \in [0, \pi]$ હોવાથી,આપણને $\theta = \frac{5\pi}{6}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,તેથી $|\overline{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4+1+4 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $|\overline{a}|=3$.
આપેલ છે કે $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\overline{c}-\overline{a}|^2 = (2 \sqrt{2})^2 = 8$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 8$ મળે.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{c}|$ અને $|\overline{a}|^2 = 9$ મૂકતા,$|\overline{c}|^2 + 9 - 2|\overline{c}| = 8$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $|\overline{c}|^2 - 2|\overline{c}| + 1 = 0$ થાય છે.
આ $(|\overline{c}|-1)^2 = 0$ છે,તેથી $|\overline{c}| = 1$.
હવે,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$.
તેથી,$|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
અંતે,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\bar{b}=\hat{i}+\hat{j}$.
પ્રથમ,$\bar{a}$ નું માન શોધો:
$|\bar{a}|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=3$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{b}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$.
તેનું માન $|\bar{a} \times \bar{b}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$ છે.
આપેલ છે કે $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|=3$ અને $\bar{c}$ તથા $\bar{a} \times \bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ છે.
સૂત્ર $|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}||\bar{v}| \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin \frac{\pi}{6} = 3$.
$3 \cdot |\bar{c}| \cdot \frac{1}{2} = 3 \Rightarrow |\bar{c}|=2$.
હવે,$|\bar{c}-\bar{a}|=4$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\bar{c}-\bar{a}|^2 = |\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 4^2$.
$2^2 + 3^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$4 + 9 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$13 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$-2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 3$.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = -\frac{3}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $(\overline{a}-\overline{d}) \cdot(\overline{b}-\overline{c})=0$ અને $(\overline{b}-\overline{d}) \cdot(\overline{c}-\overline{a})=0$.
આને સદિશોના સ્વરૂપમાં $\overline{AD} \cdot \overline{BC} = 0$ અને $\overline{BD} \cdot \overline{CA} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ અને $\overline{BD} \perp \overline{CA}$.
જેથી $D$ એ $\triangle ABC$ ના વેધ $AD$ અને $BD$ નું છેદબિંદુ હોવાથી,$D$ એ $\triangle ABC$ નું લંબકેન્દ્ર છે.

(C) ધારો કે આપેલ પદ $E = \tan \left[\sin ^{-1}\left\{\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{2}}\right\}-\sin ^{-1} x\right]$ છે.
$x = \sin \theta$ લો,જ્યાં $\theta = \sin^{-1} x$.
$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ હોવાથી,$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ મળે.
$\sin^{-1}$ ની અંદરનું પદ $\frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} + \frac{\cos \theta}{\sqrt{2}} = \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ થાય છે.
હવે,પદ $E = \tan \left[\sin ^{-1}\left\{\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\right\} - \theta\right]$ બને છે.
$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ હોવાથી,$\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{12}$ થાય.
આ કિંમત $\sin^{-1}$ ના મુખ્ય વિસ્તારમાં હોવાથી,$\sin^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{4})) = \theta + \frac{\pi}{4}$ મળે.
તેથી,$E = \tan \left(\theta + \frac{\pi}{4} - \theta\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$.