MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+5}{4} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z) = (2\lambda+1, -3\lambda+2, 4\lambda-5)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x+4y-z=3$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2\lambda+1) + 4(-3\lambda+2) - (4\lambda-5) = 3$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$4\lambda + 2 - 12\lambda + 8 - 4\lambda + 5 = 3$.
$\lambda$ વાળા પદો અને અચળાંકોને ભેગા કરતા:
$-12\lambda + 15 = 3$.
$-12\lambda = 3 - 15$.
$-12\lambda = -12$.
$\lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને યામમાં મૂકતા:
$x = 2(1) + 1 = 3$.
$y = -3(1) + 2 = -1$.
$z = 4(1) - 5 = -1$.
આમ,જરૂરી યામ $(3, -1, -1)$ છે.

(A) રેખા $L$ એ બે સમતલો $2x + 3y + z = 1$ અને $x + 3y + 2z = 2$ ની છેદરેખા છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ સમતલોના અભિલંબ $\vec{n_1} = (2, 3, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, 3, 2)$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{v} = (1, -1, 1)$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
રેખા $L$ એ ધન $X$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે,જેનો દિશા સદિશ $\vec{u} = (1, 0, 0)$ છે.
ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન $\cos \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u}|}{|\vec{v}| |\vec{u}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \alpha = \frac{|(1)(1) + (-1)(0) + (1)(0)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \sqrt{3}$.

(B) આપેલ રેખા $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ એ સમતલ $x+3y-\alpha z+\beta=0$ માં આવેલી હોવાથી,રેખાના દિકગુણોત્તર $(3, -5, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ $(1, 3, -\alpha)$ ને લંબ હોય.
તેથી,$3(1) + (-5)(3) + 2(-\alpha) = 0$.
$3 - 15 - 2\alpha = 0 \Rightarrow -12 - 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -6$.
વળી,રેખા પરનું બિંદુ $(2, 1, -2)$ એ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે.
$2 + 3(1) - (-6)(-2) + \beta = 0$.
$2 + 3 - 12 + \beta = 0 \Rightarrow -7 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 7$.
અંતે,$\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = (-6)^2 + (-6)(7) + (7)^2 = 36 - 42 + 49 = 43$.

(C) રેખા જેના દિશા સદિશ $\vec{b}$ છે અને સમતલ જેના અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ છે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$.
અહીં,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} - \lambda\hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{3} = \left| \frac{(2)(1) + (1)(-2) + (-2)(-\lambda)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-\lambda)^2}} \right|$
$\frac{1}{3} = \left| \frac{2 - 2 + 2\lambda}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda^2}} \right|$
$\frac{1}{3} = \left| \frac{2\lambda}{3 \sqrt{5 + \lambda^2}} \right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{9} = \frac{4\lambda^2}{9(5 + \lambda^2)}$
$5 + \lambda^2 = 4\lambda^2$
$3\lambda^2 = 5$
$\lambda^2 = \frac{5}{3} \Rightarrow \lambda = \sqrt{\frac{5}{3}}$.

(B) ધારો કે રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}=k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(2k+1, 3k-1, 4k+2)$ સ્વરૂપમાં છે.
બિંદુ $P$ એ સમતલ $x+2y+3z=15$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2k+1) + 2(3k-1) + 3(4k+2) = 15$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $2k + 1 + 6k - 2 + 12k + 6 = 15$.
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા: $20k + 5 = 15$,જે આપે છે $20k = 10$,તેથી $k = \frac{1}{2}$.
$k = \frac{1}{2}$ ની કિંમત $P$ ના યામમાં મૂકતા:
$P = (2(\frac{1}{2})+1, 3(\frac{1}{2})-1, 4(\frac{1}{2})+2) = (2, \frac{1}{2}, 4)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $P(2, \frac{1}{2}, 4)$ નું અંતર $\sqrt{2^2 + (\frac{1}{2})^2 + 4^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{4} + 16} = \sqrt{20 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}$ એકમ થાય.

(D) સમતલ $P_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\bar{n_1} = (2 \hat{j}+3 \hat{k}) \times (4 \hat{j}-3 \hat{k}) = -18 \hat{i}$ છે.
સમતલ $P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\bar{n_2} = (\hat{j}-\hat{k}) \times (3 \hat{i}+3 \hat{j}) = 3 \hat{i}-3 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે.
સદિશ $\bar{A}$ એ છેદરેખાને સમાંતર હોવાથી,$\bar{A} = \bar{n_1} \times \bar{n_2} = (-18 \hat{i}) \times (3 \hat{i}-3 \hat{j}-3 \hat{k}) = 54 \hat{j}-54 \hat{k}$ મળે.
આપણે $\bar{A}$ ને $-\hat{j}+\hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ.
ધારો કે $\bar{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$. $\bar{A}$ અને $\bar{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\bar{A} \cdot \bar{v}}{|\bar{A}| |\bar{v}|}$ છે.
$\bar{A} \cdot \bar{v} = (0)(2) + (-1)(1) + (1)(-2) = -3$.
$|\bar{A}| = \sqrt{2}$ અને $|\bar{v}| = 3$.
$\cos \theta = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ સ્વરૂપમાં છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 5$.
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 5$.
$11\lambda + 5 = 5$.
$11\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
આમ,છેદબિંદુ $P$ એ $(2, -1, 2)$ છે.
હવે આપણે $P(2, -1, 2)$ અને $Q(-1, -5, -10)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું છે.
$PQ = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-5 - (-1))^2 + (-10 - 2)^2}$.
$PQ = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-12)^2}$.
$PQ = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ એકમ.

(A) રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{1}$ ના દિક્-ગુણોત્તરો $2, 4, 1$ છે.
આપેલ રેખા સમાંતર હોવાથી,માંગેલ રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો પણ $2, 4, 1$ થશે.
બિંદુ $A(1, 3, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 2}{1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $B = (2\lambda + 1, 4\lambda + 3, \lambda + 2)$ સ્વરૂપમાં મળે.
બિંદુ $B$ એ સમતલ $3x + y + 2z = 5$ પર આવેલું હોવાથી,તેના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(2\lambda + 1) + (4\lambda + 3) + 2(\lambda + 2) = 5$.
$6\lambda + 3 + 4\lambda + 3 + 2\lambda + 4 = 5$.
$12\lambda + 10 = 5$.
$12\lambda = -5 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{12}$.
હવે $\lambda = -\frac{5}{12}$ ને $B$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(-\frac{5}{12}) + 1 = \frac{1}{6}$.
$y = 4(-\frac{5}{12}) + 3 = \frac{4}{3}$.
$z = -\frac{5}{12} + 2 = \frac{19}{12}$.
આમ,બિંદુ $B$ ના યામ $(\frac{1}{6}, \frac{4}{3}, \frac{19}{12})$ છે.

(C) ધારો કે $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12} = \lambda$.
તેથી, રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ $P = (3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ છે.
આ બિંદુ $P$ સમતલ $x - y + z = 16$ પર આવેલું હોવાથી, આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 16$.
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 16$.
$11\lambda + 5 = 16$.
$11\lambda = 11$, જે આપણને $\lambda = 1$ આપે છે.
$\lambda = 1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા, આપણને $P = (3(1) + 2, 4(1) - 1, 12(1) + 2) = (5, 3, 14)$ મળે છે.
હવે, અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $P(5, 3, 14)$ અને $Q(1, 6, 2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધીએ:
$PQ = \sqrt{(1-5)^2 + (6-3)^2 + (2-14)^2}$.
$PQ = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2 + (-12)^2}$.
$PQ = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ એકમ}$.

(A) સમતલો $\bar{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ અને $\bar{r} \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ ની છેદરેખા,તેમના અભિલંબ સદિશો $\bar{n}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{n}_2 = \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,આ રેખા સદિશ $\bar{n}_1 \times \bar{n}_2$ ને સમાંતર છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$\bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(-2) - (1)(4)) - \hat{j}((3)(-2) - (1)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-1)(1))$
$= \hat{i}(2 - 4) - \hat{j}(-6 - 1) + \hat{k}(12 + 1)$
$= -2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$.

(A) આપેલ છે $\cos ^{-1} x - \cos ^{-1} \frac{y}{3} = \alpha$.
નિત્યસમ $\cos ^{-1} a - \cos ^{-1} b = \cos ^{-1} (ab + \sqrt{1-a^2} \sqrt{1-b^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos ^{-1} \left( \frac{xy}{3} + \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-\frac{y^2}{9}} \right) = \alpha$
$\frac{xy}{3} + \frac{\sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2}}{3} = \cos \alpha$
$xy + \sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2} = 3 \cos \alpha$
$xy - 3 \cos \alpha = -\sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(xy - 3 \cos \alpha)^2 = (1-x^2)(9-y^2)$
$x^2y^2 - 6xy \cos \alpha + 9 \cos ^2 \alpha = 9 - y^2 - 9x^2 + x^2y^2$
$9x^2 - 6xy \cos \alpha + y^2 = 9 - 9 \cos ^2 \alpha$
$9x^2 - 6xy \cos \alpha + y^2 = 9(1 - \cos ^2 \alpha) = 9 \sin ^2 \alpha$.

(D) ધારો કે $f(\theta) = a \sec \theta - b \tan \theta$.
તેથી $f'(\theta) = a \sec \theta \tan \theta - b \sec^2 \theta = \sec \theta (a \tan \theta - b \sec \theta)$.
$f'(\theta) = 0$ લેતા,$a \tan \theta - b \sec \theta = 0$ મળે (કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે $\sec \theta \neq 0$).
આથી $a \sin \theta = b$,એટલે કે $\sin \theta = \frac{b}{a}$.
$\sin \theta = \frac{b}{a}$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$ મળે.
તેથી $\sec \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 - b^2}}$ અને $\tan \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 - b^2}}$.
દ્વિતીય વિકલન $f''(\theta) > 0$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{b}{a}$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(\theta) = a \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 - b^2}} \right) - b \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 - b^2}} \right) = \frac{a^2 - b^2}{\sqrt{a^2 - b^2}} = \sqrt{a^2 - b^2}$.

(C) ધારો કે $f(x) = \sin x$.
તેથી $f^{\prime}(x) = \cos x$.
અહીં,$a = 60^{\circ}$ અને $h = 10^{\prime \prime}$.
$1^{\circ} = 3600^{\prime \prime}$ હોવાથી,$h = \frac{10}{3600}^{\circ} = \frac{1}{360}^{\circ}$.
$h$ ને રેડિયનમાં ફેરવતા: $h = \frac{1}{360} \times 0.0175^{c} \approx 0.0000486^{c}$.
હવે,$f(a) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1.732}{2} = 0.866$.
અને $f^{\prime}(a) = \cos(60^{\circ}) = 0.5$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(60^{\circ} 0^{\prime} 10^{\prime \prime}) \approx 0.866 + (0.0000486 \times 0.5)$.
$\approx 0.866 + 0.0000243 = 0.8660243$.

(A) આપેલ છે $\overline{OP} = \hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t$.
$M = |\overline{OP}| = \sqrt{(\hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t)^2}$.
$\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\hat{a}| = 1$ અને $|\hat{b}| = 1$.
$M^2 = \sin^2 t |\hat{a}|^2 + \cos^2 t |\hat{b}|^2 + 2 \sin t \cos t (\hat{a} \cdot \hat{b}) = \sin^2 t + \cos^2 t + \sin 2t (\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + \sin 2t (\hat{a} \cdot \hat{b})$.
$P$ ઉગમબિંદુ $O$ થી સૌથી દૂર હોય તે માટે,$M$ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\hat{a}$ અને $\hat{b}$ લઘુકોણ બનાવતા હોવાથી,$\hat{a} \cdot \hat{b} > 0$.
તેથી,$M$ મહત્તમ થાય જ્યારે $\sin 2t = 1$,જેનો અર્થ છે $2t = \frac{\pi}{2}$,એટલે કે $t = \frac{\pi}{4}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ પર,$\sin t = \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$M = \sqrt{1 + 1(\hat{a} \cdot \hat{b})} = (1 + \hat{a} \cdot \hat{b})^{\frac{1}{2}}$.
$\hat{u} = \frac{\overline{OP}}{|\overline{OP}|} = \frac{\hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t}{M} = \frac{\hat{a} \frac{1}{\sqrt{2}} + \hat{b} \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}} |\hat{a} + \hat{b}|} = \frac{\hat{a} + \hat{b}}{|\hat{a} + \hat{b}|}$.

(A) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ છે,જ્યાં $\vec{a} = 2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક વિકર્ણ $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{c} = (2+1) \hat{i} + (-4-2) \hat{j} + (5-3) \hat{k} = 3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$\vec{c}$ નું માન $|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ છે.
વિકર્ણ $\vec{c}$ ને સમાંતર એકમ સદિશ $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}}{7} = \frac{3}{7} \hat{i} - \frac{6}{7} \hat{j} + \frac{2}{7} \hat{k}$ છે.

(B) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$. $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$.
સદિશ $\vec{c} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ નો $\vec{n}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\left| \frac{\vec{c} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{c} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (1)(1) = 2 - 2 + 1 = 1$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$.
તેથી,પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\left| \frac{1}{\sqrt{6}} \right| = \frac{1}{\sqrt{6}}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\overline{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overline{b} = \hat{j} - \hat{k}$. ધારો કે $\overline{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
આપણને $\overline{a} \times \overline{r} = \overline{b}$ આપેલ છે.
$\overline{a} \times \overline{r} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y) \hat{i} - (z-x) \hat{j} + (y-x) \hat{k}$.
આને $\overline{b} = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 1 \hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$z - y = 0 \implies z = y$ $(i)$
$x - z = 1 \implies x = z + 1$ (ii)
$y - x = -1$ (iii)
વળી,$\overline{a} \cdot \overline{r} = 3 \implies x + y + z = 3$ (iv).
(iv) માં $y = z$ અને $x = z + 1$ મૂકતા:
$(z + 1) + z + z = 3 \implies 3z + 1 = 3 \implies 3z = 2 \implies z = \frac{2}{3}$.
આમ,$y = \frac{2}{3}$ અને $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
તેથી,$\overline{r} = \frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{2}{3} \hat{k}$.

(A) આપેલ છે: $\overline{a} = 4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k}$,$\overline{b} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$,અને $\overline{c} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
આપણને સંબંધ $\overline{a} = m \overline{b} + n \overline{c}$ આપેલ છે.
સદિશોની કિંમતો મૂકતા:
$4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k} = m(\hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + n(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k})$
$4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k} = (m + 2n) \hat{i} + (-2m + 3n) \hat{j} + (3m - 4n) \hat{k}$
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j},$ અને $\hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$1) \ m + 2n = 4$
$2) \ -2m + 3n = 13$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા $2m + 4n = 8$ મળે છે. આને સમીકરણ $(2)$ માં ઉમેરતા:
$(2m + 4n) + (-2m + 3n) = 8 + 13$
$7n = 21 \Rightarrow n = 3$
$n = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$m + 2(3) = 4 \Rightarrow m + 6 = 4 \Rightarrow m = -2$
આમ,$m + n = -2 + 3 = 1$.

(A) સદિશો $\bar{a}$,$\bar{b}$,અને $\bar{c}$ સુરેખ રીતે આધારિત હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય: $\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$.
આ નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(3\beta - 4\alpha) - 1(4\beta - 4) + 1(4\alpha - 3) = 0$.
$3\beta - 4\alpha - 4\beta + 4 + 4\alpha - 3 = 0$.
$-\beta + 1 = 0 \implies \beta = 1$.
આપેલ છે કે $|\bar{c}| = \sqrt{3}$,તેથી $\sqrt{1^2 + \alpha^2 + \beta^2} = \sqrt{3}$.
$1 + \alpha^2 + \beta^2 = 3$.
$\beta = 1$ મૂકતા:
$1 + \alpha^2 + 1 = 3 \implies \alpha^2 = 1 \implies \alpha = \pm 1$.
વિકલ્પો તપાસતા,$\alpha = 1$ અને $\beta = 1$ માટે શરત સંતોષાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ શરત મુજબ,સદિશ $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
સૌ પ્રથમ,$\bar{a}+\lambda \bar{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = (2+2\lambda) \hat{i} + (3+\lambda) \hat{j} + (2-\lambda) \hat{k}$
હવે,$\bar{c} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 0 \hat{k}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર કરતા:
$[(2+2\lambda) \hat{i} + (3+\lambda) \hat{j} + (2-\lambda) \hat{k}] \cdot (3 \hat{i} - \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$3(2+2\lambda) - 1(3+\lambda) + 0(2-\lambda) = 0$
$6 + 6\lambda - 3 - \lambda = 0$
$3 + 5\lambda = 0$
$5\lambda = -3$
$\lambda = \frac{-3}{5}$

(B) પાસપાસેની બાજુઓ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|\bar{a} \times \bar{b}| = 16$.
હવે,$(3 \bar{a} + 2 \bar{b})$ અને $(\bar{a} + 3 \bar{b})$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન દ્વારા મળે છે:
$|(3 \bar{a} + 2 \bar{b}) \times (\bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 9(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 6(\bar{b} \times \bar{b})|$
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})|$
$= 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
$= 7 \times 16 = 112$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ છે: $|\overline{u}|=1, |\overline{v}|=2, |\overline{w}|=3$.
શરત મુજબ,$\overline{v}$ નો $\overline{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ = $\overline{w}$ નો $\overline{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ.
$\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|} = \frac{\overline{w} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$
$\implies \overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u}$
$\implies (\overline{w} - \overline{v}) \cdot \overline{u} = 0$.
હવે,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = |\overline{u} + (\overline{w} - \overline{v})|^2$ ધ્યાનમાં લો.
$= |\overline{u}|^2 + |\overline{w} - \overline{v}|^2 + 2\overline{u} \cdot (\overline{w} - \overline{v})$.
કારણ કે $(\overline{w} - \overline{v}) \cdot \overline{u} = 0$,તેથી છેલ્લું પદ $0$ થશે.
$= |\overline{u}|^2 + |\overline{w}|^2 + |\overline{v}|^2 - 2(\overline{w} \cdot \overline{v})$.
$\overline{v}$ અને $\overline{w}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\overline{w} \cdot \overline{v} = 0$.
$= (1)^2 + (3)^2 + (2)^2 - 0 = 1 + 9 + 4 = 14$.
તેથી,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}| = \sqrt{14}$.

(D) આપેલ છે કે $|\overline{b}|=4, |\overline{c}|=1$ અને $|\overline{b} \times \overline{c}|=\sqrt{15}$.
ધારો કે $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે.
$|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}||\overline{c}| \sin \alpha = \sqrt{15}$.
$4 \times 1 \times \sin \alpha = \sqrt{15} \implies \sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
તેથી,$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \implies \cos \alpha = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $\overline{b} = 2\overline{c} + \lambda \overline{a}$,તેથી $\overline{b} - 2\overline{c} = \lambda \overline{a}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\overline{b} - 2\overline{c}|^2 = |\lambda \overline{a}|^2$.
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$.
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(|\overline{b}||\overline{c}| \cos \alpha) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$.
$16 + 4(1) - 4(4 \times 1 \times \frac{1}{4}) = \lambda^2 (2)^2$.
$16 + 4 - 4 = 4\lambda^2$.
$16 = 4\lambda^2 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$. વિકલ્પ મુજબ સાચો જવાબ $4$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}+2 \bar{b}$ એ $\bar{c}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી એક શૂન્યેતર અદિશ $n$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\bar{a}+2 \bar{b} = n \bar{c}$. (સમીકરણ $1$)
તે જ રીતે,$\bar{b}+3 \bar{c}$ એ $\bar{a}$ સાથે સમરેખ હોવાથી,એક શૂન્યેતર અદિશ $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\bar{b}+3 \bar{c} = m \bar{a}$. (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ પરથી,$\bar{b} = m \bar{a} - 3 \bar{c}$ મળે છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $\bar{a} + 2(m \bar{a} - 3 \bar{c}) = n \bar{c}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\bar{a} + 2m \bar{a} - 6 \bar{c} = n \bar{c}$.
$(1 + 2m) \bar{a} = (n + 6) \bar{c}$.
અહીં $\bar{a}$ અને $\bar{c}$ શૂન્યેતર અને અસમરેખ હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$1 + 2m = 0 \Rightarrow m = -\frac{1}{2}$ અને $n + 6 = 0 \Rightarrow n = -6$.
$n = -6$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા,આપણને $\bar{a} + 2 \bar{b} = -6 \bar{c}$ મળે છે.

(C) ધારો કે સદિશ $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{a} = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,તે $\vec{v} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b} = (2\lambda + \mu) \hat{i} + (\lambda + \mu) \hat{j} + (\lambda + \mu) \hat{k}$ સ્વરૂપમાં હશે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{c} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$ થાય.
$3(2\lambda + \mu) + 2(\lambda + \mu) + 6(\lambda + \mu) = 0$.
$14\lambda + 11\mu = 0$.
જો $\lambda = 11$ લઈએ,તો $\mu = -14$ મળે.
તેથી $\vec{v} = 8 \hat{i} - 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$ મળે.
એકમ સદિશ $\pm \frac{8 \hat{i} - 3 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{82}}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) યામ પદ્ધતિને ઉગમબિંદુની આસપાસ ફેરવવાથી સદિશનું માન બદલાતું નથી.
મૂળ પદ્ધતિમાં સદિશ $\bar{a}$ ના ઘટકો $(1, 2p)$ આપેલા છે,તેથી તેનું માનનો વર્ગ:
$|\bar{a}|^2 = 1^2 + (2p)^2 = 1 + 4p^2$
નવી પદ્ધતિમાં,ઘટકો $(1, p+1)$ છે,તેથી તેના માનનો વર્ગ:
$|\bar{b}|^2 = 1^2 + (p+1)^2 = 1 + p^2 + 2p + 1 = p^2 + 2p + 2$
કારણ કે $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2$,તેથી:
$1 + 4p^2 = p^2 + 2p + 2$
$3p^2 - 2p - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(3p + 1)(p - 1) = 0$
આમ,$p = -\frac{1}{3}$ અથવા $p = 1$.

(D) સદિશ $\overline{a}$ ની દિશામાં સદિશ $\overline{b}$ નો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{પ્રક્ષેપ} = \frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \cdot \overline{b} = (2)(1) + (3)(-1) + (-4)(-1) = 2 - 3 + 4 = 3$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\overline{a}$ નું માન શોધો: $|\overline{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{3}{\sqrt{29}}$ થાય છે.

(A) આપેલ સદિશો $p \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+q \hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+\hat{j}+r \hat{k}$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{lll}p & 1 & 1 \\ 1 & q & 1 \\ 1 & 1 & r\end{array}\right|=0$
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$p(qr-1) - 1(r-1) + 1(1-q) = 0$
$pqr - p - r + 1 + 1 - q = 0$
$pqr - p - q - r + 2 = 0$
પદોને ગોઠવતા આપણને મળે છે:
$pqr - (p+q+r) = -2$

(D) ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આપેલ છે કે $\overline{c}=\lambda(\overline{a} \times \overline{b})$,જેનો અર્થ છે કે $\overline{c}$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\overline{c} \cdot \overline{a} = 0$ અને $\overline{c} \cdot \overline{b} = 0$.
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|=1$ આપેલ હોવાથી,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 1$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$|\overline{a}|^2+|\overline{b}|^2+|\overline{c}|^2+2(\overline{a} \cdot \overline{b}+\overline{b} \cdot \overline{c}+\overline{c} \cdot \overline{a}) = 1$.
કિંમતો મૂકતા $|\overline{a}|^2 = \frac{1}{3}$,$|\overline{b}|^2 = \frac{1}{2}$,$|\overline{c}|^2 = \frac{1}{6}$ અને $\overline{c}$ સાથેના ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ લેતા:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + 2(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 0 + 0 = 1$.
$\frac{2+3+1}{6} + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta = 1$.
$1 + 2(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cos \theta = 1$.
$2(\frac{1}{\sqrt{6}}) \cos \theta = 0$.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{v}$ નો $\overline{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ = $\overline{w}$ નો $\overline{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ.
કારણ કે $|\overline{u}|=1$,પ્રક્ષેપનું સૂત્ર $\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$ એ $\overline{v} \cdot \overline{u}$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$\overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u} \Rightarrow (\overline{v} - \overline{w}) \cdot \overline{u} = 0 \dots (i)$.
વળી,$\overline{v}$ અને $\overline{w}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $\overline{v} \cdot \overline{w} = 0 \dots (ii)$.
આપણે $|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2$ શોધવાનું છે.
$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = |\overline{u}|^2 + |-\overline{v}|^2 + |\overline{w}|^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v}) + 2(\overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(\overline{v} \cdot \overline{w})$.
કિંમતો $|\overline{u}|=1, |\overline{v}|=2, |\overline{w}|=3$ મૂકતા અને $(i)$ તથા $(ii)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(0)$.
કારણ કે $\overline{u} \cdot \overline{v} = \overline{u} \cdot \overline{w}$,પદ $2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) = 0$ થાય.
તેથી,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
આમ,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}| = \sqrt{14}$.

(A) આપેલ છે કે $|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=3, |\overline{c}|=5$ અને દરેક સદિશની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}||\overline{b}| \cos 60^{\circ} = (2)(3)(\frac{1}{2}) = 3$.
તે જ રીતે,$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos 60^{\circ} = (3)(5)(\frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$.
અને $\overline{c} \cdot \overline{a} = |\overline{c}||\overline{a}| \cos 60^{\circ} = (5)(2)(\frac{1}{2}) = 5$.
હવે,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2+|\overline{b}|^2+|\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$.
કિંમતો મૂકતા: $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(3 + \frac{15}{2} + 5)$.
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 4 + 9 + 25 + 2(\frac{6+15+10}{2}) = 38 + 31 = 69$.
તેથી,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{69}$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot \{(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b})\}$ છે.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ નિત્યસમ $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b}) = -((2 \overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a} \times \overline{b}))$
$= -\{(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b}) \overline{a} - ((2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a}) \overline{b}\}$
અહીં $\overline{a} \cdot \overline{a} = 1$ અને $\overline{b} \cdot \overline{b} = 1$ (એકમ સદિશો) અને $\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = 0$ હોવાથી,સદિશો લંબ છે.
તેથી,$(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b} = 2(\overline{a} \cdot \overline{b}) + \overline{b} \cdot \overline{b} = 0 + 1 = 1$.
અને $(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a} = 2(\overline{a} \cdot \overline{a}) + \overline{b} \cdot \overline{a} = 2(1) + 0 = 2$.
આમ,પદાવલિ $- \{1 \cdot \overline{a} - 2 \cdot \overline{b}\} = 2 \overline{b} - \overline{a}$ બને છે.
હવે,$E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (2 \overline{b} - \overline{a}) = -(\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (\overline{a}-2 \overline{b}) = -|\overline{a}-2 \overline{b}|^2$.
$|\overline{a}-2 \overline{b}|^2 = |\overline{a}|^2 + 4|\overline{b}|^2 - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) = 1 + 4(1) - 0 = 5$.
તેથી,$E = -5$.

(B) ધારો કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\overline{a}$ અને $\overline{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\overline{a}| = 1$ અને $|\overline{b}| = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $\overline{c} = \overline{a} + 2\overline{b}$ અને $\overline{d} = 5\overline{a} - 4\overline{b}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\overline{c} \cdot \overline{d} = 0$
$(\overline{a} + 2\overline{b}) \cdot (5\overline{a} - 4\overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 10(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 + 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
અહીં $|\overline{a}| = 1, |\overline{b}| = 1$ અને $\overline{a} \cdot \overline{b} = \cos \theta$ મૂકતા:
$5(1) + 6 \cos \theta - 8(1) = 0$
$6 \cos \theta - 3 = 0$
$6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ છે: $|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=4$ અને $\bar{a} \cdot \bar{b}=2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2$.
$|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$.
આપેલ છે $\bar{c} = 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3\bar{b}$.
કારણ કે $(\bar{a} \times \bar{b}) \perp \bar{b}$,સદિશો $2(\bar{a} \times \bar{b})$ અને $-3\bar{b}$ પરસ્પર લંબ છે.
$|\bar{c}|^2 = |2(\bar{a} \times \bar{b})|^2 + |-3\bar{b}|^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9|\bar{b}|^2$.
$|\bar{c}|^2 = 4(12) + 9(16) = 48 + 144 = 192$.
$|\bar{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
હવે,$\bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{b} \cdot (2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3\bar{b}) = 2(\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b})) - 3(\bar{b} \cdot \bar{b})$.
કારણ કે $\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = -3|\bar{b}|^2 = -3(16) = -48$.
ધારો કે $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\cos \theta = \frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{|\bar{b}| |\bar{c}|} = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

(A) આપણને સદિશ ત્રિગુણનનો ગુણધર્મ ખબર છે: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$.
આપેલ સમીકરણ $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\overline{b}$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ કારણ કે જમણી બાજુએ $\overline{b}$ વાળું પદ નથી. તેથી,$(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 0$.
$\overline{a}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે: $-(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta$,તેથી:
$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
$\overline{b}$ અને $\overline{c}$ શૂન્યેતર સદિશો હોવાથી,આપણે $|\overline{b}||\overline{c}|$ વડે ભાગી શકીએ:
$-\cos \theta = \frac{1}{3} \implies \cos \theta = -\frac{1}{3}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
$\theta$ એ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો હોવાથી,$0 \le \theta \le \pi$,તેથી $\sin \theta \ge 0$.
આમ,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.

(C) ધારો કે $\bar{r}$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ છે. તેથી,$\bar{r} = \bar{a} + m\bar{b}$ કોઈ અદિશ $m$ માટે.
$\bar{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + m(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (1+m)\hat{i} + (2-m)\hat{j} + (1+m)\hat{k}$.
$\bar{r}$ નો $\bar{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{r} \cdot \bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$|\bar{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ ગણો.
હવે,$\bar{r} \cdot \bar{c} = (1+m)(1) + (2-m)(1) + (1+m)(-1) = 1+m + 2-m - 1-m = 2-m$.
તેથી,$\frac{2-m}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 2-m = 1 \Rightarrow m = 1$.
$m=1$ ને $\bar{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\bar{r} = (1+1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1+1)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
જો આપણે પ્રક્ષેપને $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ તરીકે લઈએ,તો $2-m = -1 \Rightarrow m = 3$.
$m=3$ માટે,$\bar{r} = (1+3)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (1+3)\hat{k} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a} \times \bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના માનની વ્યાખ્યા મુજબ,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(\frac{\pi}{4})$. ... $(i)$
પ્રથમ,$\bar{a} \times \bar{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ છે.
આપેલ છે કે $|\bar{c} - \bar{a}| = 2\sqrt{2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
કારણ કે $|\bar{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$,તેથી:
$|\bar{c}|^2 + 3^2 - 2|\bar{c}| = 8$.
$|\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 9 = 8 \implies |\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 1 = 0$.
$(|\bar{c}| - 1)^2 = 0 \implies |\bar{c}| = 1$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = 3 \times 1 \times \sin(\frac{\pi}{4}) = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overline{AB}$ અને $\overline{CD}$ શોધીએ:
$\overline{AB} = (1-2)\hat{i} + (-4-(-3))\hat{j} + (-2-0)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$
$\overline{CD} = (7-4)\hat{i} + (0-6)\hat{j} + (10-8)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
$\overline{AB}$ નો $\overline{CD}$ પરનો સદિશ પ્રક્ષેપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{સદિશ પ્રક્ષેપ} = (\overline{AB} \cdot \hat{CD}) \hat{CD} = (\overline{AB} \cdot \overline{CD}) \frac{\overline{CD}}{|\overline{CD}|^2}$
અદિશ ગુણાકાર $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$ ની ગણતરી કરો:
$\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (-1)(3) + (-1)(-6) + (-2)(2) = -3 + 6 - 4 = -1$
માનનું વર્ગ $|\overline{CD}|^2$ ની ગણતરી કરો:
$|\overline{CD}|^2 = 3^2 + (-6)^2 + 2^2 = 9 + 36 + 4 = 49$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{સદિશ પ્રક્ષેપ} = (-1) \frac{3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}}{49} = -\frac{1}{49}(3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k})$

(C) ધારો કે $\overline{d} = \overline{a} + \lambda \overline{b}$.
$\overline{d} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$
$\overline{d} = (2 + 2\lambda) \hat{i} + (3 + \lambda) \hat{j} + (2 - \lambda) \hat{k}$.
અહીં $\overline{d}$ એ $\overline{c}$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\overline{c} \cdot \overline{d} = 0$.
$(\hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot [(2 + 2\lambda) \hat{i} + (3 + \lambda) \hat{j} + (2 - \lambda) \hat{k}] = 0$.
$1(2 + 2\lambda) + 3(3 + \lambda) + 0(2 - \lambda) = 0$.
$2 + 2\lambda + 9 + 3\lambda = 0$.
$5\lambda + 11 = 0$.
$\lambda = -\frac{11}{5}$.

(B) ધારો કે $\vec{a}$ એ $A(-2,0,3)$ અને $B(1,4,2)$ ને જોડતો સદિશ છે.
$\vec{a} = (1 - (-2))\hat{i} + (4 - 0)\hat{j} + (2 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{b}$ એ $6, -2, 3$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખા પરનો સદિશ છે,તેથી $\vec{b} = 6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(6) + (4)(-2) + (-1)(3) = 18 - 8 - 3 = 7$.
$|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,અદિશ પ્રક્ષેપ $\frac{7}{7} = 1$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
કારણ કે $(\bar{a}+2 \bar{b})$ અને $(5 \bar{a}-4 \bar{b})$ એકબીજાને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot (5 \bar{a}-4 \bar{b}) = 0$
$5|\bar{a}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{b} \cdot \bar{a}) - 8|\bar{b}|^2 = 0$
$|\bar{a}|^2 = 1$ અને $|\bar{b}|^2 = 1$ મૂકતા:
$5(1) + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8(1) = 0$
$6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 3 = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta$,તેથી:
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{3}$

(D) ધારો કે $\bar{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$.
$\bar{r}$ એ $\bar{q}$ ને લંબ હોવાથી,$\bar{r} \cdot \bar{q} = 0$.
આથી $a - 2b + c = 0$ ... $(i)$.
$\bar{r}$ એ $\bar{p}$ અને $\bar{q}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{p} \ \bar{q} \ \bar{r}] = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & b & c \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(-2c - b) - 1(c - a) + 1(b + 2a) = 0$.
$-2c - b - c + a + b + 2a = 0 \Rightarrow 3a - 3c = 0 \Rightarrow a = c$ ... $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $a - 2b + a = 0 \Rightarrow 2a = 2b \Rightarrow a = b$.
તેથી,$\bar{r} = a(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$\bar{r}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ છે.
માગેલ સદિશનું માન $5\sqrt{3}$ હોવાથી,$\text{સદિશ} = 5\sqrt{3} \times \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.

(C) આપણે સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c} = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{b} \cdot \bar{c}) \bar{a}$.
આપેલ છે કે $(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c} = -5 \bar{a} + 4 \bar{b}$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$-(\bar{b} \cdot \bar{c}) = -5 \implies \bar{b} \cdot \bar{c} = 5$
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 4$
હવે,આપણે $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})$ શોધવાનું છે.
સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર વાપરતા: $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$.
જ્ઞાત મૂલ્યો $\bar{a} \cdot \bar{c} = 4$ અને $\bar{a} \cdot \bar{b} = 3$ મૂકતા:
$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = 4 \bar{b} - 3 \bar{c}$.

(D) આપેલ છે કે $\overline{r} \times \overline{a} = \overline{b} \times \overline{a} \implies (\overline{r} - \overline{b}) \times \overline{a} = \overline{0}$. આનો અર્થ એ છે કે કોઈ અદિશ $k_1$ માટે $(\overline{r} - \overline{b}) = k_1 \overline{a}$.
તે જ રીતે,$\overline{r} \times \overline{b} = \overline{a} \times \overline{b} \implies (\overline{r} - \overline{a}) \times \overline{b} = \overline{0}$. આનો અર્થ એ છે કે કોઈ અદિશ $k_2$ માટે $(\overline{r} - \overline{a}) = k_2 \overline{b}$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\overline{r} = \overline{b} + k_1 \overline{a} = (2\hat{j} - \hat{k}) + k_1(\hat{i} + \hat{j}) = k_1\hat{i} + (2+k_1)\hat{j} - \hat{k}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\overline{r} = \overline{a} + k_2 \overline{b} = (\hat{i} + \hat{j}) + k_2(2\hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} + (1+2k_2)\hat{j} - k_2\hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$k_1 = 1$
$2+k_1 = 1+2k_2 \implies 2+1 = 1+2k_2 \implies 2k_2 = 2 \implies k_2 = 1$
$-1 = -k_2 \implies k_2 = 1$.
$k_1=1$ ને $\overline{r} = k_1\hat{i} + (2+k_1)\hat{j} - \hat{k}$ માં મૂકતા,આપણને $\overline{r} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ મળે છે.
તેનું માન $|\overline{r}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$.
તેથી,$\frac{\overline{r}}{|\overline{r}|} = \frac{\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}}$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{a} \cdot(\overline{b}+\overline{c})+\overline{b} \cdot(\overline{c}+\overline{a})+\overline{c} \cdot(\overline{a}+\overline{b})=0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{b} = 0$.
સદિશનો અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{b} \cdot \overline{a}$,વગેરે.
આમ,$2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a}) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$.
આપેલ કિંમતો $|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=8, |\overline{c}|=4$ અને ઉપર મેળવેલ પરિણામ મૂકતા:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 1^2 + 8^2 + 4^2 + 2(0) = 1 + 64 + 16 = 81$.
તેથી,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{81} = 9$.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો અને તફાવત શોધો:
$\bar{a}+\bar{b} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+(3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = 4 \hat{i}-\hat{j}+6 \hat{k}$
$\bar{a}-\bar{b} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-(3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = -2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$
બંને સદિશો $(\bar{a}+\bar{b})$ અને $(\bar{a}-\bar{b})$ ને લંબ સદિશ તેમના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = (\bar{a}+\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 6 \\ -2 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$\vec{v} = \hat{i}(4 - 18) - \hat{j}(-16 + 12) + \hat{k}(12 - 2) = -14 \hat{i} + 4 \hat{j} + 10 \hat{k}$
આ સદિશનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{(-14)^2 + 4^2 + 10^2} = \sqrt{196 + 16 + 100} = \sqrt{312}$ છે.
તેથી,જરૂરી એકમ સદિશ $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{-14 \hat{i}+4 \hat{j}+10 \hat{k}}{\sqrt{312}}$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ શોધો:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 7 \end{vmatrix} = \hat{i}(28 - (-4)) - \hat{j}(7 - 6) + \hat{k}(-2 - 12) = 32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k}$.
સદિશ $\overline{d}$ એ $\overline{a} \times \overline{b}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\overline{d} = k(32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k})$ લખી શકાય.
આપેલ છે કે $\overline{c} \cdot \overline{d} = 15$,જ્યાં $\overline{c} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$:
$(2 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot k(32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k}) = 15$
$k(64 + 1 - 56) = 15$
$9k = 15 \implies k = \frac{5}{3}$.
વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $(B)$ માટે $\overline{c} \cdot \overline{d} = (2)(90) + (-1)(-3) + (4)(-42) = 180 + 3 - 168 = 15$. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) બે સદિશો $\bar{u}$ અને $\bar{v}$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}| |\bar{v}| \sin(\theta)$
આપેલ છે:
$|\bar{u}| = 8$
$|\bar{v}| = 12$
$\theta = 150^{\circ}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 12 \times \sin(150^{\circ})$
કારણ કે $\sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 12 \times \frac{1}{2}$
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 6 = 48$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણને પદાવલિ $E = |(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b})|^2+4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2$ આપેલ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b}) = (\bar{a} \times \bar{a}) + (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{b} \times \bar{a}) - (\bar{b} \times \bar{b})$.
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને ગુણધર્મ $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b}) = (\bar{a} \times \bar{b}) - (-(\bar{a} \times \bar{b})) = 2(\bar{a} \times \bar{b})$.
હવે,આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = |2(\bar{a} \times \bar{b})|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2$.
$4$ સામાન્ય લેતા:
$E = 4(|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2)$.
લેગ્રાન્જના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
તેથી,$E = 4 |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
આપેલ છે કે $|\bar{a}|=4$ અને $|\bar{b}|=3$:
$E = 4 \times (4)^2 \times (3)^2 = 4 \times 16 \times 9 = 576$.

(B) ધારો કે $\overline{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overline{r} \times \overline{a} = \overline{b}$,તેથી:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$
$(4y - 3z) \hat{i} - (4x - 2z) \hat{j} + (3x - 2y) \hat{k} = \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$4y - 3z = 1$ $(1)$
$4x - 2z = 2 \Rightarrow 2x - z = 1 \Rightarrow z = 2x - 1$ $(2)$
$3x - 2y = 1 \Rightarrow 2y = 3x - 1 \Rightarrow y = \frac{3x - 1}{2}$ $(3)$
આપેલ છે કે $\overline{r} \cdot \overline{c} = 3$,તેથી $x + y - z = 3$ $(4)$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(4)$ માં મૂકતા:
$x + \frac{3x - 1}{2} - (2x - 1) = 3$
$2x + 3x - 1 - 4x + 2 = 6$
$x + 1 = 6 \Rightarrow x = 5$
$x=5$ ને $(2)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$z = 2(5) - 1 = 9$
$y = \frac{3(5) - 1}{2} = 7$
આમ,$\overline{r} = 5 \hat{i} + 7 \hat{j} + 9 \hat{k}$
$|\overline{r}| = \sqrt{5^2 + 7^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 49 + 81} = \sqrt{155}$