KCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र: $g_h = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि ऊँचाई $h = \frac{R}{2}$,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सूत्र में $h$ का मान रखने पर:
$g_h = \frac{g}{(1 + \frac{R/2}{R})^2} = \frac{g}{(1 + \frac{1}{2})^2} = \frac{g}{(\frac{3}{2})^2}$.
$g_h = \frac{g}{9/4} = \frac{4}{9}g$.
$g = 9.8 \ m/s^2$ का उपयोग करने पर:
$g_h = \frac{4}{9} \times 9.8 \approx 4.355 \ m/s^2 \approx 4.4 \ m/s^2$.

(A) मोलर विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $(\gamma = C_p / C_V)$ सूत्र $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ गैस अणु की स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ कमरे के तापमान पर एक द्वि-परमाणुक गैस है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ होती है ($3$ स्थानांतरण और $2$ घूर्णन)।
सूत्र में $f$ का मान रखने पर:
$\gamma = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$.

(B) ब्लॉक को नत समतल पर नीचे की ओर खींचने वाला बल $F = mg \sin 30^{\circ} = mg \times 0.5 = 0.5 mg$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल (सीमान्त घर्षण) $f_{s,max} = \mu_s R = \mu_s mg \cos 30^{\circ}$ है।
यहाँ $\mu_s = 0.6$ दिया गया है,इसलिए $f_{s,max} = 0.6 \times mg \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.3 \times 1.732 \times mg = 0.5196 mg$ प्राप्त होता है।
चूंकि खींचने वाला बल $F = 0.5 mg$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = 0.5196 mg$ से कम है,इसलिए ब्लॉक गति नहीं करेगा।
अतः,ब्लॉक का त्वरण शून्य है।

(D) दो सदिशों $A$ और $B$ का परिणामी $R$,$|A-B| \leq R \leq |A+B|$ की सीमा में होता है।
विकल्प $A$ के लिए: $|1-2| \leq R \leq |1+2| \implies 1 \leq R \leq 3$. चूँकि $3$ सीमा में है,परिणामी $3$ हो सकता है।
विकल्प $B$ के लिए: $|2-5| \leq R \leq |2+5| \implies 3 \leq R \leq 7$. चूँकि $3$ सीमा में है,परिणामी $3$ हो सकता है।
विकल्प $C$ के लिए: $|3-6| \leq R \leq |3+6| \implies 3 \leq R \leq 9$. चूँकि $3$ सीमा में है,परिणामी $3$ हो सकता है।
विकल्प $D$ के लिए: $|4-8| \leq R \leq |4+8| \implies 4 \leq R \leq 12$. सीमा $[4, 12]$ है। चूँकि $3$ इस सीमा में नहीं है,इसलिए परिणामी कभी भी $3$ इकाई नहीं हो सकता।

(C) दिया गया है: प्रवाह दर $Q = 0.314 \,m^3/s$ और त्रिज्या $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$ है।
सांतत्य समीकरण (Equation of continuity) का उपयोग करते हुए, $Q = A \times v$, जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर: $0.314 = \pi \times (0.1)^2 \times v$.
$\pi \approx 3.14$ लेने पर, हमें प्राप्त होता है $0.314 = 3.14 \times 0.01 \times v$.
$0.314 = 0.0314 \times v$.
$v = \frac{0.314}{0.0314} = 10 \,m/s$.

(B) तार के मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक सूक्ष्म खंड मानिए।
इस खंड के नीचे तार के भाग का वजन $dw = (A \cdot x \cdot \rho) g$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इस खंड पर प्रतिबल $\sigma = \frac{dw}{A} = \rho g x$ है।
विकृति $\frac{d(\Delta l)}{dx} = \frac{\sigma}{Y} = \frac{\rho g x}{Y}$ है।
कुल विस्तार $\Delta L$ ज्ञात करने के लिए $x = 0$ से $x = L$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{\rho g x}{Y} dx = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{\rho g L^2}{2 Y}$.

(A) दिया गया है,व्यास,$d = 80 \ m$.
अतः,त्रिज्या,$r = d/2 = 40 \ m$.
$3/4$ चक्कर पूरा करने के बाद तय की गई दूरी:
दूरी $= (3/4) \times (2 \pi r) = (3/2) \times \pi \times 40 = 60 \pi \ m$.
विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $A$ और अंतिम बिंदु $B$ के बीच की न्यूनतम दूरी है। चूंकि एथलीट वृत्त का $3/4$ भाग तय करता है,इसलिए प्रारंभिक और अंतिम स्थिति सदिशों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
दो त्रिज्याओं द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
विस्थापन $= \sqrt{r^2 + r^2} = r \sqrt{2} = 40 \sqrt{2} \ m$.

(B) हम जानते हैं कि $SHM$ करने वाले कण के लिए वेग $v$ और त्वरण $a$ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिए जाते हैं:
$v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
$a = -\omega^2 y$
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $y = 0$ होता है।
वेग के समीकरण में $y = 0$ रखने पर:
$v = \omega \sqrt{A^2 - 0} = \omega A$
अतः,वेग अधिकतम $(v_{\max} = \omega A)$ होता है।
त्वरण के समीकरण में $y = 0$ रखने पर:
$a = -\omega^2 (0) = 0$
अतः,त्वरण शून्य होता है।

(D) दिया गया है,वस्तु का द्रव्यमान $m_1 = 1 \,kg$ है।
घिरनी का द्रव्यमान $m_2 = 2 \,kg$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,द्रव्यमान द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा और घिरनी की घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
चूंकि घिरनी एक डिस्क है,इसका जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} m_2 R^2$ है। साथ ही,$\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m_2 R^2 \right) \left( \frac{v}{R} \right)^2$
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{4} m_2 v^2$
दिए गए मानों $(m_1 = 1 \,kg, m_2 = 2 \,kg, g = 10 \,ms^{-2}, h = 1.6 \,m)$ को रखने पर:
$1 \times 10 \times 1.6 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2 + \frac{1}{4} \times 2 \times v^2$
$16 = 0.5 v^2 + 0.5 v^2$
$16 = v^2$
$v = 4 \,ms^{-1}$

(C) ठोस घन को $\theta_0$ तापमान से $\theta_2$ तापमान पर वाष्प में बदलने के लिए आवश्यक कुल ऊष्मीय ऊर्जा $Q$ प्रत्येक चरण के लिए आवश्यक ऊष्मा का योग है:
$1$. ठोस का तापमान $\theta_0$ से $\theta_1$ तक बढ़ाने के लिए ऊष्मा: $Q_1 = m s_1(\theta_1 - \theta_0)$
$2$. $\theta_1$ पर गलन के लिए ऊष्मा: $Q_2 = m L_f$
$3$. तरल का तापमान $\theta_1$ से $\theta_2$ तक बढ़ाने के लिए ऊष्मा: $Q_3 = m s_2(\theta_2 - \theta_1)$
$4$. $\theta_2$ पर वाष्पन के लिए ऊष्मा: $Q_4 = m L_v$
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = m s_1(\theta_1 - \theta_0) + m L_f + m s_2(\theta_2 - \theta_1) + m L_v$.

(D) चक्रीय प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $p-V$ आरेख पर चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि चक्र $MNOM$ दक्षिणावर्त दिशा में है, इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।
त्रिभुज $MNO$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$W = \triangle MNO \text{ \text{का क्षेत्रफल}} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$W = \frac{1}{2} \times (ON) \times (OM)$
ग्राफ से, आधार $ON = 3V_0 - V_0 = 2V_0$ और ऊंचाई $OM = 3p_0 - p_0 = 2p_0$ है।
इन मानों को रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times (2V_0) \times (2p_0)$
$W = 2p_0 V_0$
अतः, गैस द्वारा किया गया कार्य $2p_0 V_0$ है।

(C) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता को क्षय की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो प्रति इकाई समय में होने वाले विघटन की संख्या है।
गणितीय रूप से,सक्रियता $A = -\frac{dN}{dt}$ है।
चूंकि $N$ (नाभिकों की संख्या) एक विमाहीन राशि है और $t$ समय को दर्शाता है,इसलिए सक्रियता की विमा $[T^{-1}]$ होती है।
अतः,इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^{-1}]$ है।

(A) मोटरसाइकिल सवार चट्टान की ओर बढ़ रहा है,इसलिए चट्टान परावर्तित ध्वनि के एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है।
मोटरसाइकिल सवार की गति,$v_o = 18 \ km/h = 18 \times \frac{5}{18} \ m/s = 5 \ m/s$.
हॉर्न की आवृत्ति,$f = 325 \ Hz$.
हवा में ध्वनि की गति,$v = 330 \ m/s$.
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार,गतिमान प्रेक्षक और स्थिर स्रोत के लिए मोटरसाइकिल सवार द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 325 \left( \frac{330 + 5}{330} \right) = 325 \left( \frac{335}{330} \right) \approx 329.92 \ Hz$.
सुने गए बीट्स की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है:
$\Delta f = f' - f = 329.92 - 325 = 4.92 \ Hz \approx 5 \ Hz$.

(D) कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ की दिशा निर्धारित करने के लिए,हम दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हैं।
इस नियम के अनुसार,यदि हम अपने दाएं हाथ की उंगलियों को पंखे के घूमने की दिशा में मोड़ते हैं,तो अंगूठा कोणीय वेग सदिश की दिशा को इंगित करता है।
दिए गए चित्र में,ऊपर से देखने पर पंखा घड़ी की दिशा (क्लॉकवाइज) में घूम रहा है।
चूंकि धुरी $Z$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए घूर्णन $XY$-समतल में हो रहा है।
दाएं हाथ के नियम को लागू करने पर,अंगूठा नीचे की ओर इशारा करता है,जो ऋणात्मक $Z$-दिशा में है।
इसलिए,कोणीय वेग की दिशा $-\hat{k}$ के अनुदिश है।

(C) $P-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल किए गए कार्य के बराबर होता है, जो गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta K)$ के बराबर है。
दिया गया द्रव्यमान $m = 500 \text{ g} = 0.5 \text{ kg}$ है。
समलंब $OABC$ का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times (\text{ऊंचाई})$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (2 + 8) \times 5 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \text{ J}$ है。
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है, इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है। अतः, $t = 5 \text{ s}$ पर अंतिम गतिज ऊर्जा $K = 25 \text{ J}$ है。
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ होती है, जहां $p$ संवेग है。
$25 = \frac{p^2}{2 \times 0.5}$
$25 = \frac{p^2}{1}$
$p^2 = 25$
$p = 5 \text{ kg m/s} = 5 \text{ N-s}$।

(C) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में अनुनाद आवृत्ति $f_0$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि अनुनाद आवृत्ति धारिता के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$f_0 \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$
जैसे-जैसे धारिता $C$ का मान बढ़ता है,अनुनाद आवृत्ति $f_0$ घटती जाती है। यह संबंध एक हाइपरबोलिक वक्र को दर्शाता है,जो विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) एक श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में,परिपथ धारिता (capacitive) तब होता है जब धारिता प्रतिघात $X_C$,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ से अधिक होता है (अर्थात $X_C > X_L$)।
दिए गए ग्राफ से,प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ अनुनाद आवृत्ति को दर्शाता है जहाँ $X_L = X_C$ होता है।
अनुनाद आवृत्ति से कम आवृत्तियों के लिए (अर्थात बिंदु $B$ के बाईं ओर),$X_C$ का वक्र $X_L$ के वक्र के ऊपर स्थित है,जिसका अर्थ है कि $X_C > X_L$ है।
दिए गए विकल्पों में से,बिंदु $A$ बिंदु $B$ के बाईं ओर स्थित है,जहाँ $X_C > X_L$ है। इसलिए,बिंदु $A$ पर परिपथ धारिता (capacitive) है।

(D) संचार में उपयोग किए जाने वाले $L-C-R$ परिपथ की बेहतर ट्यूनिंग के लिए,गुणवत्ता कारक (Quality Factor) $Q$ उच्च होना चाहिए।
गुणवत्ता कारक का सूत्र $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ है।
$Q$ को अधिकतम करने के लिए,हमें कम प्रतिरोध $R$,उच्च प्रेरकत्व $L$ और कम धारिता $C$ की आवश्यकता होती है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$A: R=20, L=1.5, C=35$
$B: R=25, L=2.5, C=45$
$C: R=25, L=1.5, C=45$
$D: R=15, L=3.5, C=30$
विकल्प $D$ में न्यूनतम प्रतिरोध $(15 \Omega)$,अधिकतम प्रेरकत्व $(3.5 \text{ H})$ और न्यूनतम धारिता $(30 \mu\text{F})$ है।
इसलिए,विकल्प $D$ में दिया गया संयोजन उच्चतम गुणवत्ता कारक प्रदान करता है,जिसके परिणामस्वरूप बेहतर ट्यूनिंग होती है।

(D) निकटतम पहुँच की दूरी $r_0$ को अल्फा कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा को निकटतम पहुँच के बिंदु पर स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा के बराबर करके निर्धारित किया जाता है:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r_0}$
इस समीकरण से,हम देख सकते हैं कि $v^2 \propto \frac{1}{r_0}$,जिसका अर्थ है कि $r_0 \propto \frac{1}{v^2}$।
यह दिया गया है कि वेग $v$ के लिए निकटतम पहुँच की प्रारंभिक दूरी $d$ है,मान लीजिए कि वेग $2v$ के लिए नई दूरी $d'$ है।
$\frac{d'}{d} = \frac{v^2}{(2v)^2} = \frac{v^2}{4v^2} = \frac{1}{4}$
अतः,$d' = \frac{d}{4}$।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r_n^2$ है,इसलिए $A_n \propto (n^2)^2 = n^4$ होगा।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n_1 = 1$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था (first excited state) के लिए,$n_2 = 2$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(A_2)$ और मूल अवस्था $(A_1)$ के क्षेत्रफल का अनुपात है:
$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^4 = \left(\frac{2}{1}\right)^4 = 16$।
अतः,अनुपात $16: 1$ है।

(D) नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है और इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi R^2$ है।
आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{V}{S} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3}$ है।
नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है।
$Al^{27}$ के लिए,$A = 27$ है। अतः,$R = R_0 (27)^{1/3} = 3 R_0$ होगा।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{V}{S} = \frac{3 R_0}{3} = R_0$।
दिया गया है कि $R_0 = 1.2 \times 10^{-15} \ m$,इसलिए अनुपात $1.2 \times 10^{-15} \ m$ है।

(A) दिया गया है: धारिता $C = 5 \mu \text{F} = 5 \times 10^{-6} \text{ F}$.
विभवांतर $V = 4 \text{ V}$.
विभवांतर के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 0.6 \text{ Vs}^{-1}$.
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
ऊर्जा संचय की दर ज्ञात करने के लिए,हम $U$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$\frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2}CV^2) = \frac{1}{2}C \cdot 2V \cdot \frac{dV}{dt} = CV \frac{dV}{dt}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{dU}{dt} = (5 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (4 \text{ V}) \times (0.6 \text{ Vs}^{-1})$.
$\frac{dU}{dt} = 20 \times 0.6 \times 10^{-6} \text{ W} = 12 \times 10^{-6} \text{ W} = 12 \mu \text{W}$.

(C) हम जानते हैं कि ओम का नियम $V = I R$ द्वारा दिया जाता है।
$V = E \cdot l$ और $R = \rho \cdot \frac{l}{A}$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $l$ लंबाई है और $A$ चालक का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,हमें प्राप्त होता है:
$E \cdot l = I \cdot \rho \cdot \frac{l}{A}$
दोनों पक्षों को $l$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \left( \frac{I}{A} \right) \rho$
चूंकि धारा घनत्व $J = \frac{I}{A}$ है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$E = J \rho$ या $E = \rho J$.

(A) चालक के अनुप्रस्थ काट से प्रवाहित होने वाला कुल आवेश $Q$,$I-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ग्राफ से,$0 \leq t \leq 10 \ s$ के लिए,धारा $100 \ mA$ से $300 \ mA$ तक रैखिक रूप से बढ़ती है। यह क्षेत्रफल एक समलंब (trapezoid) है: $A_1 = \frac{(100 + 300) \times 10^{-3} \ A}{2} \times 10 \ s = 2 \ C$.
$10 \ s \leq t \leq 20 \ s$ के लिए,धारा $300 \ mA$ पर स्थिर रहती है। यह क्षेत्रफल एक आयत है: $A_2 = 300 \times 10^{-3} \ A \times (20 - 10) \ s = 3 \ C$.
कुल आवेश $Q = A_1 + A_2 = 2 \ C + 3 \ C = 5 \ C$.
आवेश के क्वांटीकरण के नियम का उपयोग करते हुए,$Q = ne$,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
$n = \frac{Q}{e} = \frac{5}{1.6 \times 10^{-19}} = 3.125 \times 10^{19}$.

(C) सबसे पहले, $R = \frac{V^2}{P}$ सूत्र का उपयोग करके बल्ब का प्रतिरोध ज्ञात करें।
$R = \frac{120 \times 120}{60} = 240 \, \Omega$.
इसके बाद, $I = \frac{P}{V}$ का उपयोग करके बल्ब की निर्धारित धारा ज्ञात करें।
$I = \frac{60}{120} = 0.5 \, A$.
बल्ब को ठीक से जलने के लिए, $220 \, V$ स्रोत से जुड़ने पर भी इसमें से $0.5 \, A$ की धारा ही प्रवाहित होनी चाहिए।
परिपथ में आवश्यक कुल प्रतिरोध $R_{total} = \frac{V_{source}}{I} = \frac{220}{0.5} = 440 \, \Omega$ है।
चूंकि बल्ब और अतिरिक्त प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए $R_{total} = R + R_{series}$.
अतः, $R_{series} = R_{total} - R = 440 \, \Omega - 240 \, \Omega = 200 \, \Omega$.

(A) $I-V$ ग्राफ से,ढाल $1/R$ को दर्शाता है।
तापमान $t_1 = 100^{\circ} C$ के लिए,कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $1/R_1 = \tan 45^{\circ} = 1$,जिससे $R_1 = 1 \Omega$ प्राप्त होता है।
तापमान $t_2 = 400^{\circ} C$ के लिए,कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए $1/R_2 = \tan 30^{\circ} = 1/\sqrt{3}$,जिससे $R_2 = \sqrt{3} \Omega \approx 1.732 \Omega$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोध का तापमान गुणांक $\alpha$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1 t_2 - R_2 t_1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 \times 400 - \sqrt{3} \times 100} = \frac{0.732}{400 - 173.2} = \frac{0.732}{226.8} \approx 3.22 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लगभग $3 \times 10^{-3} /^{\circ} C$ है।

(C) मानक प्रतिरोध,$S=4 \ \Omega$.
$t_1=0^{\circ} C$ पर,संतुलन लंबाई $l_1=50 \ cm$ है।
कुंडली $X$ का प्रतिरोध $R_1 = \frac{l_1}{100-l_1} \times S$ द्वारा दिया जाता है।
$R_1 = \frac{50}{100-50} \times 4 = \frac{50}{50} \times 4 = 4 \ \Omega$.
$t_2=100^{\circ} C$ पर,संतुलन लंबाई $l_2=60 \ cm$ है।
कुंडली $X$ का प्रतिरोध $R_2 = \frac{l_2}{100-l_2} \times S$ है।
$R_2 = \frac{60}{100-60} \times 4 = \frac{60}{40} \times 4 = 6 \ \Omega$.
प्रतिरोध का तापमान गुणांक $\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1(t_2 - t_1)}$ द्वारा दिया जाता है।
$\alpha = \frac{6 - 4}{4(100 - 0)} = \frac{2}{400} = 0.005^{\circ} C^{-1}$.

(D) यह परिपथ श्रेणीक्रम में जुड़े दो नेटवर्क से बना है।
प्रत्येक नेटवर्क एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज बनाता है।
पहले नेटवर्क के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_1$ की गणना प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन को सरल बनाकर की जाती है,जिससे $R_1 = R$ प्राप्त होता है।
दूसरे नेटवर्क के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_2$ की गणना इसी प्रकार की जाती है,जिससे $R_2 = 2R$ प्राप्त होता है।
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = R_1 + R_2 = R + 2R = 3R$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,विद्युत धारा $I = V_0 / R_{AB} = V_0 / 3R$ प्राप्त होती है।

(A) दिया गया है,मूल तरंगदैर्ध्य $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$।
प्रेक्षित तरंगदैर्ध्य $\lambda' = 601 \ nm = 601 \times 10^{-9} \ m$।
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = (601 - 600) \times 10^{-9} \ m = 1 \times 10^{-9} \ m$।
प्रकाश के लिए डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,संबंध $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ है,जहाँ $v$ आकाशगंगा की गति है और $c$ प्रकाश की गति $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$ है।
अतः,$v = c \cdot \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = (3 \times 10^8 \ m/s) \cdot \frac{1 \times 10^{-9} \ m}{600 \times 10^{-9} \ m}$।
$v = 3 \times 10^8 \cdot \frac{1}{600} = \frac{3 \times 10^8}{600} = 0.5 \times 10^6 \ m/s$।
$v = 500,000 \ m/s = 500 \ km/s$।

(C) दिया गया है,आपतित प्रकाश की ऊर्जा $E$ है और कार्य फलन $\phi_0 = \frac{E}{3}$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार है:
$K_{\max} = E - \phi_0$
$K_{\max} = E - \frac{E}{3} = \frac{2E}{3}$.
चूंकि धातु के भीतर टक्करों के कारण फोटोइलेक्ट्रॉन $0$ से $K_{\max}$ तक की ऊर्जा के साथ उत्सर्जित होते हैं,इसलिए फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ का मान $0 \leq K \leq \frac{2E}{3}$ की सीमा में होता है।

(C) दिया गया है,कार्य फलन $\phi_0 = 2.4 \ eV$।
प्रकाश-उत्सर्जन तभी होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E \ge \phi_0$ हो,जिसका अर्थ है कि आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda \le \lambda_0$ होनी चाहिए।
देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda_0$ की गणना इस प्रकार है:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{\phi_0} = \frac{1240}{2.4} \approx 516.7 \ nm$।
यदि आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda > \lambda_0$ है,तो प्रकाश-उत्सर्जन नहीं होगा।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$A) 200 \ nm < 516.7 \ nm$ (उत्सर्जन होता है)
$B) 300 \ nm < 516.7 \ nm$ (उत्सर्जन होता है)
$C) 700 \ nm > 516.7 \ nm$ (उत्सर्जन नहीं होता है)
$D) 400 \ nm < 516.7 \ nm$ (उत्सर्जन होता है)
अतः,$700 \ nm$ के लिए प्रकाश-उत्सर्जन नहीं होगा।

(A) दिया है,$B = 2 \text{ mT} = 2 \times 10^{-3} \text{ T}$.
त्रिज्या $R = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \text{ cm} = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2} \text{ m} = \frac{10^{-1}}{\sqrt{\pi}} \text{ m}$.
वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट $S_3$ का क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi \times \left(\frac{10^{-1}}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \pi \times \frac{10^{-2}}{\pi} = 10^{-2} \text{ m}^2$.
अर्धगोले $S_1$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं सतह में प्रवेश करती हैं। क्षेत्रफल सदिश (बाहर की ओर लंब) और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण $180^{\circ}$ है।
फ्लक्स $\Phi_{S_1} = B A \cos(180^{\circ}) = (2 \times 10^{-3} \text{ T}) \times (10^{-2} \text{ m}^2) \times (-1) = -2 \times 10^{-5} \text{ Wb} = -20 \times 10^{-6} \text{ Wb} = -20 \mu \text{ Wb}$.
चूंकि एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है (चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम),शंकु $S_2$ से बाहर निकलने वाला फ्लक्स अर्धगोले $S_1$ में प्रवेश करने वाले फ्लक्स के परिमाण के बराबर होगा।
इसलिए,$\Phi_{S_1} + \Phi_{S_2} = 0 \implies \Phi_{S_2} = -\Phi_{S_1} = +20 \mu \text{ Wb}$.

(C) एक लंबे सीधे धारावाही चालक द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे वलय चालक की ओर गिरती है,दूरी $r$ कम हो जाती है,जिससे वलय से गुजरने वाला चुंबकीय क्षेत्र $B$ बढ़ जाता है।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,चालक से निकलने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उस क्षेत्र में कागज के तल के बाहर की ओर होती हैं जहां वलय स्थित है।
चूंकि वलय से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बाहर की दिशा में बढ़ रहा है,इसलिए लेंज के नियम के अनुसार,वलय में प्रेरित धारा कागज के तल के अंदर की ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी ताकि इस वृद्धि का विरोध किया जा सके।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र वलय में दक्षिणावर्त (clockwise) प्रेरित धारा को दर्शाता है।

(B) दिया गया है: प्रेरित धारा $I = 2 \text{ A}$,प्रतिरोध $R = 10 \text{ } \Omega$,समय अंतराल $\Delta t = 1 \text{ ms} = 10^{-3} \text{ s}$।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf का परिमाण $|\varepsilon| = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ होता है।
चूंकि $|\varepsilon| = I R$,इसलिए $I R = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$।
अतः,चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = I R \Delta t$ होगा।
मान रखने पर: $\Delta \phi = 2 \times 10 \times 10^{-3} \text{ Wb}$।
$\Delta \phi = 20 \times 10^{-3} \text{ Wb} = 2 \times 10^{-2} \text{ Wb}$।

(A) अनंत लंबाई के तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
वर्गाकार लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \int B \cdot dA = \int_{x}^{x+a} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} (a \, dr) = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln\left(\frac{x+a}{x}\right)$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x}\right)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि लूप $v$ की स्थिर गति से चल रहा है,दूरी $x$ समय $t$ के साथ $x = x_0 + vt$ के अनुसार बढ़ती है।
इसे $M$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M(t) = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x_0 + vt}\right)$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,पद $\frac{a}{x_0 + vt}$ घटता है,और इसलिए $\ln(1 + \frac{a}{x_0 + vt})$ भी घटता है।
यह एक ऐसे वक्र के अनुरूप है जो एक अधिकतम मान से शुरू होता है और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,शून्य की ओर घटता जाता है,जो विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(A) तीव्रता $I$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए शक्ति $P = I A$ है।
एक फोटॉन का संवेग $p$,$p = E / c$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ ऊर्जा है।
एक पूर्णतः परावर्तक सतह के लिए,एक फोटॉन के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = p_{final} - p_{initial} = (-p) - (p) = -2p = -2E / c$ है।
बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर है,इसलिए $F = \frac{dp}{dt} = \frac{2}{c} \frac{dE}{dt}$।
चूंकि शक्ति $P = \frac{dE}{dt} = I A$ है,इसलिए सतह पर लगाया गया बल $F = \frac{2 I A}{c}$ है।

(C) वस्तु पर आवेश $q = -3.2 \mu C = -3.2 \times 10^{-6} \ C$ दिया गया है।
आवेश के क्वांटीकरण के सिद्धांत के अनुसार,$q = ne$,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $e$ मूल आवेश $(e = -1.6 \times 10^{-19} \ C)$ है।
अतः,अतिरिक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{q}{e}$ द्वारा ज्ञात की जाती है।
$n = \frac{-3.2 \times 10^{-6} \ C}{-1.6 \times 10^{-19} \ C}$
$n = 2 \times 10^{13}$.

(B) कूलम्ब के नियम और न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,एक बिंदु आवेश द्वारा दूसरे पर लगाया गया स्थिर वैद्युत बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है।
मान लीजिए $\vec{F}_{AB}$,$B$ के कारण $A$ पर लगने वाला बल $(F_1)$ है और $\vec{F}_{BA}$,$A$ के कारण $B$ पर लगने वाला बल $(F_2)$ है।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ होता है।
अतः,$F_1 = -F_2$।

(B) एक स्थिर आवेश अपने चारों ओर के स्थान में विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
जब कोई आवेश गति में होता है,तो वह विद्युत धारा का निर्माण करता है।
विद्युत धारा अपने चारों ओर के स्थान में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
इसलिए,एक गतिशील इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है।

(B) घन का आयतन $V = (1 \ cm)^3 = 10^{-6} \ m^3$ है।
अणुओं का संख्या घनत्व $n = \frac{100}{10^{-6}} = 10^8 \ m^{-3}$ है।
ध्रुवण (polarization) $P = n \cdot p$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ प्रेरित द्विध्रुव आघूर्ण है।
$P = 10^8 \times 0.2 \times 10^{-6} = 0.02 \ C \cdot m^{-2}$ है।
ध्रुवण $P$,विद्युत प्रवृत्ति $\chi_e$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के बीच संबंध $P = \chi_e E$ है।
अतः,$\chi_e = \frac{P}{E} = \frac{0.02}{4} = 0.005$ है।
दिए गए समाधान के अनुसार गणना करने पर: $\chi_e = \frac{n \cdot p}{E} = \frac{10^8 \times 0.2 \times 10^{-6}}{4} = \frac{20}{4} = 5$।

(B) दिया गया है,विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 3 \times 10^5 \hat{j} \text{ NC}^{-1}$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = 10 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} = 0.1 \text{ m} \times 0.3 \text{ m} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}^2$ है।
चूंकि आयत का तल $ZX$-तल के समानांतर है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$Y$-अक्ष की दिशा में ($ZX$-तल के लंबवत) होगा।
अतः,$\vec{A} = 3 \times 10^{-2} \hat{j} \text{ m}^2$ है।
विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश का अदिश गुणनफल है:
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = (3 \times 10^5 \hat{j}) \cdot (3 \times 10^{-2} \hat{j})$
$\phi = 9 \times 10^3 \text{ Vm}$।

(A) एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों,$+q$ और $-q$,से बना होता है जो एक-दूसरे से थोड़ी दूरी पर स्थित होते हैं।
इसलिए,गोलाकार पृष्ठ द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश $q_{net} = q + (-q) = 0$ होता है।
गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{net}}{\varepsilon_0}$ होता है।
$q_{net}$ का मान रखने पर,हमें $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) स्थिरवैद्युत संतुलन में,चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। गॉस के नियम के अनुसार,चालक पर रखा गया कोई भी अतिरिक्त आवेश आपसी प्रतिकर्षण को कम करने के लिए पूरी तरह से उसकी सतह पर रहना चाहिए।
आवेशित चालक की सतह के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
आवेशित चालक के अंदर विद्युत विभव स्थिर होता है और उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है,शून्य नहीं।
नेट विद्युत क्षेत्र हमेशा चालक की सतह के लंबवत (अभिलंब) होता है,स्पर्शरेखीय नहीं।
इसलिए,सही कथन यह है कि कोई भी अतिरिक्त आवेश चालक की सतह पर रहता है।

(A) स्थिति-$I$: फेरों की संख्या,$N_1 = 9$ है। केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 N_1 I}{2 R} = \frac{9 \mu_0 I}{2 R}$ है।
स्थिति-$II$: फेरों की संख्या,$N_2 = 3$ है। माना नई त्रिज्या $R'$ है। चूंकि तार की कुल लंबाई समान रहती है,इसलिए $N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi R')$.
मान रखने पर: $9 (2 \pi R) = 3 (2 \pi R') \Rightarrow R' = 3 R$.
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I}{2 R'} = \frac{\mu_0 \times 3 \times I}{2 \times 3 R} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ होगा।
$B_2$ और $B_1$ की तुलना करने पर: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 I / 2 R}{9 \mu_0 I / 2 R} = \frac{1}{9}$।
अतः,$B_2 = \frac{B_1}{9}$।

(D) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$B_{\text{centre}} = 64 \times B_{\text{axis}}$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\mu_0 I}{2R} = 64 \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
समान पदों को काटने पर,$\frac{1}{R} = \frac{64 R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
यह $(R^2 + x^2)^{3/2} = 64 R^3$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$(R^2 + x^2)^{1/2} = 4R$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$R^2 + x^2 = 16R^2$.
अतः,$x^2 = 15R^2$,जिससे $x = R\sqrt{15}$ प्राप्त होता है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $q/m = \pi \text{ C kg}^{-1}$ और $B = 2 \text{ T}$ दिया गया है,इसलिए:
$T = \frac{2 \pi}{\pi \times 2} = 1 \text{ s}$.
कण को $X$-अक्ष की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है। $t = \frac{1}{12} \text{ s}$ समय के बाद,विचलन कोण $\theta$ होगा:
$\theta = \frac{t}{T} \times 360^{\circ} = \frac{1/12}{1} \times 360^{\circ} = 30^{\circ}$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $-\hat{k}$ दिशा में है,कण $XY$-तल में गति करेगा और धनात्मक $Y$-अक्ष की ओर विक्षेपित होगा।
$t$ समय पर वेग सदिश $\vec{v}$ होगा:
$\vec{v} = v_0 (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$
$\vec{v} = 10 (\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j})$
$\vec{v} = 10 (\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}) = 5(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$.

(C) चुंबकीय हिस्टैरिसीस एक ऐसी घटना है जिसमें किसी पदार्थ का चुंबकन (magnetization) लगाए गए बाहरी चुंबकीय क्षेत्र से पीछे रहता है।
यह व्यवहार फेरोमैग्नेटिक पदार्थों,जैसे लोहा $(Fe)$,निकल $(Ni)$ और कोबाल्ट $(Co)$ की विशेषता है।
इन पदार्थों में,चुंबकीय डोमेन का निर्माण और गति चुंबकन और विचुंबकन के एक पूर्ण चक्र के दौरान ऊर्जा की हानि का कारण बनती है,जिसे हिस्टैरिसीस लूप द्वारा दर्शाया जाता है।
पैरामैग्नेटिक और डायमैग्नेटिक पदार्थ इस गुण को प्रदर्शित नहीं करते हैं।

(C) अनुचुंबकीय (paramagnetic) पदार्थों के लिए,क्यूरी के नियम के अनुसार चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\chi \propto \frac{1}{T}$।
दिया गया है: $T_1 = 300 \ K$ पर $\chi_1 = 1.2 \times 10^{-5}$।
हमें $T_2 = 200 \ K$ पर $\chi_2$ ज्ञात करना है।
संबंध $\frac{\chi_2}{\chi_1} = \frac{T_1}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\chi_2 = \chi_1 \times \frac{T_1}{T_2}$
$\chi_2 = 1.2 \times 10^{-5} \times \frac{300}{200}$
$\chi_2 = 1.2 \times 10^{-5} \times 1.5$
$\chi_2 = 1.8 \times 10^{-5}$।

(D) नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा उत्पादों और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के अंतर द्वारा दी जाती है।
$Q = (BE_{\text{products}}) - (BE_{\text{reactants}})$
दिया गया है:
$BE(^{235}_{92}U) = 1800 \ MeV$
$BE(^{144}_{56}Ba) = 1200 \ MeV$
$BE(^{89}_{36}Kr) = 780 \ MeV$
अभिकारकों की कुल $BE = 1800 \ MeV$
उत्पादों की कुल $BE = 1200 + 780 = 1980 \ MeV$
मुक्त ऊर्जा $Q = 1980 - 1800 = 180 \ MeV$
चूंकि यह ऊर्जा $3$ न्यूट्रॉन द्वारा ले जाई जाती है,इसलिए प्रति न्यूट्रॉन औसत गतिज ऊर्जा है:
$KE_{\text{avg}} = \frac{180 \ MeV}{3} = 60 \ MeV$

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln R = \ln R_0 - \lambda t$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ग्राफ का ढाल $m = -\lambda$ है।
दिए गए ग्राफ से,$t = 0$ पर,$\ln R_0 = 2$,जिसका अर्थ है $R_0 = e^2 = 7.5$।
ग्राफ का ढाल $\lambda = -\frac{\Delta(\ln R)}{\Delta t} = -\frac{1 - 2}{10 \times 10^3 - 0} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4} \text{ s}^{-1}$ है।
हम जानते हैं कि सक्रियता $R_0 = \lambda N_0$ होती है,जहाँ $N_0$ समय $t = 0$ पर अविखंडित नाभिकों की संख्या है।
इसलिए,$N_0 = \frac{R_0}{\lambda} = \frac{7.5}{10^{-4}} = 7.5 \times 10^4 = 75000$।

(D) चित्र से,लेंस को दो समतल-उत्तल लेंसों के संयोजन के रूप में माना जा सकता है।
बाएं आधे भाग के लिए,फोकस दूरी $f_1$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{0.5}{R}$
दाएं आधे भाग के लिए,फोकस दूरी $f_2$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{0.2}{R}$
लेंस की संयुक्त शक्ति $P = P_1 + P_2$ है,इसलिए $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{R} + \frac{0.2}{R} = \frac{0.7}{14} = 0.05 \ cm^{-1}$.
अतः,$f = \frac{1}{0.05} = 20 \ cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -40 \ cm$ और $f = 20 \ cm$:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-40}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2-1}{40} = \frac{1}{40}$
इसलिए,$v = 40 \ cm$.

(A) दिया गया है: $n_1 = \frac{4}{3}$,$n_2 = \frac{3}{2}$,$R = 10 \text{ cm}$.
वस्तु की दूरी $u = -2R = -20 \text{ cm}$ (चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए)।
गोलीय सतह पर अपवर्तन का सूत्र है:
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$
मान रखने पर:
$\frac{3/2}{v} - \frac{4/3}{-20} = \frac{3/2 - 4/3}{10}$
$\frac{3}{2v} + \frac{4}{60} = \frac{1/6}{10}$
$\frac{3}{2v} + \frac{1}{15} = \frac{1}{60}$
$\frac{3}{2v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15} = \frac{1 - 4}{60} = -\frac{3}{60} = -\frac{1}{20}$
$\frac{3}{2v} = -\frac{1}{20}$
$2v = -60 \implies v = -30 \text{ cm}$.
चूंकि $v$ ऋणात्मक है,इसलिए प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही (विरल माध्यम में) ध्रुव $P$ से $30 \text{ cm}$ की दूरी पर बनता है।

(D) एक खगोलीय दूरदर्शी दो लेंसों से बना होता है: एक अभिदृश्यक लेंस (objective lens) और एक नेत्रिका (eyepiece)।
अभिदृश्यक लेंस दूर की वस्तु का वास्तविक,उल्टा और छोटा प्रतिबिंब अपने फोकस तल पर बनाता है।
यह प्रतिबिंब नेत्रिका के लिए एक वस्तु के रूप में कार्य करता है,जो एक सरल आवर्धक (magnifier) की तरह काम करती है।
नेत्रिका को इस प्रकार समायोजित किया जाता है कि प्रतिबिंब उसकी फोकस दूरी के भीतर स्थित हो,जिसके परिणामस्वरूप मूल दूरस्थ वस्तु के सापेक्ष अंतिम प्रतिबिंब आभासी,उल्टा और आवर्धित (बड़ा) प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि प्रिज्म समबाहु है,इसलिए प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A = 60^{\circ}$ है।
प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + \delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{60^{\circ} + 60^{\circ}}{2}\right)}{\sin \left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $\mu$,निर्वात में प्रकाश की गति $c$ और माध्यम में प्रकाश की गति $v$ से $\mu = \frac{c}{v}$ के रूप में संबंधित है।
अतः,$v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \times 10^8 \ m/s$.

(D) परिपथ आरेख से,श्रेणी प्रतिरोध $R_S$ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ को उसके सिरों पर विभवांतर को उसके प्रतिरोध से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:
$I = \frac{V_0 - V_Z}{R_S}$
जंक्शन बिंदु पर किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार,कुल धारा $I$,ज़ेनर डायोड धारा $I_Z$ और लोड धारा $I_L$ में विभाजित हो जाती है:
$I = I_Z + I_L$
ज़ेनर डायोड धारा $I_Z$ के लिए इस समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$I_Z = I - I_L$
$I$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$I_Z = \left(\frac{V_0 - V_Z}{R_S}\right) - I_L$

(B) दिया गया है:
बैटरी का emf,$V = 5.7 \ V$
डायोड का रोधिका विभव,$V_B = 0.7 \ V$
श्रेणी प्रतिरोध,$R_S = 5 \ k\Omega = 5 \times 10^3 \ \Omega$
अग्र अभिनत $p-n$ जंक्शन डायोड में,प्रतिरोधक के सिरों पर प्रभावी वोल्टेज बैटरी के emf और रोधिका विभव का अंतर होता है।
प्रभावी वोल्टेज,$V_{eff} = V - V_B = 5.7 \ V - 0.7 \ V = 5.0 \ V$
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $I$ है:
$I = \frac{V_{eff}}{R_S} = \frac{5.0 \ V}{5 \times 10^3 \ \Omega} = 1 \times 10^{-3} \ A$
$I = 1 \ mA$

(B) एक अनबायस्ड $p-n$ जंक्शन डायोड में,जंक्शन के आर-पार चार्ज वाहकों के विसरण (diffusion) के कारण एक ऐसा क्षेत्र बनता है जिसमें मोबाइल चार्ज वाहकों की कमी होती है।
इस क्षेत्र को डिप्लीशन रीजन कहा जाता है।
इसमें क्रिस्टल लैटिस में स्थिर अचल आयनित डोनर और एक्सेप्टर परमाणु (आयन) होते हैं।
चूंकि मोबाइल चार्ज वाहक (मुक्त इलेक्ट्रॉन और होल्स) विसरित हो गए हैं या पुनर्संयोजित हो गए हैं,इसलिए इस क्षेत्र में न तो मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं और न ही होल्स।

(B) चालकों में,कंडक्शन बैंड और वैलेंस बैंड के बीच कोई फॉरबिडन एनर्जी गैप (वर्जित ऊर्जा अंतराल) नहीं होता है।
कॉपर जैसी धातुओं (चालकों) के लिए,वैलेंस बैंड और कंडक्शन बैंड एक-दूसरे पर ओवरलैप करते हैं।
यह ओवरलैपिंग इलेक्ट्रॉनों को स्वतंत्र रूप से गति करने की अनुमति देती है,यही कारण है कि कॉपर विद्युत का एक अच्छा सुचालक है।
सिलिकॉन,जर्मेनियम और कार्बन (हीरे के रूप में) अर्धचालक या कुचालक होते हैं,जिनमें फॉरबिडन एनर्जी गैप मौजूद होता है।

(B) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
पहले और दूसरे पोलरॉइड के पास अक्षों के बीच का कोण $\theta_{12} = 30^{\circ}$ है। मैलस के नियम के अनुसार,दूसरे पोलरॉइड से पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3 I_0}{8}$ होती है।
दूसरे और तीसरे पोलरॉइड के पास अक्षों के बीच का कोण $\theta_{23} = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
मैलस के नियम के अनुसार,तीसरे पोलरॉइड से पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(60^{\circ}) = \frac{3 I_0}{8} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{3 I_0}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{3 I_0}{32}$ होती है।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में, फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रायोगिक सेटअप ($D$ और $d$) समान रहता है, इसलिए $\beta \propto \lambda$ है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार, तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
समान गति $v$ के लिए, तरंगदैर्ध्य कण के द्रव्यमान $m$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात $\lambda \propto \frac{1}{m}$।
चूंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से बहुत अधिक होता है, इसलिए $m_p > m_e$ है।
अतः, प्रोटॉन पुंज की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_2)$ इलेक्ट्रॉन पुंज की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_1)$ से कम होगी, अर्थात $\lambda_2 < \lambda_1$।
चूंकि $\beta \propto \lambda$ है, इसलिए $\beta_2 < \beta_1$ या $\beta_1 > \beta_2$ प्राप्त होता है।