फलन f(x) = x(x - 1)^2, x in [0, 2] के लिए अंत | vedclass

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Question

(B) अंतराल $[0, 2]$ पर दिया गया फलन $f(x) = x(x - 1)^2$ है।माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$(0, 2)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f

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$4/3$

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(B) अंतराल $[0, 2]$ पर दिया गया फलन $f(x) = x(x - 1)^2$ है।माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$(0, 2)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।यहाँ,$a = 0$ और $b = 2$ है।$f(0) = 0(0 - 1)^2 = 0$.$f(2) = 2(2 - 1)^2 = 2(1)^2 = 2$.अतः,$f'(c) = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$.अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f(x) = x(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x$.$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$.$f'(c) = 1$ रखने पर:$3c^2 - 4c + 1 = 1$.$3c^2 - 4c = 0$.$c(3c - 4) = 0$.इससे $c = 0$ या $c = 4/3$ प्राप्त होता है।चूंकि $c$ को विवृत अंतराल $(0, 2)$ में होना चाहिए,इसलिए हम $c = 4/3$ चुनते हैं।

फलन $f(x) = x(x - 1)^2, x \in [0, 2]$ के लिए अंतराल $(0, 2)$ में माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को संतुष्ट करने वाले $c$ का मान क्या है?

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मान लीजिए $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$,जहाँ $x \in [0,4]$ है। यदि लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू किया जा सकता है,तो $c$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ के लिए अंतराल $x \in [1, 3]$ पर $L.M.V.T.$ लागू होता है,तो $c$ का मान क्या है?

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