int_{-pi}^{pi} (1-x^2) sin x cdot cos^2 x , d | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x$ है। हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम: $f(-x) = (1-(-x)^2) \sin(-x) \cdot \

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(D) माना $f(x) = (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x$ है। हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम: $f(-x) = (1-(-x)^2) \sin(-x) \cdot \cos^2(-x)$ चूँकि $(-x)^2 = x^2$,$\sin(-x) = -\sin x$,और $\cos(-x) = \cos x$: $f(-x) = (1-x^2) (-\sin x) \cdot (\cos x)^2$ $f(-x) = -(1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x = -f(x)$। यहाँ $f(-x) = -f(x)$ है,अतः फलन $f(x)$ एक विषम फलन है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है। इसलिए,$\int_{-\pi}^{\pi} (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x \, dx = 0$।

$\int_{-\pi}^{\pi} (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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