x 0 के लिए फलन f(x) = x^x किस अंतराल में नि | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = x^x$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln f(x) = x \ln x$ प्राप्त होता है। $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,

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$x > \frac{1}{e}$

Vedclass · Answer

(C) माना $f(x) = x^x$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln f(x) = x \ln x$ प्राप्त होता है। $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ प्राप्त होता है। अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln x)$ है। फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना आवश्यक है। चूंकि $x > 0$ है,इसलिए $x^x$ हमेशा धनात्मक होता है। अतः,$1 + \ln x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\ln x > -1$। यह $\ln x > \ln(\frac{1}{e})$ के बराबर है। इसलिए,$x > \frac{1}{e}$।

$x > 0$ के लिए फलन $f(x) = x^x$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है?

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