KCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g_h = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h = \frac{R}{2}$,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
સૂત્રમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા:
$g_h = \frac{g}{(1 + \frac{R/2}{R})^2} = \frac{g}{(1 + \frac{1}{2})^2} = \frac{g}{(\frac{3}{2})^2}$.
$g_h = \frac{g}{9/4} = \frac{4}{9}g$.
$g = 9.8 \ m/s^2$ લેતા:
$g_h = \frac{4}{9} \times 9.8 \approx 4.355 \ m/s^2 \approx 4.4 \ m/s^2$.

(A) મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $(\gamma = C_p / C_V)$ સૂત્ર $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ વાયુના અણુની મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ એ ઓરડાના તાપમાને દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f = 5$ છે ($3$ સ્થાનાંતરિત અને $2$ ભ્રમણીય).
સૂત્રમાં $f$ ની કિંમત મૂકતા:
$\gamma = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$.

(B) બ્લોકને ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ ખેંચતું બળ $F = mg \sin 30^{\circ} = mg \times 0.5 = 0.5 mg$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{s,max} = \mu_s R = \mu_s mg \cos 30^{\circ}$ છે.
અહીં $\mu_s = 0.6$ આપેલ છે,તેથી $f_{s,max} = 0.6 \times mg \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.3 \times 1.732 \times mg = 0.5196 mg$ મળે.
અહીં ખેંચતું બળ $F = 0.5 mg$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = 0.5196 mg$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક ગતિ કરશે નહીં.
તેથી,બ્લોકનો પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(D) બે સદિશો $A$ અને $B$ નું પરિણામી $R$ એ $|A-B| \leq R \leq |A+B|$ ની રેન્જમાં હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $|1-2| \leq R \leq |1+2| \implies 1 \leq R \leq 3$. અહીં $3$ રેન્જમાં હોવાથી,પરિણામી $3$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $|2-5| \leq R \leq |2+5| \implies 3 \leq R \leq 7$. અહીં $3$ રેન્જમાં હોવાથી,પરિણામી $3$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $|3-6| \leq R \leq |3+6| \implies 3 \leq R \leq 9$. અહીં $3$ રેન્જમાં હોવાથી,પરિણામી $3$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $|4-8| \leq R \leq |4+8| \implies 4 \leq R \leq 12$. રેન્જ $[4, 12]$ છે. $3$ આ રેન્જમાં ન હોવાથી,પરિણામી ક્યારેય $3$ એકમ હોઈ શકે નહીં.

(C) આપેલ છે: પ્રવાહનો દર $Q = 0.314 \,m^3/s$ અને ત્રિજ્યા $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
સાતત્ય સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ, $Q = A \times v$, જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.314 = \pi \times (0.1)^2 \times v$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા, આપણને મળે છે $0.314 = 3.14 \times 0.01 \times v$.
$0.314 = 0.0314 \times v$.
$v = \frac{0.314}{0.0314} = 10 \,m/s$.

(B) તારના મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક સૂક્ષ્મ ખંડ વિચારો.
આ ખંડની નીચે રહેલા તારના ભાગનું વજન $dw = (A \cdot x \cdot \rho) g$ થાય,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ વિભાગ પર લાગતું પ્રતિબળ $\sigma = \frac{dw}{A} = \rho g x$ છે.
વિકૃતિ $\frac{d(\Delta l)}{dx} = \frac{\sigma}{Y} = \frac{\rho g x}{Y}$ થાય.
કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta L$ શોધવા માટે $x = 0$ થી $x = L$ સુધી સંકલન કરતા:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{\rho g x}{Y} dx = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{\rho g L^2}{2 Y}$.

(A) આપેલ છે,વ્યાસ,$d = 80 \ m$.
તેથી,ત્રિજ્યા,$r = d/2 = 40 \ m$.
$3/4$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કર્યા પછી કાપેલું અંતર નીચે મુજબ છે:
અંતર $= (3/4) \times (2 \pi r) = (3/2) \times \pi \times 40 = 60 \pi \ m$.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક બિંદુ $A$ અને અંતિમ બિંદુ $B$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. એથ્લેટ વર્તુળનો $3/4$ ભાગ કાપે છે,તેથી પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ થાય છે.
બે ત્રિજ્યાઓ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
સ્થાનાંતર $= \sqrt{r^2 + r^2} = r \sqrt{2} = 40 \sqrt{2} \ m$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $SHM$ કરતી કણ માટે વેગ $v$ અને પ્રવેગ $a$ નીચેના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
$a = -\omega^2 y$
મધ્ય સ્થિતિએ,સ્થાનાંતર $y = 0$ હોય છે.
વેગના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા:
$v = \omega \sqrt{A^2 - 0} = \omega A$
આમ,વેગ મહત્તમ $(v_{\max} = \omega A)$ હોય છે.
પ્રવેગના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા:
$a = -\omega^2 (0) = 0$
આમ,પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.

(D) આપેલ છે,પદાર્થનું દળ $m_1 = 1 \,kg$.
ગરગડીનું દળ $m_2 = 2 \,kg$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ પદાર્થની ગતિ ઉર્જા અને ગરગડીની ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
ગરગડી એક તકતી હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} m_2 R^2$ છે. વળી,$\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m_2 R^2 \right) \left( \frac{v}{R} \right)^2$
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{4} m_2 v^2$
આપેલ કિંમતો $(m_1 = 1 \,kg, m_2 = 2 \,kg, g = 10 \,ms^{-2}, h = 1.6 \,m)$ મૂકતા:
$1 \times 10 \times 1.6 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2 + \frac{1}{4} \times 2 \times v^2$
$16 = 0.5 v^2 + 0.5 v^2$
$16 = v^2$
$v = 4 \,ms^{-1}$

(C) ઘન પદાર્થને $\theta_0$ તાપમાનથી $\theta_2$ તાપમાન સુધી વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા ઊર્જા $Q$ એ દરેક તબક્કા માટે જરૂરી ઉષ્માનો સરવાળો છે:
$1$. ઘન પદાર્થનું તાપમાન $\theta_0$ થી $\theta_1$ સુધી વધારવા માટેની ઉષ્મા: $Q_1 = m s_1(\theta_1 - \theta_0)$
$2$. $\theta_1$ તાપમાને ગલન માટેની ઉષ્મા: $Q_2 = m L_f$
$3$. પ્રવાહીનું તાપમાન $\theta_1$ થી $\theta_2$ સુધી વધારવા માટેની ઉષ્મા: $Q_3 = m s_2(\theta_2 - \theta_1)$
$4$. $\theta_2$ તાપમાને બાષ્પીભવન માટેની ઉષ્મા: $Q_4 = m L_v$
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = m s_1(\theta_1 - \theta_0) + m L_f + m s_2(\theta_2 - \theta_1) + m L_v$.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ $p-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર $MNOM$ ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી, થયેલ કાર્ય ધન છે.
ત્રિકોણ $MNO$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$W = \triangle MNO \text{ \text{નું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$W = \frac{1}{2} \times (ON) \times (OM)$
આલેખ પરથી, પાયો $ON = 3V_0 - V_0 = 2V_0$ અને વેધ $OM = 3p_0 - p_0 = 2p_0$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times (2V_0) \times (2p_0)$
$W = 2p_0 V_0$
આમ, વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $2p_0 V_0$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી (સક્રિયતા) એટલે કે ક્ષય થવાનો દર,જે એકમ સમયમાં થતા વિભંજનની સંખ્યા છે.
ગાણિતિક રીતે,એક્ટિવિટી $A = -\frac{dN}{dt}$.
અહીં $N$ (ન્યુક્લિયસની સંખ્યા) એ પરિમાણરહિત રાશિ છે અને $t$ એ સમય દર્શાવે છે,તેથી એક્ટિવિટીનું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{-1}]$ થાય છે.
આમ,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^{-1}]$ છે.

(A) મોટરસાયકલ સવાર ખડક તરફ ગતિ કરે છે,તેથી ખડક પરાવર્તિત અવાજના સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
મોટરસાયકલ સવારની ઝડપ,$v_o = 18 \ km/h = 18 \times \frac{5}{18} \ m/s = 5 \ m/s$.
હોર્નની આવૃત્તિ,$f = 325 \ Hz$.
હવામાં અવાજની ઝડપ,$v = 330 \ m/s$.
ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ,ગતિશીલ અવલોકનકાર અને સ્થિર સ્ત્રોત માટે મોટરસાયકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 325 \left( \frac{330 + 5}{330} \right) = 325 \left( \frac{335}{330} \right) \approx 329.92 \ Hz$.
સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા એ પરાવર્તિત આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta f = f' - f = 329.92 - 325 = 4.92 \ Hz \approx 5 \ Hz$.

(D) કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ ની દિશા નક્કી કરવા માટે,આપણે જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ નિયમ મુજબ,જો આપણે આપણા જમણા હાથની આંગળીઓને પંખાના પરિભ્રમણની દિશામાં વાળીએ,તો અંગૂઠો કોણીય વેગ સદિશની દિશા દર્શાવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ઉપરથી જોતા પંખો ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે.
ધરી $Z$-અક્ષ પર હોવાથી,પરિભ્રમણ $XY$-સમતલમાં થાય છે.
જમણા હાથનો નિયમ લાગુ પાડતા,અંગૂઠો નીચેની તરફ નિર્દેશ કરે છે,જે ઋણ $Z$-દિશામાં છે.
તેથી,કોણીય વેગની દિશા $-\hat{k}$ ની સાથે છે.

(C) $P-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ કરેલા કાર્ય જેટલું હોય છે, જે ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $(\Delta K)$ જેટલું છે.
આપેલ દળ $m = 500 \text{ g} = 0.5 \text{ kg}$.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times (\text{ઊંચાઈ})$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (2 + 8) \times 5 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \text{ J}$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે, તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે. આમ, $t = 5 \text{ s}$ સમયે અંતિમ ગતિઊર્જા $K = 25 \text{ J}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$, જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
$25 = \frac{p^2}{2 \times 0.5}$
$25 = \frac{p^2}{1}$
$p^2 = 25$
$p = 5 \text{ kg m/s} = 5 \text{ N-s}$.

(C) $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથમાં અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે અનુનાદ આવૃત્તિ એ કેપેસીટન્સના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$f_0 \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$
જેમ કેપેસીટન્સ $C$ નું મૂલ્ય વધે છે,તેમ અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ ઘટે છે. આ સંબંધ એક હાયપરબોલિક વક્ર દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) શ્રેણી $L-C-R$ સર્કિટમાં,જ્યારે કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ કરતા વધારે હોય (એટલે કે $X_C > X_L$),ત્યારે સર્કિટ કેપેસિટીવ હોય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,છેદબિંદુ $B$ એ રેઝોનન્સ આવૃત્તિ દર્શાવે છે જ્યાં $X_L = X_C$ થાય છે.
રેઝોનન્સ આવૃત્તિ કરતા ઓછી આવૃત્તિઓ માટે (એટલે કે બિંદુ $B$ ની ડાબી બાજુએ),$X_C$ નો વક્ર $X_L$ ના વક્રની ઉપર રહેલો છે,જેનો અર્થ છે કે $X_C > X_L$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,બિંદુ $A$ એ બિંદુ $B$ ની ડાબી બાજુએ આવેલું છે,જ્યાં $X_C > X_L$ છે. તેથી,બિંદુ $A$ પર સર્કિટ કેપેસિટીવ છે.

(D) કોમ્યુનિકેશનમાં વપરાતા $L-C-R$ સર્કિટના વધુ સારા ટ્યુનિંગ માટે,ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ ઊંચો હોવો જોઈએ.
ક્વોલિટી ફેક્ટરનું સૂત્ર $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ છે.
$Q$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણને નાનો અવરોધ $R$,મોટું ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને નાનું કેપેસિટન્સ $C$ જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$A: R=20, L=1.5, C=35$
$B: R=25, L=2.5, C=45$
$C: R=25, L=1.5, C=45$
$D: R=15, L=3.5, C=30$
વિકલ્પ $D$ માં ન્યૂનતમ અવરોધ $(15 \Omega)$,મહત્તમ ઇન્ડક્ટન્સ $(3.5 \text{ H})$ અને ન્યૂનતમ કેપેસિટન્સ $(30 \mu\text{F})$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ સંયોજન સૌથી વધુ ક્વોલિટી ફેક્ટર આપે છે,જે વધુ સારું ટ્યુનિંગ પ્રદાન કરે છે.

(D) નજીકના અભિગમનું અંતર $r_0$ એ આલ્ફા કણની પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જાને નજીકના અભિગમના બિંદુએ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા સાથે સરખાવીને નક્કી કરવામાં આવે છે:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r_0}$
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v^2 \propto \frac{1}{r_0}$,જેનો અર્થ છે કે $r_0 \propto \frac{1}{v^2}$.
આપેલ છે કે વેગ $v$ માટે નજીકના અભિગમનું પ્રારંભિક અંતર $d$ છે,ધારો કે વેગ $2v$ માટે નવું અંતર $d'$ છે.
$\frac{d'}{d} = \frac{v^2}{(2v)^2} = \frac{v^2}{4v^2} = \frac{1}{4}$
તેથી,$d' = \frac{d}{4}$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r_n^2$ હોવાથી,$A_n \propto (n^2)^2 = n^4$ થાય.
ધરા અવસ્થા માટે,$n_1 = 1$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n_2 = 2$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(A_2)$ અને ધરા અવસ્થા $(A_1)$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^4 = \left(\frac{2}{1}\right)^4 = 16$.
તેથી,ગુણોત્તર $16: 1$ છે.

(D) ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તેની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi R^2$ છે.
કદ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{V}{S} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3}$ થાય.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
$Al^{27}$ માટે,$A = 27$. તેથી,$R = R_0 (27)^{1/3} = 3 R_0$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{V}{S} = \frac{3 R_0}{3} = R_0$.
આપેલ છે કે $R_0 = 1.2 \times 10^{-15} \ m$,તેથી ગુણોત્તર $1.2 \times 10^{-15} \ m$ થાય.

(A) આપેલ છે: કેપેસીટન્સ $C = 5 \mu \text{F} = 5 \times 10^{-6} \text{ F}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 4 \text{ V}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 0.6 \text{ Vs}^{-1}$.
કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
ઉર્જા સંગ્રહિત થવાનો દર શોધવા માટે,આપણે $U$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2}CV^2) = \frac{1}{2}C \cdot 2V \cdot \frac{dV}{dt} = CV \frac{dV}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dU}{dt} = (5 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (4 \text{ V}) \times (0.6 \text{ Vs}^{-1})$.
$\frac{dU}{dt} = 20 \times 0.6 \times 10^{-6} \text{ W} = 12 \times 10^{-6} \text{ W} = 12 \mu \text{W}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ઓમનો નિયમ $V = I R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = E \cdot l$ અને $R = \rho \cdot \frac{l}{A}$ મૂકતા,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ વાહકનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,આપણને મળે છે:
$E \cdot l = I \cdot \rho \cdot \frac{l}{A}$
બંને બાજુને $l$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$E = \left( \frac{I}{A} \right) \rho$
પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{I}{A}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$E = J \rho$ અથવા $E = \rho J$.

(A) વાહકના આડછેદમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $I-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આલેખ પરથી,$0 \leq t \leq 10 \ s$ માટે,પ્રવાહ $100 \ mA$ થી $300 \ mA$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે. આ ક્ષેત્રફળ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે: $A_1 = \frac{(100 + 300) \times 10^{-3} \ A}{2} \times 10 \ s = 2 \ C$.
$10 \ s \leq t \leq 20 \ s$ માટે,પ્રવાહ $300 \ mA$ પર અચળ રહે છે. આ ક્ષેત્રફળ લંબચોરસ છે: $A_2 = 300 \times 10^{-3} \ A \times (20 - 10) \ s = 3 \ C$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = A_1 + A_2 = 2 \ C + 3 \ C = 5 \ C$.
વિદ્યુતભારના ક્વોન્ટમીકરણના નિયમ મુજબ,$Q = ne$,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
$n = \frac{Q}{e} = \frac{5}{1.6 \times 10^{-19}} = 3.125 \times 10^{19}$.

(C) સૌ પ્રથમ, $R = \frac{V^2}{P}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બલ્બનો અવરોધ શોધો.
$R = \frac{120 \times 120}{60} = 240 \, \Omega$.
ત્યારબાદ, $I = \frac{P}{V}$ નો ઉપયોગ કરીને બલ્બનો રેટ કરેલ પ્રવાહ શોધો.
$I = \frac{60}{120} = 0.5 \, A$.
બલ્બ યોગ્ય રીતે પ્રકાશિત થાય તે માટે, જ્યારે તેને $220 \, V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે તેમાંથી $0.5 \, A$ જેટલો જ પ્રવાહ વહેવો જોઈએ.
પરિપથમાં જરૂરી કુલ અવરોધ $R_{total} = \frac{V_{source}}{I} = \frac{220}{0.5} = 440 \, \Omega$ છે.
બલ્બ અને વધારાનો અવરોધ શ્રેણીમાં હોવાથી, $R_{total} = R + R_{series}$.
તેથી, $R_{series} = R_{total} - R = 440 \, \Omega - 240 \, \Omega = 200 \, \Omega$.

(A) $I-V$ આલેખ પરથી,ઢાળ $1/R$ દર્શાવે છે.
તાપમાન $t_1 = 100^{\circ} C$ માટે,ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $1/R_1 = \tan 45^{\circ} = 1$,જે $R_1 = 1 \Omega$ આપે છે.
તાપમાન $t_2 = 400^{\circ} C$ માટે,ખૂણો $30^{\circ}$ છે,તેથી $1/R_2 = \tan 30^{\circ} = 1/\sqrt{3}$,જે $R_2 = \sqrt{3} \Omega \approx 1.732 \Omega$ આપે છે.
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1 t_2 - R_2 t_1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 \times 400 - \sqrt{3} \times 100} = \frac{0.732}{400 - 173.2} = \frac{0.732}{226.8} \approx 3.22 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત આશરે $3 \times 10^{-3} /^{\circ} C$ છે.

(C) પ્રમાણભૂત અવરોધ,$S=4 \ \Omega$.
$t_1=0^{\circ} C$ તાપમાને,બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_1=50 \ cm$ છે.
કોઈલ $X$ નો અવરોધ $R_1 = \frac{l_1}{100-l_1} \times S$ દ્વારા મળે છે.
$R_1 = \frac{50}{100-50} \times 4 = \frac{50}{50} \times 4 = 4 \ \Omega$.
$t_2=100^{\circ} C$ તાપમાને,બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_2=60 \ cm$ છે.
કોઈલ $X$ નો અવરોધ $R_2 = \frac{l_2}{100-l_2} \times S$ છે.
$R_2 = \frac{60}{100-60} \times 4 = \frac{60}{40} \times 4 = 6 \ \Omega$.
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1(t_2 - t_1)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\alpha = \frac{6 - 4}{4(100 - 0)} = \frac{2}{400} = 0.005^{\circ} C^{-1}$.

(D) આ પરિપથ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે નેટવર્કનો બનેલો છે.
દરેક નેટવર્ક એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે.
પ્રથમ નેટવર્ક માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_1$ એ અવરોધોના સમાંતર જોડાણોને સરળ બનાવીને ગણવામાં આવે છે,જેનું પરિણામ $R_1 = R$ મળે છે.
બીજા નેટવર્ક માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ પણ તેવી જ રીતે ગણવામાં આવે છે,જેનું પરિણામ $R_2 = 2R$ મળે છે.
પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = R_1 + R_2 = R + 2R = 3R$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિદ્યુત પ્રવાહ $I = V_0 / R_{AB} = V_0 / 3R$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,મૂળ તરંગલંબાઈ $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$.
અવલોકિત તરંગલંબાઈ $\lambda' = 601 \ nm = 601 \times 10^{-9} \ m$.
તરંગલંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = (601 - 600) \times 10^{-9} \ m = 1 \times 10^{-9} \ m$.
પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસર મુજબ,સંબંધ $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે,જ્યાં $v$ એ ગેલેક્સીની ઝડપ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$ છે.
તેથી,$v = c \cdot \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = (3 \times 10^8 \ m/s) \cdot \frac{1 \times 10^{-9} \ m}{600 \times 10^{-9} \ m}$.
$v = 3 \times 10^8 \cdot \frac{1}{600} = \frac{3 \times 10^8}{600} = 0.5 \times 10^6 \ m/s$.
$v = 500,000 \ m/s = 500 \ km/s$.

(C) આપેલ છે કે,આપાત પ્રકાશની ઊર્જા $E$ છે અને વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = \frac{E}{3}$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = E - \phi_0$
$K_{\max} = E - \frac{E}{3} = \frac{2E}{3}$.
ધાતુની અંદર થતી અથડામણોને કારણે ફોટોઈલેક્ટ્રોન $0$ થી $K_{\max}$ સુધીની ઊર્જા સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે,તેથી ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ એ $0 \leq K \leq \frac{2E}{3}$ ની રેન્જમાં હોય છે.

(C) આપેલ છે,વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 2.4 \ eV$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E \ge \phi_0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda \le \lambda_0$ હોવી જોઈએ.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{\phi_0} = \frac{1240}{2.4} \approx 516.7 \ nm$.
જો આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda > \lambda_0$ હોય,તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$A) 200 \ nm < 516.7 \ nm$ (ઉત્સર્જન થાય છે)
$B) 300 \ nm < 516.7 \ nm$ (ઉત્સર્જન થાય છે)
$C) 700 \ nm > 516.7 \ nm$ (ઉત્સર્જન થતું નથી)
$D) 400 \ nm < 516.7 \ nm$ (ઉત્સર્જન થાય છે)
તેથી,$700 \ nm$ તરંગલંબાઈ માટે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં.

(A) આપેલ છે,$B = 2 \text{ mT} = 2 \times 10^{-3} \text{ T}$.
ત્રિજ્યા $R = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \text{ cm} = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2} \text{ m} = \frac{10^{-1}}{\sqrt{\pi}} \text{ m}$.
વર્તુળાકાર આડછેદ $S_3$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi \times \left(\frac{10^{-1}}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \pi \times \frac{10^{-2}}{\pi} = 10^{-2} \text{ m}^2$.
અર્ધગોલક $S_1$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટીમાં દાખલ થાય છે. ક્ષેત્રફળ સદિશ (બહારની તરફનો લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે.
ફ્લક્સ $\Phi_{S_1} = B A \cos(180^{\circ}) = (2 \times 10^{-3} \text{ T}) \times (10^{-2} \text{ m}^2) \times (-1) = -2 \times 10^{-5} \text{ Wb} = -20 \times 10^{-6} \text{ Wb} = -20 \mu \text{ Wb}$.
બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોવાથી (ચુંબકત્વ માટેનો ગૌસનો નિયમ),શંકુ $S_2$ માંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ એ અર્ધગોલક $S_1$ માં દાખલ થતા ફ્લક્સના મૂલ્ય જેટલું જ હશે.
તેથી,$\Phi_{S_1} + \Phi_{S_2} = 0 \implies \Phi_{S_2} = -\Phi_{S_1} = +20 \mu \text{ Wb}$.

(C) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ રીંગ વાહક તરફ નીચે પડે છે,તેમ અંતર $r$ ઘટે છે,જેના કારણે રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વધે છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,વાહકમાંથી નીકળતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તે વિસ્તારમાં કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે જ્યાં રીંગ આવેલી છે.
રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બહારની દિશામાં વધી રહ્યું હોવાથી,લેન્ઝના નિયમ મુજબ,રીંગમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે જેથી આ વધારાનો વિરોધ કરી શકાય.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કાગળના સમતલની અંદરની તરફ નિર્દેશિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર રીંગમાં સમઘડી (clockwise) પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ સૂચવે છે.

(B) આપેલ છે: પ્રેરિત પ્રવાહ $I = 2 \text{ A}$,અવરોધ $R = 10 \text{ } \Omega$,સમયગાળો $\Delta t = 1 \text{ ms} = 10^{-3} \text{ s}$.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\varepsilon| = I R$,તેથી $I R = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$.
આથી,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = I R \Delta t$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = 2 \times 10 \times 10^{-3} \text{ Wb}$.
$\Delta \phi = 20 \times 10^{-3} \text{ Wb} = 2 \times 10^{-2} \text{ Wb}$.

(A) અનંત લંબાઈના તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસ લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \int B \cdot dA = \int_{x}^{x+a} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} (a \, dr) = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln\left(\frac{x+a}{x}\right)$ છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x}\right)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
લૂપ $v$ જેટલી અચળ ઝડપે ગતિ કરતું હોવાથી,અંતર $x$ સમય $t$ સાથે $x = x_0 + vt$ મુજબ વધે છે.
આને $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $M(t) = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x_0 + vt}\right)$ મળે છે.
જેમ $t$ વધે છે,તેમ $\frac{a}{x_0 + vt}$ પદ ઘટે છે,અને તેથી $\ln(1 + \frac{a}{x_0 + vt})$ પણ ઘટે છે.
આ એક એવા વક્રને અનુરૂપ છે જે મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને જેમ $t \to \infty$ થાય તેમ શૂન્ય તરફ ઘટે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) તીવ્રતા $I$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી પાવર $P = I A$ થાય.
ફોટોનનું વેગમાન $p$ એ $p = E / c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ઊર્જા છે.
સંપૂર્ણ પરાવર્તક સપાટી માટે,ફોટોન માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = p_{final} - p_{initial} = (-p) - (p) = -2p = -2E / c$ થાય.
બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે,તેથી $F = \frac{dp}{dt} = \frac{2}{c} \frac{dE}{dt}$.
પાવર $P = \frac{dE}{dt} = I A$ હોવાથી,સપાટી પર લાગતું બળ $F = \frac{2 I A}{c}$ મળે છે.

(C) પદાર્થ પરનો વિદ્યુતભાર $q = -3.2 \mu C = -3.2 \times 10^{-6} \ C$ છે.
વિદ્યુતભારના ક્વોન્ટમીકરણના સિદ્ધાંત મુજબ,$q = ne$,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર $(e = -1.6 \times 10^{-19} \ C)$ છે.
તેથી,વધારાના ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{q}{e}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{-3.2 \times 10^{-6} \ C}{-1.6 \times 10^{-19} \ C}$
$n = 2 \times 10^{13}$.

(B) કુલંબના નિયમ અને ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર દ્વારા બીજા પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
ધારો કે $\vec{F}_{AB}$ એ $B$ ને કારણે $A$ પર લાગતું બળ $(F_1)$ છે અને $\vec{F}_{BA}$ એ $A$ ને કારણે $B$ પર લાગતું બળ $(F_2)$ છે.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$.
તેથી,$F_1 = -F_2$.

(B) સ્થિર વિદ્યુતભાર તેની આસપાસના વિસ્તારમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર ગતિમાં હોય છે,ત્યારે તે વિદ્યુત પ્રવાહ રચે છે.
વિદ્યુત પ્રવાહ તેની આસપાસના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) સમઘનનું કદ $V = (1 \ cm)^3 = 10^{-6} \ m^3$ છે.
અણુઓની સંખ્યા ઘનતા $n = \frac{100}{10^{-6}} = 10^8 \ m^{-3}$ છે.
પોલરાઇઝેશન $P = n \cdot p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ પ્રેરિત ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
$P = 10^8 \times 0.2 \times 10^{-6} = 0.02 \ C \cdot m^{-2}$.
પોલરાઇઝેશન $P$,વિદ્યુત સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_e$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \chi_e E$ છે.
તેથી,$\chi_e = \frac{P}{E} = \frac{0.02}{4} = 0.005$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા: $\chi_e = \frac{n \cdot p}{E} = \frac{10^8 \times 0.2 \times 10^{-6}}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

(B) આપેલ છે કે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 3 \times 10^5 \hat{j} \text{ NC}^{-1}$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = 10 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} = 0.1 \text{ m} \times 0.3 \text{ m} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}^2$.
કારણ કે લંબચોરસનું સમતલ $ZX$-સમતલને સમાંતર છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $Y$-અક્ષની દિશામાં ( $ZX$-સમતલને લંબ) હશે.
તેથી,$\vec{A} = 3 \times 10^{-2} \hat{j} \text{ m}^2$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = (3 \times 10^5 \hat{j}) \cdot (3 \times 10^{-2} \hat{j})$
$\phi = 9 \times 10^3 \text{ Vm}$.

(A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના વિદ્યુતભારો,$+q$ અને $-q$,થી બનેલી હોય છે જે એકબીજાથી થોડા અંતરે આવેલા હોય છે.
તેથી,ગોળાકાર સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{net} = q + (-q) = 0$ થાય છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{net}}{\varepsilon_0}$ છે.
$q_{net}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ મળે છે.

(C) સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં,વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. ગૌસના નિયમ મુજબ,વાહક પર મૂકવામાં આવેલ કોઈપણ વધારાનો વિદ્યુતભાર પરસ્પર અપાકર્ષણને ઘટાડવા માટે સંપૂર્ણપણે તેની સપાટી પર રહેવો જોઈએ.
ભારિત વાહકની સપાટીની બહારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
ભારિત વાહકની અંદરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,શૂન્ય હોતું નથી.
ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા વાહકની સપાટીને લંબ (સામાન્ય) હોય છે,સ્પર્શક હોતું નથી.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે કોઈપણ વધારાનો વિદ્યુતભાર વાહકની સપાટી પર રહે છે.

(A) કિસ્સો-$I$: આંટાની સંખ્યા,$N_1 = 9$. કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 N_1 I}{2 R} = \frac{9 \mu_0 I}{2 R}$ છે.
કિસ્સો-$II$: આંટાની સંખ્યા,$N_2 = 3$. ધારો કે નવી ત્રિજ્યા $R'$ છે. તારની કુલ લંબાઈ સમાન રહેતી હોવાથી,$N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi R')$.
કિંમતો મૂકતા: $9 (2 \pi R) = 3 (2 \pi R') \Rightarrow R' = 3 R$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I}{2 R'} = \frac{\mu_0 \times 3 \times I}{2 \times 3 R} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ થાય.
$B_2$ અને $B_1$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 I / 2 R}{9 \mu_0 I / 2 R} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$B_2 = \frac{B_1}{9}$.

(D) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલની અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B_{\text{centre}} = 64 \times B_{\text{axis}}$.
સૂત્રો મૂકતા,$\frac{\mu_0 I}{2R} = 64 \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
સામાન્ય પદો દૂર કરતા,$\frac{1}{R} = \frac{64 R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
આથી $(R^2 + x^2)^{3/2} = 64 R^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$(R^2 + x^2)^{1/2} = 4R$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$R^2 + x^2 = 16R^2$.
તેથી,$x^2 = 15R^2$,જેનું મૂલ્ય $x = R\sqrt{15}$ મળે છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $q/m = \pi \text{ C kg}^{-1}$ અને $B = 2 \text{ T}$ આપેલ છે,તેથી:
$T = \frac{2 \pi}{\pi \times 2} = 1 \text{ s}$.
કણને $X$-અક્ષની દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. $t = \frac{1}{12} \text{ s}$ સમય પછી,વિચલન કોણ $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\theta = \frac{t}{T} \times 360^{\circ} = \frac{1/12}{1} \times 360^{\circ} = 30^{\circ}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $-\hat{k}$ દિશામાં હોવાથી,કણ $XY$-સમતલમાં ગતિ કરશે અને ધન $Y$-અક્ષ તરફ વિચલિત થશે.
$t$ સમય પછી વેગ સદિશ $\vec{v}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{v} = v_0 (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$
$\vec{v} = 10 (\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j})$
$\vec{v} = 10 (\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}) = 5(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$.

(C) ચુંબકીય હિસ્ટરેસિસ એ એક એવી ઘટના છે જેમાં પદાર્થનું મેગ્નેટાઈઝેશન લાગુ પાડવામાં આવેલા બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર કરતા પાછળ રહે છે.
આ વર્તણૂક ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો,જેમ કે લોખંડ $(Fe)$,નિકલ $(Ni)$ અને કોબાલ્ટ $(Co)$ ની લાક્ષણિકતા છે.
આ પદાર્થોમાં,ચુંબકીય ડોમેન્સનું નિર્માણ અને હલનચલન મેગ્નેટાઈઝેશન અને ડીમેગ્નેટાઈઝેશનના સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન ઉર્જાનો વ્યય કરે છે,જે હિસ્ટરેસિસ લૂપ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પેરામેગ્નેટિક અને ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો આ ગુણધર્મ દર્શાવતા નથી.

(C) પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,ક્યુરીના નિયમ મુજબ મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\chi \propto \frac{1}{T}$.
આપેલ છે: $T_1 = 300 \ K$ પર $\chi_1 = 1.2 \times 10^{-5}$.
આપણે $T_2 = 200 \ K$ પર $\chi_2$ શોધવાની છે.
સંબંધ $\frac{\chi_2}{\chi_1} = \frac{T_1}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\chi_2 = \chi_1 \times \frac{T_1}{T_2}$
$\chi_2 = 1.2 \times 10^{-5} \times \frac{300}{200}$
$\chi_2 = 1.2 \times 10^{-5} \times 1.5$
$\chi_2 = 1.8 \times 10^{-5}$.

(D) પરમાણુ પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઊર્જા એ નીપજો અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જાના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = (BE_{\text{products}}) - (BE_{\text{reactants}})$
આપેલ છે:
$BE(^{235}_{92}U) = 1800 \ MeV$
$BE(^{144}_{56}Ba) = 1200 \ MeV$
$BE(^{89}_{36}Kr) = 780 \ MeV$
પ્રક્રિયકોની કુલ $BE = 1800 \ MeV$
નીપજોની કુલ $BE = 1200 + 780 = 1980 \ MeV$
મુક્ત થતી ઊર્જા $Q = 1980 - 1800 = 180 \ MeV$
આ ઊર્જા $3$ ન્યુટ્રોન દ્વારા વહન કરવામાં આવતી હોવાથી,પ્રતિ ન્યુટ્રોન સરેરાશ ગતિઊર્જા:
$KE_{\text{avg}} = \frac{180 \ MeV}{3} = 60 \ MeV$

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln R = \ln R_0 - \lambda t$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આલેખનો ઢાળ $m = -\lambda$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$t = 0$ સમયે,$\ln R_0 = 2$,જેનો અર્થ છે કે $R_0 = e^2 = 7.5$.
આલેખનો ઢાળ $\lambda = -\frac{\Delta(\ln R)}{\Delta t} = -\frac{1 - 2}{10 \times 10^3 - 0} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4} \text{ s}^{-1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એક્ટિવિટી $R_0 = \lambda N_0$,જ્યાં $N_0$ એ $t = 0$ સમયે અવિભંજિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
તેથી,$N_0 = \frac{R_0}{\lambda} = \frac{7.5}{10^{-4}} = 7.5 \times 10^4 = 75000$.

(D) આકૃતિ પરથી,લેન્સને બે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય.
ડાબા અડધા ભાગ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{0.5}{R}$
જમણા અડધા ભાગ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{0.2}{R}$
લેન્સનો સંયુક્ત પાવર $P = P_1 + P_2$ છે,તેથી $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{R} + \frac{0.2}{R} = \frac{0.7}{14} = 0.05 \ cm^{-1}$.
આમ,$f = \frac{1}{0.05} = 20 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -40 \ cm$ અને $f = 20 \ cm$:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-40}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2-1}{40} = \frac{1}{40}$
તેથી,$v = 40 \ cm$.

(A) આપેલ છે: $n_1 = \frac{4}{3}$,$n_2 = \frac{3}{2}$,$R = 10 \text{ cm}$.
વસ્તુનું અંતર $u = -2R = -20 \text{ cm}$ (ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા).
ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવનનું સૂત્ર:
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3/2}{v} - \frac{4/3}{-20} = \frac{3/2 - 4/3}{10}$
$\frac{3}{2v} + \frac{4}{60} = \frac{1/6}{10}$
$\frac{3}{2v} + \frac{1}{15} = \frac{1}{60}$
$\frac{3}{2v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15} = \frac{1 - 4}{60} = -\frac{3}{60} = -\frac{1}{20}$
$\frac{3}{2v} = -\frac{1}{20}$
$2v = -60 \implies v = -30 \text{ cm}$.
અહીં $v$ ઋણ હોવાથી,પ્રતિબિંબ વસ્તુની બાજુએ જ (પાતળા માધ્યમમાં) ધ્રુવ $P$ થી $30 \text{ cm}$ અંતરે રચાય છે.

(D) ખગોળીય ટેલિસ્કોપ બે લેન્સનું બનેલું હોય છે: ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ અને આઈપીસ (નેત્રકાચ).
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દૂરની વસ્તુનું વાસ્તવિક,ઉલટું અને નાનું પ્રતિબિંબ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચે છે.
આ પ્રતિબિંબ આઈપીસ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે એક સાદા મેગ્નિફાયર (બિલોરી કાચ) તરીકે વર્તે છે.
આઈપીસને એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે જેથી પ્રતિબિંબ તેની કેન્દ્રલંબાઈની અંદર રહે,જેના પરિણામે મૂળ દૂરની વસ્તુની સાપેક્ષમાં અંતિમ પ્રતિબિંબ આભાસી,ઉલટું અને મોટું મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,પ્રિઝમ સમબાજુ છે,તેથી પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A = 60^{\circ}$ છે.
પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + \delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{60^{\circ} + 60^{\circ}}{2}\right)}{\sin \left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ સાથે $\mu = \frac{c}{v}$ તરીકે સંબંધિત છે.
તેથી,$v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \times 10^8 \ m/s$.

(D) પરિપથની આકૃતિ પરથી,શ્રેણી અવરોધ $R_S$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ એ તેના પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપને તેના અવરોધ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$I = \frac{V_0 - V_Z}{R_S}$
જંકશન પોઈન્ટ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રવાહ $I$ એ ઝેનર ડાયોડ પ્રવાહ $I_Z$ અને લોડ પ્રવાહ $I_L$ માં વિભાજિત થાય છે:
$I = I_Z + I_L$
ઝેનર ડાયોડ પ્રવાહ $I_Z$ શોધવા માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$I_Z = I - I_L$
$I$ માટેનું પદ મૂકતા:
$I_Z = \left(\frac{V_0 - V_Z}{R_S}\right) - I_L$

(B) આપેલ છે:
બેટરીનું emf,$V = 5.7 \ V$
ડાયોડનો બેરિયર પોટેન્શિયલ,$V_B = 0.7 \ V$
શ્રેણી અવરોધ,$R_S = 5 \ k\Omega = 5 \times 10^3 \ \Omega$
ફોરવર્ડ બાયસ $p-n$ જંકશન ડાયોડમાં,અવરોધક પરનો અસરકારક વોલ્ટેજ એ બેટરીના emf અને બેરિયર પોટેન્શિયલ વચ્ચેનો તફાવત છે.
અસરકારક વોલ્ટેજ,$V_{eff} = V - V_B = 5.7 \ V - 0.7 \ V = 5.0 \ V$
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V_{eff}}{R_S} = \frac{5.0 \ V}{5 \times 10^3 \ \Omega} = 1 \times 10^{-3} \ A$
$I = 1 \ mA$

(B) અનબાયસ્ડ $p-n$ જંકશન ડાયોડમાં,જંકશનની આરપાર ચાર્જ કેરિયર્સના પ્રસરણને કારણે એક એવો વિસ્તાર બને છે જેમાં મોબાઈલ ચાર્જ કેરિયર્સનો અભાવ હોય છે.
આ વિસ્તારને ડેપ્લેશન રિજન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેમાં સ્ફટિક લેટીસમાં સ્થિર થયેલા અચલ આયનીકૃત ડોનર અને એક્સેપ્ટર પરમાણુઓ (આયનો) હોય છે.
કારણ કે મોબાઈલ ચાર્જ કેરિયર્સ (મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) દૂર થઈ ગયા છે અથવા પુનઃસંયોજિત થઈ ગયા છે,તેથી આ વિસ્તારમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન કે હોલ્સ હોતા નથી.

(B) વાહકોમાં,કન્ડક્શન બેન્ડ અને વેલેન્સ બેન્ડ વચ્ચે કોઈ ફોરબિડન એનર્જી ગેપ (નિષિદ્ધ ઉર્જા ગાળો) હોતો નથી.
કોપર જેવી ધાતુઓ (વાહકો) માટે,વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે.
આ ઓવરલેપિંગને કારણે ઇલેક્ટ્રોન મુક્તપણે ગતિ કરી શકે છે,તેથી જ કોપર વિદ્યુતનું સારું વાહક છે.
સિલિકોન,જર્મેનિયમ અને કાર્બન (હીરાના સ્વરૂપમાં) અર્ધવાહકો અથવા અવાહકો છે,જેમાં ફોરબિડન એનર્જી ગેપ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(B) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
પ્રથમ અને બીજા પોલેરોઇડની પાસ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_{12} = 30^{\circ}$ છે. મેલસના નિયમ મુજબ,બીજા પોલેરોઇડમાંથી પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3 I_0}{8}$ થાય છે.
બીજા અને ત્રીજા પોલેરોઇડની પાસ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_{23} = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,ત્રીજા પોલેરોઇડમાંથી પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(60^{\circ}) = \frac{3 I_0}{8} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{3 I_0}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{3 I_0}{32}$ થાય છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
પ્રાયોગિક સેટ-અપ ($D$ અને $d$) સમાન હોવાથી, $\beta \propto \lambda$ થાય।
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ, તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે।
સમાન ઝડપ $v$ માટે, તરંગલંબાઈ કણના દળ $m$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $\lambda \propto \frac{1}{m}$।
પ્રોટોનનું દળ $(m_p)$ એ ઈલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી, $m_p > m_e$ થાય।
તેથી, પ્રોટોન બીમની તરંગલંબાઈ $(\lambda_2)$ એ ઈલેક્ટ્રોન બીમની તરંગલંબાઈ $(\lambda_1)$ કરતા ઓછી હશે, એટલે કે $\lambda_2 < \lambda_1$।
જેથી $\beta \propto \lambda$ હોવાથી, $\beta_2 < \beta_1$ અથવા $\beta_1 > \beta_2$ મળે।