वक्रों का वह परिवार जिसके किसी भी बिंदु पर स् | vedclass

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Question

(A) माना वक्र पर बिंदु $(x, y)$ है।$(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है,जहाँ $(X, Y)$ स्पर्श रेखा पर कोई बिंदु है।$x$-अ

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$xy = C$

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(A) माना वक्र पर बिंदु $(x, y)$ है।$(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है,जहाँ $(X, Y)$ स्पर्श रेखा पर कोई बिंदु है।$x$-अंतःखंड $Y = 0$ रखकर प्राप्त होता है: $-y = \frac{dy}{dx}(X - x) \Rightarrow X = x - y \frac{dx}{dy}$.$y$-अंतःखंड $X = 0$ रखकर प्राप्त होता है: $Y - y = \frac{dy}{dx}(-x) \Rightarrow Y = y - x \frac{dy}{dx}$.प्रश्न के अनुसार,$x$-अंतःखंड $2x$ है और $y$-अंतःखंड $2y$ है।अतः,$x - y \frac{dx}{dy} = 2x \Rightarrow -y \frac{dx}{dy} = x \Rightarrow -\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int \frac{dx}{x} = \int \frac{dy}{y} \Rightarrow -\ln|x| = \ln|y| + \ln|C|$.इसे सरल करने पर $\ln|y| + \ln|x| = \ln|C|$ प्राप्त होता है,जो $xy = C$ देता है।

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