e^{dy/dx} = x+1, y(0) = 3 का हल है | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $e^{dy/dx} = x+1$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \log(x+1)$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का $

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$y+x-3 = (x+1) \log (x+1)$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $e^{dy/dx} = x+1$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \log(x+1)$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int dy = \int \log(x+1) dx$ प्राप्त होता है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log(x+1) dx = (x+1) \log(x+1) - (x+1) + C$। वैकल्पिक रूप से,$y = x \log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx = x \log(x+1) - \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = x \log(x+1) - x + \log(x+1) + C$। अतः,$y = (x+1) \log(x+1) - x + C$। प्रारंभिक शर्त $y(0) = 3$ दी गई है,इसलिए $x=0$ और $y=3$ रखने पर: $3 = (0+1) \log(1) - 0 + C \Rightarrow 3 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 3$। $C=3$ का मान सामान्य हल में रखने पर,$y = (x+1) \log(x+1) - x + 3$ प्राप्त होता है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$y+x-3 = (x+1) \log(x+1)$ प्राप्त होता है।

$e^{dy/dx} = x+1, y(0) = 3$ का हल है

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