KCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ वह बिंदु है जहाँ पिंड का कुल द्रव्यमान केंद्रित माना जाता है।
गुरुत्व केंद्र $(CG)$ वह बिंदु है जहाँ पिंड पर कुल गुरुत्वाकर्षण बल (भार) कार्य करता है।
पृथ्वी की सतह पर,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ ऊँचाई के साथ बदलता है। यदि पिंड का आकार पृथ्वी की त्रिज्या $(R_e)$ की तुलना में बहुत छोटा है,तो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ को पूरे पिंड पर एकसमान माना जा सकता है।
एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में,$CM$ और $CG$ संपाती होते हैं।
अतः,पृथ्वी की सतह पर स्थित एक विस्तारित पिंड के लिए,यदि पिंड का आकार पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में नगण्य है,तो $CM$ और $CG$ एक ही बिंदु पर होते हैं।

(A) जब बूंद संतुलित होती है, तो विद्युत बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है: $qE = mg$ $(1)$।
जब विद्युत क्षेत्र बंद कर दिया जाता है, तो बूंद $v$ टर्मिनल वेग से गिरती है। स्टोक्स के नियम के अनुसार, ड्रैग बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है: $mg = 6 \pi \eta r v$ $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ से, $qE = 6 \pi \eta r v$, इसलिए $r = \frac{qE}{6 \pi \eta v}$।
गोलाकार बूंद का द्रव्यमान $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ है।
$m$ का मान $(1)$ में रखने पर: $qE = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{qE}{6 \pi \eta v} \right)^3 \rho g$।
$q$ के लिए हल करने पर: $q^2 = \frac{162 \pi^2 \eta^3 v^3}{E^2 \rho g}$।
मान रखने पर: $q^2 = \frac{162 \times \pi^2 \times (1.8 \times 10^{-5})^3 \times (2 \times 10^{-3})^3}{(\frac{81}{7} \pi \times 10^5)^2 \times 900 \times 9.8}$।
इसकी गणना करने पर $q^2 = 64 \times 10^{-38} \,C^2$ प्राप्त होता है, इसलिए $q = 8 \times 10^{-19} \,C$।

(A) वृत्ताकार ट्रैक की त्रिज्या,$r = 10 \,m$. कार की चाल,$v = 10 \,m/s$. गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,m/s^2$.
कार के फ्रेम में,बॉब पर क्षैतिज रूप से बाहर की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $\frac{mv^2}{r}$ कार्य करता है।
बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. तार में तनाव $T$।
$2$. भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. छद्म बल $\frac{mv^2}{r}$ जो क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
कार के फ्रेम में संतुलन के लिए:
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ $(i)$
$T \cos \theta = mg$ (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{10^2}{10 \times 10} = \frac{100}{100} = 1$.
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।
रेडियन में बदलने पर: $\theta = 45^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{4} \,rad$।

(D) माना $m_1 = 5 \,kg$ और $m_2 = 3 \,kg$ है। प्रणाली $a = 2 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है।
निचले द्रव्यमान $m_2$ $(3 \,kg)$ के लिए:
कार्यरत बल ऊपर की ओर तनाव $T_2$ और नीचे की ओर भार $m_2 g$ हैं।
गति का समीकरण: $T_2 - m_2 g = m_2 a$
$T_2 - 3 \times 9.8 = 3 \times 2$
$T_2 - 29.4 = 6$
$T_2 = 35.4 \,N$
ऊपरी द्रव्यमान $m_1$ $(5 \,kg)$ के लिए:
कार्यरत बल ऊपर की ओर तनाव $T_1$ और नीचे की ओर तनाव $T_2$ तथा भार $m_1 g$ हैं।
गति का समीकरण: $T_1 - T_2 - m_1 g = m_1 a$
$T_1 - 35.4 - 5 \times 9.8 = 5 \times 2$
$T_1 - 35.4 - 49 = 10$
$T_1 - 84.4 = 10$
$T_1 = 94.4 \,N$

(B) दिया गया है: यंग मापांक,$Y = 7 \times 10^9 \,N/m^2$. भार,$F = 10^4 \,N$. विकृति,$\epsilon = \frac{\Delta l}{l} = 0.2 \% = 0.002 = 2 \times 10^{-3}$.
हम जानते हैं कि यंग मापांक को $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
क्षेत्रफल $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$A = \frac{F}{Y \times (\Delta l/l)}$.
मान रखने पर: $A = \frac{10^4}{7 \times 10^9 \times 0.002}$.
$A = \frac{10^4}{14 \times 10^6} = \frac{1}{14} \times 10^{-2} \approx 0.0714 \times 10^{-2} = 7.14 \times 10^{-4} \,m^2$.
अतः,आवश्यक क्षेत्रफल $7.1 \times 10^{-4} \,m^2$ है।

(A) कण का विस्थापन $x$ और समय $t$ के बीच संबंध $t = \sqrt{x} + 3$ दिया गया है।
$\sqrt{x}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{x} = t - 3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें विस्थापन का समीकरण प्राप्त होता है: $x = (t - 3)^2 = t^2 - 6t + 9$।
कण का वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 6t + 9) = 2t - 6$।
जब वेग शून्य हो,तब विस्थापन ज्ञात करने के लिए,$v = 0$ रखने पर:
$2t - 6 = 0 \Rightarrow 2t = 6 \Rightarrow t = 3 \ s$।
अब,$t = 3 \ s$ का मान विस्थापन समीकरण में रखने पर:
$x = (3 - 3)^2 = 0^2 = 0 \ m$।
अतः,जब कण का वेग शून्य होता है,तो उसका विस्थापन $0 \ m$ होगा।

(C) प्रक्षेप्य गति में प्राप्त अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $H$ का सूत्र है:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \phi}{2g}$
जहाँ $u$ प्रारंभिक चाल है और $\phi$ प्रक्षेपण कोण है।
चूंकि $u$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $H \propto \sin^2 \phi$ है।
दोनों वस्तुओं के लिए,कोण $\phi_1 = \theta$ और $\phi_2 = 90^{\circ} - \theta$ हैं।
उनकी अधिकतम ऊंचाइयों का अनुपात है:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2(90^{\circ} - \theta)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$
अतः,उनकी अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊंचाइयों का अनुपात $\tan^2 \theta : 1$ है।

(B) $SHM$ कर रहे कण के लिए विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $x = 3 \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{4}\right)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर:
आयाम $A = 3 \ m$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi \ rad/s$ प्राप्त होती है।
$SHM$ में कण की अधिकतम चाल $v_{\max}$ का सूत्र $v_{\max} = \omega A$ है।
मान रखने पर: $v_{\max} = (2 \pi \ rad/s) \times (3 \ m) = 6 \pi \ m/s$.
अतः,आयाम $3 \ m$ है और अधिकतम चाल $6 \pi \ m/s$ है।

(A) दिया गया है,व्हील की प्रारंभिक कोणीय आवृत्ति,$f_0 = 1200 rpm = \frac{1200}{60} rps = 20 rps$.
प्रारंभिक कोणीय वेग,$\omega_0 = 2 \pi f_0 = 2 \pi \times 20 = 40 \pi rad/s$.
अंतिम कोणीय आवृत्ति,$f = 3120 rpm = \frac{3120}{60} rps = 52 rps$.
अंतिम कोणीय वेग,$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 52 = 104 \pi rad/s$.
लिया गया समय,$t = 16 s$.
घूर्णी गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$\omega = \omega_0 + \alpha t$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{104 \pi - 40 \pi}{16} = \frac{64 \pi}{16} = 4 \pi rad/s^2$.

(D) "ऊष्मा कम तापमान वाली वस्तु से अधिक तापमान वाली वस्तु की ओर स्वतः प्रवाहित नहीं हो सकती है" यह कथन ऊष्मागतिकी के द्वितीय नियम के क्लॉसियस कथन के रूप में जाना जाता है।
इसका अर्थ यह है कि ठंडी वस्तु से गर्म वस्तु में ऊष्मा के स्थानांतरण के लिए निकाय पर बाहरी कार्य किया जाना आवश्यक है।

(B) जंजीर की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान, $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4 \,kg}{2 \,m} = 2 \,kg/m$ है।
माना मेज से लटकने वाली जंजीर की लंबाई $l = 0.6 \,m$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2 \,kg$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $x = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \,m$ नीचे स्थित है।
जंजीर को मेज पर खींचने में किया गया कार्य लटकने वाले भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है, जो इसके द्रव्यमान केंद्र को मेज के स्तर तक उठाने के बराबर है।
$W = m \times g \times x = 1.2 \,kg \times 10 \,m/s^2 \times 0.3 \,m = 3.6 \,J$.

(B) $LC$ परिपथ में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है और इसे $U = \frac{q_0^2}{2C}$ द्वारा दिया जाता है।
किसी भी समय $t$ पर,संधारित्र पर आवेश $q = q_0 \cos(\omega t)$ होता है,जहाँ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
विद्युत क्षेत्र में संग्रहीत ऊर्जा $U_E = \frac{q^2}{2C} = \frac{q_0^2 \cos^2(\omega t)}{2C}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में संग्रहीत ऊर्जा $U_B = U - U_E = \frac{q_0^2}{2C} - \frac{q_0^2 \cos^2(\omega t)}{2C} = \frac{q_0^2}{2C} \sin^2(\omega t)$ है।
हमें दिया गया है कि ऊर्जा समान रूप से संग्रहीत है,इसलिए $U_E = U_B$ है।
$\frac{q_0^2}{2C} \cos^2(\omega t) = \frac{q_0^2}{2C} \sin^2(\omega t) \implies \cos^2(\omega t) = \sin^2(\omega t) \implies \tan^2(\omega t) = 1$ है।
अतः,$\omega t = \frac{\pi}{4}$ है।
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t = \frac{\pi}{4} \sqrt{LC}$ प्राप्त होता है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
जहाँ $X_L = \omega L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
चरण $1$: प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ की गणना करें।
$X_L = \omega L = 1000 \times 0.9 = 900 \Omega$.
चरण $2$: धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ की गणना करें।
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
चरण $3$: प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें।
$Z = \sqrt{300^2 + (900 - 500)^2}$
$Z = \sqrt{300^2 + 400^2}$
$Z = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000}$
$Z = 500 \Omega$.

(B) दिया गया है, धारिता, $C = 10^{-6} \,F$.
प्रेरकत्व, $L = 10^{-4} \,H$.
$L-C$ परिपथ में विद्युत दोलनों की आवृत्ति का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-4} \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-10}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-5}}$
$f = \frac{10^5}{2 \pi} \,Hz$

(B) दिया गया समीकरण $i = i_1 \sin \omega t + i_2 \cos \omega t$ है।
हम इसे $i = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $A$ परिणामी धारा का आयाम (amplitude) है।
$A$ ज्ञात करने के लिए,हम गुणांकों की तुलना करते हैं: $i_1 = A \cos \phi$ और $i_2 = A \sin \phi$।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर: $i_1^2 + i_2^2 = A^2 \cos^2 \phi + A^2 \sin^2 \phi = A^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = A^2$।
अतः,आयाम $A = \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ प्राप्त होता है।
ज्यावक्रीय (sinusoidal) धारा $i = A \sin(\omega t + \phi)$ का rms मान $i_{rms} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ का मान रखने पर,हमें $i_{rms} = \sqrt{\frac{i_1^2 + i_2^2}{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 n^2$ है,जहाँ $a_0 = 0.53 \ Å$ बोहर त्रिज्या है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
दिया गया है,ग्राउंड स्टेट त्रिज्या $r_1 = 0.53 \ Å$ ($n_1 = 1$ के लिए)।
उत्तेजित अवस्था की त्रिज्या $r_2 = 2.12 \ Å$ ($n_2 = n$ के लिए)।
$r \propto n^2$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$\frac{r_2}{r_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2$
मान रखने पर:
$\frac{2.12}{0.53} = \left(\frac{n}{1}\right)^2$
$4 = n^2$
$n = \sqrt{4} = 2$
अतः,अंतिम अवस्था की मुख्य क्वांटम संख्या $n=2$ है।

(C) दिया गया है:
कक्षीय गति $v = 3 \times 10^4 \ m/s$
त्रिज्या $r = 1.5 \times 10^{11} \ m$
पृथ्वी का द्रव्यमान $m_e = 6 \times 10^{24} \ kg$
प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार:
$L = m_e v r = \frac{n h}{2 \pi}$
क्वांटम संख्या $n$ के लिए सूत्र:
$n = \frac{2 \pi m_e v r}{h}$
मान रखने पर:
$n = \frac{2 \times 3.14159 \times (6 \times 10^{24}) \times (3 \times 10^4) \times (1.5 \times 10^{11})}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n = \frac{169.646 \times 10^{39}}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n \approx 2.56 \times 10^{74}$
अतः,क्वांटम संख्या $2.57 \times 10^{74}$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 r_1$ है,जहाँ $r_1$ बोहर त्रिज्या (पहली कक्षा की त्रिज्या) है।
दिया गया है,$r_1 = 0.529 Å$।
हमें तीसरी कक्षा की त्रिज्या ज्ञात करनी है,इसलिए $n = 3$।
सूत्र में मान रखने पर:
$r_3 = 3^2 \times r_1$
$r_3 = 9 \times 0.529 Å$
$r_3 = 4.761 Å$.

(A) जब एक आवेशित संधारित्र को बैटरी से अलग किया जाता है और प्लेटों के बीच एक कांच की स्लैब (परावैद्युत पदार्थ) रखी जाती है,तो आवेश $(Q)$ स्थिर रहता है क्योंकि परिपथ खुला होता है।
धारिता $(C)$ बढ़ जाती है क्योंकि $C = KC_0$,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है।
विभवांतर $(V)$ घट जाता है क्योंकि $V = \frac{V_0}{K}$,क्योंकि $V = \frac{Q}{C}$ और $Q$ स्थिर रहने पर $C$ के बढ़ने से $V$ घटता है।
संचित ऊर्जा $(U)$ घट जाती है क्योंकि $U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{U_0}{K}$,क्योंकि $Q$ स्थिर रहने पर $C$ के बढ़ने से $U$ घटता है।
अतः,विभवांतर और संचित ऊर्जा में कमी आती है।

(A) दिया गया है कि $10$ समान सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,प्रत्येक का विद्युत वाहक बल $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल $= 10 E$ है।
परिपथ का कुल आंतरिक प्रतिरोध $= 10 r$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{\text{कुल EMF}}{\text{कुल प्रतिरोध}} = \frac{10 E}{10 r} = \frac{E}{r}$ है।
$3$ सेलों के सिरों पर विभवांतर $V$ उन पर होने वाले विभव पतन का योग है।
श्रेणीक्रम में जुड़े $3$ सेलों के लिए,कुल आंतरिक प्रतिरोध $3 r$ है।
इन $3$ सेलों के सिरों पर विभवांतर $V = I \times (3 r)$ है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $V = \frac{E}{r} \times 3 r = 3 E$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: विद्युत क्षेत्र,$E = 3 \times 10^{-10} \text{ Vm}^{-1}$.
गतिशीलता,$\mu = 2.5 \times 10^6 \text{ m}^2 \text{V}^{-1} \text{s}^{-1}$.
अपवाह वेग $(v_d)$,गतिशीलता $(\mu)$ और विद्युत क्षेत्र $(E)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$v_d = \mu E$
दिए गए मानों को रखने पर:
$v_d = (2.5 \times 10^6) \times (3 \times 10^{-10})$
$v_d = 7.5 \times 10^{-4} \text{ m/s}$.
अतः,अपवाह वेग $7.5 \times 10^{-4} \text{ m/s}$ है।

(A) घूमते हुए आवेश द्वारा उत्पन्न समतुल्य धारा $I$ को सूत्र $I = \frac{q}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन समय $t$ में $n$ चक्कर लगाता है, इसलिए किसी बिंदु से गुजरने वाला कुल आवेश $q = n \times e$ होता है।
अतः, $I = \frac{n \times e}{t} = \left(\frac{n}{t}\right) \times e$.
दिया गया है:
चक्कर की आवृत्ति, $\frac{n}{t} = 9.4 \times 10^{18} \text{ rev/s}$.
इलेक्ट्रॉन का आवेश, $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
मान रखने पर:
$I = (9.4 \times 10^{18}) \times (1.6 \times 10^{-19})$
$I = 9.4 \times 1.6 \times 10^{-1}$
$I = 15.04 \times 0.1 = 1.504 \text{ A}$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें $I = 1.5 \text{ A}$ प्राप्त होता है।

(C) गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध,$R_g = 50 \Omega$।
बैटरी का emf,$V = 3 \text{ V}$।
श्रेणीक्रम में जुड़ा प्रतिरोध,$R_s = 2950 \Omega$।
कुल प्रतिरोध,$R' = R_g + R_s = 50 + 2950 = 3000 \Omega$।
अतः,प्रारंभिक धारा,$I = \frac{V}{R'} = \frac{3}{3000} = 10^{-3} \text{ A}$।
यदि विक्षेप को $30$ डिवीजनों से घटाकर $20$ डिवीजन करना है,तो नई धारा $I' = I \times \frac{20}{30} = 10^{-3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \times 10^{-3} \text{ A}$ होगी।
माना परिपथ का नया कुल प्रतिरोध $R_E$ है।
ओम के नियम के अनुसार,$V = I' R_E \Rightarrow R_E = \frac{V}{I'} = \frac{3}{\frac{2}{3} \times 10^{-3}} = \frac{9}{2} \times 10^3 = 4500 \Omega$।
चूंकि $R_E = R_g + R_{new}$,इसलिए आवश्यक नया श्रेणी प्रतिरोध $R_{new} = R_E - R_g = 4500 - 50 = 4450 \Omega$ होगा।

(B) बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ बल्ब का स्थिर प्रतिरोध है।
लघुगणकीय अवकलन (logarithmic derivative) लेने पर, हमें $\frac{dP}{P} = 2 \frac{dV}{V}$ प्राप्त होता है।
यहाँ, वोल्टेज में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{dV}{V} = -2.5 \% = -0.025$ है।
इसलिए, शक्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{dP}{P} = 2 \times (-2.5 \%) = -5 \%$ है।
ऋणात्मक चिह्न शक्ति में कमी को दर्शाता है।
अतः, शक्ति में उसके रेटेड मान का $5 \%$ की कमी होगी।

(C) वायर-बाउंड प्रतिरोधक मैंगनीन,कॉन्स्टेंटन या नाइक्रोम जैसी मिश्र धातुओं के तारों को लपेटकर बनाए जाते हैं।
इन सामग्रियों का चयन मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण किया जाता है कि उनकी प्रतिरोधकता तापमान के प्रति अपेक्षाकृत असंवेदनशील होती है।
यह गुण सुनिश्चित करता है कि संचालन के दौरान उपकरण के गर्म होने पर भी प्रतिरोध का मान स्थिर रहे।
ये प्रतिरोधक आमतौर पर एक ओम के अंश से लेकर कुछ सौ ओम तक की सीमा में होते हैं।

(B) माना तार की प्रारंभिक लंबाई $l$ है। खींचने के बाद,नई लंबाई $l^{\prime} = l + 10\% \text{ of } l = l + 0.1l = 1.1l$ होगी।
चूंकि तार का आयतन स्थिर रहता है,$A \cdot l = A^{\prime} \cdot l^{\prime}$,जिसका अर्थ है $A^{\prime} = A / 1.1$।
नया प्रतिरोध $R^{\prime} = \rho \frac{l^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{1.1l}{A/1.1} = (1.1)^2 \rho \frac{l}{A} = 1.21R$ होगा।
अतः,प्रतिरोध मूल प्रतिरोध का $1.21$ गुना हो जाता है।
विशिष्ट प्रतिरोध (प्रतिरोधकता) $\rho$ पदार्थ का एक आंतरिक गुण है और यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है,तार के आयामों पर नहीं। इसलिए,विशिष्ट प्रतिरोध समान रहेगा।

(D) मीटर ब्रिज में तार का प्रतिरोध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$,जहाँ $R$ बाएं गैप में प्रतिरोध है,$S$ दाएं गैप में प्रतिरोध है,और $l$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है।
$l$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $l = \frac{100R}{R+S}$।
जब बाएं गैप में जुड़े धातु के चालक को गर्म किया जाता है,तो उसका तापमान बढ़ता है,जिससे उसका प्रतिरोध $R$ बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है,अंश $100R$ हर $R+S$ की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण रूप से बढ़ता है,जिसके परिणामस्वरूप $l$ का मान बढ़ जाता है।
चूंकि $l$ बाएं सिरे से दूरी को दर्शाता है,इसलिए $l$ में वृद्धि का अर्थ है कि संतुलन बिंदु दाईं ओर खिसक जाता है।

(A) $K$ गतिज ऊर्जा वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$
जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है और $h$ प्लांक नियतांक है।
मान लीजिए कि जब गतिज ऊर्जा $K' = \frac{K}{4}$ हो जाती है,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है।
सूत्र में $K'$ का मान रखने पर:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mK'}} = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{K}{4})}}$
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mK}{4}}} = \frac{h}{\frac{1}{2}\sqrt{2mK}}$
$\lambda' = 2 \times \frac{h}{\sqrt{2mK}}$
चूंकि $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\lambda' = 2\lambda$.

(A) दिया गया है,फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0.52 eV$ है। प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 500 \,nm$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए,$K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
दो अलग-अलग तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन इस प्रकार है:
$\Delta K = K_2 - K_1 = hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$.
$hc \approx 1242 \,eV \cdot nm$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$0.52 = 1242 \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{500} \right)$.
$\frac{0.52}{1242} = \frac{1}{\lambda_2} - 0.002$.
$0.000418 = \frac{1}{\lambda_2} - 0.002$.
$\frac{1}{\lambda_2} = 0.002418$.
$\lambda_2 = \frac{1}{0.002418} \approx 413.5 \,nm$.
निकटतम विकल्प को देखते हुए,नई तरंगदैर्ध्य लगभग $400 \,nm$ है।

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,संतृप्त प्रकाश-विद्युत धारा आपतित विकिरण की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है।
यह आपतित विकिरण की आवृत्ति से स्वतंत्र होती है।
चूंकि तीव्रता को दोगुना किया गया है,इसलिए संतृप्त प्रकाश-विद्युत धारा भी दोगुनी हो जाएगी।
आवृत्ति में परिवर्तन संतृप्त धारा को प्रभावित नहीं करता है।
अतः,संतृप्त प्रकाश-विद्युत धारा दोगुनी हो जाती है।

(D) दिया गया है: चुंबकीय फ्लक्स घनत्व, $B = 1.0 \,Wb \,m^{-2}$
फेरों की संख्या, $N = 80$
कुंडली का क्षेत्रफल, $A = 0.01 \,m^2$
समय अंतराल, $\Delta t = 0.2 \,s$
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित emf का परिमाण है:
$|e| = N \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t}$
चूंकि कुंडली को क्षेत्र से हटा दिया जाता है, इसलिए अंतिम फ्लक्स $0$ है।
फ्लक्स में परिवर्तन, $\Delta \phi = B \cdot A - 0 = 1.0 \times 0.01 = 0.01 \,Wb$
मान रखने पर:
$|e| = \frac{80 \times 0.01}{0.2} = \frac{0.8}{0.2} = 4 \,V$

(C) दिया गया है: फेरों की संख्या, $N = 500$.
धारा, $I = 2 \,A$.
प्रति फेरा चुंबकीय फ्लक्स, $\phi = 4 \times 10^{-3} \,Wb$.
कुल चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $N\phi$ द्वारा दिया जाता है।
स्वप्रेरकत्व $L$ को संबंध $L = \frac{N\phi}{I}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{500 \times 4 \times 10^{-3}}{2}$
$L = \frac{2000 \times 10^{-3}}{2}$
$L = \frac{2}{2} = 1 \,H$.
अतः, परिनालिका का स्वप्रेरकत्व $1.0 \,H$ है।

(C) विद्युत चुंबकीय स्पेक्ट्रम को तरंगदैर्ध्य के अनुसार व्यवस्थित किया जाता है। दिए गए विकिरणों के लिए तरंगदैर्ध्य का बढ़ता क्रम इस प्रकार है:
$\lambda_{\text{X-rays}} < \lambda_{\text{UV-rays}} < \lambda_{\text{IR-rays}} < \lambda_{\text{microwaves}}$
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सूक्ष्म तरंगों (Microwaves) की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है:
द्विध्रुव आघूर्ण,$p = 4 \times 10^{-14} \ C \cdot m$
विद्युत क्षेत्र,$E = 5 \times 10^4 \ N/C$
कोण,$\theta = 30^{\circ}$
एकसमान विद्युत क्षेत्र में स्थित विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tau = p E \sin \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau = (4 \times 10^{-14}) \times (5 \times 10^4) \times \sin 30^{\circ}$
$\tau = 20 \times 10^{-10} \times 0.5$
$\tau = 10 \times 10^{-10} \ N \cdot m$
$\tau = 10^{-9} \ N \cdot m$

(B) क्षेत्र (field) की अवधारणा एक सैद्धांतिक मॉडल है जिसका उपयोग उस प्रभाव को समझाने के लिए किया जाता है जो एक विशाल पिंड या आवेशित कण अपने आसपास के स्थान में फैलाता है।
यह क्षेत्र उस स्थान में रखे गए किसी अन्य विशाल पिंड या आवेशित कण पर बल लगाता है।
इसलिए,क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग मुख्य रूप से उन बलों को समझने और वर्णित करने के लिए किया जाता है जो दूरी से कार्य करते हैं,जैसे कि गुरुत्वाकर्षण और स्थिर-विद्युत बल,न कि संपर्क बलों के लिए।

(A) मान लीजिए कि कोनों $A, B, C, D$ पर आवेश $q_A = +q$,$q_B = +2q$,$q_C = +q$,और $q_D = -2q$ हैं।
केंद्र $O$ पर,$q_A$ और $q_C$ के कारण विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं क्योंकि $q_A = q_C = +q$ और दूरियाँ $OA = OC$ हैं। अतः,वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
अब,$B$ और $D$ पर आवेशों पर विचार करें। $B$ पर आवेश $q_B = +2q$ है,जो केंद्र $O$ पर स्थित इकाई धनात्मक आवेश पर $OB$ की दिशा में (बाहर की ओर) प्रतिकर्षण बल लगाता है।
$D$ पर आवेश $q_D = -2q$ है,जो केंद्र $O$ पर स्थित इकाई धनात्मक आवेश पर $OD$ की दिशा में (अंदर की ओर) आकर्षण बल लगाता है।
चूंकि दोनों बल विकर्ण $BD$ के अनुदिश एक ही दिशा में हैं,इसलिए केंद्र $O$ पर स्थित इकाई धनात्मक आवेश पर परिणामी बल विकर्ण $BD$ की दिशा में होगा।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कण का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ है।
चूंकि कण को विरामावस्था से छोड़ा गया है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। $t$ समय के बाद वेग $v$ समीकरण $v = u + at = 0 + \frac{qE}{m}t = \frac{qEt}{m}$ द्वारा प्राप्त होता है।
कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{1}{2}m\left(\frac{qEt}{m}\right)^2 = \frac{1}{2}m \cdot \frac{q^2 E^2 t^2}{m^2} = \frac{E^2 q^2 t^2}{2m}$ प्राप्त होता है।

(C) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ (अक्षीय रेखा पर) या $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p}{r^3}$ (निरक्षीय रेखा पर) होता है। दोनों ही स्थितियों में,$E \propto \frac{1}{r^3}$ होता है।
विद्युत द्विध्रुव के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$ होता है। अतः,$V \propto \frac{1}{r^2}$ होता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र $1/r^3$ के अनुसार और विभव $1/r^2$ के अनुसार परिवर्तित होता है।

(A) पहले गोले पर आवेश,$q_1 = 1.8 \mu C = 1.8 \times 10^{-6} \ C$.
दूसरे गोले पर आवेश,$q_2 = 2.8 \mu C = 2.8 \times 10^{-6} \ C$.
दोनों गोलों के बीच की दूरी,$r = 40 \ cm = 0.4 \ m$.
मध्य-बिंदु से प्रत्येक गोले की दूरी,$r_1 = r_2 = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
मध्य-बिंदु पर कुल विद्युत विभव $V$ दोनों आवेशों के कारण उत्पन्न विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right)$
मान रखने पर,जहाँ $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ है:
$V = 9 \times 10^9 \times \left( \frac{1.8 \times 10^{-6}}{0.2} + \frac{2.8 \times 10^{-6}}{0.2} \right)$
$V = 9 \times 10^9 \times \frac{10^{-6}}{0.2} \times (1.8 + 2.8)$
$V = 9 \times 10^3 \times \frac{4.6}{0.2}$
$V = 9 \times 10^3 \times 23 = 207 \times 10^3 \ V = 2.07 \times 10^5 \ V$.
अतः,$V \approx 2.1 \times 10^5 \ V$.

(C) दिया गया है, चुंबकीय क्षेत्र, $B = 0.25 \,T$
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान, $\frac{m}{l} = 0.5 \,kg \,m^{-1}$
नत कोण, $\theta = 30^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 9.8 \,m \,s^{-2}$
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = BIl$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र ऊर्ध्वाधर है, इसलिए बल $F$ क्षैतिज दिशा में कार्य करता है।
चिकने नत समतल पर छड़ को स्थिर रखने के लिए, समतल के अनुदिश चुंबकीय बल का घटक, समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करना चाहिए।
समतल के नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल का घटक = $mg \sin 30^{\circ}$
समतल के ऊपर की ओर चुंबकीय बल का घटक = $F \cos 30^{\circ} = (BIl) \cos 30^{\circ}$
संतुलन के लिए दोनों बलों को बराबर करने पर:
$BIl \cos 30^{\circ} = mg \sin 30^{\circ}$
$BIl \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = mg \left(\frac{1}{2}\right)$
$BIl \sqrt{3} = mg$
$I = \frac{mg}{l \sqrt{3} B} = \left(\frac{m}{l}\right) \frac{g}{\sqrt{3} B}$
मान रखने पर:
$I = 0.5 \times \frac{9.8}{\sqrt{3} \times 0.25} \approx 11.316 \,A \approx 11.32 \,A$
अतः, आवश्यक विद्युत धारा $11.32 \,A$ है।

(D) दिया गया है,परिनालिका की लंबाई,$l = 50 \,cm = 0.5 \,m$ है।
फेरों की संख्या,$N = 100$ है।
धारा,$I = 2.5 \,A$ है।
परिनालिका में प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = \frac{N}{l} = \frac{100}{0.5} = 200 \,turns/m$ है।
परिनालिका के एक सिरे पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2}$ होता है।
मान रखने पर,$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 2.5}{2}$ प्राप्त होता है।
$B = 2\pi \times 10^{-7} \times 500 = 1000\pi \times 10^{-7} = \pi \times 10^{-4} \,T$ है।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$B = 3.14 \times 10^{-4} \,T$ प्राप्त होता है।

(B) धारावाही वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(x^2 + r^2)^{3/2}}$
जहाँ $I$ धारा है,$n$ फेरों की संख्या है,$r$ कुंडली की त्रिज्या है और $x$ केंद्र से बिंदु की दूरी है।
दिया गया है $x = \sqrt{3} r$,इसे सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2((\sqrt{3} r)^2 + r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(3r^2 + r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(4r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(8r^3)}$
$B = \frac{\mu_0 n I}{16r}$

(C) दिया गया है: प्रोटॉन का वेग $\vec{v} = 5 \times 10^6 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$,विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 4 \times 10^6 [2 \hat{i} + 0.2 \hat{j} + 0.1 \hat{k}] \text{ Vm}^{-1}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 0.2 [\hat{i} + 0.2 \hat{j} + \hat{k}] \text{ T}$,आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
लॉरेंट्ज़ बल के अनुसार कुल बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
सबसे पहले,$\vec{v} \times \vec{B} = (5 \times 10^6 \hat{j}) \times (0.2 \hat{i} + 0.04 \hat{j} + 0.2 \hat{k}) = 10^6 [\hat{j} \times \hat{i} + 0.2 \hat{j} \times \hat{j} + \hat{j} \times \hat{k}] = 10^6 [-\hat{k} + \hat{i}] = 10^6 [\hat{i} - \hat{k}]$.
अब,$\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 10^6 [8 \hat{i} + 0.8 \hat{j} + 0.4 \hat{k} + \hat{i} - \hat{k}] = 10^6 [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}]$.
$\vec{F} = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6 [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}] = 1.6 \times 10^{-13} [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}]$.
परिमाण $F = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{9^2 + 0.8^2 + (-0.6)^2} = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{81 + 0.64 + 0.36} = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{82} \approx 14.48 \times 10^{-13} \text{ N}$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,निकटतम मान $20 \times 10^{-13} \text{ N}$ है।

(D) आवेशित कणों की कॉस्मिक किरणों की तीव्रता भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर अधिक होती है क्योंकि पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र ध्रुवों पर सबसे शक्तिशाली होता है।
आवेशित कण (कॉस्मिक किरणें) लोरेंत्ज़ बल,$F = q(v \times B)$ के कारण पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र द्वारा विक्षेपित हो जाते हैं।
यह विक्षेपण भूमध्य रेखा के पास अधिक स्पष्ट होता है,जहाँ चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं क्षैतिज होती हैं,जिससे कई आवेशित कण दूर हट जाते हैं।
ध्रुवों पर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं लंबवत होती हैं,जिससे अधिक आवेशित कण सतह तक पहुँच पाते हैं।
कॉस्मिक किरणों की तीव्रता में यह भिन्नता सीधा प्रमाण देती है कि पृथ्वी का अपना चुंबकीय क्षेत्र है।

(D) नाइट्रोजन नाभिक $\left[{ }_7^{14} N\right]$ में $Z = 7$ प्रोटॉन और $N = (14 - 7) = 7$ न्यूट्रॉन होते हैं।
$7$ प्रोटॉन का द्रव्यमान $= 7 \times 1.00783 \ u = 7.05481 \ u$.
$7$ न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $= 7 \times 1.00867 \ u = 7.06069 \ u$.
न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान $= 7.05481 \ u + 7.06069 \ u = 14.11550 \ u$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (\text{न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान}) - (\text{नाभिक का द्रव्यमान})$.
$\Delta m = 14.11550 \ u - 14.00307 \ u = 0.11243 \ u$.
बंधन ऊर्जा $BE = \Delta m \times 931.5 \ MeV/u$.
$BE = 0.11243 \times 931.5 \approx 104.73 \ MeV$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,बंधन ऊर्जा $104.7 \ MeV$ है।

(D) दिया गया है, परमाणु रिएक्टर द्वारा प्रदान की गई शक्ति, $P = 10^9 \,W$।
समय, $t = 1 \,h = 3600 \,s$।
प्रकाश की गति, $c = 3 \times 10^8 \,m/s$।
द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध $E = mc^2$ का उपयोग करते हुए, उत्पन्न ऊर्जा $E = Pt$ है।
दोनों को बराबर करने पर, हमें $Pt = mc^2$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र व्यवस्थित करने पर, $m = \frac{Pt}{c^2}$।
मान रखने पर:
$m = \frac{10^9 \times 3600}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{3600 \times 10^9}{9 \times 10^{16}} = 400 \times 10^{-7} \,kg = 4 \times 10^{-5} \,kg$।
ग्राम में बदलने पर: $m = 4 \times 10^{-5} \times 10^3 \,g = 0.04 \,g$।

(C) विद्युत क्षेत्र आवेशित कणों पर बल लगाता है,जिससे वे अपने पथ से विक्षेपित हो जाते हैं।
$\alpha$-कण $+2e$ का धनात्मक आवेश वहन करते हैं,जिसके कारण वे विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों द्वारा विक्षेपित होते हैं।
$\gamma$-किरणें और $X$-किरणें विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं जिन पर कोई आवेश नहीं होता है,इसलिए वे विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में विक्षेपित नहीं होती हैं।
न्यूट्रॉन शून्य आवेश वाले उदासीन कण हैं,इसलिए वे विद्युत या चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा विक्षेपित नहीं होते हैं।

(D) सम-अवतल लेंस की शक्ति,$P = -4.5 \ D$.
अपवर्तनांक,$\mu = 1.6$.
लेंस की फोकस दूरी,$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-4.5} \ m = -\frac{100}{4.5} \ cm = -\frac{200}{9} \ cm$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
सम-अवतल लेंस के लिए,$R_1 = -R$ और $R_2 = R$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{-200/9} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right)$
$-\frac{9}{200} = 0.6 \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{9}{200} = \frac{1.2}{R}$
$R = \frac{1.2 \times 200}{9} = \frac{240}{9} \approx 26.67 \ cm$.
अवतल लेंस की वक्रता त्रिज्या के लिए चिह्न परिपाटी के अनुसार,इसका मान $-26.6 \ cm$ प्राप्त होता है।

(D) माना वस्तु की लेंस से दूरी $u$ है और प्रतिबिंब की लेंस से दूरी $v$ है। चूंकि वस्तु और पर्दा $x$ दूरी पर स्थिर हैं, इसलिए $v + u = x$ (परिमाण लेने पर)।
आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है, इसलिए $v = mu$।
$v = mu$ को दूरी के समीकरण में रखने पर: $mu + u = x$, जिससे $u(m + 1) = x$ प्राप्त होता है, अतः $u = \frac{x}{m+1}$।
तब $v = x - u = x - \frac{x}{m+1} = \frac{mx}{m+1}$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर, जहाँ चिह्न परिपाटी के अनुसार $u$ ऋणात्मक है $(u = -\frac{x}{m+1})$:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{(\frac{mx}{m+1})} - \frac{1}{(-\frac{x}{m+1})}$
$\frac{1}{f} = \frac{m+1}{mx} + \frac{m+1}{x} = \frac{m+1}{x} (\frac{1}{m} + 1) = \frac{m+1}{x} (\frac{1+m}{m}) = \frac{(m+1)^2}{mx}$।
अतः, $f = \frac{mx}{(m+1)^2}$।

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,लेंस की फोकस दूरी $f$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
जहाँ $\mu$ लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
इससे हम देख सकते हैं कि $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$।
कॉशी के परिक्षेपण सूत्र के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\mu \propto \frac{1}{\lambda})$।
जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,अपवर्तनांक $\mu$ घटता है।
चूंकि $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$,$\mu$ में कमी होने से फोकस दूरी $f$ में वृद्धि होती है।
दिए गए रंगों में,लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है $(\lambda_{red} > \lambda_{yellow} > \lambda_{green} > \lambda_{blue})$।
इसलिए,लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $\mu$ न्यूनतम होता है,जिसके परिणामस्वरूप लाल प्रकाश के लिए फोकस दूरी अधिकतम होती है।

(C) एक समबाहु कांच के प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
यह दिया गया है कि आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर है,और प्रत्येक प्रिज्म के कोण का $\frac{3}{4}$ है:
$i = e = \frac{3}{4} A = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$.
विचलन कोण $\delta$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\delta = i + e - A$.
मान रखने पर:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
अतः,विचलन कोण $30^{\circ}$ है।

(D) जब प्रकाश की किरण चांदी की परत वाले कांच के स्लैब की पारदर्शी सतह पर आपतित होती है,तो यह अपवर्तन से गुजरती है,चांदी की सतह से परावर्तित होती है,और फिर स्लैब से बाहर निकलते समय फिर से अपवर्तित होती है।
स्नेल के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ और अपवर्तन कोण $r$ के बीच संबंध $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$ है। यहाँ,$n_1 = 1$ (वायु) और $n_2 = 1.5$ (कांच) है।
अतः,$\sin(45^{\circ}) = 1.5 \sin(r)$,जिससे $\sin(r) = \frac{1}{1.5 \sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
स्लैब के अंदर पथ की समरूपता के कारण,किरण चांदी की सतह पर $r$ कोण पर टकराती है और $r$ कोण पर परावर्तित होती है। फिर यह पारदर्शी सतह पर $r$ कोण पर टकराती है और मूल आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ पर हवा में वापस अपवर्तित हो जाती है।
आपतित किरण अभिलंब के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है। निर्गत किरण भी अभिलंब के दूसरी ओर अभिलंब के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
कुल विचलन $\delta$ आपतित किरण की दिशा और निर्गत किरण के बीच का कोण है। चूँकि आपतित किरण अभिलंब के बाईं ओर $45^{\circ}$ पर है और निर्गत किरण अभिलंब के दाईं ओर $45^{\circ}$ पर है,इसलिए उनके बीच का कोण $45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ होगा।

(C) अर्धचालक पदार्थ का वर्जित ऊर्जा अंतराल $(E_g)$ तापमान पर निर्भर करता है।
जर्मेनियम $(Ge)$ के लिए, $0 \,K$ पर वर्जित ऊर्जा अंतराल लगभग $0.74 \,eV$ होता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, ऊर्जा अंतराल में थोड़ी कमी आती है।
कमरे के तापमान $(300 \,K)$ पर, यह मान लगभग $0.67 \,eV$ से $0.72 \,eV$ के बीच होता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर, $0.74 \,eV$ ही $0 \,K$ पर $Ge$ के लिए मानक मान है।

(A) पदार्थ की प्रतिरोधकता यह निर्धारित करती है कि वह चालक,अर्धचालक या कुचालक है।
धातुओं (चालकों) की प्रतिरोधकता कम होती है,जो आमतौर पर $10^{-2}$ से $10^{-8} \Omega-m$ की सीमा में होती है।
कुचालकों की प्रतिरोधकता बहुत अधिक होती है,जो आमतौर पर $10^{11}$ से $10^{19} \Omega-m$ की सीमा में होती है।
अर्धचालकों की प्रतिरोधकता का मान चालकों और कुचालकों के बीच होता है,जो आमतौर पर $10^{-3}$ से $10^6 \Omega-m$ (या $10^{-1}$ से $10^8 \Omega-cm$) की सीमा में होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$10^{-3}$ से $10^6 \Omega-cm$ की सीमा अर्धचालकों के लिए मानक स्वीकृत सीमा है।

(A) एकल स्लिट पर फ्रॉनहोफर विवर्तन के मामले में,तरंगाग्र के विभिन्न हिस्सों से आने वाली प्रकाश तरंगें व्यतिकरण करके स्क्रीन पर एक विवर्तन पैटर्न बनाती हैं।
इस पैटर्न में स्क्रीन के केंद्र में एक केंद्रीय चमकीला अधिकतम (केंद्रीय चमकीली पट्टी) होता है।
इस केंद्रीय अधिकतम के दोनों ओर द्वितीयक अधिकतम और न्यूनतम होते हैं,जो वैकल्पिक चमकीली और काली पट्टियों के रूप में दिखाई देते हैं।
जैसे-जैसे हम केंद्रीय अधिकतम से दूर जाते हैं,इन द्वितीयक अधिकतमों की तीव्रता तेजी से घटती जाती है।

(A) एक कॉम्पैक्ट डिस्क $(CD)$ की सतह पर बारीकी से व्यवस्थित खांचे होते हैं जो एक विवर्तन ग्रेटिंग (diffraction grating) की तरह कार्य करते हैं।
जब सफेद प्रकाश इन खांचों पर पड़ता है,तो प्रकाश का विवर्तन होता है।
चूंकि विवर्तन कोण प्रकाश की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है,इसलिए सफेद प्रकाश में मौजूद विभिन्न रंग अलग-अलग कोणों पर विवर्तित होते हैं।
इसके परिणामस्वरूप सफेद प्रकाश अपने घटक रंगों में विभाजित हो जाता है,जिससे रंगीन बैंड दिखाई देते हैं।

(A) एक सीमित बिंदु स्रोत से अपसरित होने वाला प्रकाश एक गोलीय तरंगाग्र उत्पन्न करता है जो बिंदु स्रोत से सभी दिशाओं में गति करता है।
जैसे-जैसे तरंगाग्र फैलता है, ऊर्जा एक बड़े पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ पर वितरित हो जाती है।
चूंकि तीव्रता $I$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति के रूप में परिभाषित किया गया है $(I = P/A)$, इसलिए तीव्रता स्रोत से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(I \propto 1/r^2)$।
अतः, जैसे-जैसे प्रकाश आगे बढ़ता है, तीव्रता दूरी के वर्ग के अनुपात में घटती जाती है।

(A) हम जानते हैं कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है, जहाँ $D$ पर्दे और स्रोत के बीच की दूरी है, $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $\beta \propto \lambda$ है।
हम जानते हैं कि लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\text{red}} \approx 700 \, nm)$ बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\text{violet}} \approx 400 \, nm)$ की लगभग दोगुनी होती है (भौतिकी की समस्याओं में इस अनुपात को लगभग $2$ माना जाता है)।
इसलिए, फ्रिंज की चौड़ाई का अनुपात $\frac{\beta_{\text{red}}}{\beta_{\text{violet}}} = \frac{\lambda_{\text{red}}}{\lambda_{\text{violet}}} \approx \frac{700}{400} \approx 1.75$ है, जो लगभग $2$ के बराबर है।
अतः, $\beta_{\text{red}} \approx 2 \beta_{\text{violet}}$।