KCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ એ એવું બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થનું કુલ દળ કેન્દ્રિત થયેલું માનવામાં આવે છે.
ગુરુત્વકેન્દ્ર $(CG)$ એ એવું બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) કાર્ય કરે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g$ ઊંચાઈ સાથે બદલાય છે. જો પદાર્થનું કદ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R_e)$ ની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાનું હોય,તો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g$ ને પદાર્થ પર સમાન ગણી શકાય.
સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં,$CM$ અને $CG$ એક જ બિંદુ પર સંપાત થાય છે.
તેથી,પૃથ્વીની સપાટી પરના વિસ્તૃત પદાર્થ માટે,જો પદાર્થનું કદ પૃથ્વીની ત્રિજ્યાની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય,તો $CM$ અને $CG$ એક જ બિંદુ પર હોય છે.

(A) જ્યારે ટીપું સંતુલિત હોય, ત્યારે વિદ્યુત બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $qE = mg$ $(1)$.
જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ટીપું $v$ ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડે છે. સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ, ડ્રેગ ફોર્સ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $mg = 6 \pi \eta r v$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી, $qE = 6 \pi \eta r v$, તેથી $r = \frac{qE}{6 \pi \eta v}$.
ગોળાકાર ટીપાનું દળ $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ છે.
$m$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $qE = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{qE}{6 \pi \eta v} \right)^3 \rho g$.
$q$ માટે ઉકેલતા: $q^2 = \frac{162 \pi^2 \eta^3 v^3}{E^2 \rho g}$.
કિંમતો મૂકતા: $q^2 = \frac{162 \times \pi^2 \times (1.8 \times 10^{-5})^3 \times (2 \times 10^{-3})^3}{(\frac{81}{7} \pi \times 10^5)^2 \times 900 \times 9.8}$.
આની ગણતરી કરતા $q^2 = 64 \times 10^{-38} \,C^2$ મળે છે, તેથી $q = 8 \times 10^{-19} \,C$.

(A) વર્તુળાકાર ટ્રેકની ત્રિજ્યા,$r = 10 \,m$. કારની ઝડપ,$v = 10 \,m/s$. ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,m/s^2$.
કારના ફ્રેમમાં,બોબ પર આડા બહારની તરફ સ્યુડો બળ $\frac{mv^2}{r}$ લાગે છે.
બોબ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. તારમાં તણાવ બળ $T$.
$2$. વજનબળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્યુડો બળ $\frac{mv^2}{r}$ જે આડું લાગે છે.
કારની ફ્રેમમાં સંતુલન માટે:
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ $(i)$
$T \cos \theta = mg$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{10^2}{10 \times 10} = \frac{100}{100} = 1$.
કારણ કે $\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
રેડિયનમાં રૂપાંતર કરતા: $\theta = 45^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{4} \,rad$.

(D) ધારો કે $m_1 = 5 \,kg$ અને $m_2 = 3 \,kg$. સિસ્ટમ $a = 2 \,m/s^2$ ના પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
નીચેના દળ $m_2$ $(3 \,kg)$ માટે:
લાગતા બળો તણાવ $T_2$ ઉપરની તરફ અને વજન $m_2 g$ નીચેની તરફ છે.
ગતિનું સમીકરણ: $T_2 - m_2 g = m_2 a$
$T_2 - 3 \times 9.8 = 3 \times 2$
$T_2 - 29.4 = 6$
$T_2 = 35.4 \,N$
ઉપરના દળ $m_1$ $(5 \,kg)$ માટે:
લાગતા બળો તણાવ $T_1$ ઉપરની તરફ, અને તણાવ $T_2$ તથા વજન $m_1 g$ નીચેની તરફ છે.
ગતિનું સમીકરણ: $T_1 - T_2 - m_1 g = m_1 a$
$T_1 - 35.4 - 5 \times 9.8 = 5 \times 2$
$T_1 - 35.4 - 49 = 10$
$T_1 - 84.4 = 10$
$T_1 = 94.4 \,N$

(B) આપેલ છે: યંગ મોડ્યુલસ,$Y = 7 \times 10^9 \,N/m^2$. ભાર,$F = 10^4 \,N$. વિકૃતિ,$\epsilon = \frac{\Delta l}{l} = 0.2 \% = 0.002 = 2 \times 10^{-3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$A = \frac{F}{Y \times (\Delta l/l)}$.
કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{10^4}{7 \times 10^9 \times 0.002}$.
$A = \frac{10^4}{14 \times 10^6} = \frac{1}{14} \times 10^{-2} \approx 0.0714 \times 10^{-2} = 7.14 \times 10^{-4} \,m^2$.
આમ,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $7.1 \times 10^{-4} \,m^2$ છે.

(A) કણનું સ્થાનાંતર $x$ અને સમય $t$ વચ્ચેનો સંબંધ $t = \sqrt{x} + 3$ આપેલ છે.
$\sqrt{x}$ ને કર્તા બનાવતા: $\sqrt{x} = t - 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ મળે છે: $x = (t - 3)^2 = t^2 - 6t + 9$.
કણનો વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 6t + 9) = 2t - 6$.
જ્યારે વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે સ્થાનાંતર શોધવા માટે,$v = 0$ લેતા:
$2t - 6 = 0 \Rightarrow 2t = 6 \Rightarrow t = 3 \ s$.
હવે,$t = 3 \ s$ ની કિંમત સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = (3 - 3)^2 = 0^2 = 0 \ m$.
આમ,જ્યારે કણનો વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર $0 \ m$ થશે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \phi}{2g}$
જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $\phi$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે.
અહીં $u$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$H \propto \sin^2 \phi$ થાય.
બે પદાર્થો માટે,ખૂણાઓ $\phi_1 = \theta$ અને $\phi_2 = 90^{\circ} - \theta$ છે.
તેમની મહત્તમ ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2(90^{\circ} - \theta)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$
તેથી,તેમની મહત્તમ ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $\tan^2 \theta : 1$ છે.

(B) $SHM$ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 3 \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{4}\right)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $A = 3 \ m$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \ rad/s$ મળે છે.
$SHM$ માં કણની મહત્તમ ઝડપ $v_{\max}$ શોધવાનું સૂત્ર $v_{\max} = \omega A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{\max} = (2 \pi \ rad/s) \times (3 \ m) = 6 \pi \ m/s$.
આમ,કંપવિસ્તાર $3 \ m$ અને મહત્તમ ઝડપ $6 \pi \ m/s$ છે.

(A) આપેલ છે,વ્હીલની પ્રારંભિક કોણીય આવૃત્તિ,$f_0 = 1200 rpm = \frac{1200}{60} rps = 20 rps$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ,$\omega_0 = 2 \pi f_0 = 2 \pi \times 20 = 40 \pi rad/s$.
અંતિમ કોણીય આવૃત્તિ,$f = 3120 rpm = \frac{3120}{60} rps = 52 rps$.
અંતિમ કોણીય વેગ,$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 52 = 104 \pi rad/s$.
લાગતો સમય,$t = 16 s$.
ચાકગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\omega = \omega_0 + \alpha t$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{104 \pi - 40 \pi}{16} = \frac{64 \pi}{16} = 4 \pi rad/s^2$.

(D) "ઉષ્મા નીચા તાપમાને રહેલા પદાર્થમાંથી ઊંચા તાપમાને રહેલા પદાર્થ તરફ આપમેળે વહી શકતી નથી" આ વિધાન ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમનું ક્લોસિયસ વિધાન તરીકે ઓળખાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઠંડા પદાર્થમાંથી ગરમ પદાર્થમાં ઉષ્માનું સ્થાનાંતરણ કરવા માટે સિસ્ટમ પર બાહ્ય કાર્ય કરવું જરૂરી છે.

(B) સાંકળની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ, $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4 \,kg}{2 \,m} = 2 \,kg/m$.
ધારો કે ટેબલ પરથી લટકતી સાંકળની લંબાઈ $l = 0.6 \,m$ છે।
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2 \,kg$ છે।
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $x = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \,m$ નીચે છે।
સાંકળને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે, જે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ટેબલની સપાટી સુધી ઊંચકવા સમાન છે।
$W = m \times g \times x = 1.2 \,kg \times 10 \,m/s^2 \times 0.3 \,m = 3.6 \,J$.

(B) $LC$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જા અચળ હોય છે અને તે $U = \frac{q_0^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = q_0 \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E = \frac{q^2}{2C} = \frac{q_0^2 \cos^2(\omega t)}{2C}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_B = U - U_E = \frac{q_0^2}{2C} - \frac{q_0^2 \cos^2(\omega t)}{2C} = \frac{q_0^2}{2C} \sin^2(\omega t)$ છે.
આપણને આપેલ છે કે ઉર્જા સમાન રીતે સંગ્રહિત થાય છે,તેથી $U_E = U_B$.
$\frac{q_0^2}{2C} \cos^2(\omega t) = \frac{q_0^2}{2C} \sin^2(\omega t) \implies \cos^2(\omega t) = \sin^2(\omega t) \implies \tan^2(\omega t) = 1$.
આમ,$\omega t = \frac{\pi}{4}$.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ મૂકતા,આપણને $t = \frac{\pi}{4} \sqrt{LC}$ મળે છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
જ્યાં $X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
પગલું $1$: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો.
$X_L = \omega L = 1000 \times 0.9 = 900 \Omega$.
પગલું $2$: કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો.
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
પગલું $3$: ઈમ્પિડન્સ $Z$ ની ગણતરી કરો.
$Z = \sqrt{300^2 + (900 - 500)^2}$
$Z = \sqrt{300^2 + 400^2}$
$Z = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000}$
$Z = 500 \Omega$.

(B) આપેલ છે, કેપેસીટન્સ, $C = 10^{-6} \,F$.
ઇન્ડક્ટન્સ, $L = 10^{-4} \,H$.
$L-C$ સર્કિટમાં વિદ્યુત દોલનોની આવૃત્તિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-4} \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-10}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-5}}$
$f = \frac{10^5}{2 \pi} \,Hz$

(B) આપેલ સમીકરણ $i = i_1 \sin \omega t + i_2 \cos \omega t$ છે.
આપણે તેને $i = A \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ,જ્યાં $A$ એ પરિણામી કરંટનો કંપવિસ્તાર (amplitude) છે.
$A$ શોધવા માટે,આપણે સહગુણકોની સરખામણી કરીએ: $i_1 = A \cos \phi$ અને $i_2 = A \sin \phi$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $i_1^2 + i_2^2 = A^2 \cos^2 \phi + A^2 \sin^2 \phi = A^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = A^2$.
આમ,કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ મળે છે.
સાઇનસૉઇડલ કરંટ $i = A \sin(\omega t + \phi)$ નું rms મૂલ્ય $i_{rms} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $i_{rms} = \sqrt{\frac{i_1^2 + i_2^2}{2}}$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 n^2$ છે,જ્યાં $a_0 = 0.53 \ Å$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
આપેલ છે કે,ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ત્રિજ્યા $r_1 = 0.53 \ Å$ ($n_1 = 1$ માટે).
ઉત્તેજિત અવસ્થાની ત્રિજ્યા $r_2 = 2.12 \ Å$ ($n_2 = n$ માટે).
$r \propto n^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{r_2}{r_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2.12}{0.53} = \left(\frac{n}{1}\right)^2$
$4 = n^2$
$n = \sqrt{4} = 2$
તેથી,અંતિમ અવસ્થાનો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n=2$ છે.

(C) આપેલ છે:
કક્ષીય ઝડપ $v = 3 \times 10^4 \ m/s$
ત્રિજ્યા $r = 1.5 \times 10^{11} \ m$
પૃથ્વીનું દળ $m_e = 6 \times 10^{24} \ kg$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
કોણીય વેગમાન માટે બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ:
$L = m_e v r = \frac{n h}{2 \pi}$
ક્વોન્ટમ આંક $n$ માટે સૂત્ર:
$n = \frac{2 \pi m_e v r}{h}$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{2 \times 3.14159 \times (6 \times 10^{24}) \times (3 \times 10^4) \times (1.5 \times 10^{11})}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n = \frac{169.646 \times 10^{39}}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n \approx 2.56 \times 10^{74}$
આમ,ક્વોન્ટમ આંક $2.57 \times 10^{74}$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 r_1$ છે,જ્યાં $r_1$ એ બોહર ત્રિજ્યા (પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા) છે.
આપેલ છે,$r_1 = 0.529 Å$.
આપણે ત્રીજી કક્ષાની ત્રિજ્યા શોધવાની છે,તેથી $n = 3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r_3 = 3^2 \times r_1$
$r_3 = 9 \times 0.529 Å$
$r_3 = 4.761 Å$.

(A) જ્યારે ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરને બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે અને પ્લેટોની વચ્ચે કાચની સ્લેબ (ડાયલેક્ટ્રિક પદાર્થ) મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $(Q)$ અચળ રહે છે કારણ કે પરિપથ ખુલ્લો છે.
કેપેસીટન્સ $(C)$ વધે છે કારણ કે $C = KC_0$,જ્યાં $K$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ ઘટે છે કારણ કે $V = \frac{V_0}{K}$,કારણ કે $V = \frac{Q}{C}$ અને $Q$ અચળ હોવાથી $C$ વધતા $V$ ઘટે છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $(U)$ ઘટે છે કારણ કે $U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{U_0}{K}$,કારણ કે $Q$ અચળ હોવાથી $C$ વધતા $U$ ઘટે છે.
તેથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત અને સંગ્રહિત ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $10$ સમાન કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,દરેકનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
પરિપથનું કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $= 10 E$.
પરિપથનો કુલ આંતરિક અવરોધ $= 10 r$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\text{કુલ EMF}}{\text{કુલ અવરોધ}} = \frac{10 E}{10 r} = \frac{E}{r}$ મળે છે.
$3$ કોષો વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ તેમના પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપનો સરવાળો છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા $3$ કોષો માટે,કુલ આંતરિક અવરોધ $3 r$ થાય છે.
આ $3$ કોષો વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V = I \times (3 r)$ છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \frac{E}{r} \times 3 r = 3 E$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર,$E = 3 \times 10^{-10} \text{ Vm}^{-1}$.
મોબિલિટી,$\mu = 2.5 \times 10^6 \text{ m}^2 \text{V}^{-1} \text{s}^{-1}$.
ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$,મોબિલિટી $(\mu)$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$v_d = \mu E$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v_d = (2.5 \times 10^6) \times (3 \times 10^{-10})$
$v_d = 7.5 \times 10^{-4} \text{ m/s}$.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $7.5 \times 10^{-4} \text{ m/s}$ છે.

(A) પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતો સમતુલ્ય પ્રવાહ $I$ સૂત્ર $I = \frac{q}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન સમય $t$ માં $n$ પરિભ્રમણ કરે છે, ત્યારે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $q = n \times e$ થાય છે.
તેથી, $I = \frac{n \times e}{t} = \left(\frac{n}{t}\right) \times e$.
આપેલ છે:
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ, $\frac{n}{t} = 9.4 \times 10^{18} \text{ rev/s}$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર, $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
કિંમતો મૂકતા:
$I = (9.4 \times 10^{18}) \times (1.6 \times 10^{-19})$
$I = 9.4 \times 1.6 \times 10^{-1}$
$I = 15.04 \times 0.1 = 1.504 \text{ A}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $I = 1.5 \text{ A}$ મળે છે.

(C) ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ,$R_g = 50 \Omega$.
બેટરીનું emf,$V = 3 \text{ V}$.
શ્રેણીમાં જોડેલ અવરોધ,$R_s = 2950 \Omega$.
કુલ અવરોધ,$R' = R_g + R_s = 50 + 2950 = 3000 \Omega$.
તેથી,પ્રારંભિક પ્રવાહ,$I = \frac{V}{R'} = \frac{3}{3000} = 10^{-3} \text{ A}$.
જો આવર્તનને $30$ કાપામાંથી ઘટાડીને $20$ કાપા કરવામાં આવે,તો નવો પ્રવાહ $I' = I \times \frac{20}{30} = 10^{-3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \times 10^{-3} \text{ A}$ થશે.
ધારો કે પરિપથનો નવો કુલ અવરોધ $R_E$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V = I' R_E \Rightarrow R_E = \frac{V}{I'} = \frac{3}{\frac{2}{3} \times 10^{-3}} = \frac{9}{2} \times 10^3 = 4500 \Omega$.
અહીં $R_E = R_g + R_{new}$ હોવાથી,જરૂરી નવો શ્રેણી અવરોધ $R_{new} = R_E - R_g = 4500 - 50 = 4450 \Omega$ થાય.

(B) બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ બલ્બનો અચળ અવરોધ છે.
લોગરીધમિક વિકલન લેતા, આપણને $\frac{dP}{P} = 2 \frac{dV}{V}$ મળે છે.
અહીં, વોલ્ટેજમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{dV}{V} = -2.5 \% = -0.025$ છે.
તેથી, પાવરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{dP}{P} = 2 \times (-2.5 \%) = -5 \%$.
ઋણ નિશાની પાવરમાં ઘટાડો સૂચવે છે.
આમ, પાવરમાં તેના રેટિંગ મૂલ્યના $5 \%$ જેટલો ઘટાડો થાય છે.

(C) વાયર-બાઉન્ડ અવરોધો મેંગેનિન,કોન્સ્ટન્ટન અથવા નાઈક્રોમ જેવી મિશ્રધાતુઓના તારને વીંટાળીને બનાવવામાં આવે છે.
આ પદાર્થોની પસંદગી મુખ્યત્વે એ હકીકતને કારણે કરવામાં આવે છે કે તેમની અવરોધકતા તાપમાન સાથે પ્રમાણમાં બદલાતી નથી.
આ ગુણધર્મને લીધે,જ્યારે ઉપકરણ કાર્ય દરમિયાન ગરમ થાય ત્યારે પણ અવરોધનું મૂલ્ય સ્થિર રહે છે.
આવા અવરોધો સામાન્ય રીતે એક ઓહ્મના અંશથી લઈને થોડા સો ઓહ્મ સુધીની રેન્જમાં હોય છે.

(B) ધારો કે તારની પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ છે. ખેંચ્યા પછી,નવી લંબાઈ $l^{\prime} = l + 10\% \text{ of } l = l + 0.1l = 1.1l$ થશે.
તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$A \cdot l = A^{\prime} \cdot l^{\prime}$,જે સૂચવે છે કે $A^{\prime} = A / 1.1$.
નવો અવરોધ $R^{\prime} = \rho \frac{l^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{1.1l}{A/1.1} = (1.1)^2 \rho \frac{l}{A} = 1.21R$ થશે.
આમ,અવરોધ મૂળ અવરોધ કરતા $1.21$ ગણો થાય છે.
વિશિષ્ટ અવરોધ (રેઝિસ્ટિવિટી) $\rho$ એ દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તારના પરિમાણો પર નહીં. તેથી,વિશિષ્ટ અવરોધ સમાન રહેશે.

(D) મીટર બ્રિજમાં તારનો અવરોધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$,જ્યાં $R$ એ ડાબા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે,$S$ એ જમણા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે,અને $l$ એ ડાબા છેડાથી સંતુલન લંબાઈ છે.
$l$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $l = \frac{100R}{R+S}$.
જ્યારે ડાબા ગેપમાં જોડાયેલ ધાતુના વાહકને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું તાપમાન વધે છે,જેના કારણે તેનો અવરોધ $R$ વધે છે.
જેમ $R$ વધે છે,તેમ અંશ $100R$ એ છેદ $R+S$ કરતા વધુ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે,જેના પરિણામે $l$ નું મૂલ્ય વધે છે.
$l$ એ ડાબા છેડાથી અંતર દર્શાવતું હોવાથી,$l$ માં વધારો થવાનો અર્થ એ છે કે સંતુલન બિંદુ જમણી તરફ ખસે છે.

(A) $K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$
જ્યાં $m$ એ કણનું દળ છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
ધારો કે જ્યારે ગતિઊર્જા $K' = \frac{K}{4}$ થાય ત્યારે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ છે.
સૂત્રમાં $K'$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mK'}} = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{K}{4})}}$
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mK}{4}}} = \frac{h}{\frac{1}{2}\sqrt{2mK}}$
$\lambda' = 2 \times \frac{h}{\sqrt{2mK}}$
કારણ કે $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\lambda' = 2\lambda$.

(A) આપેલ છે કે,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = 0.52 eV$ છે. પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 500 \,nm$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
બે અલગ-અલગ તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટે,ગતિઊર્જામાં ફેરફાર નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta K = K_2 - K_1 = hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$.
$hc \approx 1242 \,eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરીને,કિંમતો મૂકતા:
$0.52 = 1242 \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{500} \right)$.
$\frac{0.52}{1242} = \frac{1}{\lambda_2} - 0.002$.
$0.000418 = \frac{1}{\lambda_2} - 0.002$.
$\frac{1}{\lambda_2} = 0.002418$.
$\lambda_2 = \frac{1}{0.002418} \approx 413.5 \,nm$.
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા,નવી તરંગલંબાઈ આશરે $400 \,nm$ છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,સંતૃપ્ત ફોટોકરંટ એ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
તે આપાત વિકિરણની આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે.
તીવ્રતા બમણી કરવામાં આવતી હોવાથી,સંતૃપ્ત ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ પણ બમણો થશે.
આવૃત્તિમાં ફેરફાર સંતૃપ્ત પ્રવાહને અસર કરતું નથી.
તેથી,સંતૃપ્ત ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ બમણો થાય છે.

(D) આપેલ છે: ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા, $B = 1.0 \,Wb \,m^{-2}$
આંટાની સંખ્યા, $N = 80$
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ, $A = 0.01 \,m^2$
સમયગાળો, $\Delta t = 0.2 \,s$
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$|e| = N \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t}$
કોઈલને ક્ષેત્રમાંથી દૂર કરવામાં આવતી હોવાથી, અંતિમ ફ્લક્સ $0$ થાય છે।
ફ્લક્સમાં ફેરફાર, $\Delta \phi = B \cdot A - 0 = 1.0 \times 0.01 = 0.01 \,Wb$
કિંમતો મૂકતા:
$|e| = \frac{80 \times 0.01}{0.2} = \frac{0.8}{0.2} = 4 \,V$

(C) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા, $N = 500$.
વિદ્યુતપ્રવાહ, $I = 2 \,A$.
દરેક આંટા દીઠ ચુંબકીય ફ્લક્સ, $\phi = 4 \times 10^{-3} \,Wb$.
કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળ (magnetic flux linkage) $N\phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આત્મપ્રેરકત્વ $L$ ને $L = \frac{N\phi}{I}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{500 \times 4 \times 10^{-3}}{2}$
$L = \frac{2000 \times 10^{-3}}{2}$
$L = \frac{2}{2} = 1 \,H$.
તેથી, સોલેનોઇડનું આત્મપ્રેરકત્વ $1.0 \,H$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને તરંગલંબાઈના આધારે ક્રમબદ્ધ કરવામાં આવે છે. આપેલ વિકિરણો માટે તરંગલંબાઈનો વધતો ક્રમ નીચે મુજબ છે:
$\lambda_{\text{X-rays}} < \lambda_{\text{UV-rays}} < \lambda_{\text{IR-rays}} < \lambda_{\text{microwaves}}$
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,માઇક્રોવેવ્સની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે:
ડાયપોલ મોમેન્ટ,$p = 4 \times 10^{-14} \ C \cdot m$
વિદ્યુતક્ષેત્ર,$E = 5 \times 10^4 \ N/C$
ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકેલી ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\tau = p E \sin \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tau = (4 \times 10^{-14}) \times (5 \times 10^4) \times \sin 30^{\circ}$
$\tau = 20 \times 10^{-10} \times 0.5$
$\tau = 10 \times 10^{-10} \ N \cdot m$
$\tau = 10^{-9} \ N \cdot m$

(B) ક્ષેત્રનો ખ્યાલ એ એક સૈદ્ધાંતિક મોડેલ છે જેનો ઉપયોગ કોઈ વિશાળ પદાર્થ અથવા વિદ્યુતભારિત કણ તેની આસપાસની અવકાશમાં જે પ્રભાવ ફેલાવે છે તેને સમજાવવા માટે થાય છે.
આ ક્ષેત્ર તે અવકાશમાં મૂકવામાં આવેલા અન્ય કોઈપણ વિશાળ પદાર્થ અથવા વિદ્યુતભારિત કણ પર બળ લગાડે છે.
તેથી,ક્ષેત્રના ખ્યાલનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે અંતર દ્વારા કાર્ય કરતા બળો,જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણીય અને સ્થિત-વિદ્યુત બળોને સમજવા અને વર્ણવવા માટે થાય છે,સંપર્ક બળો માટે નહીં.

(A) ધારો કે ખૂણાઓ $A, B, C, D$ પરના વિદ્યુતભારો $q_A = +q$,$q_B = +2q$,$q_C = +q$,અને $q_D = -2q$ છે.
કેન્દ્ર $O$ પર,$q_A$ અને $q_C$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે કારણ કે $q_A = q_C = +q$ અને અંતર $OA = OC$ છે. તેથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
હવે,$B$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભારોનો વિચાર કરો. $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_B = +2q$ છે,જે કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર $OB$ ની દિશામાં (બહારની તરફ) અપાકર્ષી બળ લગાડે છે.
$D$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_D = -2q$ છે,જે કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર $OD$ ની દિશામાં (અંદરની તરફ) આકર્ષી બળ લગાડે છે.
આ બંને બળો વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં એક જ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પરનું પરિણામી બળ વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં હશે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ થાય.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. $t$ સમય પછી વેગ $v$ એ સમીકરણ $v = u + at = 0 + \frac{qE}{m}t = \frac{qEt}{m}$ દ્વારા મળે છે.
કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $K = \frac{1}{2}m\left(\frac{qEt}{m}\right)^2 = \frac{1}{2}m \cdot \frac{q^2 E^2 t^2}{m^2} = \frac{E^2 q^2 t^2}{2m}$ મળે છે.

(C) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ (અક્ષીય રેખા પર) અથવા $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p}{r^3}$ (વિષુવવૃત્તીય રેખા પર) છે. બંને કિસ્સામાં,$E \propto \frac{1}{r^3}$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$ છે. તેથી,$V \propto \frac{1}{r^2}$ થાય છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $1/r^3$ ના પ્રમાણમાં અને સ્થિતિમાન $1/r^2$ ના પ્રમાણમાં બદલાય છે.

(A) પ્રથમ ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર,$q_1 = 1.8 \mu C = 1.8 \times 10^{-6} \ C$.
બીજા ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર,$q_2 = 2.8 \mu C = 2.8 \times 10^{-6} \ C$.
બંને ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર,$r = 40 \ cm = 0.4 \ m$.
મધ્યબિંદુથી દરેક ગોળાનું અંતર,$r_1 = r_2 = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
મધ્યબિંદુ પર કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right)$
કિંમતો મૂકતા,જ્યાં $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ છે:
$V = 9 \times 10^9 \times \left( \frac{1.8 \times 10^{-6}}{0.2} + \frac{2.8 \times 10^{-6}}{0.2} \right)$
$V = 9 \times 10^9 \times \frac{10^{-6}}{0.2} \times (1.8 + 2.8)$
$V = 9 \times 10^3 \times \frac{4.6}{0.2}$
$V = 9 \times 10^3 \times 23 = 207 \times 10^3 \ V = 2.07 \times 10^5 \ V$.
આમ,$V \approx 2.1 \times 10^5 \ V$.

(C) આપેલ છે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર, $B = 0.25 \,T$
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ, $\frac{m}{l} = 0.5 \,kg \,m^{-1}$
ઢાળનો ખૂણો, $\theta = 30^{\circ}$
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 9.8 \,m \,s^{-2}$
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = BIl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર શિરોલંબ હોવાથી, બળ $F$ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.
લીસા ઢળતા સમતલ પર સળિયાને સ્થિર રાખવા માટે, સમતલની દિશામાં લાગતું ચુંબકીય બળનું ઘટક, સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
સમતલની નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક = $mg \sin 30^{\circ}$
સમતલની ઉપરની તરફ ચુંબકીય બળનો ઘટક = $F \cos 30^{\circ} = (BIl) \cos 30^{\circ}$
સંતુલન માટે બંને બળોને સરખાવતા:
$BIl \cos 30^{\circ} = mg \sin 30^{\circ}$
$BIl \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = mg \left(\frac{1}{2}\right)$
$BIl \sqrt{3} = mg$
$I = \frac{mg}{l \sqrt{3} B} = \left(\frac{m}{l}\right) \frac{g}{\sqrt{3} B}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = 0.5 \times \frac{9.8}{\sqrt{3} \times 0.25} \approx 11.316 \,A \approx 11.32 \,A$
આમ, જરૂરી વિદ્યુતપ્રવાહ $11.32 \,A$ છે.

(D) આપેલ છે,સોલેનોઈડની લંબાઈ,$l = 50 \,cm = 0.5 \,m$.
આંટાની સંખ્યા,$N = 100$.
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 2.5 \,A$.
સોલેનોઈડમાં એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{l} = \frac{100}{0.5} = 200 \,turns/m$ છે.
સોલેનોઈડના એક છેડે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 2.5}{2}$.
$B = 2\pi \times 10^{-7} \times 500 = 1000\pi \times 10^{-7} = \pi \times 10^{-4} \,T$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$B = 3.14 \times 10^{-4} \,T$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(x^2 + r^2)^{3/2}}$
જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$r$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે અને $x$ એ કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર છે.
આપેલ છે કે $x = \sqrt{3} r$,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2((\sqrt{3} r)^2 + r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(3r^2 + r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(4r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(8r^3)}$
$B = \frac{\mu_0 n I}{16r}$

(C) આપેલ છે: પ્રોટોનનો વેગ $\vec{v} = 5 \times 10^6 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 4 \times 10^6 [2 \hat{i} + 0.2 \hat{j} + 0.1 \hat{k}] \text{ Vm}^{-1}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 0.2 [\hat{i} + 0.2 \hat{j} + \hat{k}] \text{ T}$,પ્રોટોનનો વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
લોરેન્ઝ બળ મુજબ કુલ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
પ્રથમ,$\vec{v} \times \vec{B} = (5 \times 10^6 \hat{j}) \times (0.2 \hat{i} + 0.04 \hat{j} + 0.2 \hat{k}) = 10^6 [\hat{j} \times \hat{i} + 0.2 \hat{j} \times \hat{j} + \hat{j} \times \hat{k}] = 10^6 [-\hat{k} + \hat{i}] = 10^6 [\hat{i} - \hat{k}]$.
હવે,$\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 10^6 [8 \hat{i} + 0.8 \hat{j} + 0.4 \hat{k} + \hat{i} - \hat{k}] = 10^6 [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}]$.
$\vec{F} = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6 [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}] = 1.6 \times 10^{-13} [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}]$.
મૂલ્ય $F = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{9^2 + 0.8^2 + (-0.6)^2} = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{81 + 0.64 + 0.36} = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{82} \approx 14.48 \times 10^{-13} \text{ N}$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી નજીકનો જવાબ $20 \times 10^{-13} \text{ N}$ છે.

(D) વીજભારિત કણોના કોસ્મિક કિરણોની તીવ્રતા વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર વધુ હોય છે કારણ કે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધ્રુવો પર સૌથી વધુ પ્રબળ હોય છે.
વીજભારિત કણો (કોસ્મિક કિરણો) લોરેન્ટ્ઝ બળ,$F = q(v \times B)$ ને કારણે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા વિચલિત થાય છે.
આ વિચલન વિષુવવૃત્તની નજીક વધુ સ્પષ્ટ હોય છે,જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ આડી હોય છે,જેના કારણે ઘણા વીજભારિત કણો દૂર ફેંકાય છે.
ધ્રુવો પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઊભી હોય છે,જે વધુ વીજભારિત કણોને સપાટી સુધી પહોંચવા દે છે.
કોસ્મિક કિરણોની તીવ્રતામાં આ તફાવત સીધો પુરાવો આપે છે કે પૃથ્વી પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.

(D) નાઈટ્રોજન ન્યુક્લિયસ $\left[{ }_7^{14} N\right]$ માં $Z = 7$ પ્રોટોન અને $N = (14 - 7) = 7$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
$7$ પ્રોટોનનું દળ $= 7 \times 1.00783 \ u = 7.05481 \ u$.
$7$ ન્યુટ્રોનનું દળ $= 7 \times 1.00867 \ u = 7.06069 \ u$.
ન્યુક્લિયોન્સનું કુલ દળ $= 7.05481 \ u + 7.06069 \ u = 14.11550 \ u$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (\text{ન્યુક્લિયોન્સનું કુલ દળ}) - (\text{ન્યુક્લિયસનું દળ})$.
$\Delta m = 14.11550 \ u - 14.00307 \ u = 0.11243 \ u$.
બંધન ઉર્જા $BE = \Delta m \times 931.5 \ MeV/u$.
$BE = 0.11243 \times 931.5 \approx 104.73 \ MeV$.
સૌથી નજીકના વિકલ્પ મુજબ,બંધન ઉર્જા $104.7 \ MeV$ છે.

(D) આપેલ છે, ન્યુક્લિયર રિએક્ટર દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર, $P = 10^9 \,W$.
સમય, $t = 1 \,h = 3600 \,s$.
પ્રકાશની ગતિ, $c = 3 \times 10^8 \,m/s$.
દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતા સંબંધ $E = mc^2$ નો ઉપયોગ કરતા, ઉત્પન્ન થતી ઊર્જા $E = Pt$ છે.
બંનેને સરખાવતા, આપણને મળે છે $Pt = mc^2$.
દળ $m$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $m = \frac{Pt}{c^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{10^9 \times 3600}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{3600 \times 10^9}{9 \times 10^{16}} = 400 \times 10^{-7} \,kg = 4 \times 10^{-5} \,kg$.
ગ્રામમાં ફેરવતા: $m = 4 \times 10^{-5} \times 10^3 \,g = 0.04 \,g$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર વીજભારિત કણો પર બળ લગાડે છે,જેના કારણે તેઓ તેમના માર્ગથી વિચલિત થાય છે.
$\alpha$-કણો $+2e$ નો ધન વીજભાર ધરાવે છે,જેના કારણે તેઓ વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને ક્ષેત્રો દ્વારા વિચલિત થાય છે.
$\gamma$-કિરણો અને $X$-કિરણો એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જે કોઈ વીજભાર ધરાવતા નથી,તેથી તેઓ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં વિચલિત થતા નથી.
ન્યુટ્રોન એ શૂન્ય વીજભાર ધરાવતા તટસ્થ કણો છે,તેથી તેઓ વિદ્યુત કે ચુંબકીય ક્ષેત્રો દ્વારા વિચલિત થતા નથી.

(D) સમાન-અંતર્ગોળ લેન્સનો પાવર,$P = -4.5 \ D$.
વક્રીભવનાંક,$\mu = 1.6$.
લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-4.5} \ m = -\frac{100}{4.5} \ cm = -\frac{200}{9} \ cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમાન-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = -R$ અને $R_2 = R$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{-200/9} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right)$
$-\frac{9}{200} = 0.6 \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{9}{200} = \frac{1.2}{R}$
$R = \frac{1.2 \times 200}{9} = \frac{240}{9} \approx 26.67 \ cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સની વક્રતા ત્રિજ્યા માટે સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,તેનું મૂલ્ય $-26.6 \ cm$ મળે છે.

(D) ધારો કે વસ્તુનું લેન્સથી અંતર $u$ છે અને પ્રતિબિંબનું લેન્સથી અંતર $v$ છે. વસ્તુ અને પડદો $x$ અંતરે સ્થિર હોવાથી, $v + u = x$ (માત્ર મૂલ્ય લેતા)।
મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ છે, તેથી $v = mu$.
$v = mu$ ને અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: $mu + u = x$, જે આપે છે $u(m + 1) = x$, તેથી $u = \frac{x}{m+1}$.
ત્યારબાદ $v = x - u = x - \frac{x}{m+1} = \frac{mx}{m+1}$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ $u$ ઋણ છે $(u = -\frac{x}{m+1})$:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{(\frac{mx}{m+1})} - \frac{1}{(-\frac{x}{m+1})}$
$\frac{1}{f} = \frac{m+1}{mx} + \frac{m+1}{x} = \frac{m+1}{x} (\frac{1}{m} + 1) = \frac{m+1}{x} (\frac{1+m}{m}) = \frac{(m+1)^2}{mx}$.
તેથી, $f = \frac{mx}{(m+1)^2}$.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
જ્યાં $\mu$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$,જેનો અર્થ છે કે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$.
કોશીના વિક્ષેપના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\mu \propto \frac{1}{\lambda})$.
જેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધે છે,તેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ ઘટે છે.
કારણ કે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$,$\mu$ માં ઘટાડો થવાથી કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માં વધારો થાય છે.
આપેલા રંગોમાં,લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હોય છે $(\lambda_{red} > \lambda_{yellow} > \lambda_{green} > \lambda_{blue})$.
તેથી,લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક $\mu$ ન્યૂનતમ હોય છે,જેના પરિણામે લાલ પ્રકાશ માટે કેન્દ્રલંબાઈ મહત્તમ મળે છે.

(C) સમબાજુ કાચના પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો છે,અને દરેક પ્રિઝમના ખૂણાના $\frac{3}{4}$ છે:
$i = e = \frac{3}{4} A = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$.
વિચલનકોણ $\delta$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\delta = i + e - A$.
કિંમતો મૂકતા:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,વિચલનકોણ $30^{\circ}$ છે.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલા કાચના સ્લેબની પારદર્શક સપાટી પર આપાત થાય છે,ત્યારે તે વક્રીભવન પામે છે,ત્યારબાદ ચાંદીની સપાટી પરથી પરાવર્તન પામે છે અને છેલ્લે સ્લેબમાંથી બહાર નીકળતી વખતે ફરીથી વક્રીભવન પામે છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ અને વક્રીભૂતકોણ $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$ છે. અહીં,$n_1 = 1$ (હવા) અને $n_2 = 1.5$ (કાચ).
તેથી,$\sin(45^{\circ}) = 1.5 \sin(r)$,જે આપણને $\sin(r) = \frac{1}{1.5 \sqrt{2}}$ આપે છે.
સ્લેબની અંદરના માર્ગની સમપ્રમાણતાને કારણે,કિરણ ચાંદીની સપાટી પર $r$ ખૂણે અથડાય છે અને $r$ ખૂણે પરાવર્તિત થાય છે. ત્યારબાદ તે પારદર્શક સપાટી પર $r$ ખૂણે અથડાય છે અને મૂળ આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ પર હવામાં પાછું વક્રીભવન પામે છે.
આપાત કિરણ લંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. બહાર નીકળતું કિરણ પણ લંબની બીજી બાજુએ લંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
કુલ વિચલન $\delta$ એ આપાત કિરણની દિશા અને બહાર નીકળતા કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે. કારણ કે આપાત કિરણ લંબની ડાબી બાજુએ $45^{\circ}$ પર છે અને બહાર નીકળતું કિરણ લંબની જમણી બાજુએ $45^{\circ}$ પર છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ થશે.

(C) અર્ધવાહક પદાર્થનો ફોરબિડન એનર્જી ગેપ $(E_g)$ તાપમાન પર આધાર રાખે છે।
જર્મેનિયમ $(Ge)$ માટે, $0 \,K$ તાપમાને ફોરબિડન એનર્જી ગેપ આશરે $0.74 \,eV$ હોય છે।
જેમ તાપમાન વધે છે, તેમ એનર્જી ગેપમાં થોડો ઘટાડો થાય છે।
ઓરડાના તાપમાને $(300 \,K)$, આ મૂલ્ય આશરે $0.67 \,eV$ થી $0.72 \,eV$ ની વચ્ચે હોય છે।
આપેલા વિકલ્પોને જોતા, $0.74 \,eV$ એ $0 \,K$ તાપમાને $Ge$ માટેનું પ્રમાણિત મૂલ્ય છે।

(A) પદાર્થની અવરોધકતા તેના સુવાહક,અર્ધવાહક અથવા અવાહક તરીકેના વર્ગીકરણને નક્કી કરે છે.
ધાતુઓ (સુવાહકો) ની અવરોધકતા ઓછી હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $10^{-2}$ થી $10^{-8} \Omega-m$ ની રેન્જમાં હોય છે.
અવાહકોની અવરોધકતા ખૂબ ઊંચી હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $10^{11}$ થી $10^{19} \Omega-m$ ની રેન્જમાં હોય છે.
અર્ધવાહકોની અવરોધકતા સુવાહકો અને અવાહકોની વચ્ચે હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $10^{-3}$ થી $10^6 \Omega-m$ (અથવા $10^{-1}$ થી $10^8 \Omega-cm$) ની રેન્જમાં હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,$10^{-3}$ થી $10^6 \Omega-cm$ ની રેન્જ એ અર્ધવાહકો માટે પ્રમાણિત સ્વીકૃત રેન્જ છે.

(A) એક સ્લિટ પર ફ્રોનહોફર વિવર્તનના કિસ્સામાં,તરંગ અગ્રના વિવિધ ભાગોમાંથી આવતા પ્રકાશના તરંગો વ્યતિકરણ પામીને સ્ક્રીન પર વિવર્તન ભાત રચે છે.
આ ભાતમાં સ્ક્રીનના કેન્દ્રમાં એક મુખ્ય પ્રકાશિત મહત્તમ (કેન્દ્રીય પ્રકાશિત પટ્ટો) હોય છે.
આ કેન્દ્રીય મહત્તમની બંને બાજુએ ગૌણ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ હોય છે,જે એકાંતરે પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત પટ્ટાઓ તરીકે દેખાય છે.
જેમ આપણે કેન્દ્રીય મહત્તમથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ આ ગૌણ મહત્તમની તીવ્રતા ઝડપથી ઘટતી જાય છે.

(A) કોમ્પેક્ટ ડિસ્ક $(CD)$ ની સપાટી પર નજીક-નજીક ગોઠવાયેલી ઘણી બધી ખાંચાઓ હોય છે જે વિવર્તન ગ્રેટિંગ (diffraction grating) તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે સફેદ પ્રકાશ આ ખાંચાઓ પર પડે છે,ત્યારે પ્રકાશનું વિવર્તન થાય છે.
વિવર્તન કોણ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ પર આધારિત હોવાથી,સફેદ પ્રકાશમાં રહેલા વિવિધ રંગો અલગ-અલગ ખૂણે વિવર્તિત થાય છે.
આના પરિણામે સફેદ પ્રકાશ તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજિત થાય છે,જેનાથી રંગીન પટ્ટાઓ જોવા મળે છે.

(A) એક સીમિત બિંદુવત ઉદગમમાંથી અપસરણ પામતો પ્રકાશ ગોળાકાર તરંગ અગ્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે ઉદગમથી બધી દિશાઓમાં ગતિ કરે છે.
જેમ જેમ તરંગ અગ્ર વિસ્તરે છે, તેમ તેમ ઉર્જા મોટા પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ પર વહેંચાય છે.
તીવ્રતા $I$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી $(I = P/A)$, તીવ્રતા એ ઉદગમથી અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto 1/r^2)$.
તેથી, જેમ પ્રકાશ આગળ વધે છે તેમ તીવ્રતા અંતરના વર્ગના પ્રમાણમાં ઘટે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે, જ્યાં $D$ એ પડદા અને ઉદગમ વચ્ચેનું અંતર છે, $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\beta \propto \lambda$.
આપણે જાણીએ છીએ કે લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\text{red}} \approx 700 \, nm)$ એ જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\text{violet}} \approx 400 \, nm)$ કરતા આશરે બમણી હોય છે (ભૌતિકશાસ્ત્રના દાખલાઓમાં આ ગુણોત્તર આશરે $2$ લેવામાં આવે છે).
તેથી, ફ્રિન્જની પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\beta_{\text{red}}}{\beta_{\text{violet}}} = \frac{\lambda_{\text{red}}}{\lambda_{\text{violet}}} \approx \frac{700}{400} \approx 1.75$ થાય છે, જે આશરે $2$ જેટલું છે.
આમ, $\beta_{\text{red}} \approx 2 \beta_{\text{violet}}$.