જો $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = 36$ અને $|a| = 3$ હોય,તો $|b|$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b$ અને $c$ ત્રણ શૂન્યતર સદિશો હોય,જેમાંથી કોઈ પણ બે સદિશો સમરેખ નથી. જો સદિશ $a + 2b$ એ $c$ સાથે સમરેખ હોય અને $b + 3c$ એ $a$ સાથે સમરેખ હોય,તો ($\lambda$ કોઈ શૂન્યતર અદિશ છે) $a + 2b + 6c$ ની કિંમત શું થાય?

જો $|a| + |b| = |c|$ અને $a + b = c$ હોય,તો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?

ધારો કે $\bar{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$,જ્યાં $a_1, a_2, a_3$ અને $|\bar{a}|$ સંમેય સંખ્યાઓ છે. જો $\bar{a}$ એ $\bar{b} = \sqrt{2} \hat{i} + 3 \sqrt{2} \hat{j} + 4 \hat{k}$ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે,તો $\bar{a}$ કયા સમતલમાં આવેલું છે?

બિંદુઓ $O, A, B, C, D$ એવા છે કે જેથી $\overrightarrow{OA} = a, \overrightarrow{OB} = b, \overrightarrow{OC} = 2a + 3b$ અને $\overrightarrow{OD} = a - 2b$ થાય. જો $|a| = 3|b|$ હોય,તો $\overrightarrow{BD}$ અને $\overrightarrow{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે ચતુષ્ફલક $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ અને $2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે. શિરોબિંદુ $D$ માંથી સામેની બાજુ $ABC$ પરનો વેધ,ત્રિકોણ $ABC$ ની $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાને બિંદુ $E$ પર મળે છે. જો $AD$ ની લંબાઈ $\frac{\sqrt{110}}{3}$ હોય અને ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $\frac{\sqrt{805}}{6\sqrt{2}}$ હોય,તો $E$ નો સ્થાન સદિશ શોધો.