ધન સંમેય સંખ્યાઓના ગણ પર,દ્વિતીય પ્રક્રિયા $*$ એ $a * b = \frac{2ab}{5}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. જો $2 * x = 3^{-1}$ હોય,તો $x = $

નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?

એક અરિક્ત ગણ $X$ આપેલ છે,દ્વિ-ક્રિયા $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ ધ્યાનમાં લો જે $A, B \in P(X)$ માટે $A \,^*\, B = A \cap B$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $P(X)$ એ $X$ નો ઘાતગણ છે. સાબિત કરો કે $X$ એ આ ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે અને $X$ એ આ ક્રિયાના સંદર્ભમાં $P(X)$ માં એકમાત્ર વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક છે.

સાબિત કરો કે $R$ પર સરવાળા માટે $0$ તટસ્થ ઘટક છે અને $R$ પર ગુણાકાર માટે $1$ તટસ્થ ઘટક છે. પરંતુ $-: R \times R \rightarrow R$ અને $\div : R_* \times R_* \rightarrow R_*$ ક્રિયાઓ માટે કોઈ તટસ્થ ઘટક નથી.

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યા દ્વિ-ક્રિયા (binary operation) છે કે નહીં તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્વિ-ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $Z^{+}$ પર,$*$ ને $a * b = a - b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.

$Q^{+}$ ના તમામ ધન સંમેય સંખ્યાઓના સમૂહમાં દ્વિ-ક્રિયા $*$ જે $a * b = \frac{ab}{2010}, \forall a, b \in Q^{+}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તેમાં $2010$ નો વ્યસ્ત શોધો.