KCET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) કોઈપણ અથડામણમાં,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.
આ સિદ્ધાંત સ્થિતિસ્થાપક અને અસ્થિતિસ્થાપક બંને પ્રકારની અથડામણો માટે લાગુ પડે છે.
જોકે,કુલ ગતિઊર્જા માત્ર સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણોમાં જ સંરક્ષિત રહે છે.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણોમાં,કેટલીક ગતિઊર્જા ઊર્જાના અન્ય સ્વરૂપોમાં (જેમ કે ઉષ્મા,ધ્વનિ અથવા વિરૂપણ ઊર્જા) રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી તે સંરક્ષિત રહેતી નથી.
તેથી,કુલ રેખીય વેગમાન એ એવી રાશિ છે જે હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણો શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_{initial} = 0$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી (માત્ર આંતરિક પરસ્પર આકર્ષણ બળ લાગે છે),તેથી ચોખ્ખું બાહ્ય બળ $F_{ext} = 0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
તેથી,$P_{final} = P_{initial} = 0$.
ચૂક,$P_{final} = M_{total} \times V_{cm}$,અને કુલ દળ $M_{total}$ શૂન્ય નથી,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm}$ હંમેશા $0$ રહેશે.

(B) પૃથ્વીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ છે.
આ કક્ષામાં ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{GMm}{2R}$ છે.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી મુક્ત થવા માટે,ઉપગ્રહે નિષ્ક્રમણ વેગ પ્રાપ્ત કરવો પડે,જે $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2}v_0$ છે.
મુક્ત થવા માટે જરૂરી ગતિઊર્જા $K_e = \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}m(2v_0^2) = 2(\frac{1}{2}mv_0^2) = 2K$ છે.
તેથી,જરૂરી વધારાની ગતિઊર્જા $\Delta K = K_e - K = 2K - K = K$ થાય.

(C) અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે,ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ $ V \propto T $ થાય છે.
અહીં કદ બમણું થાય છે $( V_2 = 2V_1 )$,તેથી તાપમાન પણ બમણું થશે.
શરૂઆતનું તાપમાન $ T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K} $ છે.
અંતિમ તાપમાન $ T_2 = 2 \times 300 \text{ K} = 600 \text{ K} $ થશે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $ \Delta T = 600 \text{ K} - 300 \text{ K} = 300 \text{ K} $ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $ C_p = \frac{7}{2}R $ છે.
આપવી પડતી ઉષ્મા $ Q = n C_p \Delta T $ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $ Q = 1 \times \frac{7}{2} R \times 300 = 1050 R $.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 5 \ kg$,બળ $\vec{F} = (-3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ N$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (6 \hat{i} - 12 \hat{j}) \ ms^{-1}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \left(\frac{-3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}\right) \ ms^{-2}$.
કોઈપણ સમયે $t$ વેગ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v} = (6 \hat{i} - 12 \hat{j}) + \left(-\frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}\right)t$.
$\vec{v} = \left(6 - \frac{3}{5}t\right) \hat{i} + \left(-12 + \frac{4}{5}t\right) \hat{j}$.
વેગ માત્ર $y$-અક્ષની દિશામાં હોય તે માટે,વેગનો $x$-ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$6 - \frac{3}{5}t = 0$.
$\frac{3}{5}t = 6$.
$t = \frac{6 \times 5}{3} = 10 \ s$.

(B) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = V \rho g$ છે,જ્યાં $V$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પાણીની ઘનતા $4 \ ^\circ C$ તાપમાને મહત્તમ $(\rho_4 \approx 1000 \ kg/m^3)$ હોય છે અને $0 \ ^\circ C$ તાપમાને ઓછી $(\rho_0 \approx 999.8 \ kg/m^3)$ હોય છે.
એલ્યુમિનિયમના ગોળાનું કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,$0 \ ^\circ C$ તાપમાને ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = V \rho_0 g$ અને $4 \ ^\circ C$ તાપમાને $F'_b = V \rho_4 g$ થાય.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\rho_0 < \rho_4$ હોવાથી,$F_b < F'_b$ સાબિત થાય છે.
તેથી,$0 \ ^\circ C$ તાપમાને પાણીમાં ઉત્પ્લાવક બળ $4 \ ^\circ C$ તાપમાને પાણી કરતા ઓછું હોય છે.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ મુક્ત સપાટીથી છિદ્રની ઊંડાઈ છે.
અહીં $h = 2 \text{ cm}$ આપેલ છે,તેથી $v = \sqrt{2 \times g \times 2} = 2\sqrt{g}$.
$H = 8 \text{ cm}$ ની ઊંચાઈએથી પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ એ $H = \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 8}{g}} = \sqrt{\frac{16}{g}} = \frac{4}{\sqrt{g}}$.
આડી અવધિ $R$ એ બહાર નીકળતા વેગ અને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર છે:
$R = v \times t = (\sqrt{2gh}) \times \sqrt{\frac{2H}{g}} = 2\sqrt{hH}$.
$h = 2 \text{ cm}$ અને $H = 8 \text{ cm}$ કિંમતો મૂકતા:
$R = 2 \times \sqrt{2 \times 8} = 2 \times \sqrt{16} = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}$.

(B) પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ અનુપ્રસ્થ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિના ગુણોત્તરનું ઋણ મૂલ્ય છે: $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$.
$L$ લંબાઈ અને $D$ વ્યાસ ધરાવતા તાર માટે,કદ $V = \frac{\pi D^2 L}{4}$ છે.
કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta L}{L} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2\frac{\Delta D}{D} = -\frac{\Delta L}{L}$,અથવા $\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L} = -0.5$.
પોઈસન ગુણોત્તરની વ્યાખ્યામાં આ કિંમત મૂકતા: $\sigma = -(-0.5) = 0.5$.
તેથી,ખેંચાણ દરમિયાન અચળ કદ ધરાવતા દ્રવ્ય માટે પોઈસન ગુણોત્તર $0.5$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) આપેલ આલેખ એ $v$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
તેનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:
$v = -mx + v_0 \dots(1)$
જ્યાં $m = \tan \theta = \frac{v_0}{x_0}$ એ ઢાળનું મૂલ્ય છે.
પ્રવેગ $a$ એ $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = -m$
આ કિંમતને પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = v(-m) = (-mx + v_0)(-m)$
$a = m^2x - mv_0$
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે જેનો ઢાળ ધન $(m^2)$ છે અને પ્રવેગ અક્ષ પર અંતઃખંડ ઋણ $(-mv_0)$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $(A)$ એ ઋણ અંતઃખંડ અને ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = x - \frac{2x^2}{5}$ સાથે સરખાવતા:
$\tan \theta = 1 \implies \theta = 45^{\circ}$.
વળી,$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{2}{5}$.
$g = 10 \ m/s^2$ અને $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\frac{10}{2u^2 (1/2)} = \frac{2}{5}$.
$\frac{10}{u^2} = \frac{2}{5}$.
$2u^2 = 50 \implies u^2 = 25$.
$u = 5 \ m/s$.

(B) આપેલ આવૃત્તિ $f = 0.5 \,Hz$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (0.5) = \pi \,rad/s$ થાય.
બ્લોક પિસ્ટનના સંપર્કમાં રહે તે માટે, અંતિમ સ્થાને પિસ્ટનનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
બ્લોક સંપર્ક ગુમાવે નહીં તે માટેની શરત $a_{max} = g$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_{max} = \omega^2 A$, તેથી $\omega^2 A = g$.
કિંમતો મૂકતા, $\pi^2 A = 10$.
$\pi^2 \approx 10$ લેતા, આપણને $10 A = 10$ મળે છે.
તેથી, $A = 1 \,m$.

(A) કોઈ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ સદિશ ગુણાકાર $L = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = mvr \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $r$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી કણનો સ્થાન સદિશ છે,$v$ એ વેગ છે,અને $\theta$ એ $\vec{r}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આને $L = mv d$ તરીકે પણ લખી શકાય છે,જ્યાં $d = r \sin(\theta)$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી કણની ગતિની રેખાનું લંબ અંતર છે.
કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ થી ગતિની રેખાનું લંબ અંતર $d$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
દળ $m$ અને ઝડપ $v$ પણ અચળ હોવાથી (સમાન ગતિ),ગુણાકાર $mvd$ અચળ રહે છે.
તેથી,$A$ થી $B$ સુધીની ગતિ દરમિયાન $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $P-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ચક્ર માટે કાર્ય ધન હોય છે,અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) ચક્ર માટે કાર્ય ઋણ હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
પાયો $= (V_C - V_B) = (10 - 5) \ m^3 = 5 \ m^3$.
વેધ $= (P_A - P_B) = (400 - 100) \ N/m^2 = 300 \ N/m^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 5 \times 300 = 750 \ J$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = -750 \ J$ છે.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી કરી શકાય છે.
$(A)$ $PQ/R$: ભિન્ન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર શક્ય છે.
$(B)$ $(P-Q)/R$: કારણ કે $P$ અને $Q$ ના પરિમાણો અલગ-અલગ છે,તેથી $(P-Q)$ ની બાદબાકી ભૌતિક રીતે અર્થહીન છે.
$(C)$ $(PR-Q^2)/R$: અહીં,બાદબાકી માન્ય રહે તે માટે $PR$ અને $Q^2$ ના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$(D)$ $PQ-R$: કારણ કે $PQ$ અને $R$ ના પરિમાણો અલગ-અલગ છે,તેથી $(PQ-R)$ ની બાદબાકી ભૌતિક રીતે અર્થહીન છે.
જોકે,પ્રમાણિત બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,$(P-Q)$ એ પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંતનું સૌથી સીધું ઉલ્લંઘન છે.

(B) સ્થિર તરંગનું આપેલ સમીકરણ $ y = 2 \sin \left( \frac{\pi x}{15} \right) \cos (48 \pi t) $ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ $ y = A \sin(kx) \cos(\omega t) $ સાથે સરખાવતા, આપણને તરંગ સંખ્યા $ k = \frac{\pi}{15} $ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $ k = \frac{2 \pi}{\lambda} $, તેથી $ \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{\pi}{15} $.
તરંગલંબાઈ $ \lambda $ માટે ઉકેલતા, આપણને $ \lambda = 30 $ એકમ મળે છે.
નિસ્પંદ બિંદુ અને તેના ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $ d = \frac{\lambda}{4} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$ \lambda $ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $ d = \frac{30}{4} = 7.5 $ એકમ મળે છે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $q$ વીજભાર પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને બળની દિશામાં $y$ જેટલું અંતર કાપે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કણ પર થયેલું કાર્ય $W = F \times y = (qE) \times y = qEy$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય કણની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
શરૂઆતની ગતિઊર્જા $0$ હોવાથી,કણ દ્વારા પ્રાપ્ત અંતિમ ગતિઊર્જા $K = qEy$ થશે.

(D) $LR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ છે.
તેથી,$Z = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો $RMS$ પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ છે.
પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P = \left( \frac{V}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}} \right)^2 R = \frac{V^2 R}{R^2 + \omega^2 L^2}$ મળે છે.

(D) તાત્કાલિક પ્રવાહ $ I = I_0 \sin(\omega t) $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$ rms $ મૂલ્ય પર, $ I = I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} $.
તેથી, $ \frac{I_0}{\sqrt{2}} = I_0 \sin(\omega t_1) \Rightarrow \sin(\omega t_1) = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
આનાથી $ \omega t_1 = \frac{\pi}{4} $ મળે છે.
કારણ કે $ \omega = \frac{2\pi}{T} $, આપણી પાસે $ \frac{2\pi}{T} t_1 = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t_1 = \frac{T}{8} $ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય $ t_2 = \frac{T}{4} $ પર પ્રાપ્ત થાય છે.
$ rms $ મૂલ્યથી મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $ \Delta t = t_2 - t_1 = \frac{T}{4} - \frac{T}{8} = \frac{T}{8} $ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $ f = 50 \,Hz $ હોવાથી, સમયગાળો $ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} \,s = 0.02 \,s $ છે.
તેથી, $ \Delta t = \frac{0.02}{8} = 0.0025 \,s = 2.5 \times 10^{-3} \,s $.
આમ, વિકલ્પ $ D $ સાચો છે.

(B) ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ એ $\alpha$-કણના પ્રારંભિક વેગ સદિશનું ન્યુક્લિયસના કેન્દ્રથી લંબ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
હેડ-ઓન અથડામણ માટે,$\alpha$-કણ સીધું ન્યુક્લિયસના કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે અને અથડામણ પછી તે જ માર્ગે પાછું ફરે છે.
આ કિસ્સામાં,$\alpha$-કણના માર્ગ અને ન્યુક્લિયસના કેન્દ્ર વચ્ચેનું લંબ અંતર શૂન્ય હોય છે.
તેથી,હેડ-ઓન અથડામણ માટે ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $0$ છે.

(C) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto 1/n$ છે.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ છે.
ભ્રમણ આવૃત્તિ $f$ એ $f = v / (2 \pi r)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રમાણસરતા મૂકતા: $f \propto (1/n) / n^2 = 1/n^3$.
તેથી,ભ્રમણ આવૃત્તિ $1/n^3$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $ n $-મી કક્ષાની ઉર્જા $ E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $( n_1 = 1 )$ માટે,$ E_1 = -13.6 \text{ eV} $ છે.
જ્યારે પરમાણુ $ 10.2 \text{ eV} $ ઉર્જાનું શોષણ કરે છે,ત્યારે નવી ઉર્જા $ E_2 = -13.6 + 10.2 = -3.4 \text{ eV} $ થાય છે.
$ E_2 = -\frac{13.6}{n_2^2} = -3.4 \text{ eV} $ હોવાથી,આપણને $ n_2^2 = 4 $ મળે છે,એટલે કે $ n_2 = 2 $.
કોણીય વેગમાન $ L = \frac{nh}{2\pi} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનમાં થતો વધારો $ \Delta L = L_2 - L_1 = \frac{n_2 h}{2\pi} - \frac{n_1 h}{2\pi} = \frac{(n_2 - n_1)h}{2\pi} $ છે.
$ n_2 = 2 $,$ n_1 = 1 $,અને $ h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js} $ મૂકતા:
$ \Delta L = \frac{(2 - 1) \times 6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159} \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ Js} $.
આમ,વધારો $ 1.05 \times 10^{-34} \text{ Js} $ છે.

(A) જ્યારે બે કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન સ્થિતિમાન $V_c$ પ્રાપ્ત કરે છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q + 0 = Q$ થાય.
કુલ કેપેસિટન્સ $C_{total} = C + 2C = 3C$ થાય.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V_c = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{Q}{3C}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_1 = C \cdot V_c = C \cdot \frac{Q}{3C} = \frac{Q}{3}$ થાય.
બીજા કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_2 = 2C \cdot V_c = 2C \cdot \frac{Q}{3C} = \frac{2Q}{3}$ થાય.
આમ,અંતિમ વિદ્યુતભારો $\frac{Q}{3}$ અને $\frac{2Q}{3}$ છે.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે કેપેસિટર્સની ગોઠવણી નીચે મુજબ સમજી શકીએ છીએ:
$1$. બે $ 100 pF $ ના કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $ C_1 $ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{100} + \frac{1}{100} = \frac{2}{100} \implies C_1 = 50 pF$.
$2$. આ $ C_1 = 50 pF $ એ ઉપરના $ 50 pF $ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. ધારો કે આ સમાંતર જોડાણ $ C_2 $ છે. $ C_2 = 50 pF + 50 pF = 100 pF$.
$3$. અંતે,આ $ C_2 = 100 pF $ એ ટર્મિનલ $ B $ સાથે જોડાયેલા નીચેના $ 50 pF $ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $ C_{AB} $ આ મુજબ થશે: $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{50} = \frac{1+2}{100} = \frac{3}{100}$.
$4$. તેથી,$ C_{AB} = \frac{100}{3} pF $.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{c}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^8 \text{ m/s})$ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ $(5 \times 10^6 \text{ Hz})$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^6} = 0.6 \times 10^2 = 60 \text{ m}$.
એન્ટેના કાર્યક્ષમ રીતે કામ કરે તે માટે,તેની લંબાઈ ઓછામાં ઓછી $\frac{\lambda}{4}$ હોવી જોઈએ.
તેથી,એન્ટેનાનું જરૂરી કદ $\frac{60}{4} = 15 \text{ m}$ છે.

(D) આયનોસ્ફિયર દ્વારા રેડિયો તરંગોનું પરાવર્તન એટલા માટે થાય છે કારણ કે આયનોસ્ફિયરનો વક્રીભવનાંક ઊંચાઈ સાથે ઘટે છે. જેમ જેમ રેડિયો તરંગો આયનોસ્ફિયરમાં પ્રવેશે છે,તેમ તેમ તેમનું સતત વક્રીભવન થાય છે જ્યાં સુધી આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધી ન જાય,જે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન તરફ દોરી જાય છે. આ પ્રક્રિયા મૃગજળના નિર્માણ દરમિયાન વાતાવરણમાં થતા પ્રકાશના પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન જેવી જ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $2 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ શોધવા માટે, આપણે પહેલા સર્કિટનું સાદું રૂપ આપીશું.
$1$. સર્કિટના સૌથી જમણી બાજુના ભાગમાં બે $1 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે, જે અન્ય $1 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે। આ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{(1+1) \times 1}{(1+1) + 1} = \frac{2}{3} \Omega$ છે.
$2$. આ $R_1$ એ $1 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે, તેથી $R_2 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \Omega$ મળે.
$3$. આ $R_2$ એ $3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_3 = \frac{3 \times (5/3)}{3 + (5/3)} = \frac{5}{14/3} = \frac{15}{14} \Omega$ છે.
$4$. અંતે, આ $R_3$ એ $1 \Omega$ અને $2 \Omega$ ના અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 1 + 2 + \frac{15}{14} = 3 + \frac{15}{14} = \frac{42+15}{14} = \frac{57}{14} \Omega$ છે.
$5$. બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{1.2}{57/14} = \frac{1.2 \times 14}{57} \approx 0.2947 \text{ A}$ છે.
$6$. $2 \Omega$ નો અવરોધ બેટરી સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી, તેમાંથી કુલ પ્રવાહ વહે છે. નજીકના વિકલ્પ મુજબ, પ્રવાહ આશરે $0.3 \text{ A}$ છે.

(D) કોષનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = E - Ir$,જ્યાં $E$ એ $EMF$ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આ સમીકરણ સીધી રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $V$ એ y-અક્ષ પર છે અને $I$ એ x-અક્ષ પર છે.
$1$. જ્યારે પ્રવાહ $I = 0$ હોય,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E$ થાય છે. આલેખ પરથી,$I = 0$ હોય ત્યારે $V = 3 \text{ V}$ છે. તેથી,$E = 3 \text{ V}$.
$2$. જ્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = 0$ હોય,ત્યારે પ્રવાહ $I = 6 \text{ A}$ છે. આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = E - Ir \implies 0 = 3 - (6)r$.
$3$. $r$ માટે ઉકેલતા: $6r = 3 \implies r = \frac{3}{6} = 0.5 \ \Omega$.
આમ,$EMF$ $3 \text{ V}$ છે અને આંતરિક અવરોધ $0.5 \ \Omega$ છે.

(B) વાહકમાં પ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર $I = neAv_d$ છે, જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોન નંબર ઘનતા છે, $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
ભલે ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ ખૂબ જ નાનો હોય (સામાન્ય રીતે $10^{-4} \, m/s$) અને વીજભાર $e$ નાનો હોય $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$, વાહકમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા $n$ અત્યંત મોટી હોય છે, જે સામાન્ય રીતે $10^{28} \, m^{-3}$ ના ક્રમની હોય છે.
તેથી, $neAv_d$ નો ગુણાકાર નોંધપાત્ર રીતે મોટો પ્રવાહ આપે છે.

(D) ગેલ્વેનોમીટરની કરંટ સેન્સિટિવિટી $(I_s)$ નું સૂત્ર $I_s = \frac{\theta}{I} = \frac{NAB}{k}$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $k$ એ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક અચળાંક છે.
જો $N$ ને ત્રણ ગણું કરવામાં આવે $(N' = 3N)$,તો $I_s' = \frac{(3N)AB}{k} = 3 I_s$ થાય. આમ,કરંટ સેન્સિટિવિટી $3$ ગણી વધે છે.
વોલ્ટેજ સેન્સિટિવિટી $(V_s)$ નું સૂત્ર $V_s = \frac{\theta}{V} = \frac{\theta}{IR} = \frac{I_s}{R}$ છે.
તારનો અવરોધ $R$ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે,અને લંબાઈ આંટાઓની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R' = 3R)$,તેથી નવી વોલ્ટેજ સેન્સિટિવિટી $V_s' = \frac{3I_s}{3R} = \frac{I_s}{R} = V_s$ થાય.
તેથી,વોલ્ટેજ સેન્સિટિવિટી અચળ રહે છે અને કરંટ સેન્સિટિવિટી $3$ ગણી વધે છે.

(C) આપેલ $ LCR $ શ્રેણી પરિપથમાં, ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $ V_L = 50 \, V $ છે અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $ V_C = 50 \, V $ છે.
અહીં $ V_L = V_C $ હોવાથી, પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદિત $ LCR $ પરિપથમાં, કુલ રિએક્ટન્સ શૂન્ય $( X_L - X_C = 0 )$ હોય છે, જેનો અર્થ છે કે પરિપથ શુદ્ધ અવરોધક પરિપથ તરીકે વર્તે છે.
તેથી, સ્ત્રોતનો સંપૂર્ણ વોલ્ટેજ અવરોધ $ R $ પર મળે છે.
આમ, વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $ V_R = V_{source} = 220 \, V $ થશે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $ I = \frac{V_R}{R} = \frac{220 \, V}{100 \, \Omega} = 2.2 \, A $ છે.
તેથી, એમીટરનું અવલોકન $ 2.2 \, A $ અને વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $ 220 \, V $ મળે છે.

(D) કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવાનું સૂત્ર: $r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$ છે.
અહીં,$l_1 = 240 \ cm$ એ જ્યારે કોષ ખુલ્લા પરિપથમાં હોય ત્યારે સંતુલન લંબાઈ છે.
$l_2 = 120 \ cm$ એ જ્યારે કોષને $R = 2 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે શન્ટ કરવામાં આવે ત્યારે સંતુલન લંબાઈ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = 2 \left( \frac{240 - 120}{120} \right) \ \Omega$.
$r = 2 \left( \frac{120}{120} \right) \ \Omega$.
$r = 2 \times 1 \ \Omega = 2 \ \Omega$.
તેથી,કોષનો આંતરિક અવરોધ $2 \ \Omega$ છે.

(C) કિર્ચોફનો જંકશનનો નિયમ,જેને કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે પરિપથના કોઈપણ જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે એકમ સમયમાં જંકશનમાં પ્રવેશતો કુલ વિદ્યુતભાર એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
જંકશન પર વિદ્યુતભારનું સર્જન કે વિનાશ થતો નથી,તેથી આ નિયમ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
કારણ કે $A = \frac{V}{l} = \frac{m}{l \cdot d}$ (જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $d$ એ ઘનતા છે),આપણે લખી શકીએ:
$R = \rho \frac{l^2 \cdot d}{m}$
તાંબાના તાર માટે $\rho$ અને $d$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{l^2}{m}$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તર: $m_1:m_2:m_3 = 1:3:5$ અને $l_1:l_2:l_3 = 5:3:1$.
અવરોધનો ગુણોત્તર ગણતા:
$R_1:R_2:R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$
$R_1:R_2:R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5}$
$R_1:R_2:R_3 = 25 : 3 : \frac{1}{5}$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $5$ વડે ગુણતા:
$R_1:R_2:R_3 = 125 : 15 : 1$.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,શરત એ છે કે આપાત આવૃત્તિ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
સેચ્યુરેશન કરંટ ફક્ત દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે,જે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી તીવ્રતા બમણી કરવાથી સેચ્યુરેશન કરંટ બમણો થઈ જશે.
આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિજ ઉર્જાને અસર કરે છે,પરંતુ ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (સેચ્યુરેશન કરંટ) ને નહીં,જ્યાં સુધી તે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય.
તેથી,જ્યારે તીવ્રતા બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફોટોઈલેક્ટ્રિક સેચ્યુરેશન કરંટ બમણો થાય છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $e = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વાહક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રેરિત emf $e = B v L_{eff}$ થાય છે,જ્યાં $L_{eff}$ એ વેગ સદિશને લંબ વાહકની અસરકારક લંબાઈ છે.
અસરકારક લંબાઈ $L_{eff}$ એ પાટાના સંપર્કમાં રહેલા તારના બે છેડાઓ વચ્ચેનું સીધી રેખાનું અંતર છે.
જ્યારે સીધા તાર $AB$ ને સમાન અંતિમ બિંદુઓ $A$ અને $B$ ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર તાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક લંબાઈ $L_{eff}$ ($A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર) સમાન રહે છે.
પ્રેરિત emf $e = B v L_{eff}$ માત્ર પાટા પરના સંપર્ક બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર પર આધારિત હોવાથી,emf બદલાતું નથી.
જો પરિપથનો અવરોધ $R$ અચળ રહેતો હોય,તો પ્રેરિત પ્રવાહ $i = e/R$ પણ સમાન રહેશે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_{0} \sin(kx - \omega t) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગ $+x$-દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી પ્રસરણની દિશા $\hat{i}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E_{0} = C B_{0}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $B_{0} = \frac{E_{0}}{C}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની દિશા $\vec{c} \times \vec{E}$ ની દિશા દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\vec{c}$ એ તરંગ પ્રસરણની દિશા છે.
અહીં,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ થાય છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}_{z} = \frac{E_{0}}{C} \sin(kx - \omega t) \hat{k}$ થશે.

(A) ધારો કે કુલ વિદ્યુતભાર $2Q$ છે. બે ભાગ $q_{1}$ અને $q_{2}$ છે,જેથી $q_{1} + q_{2} = 2Q$. તેથી,$q_{2} = 2Q - q_{1}$.
કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = k \frac{q_{1}q_{2}}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q_{2}$ ની કિંમત મૂકતા,$F = \frac{k}{r^2} (q_{1})(2Q - q_{1}) = \frac{k}{r^2} (2Qq_{1} - q_{1}^2)$.
બળ $F$ મહત્તમ હોવા માટે,$F$ નું $q_{1}$ ની સાપેક્ષ વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\frac{dF}{dq_{1}} = 0$.
$\frac{d}{dq_{1}} [\frac{k}{r^2} (2Qq_{1} - q_{1}^2)] = \frac{k}{r^2} (2Q - 2q_{1}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2Q - 2q_{1} = 0$,તેથી $q_{1} = Q$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{Q}{q_{1}} = \frac{Q}{Q} = 1$ થાય છે.

(B) અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અવકાશના જુદા જુદા બિંદુઓ પર બદલાતી રહે છે.
ડાયપોલના બે વિદ્યુતભારો ($+q$ અને $-q$) એકબીજાથી થોડા અંતરે આવેલા હોવાથી,તેઓ તેમના સંબંધિત સ્થાનો પર અલગ-અલગ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અનુભવે છે.
કારણ કે બે વિદ્યુતભારો પર લાગતા બળો $(F = qE)$ મૂલ્ય અથવા દિશામાં અસમાન હોય છે,તેથી ડાયપોલ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોતું નથી.
વધુમાં,બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી,તેઓ ડાયપોલના કેન્દ્રની આસપાસ પરિણામી ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રાખેલ વિદ્યુત ડાયપોલ સામાન્ય રીતે બળ અને ટોર્ક બંને અનુભવે છે.

(B) બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{|\Delta V|}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta V$ એ પોટેન્શિયલ તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે:
પોટેન્શિયલ તફાવત $\Delta V = V_2 - V_1 = 30 \,V - (-10 \,V) = 40 \,V$.
અંતર $d = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{40 \,V}{2 \times 10^{-2} \,m} = 20 \times 10^2 \,V/m = 2000 \,V/m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાન $V$ સાથે $E = -\frac{dV}{dx}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે. વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|E| = |\frac{dV}{dx}|$ છે,જે $V-x$ આલેખનો ઢાળ દર્શાવે છે.
વિસ્તાર $A$ ($x=0$ થી $1$ m) માં,$V$ અચળ ($2$ $V$) છે,તેથી ઢાળ $\frac{dV}{dx} = 0$ છે. આમ,$E_{A} = 0$.
વિસ્તાર $B$ ($x=1$ થી $2$ m) માં,ઢાળ $\frac{4-2}{2-1} = 2$ $V$/m છે. આમ,$|E_{B}| = 2$ $V$/m.
વિસ્તાર $C$ ($x=2$ થી $4$ m) માં,$V$ અચળ ($4$ $V$) છે,તેથી ઢાળ $\frac{dV}{dx} = 0$ છે. આમ,$E_{C} = 0$.
વિસ્તાર $D$ ($x=4$ થી $5$ m) માં,ઢાળ $\frac{0-4}{5-4} = -4$ $V$/m છે. આમ,$|E_{D}| = |-4| = 4$ $V$/m.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $E_{A} = E_{C} = 0$ અને $E_{B} = 2$ $V$/m,$E_{D} = 4$ $V$/m. તેથી,$E_{A} = E_{C}$ અને $E_{B} < E_{D}$.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ના તંત્રની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: જો વિદ્યુતભારો સમાન પ્રકારના હોય (બંને ધન અથવા બંને ઋણ),તો $q_1 q_2 > 0$ થાય. જેમ અંતર $r$ વધે છે,તેમ $U$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
કિસ્સો $2$: જો વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ પ્રકારના હોય (એક ધન અને એક ઋણ),તો $q_1 q_2 < 0$ થાય. જેમ અંતર $r$ વધે છે,તેમ $|U|$ નું મૂલ્ય ઘટે છે,પરંતુ $U$ ઋણ હોવાથી,$U$ નું મૂલ્ય વધે છે (તે શૂન્યની નજીક જાય છે).
તેથી,વિદ્યુતભારોના પ્રકારના આધારે સ્થિતિઊર્જા વધી શકે અથવા ઘટી શકે છે.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $v$ તેની ઝડપ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં ક્ષેત્રને લંબ વેગ $\vec{V}$ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$ અનુભવે છે.
આ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,તે ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી $(W = \vec{F} \cdot d\vec{s} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને પરિણામે તેની ઝડપ $v$ તેની ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી,$h$,$m$ અને $v$ બધા અચળ હોવાથી,દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અચળ રહે છે.

(B) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે: $n = 500 \text{ m}^{-1}$, $I = 2 \text{ A}$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $B = \mu_0 n I$ મૂકતા, $u_B = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0} = \frac{\mu_0 n^2 I^2}{2}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $u_B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (500)^2 \times (2)^2}{2}$.
$u_B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 250000 \times 4}{2} = 2\pi \times 10^{-7} \times 10^6 = 2\pi \times 10^{-1} = 0.2 \times 3.14 = 0.628 \text{ J/m}^3$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\theta$ (રેડિયનમાં) હોય,તો કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\theta = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$ છે.
ખૂણાને રેડિયનમાં ફેરવતા: $\theta = 300^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{5\pi}{3} \text{ રેડિયન}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \times \left( \frac{5\pi}{3} \right)$
$B = \frac{5 \mu_0 I}{12 R}$

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે લૂપને તેના સમતલને લંબ અક્ષની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M}$ (જે હંમેશા લૂપના સમતલને લંબ હોય છે) ની દિશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની સાપેક્ષમાં બદલાતી નથી.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ બદલાતો ન હોવાથી,લૂપની સ્થિતિ ઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \Delta U = 0$ થાય છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય સોયના દોલનનો સમયગાળો શોધવાનું સૂત્ર: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ છે.
આપેલ છે: $T = 2 \text{ s}$,$I = 8 \times 10^{-6} \text{ kg m}^2$,$M = 5 \times 10^{-2} \text{ A m}^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $2 = 2\pi \sqrt{\frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B}}$.
$2$ વડે ભાગતા: $1 = \pi \sqrt{\frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 = \pi^2 \left( \frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B} \right)$.
$B$ ને કર્તા બનાવતા: $B = \frac{\pi^2 \times 8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2}}$.
$\pi^2 \approx 9.86$ લેતા: $B = \frac{9.86 \times 8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2}} \approx 1.577 \times 10^{-4} \text{ T}$.
આમ,$B \approx 1.6 \times 10^{-4} \text{ T}$ મળે છે.

(B) સાયક્લોટ્રોનમાં,વીજભારિત કણ બે ડી (dee) વચ્ચેના ગેપમાં વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે પ્રવેગિત થાય છે.
ડી (dee) ની અંદર,કણ લંબચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,જ્યાં તેની ઝડપ અચળ રહે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતી વખતે કણ સતત તેની ગતિની દિશા બદલે છે,તેથી તે હંમેશા કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે.
આમ,કણ તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન પ્રવેગિત થાય છે.

(D) કાયમી ચુંબક ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થમાંથી બનાવવામાં આવે છે. કાયમી ચુંબકમાં,ઉત્પાદન પ્રક્રિયાને કારણે (જેમ કે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઠંડુ કરીને) ચુંબકીય ડોમેન્સ એક ચોક્કસ દિશામાં ગોઠવાયેલા હોય છે. તેથી,ઓરડાના તાપમાને,ચોખ્ખી ચુંબકીય મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરવા માટે બધા ડોમેન્સ સંપૂર્ણપણે ગોઠવાયેલા હોય છે.

(A) કોર્સિવિટી $H$ એ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થને ડિમેગ્નેટાઇઝ કરવા માટે જરૂરી ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા દર્શાવે છે.
સોલેનોઇડ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = nI$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુત પ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
કોર્સિવિટી $H = 3 \times 10^{3} \text{ A m}^{-1}$
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = 1000 \text{ turns m}^{-1} = 10^{3} \text{ m}^{-1}$
સૂત્ર $I = \frac{H}{n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{3 \times 10^{3}}{10^{3}} = 3 \text{ A}$
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ પ્રવાહ $3 \text{ A}$ છે.

(D) ન્યુક્લિયર બળ એ ટૂંકા ગાળાનું બળ છે જે આશરે $1 \ fm$ થી $3 \ fm$ $(1 \ fm = 10^{-15} \ m)$ ના અંતર સુધી જ અસરકારક રીતે કાર્ય કરે છે.
અહીં બે પ્રોટોન વચ્ચેનું અંતર $10 \ nm = 10 \times 10^{-9} \ m = 10^{-8} \ m$ આપેલું છે.
કારણ કે $10^{-8} \ m$ એ ન્યુક્લિયર બળની મર્યાદા $(10^{-15} \ m)$ કરતા ઘણું વધારે છે,તેથી આ અંતરે ન્યુક્લિયર બળ $F_n$ નગણ્ય છે.
જોકે,વિદ્યુતચુંબકીય બળ $F_e$ (કુલંબ બળ) વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે અને લાંબા અંતર સુધી કાર્ય કરે છે.
તેથી,$10 \ nm$ ના અંતરે,વિદ્યુતચુંબકીય બળ એ ન્યુક્લિયર બળ કરતા ઘણું વધારે હોય છે,એટલે કે $F_e \gg F_n$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = |dN/dt|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,$A$ માટેનો ક્ષય વક્ર સૌથી ઝડપથી નીચે ઉતરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો ક્ષય અચળાંક $\lambda$ સૌથી વધુ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = 1/\lambda$ છે.
તેથી,ઉચ્ચ ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ ટૂંકા સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ ને અનુરૂપ છે.
વક્ર $A$ નો ઢાળ સૌથી વધુ (સૌથી વધુ એક્ટિવિટી) હોવાથી,તેનો $\lambda$ સૌથી મોટો છે અને તેથી તેનું સરેરાશ આયુષ્ય સૌથી ટૂંકું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે ઉત્સર્જિત $ \alpha $-કણોની સંખ્યા $ x $ છે અને $ \beta $-કણોની સંખ્યા $ y $ છે.
ક્ષય પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $ { }_{90} Th^{232} \rightarrow { }_{82} Pb^{208} + x({ }_{2} He^{4}) + y({ }_{-1} e^{0}) $.
દળ ક્રમાંકને સરખાવતા: $ 232 = 208 + 4x \implies 4x = 24 \implies x = 6 $.
પરમાણુ ક્રમાંકને સરખાવતા: $ 90 = 82 + 2x - y $.
$ x = 6 $ મૂકતા: $ 90 = 82 + 2(6) - y \implies 90 = 82 + 12 - y \implies 90 = 94 - y \implies y = 4 $.
આમ,$ 6 $ $ \alpha $-કણો અને $ 4 $ $ \beta $-કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -25 \ cm$. પ્રારંભિક વસ્તુ અંતર $u_i = -50 \ cm$. વસ્તુની ઝડપ $v_o = 1 \ ms^{-1} = 100 \ cm s^{-1}$.
$t=0$ સમયે,$u_i = -50 \ cm$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_i} + \frac{1}{-50} = \frac{1}{-25} \implies \frac{1}{v_i} = -\frac{1}{25} + \frac{1}{50} = -\frac{1}{50} \implies v_i = -50 \ cm$.
$t=0.25 \ s$ સમયે,પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $d = v_o \times t = 100 \ cm s^{-1} \times 0.25 \ s = 25 \ cm$.
નવું વસ્તુ અંતર $u_f = -50 \ cm + 25 \ cm = -25 \ cm$.
કારણ કે વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર પર છે,પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાય છે,એટલે કે $v_f = \infty$.
પ્રતિબિંબનો સરેરાશ વેગ $\langle v \rangle = \frac{v_f - v_i}{\Delta t} = \frac{\infty - (-50)}{0.25} = \infty$.

(A) પ્રિઝમ માટે,વિચલન $D$ નું સૂત્ર $D = (i_1 + i_2) - A$ છે,જ્યાં $i_1$ અને $i_2$ એ આપાતકોણ અને નિર્ગમનકોણ છે,અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
આપેલ છે કે $D = 44^{\circ}$ જ્યારે $i_1 = 42^{\circ}$ અને $i_2 = 62^{\circ}$ હોય,તેથી:
$44^{\circ} = (42^{\circ} + 62^{\circ}) - A$
$44^{\circ} = 104^{\circ} - A$
$A = 104^{\circ} - 44^{\circ} = 60^{\circ}$.
લઘુત્તમ વિચલન $(D_m = 38^{\circ})$ ની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{A + D_m}{2}$ છે.
$i = \frac{60^{\circ} + 38^{\circ}}{2} = \frac{98^{\circ}}{2} = 49^{\circ}$.

(A) ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયરનો ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સ કર્વ દર્શાવે છે કે વોલ્ટેજ ગેઈન બધી આવૃત્તિઓ પર સમાન હોતો નથી.
નીચી આવૃત્તિઓ પર,કપલિંગ અને બાયપાસ કેપેસિટર્સનો રિએક્ટન્સ ઊંચો હોય છે,જે ગેઈનને ઘટાડે છે.
ઊંચી આવૃત્તિઓ પર,ટ્રાન્ઝિસ્ટરના આંતરિક જંકશન કેપેસિટન્સ અને સ્ટ્રે કેપેસિટન્સ નોંધપાત્ર બને છે,જે સિગ્નલને શન્ટ કરીને ઓછો અવરોધ પૂરો પાડે છે,જેનાથી ગેઈન ઘટે છે.
મધ્યમ આવૃત્તિ શ્રેણીમાં,આ અસરો નગણ્ય હોય છે અને એમ્પ્લીફાયર સ્થિર અને મહત્તમ વોલ્ટેજ ગેઈન પ્રદાન કરે છે.
તેથી,વોલ્ટેજ ગેઈન નીચી અને ઊંચી બંને આવૃત્તિઓ પર ઓછો હોય છે અને મધ્યમ આવૃત્તિ શ્રેણીમાં અચળ રહે છે.

(A) આ પરિપથ બે ક્રોસ-કપલ્ડ $NOR$ ગેટનો બનેલો છે જે $SR$ લેચ બનાવે છે.
$NOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y = \overline{A+B}$ છે.
ધારો કે ઉપરનો ગેટ $1$ છે અને નીચેનો ગેટ $2$ છે.
ગેટ $1$ ના ઇનપુટ $1$ અને $Q$ છે. તેથી,$P = \overline{1+Q} = 0$.
ગેટ $2$ ના ઇનપુટ $0$ અને $P$ છે. તેથી,$Q = \overline{0+P}$ છે.
$Q$ ના સમીકરણમાં $P=0$ મૂકતા,આપણને $Q = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$ મળે છે.
તેથી,$P=0$ અને $Q=1$ છે.

(C) અર્ધવાહકની વાહકતા $\sigma = e(n_e \mu_e + n_h \mu_h)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યા ઘનતા ($n_e$ અને $n_h$) સંબંધ $n = C T^{3/2} \exp(-E_g / 2kT)$ મુજબ ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.
જોકે તાપમાનમાં વધારા સાથે સ્કેટરિંગ વધવાને કારણે રિલેક્સેશન સમય $(\tau)$ ઘટે છે,પરંતુ ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યા ઘનતામાં થતો ઘાતાંકીય વધારો એ રિલેક્સેશન સમયમાં ઘટાડાને કારણે થતા મોબિલિટીના ઘટાડા કરતા ઘણો વધારે હોય છે.
તેથી,ચોખ્ખી અસર એ અર્ધવાહકની વાહકતામાં વધારો છે.

(A) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \tan \theta_{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta_{p}$ એ બ્રુસ્ટર કોણ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,વક્રીભવનાંક $n = \frac{\sin i}{\sin r}$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,ઢાળ $\frac{\sin r}{\sin i} = \tan 30^{\circ}$ છે.
તેથી,$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{1}{\tan 30^{\circ}} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
આમ,$n = \sqrt{3}$.
$n$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\tan \theta_{p} = \sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી,$\theta_{p} = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.

(D) કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $ I $ એ $ I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) $ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $ \phi $ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે પથ તફાવત $ \Delta x = \lambda $ હોય ત્યારે તીવ્રતા $ K $ છે. $ \Delta x = \lambda $ એ $ \phi = 2\pi $ કળા તફાવતને અનુરૂપ છે, તેથી $ K = I_{max} \cos^2 \left( \frac{2\pi}{2} \right) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} $.
હવે, પથ તફાવત $ \Delta x = \frac{\lambda}{3} $ માટે, કળા તફાવત $ \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3} $ થશે.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $ I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) = K \cos^2 \left( \frac{2\pi/3}{2} \right) $ થશે.
$ I = K \cos^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) = K \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{K}{4} $.

(A) તરંગલંબાઈમાં ડોપ્લર સ્થાનાંતરનું સૂત્ર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે, જ્યાં $v$ એ સ્ત્રોતનો વેગ છે, $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે, $\Delta \lambda$ એ તરંગલંબાઈમાં ફેરફાર છે અને $\lambda$ એ મૂળ તરંગલંબાઈ છે।
આપેલ છે: $\Delta \lambda = 0.1 \text{ Å}$, $\lambda = 6000 \text{ Å}$, અને $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$v$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $v = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \times c$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{0.1}{6000} \times 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$v = \frac{1}{60000} \times 3 \times 10^8 \text{ m/s} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^4} \text{ m/s} = 0.5 \times 10^4 \text{ m/s} = 5000 \text{ m/s}$.
$\text{km/s}$ માં રૂપાંતર કરતા: $v = 5 \text{ km/s}$.