$ \int_{-3}^{3} \cot^{-1} x \, dx = $

ધારો કે $I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x}\left(\frac{3}{\pi}+\log \left(\frac{4+\sin x}{4-\sin x}\right)\right) d x$. આપેલ છે કે $\int \frac{d x}{1+k x^2}=\frac{1}{\sqrt{k}} \tan ^{-1}(\sqrt{k} x)+c, \tan ^{-1}(0)=0$ અને $\tan ^{-1}(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}$. તો $3 I^2=$

ધારો કે $f$ એ $[0,1]$ પર વ્યાખ્યાયિત એક સતત વિધેય છે જેથી $\int_0^1 f^2(x) dx = (\int_0^1 f(x) dx)^2$ થાય. તો,$f$ નો વિસ્તાર

જો $(a, b)$ એ $(1, 2), (2, 3)$ અને $(3, 1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર હોય,અને $I_1 = \int_{a}^{b} x \sin(4x - x^2) dx$,$I_2 = \int_{a}^{b} \sin(4x - x^2) dx$ હોય,તો $36 \frac{I_1}{I_2}$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{\,\pi /6}^{\,\pi /3} {\,\frac{{dx}}{{1 + \sqrt {\cot x} }}} $ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha = 1$ અને $\beta = 1 + i\sqrt{2}$,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ એ સમીકરણ $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ ના બે બીજ છે,જ્યાં $a, b, c \in R$,તો $\int_{-1}^{1} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx$ ની કિંમત શોધો: