KCET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) किसी भी टक्कर में,यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,तो रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।
यह सिद्धांत प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ दोनों प्रकार की टक्करों पर लागू होता है।
हालाँकि,कुल गतिज ऊर्जा केवल पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्करों में ही संरक्षित रहती है।
अप्रत्यास्थ टक्करों में,कुछ गतिज ऊर्जा ऊर्जा के अन्य रूपों (जैसे ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण ऊर्जा) में परिवर्तित हो जाती है,इसलिए यह संरक्षित नहीं रहती है।
अतः,कुल रैखिक संवेग वह राशि है जो हमेशा संरक्षित रहती है।

(D) द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण शुरू में विरामावस्था में हैं,निकाय का प्रारंभिक संवेग $P_{initial} = 0$ है।
निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है (केवल पारस्परिक आंतरिक आकर्षण बल है),इसलिए कुल बाहरी बल $F_{ext} = 0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।
इसलिए,$P_{final} = P_{initial} = 0$।
चूंकि $P_{final} = M_{total} \times V_{cm}$,और कुल द्रव्यमान $M_{total}$ शून्य नहीं है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm}$ हर समय $0$ होगा।

(B) पृथ्वी के निकट परिक्रमा कर रहे उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ होता है।
इस कक्षा में उपग्रह की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{GMm}{2R}$ है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बचने के लिए,उपग्रह को पलायन वेग प्राप्त करना होगा,जो $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2}v_0$ है।
पलायन के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $K_e = \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}m(2v_0^2) = 2(\frac{1}{2}mv_0^2) = 2K$ है।
अतः,आवश्यक अतिरिक्त गतिज ऊर्जा $\Delta K = K_e - K = 2K - K = K$ होगी।

(C) स्थिर दाब पर एक आदर्श गैस के लिए,चार्ल्स के नियम के अनुसार $ V \propto T $ होता है।
चूंकि आयतन दोगुना हो जाता है $( V_2 = 2V_1 )$,इसलिए तापमान भी दोगुना हो जाएगा।
प्रारंभिक तापमान $ T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K} $ है।
अंतिम तापमान $ T_2 = 2 \times 300 \text{ K} = 600 \text{ K} $ होगा।
तापमान में परिवर्तन $ \Delta T = 600 \text{ K} - 300 \text{ K} = 300 \text{ K} $ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $ C_p = \frac{7}{2}R $ होती है।
दी गई ऊष्मा $ Q = n C_p \Delta T $ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $ Q = 1 \times \frac{7}{2} R \times 300 = 1050 R $।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,बल $\vec{F} = (-3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ N$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (6 \hat{i} - 12 \hat{j}) \ ms^{-1}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \left(\frac{-3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}\right) \ ms^{-2}$.
किसी भी समय $t$ पर वेग $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} = (6 \hat{i} - 12 \hat{j}) + \left(-\frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}\right)t$.
$\vec{v} = \left(6 - \frac{3}{5}t\right) \hat{i} + \left(-12 + \frac{4}{5}t\right) \hat{j}$.
वेग के केवल $y$-अक्ष की दिशा में होने के लिए,वेग का $x$-घटक शून्य होना चाहिए:
$6 - \frac{3}{5}t = 0$.
$\frac{3}{5}t = 6$.
$t = \frac{6 \times 5}{3} = 10 \ s$.

(B) आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,डूबी हुई वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल $F_b = V \rho g$ होता है,जहाँ $V$ विस्थापित तरल का आयतन है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पानी का घनत्व $4 \ ^\circ C$ पर अधिकतम $(\rho_4 \approx 1000 \ kg/m^3)$ होता है और $0 \ ^\circ C$ पर कम $(\rho_0 \approx 999.8 \ kg/m^3)$ होता है।
चूंकि एल्युमिनियम के गोले का आयतन $V$ स्थिर रहता है,इसलिए $0 \ ^\circ C$ पर उत्प्लावन बल $F_b = V \rho_0 g$ और $4 \ ^\circ C$ पर $F'_b = V \rho_4 g$ होगा।
दोनों की तुलना करने पर,चूंकि $\rho_0 < \rho_4$,इसलिए $F_b < F'_b$ प्राप्त होता है।
अतः,$0 \ ^\circ C$ पर पानी में उत्प्लावन बल $4 \ ^\circ C$ पर पानी की तुलना में कम होता है।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ मुक्त सतह से छिद्र की गहराई है।
यहाँ $h = 2 \text{ cm}$ दिया गया है,इसलिए $v = \sqrt{2 \times g \times 2} = 2\sqrt{g}$.
$H = 8 \text{ cm}$ की ऊँचाई से पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$,$H = \frac{1}{2}gt^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 8}{g}} = \sqrt{\frac{16}{g}} = \frac{4}{\sqrt{g}}$.
क्षैतिज परास $R$,बहिःस्राव के वेग और उड़ान के समय का गुणनफल है:
$R = v \times t = (\sqrt{2gh}) \times \sqrt{\frac{2H}{g}} = 2\sqrt{hH}$.
$h = 2 \text{ cm}$ और $H = 8 \text{ cm}$ मान रखने पर:
$R = 2 \times \sqrt{2 \times 8} = 2 \times \sqrt{16} = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}$.

(B) प्वासों अनुपात $\sigma$ को अनुप्रस्थ विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के ऋणात्मक मान के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$।
$L$ लंबाई और $D$ व्यास वाले तार के लिए,आयतन $V = \frac{\pi D^2 L}{4}$ होता है।
चूंकि आयतन $V$ स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta L}{L} = 0$।
इसका अर्थ है कि $2\frac{\Delta D}{D} = -\frac{\Delta L}{L}$,या $\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L} = -0.5$।
प्वासों अनुपात की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\sigma = -(-0.5) = 0.5$।
अतः,खिंचाव के दौरान स्थिर आयतन वाले पदार्थ के लिए प्वासों अनुपात $0.5$ होता है।
इस प्रकार,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) दिया गया ग्राफ $v$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड और ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
इसका समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$v = -mx + v_0 \dots(1)$
जहाँ $m = \tan \theta = \frac{v_0}{x_0}$ ढाल का परिमाण है।
त्वरण $a$ को $a = v \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $(1)$ से,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = -m$
इस मान को त्वरण के समीकरण में रखने पर:
$a = v(-m) = (-mx + v_0)(-m)$
$a = m^2x - mv_0$
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है जिसकी ढाल धनात्मक $(m^2)$ है और त्वरण अक्ष पर अंतःखंड ऋणात्मक $(-mv_0)$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $(A)$ एक ऋणात्मक अंतःखंड और धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा को दर्शाता है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(D) प्रक्षेप्य के पथ का मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = x - \frac{2x^2}{5}$ के साथ तुलना करने पर:
$\tan \theta = 1 \implies \theta = 45^{\circ}$.
साथ ही,$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{2}{5}$.
$g = 10 \ m/s^2$ और $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\frac{10}{2u^2 (1/2)} = \frac{2}{5}$.
$\frac{10}{u^2} = \frac{2}{5}$.
$2u^2 = 50 \implies u^2 = 25$.
$u = 5 \ m/s$.

(B) दी गई आवृत्ति $f = 0.5 \,Hz$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (0.5) = \pi \,rad/s$ है।
ब्लॉक को पिस्टन के संपर्क में रहने के लिए, चरम स्थिति पर पिस्टन का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
ब्लॉक के संपर्क न खोने की शर्त $a_{max} = g$ है।
चूंकि $a_{max} = \omega^2 A$, इसलिए $\omega^2 A = g$ होगा।
मान रखने पर, $\pi^2 A = 10$ प्राप्त होता है।
$\pi^2 \approx 10$ लेने पर, हमें $10 A = 10$ मिलता है।
अतः, $A = 1 \,m$।

(A) किसी बिंदु $O$ के परितः कण का कोणीय संवेग $L$ सदिश गुणनफल $L = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग का परिमाण $L = mvr \sin(\theta)$ है,जहाँ $r$ मूल बिंदु $O$ से कण का स्थिति सदिश है,$v$ वेग है,और $\theta$ $\vec{r}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण है।
इसे $L = mv d$ के रूप में भी लिखा जा सकता है,जहाँ $d = r \sin(\theta)$ मूल बिंदु $O$ से कण की गति की रेखा की लंबवत दूरी है।
चूंकि कण एक सीधी रेखा में गति कर रहा है,इसलिए मूल बिंदु $O$ से गति की रेखा की लंबवत दूरी $d$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ और गति $v$ भी स्थिर हैं (एकसमान गति),इसलिए गुणनफल $mvd$ स्थिर रहता है।
अतः,$A$ से $B$ तक की गति के दौरान $O$ के परितः कण का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया में निकाय द्वारा किया गया कार्य $P-V$ आरेख द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
घड़ी की दिशा (clockwise) में चक्र के लिए कार्य धनात्मक होता है,और घड़ी की विपरीत दिशा (counter-clockwise) में चक्र के लिए कार्य ऋणात्मक होता है।
दिए गए आरेख में,चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ घड़ी की विपरीत दिशा में है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
आधार $= (V_C - V_B) = (10 - 5) \ m^3 = 5 \ m^3$.
ऊंचाई $= (P_A - P_B) = (400 - 100) \ N/m^2 = 300 \ N/m^2$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 300 = 750 \ J$.
चूंकि चक्र घड़ी की विपरीत दिशा में है,इसलिए निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = -750 \ J$ है।

(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
$(A)$ $PQ/R$: अलग-अलग विमाओं वाली भौतिक राशियों का गुणा और भाग संभव है।
$(B)$ $(P-Q)/R$: चूंकि $P$ और $Q$ की विमाएँ अलग-अलग हैं,इसलिए $(P-Q)$ का घटाव भौतिक रूप से अर्थहीन है।
$(C)$ $(PR-Q^2)/R$: यहाँ,घटाव मान्य होने के लिए $PR$ और $Q^2$ की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$(D)$ $PQ-R$: चूंकि $PQ$ और $R$ की विमाएँ अलग-अलग हैं,इसलिए $(PQ-R)$ का घटाव भौतिक रूप से अर्थहीन है।
हालाँकि,मानक बहुविकल्पीय प्रश्नों के संदर्भ में,$(P-Q)$ विमीय समांगता के सिद्धांत का सबसे सीधा उल्लंघन है।

(B) अप्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $ y = 2 \sin \left( \frac{\pi x}{15} \right) \cos (48 \pi t) $ है।
इसे मानक समीकरण $ y = A \sin(kx) \cos(\omega t) $ से तुलना करने पर, हमें तरंग संख्या $ k = \frac{\pi}{15} $ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $ k = \frac{2 \pi}{\lambda} $, इसलिए $ \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{\pi}{15} $।
तरंगदैर्ध्य $ \lambda $ के लिए हल करने पर, हमें $ \lambda = 30 $ इकाई प्राप्त होती है।
एक निस्पंद और उसके अगले प्रस्पंद के बीच की दूरी $ d = \frac{\lambda}{4} $ द्वारा दी जाती है।
$ \lambda $ का मान रखने पर, हमें $ d = \frac{30}{4} = 7.5 $ इकाई प्राप्त होती है।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में $q$ आवेश द्वारा अनुभव किया गया बल $F = qE$ होता है।
चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है और बल की दिशा में $y$ दूरी तय करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र द्वारा कण पर किया गया कार्य $W = F \times y = (qE) \times y = qEy$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है,इसलिए कण द्वारा प्राप्त अंतिम गतिज ऊर्जा $K = qEy$ होगी।

(D) $LR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$,$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_L = \omega L$ है।
अतः,$Z = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ है।
परिपथ में $RMS$ धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ है।
परिपथ में व्ययित शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $P = \left( \frac{V}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}} \right)^2 R = \frac{V^2 R}{R^2 + \omega^2 L^2}$ प्राप्त होता है।

(D) तात्कालिक धारा $ I = I_0 \sin(\omega t) $ द्वारा दी जाती है।
$ rms $ मान पर, $ I = I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} $।
अतः, $ \frac{I_0}{\sqrt{2}} = I_0 \sin(\omega t_1) \Rightarrow \sin(\omega t_1) = \frac{1}{\sqrt{2}} $।
इससे $ \omega t_1 = \frac{\pi}{4} $ प्राप्त होता है।
चूंकि $ \omega = \frac{2\pi}{T} $, हमारे पास $ \frac{2\pi}{T} t_1 = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t_1 = \frac{T}{8} $ है।
शिखर मान $ t_2 = \frac{T}{4} $ पर प्राप्त होता है।
$ rms $ मान से शिखर मान तक पहुँचने में लगा समय $ \Delta t = t_2 - t_1 = \frac{T}{4} - \frac{T}{8} = \frac{T}{8} $ है।
दी गई आवृत्ति $ f = 50 \,Hz $ है, इसलिए आवर्तकाल $ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} \,s = 0.02 \,s $ है।
अतः, $ \Delta t = \frac{0.02}{8} = 0.0025 \,s = 2.5 \times 10^{-3} \,s $।
इस प्रकार, विकल्प $ D $ सही है।

(B) संघट्ट प्राचल (impact parameter) $b$ को $\alpha$-कण के प्रारंभिक वेग सदिश की नाभिक के केंद्र से लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सम्मुख टक्कर (head-on collision) के लिए,$\alpha$-कण सीधे नाभिक के केंद्र की ओर गति करता है और टक्कर के बाद अपने पथ पर वापस लौट आता है।
इस स्थिति में,$\alpha$-कण के पथ और नाभिक के केंद्र के बीच की लंबवत दूरी शून्य होती है।
अतः,सम्मुख टक्कर के लिए संघट्ट प्राचल $0$ होता है।

(C) बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto 1/n$ होता है।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है।
परिक्रमण आवृत्ति $f$ को $f = v / (2 \pi r)$ द्वारा दिया जाता है।
समानुपाती मान रखने पर: $f \propto (1/n) / n^2 = 1/n^3$।
अतः,परिक्रमण आवृत्ति $1/n^3$ के समानुपाती होती है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में $ n $-वीं कक्षा की ऊर्जा $ E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV} $ द्वारा दी जाती है।
ग्राउंड स्टेट $( n_1 = 1 )$ के लिए,$ E_1 = -13.6 \text{ eV} $ है।
जब परमाणु $ 10.2 \text{ eV} $ ऊर्जा अवशोषित करता है,तो नई ऊर्जा $ E_2 = -13.6 + 10.2 = -3.4 \text{ eV} $ हो जाती है।
चूंकि $ E_2 = -\frac{13.6}{n_2^2} = -3.4 \text{ eV} $,हमें $ n_2^2 = 4 $ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $ n_2 = 2 $।
कक्षीय कोणीय संवेग $ L = \frac{nh}{2\pi} $ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग में वृद्धि $ \Delta L = L_2 - L_1 = \frac{n_2 h}{2\pi} - \frac{n_1 h}{2\pi} = \frac{(n_2 - n_1)h}{2\pi} $ है।
$ n_2 = 2 $,$ n_1 = 1 $,और $ h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js} $ रखने पर:
$ \Delta L = \frac{(2 - 1) \times 6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159} \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ Js} $।
अतः,वृद्धि $ 1.05 \times 10^{-34} \text{ Js} $ है।

(A) जब दो संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो वे एक उभयनिष्ठ विभव $V_c$ प्राप्त करते हैं।
कुल आवेश $Q_{total} = Q + 0 = Q$ है।
कुल धारिता $C_{total} = C + 2C = 3C$ है।
उभयनिष्ठ विभव $V_c = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{Q}{3C}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले संधारित्र पर अंतिम आवेश $Q_1 = C \cdot V_c = C \cdot \frac{Q}{3C} = \frac{Q}{3}$ है।
दूसरे संधारित्र पर अंतिम आवेश $Q_2 = 2C \cdot V_c = 2C \cdot \frac{Q}{3C} = \frac{2Q}{3}$ है।
अतः,अंतिम आवेश $\frac{Q}{3}$ और $\frac{2Q}{3}$ हैं।

(D) परिपथ आरेख से,हम संधारित्रों के संयोजन को इस प्रकार समझ सकते हैं:
$1$. दो $ 100 pF $ के संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। उनकी समतुल्य धारिता $ C_1 $ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{100} + \frac{1}{100} = \frac{2}{100} \implies C_1 = 50 pF$.
$2$. यह $ C_1 = 50 pF $ ऊपर वाले $ 50 pF $ संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है। मान लीजिए यह समांतर संयोजन $ C_2 $ है। $ C_2 = 50 pF + 50 pF = 100 pF$.
$3$. अंत में,यह $ C_2 = 100 pF $ टर्मिनल $ B $ से जुड़े नीचे वाले $ 50 pF $ संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है। कुल समतुल्य धारिता $ C_{AB} $ इस प्रकार होगी: $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{50} = \frac{1+2}{100} = \frac{3}{100}$.
$4$. अतः,$ C_{AB} = \frac{100}{3} pF $.

(B) विद्युत चुम्बकीय तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को सूत्र $\lambda = \frac{c}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \text{ m/s})$ है और $f$ आवृत्ति $(5 \times 10^6 \text{ Hz})$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^6} = 0.6 \times 10^2 = 60 \text{ m}$.
एंटीना के प्रभावी ढंग से कार्य करने के लिए,इसकी लंबाई कम से कम $\frac{\lambda}{4}$ होनी चाहिए।
अतः,एंटीना का आवश्यक आकार $\frac{60}{4} = 15 \text{ m}$ है।

(D) आयनोस्फीयर द्वारा रेडियो तरंगों का परावर्तन इसलिए होता है क्योंकि आयनोस्फीयर का अपवर्तनांक ऊंचाई के साथ घटता जाता है। जैसे-जैसे रेडियो तरंगें आयनोस्फीयर में प्रवेश करती हैं,उनका निरंतर अपवर्तन होता रहता है जब तक कि आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक न हो जाए,जिससे पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है। यह प्रक्रिया मृगतृष्णा (mirage) के निर्माण के दौरान वायुमंडल में होने वाले प्रकाश के पूर्ण आंतरिक परावर्तन के समान है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) $2 \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा ज्ञात करने के लिए, हम पहले परिपथ को सरल करते हैं।
$1$. परिपथ के सबसे दाहिने भाग में दो $1 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं, जो एक अन्य $1 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में हैं। इस भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_1 = \frac{(1+1) \times 1}{(1+1) + 1} = \frac{2}{3} \Omega$ है।
$2$. यह $R_1$, $1 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है, जिससे $R_2 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \Omega$ प्राप्त होता है।
$3$. यह $R_2$, $3 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है। तुल्य प्रतिरोध $R_3 = \frac{3 \times (5/3)}{3 + (5/3)} = \frac{5}{14/3} = \frac{15}{14} \Omega$ है।
$4$. अंत में, यह $R_3$, $1 \Omega$ और $2 \Omega$ के प्रतिरोधकों के साथ श्रेणीक्रम में है। कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 1 + 2 + \frac{15}{14} = 3 + \frac{15}{14} = \frac{42+15}{14} = \frac{57}{14} \Omega$ है।
$5$. बैटरी से बहने वाली कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{1.2}{57/14} = \frac{1.2 \times 14}{57} \approx 0.2947 \text{ A}$ है।
$6$. चूंकि $2 \Omega$ का प्रतिरोधक बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में है, इसलिए कुल धारा इससे होकर बहती है। निकटतम विकल्प के अनुसार, धारा लगभग $0.3 \text{ A}$ है।

(D) सेल का टर्मिनल विभवांतर $V$ समीकरण $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ $EMF$ है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $V$ y-अक्ष पर है और $I$ x-अक्ष पर है।
$1$. जब धारा $I = 0$ होती है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = E$ होता है। ग्राफ से,$I = 0$ पर $V = 3 \text{ V}$ है। इसलिए,$E = 3 \text{ V}$ है।
$2$. जब टर्मिनल विभवांतर $V = 0$ होता है,तो धारा $I = 6 \text{ A}$ होती है। इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0 = E - Ir \implies 0 = 3 - (6)r$.
$3$. $r$ के लिए हल करने पर: $6r = 3 \implies r = \frac{3}{6} = 0.5 \ \Omega$.
अतः,$EMF$ $3 \text{ V}$ है और आंतरिक प्रतिरोध $0.5 \ \Omega$ है।

(B) चालक में विद्युत धारा $I$ का सूत्र $I = neAv_d$ है, जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉन संख्या घनत्व है, $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और $v_d$ अपवाह वेग है।
भले ही अपवाह वेग $v_d$ बहुत छोटा हो (आमतौर पर $10^{-4} \, m/s$) और आवेश $e$ छोटा हो $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$, एक चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व $n$ अत्यंत बड़ा होता है, जो आमतौर पर $10^{28} \, m^{-3}$ की कोटि का होता है।
इसलिए, $neAv_d$ का गुणनफल एक काफी बड़ी विद्युत धारा उत्पन्न करता है।

(D) गैल्वेनोमीटर की धारा संवेदनशीलता $(I_s)$ का सूत्र $I_s = \frac{\theta}{I} = \frac{NAB}{k}$ है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A$ क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $k$ प्रति इकाई मरोड़ के लिए प्रत्यानयन बल आघूर्ण नियतांक है।
यदि $N$ को तीन गुना कर दिया जाए $(N' = 3N)$,तो $I_s' = \frac{(3N)AB}{k} = 3 I_s$ होगा। इस प्रकार,धारा संवेदनशीलता $3$ गुना बढ़ जाती है।
वोल्टेज संवेदनशीलता $(V_s)$ का सूत्र $V_s = \frac{\theta}{V} = \frac{\theta}{IR} = \frac{I_s}{R}$ है।
चूंकि प्रतिरोध $R$ तार की लंबाई के समानुपाती होता है,और तार की लंबाई फेरों की संख्या के समानुपाती होती है $(R' = 3R)$,इसलिए नई वोल्टेज संवेदनशीलता $V_s' = \frac{3I_s}{3R} = \frac{I_s}{R} = V_s$ होगी।
अतः,वोल्टेज संवेदनशीलता स्थिर रहती है और धारा संवेदनशीलता $3$ गुना बढ़ जाती है।

(C) दिए गए $ LCR $ श्रेणी परिपथ में, प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $ V_L = 50 \, V $ है और संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $ V_C = 50 \, V $ है।
चूंकि $ V_L = V_C $ है, इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
एक अनुनादी $ LCR $ परिपथ में, कुल प्रतिघात शून्य $( X_L - X_C = 0 )$ होता है, जिसका अर्थ है कि परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ की तरह व्यवहार करता है।
इसलिए, स्रोत का पूरा वोल्टेज प्रतिरोध $ R $ के सिरों पर गिरता है।
अतः, वोल्टमीटर का पाठ्यांक $ V_R = V_{source} = 220 \, V $ होगा।
परिपथ में धारा $ I = \frac{V_R}{R} = \frac{220 \, V}{100 \, \Omega} = 2.2 \, A $ है।
अतः, एमीटर का पाठ्यांक $ 2.2 \, A $ और वोल्टमीटर का पाठ्यांक $ 220 \, V $ है।

(D) सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ ज्ञात करने का सूत्र है: $r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$।
यहाँ,$l_1 = 240 \ cm$ वह संतुलन लंबाई है जब सेल खुले परिपथ में है।
$l_2 = 120 \ cm$ वह संतुलन लंबाई है जब सेल को $R = 2 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$r = 2 \left( \frac{240 - 120}{120} \right) \ \Omega$.
$r = 2 \left( \frac{120}{120} \right) \ \Omega$.
$r = 2 \times 1 \ \Omega = 2 \ \Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \ \Omega$ है।

(C) किरचॉफ का जंक्शन नियम,जिसे किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ भी कहा जाता है,यह बताता है कि किसी परिपथ में किसी भी जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
इसका तात्पर्य यह है कि प्रति इकाई समय में जंक्शन में प्रवेश करने वाला कुल आवेश,जंक्शन से बाहर निकलने वाले कुल आवेश के बराबर होना चाहिए।
चूंकि जंक्शन पर आवेश न तो उत्पन्न होता है और न ही नष्ट होता है,इसलिए यह नियम आवेश संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि $A = \frac{V}{l} = \frac{m}{l \cdot d}$ (जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $d$ घनत्व है),हम लिख सकते हैं:
$R = \rho \frac{l^2 \cdot d}{m}$
तांबे के तारों के लिए $\rho$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{l^2}{m}$।
दिए गए अनुपात: $m_1:m_2:m_3 = 1:3:5$ और $l_1:l_2:l_3 = 5:3:1$।
प्रतिरोधों का अनुपात ज्ञात करने पर:
$R_1:R_2:R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$
$R_1:R_2:R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5}$
$R_1:R_2:R_3 = 25 : 3 : \frac{1}{5}$
भिन्न को हटाने के लिए $5$ से गुणा करने पर:
$R_1:R_2:R_3 = 125 : 15 : 1$.

(D) प्रकाश-विद्युत धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है,बशर्ते आपतित आवृत्ति देहली आवृत्ति (threshold frequency) से अधिक हो।
संतृप्ति धारा केवल प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या पर निर्भर करती है,जो आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है,इसलिए तीव्रता को दोगुना करने पर संतृप्ति धारा दोगुनी हो जाएगी।
आपतित प्रकाश की आवृत्ति उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा को प्रभावित करती है,न कि प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या (संतृप्ति धारा) को,जब तक कि यह देहली आवृत्ति से ऊपर बनी रहती है।
अतः,जब तीव्रता दोगुनी की जाती है,तो प्रकाश-विद्युत संतृप्ति धारा दोगुनी हो जाती है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल (emf) $e = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक चालक एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत वेग $v$ से गति करता है,तो प्रेरित emf $e = B v L_{eff}$ होता है,जहाँ $L_{eff}$ वेग सदिश के लंबवत चालक की प्रभावी लंबाई है।
प्रभावी लंबाई $L_{eff}$ पटरियों के संपर्क में रहने वाले तार के दो सिरों के बीच की सीधी रेखा की दूरी है।
जब सीधे तार $AB$ को समान अंतिम बिंदुओं $A$ और $B$ वाले अर्धवृत्ताकार तार से बदल दिया जाता है,तो प्रभावी लंबाई $L_{eff}$ ($A$ और $B$ के बीच की दूरी) समान रहती है।
चूंकि प्रेरित emf $e = B v L_{eff}$ केवल पटरियों पर संपर्क बिंदुओं के बीच की दूरी पर निर्भर करता है,इसलिए emf अपरिवर्तित रहता है।
यदि परिपथ का प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है,तो प्रेरित धारा $i = e/R$ भी समान रहेगी।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_{0} \sin(kx - \omega t) \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
तरंग $+x$-दिशा में यात्रा कर रही है,इसलिए संचरण की दिशा $\hat{i}$ है।
विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण के बीच का संबंध $E_{0} = C B_{0}$ है,जिसका अर्थ है $B_{0} = \frac{E_{0}}{C}$।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ की दिशा $\vec{c} \times \vec{E}$ की दिशा द्वारा दी जाती है,जहाँ $\vec{c}$ तरंग संचरण की दिशा है।
यहाँ,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ होता है।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}_{z} = \frac{E_{0}}{C} \sin(kx - \omega t) \hat{k}$ होगा।

(A) माना कुल आवेश $2Q$ है। दो भाग $q_{1}$ और $q_{2}$ हैं,इस प्रकार कि $q_{1} + q_{2} = 2Q$। अतः,$q_{2} = 2Q - q_{1}$।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों के बीच बल $F = k \frac{q_{1}q_{2}}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$q_{2}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$F = \frac{k}{r^2} (q_{1})(2Q - q_{1}) = \frac{k}{r^2} (2Qq_{1} - q_{1}^2)$।
बल $F$ के अधिकतम होने के लिए,$q_{1}$ के सापेक्ष $F$ का अवकलन शून्य होना चाहिए: $\frac{dF}{dq_{1}} = 0$।
$\frac{d}{dq_{1}} [\frac{k}{r^2} (2Qq_{1} - q_{1}^2)] = \frac{k}{r^2} (2Q - 2q_{1}) = 0$।
इसका अर्थ है $2Q - 2q_{1} = 0$,इसलिए $q_{1} = Q$।
अतः,अनुपात $\frac{Q}{q_{1}} = \frac{Q}{Q} = 1$ है।

(B) असमान विद्युत क्षेत्र में,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता अंतरिक्ष के विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न होती है।
चूंकि द्विध्रुव के दो आवेश ($+q$ और $-q$) एक-दूसरे से थोड़ी दूरी पर स्थित होते हैं,इसलिए वे अपने संबंधित स्थानों पर अलग-अलग विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का अनुभव करते हैं।
चूंकि दोनों आवेशों पर कार्य करने वाले बल $(F = qE)$ परिमाण या दिशा में असमान होते हैं,इसलिए द्विध्रुव पर कुल बल शून्य नहीं होता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं,इसलिए वे द्विध्रुव के केंद्र के परितः एक कुल टॉर्क उत्पन्न करते हैं।
अतः,असमान विद्युत क्षेत्र में रखा गया एक विद्युत द्विध्रुव सामान्यतः बल और टॉर्क दोनों का अनुभव करता है।

(B) दो समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{|\Delta V|}{d}$ है,जहाँ $\Delta V$ विभवांतर है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है:
विभवांतर $\Delta V = V_2 - V_1 = 30 \,V - (-10 \,V) = 40 \,V$.
दूरी $d = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$.
मान रखने पर:
$E = \frac{40 \,V}{2 \times 10^{-2} \,m} = 20 \times 10^2 \,V/m = 2000 \,V/m$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) विद्युत क्षेत्र $E$,विभव $V$ से $E = -\frac{dV}{dx}$ संबंध द्वारा संबंधित है। विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|E| = |\frac{dV}{dx}|$ है,जो $V-x$ ग्राफ की ढाल को दर्शाता है।
क्षेत्र $A$ ($x=0$ से $1$ m) में,$V$ स्थिर ($2$ $V$) है,इसलिए ढाल $\frac{dV}{dx} = 0$ है। अतः,$E_{A} = 0$ है।
क्षेत्र $B$ ($x=1$ से $2$ m) में,ढाल $\frac{4-2}{2-1} = 2$ $V$/m है। अतः,$|E_{B}| = 2$ $V$/m है।
क्षेत्र $C$ ($x=2$ से $4$ m) में,$V$ स्थिर ($4$ $V$) है,इसलिए ढाल $\frac{dV}{dx} = 0$ है। अतः,$E_{C} = 0$ है।
क्षेत्र $D$ ($x=4$ से $5$ m) में,ढाल $\frac{0-4}{5-4} = -4$ $V$/m है। अतः,$|E_{D}| = |-4| = 4$ $V$/m है।
परिमाणों की तुलना करने पर: $E_{A} = E_{C} = 0$ और $E_{B} = 2$ $V$/m,$E_{D} = 4$ $V$/m प्राप्त होता है। इसलिए,$E_{A} = E_{C}$ और $E_{B} < E_{D}$ है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: यदि आवेश समान प्रकार के हैं (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक),तो $q_1 q_2 > 0$ होता है। जैसे-जैसे दूरी $r$ बढ़ती है,$U$ का मान घटता है।
स्थिति $2$: यदि आवेश विपरीत प्रकार के हैं (एक धनात्मक और एक ऋणात्मक),तो $q_1 q_2 < 0$ होता है। जैसे-जैसे दूरी $r$ बढ़ती है,$|U|$ का परिमाण घटता है,लेकिन चूंकि $U$ ऋणात्मक है,इसलिए $U$ का मान बढ़ता है (यह शून्य के करीब पहुंचता है)।
अतः,आवेशों की प्रकृति के आधार पर स्थितिज ऊर्जा बढ़ या घट सकती है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $v$ इसकी चाल है।
जब एक इलेक्ट्रॉन एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में क्षेत्र के लंबवत वेग $\vec{V}$ के साथ गति करता है,तो यह चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$ का अनुभव करता है।
यह बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन एक वृत्ताकार पथ में गति करता है।
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए यह इलेक्ट्रॉन पर कोई कार्य नहीं करता है $(W = \vec{F} \cdot d\vec{s} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा और परिणामस्वरूप इसकी चाल $v$ इसकी गति के दौरान स्थिर रहती है।
चूंकि $h$,$m$,और $v$ सभी स्थिर हैं,इसलिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ स्थिर रहती है।

(B) टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
दिया गया है: $n = 500 \text{ m}^{-1}$, $I = 2 \text{ A}$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
सूत्र में $B = \mu_0 n I$ रखने पर, $u_B = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0} = \frac{\mu_0 n^2 I^2}{2}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $u_B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (500)^2 \times (2)^2}{2}$.
$u_B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 250000 \times 4}{2} = 2\pi \times 10^{-7} \times 10^6 = 2\pi \times 10^{-1} = 0.2 \times 3.14 = 0.628 \text{ J/m}^3$.

(D) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\theta$ (रेडियन में) होने पर,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दी गई आकृति में,चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$ है।
कोण को रेडियन में बदलने पर: $\theta = 300^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{5\pi}{3} \text{ रेडियन}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \times \left( \frac{5\pi}{3} \right)$
$B = \frac{5 \mu_0 I}{12 R}$

(C) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का मान $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
जब लूप को उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः घुमाया जाता है,तो चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M}$ (जो हमेशा लूप के तल के लंबवत होता है) की दिशा चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के सापेक्ष अपरिवर्तित रहती है।
चूंकि $\vec{M}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$ नहीं बदलता है,इसलिए लूप की स्थितिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,किया गया कार्य $W = \Delta U = 0$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय सुई के दोलन का आवर्तकाल सूत्र: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $T = 2 \text{ s}$,$I = 8 \times 10^{-6} \text{ kg m}^2$,$M = 5 \times 10^{-2} \text{ A m}^2$.
सूत्र में मान रखने पर: $2 = 2\pi \sqrt{\frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B}}$.
$2$ से विभाजित करने पर: $1 = \pi \sqrt{\frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 = \pi^2 \left( \frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B} \right)$.
$B$ के लिए हल करने पर: $B = \frac{\pi^2 \times 8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2}}$.
$\pi^2 \approx 9.86$ का उपयोग करने पर: $B = \frac{9.86 \times 8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2}} \approx 1.577 \times 10^{-4} \text{ T}$.
अतः,$B \approx 1.6 \times 10^{-4} \text{ T}$ प्राप्त होता है।

(B) साइक्लोट्रॉन में,आवेशित कण दो डी (dee) के बीच के अंतराल में विद्युत क्षेत्र के कारण त्वरित होता है।
डी (dee) के भीतर,कण लंबवत चुंबकीय क्षेत्र के कारण वृत्ताकार पथ में गति करता है,जहाँ उसकी चाल स्थिर रहती है।
चूंकि कण वृत्ताकार पथ में गति करते समय लगातार अपनी गति की दिशा बदल रहा है,इसलिए यह हर समय अभिकेंद्र त्वरण का अनुभव करता है।
अतः,कण अपनी पूरी गति के दौरान त्वरित होता रहता है।

(D) एक स्थायी चुंबक फेरोमैग्नेटिक पदार्थ से बना होता है। एक स्थायी चुंबक में,निर्माण प्रक्रिया (जैसे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में ठंडा करना) के कारण चुंबकीय डोमेन एक विशिष्ट दिशा में संरेखित होते हैं। इसलिए,कमरे के तापमान पर,नेट चुंबकीय आघूर्ण उत्पन्न करने के लिए सभी डोमेन पूरी तरह से संरेखित होते हैं।

(A) निग्राहिता (coercivity) $H$ उस चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता को दर्शाती है जो किसी फेरोमैग्नेटिक पदार्थ को विचुंबकित करने के लिए आवश्यक होती है।
एक सोलेनोइड के लिए,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ का सूत्र $H = nI$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
दिया गया है:
निग्राहिता $H = 3 \times 10^{3} \text{ A m}^{-1}$
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = 1000 \text{ turns m}^{-1} = 10^{3} \text{ m}^{-1}$
सूत्र $I = \frac{H}{n}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{3 \times 10^{3}}{10^{3}} = 3 \text{ A}$
अतः,आवश्यक न्यूनतम धारा $3 \text{ A}$ है।

(D) नाभिकीय बल एक लघु-परास (short-range) बल है जो प्रभावी रूप से केवल लगभग $1 \ fm$ से $3 \ fm$ $(1 \ fm = 10^{-15} \ m)$ की सीमा के भीतर कार्य करता है।
यहाँ दो प्रोटॉन के बीच की दूरी $10 \ nm = 10 \times 10^{-9} \ m = 10^{-8} \ m$ दी गई है।
चूंकि $10^{-8} \ m$,नाभिकीय बल की सीमा $(10^{-15} \ m)$ से बहुत अधिक है,इसलिए इस दूरी पर नाभिकीय बल $F_n$ नगण्य है।
हालाँकि,विद्युत-चुंबकीय बल $F_e$ (कूलम्ब बल) व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करता है और लंबी दूरी तक कार्य करता है।
इसलिए,$10 \ nm$ की दूरी पर,विद्युत-चुंबकीय बल नाभिकीय बल की तुलना में काफी अधिक होता है,अर्थात $F_e \gg F_n$।

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = |dN/dt|$ द्वारा दी जाती है।
ग्राफ से,$A$ के लिए क्षय वक्र सबसे तेजी से गिरता है,जिसका अर्थ है कि इसका क्षय नियतांक $\lambda$ सबसे अधिक है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और माध्य आयु $\tau$ का संबंध $\tau = 1/\lambda$ है।
इसलिए,उच्च क्षय नियतांक $\lambda$ कम माध्य आयु $\tau$ के अनुरूप होता है।
चूंकि वक्र $A$ का ढलान सबसे अधिक (उच्चतम सक्रियता) है,इसलिए इसका $\lambda$ सबसे बड़ा है और इस प्रकार इसकी माध्य आयु सबसे कम है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) माना उत्सर्जित $ \alpha $-कणों की संख्या $ x $ है और $ \beta $-कणों की संख्या $ y $ है।
क्षय अभिक्रिया इस प्रकार है: $ { }_{90} Th^{232} \rightarrow { }_{82} Pb^{208} + x({ }_{2} He^{4}) + y({ }_{-1} e^{0}) $.
द्रव्यमान संख्या को बराबर करने पर: $ 232 = 208 + 4x \implies 4x = 24 \implies x = 6 $.
परमाणु संख्या को बराबर करने पर: $ 90 = 82 + 2x - y $.
$ x = 6 $ रखने पर: $ 90 = 82 + 2(6) - y \implies 90 = 82 + 12 - y \implies 90 = 94 - y \implies y = 4 $.
अतः,$ 6 $ $ \alpha $-कण और $ 4 $ $ \beta $-कण उत्सर्जित होते हैं।

(C) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -25 \ cm$. प्रारंभिक वस्तु दूरी $u_i = -50 \ cm$. वस्तु की चाल $v_o = 1 \ ms^{-1} = 100 \ cm s^{-1}$.
$t=0$ पर,$u_i = -50 \ cm$. दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v_i} + \frac{1}{-50} = \frac{1}{-25} \implies \frac{1}{v_i} = -\frac{1}{25} + \frac{1}{50} = -\frac{1}{50} \implies v_i = -50 \ cm$.
$t=0.25 \ s$ पर,वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $d = v_o \times t = 100 \ cm s^{-1} \times 0.25 \ s = 25 \ cm$.
नई वस्तु दूरी $u_f = -50 \ cm + 25 \ cm = -25 \ cm$.
चूंकि वस्तु फोकस पर है,प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,अर्थात $v_f = \infty$.
प्रतिबिंब का औसत वेग $\langle v \rangle = \frac{v_f - v_i}{\Delta t} = \frac{\infty - (-50)}{0.25} = \infty$.

(A) प्रिज्म के लिए,विचलन $D$ का सूत्र $D = (i_1 + i_2) - A$ है,जहाँ $i_1$ और $i_2$ आपतन कोण और निर्गत कोण हैं,और $A$ प्रिज्म कोण है।
दिया गया है कि $D = 44^{\circ}$ जब $i_1 = 42^{\circ}$ और $i_2 = 62^{\circ}$ है,इसलिए:
$44^{\circ} = (42^{\circ} + 62^{\circ}) - A$
$44^{\circ} = 104^{\circ} - A$
$A = 104^{\circ} - 44^{\circ} = 60^{\circ}$.
न्यूनतम विचलन $(D_m = 38^{\circ})$ की स्थिति में,आपतन कोण $i$ का सूत्र $i = \frac{A + D_m}{2}$ है।
$i = \frac{60^{\circ} + 38^{\circ}}{2} = \frac{98^{\circ}}{2} = 49^{\circ}$.

(A) ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर का फ्रीक्वेंसी रिस्पॉन्स कर्व यह दर्शाता है कि वोल्टेज गेन सभी आवृत्तियों पर समान नहीं होता है।
निम्न आवृत्तियों पर,कपलिंग और बाईपास कैपेसिटर का रिएक्टेंस उच्च होता है,जो गेन को कम कर देता है।
उच्च आवृत्तियों पर,ट्रांजिस्टर के आंतरिक जंक्शन कैपेसिटेंस और स्ट्रे कैपेसिटेंस महत्वपूर्ण हो जाते हैं,जो सिग्नल को शंट करके कम प्रतिबाधा (low impedance) प्रदान करते हैं,जिससे गेन कम हो जाता है।
मध्य आवृत्ति सीमा में,ये प्रभाव नगण्य होते हैं और एम्पलीफायर एक स्थिर और अधिकतम वोल्टेज गेन प्रदान करता है।
इसलिए,वोल्टेज गेन निम्न और उच्च दोनों आवृत्तियों पर कम होता है और मध्य आवृत्ति सीमा में स्थिर रहता है।

(A) यह परिपथ दो क्रॉस-कपल्ड $NOR$ गेट से बना है जो एक $SR$ लैच बनाते हैं।
$NOR$ गेट के लिए,आउटपुट $Y = \overline{A+B}$ होता है।
मान लीजिए कि ऊपरी गेट $1$ है और निचला गेट $2$ है।
गेट $1$ के इनपुट $1$ और $Q$ हैं। अतः,$P = \overline{1+Q} = 0$।
गेट $2$ के इनपुट $0$ और $P$ हैं। अतः,$Q = \overline{0+P}$ है।
$Q$ के समीकरण में $P=0$ रखने पर,हमें $Q = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$P=0$ और $Q=1$ है।

(C) अर्धचालक की चालकता $\sigma = e(n_e \mu_e + n_h \mu_h)$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,आवेश वाहकों का संख्या घनत्व ($n_e$ और $n_h$) संबंध $n = C T^{3/2} \exp(-E_g / 2kT)$ के अनुसार घातीय रूप से बढ़ता है।
यद्यपि तापमान में वृद्धि के साथ प्रकीर्णन (scattering) बढ़ने के कारण विश्रांति काल $(\tau)$ कम हो जाता है,लेकिन आवेश वाहकों के संख्या घनत्व में होने वाली घातीय वृद्धि,विश्रांति काल में कमी के कारण गतिशीलता (mobility) में होने वाली कमी से कहीं अधिक होती है।
इसलिए,शुद्ध प्रभाव अर्धचालक की चालकता में वृद्धि है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $n = \tan \theta_{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta_{p}$ ब्रूस्टर कोण है।
स्नेल के नियम से,अपवर्तनांक $n = \frac{\sin i}{\sin r}$ होता है।
दिए गए ग्राफ से,ढाल (slope) $\frac{\sin r}{\sin i} = \tan 30^{\circ}$ है।
इसलिए,$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{1}{\tan 30^{\circ}} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$।
अतः,$n = \sqrt{3}$।
$n$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\tan \theta_{p} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\theta_{p} = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$।

(D) किसी भी बिंदु पर तीव्रता $ I $ को $ I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) $ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $ \phi $ कलांतर है।
दिया गया है कि पथ अंतर $ \Delta x = \lambda $ पर तीव्रता $ K $ है। चूँकि $ \Delta x = \lambda $ का अर्थ है कलांतर $ \phi = 2\pi $, इसलिए $ K = I_{max} \cos^2 \left( \frac{2\pi}{2} \right) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} $.
अब, पथ अंतर $ \Delta x = \frac{\lambda}{3} $ के लिए, कलांतर $ \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3} $ होगा।
इस बिंदु पर तीव्रता $ I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) = K \cos^2 \left( \frac{2\pi/3}{2} \right) $ होगी।
$ I = K \cos^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) = K \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{K}{4} $.

(A) तरंगदैर्ध्य में डॉप्लर विस्थापन का सूत्र $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ है, जहाँ $v$ स्रोत का वेग है, $c$ प्रकाश की गति है, $\Delta \lambda$ तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन है और $\lambda$ मूल तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $\Delta \lambda = 0.1 \text{ Å}$, $\lambda = 6000 \text{ Å}$, और $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $v = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \times c$.
मान रखने पर: $v = \frac{0.1}{6000} \times 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$v = \frac{1}{60000} \times 3 \times 10^8 \text{ m/s} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^4} \text{ m/s} = 0.5 \times 10^4 \text{ m/s} = 5000 \text{ m/s}$.
$\text{km/s}$ में बदलने पर: $v = 5 \text{ km/s}$.