KCET 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ પદાવલિ: $i^{n} + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3}$
$i^{n}$ ને સામાન્ય લેતા: $i^{n}(1 + i + i^{2} + i^{3})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^{2} = -1$ અને $i^{3} = -i$.
આ કિંમતો મૂકતા: $i^{n}(1 + i - 1 - i)$
કૌંસમાં રહેલા પદોનું સાદું રૂપ આપતા: $i^{n}(0) = 0$
તેથી,સાદું રૂપ $0$ છે.

(A) આપેલ પદ $(1-\cos \theta+i \sin \theta)^{-1} = \frac{1}{1-\cos \theta+i \sin \theta}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1-\cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ અને $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2 \sin^2(\theta/2) + i(2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2))} = \frac{1}{2 \sin(\theta/2) [\sin(\theta/2) + i \cos(\theta/2)]}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $[\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)]$ વડે ગુણતા:
$= \frac{\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) [\sin^2(\theta/2) + \cos^2(\theta/2)]} = \frac{\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)}$.
$= \frac{\sin(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)} - i \frac{\cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)} = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} \cot(\theta/2)$.
તેથી,વાસ્તવિક ભાગ $1/2$ છે.

(C) આપેલ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી: $1+\sin \theta+\sin ^{2} \theta+\ldots \infty = 2 \sqrt{3}+4$.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ છે,જ્યાં $a = 1$ અને $r = \sin \theta$.
તેથી,$\frac{1}{1-\sin \theta} = 2 \sqrt{3}+4$.
વ્યસ્ત લેતા: $1-\sin \theta = \frac{1}{2 \sqrt{3}+4}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $1-\sin \theta = \frac{2 \sqrt{3}-4}{(2 \sqrt{3}+4)(2 \sqrt{3}-4)} = \frac{2 \sqrt{3}-4}{12-16} = \frac{2 \sqrt{3}-4}{-4}$.
સાદુરૂપ આપતા: $1-\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(B) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $t_n = \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + n^2}{1 + 2 + \ldots + n}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અને તેમના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$t_n = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$.
હવે,પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{3}$ છે.
$S_n = \frac{1}{3} [2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1]$.
$S_n = \frac{1}{3} [2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n] = \frac{1}{3} [n(n+1) + n] = \frac{n(n+2)}{3}$.

(B) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n=14$,$a=x$,$b=\frac{1}{\sqrt{x}}$,અને આપણે $11$ મું પદ શોધવાનું છે,તેથી $r+1=11$,જેનો અર્થ છે $r=10$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^{14-10} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^4 \left(\frac{1}{x^{1/2}}\right)^{10}$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^4 \left(\frac{1}{x^5}\right)$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} \cdot \frac{1}{x}$
${}^{14}C_{10} = {}^{14}C_{4} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$ ની ગણતરી કરતા.
આમ,$T_{11} = \frac{1001}{x}$.

(C) આપણે સૂત્ર $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$ જાણીએ છીએ.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ લેતા,આપણને $\tan \frac{\pi}{8} = \frac{\sin(\pi/4)}{1 + \cos(\pi/4)}$ મળે છે.
$\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ કિંમતો મૂકતા:
$\tan \frac{\pi}{8} = \frac{1/\sqrt{2}}{1 + 1/\sqrt{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \ldots + \sin 359^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(360^{\circ} - \theta) = -\sin \theta$.
તેથી,$\sin 359^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 1^{\circ}) = -\sin 1^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\sin 358^{\circ} = -\sin 2^{\circ}$ વગેરે.
આપણે પદોને આ રીતે જોડી શકીએ: $(\sin 1^{\circ} + \sin 359^{\circ}) + (\sin 2^{\circ} + \sin 358^{\circ}) + \ldots + (\sin 179^{\circ} + \sin 181^{\circ}) + \sin 180^{\circ}$.
કારણ કે $\sin(180^{\circ} + \theta) = -\sin \theta$,તેથી $\sin 181^{\circ} = -\sin 1^{\circ}$,$\sin 182^{\circ} = -\sin 2^{\circ}$ વગેરે.
દરેક જોડીનો સરવાળો $0$ થાય છે અને $\sin 180^{\circ} = 0$ છે.
તેથી,કુલ સરવાળો $0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે,$\cot \theta + \tan \theta = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$
$\Rightarrow 2 \sin \theta \cos \theta = 1$
$\Rightarrow \sin 2 \theta = 1 = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે,જો $\sin x = \sin \alpha$ હોય,તો $x = n \pi + (-1)^n \alpha$
તેથી,$2 \theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{4}$

(C) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$2x + 3y - 3 = 0$ --- $(1)$
$x + ky + 7 = 0$ --- $(2)$
રેખા $(1)$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$ છે.
રેખા $(2)$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{k}$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(-\frac{2}{3}) \times (-\frac{1}{k}) = -1$
$\frac{2}{3k} = -1$
$2 = -3k$
$k = -\frac{2}{3}$

(B) આપેલ છે કે,
$x = 2 + 3 \cos \theta \implies x - 2 = 3 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{x - 2}{3}$
$y = 1 - 3 \sin \theta \implies y - 1 = -3 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{y - 1}{-3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{y - 1}{-3}\right)^2 + \left(\frac{x - 2}{3}\right)^2 = 1$
$\frac{(y - 1)^2}{9} + \frac{(x - 2)^2}{9} = 1$
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$
વર્તુળના પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{9} = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $4y^{2} + 3x + 3y + 1 = 0$.
$y$ વાળા પદોને અલગ કરતા: $4y^{2} + 3y = -3x - 1$.
$4$ વડે ભાગતા: $y^{2} + \frac{3}{4}y = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$.
ડાબી બાજુ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y + \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{64} = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4} + \frac{9}{64}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}x - \frac{7}{64}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}(x + \frac{7}{48})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^{2} = -4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = \frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $4a = \frac{3}{4}$ છે.

(C) આપણને લક્ષ આપેલું છે: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x e^{x}-\sin x}{x}$.
અપૂર્ણાંકને અલગ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{x e^{x}}{x} - \frac{\sin x}{x} \right)$
$= \lim _{x \rightarrow 0} e^{x} - \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને અને $e^{0} = 1$ ની કિંમત મૂકતા:
$= 1 - 1 = 0$.

(D) ધારો કે $p: x$ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $q: x$ એકી સંખ્યા છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
વિધાનનું સામ્યવિધાન (converse) $q \rightarrow p$ છે.
સામ્યવિધાનનું પ્રતિવિધાન (contrapositive) $\sim p \rightarrow \sim q$ છે.
તેથી,પ્રતિવિધાનનું સામ્યવિધાન: "જો $x$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી,તો $x$ એકી સંખ્યા નથી."

(A) વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,જ્યાં $\sigma$ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $\bar{x}$ એ મધ્યક છે.
પ્રથમ વિતરણ માટે: $60 = \frac{21}{\bar{x}_1} \times 100 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{2100}{60} = 35$.
બીજા વિતરણ માટે: $70 = \frac{16}{\bar{x}_2} \times 100 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{1600}{70} \approx 22.86$.
આમ,મધ્યક $35$ અને $22.86$ છે.

(C) જ્યારે બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
કુલ સ્કોર $5$ મેળવવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામોની જોડીઓ $(1, 4), (4, 1), (2, 3), \text{ અને } (3, 2)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$P(E) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(B) પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે. પેકમાં એક્કાની સંખ્યા $4$ છે.
આપણે $52$ માંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાના છે,જે ${}^{52}C_{2}$ રીતે કરી શકાય.
$4$ માંથી $2$ એક્કા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{2}$ છે.
સંભાવના $P$ નીચે મુજબ છે:
$P = \frac{{}^{4}C_{2}}{{}^{52}C_{2}} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{\frac{52 \times 51}{2 \times 1}} = \frac{4 \times 3}{52 \times 51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$.

(A) ધારો કે $f(x) = (\frac{1}{x})^x = x^{-x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ મળે છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = \frac{d}{dx}(-x \ln(x))$
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -[\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}] = -(\ln(x) + 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\ln(x) + 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\ln(x) = -1$,તેથી $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
હવે,આપણે $x = \frac{1}{e}$ ની આસપાસ દ્વિતીય વિકલન અથવા $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ છીએ.
$x < \frac{1}{e}$ માટે,$f'(x) > 0$ અને $x > \frac{1}{e}$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી $x = \frac{1}{e}$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ કિંમત $f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{1/e} = e^{1/e}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$a * b = \frac{a+b}{4}$.
ક્રમનો ગુણધર્મ ચકાસતા,$b * a = \frac{b+a}{4} = \frac{a+b}{4} = a * b$. તેથી,આ ક્રિયા ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
જૂથનો ગુણધર્મ ચકાસતા,$a * (b * c)$ અને $(a * b) * c$ ની ગણતરી કરીએ.
$a * (b * c) = a * \left(\frac{b+c}{4}\right) = \frac{a + \frac{b+c}{4}}{4} = \frac{4a + b + c}{16}$.
$(a * b) * c = \left(\frac{a+b}{4}\right) * c = \frac{\frac{a+b}{4} + c}{4} = \frac{a + b + 4c}{16}$.
અહીં $\frac{4a + b + c}{16} \neq \frac{a + b + 4c}{16}$ હોવાથી,આ ક્રિયા જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.
તેથી,આ ક્રિયા ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.

(D) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(x\pi) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \frac{1}{\pi} \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\pi} \cos^{-1}(x\pi) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ છે.
$A$ માંથી $B$ બાદ કરતા:
$A-B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi}(\sin^{-1}(x\pi) + \cos^{-1}(x\pi)) & \frac{1}{\pi}(\tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi})) \\ \frac{1}{\pi}(\sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi})) & \frac{1}{\pi}(\cot^{-1}(\pi x) + \tan^{-1}(\pi x)) \end{bmatrix}$.
નિત્યસમ $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ અને $\tan^{-1}(\theta) + \cot^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A-B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} I$.

(A) આપેલ છે કે $ A = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} $.
$ A $ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $ A^{T} = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ -\sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} $ છે.
$ A $ અને $ A^{T} $ નો સરવાળો કરતા:
$ A+A^{T} = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta + \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta + \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta - \sin 2 \theta & \cos 2 \theta + \cos 2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cos 2 \theta & 0 \\ 0 & 2 \cos 2 \theta \end{bmatrix} $.
આને $ (2 \cos 2 \theta) I $ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $ I $ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $ A+A^{T} = I $,તેથી $ (2 \cos 2 \theta) I = I $.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$ 2 \cos 2 \theta = 1 $ મળે,જેનો અર્થ છે કે $ \cos 2 \theta = \frac{1}{2} $.
કારણ કે $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $,તેથી $ 2 \theta = \frac{\pi}{3} $,જે આપણને $ \theta = \frac{\pi}{6} $ આપે છે.

(D) ધારો કે શ્રેણિક $B$ ની કક્ષા $x \times y$ છે.
તેથી $B^{\prime}$ ની કક્ષા $y \times x$ થશે.
ગુણાકાર $AB^{\prime}$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$A$ ના સ્તંભોની સંખ્યા એ $B^{\prime}$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
$A$ એ $m \times n$ હોવાથી,આપણને $n = y$ મળે છે.
ગુણાકાર $B^{\prime}A$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$B^{\prime}$ ના સ્તંભોની સંખ્યા એ $A$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,$x = m$.
આમ,શ્રેણિક $B$ ની કક્ષા $m \times n$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A^{2} = A \times A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (1)(-1) & (3)(1) + (1)(2) \\ (-1)(3) + (2)(-1) & (-1)(1) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,આપણે $5A$ ની ગણતરી કરીએ:
$5A = 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$.
અંતે,આપણે $A^{2} - 5A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} - 5A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-15 & 5-5 \\ -5-(-5) & 3-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}$.
આને $-7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -7I$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{ccc}1+x & 1 & 1 \\ 1 & 1+y & 1 \\ 1 & 1 & 1+z\end{array}\right|=0$
પ્રથમ હારને $x$ વડે,બીજી હારને $y$ વડે અને ત્રીજી હારને $z$ વડે ભાગતા:
$xyz \left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{x}+1 & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ \frac{1}{y} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ \frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
કારણ કે $x, y, z \neq 0$,આપણે $xyz$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{x}+1 & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ \frac{1}{y} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ \frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
$(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ સામાન્ય લેતા:
$(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ 1 & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ 1 & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
$x, y, z$ ભિન્ન હોવાથી,નિશ્ચાયકનો ભાગ શૂન્ય નથી.
તેથી,$1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 0$
$x^{-1}+y^{-1}+z^{-1} = -1$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \times n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ $|kA| = k^n |A|$ છે.
અહીં,શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $3 \times 3$ છે,તેથી $n = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $|3A| = 3^3 |A|$ મળે છે.
ઘાતની ગણતરી કરતા,$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ થાય.
તેથી,$|3A| = 27|A|$ થાય.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 2x & \log 2y & \log 2z \\ \log 3x & \log 3y & \log 3z \end{vmatrix}$ છે.
ગુણધર્મ $\log(ab) = \log a + \log b$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે હારને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ કરવાથી દરેક ઘટક માટે $\log 2x - \log x = \log 2$ મળે છે.
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ કરવાથી દરેક ઘટક માટે $\log 3x - \log x = \log 3$ મળે છે.
આમ,નિશ્ચાયક આ મુજબ બને છે:
$D = \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 2 & \log 2 & \log 2 \\ \log 3 & \log 3 & \log 3 \end{vmatrix}$.
$R_2$ માંથી $\log 2$ અને $R_3$ માંથી $\log 3$ સામાન્ય લેતા:
$D = (\log 2)(\log 3) \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
અહીં $R_2$ અને $R_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) આપેલ પદ: $\sin^{-1}\left(\cos \frac{53\pi}{5}\right)$
આપણે $\frac{53\pi}{5}$ ને $10\pi + \frac{3\pi}{5}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\cos\left(10\pi + \frac{3\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)$.
હવે,$\sin^{-1}\left(\cos \frac{3\pi}{5}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}\right)\right)$
$= \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{5\pi - 6\pi}{10}\right)\right)$
$= \sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)\right)$
$= -\frac{\pi}{10}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $3 \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
આપેલ સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય: $2 \tan^{-1} x + (\tan^{-1} x + \cot^{-1} x) = \pi$.
નિત્યસમ $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \tan^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi$.
બંને બાજુથી $\frac{\pi}{2}$ બાદ કરતા:
$2 \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
$2$ વડે ભાગતા:
$\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા:
$x = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

(A) આપેલ છે કે,$\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2} \dots (1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\sin ^{-1} y = \cos ^{-1} x$
બંને બાજુ $\cos$ લેતા,$\cos(\sin ^{-1} y) = \cos(\cos ^{-1} x)$
કારણ કે $\cos(\sin ^{-1} y) = \sqrt{1 - y^{2}}$,તેથી $x = \sqrt{1 - y^{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^{2} = 1 - y^{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ પદ: $\tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)$.
બીજા પદના અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1 - \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}}\right)$.
નિત્યસમ $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{1 - \frac{y}{x}}{1 + 1 \cdot \frac{y}{x}}\right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$.
આ કિંમત મૂળ પદમાં મૂકતા:
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \left(\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \tan^{-1}(1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(z) + \cot^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$ અને $\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$:
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}(1)$
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ છે કે,$n(A) = 4$ અને $n(B) = 5$.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનું એક-એક વિધેય (injective mapping) ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો $A$ નો દરેક ઘટક $B$ ના અનન્ય ઘટક સાથે જોડાયેલ હોય.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણથી $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ સુધીના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!}$ છે (જ્યાં $n \ge m$).
અહીં,$n = 5$ અને $m = 4$ છે.
તેથી,એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ થાય.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x + 6$ છે,જ્યાં $f: R \rightarrow R$.
વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x)$.
તેથી,$y = 2x + 6$.
$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવતા:
$2x = y - 6$
$x = \frac{y - 6}{2}$
$x = \frac{y}{2} - 3$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{-1}(y) = x$,તેથી $f^{-1}(y) = \frac{y}{2} - 3$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x}{2} - 3$ મળે છે.

(A) મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $f(x) = [x]$ ને $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે જાણીતી બાબત છે કે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દરેક પૂર્ણાંક કિંમત $n \in \mathbb{Z}$ પર અસતત હોય છે.
તેનાથી વિપરીત,આ વિધેય તમામ બિન-પૂર્ણાંક કિંમતો પર સતત હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$A) 1.5$ (બિન-પૂર્ણાંક)
$B) 4$ (પૂર્ણાંક)
$C) 1$ (પૂર્ણાંક)
$D) -2$ (પૂર્ણાંક)
આમ,$1.5$ એ પૂર્ણાંક ન હોવાથી,વિધેય $f(x) = [x]$ એ $x = 1.5$ પર સતત છે.

(A) આપેલ છે કે,$ x^{y}=e^{x-y} $.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$ y \log x = x - y $
$ y $ ને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$ y + y \log x = x $
$ y(1 + \log x) = x $
$ y = \frac{x}{1 + \log x} $
હવે,ભાગાકારના નિયમ $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2} $ નો ઉપયોગ કરીને $ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(1 + \log x)}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x)(1) - x \cdot (\frac{1}{x})}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{1 + \log x - 1}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} $

(D) આપેલ છે કે,$x^{m} y^{n}=(x+y)^{m+n}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$m \ln x + n \ln y = (m+n) \ln (x+y)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = (m+n) \frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{m+n}{x+y} + \frac{m+n}{x+y} \frac{dy}{dx}$
$\left(\frac{n}{y} - \frac{m+n}{x+y}\right) \frac{dy}{dx} = \frac{m+n}{x+y} - \frac{m}{x}$
$\left(\frac{nx + ny - my - ny}{y(x+y)}\right) \frac{dy}{dx} = \frac{mx + nx - mx - my}{x(x+y)}$
$\left(\frac{nx - my}{y(x+y)}\right) \frac{dy}{dx} = \frac{nx - my}{x(x+y)}$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $(nx - my)$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(A) આપેલ છે કે,$\tan^{-1}(x^2 + y^2) = \alpha$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા,આપણને મળે $x^2 + y^2 = \tan \alpha$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(\tan \alpha)$.
અહીં $\alpha$ અચળ હોવાથી,$\frac{d}{dx}(\tan \alpha) = 0$ થાય.
તેથી,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$2y \frac{dy}{dx} = -2x$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$.

(B) આપેલ છે કે,$y=e^{\sin ^{-1}(t^{2}-1)}$ અને $x=e^{\sec ^{-1}(\frac{1}{t^{2}-1})}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log y = \sin ^{-1}(t^{2}-1)$
$\log x = \sec ^{-1}(\frac{1}{t^{2}-1}) = \cos ^{-1}(t^{2}-1)$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\log y + \log x = \sin ^{-1}(t^{2}-1) + \cos ^{-1}(t^{2}-1)$.
નિત્યસમ $\sin ^{-1}(\theta) + \cos ^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\log(xy) = \frac{\pi}{2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\log y + \log x) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

(B) આપેલ વક્રના પ્રાચલ સમીકરણો:
$x = t^{2} + 3t - 8 \quad (1)$
$y = 2t^{2} - 2t - 5 \quad (2)$
બિંદુ $(2, -1)$ આગળ,આપણે $t$ ની કિંમત શોધીએ.
સમીકરણ $(2)$ પરથી:
$-1 = 2t^{2} - 2t - 5 \Rightarrow 2t^{2} - 2t - 4 = 0 \Rightarrow t^{2} - t - 2 = 0$
$(t - 2)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 2$ અથવા $t = -1$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી:
$2 = t^{2} + 3t - 8 \Rightarrow t^{2} + 3t - 10 = 0$
$(t + 5)(t - 2) = 0 \Rightarrow t = 2$ અથવા $t = -5$.
$t$ ની સામાન્ય કિંમત $t = 2$ છે.
હવે,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 2t + 3$
$\frac{dy}{dt} = 4t - 2$
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4t - 2}{2t + 3}$ દ્વારા મળે છે.
$t = 2$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{4(2) - 2}{2(2) + 3} = \frac{8 - 2}{4 + 3} = \frac{6}{7}$.

(B) ધારો કે $y = \log _{10} x$ અને $z = \log _{x} 10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log _{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$.
તેથી,$y = \frac{\ln x}{\ln 10}$ અને $z = \frac{\ln 10}{\ln x}$.
આમ,$y = \frac{1}{z}$.
આપણે $y$ નું $z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $\frac{dy}{dz}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $y = z^{-1}$,$z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $\frac{dy}{dz} = -z^{-2} = -\frac{1}{z^{2}}$ મળે.
$z = \frac{1}{y}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{dy}{dz} = -y^{2}$ મળે છે.
$y = \log _{10} x$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $-\left(\log _{10} x\right)^{2}$ છે.

(B) આપેલ વક્રો છે:
$x^{3}-3xy^{2}+2=0 \quad (1)$
$3x^{2}y-y^{3}=2 \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3x^{2} - 3(y^{2} + x(2yy')) = 0$
$x^{2} - y^{2} - 2xyy' = 0$
$y' = \frac{x^{2}-y^{2}}{2xy} = m_{1}$
સમીકરણ $(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3(2xy + x^{2}y') - 3y^{2}y' = 0$
$2xy + x^{2}y' - y^{2}y' = 0$
$y' = \frac{-2xy}{x^{2}-y^{2}} = m_{2}$
હવે,ઢાળનો ગુણાકાર કરતા:
$m_{1} \times m_{2} = \left(\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}\right) \times \left(\frac{-2xy}{x^{2}-y^{2}}\right) = -1$
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,બંને વક્રો એકબીજાને કાટખૂણે છેદે છે.

(A) આપેલ વક્ર: $y(1+x^{2})=2-x$ $(1)$
$x$-અક્ષ પર,$y=0$ હોય છે. સમીકરણ $(1)$ માં $y=0$ મૂકતા:
$0 = 2-x \Rightarrow x=2$.
તેથી,છેદબિંદુ $(2, 0)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'(1+x^{2}) + y(2x) = -1$.
બિંદુ $(2, 0)$ આગળ:
$y'(1+2^{2}) + 0(2 \times 2) = -1$
$y'(5) = -1 \Rightarrow y' = -\frac{1}{5}$.
આ $(2, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{y'} = -\frac{1}{-1/5} = 5$ થાય.
બિંદુ $(2, 0)$ અને ઢાળ $m=5$ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 0 = 5(x - 2)$
$y = 5x - 10$
$5x - y - 10 = 0$.

(D) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A = \pi r^2$
ક્ષેત્રફળમાં ત્રિજ્યા $r$ ની સાપેક્ષે થતો ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીશું:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2\pi r$
હવે,$r = 2 \text{ cm}$ માટે આ વિકલિતની કિંમત મેળવીએ:
$\left(\frac{dA}{dr}\right)_{r=2} = 2\pi(2) = 4\pi \text{ cm}^2/\text{cm}$
આમ,ફેરફારનો દર $4\pi$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{e^{x}(1+x) dx}{\cos^{2}(x e^{x})}$.
$t = x e^{x}$ આદેશ લેતા,
$dt = (1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}) dx = e^{x}(1+x) dx$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{dt}{\cos^{2} t}$ મળે.
$I = \int \sec^{2} t dt$.
$\sec^{2} t$ નું સંકલન કરતા,$I = \tan t + c$ મળે.
$t = x e^{x}$ પાછું મૂકતા,$I = \tan(x e^{x}) + c$ મળે.

(A) આપેલ છે કે,$ I = \int \frac{e^{x}(x^{2} \tan^{-1} x + \tan^{-1} x + 1)}{x^{2} + 1} dx $.
અંશમાં પદોને ગોઠવતા:
$ I = \int e^{x} \left( \frac{(x^{2} + 1) \tan^{-1} x + 1}{x^{2} + 1} \right) dx $.
દરેક પદને $ x^{2} + 1 $ વડે ભાગતા:
$ I = \int e^{x} \left( \tan^{-1} x + \frac{1}{x^{2} + 1} \right) dx $.
ધારો કે $ f(x) = \tan^{-1} x $,તો $ f'(x) = \frac{1}{x^{2} + 1} $ થાય.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $ \int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + c $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = e^{x} \tan^{-1} x + c $.

(B) આપેલ સંકલન: $ I = \int \frac{e^{6 \log x}-e^{5 \log x}}{e^{4 \log x}-e^{3 \log x}} dx $
લઘુગણકના ગુણધર્મ $ e^{k \log x} = x^k $ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$ I = \int \frac{x^6 - x^5}{x^4 - x^3} dx $
અંશ અને છેદમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$ I = \int \frac{x^5(x - 1)}{x^3(x - 1)} dx $
$ x \neq 1 $ ધારીને,આપણે $ (x - 1) $ પદને છેદ ઉડાડી શકીએ છીએ:
$ I = \int \frac{x^5}{x^3} dx = \int x^2 dx $
$ x^2 $ નું $ x $ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$ I = \frac{x^3}{3} + c $

(D) ધારો કે $f(x) = \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x$.
આપણે $f(-x)$ ની ગણતરી કરીને ચકાસીએ કે વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ:
$f(-x) = \sin^{103}(-x) \cdot \cos^{101}(-x)$
કારણ કે $\sin(-x) = -\sin x$ અને $\cos(-x) = \cos x$,તેથી:
$f(-x) = (-\sin x)^{103} \cdot (\cos x)^{101} = -\sin^{103} x \cdot \cos^{101} x = -f(x)$.
$f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x \, dx = 0$.

(D) ધારો કે $ I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{10-x}} d x \quad (1) $
ગુણધર્મ $ \int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x $ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $ a=2 $ અને $ b=8 $,તેથી $ a+b-x = 2+8-x = 10-x $.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$ I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-(10-x)}}{\sqrt{10-x}+\sqrt{10-(10-x)}} d x $
$ I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{10-x}+\sqrt{x}} d x \quad (2) $
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$ 2I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{10-x}} d x $
$ 2I = \int_{2}^{8} 1 d x $
$ 2I = [x]_{2}^{8} = 8 - 2 = 6 $
$ I = \frac{6}{2} = 3 $

(D) ધારો કે $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $.
ગુણધર્મ $ \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)} \, dx $
કારણ કે $ \sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x $ અને $ \cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x $,તેથી:
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{1000} x}{\cos ^{1000} x+\sin ^{1000} x} \, dx $
$ I $ માટેના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$ 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x + \cos ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $
$ 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} $
તેથી,$ I = \frac{\pi}{4} $.

(A) આપેલ વક્રો $y^{2}=2x$ અને $y=x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=x$ ને $y^{2}=2x$ માં મૂકતા:
$x^{2}=2x \implies x^{2}-2x=0 \implies x(x-2)=0$.
તેથી,$x=0$ અને $x=2$ મળે છે.
જ્યારે $x=0, y=0$ અને જ્યારે $x=2, y=2$. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(2,2)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=2$ સુધીના ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેનો તફાવત છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} (\sqrt{2x} - x) dx$
$= \int_{0}^{2} (\sqrt{2}x^{1/2} - x) dx$
$= \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$= \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} (2)^{3/2} - \frac{2^{2}}{2} \right) - (0 - 0)$
$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{4}{2} \right)$
$= \left( \frac{4 \cdot 2}{3} - 2 \right)$
$= \frac{8}{3} - 2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}+\sin \left(\frac{dy}{dx}\right)\right]^{\frac{3}{4}}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,સમીકરણ તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી હોવું જોઈએ.
$\sin \left(\frac{dy}{dx}\right)$ પદને કારણે આ સમીકરણ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ ના સંદર્ભમાં બહુપદી નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેમાં રહેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત છે,જે $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ છે,$\frac{dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{y} + \int \frac{dx}{x} = \int 0 \, dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log |y| + \log |x| = \log |c|$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log |xy| = \log |c|$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$xy = c$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^3 - 3$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = x^3 - 3$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$.$F$. $= e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

(A) આપેલ છે કે,$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
$\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}$ એ એકમ સદિશ હોવાથી,તેનું માન $1$ છે,તેથી $|\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1^2$.
$|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$3|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\sqrt{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$.
$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ મૂકતા:
$3(1)^2 + (1)^2 - 2\sqrt{3}(1)(1)\cos \theta = 1$.
$3 + 1 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$.
$4 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$.
$2\sqrt{3}\cos \theta = 3$.
$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$.
આપણે તેને $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુઓનો પોતાની સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = (-\vec{c}) \cdot (-\vec{c})$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$ મૂકતા:
$3^2 + 5^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) આપેલ છે કે દરેક સદિશ બાકીના બેના સરવાળાને લંબ છે:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ $(1)$
$\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ $(2)$
$\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ $(3)$
સમીકરણો $(1), (2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
હવે,માનનો વર્ગ ધ્યાનમાં લેતા:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
આપેલ કિંમતો અને ડોટ પ્રોડક્ટનો સરવાળો મૂકતા:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 0$
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 9 + 16 + 25 = 50$
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(A) આપેલ છે કે સદિશ $x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી તેનું માન $1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$|x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = 1$.
ગુણધર્મ $|k\vec{a}| = |k| |\vec{a}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|x| |\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}| = 1$.
સદિશ $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ નું માન $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $|x| \sqrt{3} = 1$ મળે છે.
તેથી,$|x| = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ છે કે,$ 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| $.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta $ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $ \theta $ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$ 2 (|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta) = |\vec{a}| |\vec{b}| $.
બંને બાજુને $ |\vec{a}| |\vec{b}| $ વડે ભાગતા (શૂન્યતર સદિશો ધારીને):
$ 2 \cos \theta = 1 $.
$ \cos \theta = \frac{1}{2} $.
કારણ કે $ \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} $,તેથી ખૂણો $ \theta = 60^{\circ} $ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ છે.
દરેક પદ માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$ મળે.
કારણ કે $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ એ સદિશ $\vec{a}$ ના દિક્કોસાઈન છે,તેથી $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.

(A) ઉગમબિંદુથી $ d $ અંતરે આવેલા અને એકમ લંબ સદિશ $ \hat{n} $ ધરાવતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ છે.
આપેલ લંબ સદિશ $ \vec{N} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k} $ છે.
પ્રથમ,$ \vec{N} $ નું માન શોધો: $ |\vec{N}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} $.
એકમ લંબ સદિશ $ \hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} $ છે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $ d = \frac{3}{\sqrt{14}} $ છે.
આ કિંમતોને $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ માં મૂકતા:
$ \vec{r} \cdot \left( \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} \right) = \frac{3}{\sqrt{14}} $.
બંને બાજુ $ \sqrt{14} $ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$ \vec{r} \cdot (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) = 3 $.

(D) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $5y + 8 = 0$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (0, 5, 0)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તર અભિલંબ સદિશ જેવા જ હોય છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{0} = \frac{y-0}{5} = \frac{z-0}{0} = \lambda$ થાય.
આના પરથી $x = 0$,$y = 5\lambda$,અને $z = 0$ મળે છે.
લંબપાદ સમતલ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$5(5\lambda) + 8 = 0$
$25\lambda = -8$
$\lambda = -\frac{8}{25}$.
$\lambda$ ની કિંમત યામોમાં મૂકતા:
$x = 0$,$y = 5(-\frac{8}{25}) = -\frac{8}{5}$,$z = 0$.
તેથી,લંબપાદના યામ $(0, -\frac{8}{5}, 0)$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$P(A \cap B) = \frac{7}{10}$ અને $P(B) = \frac{17}{20}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ છે.
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$P(A \mid B) = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{17}{20}}$
$P(A \mid B) = \frac{7}{10} \times \frac{20}{17}$
$P(A \mid B) = \frac{7 \times 2}{17} = \frac{14}{17}$.