KCET 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $i^{n} + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3}$
$i^{n}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $i^{n}(1 + i + i^{2} + i^{3})$
हम जानते हैं कि $i^{2} = -1$ और $i^{3} = -i$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $i^{n}(1 + i - 1 - i)$
कोष्ठक के भीतर के पदों को सरल करने पर: $i^{n}(0) = 0$
अतः,सरलीकृत रूप $0$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $(1-\cos \theta+i \sin \theta)^{-1} = \frac{1}{1-\cos \theta+i \sin \theta}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ और $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2 \sin^2(\theta/2) + i(2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2))} = \frac{1}{2 \sin(\theta/2) [\sin(\theta/2) + i \cos(\theta/2)]}$.
अंश और हर को संयुग्मी $[\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)]$ से गुणा करने पर:
$= \frac{\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) [\sin^2(\theta/2) + \cos^2(\theta/2)]} = \frac{\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)}$.
$= \frac{\sin(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)} - i \frac{\cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)} = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} \cot(\theta/2)$.
अतः,वास्तविक भाग $1/2$ है।

(C) दी गई अनंत गुणोत्तर श्रेणी: $1+\sin \theta+\sin ^{2} \theta+\ldots \infty = 2 \sqrt{3}+4$.
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ होता है,जहाँ $a = 1$ और $r = \sin \theta$ है।
अतः,$\frac{1}{1-\sin \theta} = 2 \sqrt{3}+4$.
व्युत्क्रम लेने पर: $1-\sin \theta = \frac{1}{2 \sqrt{3}+4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $1-\sin \theta = \frac{2 \sqrt{3}-4}{(2 \sqrt{3}+4)(2 \sqrt{3}-4)} = \frac{2 \sqrt{3}-4}{12-16} = \frac{2 \sqrt{3}-4}{-4}$.
सरल करने पर: $1-\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$.
इसलिए,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) श्रेणी का $n$ वां पद $t_n = \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + n^2}{1 + 2 + \ldots + n}$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं और उनके वर्गों के योग के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$t_n = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$.
अब,प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{3}$ है।
$S_n = \frac{1}{3} [2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1]$.
$S_n = \frac{1}{3} [2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n] = \frac{1}{3} [n(n+1) + n] = \frac{n(n+2)}{3}$.

(B) $(a+b)^n$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n=14$,$a=x$,$b=\frac{1}{\sqrt{x}}$,और हमें $11$ वाँ पद चाहिए,इसलिए $r+1=11$,जिसका अर्थ है $r=10$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^{14-10} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^4 \left(\frac{1}{x^{1/2}}\right)^{10}$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^4 \left(\frac{1}{x^5}\right)$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} \cdot \frac{1}{x}$
${}^{14}C_{10} = {}^{14}C_{4} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$ की गणना करने पर।
अतः,$T_{11} = \frac{1001}{x}$।

(C) हम सूत्र $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$ जानते हैं।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,हमें $\tan \frac{\pi}{8} = \frac{\sin(\pi/4)}{1 + \cos(\pi/4)}$ प्राप्त होता है।
$\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का मान रखने पर:
$\tan \frac{\pi}{8} = \frac{1/\sqrt{2}}{1 + 1/\sqrt{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \ldots + \sin 359^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin(360^{\circ} - \theta) = -\sin \theta$.
अतः,$\sin 359^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 1^{\circ}) = -\sin 1^{\circ}$.
इसी प्रकार,$\sin 358^{\circ} = -\sin 2^{\circ}$,आदि।
हम पदों को इस प्रकार जोड़ सकते हैं: $(\sin 1^{\circ} + \sin 359^{\circ}) + (\sin 2^{\circ} + \sin 358^{\circ}) + \ldots + (\sin 179^{\circ} + \sin 181^{\circ}) + \sin 180^{\circ}$.
चूंकि $\sin(180^{\circ} + \theta) = -\sin \theta$,इसलिए $\sin 181^{\circ} = -\sin 1^{\circ}$,$\sin 182^{\circ} = -\sin 2^{\circ}$ आदि।
प्रत्येक युग्म का योग $0$ है और $\sin 180^{\circ} = 0$ है।
अतः,कुल योग $0$ है।

(B) दिया गया है,$\cot \theta + \tan \theta = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$
$\Rightarrow 2 \sin \theta \cos \theta = 1$
$\Rightarrow \sin 2 \theta = 1 = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$
हम जानते हैं कि,यदि $\sin x = \sin \alpha$ है,तो $x = n \pi + (-1)^n \alpha$
अतः,$2 \theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{4}$

(C) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$2x + 3y - 3 = 0$ --- $(1)$
$x + ky + 7 = 0$ --- $(2)$
रेखा $(1)$ की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है।
रेखा $(2)$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{k}$ है।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(-\frac{2}{3}) \times (-\frac{1}{k}) = -1$
$\frac{2}{3k} = -1$
$2 = -3k$
$k = -\frac{2}{3}$

(B) दिया गया है,
$x = 2 + 3 \cos \theta \implies x - 2 = 3 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{x - 2}{3}$
$y = 1 - 3 \sin \theta \implies y - 1 = -3 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{y - 1}{-3}$
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{y - 1}{-3}\right)^2 + \left(\frac{x - 2}{3}\right)^2 = 1$
$\frac{(y - 1)^2}{9} + \frac{(x - 2)^2}{9} = 1$
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$
वृत्त के मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ से तुलना करने पर,केंद्र $(h, k) = (2, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{9} = 3$ प्राप्त होती है।

(D) परवलय का दिया गया समीकरण: $4y^{2} + 3x + 3y + 1 = 0$.
$y$ वाले पदों को अलग करने पर: $4y^{2} + 3y = -3x - 1$.
$4$ से भाग देने पर: $y^{2} + \frac{3}{4}y = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$.
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y + \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{64} = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4} + \frac{9}{64}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}x - \frac{7}{64}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}(x + \frac{7}{48})$.
इसे मानक रूप $(y - k)^{2} = -4a(x - h)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $4a = \frac{3}{4}$ है।

(C) हमें सीमा दी गई है: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x e^{x}-\sin x}{x}$.
भिन्न को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{x e^{x}}{x} - \frac{\sin x}{x} \right)$
$= \lim _{x \rightarrow 0} e^{x} - \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करके और $e^{0} = 1$ का मूल्यांकन करने पर:
$= 1 - 1 = 0$.

(D) माना $p: x$ एक अभाज्य संख्या है और $q: x$ एक विषम संख्या है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
कथन का विलोम (converse) $q \rightarrow p$ है।
विलोम का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\sim p \rightarrow \sim q$ है।
अतः,विलोम का प्रतिधनात्मक है: "यदि $x$ एक अभाज्य संख्या नहीं है,तो $x$ विषम नहीं है।"

(A) विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र है: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,जहाँ $\sigma$ मानक विचलन है और $\bar{x}$ माध्य है।
प्रथम वितरण के लिए: $60 = \frac{21}{\bar{x}_1} \times 100 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{2100}{60} = 35$.
द्वितीय वितरण के लिए: $70 = \frac{16}{\bar{x}_2} \times 100 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{1600}{70} \approx 22.86$.
अतः,माध्य $35$ और $22.86$ हैं।

(C) जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
कुल योग $5$ प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम $(1, 4), (4, 1), (2, 3), \text{ और } (3, 2)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है:
$P(E) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है। गड्डी में इक्कों की संख्या $4$ है।
हमें $52$ में से $2$ पत्ते चुनने हैं,जिसे ${}^{52}C_{2}$ तरीकों से किया जा सकता है।
$4$ में से $2$ इक्के चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{4}C_{2}$ है।
प्रायिकता $P$ इस प्रकार है:
$P = \frac{{}^{4}C_{2}}{{}^{52}C_{2}} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{\frac{52 \times 51}{2 \times 1}} = \frac{4 \times 3}{52 \times 51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$.

(A) माना $f(x) = (\frac{1}{x})^x = x^{-x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = \frac{d}{dx}(-x \ln(x))$
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -[\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}] = -(\ln(x) + 1)$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\ln(x) + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln(x) = -1$,अतः $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$।
अब,हम $x = \frac{1}{e}$ के आसपास द्वितीय अवकलज या $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं।
$x < \frac{1}{e}$ के लिए,$f'(x) > 0$ और $x > \frac{1}{e}$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $x = \frac{1}{e}$ एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
अधिकतम मान $f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{1/e} = e^{1/e}$ है।

(B) दिया गया है,$a * b = \frac{a+b}{4}$.
क्रमविनिमेयता के लिए,हम जाँचते हैं कि $b * a = \frac{b+a}{4} = \frac{a+b}{4} = a * b$. अतः,यह संक्रिया क्रमविनिमेय है।
साहचर्य के लिए,हम $a * (b * c)$ और $(a * b) * c$ की जाँच करते हैं।
$a * (b * c) = a * \left(\frac{b+c}{4}\right) = \frac{a + \frac{b+c}{4}}{4} = \frac{4a + b + c}{16}$.
$(a * b) * c = \left(\frac{a+b}{4}\right) * c = \frac{\frac{a+b}{4} + c}{4} = \frac{a + b + 4c}{16}$.
चूँकि $\frac{4a + b + c}{16} \neq \frac{a + b + 4c}{16}$,इसलिए यह संक्रिया साहचर्य नहीं है।
अतः,यह संक्रिया क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है।

(D) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(x\pi) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \frac{1}{\pi} \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\pi} \cos^{-1}(x\pi) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ हैं।
$A$ में से $B$ घटाने पर:
$A-B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi}(\sin^{-1}(x\pi) + \cos^{-1}(x\pi)) & \frac{1}{\pi}(\tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi})) \\ \frac{1}{\pi}(\sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi})) & \frac{1}{\pi}(\cot^{-1}(\pi x) + \tan^{-1}(\pi x)) \end{bmatrix}$.
सर्वसमिका $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ और $\tan^{-1}(\theta) + \cot^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$A-B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} I$.

(A) दिया गया है कि $ A = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} $.
$ A $ का परिवर्त आव्यूह $ A^{T} = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ -\sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} $ है।
$ A $ और $ A^{T} $ को जोड़ने पर:
$ A+A^{T} = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta + \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta + \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta - \sin 2 \theta & \cos 2 \theta + \cos 2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cos 2 \theta & 0 \\ 0 & 2 \cos 2 \theta \end{bmatrix} $.
इसे $ (2 \cos 2 \theta) I $ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $ I $ इकाई आव्यूह है।
दिया गया है कि $ A+A^{T} = I $,इसलिए $ (2 \cos 2 \theta) I = I $.
अवयवों की तुलना करने पर,$ 2 \cos 2 \theta = 1 $ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $ \cos 2 \theta = \frac{1}{2} $.
चूँकि $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $,इसलिए $ 2 \theta = \frac{\pi}{3} $,जिससे $ \theta = \frac{\pi}{6} $ प्राप्त होता है।

(D) माना आव्यूह $B$ की कोटि $x \times y$ है।
तब $B^{\prime}$ की कोटि $y \times x$ होगी।
गुणनफल $AB^{\prime}$ के परिभाषित होने के लिए,$A$ के स्तंभों की संख्या $B^{\prime}$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
चूंकि $A$,$m \times n$ है,इसलिए $n = y$ है।
गुणनफल $B^{\prime}A$ के परिभाषित होने के लिए,$B^{\prime}$ के स्तंभों की संख्या $A$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$x = m$ है।
इसलिए,आव्यूह $B$ की कोटि $m \times n$ है।

(D) दिया गया है कि,$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A^{2} = A \times A$ की गणना करते हैं:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (1)(-1) & (3)(1) + (1)(2) \\ (-1)(3) + (2)(-1) & (-1)(1) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,हम $5A$ की गणना करते हैं:
$5A = 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$.
अंत में,हम $A^{2} - 5A$ की गणना करते हैं:
$A^{2} - 5A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-15 & 5-5 \\ -5-(-5) & 3-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}$.
इसे $-7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -7I$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{ccc}1+x & 1 & 1 \\ 1 & 1+y & 1 \\ 1 & 1 & 1+z\end{array}\right|=0$
पहली पंक्ति को $x$ से,दूसरी पंक्ति को $y$ से और तीसरी पंक्ति को $z$ से विभाजित करने पर:
$xyz \left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{x}+1 & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ \frac{1}{y} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ \frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
चूंकि $x, y, z \neq 0$,हम $xyz$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{x}+1 & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ \frac{1}{y} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ \frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
$(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ को कॉमन लेने पर:
$(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ 1 & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ 1 & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
चूंकि $x, y, z$ अलग-अलग हैं,सारणिक भाग शून्य नहीं है।
इसलिए,$1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 0$
$x^{-1}+y^{-1}+z^{-1} = -1$

(C) हम जानते हैं कि $n \times n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सारणिक का गुणधर्म $|kA| = k^n |A|$ होता है।
यहाँ,आव्यूह $A$ की कोटि $3 \times 3$ है,इसलिए $n = 3$ है।
मान रखने पर,हमें $|3A| = 3^3 |A|$ प्राप्त होता है।
घात की गणना करने पर,$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ होता है।
अतः,$|3A| = 27|A|$ है।

(C) दिया गया सारणिक $D = \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 2x & \log 2y & \log 2z \\ \log 3x & \log 3y & \log 3z \end{vmatrix}$ है।
गुणधर्म $\log(ab) = \log a + \log b$ का उपयोग करते हुए,हम पंक्तियों को फिर से लिख सकते हैं:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ करने पर प्रत्येक अवयव के लिए $\log 2x - \log x = \log 2$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ करने पर प्रत्येक अवयव के लिए $\log 3x - \log x = \log 3$ प्राप्त होता है।
अतः,सारणिक इस प्रकार बनता है:
$D = \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 2 & \log 2 & \log 2 \\ \log 3 & \log 3 & \log 3 \end{vmatrix}$.
$R_2$ से $\log 2$ और $R_3$ से $\log 3$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$D = (\log 2)(\log 3) \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
चूंकि $R_2$ और $R_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) दिया गया व्यंजक: $\sin^{-1}\left(\cos \frac{53\pi}{5}\right)$
हम $\frac{53\pi}{5}$ को $10\pi + \frac{3\pi}{5}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\cos\left(10\pi + \frac{3\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)$।
अब,$\sin^{-1}\left(\cos \frac{3\pi}{5}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}\right)\right)$
$= \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{5\pi - 6\pi}{10}\right)\right)$
$= \sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)\right)$
$= -\frac{\pi}{10}$।

(B) दिया गया समीकरण: $3 \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \pi$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $2 \tan^{-1} x + (\tan^{-1} x + \cot^{-1} x) = \pi$.
सर्वसमिका $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \tan^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi$.
दोनों पक्षों से $\frac{\pi}{2}$ घटाने पर:
$2 \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
$2$ से भाग देने पर:
$\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:
$x = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

(A) दिया गया है कि,$\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2} \dots (1)$
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin ^{-1} y = \cos ^{-1} x$
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर,$\cos(\sin ^{-1} y) = \cos(\cos ^{-1} x)$
चूंकि $\cos(\sin ^{-1} y) = \sqrt{1 - y^{2}}$,इसलिए $x = \sqrt{1 - y^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^{2} = 1 - y^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)$.
दूसरे पद के अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1 - \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}}\right)$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{1 - \frac{y}{x}}{1 + 1 \cdot \frac{y}{x}}\right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$.
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \left(\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \tan^{-1}(1)$.
चूंकि $\tan^{-1}(z) + \cot^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$ और $\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$:
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}(1)$
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(D) दिया गया है कि,$n(A) = 4$ और $n(B) = 5$ है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एक एकैकी फलन (injective mapping) तब परिभाषित होता है जब $A$ का प्रत्येक अवयव $B$ के एक अद्वितीय अवयव से जुड़ा हो।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय से $n$ अवयवों वाले समुच्चय तक एकैकी फलनों की संख्या का सूत्र $P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!}$ है (जहाँ $n \ge m$)।
यहाँ,$n = 5$ और $m = 4$ है।
अतः,एकैकी फलनों की संख्या $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x + 6$ है,जहाँ $f: R \rightarrow R$ है।
प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x)$ है।
अतः,$y = 2x + 6$ है।
$x$ को $y$ के पदों में हल करने पर:
$2x = y - 6$
$x = \frac{y - 6}{2}$
$x = \frac{y}{2} - 3$ प्राप्त होता है।
परिभाषा के अनुसार,$f^{-1}(y) = x$,इसलिए $f^{-1}(y) = \frac{y}{2} - 3$ है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x}{2} - 3$ प्राप्त होता है।

(A) महत्तम पूर्णांक फलन $f(x) = [x]$ को $x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह एक ज्ञात गुण है कि महत्तम पूर्णांक फलन प्रत्येक पूर्णांक मान $n \in \mathbb{Z}$ पर असंतत होता है।
इसके विपरीत,यह फलन सभी गैर-पूर्णांक मानों पर संतत होता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$A) 1.5$ (गैर-पूर्णांक)
$B) 4$ (पूर्णांक)
$C) 1$ (पूर्णांक)
$D) -2$ (पूर्णांक)
चूंकि $1.5$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए फलन $f(x) = [x]$,$x = 1.5$ पर संतत है।

(A) दिया गया है,$ x^{y}=e^{x-y} $.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$ y \log x = x - y $
$ y $ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$ y + y \log x = x $
$ y(1 + \log x) = x $
$ y = \frac{x}{1 + \log x} $
अब,भागफल नियम $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2} $ का उपयोग करके $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(1 + \log x)}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x)(1) - x \cdot (\frac{1}{x})}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{1 + \log x - 1}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} $

(D) दिया गया है,$x^{m} y^{n}=(x+y)^{m+n}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$m \ln x + n \ln y = (m+n) \ln (x+y)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = (m+n) \frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{m+n}{x+y} + \frac{m+n}{x+y} \frac{dy}{dx}$
$\left(\frac{n}{y} - \frac{m+n}{x+y}\right) \frac{dy}{dx} = \frac{m+n}{x+y} - \frac{m}{x}$
$\left(\frac{nx + ny - my - ny}{y(x+y)}\right) \frac{dy}{dx} = \frac{mx + nx - mx - my}{x(x+y)}$
$\left(\frac{nx - my}{y(x+y)}\right) \frac{dy}{dx} = \frac{nx - my}{x(x+y)}$
दोनों पक्षों से उभयनिष्ठ पद $(nx - my)$ को हटाने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$।

(A) दिया गया है कि,$\tan^{-1}(x^2 + y^2) = \alpha$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 + y^2 = \tan \alpha$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(\tan \alpha)$.
चूंकि $\alpha$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\frac{d}{dx}(\tan \alpha) = 0$ होगा।
अतः,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$2y \frac{dy}{dx} = -2x$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$.

(B) दिया गया है,$y=e^{\sin ^{-1}(t^{2}-1)}$ और $x=e^{\sec ^{-1}(\frac{1}{t^{2}-1})}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = \sin ^{-1}(t^{2}-1)$
$\log x = \sec ^{-1}(\frac{1}{t^{2}-1}) = \cos ^{-1}(t^{2}-1)$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\log y + \log x = \sin ^{-1}(t^{2}-1) + \cos ^{-1}(t^{2}-1)$.
सर्वसमिका $\sin ^{-1}(\theta) + \cos ^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log(xy) = \frac{\pi}{2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\log y + \log x) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} = 0$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

(B) वक्र के दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = t^{2} + 3t - 8 \quad (1)$
$y = 2t^{2} - 2t - 5 \quad (2)$
बिंदु $(2, -1)$ पर,हम $t$ का मान ज्ञात करते हैं।
समीकरण $(2)$ से:
$-1 = 2t^{2} - 2t - 5 \Rightarrow 2t^{2} - 2t - 4 = 0 \Rightarrow t^{2} - t - 2 = 0$
$(t - 2)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 2$ या $t = -1$.
समीकरण $(1)$ से:
$2 = t^{2} + 3t - 8 \Rightarrow t^{2} + 3t - 10 = 0$
$(t + 5)(t - 2) = 0 \Rightarrow t = 2$ या $t = -5$.
$t$ का उभयनिष्ठ मान $t = 2$ है।
अब,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 2t + 3$
$\frac{dy}{dt} = 4t - 2$
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4t - 2}{2t + 3}$ द्वारा दी जाती है।
$t = 2$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{4(2) - 2}{2(2) + 3} = \frac{8 - 2}{4 + 3} = \frac{6}{7}$.

(B) माना $y = \log _{10} x$ और $z = \log _{x} 10$.
हम जानते हैं कि $\log _{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$.
अतः,$y = \frac{\ln x}{\ln 10}$ और $z = \frac{\ln 10}{\ln x}$.
इस प्रकार,$y = \frac{1}{z}$.
हमें $y$ का $z$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{dy}{dz}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $y = z^{-1}$,$z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dy}{dz} = -z^{-2} = -\frac{1}{z^{2}}$ प्राप्त होता है।
$z = \frac{1}{y}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dy}{dz} = -y^{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = \log _{10} x$,इसलिए अंतिम उत्तर $-\left(\log _{10} x\right)^{2}$ है।

(B) दिए गए वक्र हैं:
$x^{3}-3xy^{2}+2=0 \quad (1)$
$3x^{2}y-y^{3}=2 \quad (2)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3x^{2} - 3(y^{2} + x(2yy')) = 0$
$x^{2} - y^{2} - 2xyy' = 0$
$y' = \frac{x^{2}-y^{2}}{2xy} = m_{1}$
समीकरण $(2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3(2xy + x^{2}y') - 3y^{2}y' = 0$
$2xy + x^{2}y' - y^{2}y' = 0$
$y' = \frac{-2xy}{x^{2}-y^{2}} = m_{2}$
अब,ढालों का गुणनफल ज्ञात करने पर:
$m_{1} \times m_{2} = \left(\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}\right) \times \left(\frac{-2xy}{x^{2}-y^{2}}\right) = -1$
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए दोनों वक्र एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं।

(A) दिया गया वक्र: $y(1+x^{2})=2-x$ $(1)$
$x$-अक्ष पर,$y=0$ होता है। समीकरण $(1)$ में $y=0$ रखने पर:
$0 = 2-x \Rightarrow x=2$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 0)$ है।
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'(1+x^{2}) + y(2x) = -1$.
बिंदु $(2, 0)$ पर:
$y'(1+2^{2}) + 0(2 \times 2) = -1$
$y'(5) = -1 \Rightarrow y' = -\frac{1}{5}$.
यह $(2, 0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{y'} = -\frac{1}{-1/5} = 5$ होगी।
बिंदु $(2, 0)$ और ढाल $m=5$ वाले अभिलंब का समीकरण:
$y - 0 = 5(x - 2)$
$y = 5x - 10$
$5x - y - 10 = 0$.

(D) वृत्त का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \pi r^2$
त्रिज्या $r$ के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2\pi r$
अब,$r = 2 \text{ cm}$ पर इस अवकलज का मान ज्ञात करते हैं:
$\left(\frac{dA}{dr}\right)_{r=2} = 2\pi(2) = 4\pi \text{ cm}^2/\text{cm}$
अतः,परिवर्तन की दर $4\pi$ है।

(B) माना $I = \int \frac{e^{x}(1+x) dx}{\cos^{2}(x e^{x})}$.
$t = x e^{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,
$dt = (1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}) dx = e^{x}(1+x) dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{dt}{\cos^{2} t}$ प्राप्त होता है।
$I = \int \sec^{2} t dt$.
$\sec^{2} t$ का समाकलन करने पर,$I = \tan t + c$ प्राप्त होता है।
$t = x e^{x}$ वापस रखने पर,$I = \tan(x e^{x}) + c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$ I = \int \frac{e^{x}(x^{2} \tan^{-1} x + \tan^{-1} x + 1)}{x^{2} + 1} dx $.
अंश में पदों को व्यवस्थित करने पर:
$ I = \int e^{x} \left( \frac{(x^{2} + 1) \tan^{-1} x + 1}{x^{2} + 1} \right) dx $.
प्रत्येक पद को $ x^{2} + 1 $ से विभाजित करने पर:
$ I = \int e^{x} \left( \tan^{-1} x + \frac{1}{x^{2} + 1} \right) dx $.
मान लीजिए $ f(x) = \tan^{-1} x $,तब $ f'(x) = \frac{1}{x^{2} + 1} $ है।
मानक समाकलन सूत्र $ \int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + c $ का उपयोग करने पर:
$ I = e^{x} \tan^{-1} x + c $.

(B) दिया गया समाकलन: $ I = \int \frac{e^{6 \log x}-e^{5 \log x}}{e^{4 \log x}-e^{3 \log x}} dx $
लघुगणक के गुणधर्म $ e^{k \log x} = x^k $ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$ I = \int \frac{x^6 - x^5}{x^4 - x^3} dx $
अंश और हर में से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$ I = \int \frac{x^5(x - 1)}{x^3(x - 1)} dx $
$ x \neq 1 $ मानते हुए,हम $ (x - 1) $ पद को काट सकते हैं:
$ I = \int \frac{x^5}{x^3} dx = \int x^2 dx $
$ x^2 $ का $ x $ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$ I = \frac{x^3}{3} + c $

(D) माना $f(x) = \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x$ है।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \sin^{103}(-x) \cdot \cos^{101}(-x)$
चूँकि $\sin(-x) = -\sin x$ और $\cos(-x) = \cos x$,इसलिए:
$f(-x) = (-\sin x)^{103} \cdot (\cos x)^{101} = -\sin^{103} x \cdot \cos^{101} x = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x \, dx = 0$।

(D) माना $ I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{10-x}} d x \quad (1) $
गुणधर्म $ \int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x $ का उपयोग करने पर,जहाँ $ a=2 $ और $ b=8 $,इसलिए $ a+b-x = 2+8-x = 10-x $.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$ I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-(10-x)}}{\sqrt{10-x}+\sqrt{10-(10-x)}} d x $
$ I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{10-x}+\sqrt{x}} d x \quad (2) $
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$ 2I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{10-x}} d x $
$ 2I = \int_{2}^{8} 1 d x $
$ 2I = [x]_{2}^{8} = 8 - 2 = 6 $
$ I = \frac{6}{2} = 3 $

(D) माना $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $।
गुणधर्म $ \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx $ का उपयोग करने पर:
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)} \, dx $
चूंकि $ \sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x $ और $ \cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x $,इसलिए:
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{1000} x}{\cos ^{1000} x+\sin ^{1000} x} \, dx $
$ I $ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$ 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x + \cos ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $
$ 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} $
अतः,$ I = \frac{\pi}{4} $।

(A) दिए गए वक्र $y^{2}=2x$ और $y=x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=x$ को $y^{2}=2x$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^{2}=2x \implies x^{2}-2x=0 \implies x(x-2)=0$.
अतः,$x=0$ और $x=2$ प्राप्त होते हैं।
जब $x=0, y=0$ और जब $x=2, y=2$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(2,2)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच का समाकलन है:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (\sqrt{2x} - x) dx$
$= \int_{0}^{2} (\sqrt{2}x^{1/2} - x) dx$
$= \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$= \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} (2)^{3/2} - \frac{2^{2}}{2} \right) - (0 - 0)$
$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{4}{2} \right)$
$= \left( \frac{4 \cdot 2}{3} - 2 \right)$
$= \frac{8}{3} - 2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}+\sin \left(\frac{dy}{dx}\right)\right]^{\frac{3}{4}}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,समीकरण को अपने अवकलजों के संदर्भ में एक बहुपद होना चाहिए।
$\sin \left(\frac{dy}{dx}\right)$ पद के कारण यह समीकरण अवकलज $\frac{dy}{dx}$ के संदर्भ में बहुपद नहीं है।
इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज होती है,जो कि $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण है,$\frac{dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{y} + \int \frac{dx}{x} = \int 0 \, dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C$ का उपयोग करने पर:
$\log |y| + \log |x| = \log |c|$
लघुगणक के गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\log |xy| = \log |c|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$xy = c$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^3 - 3$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = x^3 - 3$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$.$F$. $= e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

(A) दिया गया है कि,$|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
चूंकि $\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $1$ है,इसलिए $|\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ का उपयोग करने पर:
$3|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\sqrt{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$।
$|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(1)^2 + (1)^2 - 2\sqrt{3}(1)(1)\cos \theta = 1$।
$3 + 1 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$।
$4 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$।
$2\sqrt{3}\cos \theta = 3$।
$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।

(C) दिया गया है कि,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$।
हम इसे $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर:
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = (-\vec{c}) \cdot (-\vec{c})$।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$।
दिए गए मान $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 5^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 7^2$।
$9 + 25 + 2(3)(5) \cos \theta = 49$।
$34 + 30 \cos \theta = 49$।
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$।
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(A) दिया गया है कि प्रत्येक सदिश शेष दो के योग के लंबवत है:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ $(1)$
$\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ $(2)$
$\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ $(3)$
समीकरणों $(1), (2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
अब,परिमाण का वर्ग लेने पर:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
दिए गए मानों और डॉट गुणनफल के योग को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 0$
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 9 + 16 + 25 = 50$
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(A) दिया गया है कि सदिश $x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ एक इकाई सदिश है,इसलिए इसका परिमाण $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$|x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = 1$.
गुणधर्म $|k\vec{a}| = |k| |\vec{a}|$ का उपयोग करने पर:
$|x| |\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}| = 1$.
सदिश $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ का परिमाण $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|x| \sqrt{3} = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$|x| = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है कि $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(D) दिया गया है कि,$ 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| $.
हम जानते हैं कि दो सदिशों का अदिश गुणनफल $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta $ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $ \theta $ सदिशों के बीच का कोण है।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$ 2 (|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta) = |\vec{a}| |\vec{b}| $.
दोनों पक्षों को $ |\vec{a}| |\vec{b}| $ से विभाजित करने पर (शून्यतर सदिश मानते हुए):
$ 2 \cos \theta = 1 $.
$ \cos \theta = \frac{1}{2} $.
चूँकि $ \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} $,इसलिए कोण $ \theta = 60^{\circ} $ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos 2\theta$ के लिए सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ होती है।
प्रत्येक पद के लिए इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1)$।
यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$।
चूंकि $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ सदिश $\vec{a}$ की दिक्कोज्याएं हैं,हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$।

(A) मूल बिंदु से $ d $ दूरी पर स्थित और इकाई अभिलंब सदिश $ \hat{n} $ वाले समतल का सदिश समीकरण $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ होता है।
दिया गया अभिलंब सदिश $ \vec{N} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k} $ है।
सबसे पहले,$ \vec{N} $ का परिमाण ज्ञात करें: $ |\vec{N}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} $।
इकाई अभिलंब सदिश $ \hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} $ है।
मूल बिंदु से दूरी $ d = \frac{3}{\sqrt{14}} $ है।
इन मानों को समीकरण $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ में रखने पर:
$ \vec{r} \cdot \left( \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} \right) = \frac{3}{\sqrt{14}} $।
दोनों पक्षों को $ \sqrt{14} $ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ \vec{r} \cdot (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) = 3 $।

(D) समतल का दिया गया समीकरण $5y + 8 = 0$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (0, 5, 0)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और समतल पर लंब रेखा के दिक अनुपात अभिलंब सदिश के समान होते हैं।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{0} = \frac{y-0}{5} = \frac{z-0}{0} = \lambda$ है।
इससे हमें $x = 0$,$y = 5\lambda$,और $z = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि लंब का पाद समतल पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$5(5\lambda) + 8 = 0$
$25\lambda = -8$
$\lambda = -\frac{8}{25}$.
$\lambda$ का मान निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 0$,$y = 5(-\frac{8}{25}) = -\frac{8}{5}$,$z = 0$.
इसलिए,लंब के पाद के निर्देशांक $(0, -\frac{8}{5}, 0)$ हैं।

(C) दिया गया है कि,$P(A \cap B) = \frac{7}{10}$ और $P(B) = \frac{17}{20}$ है।
हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$P(A \mid B) = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{17}{20}}$
$P(A \mid B) = \frac{7}{10} \times \frac{20}{17}$
$P(A \mid B) = \frac{7 \times 2}{17} = \frac{14}{17}$.