KCET 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति हमेशा भारी द्रव्यमान के करीब होती है,क्योंकि यह स्थिति द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करती है।
दिए गए चित्र में,विकर्ण के ऊपर के भाग में हवा है,जबकि निचले भाग में रेत है।
चूंकि रेत हवा की तुलना में काफी सघन और भारी है,इसलिए निकाय का कुल द्रव्यमान निचले त्रिकोणीय क्षेत्र में अधिक केंद्रित है।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र को रेत वाले क्षेत्र में स्थित होना चाहिए,जो विकर्ण के नीचे है।
दिए गए बिंदुओं में से,बिंदु $D$ रेत वाले क्षेत्र में स्थित है। अतः,$D$ द्रव्यमान केंद्र की संभावित स्थिति है।

(A) $\text{रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार}$, विराम अवस्था में बम का कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
चूंकि बम दो टुकड़ों में विस्फोटित होता है, इसलिए अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
अतः, $4 \,kg$ के टुकड़े के संवेग $(p_1)$ का परिमाण $8 \,kg$ के टुकड़े के संवेग $(p_2)$ के परिमाण के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $p_1 = 20 \,Ns$, इसलिए $p_2 = 20 \,Ns$।
किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
$8 \,kg$ के टुकड़े के लिए, $K_2 = \frac{p_2^2}{2m_2} = \frac{20^2}{2 \times 8} = \frac{400}{16} = 25 \,J$।

(D) पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(x < R)$: $g = \frac{GMx}{R^3}$,जिसका अर्थ है $g \propto x$। यह एक रैखिक संबंध है।
$2$. पृथ्वी के बाहर $(x \ge R)$: $g = \frac{GM}{x^2}$,जिसका अर्थ है $g \propto \frac{1}{x^2}$। यह एक व्युत्क्रम वर्ग का संबंध है।
अतः,ग्राफ मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होता है,$x = R$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है,और फिर $x > R$ के लिए व्युत्क्रम वर्ग के नियम का पालन करते हुए घटता है।

(B) दिया है,बॉक्स का द्रव्यमान $m = 50 \ kg$,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu = 0.3$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
जब ट्रेन $a$ त्वरण से चलती है,तो बॉक्स पर ट्रेन के त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
बॉक्स को ट्रेन के फर्श पर स्थिर रहने के लिए,घर्षण बल $f$ को इस छद्म बल को संतुलित करना चाहिए।
अधिकतम घर्षण बल (सीमांत घर्षण) $f_{max} = \mu N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N = mg$ अभिलंब प्रतिक्रिया है।
अतः,बॉक्स के स्थिर रहने के लिए,$ma \leq \mu mg$ होना चाहिए।
अधिकतम त्वरण $a_{max} = \mu g$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$a_{max} = 0.3 \times 10 = 3.0 \ m \ s^{-2}$।
इसलिए,ट्रेन का अधिकतम त्वरण $3.0 \ m \ s^{-2}$ है।

(A) सदिश $\vec{r}$ का $x$-अक्ष के अनुदिश घटक $r_x = r \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{r}$ और $x$-अक्ष के बीच का कोण है।
घटक $r_x$ का मान अधिकतम होने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सदिश $\vec{r}$ का $x$-अक्ष के अनुदिश घटक तब अधिकतम होता है जब सदिश $\vec{r}$ धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में हो।

(D) एक आदर्श तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,पाइप के किसी भी बिंदु पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और तरल के वेग का गुणनफल स्थिर रहता है।
इसलिए,$A_A v_A = A_B v_B$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v$ वेग है।
वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ व्यास है।
अतः,$\frac{v_A}{v_B} = \frac{A_B}{A_A} = \frac{\frac{\pi (d_B)^2}{4}}{\frac{\pi (d_A)^2}{4}} = \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^2$.
यहाँ $d_A = 5 \ cm$ और $d_B = 10 \ cm$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{v_A}{v_B} = \left( \frac{10}{5} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
अतः,$A$ और $B$ पर तरल के वेग का अनुपात $4:1$ है।

(C) जब एक स्प्रिंग को उसके मुक्त सिरे पर भार लगाकर खींचा जाता है,तो स्प्रिंग का तार लंबाई में परिवर्तन (अनुदैर्ध्य विकृति) और कुंडलियों पर लगने वाले टॉर्क के कारण मरोड़ प्रभाव (अपरूपण विकृति) दोनों का अनुभव करता है। इसलिए,स्प्रिंग में उत्पन्न विकृति अनुदैर्ध्य और अपरूपण विकृति का संयोजन होती है।

(C) दिया गया है: समय $t = 10 \ s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$,और प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$ (क्योंकि वस्तु मुक्त रूप से गिर रही है)।
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,गति के समीकरण का उपयोग करके कुल विस्थापन $S$ की गणना करें: $S = ut + \frac{1}{2}gt^2$.
मान रखने पर: $S = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 0 + 5 \times 100 = 500 \ m$.
अब,औसत वेग की गणना करें: $v_{avg} = \frac{S}{t} = \frac{500 \ m}{10 \ s} = 50 \ m/s$.

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{v_{0}^{2} \sin(2\theta)}{g}$,जहाँ $v_{0}$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि $v_{0}$ और $g$ तीनों प्रक्षेप्यों के लिए समान हैं,इसलिए $R \propto \sin(2\theta)$.
प्रक्षेप्य $A$ के लिए: $\theta_{A} = 30^{\circ}$,अतः $R_{A} \propto \sin(2 \times 30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
प्रक्षेप्य $B$ के लिए: $\theta_{B} = 45^{\circ}$,अतः $R_{B} \propto \sin(2 \times 45^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1$.
प्रक्षेप्य $C$ के लिए: $\theta_{C} = 60^{\circ}$,अतः $R_{C} \propto \sin(2 \times 60^{\circ}) = \sin(120^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
मानों की तुलना करने पर: $R_{A} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$R_{B} = 1$,और $R_{C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$R_{A} = R_{C} < R_{B}$.

(A) दिया गया है: अधिकतम गति,$v_{\max} = 0.5 \ m s^{-1}$; अधिकतम त्वरण,$a_{\max} = 1.0 \ m s^{-2}$.
हम जानते हैं कि $SHM$ के लिए,अधिकतम गति $v_{\max} = \omega A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
साथ ही,अधिकतम त्वरण $a_{\max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम त्वरण के समीकरण को अधिकतम गति के समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\omega = \frac{1.0 \ m s^{-2}}{0.5 \ m s^{-1}} = 2 \ rad \ s^{-1}$.
अतः,दोलन की कोणीय आवृत्ति $2 \ rad \ s^{-1}$ है।

(C) $h$ ऊँचाई वाले नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले पिंड का वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$
जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या है और $R$ पिंड की त्रिज्या है।
वलय के लिए,$K^2 = R^2$,अतः $v_{R} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
ठोस बेलन के लिए,$K^2 = \frac{R^2}{2}$,अतः $v_{C} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1/2}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15 \sqrt{gh}$.
ठोस गोले के लिए,$K^2 = \frac{2}{5}R^2$,अतः $v_{S} = \sqrt{\frac{2gh}{1+2/5}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19 \sqrt{gh}$.
मानों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $v_{R} < v_{C} < v_{S}$.

(D) छड़ के माध्यम से ऊष्मा चालन की दर $H$ का सूत्र $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $l$ लंबाई है।
चूँकि $A = \pi r^2$,इसलिए $H \propto \frac{r^2}{l}$ होता है।
सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करने के लिए,अनुपात $\frac{r^2}{l}$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{r^2}{l}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A: \frac{1^2}{1} = 1$
$B: \frac{1^2}{0.5} = 2$
$C: \frac{2^2}{2} = 2$
$D: \frac{2^2}{0.5} = 8$
चूँकि विकल्प $D$ का मान सबसे अधिक है,इसलिए यह सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करेगी।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, $\frac{dT}{dt} = k(\theta - \theta_0)$, जहाँ $\theta$ वस्तु का औसत तापमान है और $\theta_0$ कमरे का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{94 - 86}{2} = k \left( \frac{94 + 86}{2} - 20 \right)$.
$\frac{8}{2} = k(90 - 20) \Rightarrow 4 = k(70) \Rightarrow k = \frac{4}{70}$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{74 - 66}{t} = k \left( \frac{74 + 66}{2} - 20 \right)$.
$\frac{8}{t} = \frac{4}{70} (70 - 20) \Rightarrow \frac{8}{t} = \frac{4}{70} \times 50$.
$\frac{8}{t} = \frac{200}{70} \Rightarrow \frac{8}{t} = \frac{20}{7}$.
$t = \frac{8 \times 7}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$ मिनट।

(B) दिया गया है:
स्रोत का तापमान,$T_1 = 400 \ K$
सिंक का तापमान,$T_2 = 300 \ K$
किया गया उपयोगी कार्य,$W = 800 \ J$
कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही,दक्षता को $\eta = \frac{W}{Q_1}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $Q_1$ आपूर्ति की गई ऊष्मा है।
दोनों को बराबर करने पर,$1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $1 - \frac{300}{400} = \frac{800}{Q_1}$.
$\frac{100}{400} = \frac{800}{Q_1}$.
$\frac{1}{4} = \frac{800}{Q_1}$.
$Q_1 = 800 \times 4 = 3200 \ J$.
अतः,इंजन को स्रोत से दी गई ऊष्मा ऊर्जा $3200 \ J$ है।

(C) दिया गया है: स्रोत का वेग $v_s = 50 \ m/s$,ध्वनि की गति $v = 350 \ m/s$,प्रेक्षक की ओर गति करते समय मापी गई आवृत्ति $f' = 500 \ Hz$ है।
स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करने वाले स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) \rightarrow (1)$
जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर जाता है,तो आभासी आवृत्ति $f''$ इस प्रकार दी जाती है:
$f'' = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right) \rightarrow (2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f'}{f''} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$
मान रखने पर:
$\frac{500}{f''} = \frac{350 + 50}{350 - 50} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$
$f'' = 500 \times \frac{3}{4} = 375 \ Hz$.
अतः,आभासी आवृत्ति $375 \ Hz$ है।

(D) दिए गए परिपथ में दो $NAND$ गेट हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य कर रहे हैं (क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं) और उसके बाद एक $NOR$ गेट है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले $NAND$ गेट का आउटपुट ($NOT$ के रूप में कार्य करते हुए) $\bar{A}$ है।
दूसरे $NAND$ गेट का आउटपुट ($NOT$ के रूप में कार्य करते हुए) $\bar{B}$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $NOR$ गेट में दिए जाते हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Y$,$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
अतः,यह परिपथ $AND$ संक्रिया करता है।

(A) स्थिर अवस्था में, संधारित्र एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है, जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए, परिपथ में धारा $I$ केवल बैटरी और $4 \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 4 \Omega + 1 \Omega = 5 \Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{5 \text{V}}{5 \Omega} = 1 \text{A}$ है।
$4 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V = I \times R = 1 \text{A} \times 4 \Omega = 4 \text{V}$ है।
चूंकि संधारित्र $4 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है, इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर भी $4 \text{V}$ होगा।
संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V = 8 \mu\text{F} \times 4 \text{V} = 32 \mu\text{C}$ है।

(D) दिया गया है, $L$ के सिरों पर विभवांतर, $V_L = 40 \,V$; $C$ के सिरों पर विभवांतर, $V_C = 120 \,V$; $R$ के सिरों पर विभवांतर, $V_R = 60 \,V$ है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ में स्रोत वोल्टेज $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$V = \sqrt{60^2 + (40 - 120)^2}$
$V = \sqrt{3600 + (-80)^2}$
$V = \sqrt{3600 + 6400}$
$V = \sqrt{10000}$
$V = 100 \,V$
अतः, स्रोत वोल्टेज $100 \,V$ है।

(C) $ AC $ धारा को समीकरण $ I = I_{\text{max}} \sin(\omega t) $ द्वारा दर्शाया जाता है।
एक पूर्ण चक्र के लिए,धारा का औसत मान $ I_{\text{avg}} $ समय अवधि $ T $ पर धारा के समाकलन और समय अवधि $ T $ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$ I_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{\text{max}} \sin(\omega t) dt $.
चूंकि एक पूर्ण अवधि $ T $ पर $ \sin(\omega t) $ का समाकलन शून्य होता है,इसलिए एक पूर्ण चक्र पर औसत धारा हमेशा $ 0 $ होती है।
अतः,किसी भी ज्यावक्रीय (sinusoidal) $ AC $ धारा के लिए,एक पूर्ण चक्र पर औसत मान $ 0 $ होता है।

(A) दिया गया है: धारिता $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$।
स्रोत वोल्टेज $V = 50 \sqrt{2} \sin 100 t$ है।
इसे $V = V_{\max} \sin \omega t$ के साथ तुलना करने पर, हमें $V_{\max} = 50 \sqrt{2} \text{ V}$ और $\omega = 100 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \Omega$ है।
$RMS$ वोल्टेज $V_{\text{rms}} = \frac{V_{\max}}{\sqrt{2}} = \frac{50 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 50 \text{ V}$ है।
$AC$ एमीटर का पाठ्यांक $RMS$ धारा $I_{\text{rms}}$ को दर्शाता है, जो $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{X_C} = \frac{50}{1000} = 0.05 \text{ A}$ है।
मिलीएम्पियर में बदलने पर, $I_{\text{rms}} = 0.05 \times 1000 \text{ mA} = 50 \text{ mA}$।

(B) $AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति का सूत्र $P_{avg} = v_{rms} i_{rms} \cos \phi$ है।
emf $v = v_{0} \sin \omega t$ और धारा $i = i_{0} \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$ के समीकरण दिए गए हैं,इसलिए कलांतर (phase difference) $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
रूट मीन स्क्वायर मान $v_{rms} = \frac{v_{0}}{\sqrt{2}}$ और $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ हैं।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P_{avg} = \left(\frac{v_{0}}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{i_{0}}{\sqrt{2}}\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$
$P_{avg} = \frac{v_{0} i_{0}}{2} \times \frac{1}{2}$
$P_{avg} = \frac{v_{0} i_{0}}{4}$.

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,कक्षा $n$ में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = n \frac{h}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक अवस्था $n_i = 4$ के लिए,कोणीय संवेग $L_i = 4 \frac{h}{2 \pi}$ है।
अंतिम अवस्था $n_f = 1$ के लिए,कोणीय संवेग $L_f = 1 \frac{h}{2 \pi}$ है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_i - L_f$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\Delta L = \frac{4 h}{2 \pi} - \frac{1 h}{2 \pi} = \frac{3 h}{2 \pi}$।

(C) मान लीजिए प्लेटों को ऊपर से नीचे $1, 2, 3, 4$ क्रमांकित किया गया है।
प्लेट $1$,$X$ से जुड़ी है।
प्लेट $2$ और $4$ एक साथ जुड़ी हुई हैं।
प्लेट $3$,$Y$ से जुड़ी है।
आसन्न प्लेटों के बीच तीन संधारित्र बनते हैं:
प्लेट $1$ और $2$ के बीच $C_1$,प्लेट $2$ और $3$ के बीच $C_2$,और प्लेट $3$ और $4$ के बीच $C_3$ है।
प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
प्लेट $1$ विभव $V_X$ पर है। प्लेट $3$ विभव $V_Y$ पर है।
प्लेट $2$ और $4$ समान विभव $V_P$ पर हैं।
संधारित्र $C_1$,$X$ और $P$ के बीच है। संधारित्र $C_2$,$P$ और $Y$ के बीच है। संधारित्र $C_3$,$Y$ और $P$ के बीच है।
संधारित्र $C_2$ और $C_3$,$P$ और $Y$ के बीच समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनकी समतुल्य धारिता $C_2 + C_3 = 2C$ है।
यह संयोजन $C_1$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
समतुल्य धारिता $C_{eq}$ के लिए: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{2C} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{3}{2C}$ है।
अतः,$C_{eq} = \frac{2}{3} C = \frac{2}{3} \frac{\varepsilon_0 A}{d}$।

(D) संदेश सिग्नल को उच्च आवृत्ति वाली वाहक तरंग पर अध्यारोपित करने की प्रक्रिया को मॉडुलन कहा जाता है।
यह आमतौर पर विद्युत चुम्बकीय संकेतों पर लागू होता है।
मॉडुलन की सामान्य विधियाँ आयाम मॉडुलन,आवृत्ति मॉडुलन और कला मॉडुलन हैं।

(B) इस परिपथ में $6 \ V$ और $4 \ V$ के दो सेल विपरीत दिशा में जुड़े हैं और $2 \ \Omega$ तथा $8 \ \Omega$ के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
कुल $EMF$,$E_{net} = 6 \ V - 4 \ V = 2 \ V$.
कुल प्रतिरोध,$R_{total} = 2 \ \Omega + 8 \ \Omega = 10 \ \Omega$.
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{2 \ V}{10 \ \Omega} = 0.2 \ A$ है।
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ से $B$ तक $4 \ V$ की बैटरी और $8 \ \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर जाते हैं।
$8 \ \Omega$ के प्रतिरोधक पर विभवांतर $V_R = I \times R = 0.2 \ A \times 8 \ \Omega = 1.6 \ V$ है।
$A$ से $B$ की ओर जाने पर,हम $4 \ V$ की बैटरी (धनात्मक से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर,इसलिए विभव घटता है) और प्रतिरोधक (धारा की दिशा में विभव घटता है) का सामना करते हैं।
$V_A - V_B = 4 \ V + (I \times 8 \ \Omega) = 4 \ V + 1.6 \ V = 5.6 \ V$.

(D) माना बिंदु '$O$' पर विभव $ V_{0} $ है।
जंक्शन '$O$' पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं का योग शून्य होता है:
$ I_{1} + I_{2} + I_{3} = 0 $
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,धाराओं को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$ \frac{V_{0}-8}{2} + \frac{V_{0}-4}{4} + \frac{V_{0}-2}{2} = 0 $
$ V_{0} $ का मान ज्ञात करने के लिए,पूरे समीकरण को $ 4 $ से गुणा करें:
$ 2(V_{0}-8) + (V_{0}-4) + 2(V_{0}-2) = 0 $
$ 2V_{0} - 16 + V_{0} - 4 + 2V_{0} - 4 = 0 $
$ 5V_{0} - 24 = 0 $
$ 5V_{0} = 24 $
$ V_{0} = \frac{24}{5} = 4.8 \,V $
अतः,बिंदु '$O$' पर विभव $ 4.8 \,V $ है।

(A) दिए गए परिपथ को प्रतिरोधों के श्रेणी और समांतर संयोजनों की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है।
परिपथ को देखने पर,बाईं ओर के दो $10 \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं,और दाईं ओर के दो $10 \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा में दो $10 \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,जिससे $R_1 = 10 \Omega + 10 \Omega = 20 \Omega$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,निचली शाखा में दो $10 \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,जिससे $R_2 = 10 \Omega + 10 \Omega = 20 \Omega$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएं बिंदु $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
इसलिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$
$R_{eq} = 10 \Omega$.

(B) मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गतिशीलता $\mu$ को प्रति इकाई विद्युत क्षेत्र में अपवाह वेग (drift velocity) के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu = \frac{v_d}{E} = \frac{e \tau}{m}$
जहाँ:
$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,
$\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है,
$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
चूंकि $e$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\mu \propto \tau$
अतः,एक चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गतिशीलता विश्रांति काल के सीधे आनुपातिक होती है।

(B) दिया गया है: धारा $I = 20 \text{ A}$.
समय $t = 1 \text{ घंटा } 30 \text{ मिनट} = 90 \text{ मिनट} = 90 \times 60 \text{ सेकंड} = 5400 \text{ सेकंड}$.
स्थानांतरित आवेश का सूत्र $Q = I \times t$ है।
मान रखने पर: $Q = 20 \text{ A} \times 5400 \text{ s} = 108000 \text{ C}$.
वैज्ञानिक संकेतन में,$Q = 1.08 \times 10^{5} \text{ C}$ या $10.8 \times 10^{4} \text{ C}$ होगा।

(A) गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर कुंडली के साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाना चाहिए।
श्रेणी प्रतिरोध के लिए सूत्र $R = \frac{V}{I_g} - G$ है।
दी गई मान हैं:
वोल्टेज रेंज $V = 20 \text{ V}$
पूर्ण स्केल विक्षेप धारा $I_g = 5 \text{ mA} = 5 \times 10^{-3} \text{ A}$
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 50 \Omega$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = \frac{20}{5 \times 10^{-3}} - 50$
$R = \frac{20}{0.005} - 50$
$R = 4000 - 50 = 3950 \Omega$
अतः,गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में $3950 \Omega$ का प्रतिरोध जोड़ा जाना चाहिए।

(A) चूंकि प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $(V)$ समान होता है।
प्रतिरोधक द्वारा खपत की गई शक्ति का सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ है।
चूंकि $V$ दोनों प्रतिरोधकों के लिए स्थिर है,इसलिए $P \propto \frac{1}{R}$ होगा।
अतः,खपत की गई शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_2}{R_1}$ होगा।
दिया गया है कि $R_1 = 10 \Omega$ और $R_2 = 20 \Omega$,तो:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{20}{10} = \frac{2}{1}$.
इस प्रकार,उनके द्वारा खपत की गई शक्ति का अनुपात $2: 1$ है।

(D) तापमान $T$ पर चालक का प्रतिरोध $R$ निम्नलिखित रैखिक संबंध द्वारा दिया जाता है:
$R = R_{0} [1 + \alpha(T - T_{0})]$
$R = R_{0} + R_{0}\alpha(T - T_{0})$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = R$ और $x = (T - T_{0})$ है:
ग्राफ का ढाल $m = R_{0}\alpha$ है।
अतः,तापमान गुणांक $(\alpha)$ होगा:
$\alpha = \frac{m}{R_{0}}$

(D) $ V $ विभवांतर द्वारा त्वरित एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \,nm$
यहाँ दिया गया है,$V = 400 \,V$.
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{400}} \,nm$
$\lambda = \frac{1.227}{20} \,nm$
$\lambda = 0.06135 \,nm$
निकटतम मान लेने पर,हमें $\lambda \approx 0.06 \,nm$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव (stopping potential) $V_{0}$ और आपतित विकिरण की आवृत्ति $v$ के बीच संबंध $eV_{0} = h\nu - \phi$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
ग्राफ से,तीन आवृत्तियों के लिए निरोधी विभव क्रमशः $V_{01}, V_{02}$ और $V_{03}$ हैं।
यह देखा गया है कि $|V_{03}| > |V_{02}| > |V_{01}|$.
चूंकि निरोधी विभव आपतित विकिरण की आवृत्ति के सीधे आनुपातिक होता है,इसलिए निरोधी विभव का उच्च परिमाण उच्च आवृत्ति के अनुरूप होता है।
अतः,आवृत्तियों के बीच संबंध $v_{3} > v_{2} > v_{1}$ है,जो $v_{1} < v_{2} < v_{3}$ के बराबर है।

(B) दिया गया है,इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(E)$ $= -3.4 \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$E = -K$
$U = 2E$
अतः,गतिज ऊर्जा $K = -E = -(-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U = 2 \times E = 2 \times (-3.4 \text{ eV}) = -6.8 \text{ eV}$ है।
इस प्रकार,इस अवस्था में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $3.4 \text{ eV}$ और स्थितिज ऊर्जा $-6.8 \text{ eV}$ है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में घूर्णन के तल के लंबवत कोणीय वेग $\omega$ से घूमने वाली $L$ लंबाई की एक चालक छड़ में प्रेरित emf का सूत्र $E = \int_{0}^{L} B v \, dr = \int_{0}^{L} B (r \omega) \, dr$ द्वारा दिया जाता है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $E = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{2} B \omega L^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी स्पोक्स धुरी और रिम के बीच समानांतर में जुड़े होते हैं,इसलिए प्रत्येक स्पोक पर विभवांतर समान होता है।
अतः,धुरी और रिम के बीच प्रेरित कुल emf $E = \frac{1}{2} B \omega L^2$ ही रहता है।

(A) दिया गया है: इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $= m$,आवेश $= e$,दूरी $= h$,विद्युत क्षेत्र $= E$।
विद्युत क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ और $S = h$ है:
$h = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) t^2$।
$t^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$t^2 = \frac{2hm}{eE}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$t = \sqrt{\frac{2hm}{eE}}$।

(D) स्थिर वैद्युत बल द्वारा कण पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = \int_{r_1}^{r_2} \frac{k q_1 q_2}{r^2} dr = k q_1 q_2 \left[ -\frac{1}{r} \right]_{1}^{10} = k q_1 q_2 \left( 1 - \frac{1}{10} \right) = k q_1 q_2 \left( \frac{9}{10} \right)$.
यहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$, $q_1 = 1 \times 10^{-6} \text{ C}$, $q_2 = 2 \times 10^{-3} \text{ C}$, $m = 1 \times 10^{-3} \text{ kg}$ है।
$W = (9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-3}) \times 0.9 = 18 \times 0.9 = 16.2 \text{ J}$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $W = \frac{1}{2} m v^2$.
$16.2 = \frac{1}{2} \times (1 \times 10^{-3}) \times v^2$.
$v^2 = \frac{16.2 \times 2}{10^{-3}} = 32.4 \times 10^3 = 32400$.
$v = \sqrt{32400} = 180 \text{ m s}^{-1}$.

(C) एक छोटे विद्युत द्विध्रुव के लिए केंद्र से $r$ दूरी पर जहाँ $r >> a$ है:
अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{ax} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\vec{p}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
निरक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{eq} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $\vec{E}_{ax} = -2\vec{E}_{eq}$ होता है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $( \varepsilon_{0} )$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_{0}} $.
यदि आवेश गॉसियन सतह के बाहर है,तो परिबद्ध कुल आवेश $( q_{\text{enclosed}} )$ $ 0 $ है,इसलिए फ्लक्स $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = 0 $ होता है।
यदि आवेश गॉसियन सतह के अंदर है,तो परिबद्ध कुल आवेश $ q $ है,इसलिए फ्लक्स $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q}{\varepsilon_{0}} $ होता है।
यह नियम तब भी सत्य रहता है चाहे ब्रह्मांड में केवल एक ही प्रकार का आवेश हो या दोनों प्रकार के आवेश मौजूद हों।

(B) बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ होता है।
समविभव पृष्ठ के लिए,विभव $V$ का मान स्थिर होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि दिए गए विभव $V$ के लिए दूरी $r$ स्थिर होनी चाहिए।
एक स्थिर बिंदु आवेश $q$ से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ एक गोला होता है।
अतः,बिंदु आवेश के लिए समविभव पृष्ठ एक गोला होता है जिसके केंद्र पर आवेश स्थित होता है।

(A) $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र,जो केंद्र पर $\theta$ कोण बनाता है,$B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कोण $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$ है।
$R_1$ त्रिज्या के आंतरिक चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_{0} I (\pi/3)}{4 \pi R_1} = \frac{\mu_{0} I}{12 R_1}$ (कागज के तल के अंदर की ओर) है।
$R_2$ त्रिज्या के बाहरी चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_{0} I (\pi/3)}{4 \pi R_2} = \frac{\mu_{0} I}{12 R_2}$ (कागज के तल के बाहर की ओर) है।
सीधे खंड $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में योगदान नहीं देते हैं क्योंकि $O$ का स्थिति सदिश धारा तत्वों के साथ संरेखीय है।
$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_{0} I}{12} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।

(A) दिया गया है: प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $ n = 40 \text{ फेरे/सेमी} = 4000 \text{ फेरे/मीटर} = 4 \times 10^3 \text{ m}^{-1} $.
धारा $ I = 1 \text{ A} $.
प्रति इकाई आयतन में संचित चुंबकीय ऊर्जा $ u_m $ का सूत्र $ u_m = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2 $ है।
मान रखने पर:
$ u_m = \frac{1}{2} \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (4 \times 10^3)^2 \times (1)^2 $.
$ u_m = \frac{1}{2} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 16 \times 10^6 \times 1 $.
$ u_m = 2\pi \times 16 \times 10^{-1} $.
$ u_m = 32\pi \times 0.1 = 3.2\pi \text{ J m}^{-3} $.

(D) एक लंबी धारावाही परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है और इसकी दिशा अक्ष के अनुदिश होती है।
जब एक आवेशित कण (प्रोटॉन) को चुंबकीय क्षेत्र $B$ के समांतर $v$ वेग से प्रक्षेपित किया जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m$ लॉरेंट्ज़ बल सूत्र $F_m = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वेग सदिश $v$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B$ एक-दूसरे के समांतर हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
अतः,चुंबकीय बल $F_m = qvB \sin(0^\circ) = 0$ होता है।
चूंकि प्रोटॉन पर कोई चुंबकीय बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए इसमें कोई त्वरण उत्पन्न नहीं होगा और यह परिनालिका की अक्ष के अनुदिश $v$ समान वेग से गति करना जारी रखेगा।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $(r)$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $r \propto v$,जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे त्रिज्या $(r)$ बढ़ती है,कण का रैखिक वेग $(v)$ भी बढ़ता है।
कोणीय वेग $(\omega)$ का सूत्र $\omega = \frac{v}{r}$ होता है।
$\omega$ के व्यंजक में $v = \frac{rqB}{m}$ रखने पर,हमें $\omega = \frac{rqB}{mr} = \frac{qB}{m}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आवेश $(q)$,चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ और द्रव्यमान $(m)$ स्थिर हैं,इसलिए कोणीय वेग $(\omega)$ त्रिज्या और वेग से स्वतंत्र रहता है।
अतः,जैसे-जैसे त्रिज्या बढ़ती है,$v$ बढ़ता है और $\omega$ स्थिर रहता है।

(C) दिया गया है: पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $(B_H)$ = $3.0 \ G$। नति कोण $(\delta)$ = $30^{\circ}$।
हम जानते हैं कि पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $B_H = B \cos \delta$,जहाँ $B$ पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3.0 = B \cos 30^{\circ}$
$3.0 = B \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$B = \frac{3.0 \times 2}{\sqrt{3}}$
$B = \frac{6.0}{1.732} \approx 3.464 \ G$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $B \approx 3.5 \ G$ प्राप्त होता है।
अतः,उस स्थान पर पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र $3.5 \ G$ है।

(B) क्यूरी के नियम के अनुसार,एक अनुचुंबकीय पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $ \chi $ उसके परम तापमान $ T $ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$ \chi \propto \frac{1}{T} $।
इसका अर्थ है कि $ \chi T = \text{स्थिरांक} $।
इसलिए,दो अलग-अलग तापमानों $ T_{1} $ और $ T_{2} $ के लिए,जिनकी संबंधित प्रवृत्तियाँ $ \chi_{1} $ और $ \chi_{2} $ हैं,हमारे पास $ \chi_{1} T_{1} = \chi_{2} T_{2} $ होगा।

(C) पराबैंगनी $(UV)$ किरणें वे विद्युत चुम्बकीय विकिरण हैं जिनकी तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश से कम लेकिन $X$-किरणों से अधिक होती है। अपनी उच्च ऊर्जा और सूक्ष्मजीवों के $DNA$ को नुकसान पहुँचाने की क्षमता के कारण, इनका उपयोग खाद्य उद्योग में बैक्टीरिया और रोगजनकों को मारकर दूध और अन्य तरल पदार्थों को स्टरलाइज करने के लिए व्यापक रूप से किया जाता है।

(A) दिया गया है: अर्ध-आयु $ T_{1/2} = 10 $ दिन,नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $ N_0 = 1000x $,समय $ t = 5 $ दिन।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए: $ N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}} $.
मान रखने पर: $ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{5 / 10} $.
$ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{1/2} $.
$ N = \frac{1000x}{\sqrt{2}} $.
चूंकि $ \sqrt{2} \approx 1.414 $,
$ N = \frac{1000x}{1.414} \approx 707.21x $.
अतः,$ 5 $ दिनों के बाद उपस्थित मूल नाभिकों की संख्या लगभग $ 707x $ है।

(D) मान लीजिए $X$ की परमाणु संख्या $Z_X$ और द्रव्यमान संख्या $A_X$ है।
पहले चरण में,$X \rightarrow Y + 4e$। यदि हम $4$ अल्फा कणों का उत्सर्जन मानते हैं,तो परमाणु संख्या में $4 \times 2 = 8$ की कमी होती है और द्रव्यमान संख्या में $4 \times 4 = 16$ की कमी होती है।
दूसरे चरण में,$Y \rightarrow Z + 2e^{-}$। $2$ बीटा कणों के उत्सर्जन से परमाणु संख्या में $2$ की वृद्धि होती है और द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है।
परमाणु संख्या में कुल परिवर्तन: $\Delta Z = -8 + 2 = -6$.
यदि प्रश्न के अनुसार $X$ और $Z$ समस्थानिक हैं,तो उनकी परमाणु संख्या समान होनी चाहिए। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$X$ और $Z$ समस्थानिक हैं,यह सही उत्तर है।

(B) दिया गया है: नाभिक का द्रव्यमान $ M = 20 u = 20 \times 1.6 \times 10^{-27} kg = 3.2 \times 10^{-26} kg $.
फोटॉन की ऊर्जा $ E = 6 MeV = 6 \times 10^6 eV = 6 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 9.6 \times 10^{-13} J $.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, नाभिक का संवेग $ p_n $ फोटॉन के संवेग $ p_p $ के बराबर होना चाहिए।
$ p_p = \frac{E}{c} = \frac{9.6 \times 10^{-13} J}{3 \times 10^8 m/s} = 3.2 \times 10^{-21} kg \cdot m/s $.
चूंकि $ p_n = p_p $, नाभिक की गतिज ऊर्जा $ K_n = \frac{p_n^2}{2M} $ द्वारा दी जाती है।
$ K_n = \frac{(3.2 \times 10^{-21})^2}{2 \times 3.2 \times 10^{-26}} = \frac{10.24 \times 10^{-42}}{6.4 \times 10^{-26}} = 1.6 \times 10^{-16} J $.
$ eV $ में बदलने पर: $ K_n = \frac{1.6 \times 10^{-16} J}{1.6 \times 10^{-19} J/eV} = 10^3 eV = 1 keV $.
अतः, नाभिक की गतिज ऊर्जा $ 1 keV $ है।

(C) उत्तल लेंस के लिए,सीधा और आवर्धित (बड़ा) प्रतिबिंब केवल तब बनता है जब वस्तु को लेंस के प्रकाशिक केंद्र और मुख्य फोकस $(F)$ के बीच रखा जाता है।
दी गई फोकस दूरी $f = 20 \ cm$ है,इसलिए वस्तु की दूरी $u$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 < |u| < 20 \ cm$ हो।
दिए गए विकल्पों में से,$15 \ cm$ ही एकमात्र मान है जो $u < f$ की शर्त को पूरा करता है।
अतः,सही दूरी $15 \ cm$ है।

(B) फ्रेनेल दूरी $(Z_F)$ वह दूरी है जिसके लिए किरण प्रकाशिकी एक अच्छा सन्निकटन है। यह सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z_F = \frac{a^2}{\lambda}$.
दिया गया है:
द्वारक,$a = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$.
तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 400 \,nm = 400 \times 10^{-9} \,m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$Z_F = \frac{(4 \times 10^{-3})^2}{400 \times 10^{-9}}$
$Z_F = \frac{16 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}}$
$Z_F = 4 \times 10^1 = 40 \,m$.
अतः,$40 \,m$ की दूरी के लिए किरण प्रकाशिकी एक अच्छा सन्निकटन है।

(B) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है,और अपवर्तन कोण $r_1$,$r_2 = r$ के बराबर होता है।
संबंध $A = r_1 + r_2$ से,हमें प्राप्त होता है $A = 2r$,इसलिए $r = A/2 = 60^{\circ}/2 = 30^{\circ}$।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$।
यहाँ $\mu = \sqrt{2}$ और $r = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$।
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$i = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$।

(D) कांच की प्लेट का अपवर्तनांक अलग-अलग रंगों के लिए अलग-अलग होता है क्योंकि प्रत्येक रंग के लिए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य भिन्न होती है।
कॉची के समीकरण के अनुसार,छोटी तरंग दैर्ध्य के लिए अपवर्तनांक अधिक होता है।
चूंकि बैंगनी प्रकाश की तरंग दैर्ध्य सबसे कम होती है,इसलिए कांच का अपवर्तनांक बैंगनी रंग के लिए अधिकतम और लाल रंग के लिए न्यूनतम होता है।
कांच के स्लैब के माध्यम से देखी गई वस्तु की स्थिति में आभासी विस्थापन का सूत्र है: $\Delta t = t(1 - \frac{1}{\mu})$,जहाँ $t$ स्लैब की मोटाई है और $\mu$ अपवर्तनांक है।
वैकल्पिक रूप से,आभासी गहराई का उपयोग करते हुए: $d' = \frac{d}{\mu}$। विस्थापन $\Delta d = d - d' = d(1 - \frac{1}{\mu})$ है।
चूंकि बैंगनी प्रकाश के लिए $\mu$ अधिकतम है,इसलिए $(1 - \frac{1}{\mu})$ पद बैंगनी रंग के लिए अधिकतम होता है।
इसलिए,बैंगनी अक्षर सबसे अधिक ऊपर उठा हुआ दिखाई देगा।

(A) समानांतर अंतरापृष्ठों (interfaces) की एक श्रृंखला के लिए स्नेल के नियम के अनुसार,प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर अपवर्तनांक और आपतन कोण की ज्या (sine) का गुणनफल स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि $\theta_{1}$ पहले माध्यम में आपतन कोण है और $\theta_{4}$ चौथे माध्यम में निर्गत कोण है।
प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_{1} \sin \theta_{1} = n_{2} \sin \theta_{2} = n_{3} \sin \theta_{3} = n_{4} \sin \theta_{4}$
यह दिया गया है कि निर्गत किरण $DE$,आपतित किरण $AB$ के समानांतर है,इसलिए आपतन कोण $\theta_{1}$ निर्गत कोण $\theta_{4}$ के बराबर होना चाहिए (अर्थात $\theta_{1} = \theta_{4}$)।
इसलिए,$n_{1} \sin \theta_{1} = n_{4} \sin \theta_{1}$।
चूंकि $\sin \theta_{1} \neq 0$,इसलिए हमें $n_{1} = n_{4}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,कलेक्टर धारा में परिवर्तन,$ \Delta I_{C} = 0.49 \,mA $.
उत्सर्जक धारा में परिवर्तन,$ \Delta I_{E} = 0.50 \,mA $.
हम जानते हैं कि आधार (base) धारा में परिवर्तन $ \Delta I_{B} = \Delta I_{E} - \Delta I_{C} $ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$ \Delta I_{B} = 0.50 \,mA - 0.49 \,mA = 0.01 \,mA $.
धारा लाभ $ \beta $ को कलेक्टर धारा में परिवर्तन और आधार धारा में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$ \beta = \frac{\Delta I_{C}}{\Delta I_{B}} $.
मान रखने पर,$ \beta = \frac{0.49 \,mA}{0.01 \,mA} = 49 $.
अतः,धारा लाभ $ \beta $ का मान $ 49 $ है।

(C) परिवर्ती $AC$ स्रोत से स्थिर $DC$ वोल्टेज प्राप्त करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाना चाहिए:
$1$. रेक्टिफायर: यह $AC$ सिग्नल को स्पंदित (pulsating) $DC$ सिग्नल में परिवर्तित करता है।
$2$. फिल्टर: स्पंदित $DC$ सिग्नल से रिपल्स को हटाकर उसे शुद्ध $DC$ सिग्नल में परिवर्तित किया जाता है।
$3$. रेगुलेटर: यह लोड करंट और $AC$ स्रोत वोल्टेज में होने वाले परिवर्तनों से स्वतंत्र एक स्थिर $DC$ वोल्टेज प्रदान करता है।

(A) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$।
स्लिट की चौड़ाई $a = 0.2 \,mm = 0.2 \times 10^{-3} \,m$।
एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है।
मान रखने पर: $\theta = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9} \,m}{0.2 \times 10^{-3} \,m}$।
$\theta = \frac{1200 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = 6000 \times 10^{-6} \,rad = 6 \times 10^{-3} \,rad$।
अतः, केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $6 \times 10^{-3} \,rad$ है।

(D) स्थायी व्यतिकरण के लिए शर्तें इस प्रकार हैं: स्रोत कला-संबद्ध (coherent) होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनकी आवृत्ति (तरंगदैर्ध्य) समान होनी चाहिए और उनके बीच कलांतर स्थिर होना चाहिए।
इस प्रयोग में,एक स्लिट को लाल फिल्टर (जो केवल लाल प्रकाश को गुजरने देता है) और दूसरी को नीले फिल्टर (जो केवल नीले प्रकाश को गुजरने देता है) से ढका गया है।
चूंकि लाल प्रकाश और नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य काफी अलग हैं,इसलिए ये दो स्रोत कला-संबद्ध नहीं हैं।
चूंकि स्रोत कला-संबद्ध नहीं हैं,इसलिए वे पर्दे पर कोई स्थिर व्यतिकरण पैटर्न नहीं बना सकते हैं।
अतः,कोई व्यतिकरण पैटर्न नहीं देखा जाएगा।