KCET 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન હંમેશા ભારે દળની નજીક હોય છે,કારણ કે તેનું સ્થાન દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વિકર્ણની ઉપરના ભાગમાં હવા છે,જ્યારે નીચેના ભાગમાં રેતી છે.
રેતી એ હવા કરતા ઘણી વધારે ઘન અને ભારે હોવાથી,તંત્રનું કુલ દળ નીચેના ત્રિકોણાકાર ભાગમાં વધુ કેન્દ્રિત થયેલું છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર રેતી ધરાવતા વિસ્તારમાં,એટલે કે વિકર્ણની નીચે હોવું જોઈએ.
આપેલ બિંદુઓમાંથી,બિંદુ $D$ એ રેતી ધરાવતા વિસ્તારમાં આવેલું છે. આમ,$D$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સંભવિત સ્થાન છે.

(A) $\text{રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ}$, સ્થિર રહેલા બોમ્બનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે।
બોમ્બ બે ટુકડાઓમાં વિસ્ફોટ પામે છે, તેથી અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ।
તેથી, $4 \,kg$ ના ટુકડાનું વેગમાન $(p_1)$ નું મૂલ્ય $8 \,kg$ ના ટુકડાના વેગમાન $(p_2)$ ના મૂલ્ય જેટલું જ હોવું જોઈએ।
આપેલ છે કે $p_1 = 20 \,Ns$, તેથી $p_2 = 20 \,Ns$.
કોઈપણ પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{p^2}{2m}$ છે।
$8 \,kg$ ના ટુકડા માટે, $K_2 = \frac{p_2^2}{2m_2} = \frac{20^2}{2 \times 8} = \frac{400}{16} = 25 \,J$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(x < R)$: $g = \frac{GMx}{R^3}$,જે સૂચવે છે કે $g \propto x$. આ એક રેખીય સંબંધ છે.
$2$. પૃથ્વીની બહાર $(x \ge R)$: $g = \frac{GM}{x^2}$,જે સૂચવે છે કે $g \propto \frac{1}{x^2}$. આ એક વ્યસ્ત વર્ગનો સંબંધ છે.
આમ,આલેખ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થાય છે,$x = R$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે,અને ત્યારબાદ $x > R$ માટે વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટે છે.

(B) આપેલ છે,બોક્સનું દળ $m = 50 \ kg$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu = 0.3$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
જ્યારે ટ્રેન $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે બોક્સ પર ટ્રેનના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્યુડો બળ $F_p = ma$ લાગે છે.
બોક્સ ટ્રેનના ફ્લોર પર સ્થિર રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ આ સ્યુડો બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
મહત્તમ ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{max} = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N = mg$ એ લંબબળ છે.
આમ,બોક્સ સ્થિર રહે તે માટે,$ma \leq \mu mg$ હોવું જોઈએ.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \mu g$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$a_{max} = 0.3 \times 10 = 3.0 \ m \ s^{-2}$.
તેથી,ટ્રેનનો મહત્તમ પ્રવેગ $3.0 \ m \ s^{-2}$ છે.

(A) સદિશ $\vec{r}$ નો $x$-અક્ષ પરનો ઘટક $r_x = r \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશ $\vec{r}$ અને $x$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ઘટક $r_x$ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે તે માટે,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,સદિશ $\vec{r}$ નો $x$-અક્ષ પરનો ઘટક ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે સદિશ $\vec{r}$ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં હોય.

(D) આદર્શ પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,પાઇપના કોઈપણ બિંદુએ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
તેથી,$A_A v_A = A_B v_B$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
વર્તુળાકાર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
આમ,$\frac{v_A}{v_B} = \frac{A_B}{A_A} = \frac{\frac{\pi (d_B)^2}{4}}{\frac{\pi (d_A)^2}{4}} = \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^2$.
અહીં $d_A = 5 \ cm$ અને $d_B = 10 \ cm$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{v_A}{v_B} = \left( \frac{10}{5} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
આમ,$A$ અને $B$ આગળ પ્રવાહીના વેગનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) જ્યારે સ્પ્રિંગના મુક્ત છેડા પર ભાર લગાવીને તેને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગના તારમાં લંબાઈમાં ફેરફાર (રેખીય વિકૃતિ) અને કોઈલ પર લાગતા ટોર્કને કારણે વળ ચડવાની અસર (રૂપાંતરક વિકૃતિ) એમ બંને અનુભવાય છે. તેથી,સ્પ્રિંગમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ એ રેખીય અને રૂપાંતરક વિકૃતિનું મિશ્રણ છે.

(C) આપેલ છે: સમય $t = 10 \ s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$,અને પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$ (કારણ કે પદાર્થ મુક્ત પતન કરે છે).
સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
પ્રથમ,ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને કુલ સ્થાનાંતર $S$ શોધો: $S = ut + \frac{1}{2}gt^2$.
કિંમતો મૂકતા: $S = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 0 + 5 \times 100 = 500 \ m$.
હવે,સરેરાશ વેગ શોધો: $v_{avg} = \frac{S}{t} = \frac{500 \ m}{10 \ s} = 50 \ m/s$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર: $R = \frac{v_{0}^{2} \sin(2\theta)}{g}$,જ્યાં $v_{0}$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં $v_{0}$ અને $g$ ત્રણેય પદાર્થો માટે સમાન હોવાથી,$R \propto \sin(2\theta)$.
પદાર્થ $A$ માટે: $\theta_{A} = 30^{\circ}$,તેથી $R_{A} \propto \sin(2 \times 30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
પદાર્થ $B$ માટે: $\theta_{B} = 45^{\circ}$,તેથી $R_{B} \propto \sin(2 \times 45^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1$.
પદાર્થ $C$ માટે: $\theta_{C} = 60^{\circ}$,તેથી $R_{C} \propto \sin(2 \times 60^{\circ}) = \sin(120^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $R_{A} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$R_{B} = 1$,અને $R_{C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$R_{A} = R_{C} < R_{B}$.

(A) આપેલ છે: મહત્તમ ઝડપ,$v_{\max} = 0.5 \ m s^{-1}$; મહત્તમ પ્રવેગ,$a_{\max} = 1.0 \ m s^{-2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $SHM$ માટે,મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
તે જ રીતે,મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રવેગના સમીકરણને મહત્તમ ઝડપના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1.0 \ m s^{-2}}{0.5 \ m s^{-1}} = 2 \ rad \ s^{-1}$.
આમ,દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $2 \ rad \ s^{-1}$ છે.

(C) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$
જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
રીંગ માટે,$K^2 = R^2$,તેથી $v_{R} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
નક્કર નળાકાર માટે,$K^2 = \frac{R^2}{2}$,તેથી $v_{C} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1/2}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15 \sqrt{gh}$.
નક્કર ગોળા માટે,$K^2 = \frac{2}{5}R^2$,તેથી $v_{S} = \sqrt{\frac{2gh}{1+2/5}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19 \sqrt{gh}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $v_{R} < v_{C} < v_{S}$.

(D) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H$ એ સૂત્ર $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$H \propto \frac{r^2}{l}$ થાય.
સૌથી વધુ ઉષ્માનું વહન કરવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{r^2}{l}$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{r^2}{l}$ નું મૂલ્ય ગણીએ:
$A: \frac{1^2}{1} = 1$
$B: \frac{1^2}{0.5} = 2$
$C: \frac{2^2}{2} = 2$
$D: \frac{2^2}{0.5} = 8$
વિકલ્પ $D$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ હોવાથી,તે સૌથી વધુ ઉષ્માનું વહન કરશે.

(B) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ, $\frac{dT}{dt} = k(\theta - \theta_0)$, જ્યાં $\theta$ એ પદાર્થનું સરેરાશ તાપમાન છે અને $\theta_0$ એ ઓરડાનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{94 - 86}{2} = k \left( \frac{94 + 86}{2} - 20 \right)$.
$\frac{8}{2} = k(90 - 20) \Rightarrow 4 = k(70) \Rightarrow k = \frac{4}{70}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{74 - 66}{t} = k \left( \frac{74 + 66}{2} - 20 \right)$.
$\frac{8}{t} = \frac{4}{70} (70 - 20) \Rightarrow \frac{8}{t} = \frac{4}{70} \times 50$.
$\frac{8}{t} = \frac{200}{70} \Rightarrow \frac{8}{t} = \frac{20}{7}$.
$t = \frac{8 \times 7}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$ મિનિટ.

(B) આપેલ છે:
સ્ત્રોતનું તાપમાન,$T_1 = 400 \ K$
સિંકનું તાપમાન,$T_2 = 300 \ K$
થયેલ ઉપયોગી કાર્ય,$W = 800 \ J$
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,કાર્યક્ષમતાની વ્યાખ્યા $\eta = \frac{W}{Q_1}$ છે,જ્યાં $Q_1$ એ પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા છે.
બંનેને સરખાવતા,$1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $1 - \frac{300}{400} = \frac{800}{Q_1}$.
$\frac{100}{400} = \frac{800}{Q_1}$.
$\frac{1}{4} = \frac{800}{Q_1}$.
$Q_1 = 800 \times 4 = 3200 \ J$.
આમ,એન્જિનને સ્ત્રોતમાંથી આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઊર્જા $3200 \ J$ છે.

(C) આપેલ છે: સ્ત્રોતનો વેગ $v_s = 50 \ m/s$,ધ્વનિની ઝડપ $v = 350 \ m/s$,અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતી વખતે મપાયેલ આવૃત્તિ $f' = 500 \ Hz$.
સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા સ્ત્રોત માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) \rightarrow (1)$
જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f''$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f'' = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right) \rightarrow (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{f'}{f''} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{500}{f''} = \frac{350 + 50}{350 - 50} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$
$f'' = 500 \times \frac{3}{4} = 375 \ Hz$.
આમ,આભાસી આવૃત્તિ $375 \ Hz$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે (કારણ કે તેમના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (જે $NOT$ તરીકે કાર્ય કરે છે) $\bar{A}$ છે.
બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (જે $NOT$ તરીકે કાર્ય કરે છે) $\bar{B}$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$,$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આમ,આ સર્કિટ $AND$ ઓપરેશન કરે છે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં, કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે, જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી, પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ ફક્ત બેટરી અને $4 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 4 \Omega + 1 \Omega = 5 \Omega$ છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{5 \text{V}}{5 \Omega} = 1 \text{A}$ છે.
$4 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I \times R = 1 \text{A} \times 4 \Omega = 4 \text{V}$ છે.
કેપેસિટર $4 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી, કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પણ $4 \text{V}$ થશે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times V = 8 \mu\text{F} \times 4 \text{V} = 32 \mu\text{C}$ છે.

(D) આપેલ છે કે, $L$ ની આસપાસ વોલ્ટેજ ડ્રોપ, $V_L = 40 \,V$; $C$ ની આસપાસ વોલ્ટેજ ડ્રોપ, $V_C = 120 \,V$; $R$ ની આસપાસ વોલ્ટેજ ડ્રોપ, $V_R = 60 \,V$ છે।
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V = \sqrt{60^2 + (40 - 120)^2}$
$V = \sqrt{3600 + (-80)^2}$
$V = \sqrt{3600 + 6400}$
$V = \sqrt{10000}$
$V = 100 \,V$
તેથી, સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $100 \,V$ છે।

(C) $ AC $ પ્રવાહને સમીકરણ $ I = I_{\text{max}} \sin(\omega t) $ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર માટે,પ્રવાહનું સરેરાશ મૂલ્ય $ I_{\text{avg}} $ એ સમયગાળા $ T $ પર પ્રવાહના સંકલન અને સમયગાળા $ T $ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$ I_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{\text{max}} \sin(\omega t) dt $.
કારણ કે સંપૂર્ણ સમયગાળા $ T $ પર $ \sin(\omega t) $ નું સંકલન શૂન્ય થાય છે,તેથી સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ પ્રવાહ હંમેશા $ 0 $ હોય છે.
તેથી,કોઈપણ સાઇનસૉઇડલ $ AC $ પ્રવાહ માટે,સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ મૂલ્ય $ 0 $ હોય છે.

(A) આપેલ છે: કેપેસીટન્સ $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$.
સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V = 50 \sqrt{2} \sin 100 t$.
આ સમીકરણને $V = V_{\max} \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા, આપણને $V_{\max} = 50 \sqrt{2} \text{ V}$ અને $\omega = 100 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \Omega$.
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{\text{rms}} = \frac{V_{\max}}{\sqrt{2}} = \frac{50 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 50 \text{ V}$ છે.
$AC$ એમીટરનું રીડિંગ $RMS$ પ્રવાહ $I_{\text{rms}}$ દર્શાવે છે, જે $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{X_C} = \frac{50}{1000} = 0.05 \text{ A}$ થાય છે.
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા, $I_{\text{rms}} = 0.05 \times 1000 \text{ mA} = 50 \text{ mA}$.

(B) $AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર સૂત્ર $P_{avg} = v_{rms} i_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
emf $v = v_{0} \sin \omega t$ અને પ્રવાહ $i = i_{0} \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$ ના સમીકરણો આપેલ છે,તેથી ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર મૂલ્યો $v_{rms} = \frac{v_{0}}{\sqrt{2}}$ અને $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ છે.
આ મૂલ્યોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P_{avg} = \left(\frac{v_{0}}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{i_{0}}{\sqrt{2}}\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$
$P_{avg} = \frac{v_{0} i_{0}}{2} \times \frac{1}{2}$
$P_{avg} = \frac{v_{0} i_{0}}{4}$.

(C) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = n \frac{h}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક અવસ્થા $n_i = 4$ માટે,કોણીય વેગમાન $L_i = 4 \frac{h}{2 \pi}$ છે.
અંતિમ અવસ્થા $n_f = 1$ માટે,કોણીય વેગમાન $L_f = 1 \frac{h}{2 \pi}$ છે.
કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_i - L_f$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta L = \frac{4 h}{2 \pi} - \frac{1 h}{2 \pi} = \frac{3 h}{2 \pi}$.

(C) ધારો કે પ્લેટોને ઉપરથી નીચે $1, 2, 3, 4$ ક્રમ આપવામાં આવ્યો છે.
પ્લેટ $1$ એ $X$ સાથે જોડાયેલી છે.
પ્લેટ $2$ અને $4$ એકબીજા સાથે જોડાયેલી છે.
પ્લેટ $3$ એ $Y$ સાથે જોડાયેલી છે.
પાસપાસેની પ્લેટો વચ્ચે ત્રણ કેપેસીટર બને છે:
પ્લેટ $1$ અને $2$ વચ્ચે $C_1$,પ્લેટ $2$ અને $3$ વચ્ચે $C_2$,અને પ્લેટ $3$ અને $4$ વચ્ચે $C_3$.
દરેક કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
પ્લેટ $1$ એ $V_X$ પોટેન્શિયલ પર છે. પ્લેટ $3$ એ $V_Y$ પોટેન્શિયલ પર છે.
પ્લેટ $2$ અને $4$ સમાન પોટેન્શિયલ $V_P$ પર છે.
કેપેસીટર $C_1$ એ $X$ અને $P$ વચ્ચે છે. કેપેસીટર $C_2$ એ $P$ અને $Y$ વચ્ચે છે. કેપેસીટર $C_3$ એ $Y$ અને $P$ વચ્ચે છે.
કેપેસીટર $C_2$ અને $C_3$ એ $P$ અને $Y$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2 + C_3 = 2C$ થાય.
આ સંયોજન $C_1$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ માટે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{2C} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{3}{2C}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{2}{3} C = \frac{2}{3} \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.

(D) મેસેજ સિગ્નલને ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા કેરિયર વેવ પર સુપરઇમ્પોઝ કરવાની પ્રક્રિયાને મોડ્યુલેશન કહેવામાં આવે છે.
તે સામાન્ય રીતે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સિગ્નલો પર લાગુ કરવામાં આવે છે.
મોડ્યુલેશનની સામાન્ય પદ્ધતિઓ એમ્પ્લીટ્યુડ મોડ્યુલેશન,ફ્રીક્વન્સી મોડ્યુલેશન અને ફેઝ મોડ્યુલેશન છે.

(B) આ પરિપથમાં $6 \ V$ અને $4 \ V$ ના બે કોષો વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલા છે અને $2 \ \Omega$ તથા $8 \ \Omega$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
કુલ $EMF$,$E_{net} = 6 \ V - 4 \ V = 2 \ V$.
કુલ અવરોધ,$R_{total} = 2 \ \Omega + 8 \ \Omega = 10 \ \Omega$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{2 \ V}{10 \ \Omega} = 0.2 \ A$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધવા માટે,આપણે $A$ થી $B$ તરફ $4 \ V$ ના કોષ અને $8 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થઈએ છીએ.
$8 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_R = I \times R = 0.2 \ A \times 8 \ \Omega = 1.6 \ V$ છે.
$A$ થી $B$ તરફ જતાં,આપણે $4 \ V$ ની બેટરી (ધનથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ,તેથી સ્થિતિમાન ઘટે છે) અને અવરોધ (પ્રવાહની દિશામાં સ્થિતિમાન ઘટે છે) નો સામનો કરીએ છીએ.
$V_A - V_B = 4 \ V + (I \times 8 \ \Omega) = 4 \ V + 1.6 \ V = 5.6 \ V$.

(D) ધારો કે બિંદુ '$O$' પરનું સ્થિતિમાન $ V_{0} $ છે.
જંકશન '$O$' પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાંથી બહાર જતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે:
$ I_{1} + I_{2} + I_{3} = 0 $
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,પ્રવાહોને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$ \frac{V_{0}-8}{2} + \frac{V_{0}-4}{4} + \frac{V_{0}-2}{2} = 0 $
$ V_{0} $ માટે ઉકેલવા માટે,આખા સમીકરણને $ 4 $ વડે ગુણો:
$ 2(V_{0}-8) + (V_{0}-4) + 2(V_{0}-2) = 0 $
$ 2V_{0} - 16 + V_{0} - 4 + 2V_{0} - 4 = 0 $
$ 5V_{0} - 24 = 0 $
$ 5V_{0} = 24 $
$ V_{0} = \frac{24}{5} = 4.8 \,V $
તેથી,બિંદુ '$O$' પરનું સ્થિતિમાન $ 4.8 \,V $ છે.

(A) આપેલ સર્કિટને અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
સર્કિટ જોતા,ડાબી બાજુના બે $10 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને જમણી બાજુના બે $10 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
ધારો કે ઉપરની શાખામાં બે $10 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $R_1 = 10 \Omega + 10 \Omega = 20 \Omega$ આપે છે.
તે જ રીતે,નીચેની શાખામાં બે $10 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $R_2 = 10 \Omega + 10 \Omega = 20 \Omega$ આપે છે.
આ બે શાખાઓ $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$
$R_{eq} = 10 \Omega$.

(B) મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી $\mu$ ને એકમ વિદ્યુતક્ષેત્ર દીઠ ડ્રિફ્ટ વેગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{v_d}{E} = \frac{e \tau}{m}$
જ્યાં:
$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,
$\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે,
$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
ચૂક $e$ અને $m$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\mu \propto \tau$
તેથી,વાહકમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી એ રિલેક્સેશન સમયના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(B) આપેલ છે: પ્રવાહ $I = 20 \text{ A}$.
સમય $t = 1 \text{ કલાક } 30 \text{ મિનિટ} = 90 \text{ મિનિટ} = 90 \times 60 \text{ સેકન્ડ} = 5400 \text{ સેકન્ડ}$.
વહન પામતા વિદ્યુતભારનું સૂત્ર $Q = I \times t$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = 20 \text{ A} \times 5400 \text{ s} = 108000 \text{ C}$.
વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં,$Q = 1.08 \times 10^{5} \text{ C}$ અથવા $10.8 \times 10^{4} \text{ C}$ થાય.

(A) ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર કોઈલ સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ $R$ જોડવો આવશ્યક છે.
શ્રેણી અવરોધ માટેનું સૂત્ર $R = \frac{V}{I_g} - G$ છે.
આપેલ કિંમતો:
વોલ્ટેજ રેન્જ $V = 20 \text{ V}$
પૂર્ણ સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ $I_g = 5 \text{ mA} = 5 \times 10^{-3} \text{ A}$
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 50 \Omega$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{20}{5 \times 10^{-3}} - 50$
$R = \frac{20}{0.005} - 50$
$R = 4000 - 50 = 3950 \Omega$
આમ,ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં $3950 \Omega$ નો અવરોધ જોડવો જોઈએ.

(A) જ્યારે અવરોધો સમાંતર જોડાયેલા હોય,ત્યારે દરેક અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ સમાન હોય છે.
અવરોધ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V$ બંને અવરોધો માટે સમાન હોવાથી,$P \propto \frac{1}{R}$ થાય.
તેથી,વપરાતા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_2}{R_1}$ થશે.
આપેલ છે કે $R_1 = 10 \Omega$ અને $R_2 = 20 \Omega$,તેથી:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{20}{10} = \frac{2}{1}$.
આમ,તેમના દ્વારા વપરાતા પાવરનો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(D) તાપમાન $T$ પર વાહકનો અવરોધ $R$ નીચેના રેખીય સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = R_{0} [1 + \alpha(T - T_{0})]$
$R = R_{0} + R_{0}\alpha(T - T_{0})$
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = R$ અને $x = (T - T_{0})$ છે:
આલેખનો ઢાળ $m = R_{0}\alpha$ છે.
તેથી,તાપમાન ગુણાંક $(\alpha)$ થશે:
$\alpha = \frac{m}{R_{0}}$

(D) $ V $ સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \,nm$
અહીં આપેલ છે,$V = 400 \,V$.
સૂત્રમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{400}} \,nm$
$\lambda = \frac{1.227}{20} \,nm$
$\lambda = 0.06135 \,nm$
નજીકની કિંમત લેતા,આપણને $\lambda \approx 0.06 \,nm$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{0}$ અને આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ $eV_{0} = h\nu - \phi$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આલેખ પરથી,ત્રણ આવૃત્તિઓ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ અનુક્રમે $V_{01}, V_{02}$ અને $V_{03}$ છે.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $|V_{03}| > |V_{02}| > |V_{01}|$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય જેટલું વધારે,તેટલી આવૃત્તિ વધારે.
તેથી,આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો સંબંધ $v_{3} > v_{2} > v_{1}$ થાય,જે $v_{1} < v_{2} < v_{3}$ ને સમાન છે.

(B) આપેલ છે,ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $(E)$ $= -3.4 \text{ eV}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,કુલ ઉર્જા $(E)$,ગતિ ઉર્જા $(K)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E = -K$
$U = 2E$
તેથી,ગતિ ઉર્જા $K = -E = -(-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$.
સ્થિતિ ઉર્જા $U = 2 \times E = 2 \times (-3.4 \text{ eV}) = -6.8 \text{ eV}$.
આમ,આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $3.4 \text{ eV}$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $-6.8 \text{ eV}$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ભ્રમણના સમતલને લંબ રૂપે કોણીય વેગ $\omega$ થી ફરતા $L$ લંબાઈના એક વાહક સળિયામાં પ્રેરિત emf નું સૂત્ર $E = \int_{0}^{L} B v \, dr = \int_{0}^{L} B (r \omega) \, dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $E = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{2} B \omega L^2$ મળે છે.
તમામ આરા ધરી અને રીમ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,દરેક આરા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે.
તેથી,ધરી અને રીમ વચ્ચે પ્રેરિત કુલ emf $E = \frac{1}{2} B \omega L^2$ રહે છે.

(A) આપેલ છે: ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $= m$,વીજભાર $= e$,અંતર $= h$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $= E$.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$ થાય.
ગતિનું સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ વાપરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને $S = h$ છે:
$h = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) t^2$.
$t^2$ ને કર્તા બનાવતા:
$t^2 = \frac{2hm}{eE}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$t = \sqrt{\frac{2hm}{eE}}$.

(D) સ્થિત વિદ્યુત બળ દ્વારા કણ પર થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કાર્ય $W = \int_{r_1}^{r_2} \frac{k q_1 q_2}{r^2} dr = k q_1 q_2 \left[ -\frac{1}{r} \right]_{1}^{10} = k q_1 q_2 \left( 1 - \frac{1}{10} \right) = k q_1 q_2 \left( \frac{9}{10} \right)$.
અહીં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$, $q_1 = 1 \times 10^{-6} \text{ C}$, $q_2 = 2 \times 10^{-3} \text{ C}$, $m = 1 \times 10^{-3} \text{ kg}$ છે.
$W = (9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-3}) \times 0.9 = 18 \times 0.9 = 16.2 \text{ J}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $W = \frac{1}{2} m v^2$.
$16.2 = \frac{1}{2} \times (1 \times 10^{-3}) \times v^2$.
$v^2 = \frac{16.2 \times 2}{10^{-3}} = 32.4 \times 10^3 = 32400$.
$v = \sqrt{32400} = 180 \text{ m s}^{-1}$.

(C) ટૂંકી ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ માટે કેન્દ્રથી $r$ અંતરે જ્યાં $r >> a$ હોય ત્યારે:
અક્ષીય રેખા પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{ax} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\vec{p}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિષુવવૃત્તીય રેખા પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{eq} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\vec{E}_{ax} = -2\vec{E}_{eq}$ થાય છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $( \varepsilon_{0} )$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_{0}} $.
જો વિદ્યુતભાર ગોસિયન સપાટીની બહાર હોય,તો ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $( q_{\text{enclosed}} )$ $ 0 $ થાય છે,તેથી ફ્લક્સ $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = 0 $ થાય છે.
જો વિદ્યુતભાર ગોસિયન સપાટીની અંદર હોય,તો ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $ q $ થાય છે,તેથી ફ્લક્સ $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q}{\varepsilon_{0}} $ થાય છે.
આ નિયમ સાચો રહે છે,પછી ભલે બ્રહ્માંડમાં માત્ર એક જ પ્રકારનો વિદ્યુતભાર હોય કે બંને પ્રકારના વિદ્યુતભારો હોય.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ માટે,સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે આપેલ સ્થિતિમાન $V$ માટે અંતર $r$ અચળ હોવું જોઈએ.
સ્થિર બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી અચળ અંતરે આવેલા બિંદુઓનો પથ એક ગોળો છે.
તેથી,બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એ ગોળાના કેન્દ્રમાં વિદ્યુતભાર ધરાવતો ગોળો છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો બનાવતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ખૂણો $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ રેડિયન}$ છે.
$R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અંદરના ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_{0} I (\pi/3)}{4 \pi R_1} = \frac{\mu_{0} I}{12 R_1}$ (કાગળના સમતલની અંદરની તરફ).
$R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બહારના ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_{0} I (\pi/3)}{4 \pi R_2} = \frac{\mu_{0} I}{12 R_2}$ (કાગળના સમતલની બહારની તરફ).
સીધા વિભાગો $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફાળો આપતા નથી કારણ કે $O$ નો સ્થાન સદિશ પ્રવાહના ઘટકો સાથે એકરેખસ્થ છે.
$O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_{0} I}{12} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.

(A) આપેલ છે: એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $ n = 40 \text{ આંટા/સેમી} = 4000 \text{ આંટા/મીટર} = 4 \times 10^3 \text{ m}^{-1} $.
વિદ્યુતપ્રવાહ $ I = 1 \text{ A} $.
એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $ u_m $ નું સૂત્ર $ u_m = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2 $ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$ u_m = \frac{1}{2} \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (4 \times 10^3)^2 \times (1)^2 $.
$ u_m = \frac{1}{2} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 16 \times 10^6 \times 1 $.
$ u_m = 2\pi \times 16 \times 10^{-1} $.
$ u_m = 32\pi \times 0.1 = 3.2\pi \text{ J m}^{-3} $.

(D) લાંબા પ્રવાહધારિત સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે અને તે તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ (પ્રોટોન) ને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર $v$ વેગથી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m$ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $F_m = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $B$ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થાય છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ $F_m = qvB \sin(0^\circ) = 0$ થાય છે.
પ્રોટોન પર કોઈ ચુંબકીય બળ લાગતું ન હોવાથી,તેમાં કોઈ પ્રવેગ ઉત્પન્ન થશે નહીં અને તે સોલેનોઈડની અક્ષ પર $v$ જેટલા સમાન વેગથી ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ને લંબ ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $(r)$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $r \propto v$,જેનો અર્થ છે કે જેમ ત્રિજ્યા $(r)$ વધે છે,તેમ કણનો રેખીય વેગ $(v)$ પણ વધે છે.
કોણીય વેગ $(\omega)$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
$\omega$ ના સૂત્રમાં $v = \frac{rqB}{m}$ મૂકતા,આપણને $\omega = \frac{rqB}{mr} = \frac{qB}{m}$ મળે છે.
અહીં વીજભાર $(q)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ અને દળ $(m)$ અચળ હોવાથી,કોણીય વેગ $(\omega)$ ત્રિજ્યા અને વેગથી સ્વતંત્ર રહે છે.
તેથી,જેમ ત્રિજ્યા વધે છે,તેમ $v$ વધે છે અને $\omega$ અચળ રહે છે.

(C) આપેલ છે: પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ = $3.0 \ G$. ડીપનો ખૂણો $(\delta)$ = $30^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B_H = B \cos \delta$,જ્યાં $B$ એ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$3.0 = B \cos 30^{\circ}$
$3.0 = B \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$B = \frac{3.0 \times 2}{\sqrt{3}}$
$B = \frac{6.0}{1.732} \approx 3.464 \ G$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $B \approx 3.5 \ G$ મળે છે.
તેથી,તે સ્થળે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $3.5 \ G$ છે.

(B) ક્યુરીના નિયમ મુજબ,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $ \chi $ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $ T $ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$ \chi \propto \frac{1}{T} $.
આનો અર્થ એ છે કે $ \chi T = \text{અચળ} $.
તેથી,$ T_{1} $ અને $ T_{2} $ તાપમાન માટે અનુરૂપ સસેપ્ટિબિલિટી $ \chi_{1} $ અને $ \chi_{2} $ હોય,તો $ \chi_{1} T_{1} = \chi_{2} T_{2} $ થાય.

(C) અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ કિરણો એવા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો છે જેની તરંગલંબાઇ દ્રશ્ય પ્રકાશ કરતા ટૂંકી પરંતુ $X$-કિરણો કરતા લાંબી હોય છે. તેમની ઉચ્ચ ઉર્જા અને સૂક્ષ્મજીવોના $DNA$ ને નુકસાન પહોંચાડવાની ક્ષમતાને કારણે, તેનો ઉપયોગ ખાદ્ય ઉદ્યોગમાં દૂધ અને અન્ય પ્રવાહીઓને બેક્ટેરિયા અને રોગકારક જીવાણુઓનો નાશ કરીને જંતુરહિત કરવા માટે કરવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $ T_{1/2} = 10 $ દિવસ,પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $ N_0 = 1000x $,સમય $ t = 5 $ દિવસ.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $ N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}} $.
કિંમતો મૂકતા: $ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{5 / 10} $.
$ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{1/2} $.
$ N = \frac{1000x}{\sqrt{2}} $.
કારણ કે $ \sqrt{2} \approx 1.414 $,
$ N = \frac{1000x}{1.414} \approx 707.21x $.
તેથી,$ 5 $ દિવસ પછી બાકી રહેલા મૂળ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા આશરે $ 707x $ છે.

(D) ધારો કે $X$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $Z_X$ અને દળ ક્રમાંક $A_X$ છે.
પ્રથમ તબક્કામાં,$X \rightarrow Y + 4e$. જો આપણે $4$ આલ્ફા કણોનું ઉત્સર્જન ગણીએ,તો પરમાણુ ક્રમાંકમાં $4 \times 2 = 8$ નો ઘટાડો થાય છે અને દળ ક્રમાંકમાં $4 \times 4 = 16$ નો ઘટાડો થાય છે.
બીજા તબક્કામાં,$Y \rightarrow Z + 2e^{-}$. $2$ બીટા કણોના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંકમાં $2$ નો વધારો થાય છે અને દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં કુલ ફેરફાર: $\Delta Z = -8 + 2 = -6$.
જો પ્રશ્ન મુજબ $X$ અને $Z$ આઈસોટોપ હોય,તો તેમનો પરમાણુ ક્રમાંક સમાન હોવો જોઈએ. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$X$ અને $Z$ આઈસોટોપ છે તે સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ છે: ન્યુક્લિયસનું દળ $ M = 20 u = 20 \times 1.6 \times 10^{-27} kg = 3.2 \times 10^{-26} kg $.
ફોટોનની ઉર્જા $ E = 6 MeV = 6 \times 10^6 eV = 6 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 9.6 \times 10^{-13} J $.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ન્યુક્લિયસનું વેગમાન $ p_n $ એ ફોટોનના વેગમાન $ p_p $ જેટલું હોવું જોઈએ.
$ p_p = \frac{E}{c} = \frac{9.6 \times 10^{-13} J}{3 \times 10^8 m/s} = 3.2 \times 10^{-21} kg \cdot m/s $.
$ p_n = p_p $ હોવાથી, ન્યુક્લિયસની ગતિ ઉર્જા $ K_n = \frac{p_n^2}{2M} $ દ્વારા મળે છે.
$ K_n = \frac{(3.2 \times 10^{-21})^2}{2 \times 3.2 \times 10^{-26}} = \frac{10.24 \times 10^{-42}}{6.4 \times 10^{-26}} = 1.6 \times 10^{-16} J $.
$ eV $ માં રૂપાંતર કરતા: $ K_n = \frac{1.6 \times 10^{-16} J}{1.6 \times 10^{-19} J/eV} = 10^3 eV = 1 keV $.
આમ, ન્યુક્લિયસની ગતિ ઉર્જા $ 1 keV $ છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,ચત્તું અને મોટું પ્રતિબિંબ ત્યારે જ મળે છે જ્યારે વસ્તુને લેન્સના પ્રકાશીય કેન્દ્ર અને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે.
અહીં કેન્દ્રલંબાઈ $f = 20 \ cm$ આપેલી છે,તેથી વસ્તુનું અંતર $u$ એવું હોવું જોઈએ કે જેથી $0 < |u| < 20 \ cm$ થાય.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$15 \ cm$ એ એકમાત્ર મૂલ્ય છે જે $u < f$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,સાચું અંતર $15 \ cm$ છે.

(B) ફ્રેનલ અંતર $(Z_F)$ એ અંતર છે જેના માટે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એક સારું અંદાજ છે। તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z_F = \frac{a^2}{\lambda}$.
આપેલ છે:
એપર્ચર,$a = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$.
તરંગલંબાઇ,$\lambda = 400 \,nm = 400 \times 10^{-9} \,m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$Z_F = \frac{(4 \times 10^{-3})^2}{400 \times 10^{-9}}$
$Z_F = \frac{16 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}}$
$Z_F = 4 \times 10^1 = 40 \,m$.
આમ,$40 \,m$ ના અંતર માટે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એક સારું અંદાજ છે।

(B) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમન કોણ $e$ જેટલો હોય છે,અને વક્રીભવન કોણ $r_1$ એ $r_2 = r$ જેટલો હોય છે.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ પરથી,આપણને મળે છે $A = 2r$,તેથી $r = A/2 = 60^{\circ}/2 = 30^{\circ}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
અહીં $\mu = \sqrt{2}$ અને $r = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$i = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$.

(D) કાચની પ્લેટનો વક્રીભવનાંક અલગ-અલગ રંગો માટે અલગ-અલગ હોય છે કારણ કે દરેક રંગ માટે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ અલગ હોય છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે વક્રીભવનાંક વધારે હોય છે.
જાંબલી રંગની તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછી હોવાથી,કાચનો વક્રીભવનાંક જાંબલી રંગ માટે મહત્તમ અને લાલ રંગ માટે ન્યૂનતમ હોય છે.
કાચના સ્લેબ દ્વારા જોવામાં આવતી વસ્તુના સ્થાનમાં દેખીતું સ્થાનાંતર આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta t = t(1 - \frac{1}{\mu})$,જ્યાં $t$ એ સ્લેબની જાડાઈ છે અને $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
અથવા,દેખીતી ઊંડાઈનો ઉપયોગ કરતા: $d' = \frac{d}{\mu}$. સ્થાનાંતર $\Delta d = d - d' = d(1 - \frac{1}{\mu})$ છે.
જાંબલી પ્રકાશ માટે $\mu$ મહત્તમ હોવાથી,$(1 - \frac{1}{\mu})$ પદ જાંબલી રંગ માટે મહત્તમ બને છે.
તેથી,જાંબલી અક્ષર સૌથી વધુ ઊંચકાયેલો દેખાશે.

(A) સમાંતર આંતરપૃષ્ઠોની શ્રેણી માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ,દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર વક્રીભવનાંક અને આપાતકોણના સાઈન (sine) નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
ધારો કે $\theta_{1}$ એ પ્રથમ માધ્યમમાં આપાતકોણ છે અને $\theta_{4}$ એ ચોથા માધ્યમમાં નિર્ગમન કોણ છે.
દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n_{1} \sin \theta_{1} = n_{2} \sin \theta_{2} = n_{3} \sin \theta_{3} = n_{4} \sin \theta_{4}$
આપેલ છે કે નિર્ગમન કિરણ $DE$ એ આપાત કિરણ $AB$ ને સમાંતર છે,તેથી આપાતકોણ $\theta_{1}$ એ નિર્ગમન કોણ $\theta_{4}$ જેટલો જ હોવો જોઈએ (એટલે કે $\theta_{1} = \theta_{4}$).
તેથી,$n_{1} \sin \theta_{1} = n_{4} \sin \theta_{1}$.
કારણ કે $\sin \theta_{1} \neq 0$,તેથી આપણને $n_{1} = n_{4}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર,$ \Delta I_{C} = 0.49 \,mA $.
એમિટર પ્રવાહમાં ફેરફાર,$ \Delta I_{E} = 0.50 \,mA $.
આપણે જાણીએ છીએ કે બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફાર $ \Delta I_{B} = \Delta I_{E} - \Delta I_{C} $ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$ \Delta I_{B} = 0.50 \,mA - 0.49 \,mA = 0.01 \,mA $.
પ્રવાહ ગેઇન $ \beta $ ને કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર અને બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$ \beta = \frac{\Delta I_{C}}{\Delta I_{B}} $.
કિંમતો મૂકતા,$ \beta = \frac{0.49 \,mA}{0.01 \,mA} = 49 $.
તેથી,પ્રવાહ ગેઇન $ \beta $ એ $ 49 $ છે.

(C) ચલ $AC$ સ્ત્રોતમાંથી અચળ $DC$ વોલ્ટેજ મેળવવા માટે,નીચે મુજબની પ્રક્રિયાઓ ક્રમશઃ કરવી જોઈએ:
$1$. રેક્ટિફાયર: તે $AC$ સિગ્નલને પલ્સિંગ (ધબકતા) $DC$ સિગ્નલમાં રૂપાંતરિત કરે છે.
$2$. ફિલ્ટર: પલ્સિંગ $DC$ સિગ્નલમાંથી રિપલ્સ દૂર કરીને તેને શુદ્ધ $DC$ સિગ્નલમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
$3$. રેગ્યુલેટર: તે લોડ કરંટ અને $AC$ સ્ત્રોતના વોલ્ટેજમાં થતા ફેરફારોથી સ્વતંત્ર એવો સ્થિર $DC$ વોલ્ટેજ પૂરો પાડે છે.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$.
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.2 \,mm = 0.2 \times 10^{-3} \,m$.
એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9} \,m}{0.2 \times 10^{-3} \,m}$.
$\theta = \frac{1200 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = 6000 \times 10^{-6} \,rad = 6 \times 10^{-3} \,rad$.
આમ, મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $6 \times 10^{-3} \,rad$ છે।

(D) સ્થાયી વ્યતિકરણ માટેની શરતો નીચે મુજબ છે: ઉદગમો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમની આવૃત્તિ (તરંગલંબાઇ) સમાન હોવી જોઈએ અને તેમની વચ્ચે કળા તફાવત અચળ હોવો જોઈએ.
આ પ્રયોગમાં,એક સ્લિટને લાલ ફિલ્ટર (જે ફક્ત લાલ પ્રકાશ પસાર થવા દે છે) અને બીજી સ્લિટને વાદળી ફિલ્ટર (જે ફક્ત વાદળી પ્રકાશ પસાર થવા દે છે) વડે ઢાંકવામાં આવે છે.
લાલ પ્રકાશ અને વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇઓ નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોવાથી,આ બે ઉદગમો સુસંબદ્ધ નથી.
ઉદગમો સુસંબદ્ધ ન હોવાથી,તેઓ પડદા પર સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત રચી શકતા નથી.
તેથી,કોઈ વ્યતિકરણ જોવા મળશે નહીં.