KCET 2008 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $x = 7^{-20}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$\log_{10} x = \log_{10} (7^{-20})$
$\log_{10} x = -20 \times \log_{10} 7$
$\log_{10} x = -20 \times 0.8451 = -16.902$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા:
$\log_{10} x = -16.902 = -17 + 0.098 = \overline{17}.098$.
અહીં પૂર્ણાંશ ભાગ (characteristic) $-17$ હોવાથી,$7^{-20}$ નો પ્રથમ સાર્થક અંક $17$ માં દશાંશ સ્થાને આવશે.

(D) આપેલ છે,$p^{2}-2q^{2}=1$ $(i)$.
$p$ અને $q$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,આપણે નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ચકાસીએ.
ધારો કે $p=3$ અને $q=2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(3)^{2}-2(2)^{2} = 9 - 2(4) = 9 - 8 = 1$.
આ શરતનું પાલન થાય છે.
હવે,$p^{2}+2q^{2}$ ની કિંમત શોધીએ:
$p^{2}+2q^{2} = (3)^{2}+2(2)^{2} = 9 + 2(4) = 9 + 8 = 17$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{3}-6x+9=0$
$9$ ના અવયવો તપાસતા,$x=-3$ માટે:
$(-3)^{3}-6(-3)+9 = -27+18+9 = 0$
આમ,$(x+3)$ એ બહુપદીનો એક અવયવ છે.
$x^{3}-6x+9$ ને $(x+3)$ વડે ભાગતા:
$(x+3)(x^{2}-3x+3) = 0$
દ્વિઘાત ભાગ $x^{2}-3x+3=0$ માટે,વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4(1)(3) = 9-12 = -3$.
$D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત ભાગના બીજ કાલ્પનિક છે.
તેથી,એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ $x=-3$ છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે કે,$z = -\overline{z}$.
કિંમતો મૂકતા:
$x + iy = -(x - iy)$
$x + iy = -x + iy$
$2x = 0$
$x = 0$.
તેથી,વાસ્તવિક ભાગ $x = 0$ હોવાથી,સંકર સંખ્યા $z = iy$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\alpha^{2}+\alpha+1=0$ છે.
આ એકમના ઘનમૂળ માટેનું લાક્ષણિક સમીકરણ છે,જ્યાં $\alpha$ એ $\omega$ અથવા $\omega^{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^{3}=1$.
જો $\alpha=\omega$ હોય,તો $\alpha^{31} = \omega^{31} = (\omega^{3})^{10} \cdot \omega = 1^{10} \cdot \omega = \omega = \alpha$.
જો $\alpha=\omega^{2}$ હોય,તો $\alpha^{31} = (\omega^{2})^{31} = \omega^{62} = (\omega^{3})^{20} \cdot \omega^{2} = 1^{20} \cdot \omega^{2} = \omega^{2} = \alpha$.
બંને કિસ્સામાં,$\alpha^{31} = \alpha$ થાય છે.

(A) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{6}\left(\sin \frac{2 k \pi}{7}-i \cos \frac{2 k \pi}{7}\right)$ છે.
$-i$ સામાન્ય લેતા:
$S = -i \sum_{k=1}^{6}\left(\cos \frac{2 k \pi}{7} + i \sin \frac{2 k \pi}{7}\right)$.
ધારો કે $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{7}} = \cos \frac{2 \pi}{7} + i \sin \frac{2 \pi}{7}$,તેથી:
$S = -i \sum_{k=1}^{6} \omega^k$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે:
$S = -i \left( \frac{\omega(1 - \omega^6)}{1 - \omega} \right) = -i \left( \frac{\omega - \omega^7}{1 - \omega} \right)$.
$\omega^7 = 1$ હોવાથી:
$S = -i \left( \frac{\omega - 1}{1 - \omega} \right) = -i (-1) = i$.

(C) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $T_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ છે.
આપણે તેને $T_k = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
$n$ પદો સુધીનો સરવાળો:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{6n+4} \right) = \frac{n}{6n+4}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \ge 10$ માટે,$n!$ ના છેલ્લા બે અંકો શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $n!$ એ $100$ વડે વિભાજ્ય છે.
સરવાળો: $1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!$
$= 1 + 24 + 5040 + (10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!)$
$= 5065 + (10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!)$
અહીં $5065$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે કારણ કે તેનો એકમનો અંક $5$ છે.
તેથી,સમગ્ર સરવાળો $5$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) આપણે $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^{1} = 5$
$5^{2} = 25$
$5^{3} = 125$
$5^{4} = 625$
તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^{n}$ નો એકમનો અંક હંમેશા $5$ હોય છે.
તેથી,$5^{834}$ ના એકમના સ્થાનનો અંક $5$ છે.

(D) આપણે $3^{100} \times 2^{50}$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,$3^{100} \pmod{5}$ ધ્યાનમાં લો:
$3^2 = 9 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}$.
તેથી,$3^{100} = (3^2)^{50} \equiv (-1)^{50} \equiv 1 \pmod{5}$.
આગળ,$2^{50} \pmod{5}$ ધ્યાનમાં લો:
$2^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}$.
તેથી,$2^{50} = (2^2)^{25} \equiv (-1)^{25} \equiv -1 \pmod{5}$.
કારણ કે $-1 \equiv 4 \pmod{5}$,તેથી $2^{50} \equiv 4 \pmod{5}$.
હવે,$3^{100} \times 2^{50} \equiv 1 \times 4 \equiv 4 \pmod{5}$.
તેથી,શેષ $4$ છે.

(C) ધારો કે $x = 67 \frac{1}{2}^{\circ} = 67.5^{\circ}$. આપણે $\tan 67.5^{\circ} + \cot 67.5^{\circ}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં,$\theta = 67.5^{\circ}$,તેથી $2\theta = 135^{\circ}$.
આમ,$\tan 67.5^{\circ} + \cot 67.5^{\circ} = \frac{2}{\sin 135^{\circ}}$.
કારણ કે $\sin 135^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,કિંમત $\frac{2}{1/\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}=\frac{x}{y}$.
નિત્યસમ $1+\cos A = 2\cos^{2}\frac{A}{2}$ અને $1-\cos A = 2\sin^{2}\frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{\frac{2\cos^{2}\frac{A}{2}}{2\sin^{2}\frac{A}{2}}} = \frac{x}{y}$
$\cot\frac{A}{2} = \frac{x}{y} \implies \tan\frac{A}{2} = \frac{y}{x}$.
હવે,$\tan A = \frac{2\tan\frac{A}{2}}{1-\tan^{2}\frac{A}{2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan A = \frac{2(\frac{y}{x})}{1-(\frac{y}{x})^{2}} = \frac{\frac{2y}{x}}{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}}$
$\tan A = \frac{2y}{x} \times \frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}} = \frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 2x + \cos 4x = 2$
નિત્યસમ $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2x + 1 - 2\sin^2 2x = 2$
પદોને ગોઠવતા:
$2\sin^2 2x - \sin 2x + 1 = 0$
ધારો કે $t = \sin 2x$. સમીકરણ $2t^2 - t + 1 = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7$ છે.
$D < 0$ હોવાથી,$t$ માટે કોઈ વાસ્તવિક કિંમતો નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
તેથી,$x$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ છે,$|\sin x| = \cos x$.
$|\sin x| \ge 0$ હોવાથી,$\cos x \ge 0$ હોવું જોઈએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\sin^2 x = \cos^2 x$ મળે.
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos^2 x = \cos^2 x$ મળે.
આથી $2 \cos^2 x = 1$,અથવા $\cos^2 x = \frac{1}{2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos x \ge 0$ હોવાથી,આપણે ઋણ કિંમતને અવગણીએ છીએ,તેથી $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos x = \cos \alpha$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \alpha$ છે.
અહીં,$\cos x = \cos(\frac{\pi}{4})$,તેથી $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $3x^{2} + xy - y^{2} - 3x + 6y + k = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 3, b = -1, h = \frac{1}{2}, g = -\frac{3}{2}, f = 3, c = k$.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $abc + 2fgh - af^{2} - bg^{2} - ch^{2} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3(-1)(k) + 2(3)(-\frac{3}{2})(\frac{1}{2}) - 3(3)^{2} - (-1)(-\frac{3}{2})^{2} - k(\frac{1}{2})^{2} = 0$.
$-3k - \frac{9}{2} - 27 + \frac{9}{4} - \frac{k}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા:
$-12k - 18 - 108 + 9 - k = 0$.
$-13k - 117 = 0$.
$-13k = 117$.
$k = -9$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A \equiv (2,3)$,$B \equiv (8,10)$ અને $C \equiv (5,5)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ માટે $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$G = \left(\frac{2+8+5}{3}, \frac{3+10+5}{3}\right)$
$G = \left(\frac{15}{3}, \frac{18}{3}\right)$
$G = (5, 6)$

(D) ધારો કે અક્ષો વચ્ચે કપાયેલા રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે.
ધારો કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $P(x, y)$ છે.
તેથી,$x = \frac{a+0}{2} \Rightarrow a = 2x$ અને $y = \frac{0+b}{2} \Rightarrow b = 2y$.
આપેલ છે કે $a+b=4$.
આપેલ સમીકરણમાં $a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2x + 2y = 4$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x + y = 2$
આમ,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $x+y=2$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતા સૌથી નાના વર્તુળનો વ્યાસ રેખાખંડ $AB$ હોય છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(2,2)$ અને $B(3,3)$ છે.
વ્યાસ $AB$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
યામો મૂકતા,$(x-2)(x-3) + (y-2)(y-3) = 0$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 - 5x + 6) + (y^2 - 5y + 6) = 0$ મળે.
સાદું રૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 5x - 5y + 12 = 0$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ની બહાર ત્યારે હોય જો $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c > 0$ થાય.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,$S = x^2 + y^2 - 8x$.
$(5, -7)$ મૂકતા:
$S_1 = 5^2 + (-7)^2 - 8(5) = 25 + 49 - 40 = 34$.
$34 > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(5, -7)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x = 0$ ની બહાર આવેલું છે.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વૃત્તાંશની પરિમિતિ $P = l + 2r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l = r\theta$ એ ચાપની લંબાઈ છે અને $\theta$ એ રેડિયનમાં ખૂણો છે.
અર્ધવર્તુળના ચાપની લંબાઈ $\pi r$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વૃત્તાંશની પરિમિતિ અર્ધવર્તુળના ચાપની લંબાઈ જેટલી છે:
$r\theta + 2r = \pi r$
બંને બાજુ $r$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ હોવાથી):
$\theta + 2 = \pi$
$\theta = \pi - 2$
આમ,વૃત્તાંશના કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\pi - 2$ રેડિયન છે.

(A) આપેલ વર્તુળો $x^{2}+y^{2}=9$ અને $x^{2}+y^{2}+2 \alpha x+2 y+1=0$ ના કેન્દ્રો અને ત્રિજ્યાઓ $C_{1}(0,0), r_{1}=3$ અને $C_{2}(-\alpha, -1), r_{2}=\sqrt{(-\alpha)^{2}+(-1)^{2}-1} = |\alpha|$ છે.
બે વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના તફાવત જેટલું હોય છે:
$C_{1}C_{2} = |r_{1} - r_{2}|$
$\sqrt{(-\alpha - 0)^{2} + (-1 - 0)^{2}} = |3 - |\alpha||$
$\sqrt{\alpha^{2} + 1} = |3 - |\alpha||$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\alpha^{2} + 1 = (3 - |\alpha|)^{2}$
$\alpha^{2} + 1 = 9 - 6|\alpha| + \alpha^{2}$
$6|\alpha| = 8$
$|\alpha| = \frac{4}{3}$
$\alpha = \pm \frac{4}{3}$

(B) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $y^{2}=16x$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=4$.
પરવલયનો એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે કે કોઈપણ નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળ દોરેલા સ્પર્શકો પરવલયની નિયામિકા (directrix) પર કાટખૂણે છેદે છે.
પરવલય $y^{2}=4ax$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x=-a$ છે.
$a=4$ મૂકતા,નિયામિકાનું સમીકરણ $x=-4$ મળે છે,જેને $x+4=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સ્પર્શકો $x+4=0$ રેખા પર છેદે છે.

(C) ધારો કે નાભિ $S(a, 0)$ છે.
પરવલય $y^{2}=4ax$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(at^{2}, 2at)$ છે.
$SP$ નું મધ્યબિંદુ $(x, y)$ છે.
તેથી,$x = \frac{a + at^{2}}{2}$ અને $y = \frac{0 + 2at}{2} = at$.
$y = at$ પરથી,$t = \frac{y}{a}$ મળે.
$x$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{a + a(\frac{y}{a})^{2}}{2} = \frac{a + \frac{y^{2}}{a}}{2}$.
$2x = a + \frac{y^{2}}{a} \implies \frac{y^{2}}{a} = 2x - a \implies y^{2} = 2a(x - \frac{a}{2})$.
આ $Y^{2} = 4AX$ સ્વરૂપનો પરવલય છે જ્યાં $A = \frac{a}{2}$ અને $X = x - \frac{a}{2}$ છે.
$Y^{2} = 4AX$ ની નિયામિકા $X = -A$ છે.
તેથી,$x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2}$.
$x = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{2-\lambda} - \frac{y^{2}}{\lambda-5} = 1$ છે.
આ સમીકરણ ઉપવલય દર્શાવે તે માટે તે $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ,જ્યાં $a^{2} > 0$ અને $b^{2} > 0$ હોય.
સમીકરણને ફરીથી લખતા: $\frac{x^{2}}{2-\lambda} + \frac{y^{2}}{5-\lambda} = 1$.
ઉપવલય માટે,બંને છેદ ધન હોવા જોઈએ:
$2 - \lambda > 0 \implies \lambda < 2$
$5 - \lambda > 0 \implies \lambda < 5$
આ બંને શરતોનો છેદ લેતા,આપણને $\lambda < 2$ મળે છે.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય એ સમતલના એવા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે કે જેથી બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (જેને નાભિ કહેવાય છે) થી તેમના અંતરનો સરવાળો અચળ રહે છે.
તેથી,આવા બિંદુનો બિંદુપથ ઉપવલય છે.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $3x^{2} - 3y^{2} = 25$ છે,જેને $x^{2} - y^{2} = \frac{25}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a^{2} = \frac{25}{3}$ અને $b^{2} = \frac{25}{3}$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{25/3}{25/3}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ થાય.
અનુબદ્ધ અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ છે,એટલે કે $-x^{2} + y^{2} = \frac{25}{3}$.
અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_{2} = \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{25/3}{25/3}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ થાય.
તેથી,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 2 + 2 = 4$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ છે.
તેને $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 9$ મળે છે.
બિંદુ $(-4, 0)$ અતિવલય પર આવેલું છે કારણ કે $\frac{(-4)^{2}}{16} - \frac{0^{2}}{9} = 1$ થાય છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{9x}{16y}$ છે.
$(-4, 0)$ આગળ,સ્પર્શક શિરોલંબ છે $(x = -4)$,તેથી અભિલંબ સમક્ષિતિજ રેખા હશે.
આમ,અભિલંબનું સમીકરણ $y = 0$ છે.

(C) લક્ષ $\lim_{x \rightarrow \infty} x \sin \left(\frac{2}{x}\right)$ ની ગણતરી કરવા માટે,ધારો કે $t = \frac{1}{x}$.
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $t \rightarrow 0$.
પદમાં $x = \frac{1}{t}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \sin(2t)$
$= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(2t)}{t}$
$= \lim_{t \rightarrow 0} 2 \cdot \frac{\sin(2t)}{2t}$
કારણ કે $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,તેથી:
$= 2 \cdot 1 = 2$

(D) આપેલ શરતી વિધાન $p \rightarrow \sim q$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim B \rightarrow \sim A$ થાય છે.
તેથી,$p \rightarrow \sim q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim(\sim q) \rightarrow \sim p$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $q \rightarrow \sim p$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ નું પ્રતીપ $B \rightarrow A$ થાય છે.
તેથી,$q \rightarrow \sim p$ નું પ્રતીપ $\sim p \rightarrow q$ થાય.

(C) ધારો કે $ED = h$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે. બિંદુઓ $A, B, C, D$ એક રેખસ્થ છે જ્યાં $D$ એ ટાવરનો પાયો છે.
$\triangle ADE$ માં,$\angle EAD = \alpha$,$\angle EBD = 2\alpha$,$\angle ECD = 3\alpha$.
$\triangle ABE$ માં,$\angle EAB = \alpha$ અને $\angle EBA = 180^{\circ} - 2\alpha$.
તેથી,$\angle AEB = 180^{\circ} - (\alpha + 180^{\circ} - 2\alpha) = \alpha$.
$\angle EAB = \angle AEB = \alpha$ હોવાથી,$\triangle ABE$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે,જેમાં $BE = AB = a$.
$\triangle BCE$ માં,સાઈન નિયમ મુજબ:
$\frac{BE}{\sin 3\alpha} = \frac{CE}{\sin(180^{\circ} - 2\alpha)}$
$\frac{a}{\sin 3\alpha} = \frac{CE}{\sin 2\alpha} \Rightarrow CE = \frac{a \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}$.
$\triangle CDE$ માં,$\sin 3\alpha = \frac{h}{CE}$.
$h = CE \sin 3\alpha = \left(\frac{a \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}\right) \sin 3\alpha = a \sin 2\alpha$.

(C) કારણ કે $A, B, C$ એ $AP$ માં છે,તેથી $2B = A + C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$A + C = 180^{\circ} - B$.
$AP$ ની શરતમાં કિંમત મૂકતા: $2B = 180^{\circ} - B$ $\Rightarrow 3B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow B = 60^{\circ}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$.
આપેલ છે કે $\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
$B = 60^{\circ}$ મૂકતા: $\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow C = 45^{\circ}$.
અંતે,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 75^{\circ}$.

(D) આપેલ સંબંધ $R = \{(x, y) : 4x + 3y = 20\}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{N}$ પર છે.
$(x, y) \in R$ માટે,$x$ અને $y$ બંને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ (એટલે કે $x, y \in \{1, 2, 3, \dots\}$).
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
$(a)$ $(-4, 12)$: $-4 \notin \mathbb{N}$.
$(b)$ $(5, 0)$: $0 \notin \mathbb{N}$.
$(c)$ $(3, 4)$: $4(3) + 3(4) = 12 + 12 = 24 \neq 20$.
$(d)$ $(2, 4)$: $4(2) + 3(4) = 8 + 12 = 20$. અહીં $2 \in \mathbb{N}$ અને $4 \in \mathbb{N}$ હોવાથી,$(2, 4) \in R$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ ઊંચાઈ વિધેય: $x = 80t - 16t^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટેનો સમય શોધવા માટે,આપણે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dx}{dt} = 80 - 32t$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પથ્થરનો વેગ શૂન્ય હોય છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = 0$.
વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $80 - 32t = 0$.
$32t = 80$.
$t = \frac{80}{32} = 2.5 \text{ s}$.

(D) આપેલ દ્વિ ક્રિયા $a * b = a + b - 5$ છે.
પ્રથમ,અંદરના પદ $(x * 3)$ ની કિંમત શોધો:
$x * 3 = x + 3 - 5 = x - 2$.
હવે,આ કિંમતને સમીકરણ $2 * (x * 3) = 5$ માં મૂકો:
$2 * (x - 2) = 5$.
ક્રિયાની વ્યાખ્યા ફરીથી લાગુ પાડતા:
$2 + (x - 2) - 5 = 5$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x - 5 = 5$.
$x = 10$.

(C) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ માટે સરવાળાની ક્રિયા ક્રમનો નિયમ $(a+b = b+a)$ અને જૂથનો નિયમ $((a+b)+c = a+(b+c))$ પાળે છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ માટે ગુણાકારની ક્રિયા જૂથનો નિયમ $((a \times b) \times c = a \times (b \times c))$ પાળે છે.
ક્રિયા $a * b = a^{b}$ માટે,આપણે ક્રમનો નિયમ ચકાસીએ: $a * b = a^{b}$ અને $b * a = b^{a}$.
તમામ $a, b \in N$ માટે $a^{b} \neq b^{a}$ હોવાથી (દા.ત.,$2 * 3 = 2^{3} = 8$ જ્યારે $3 * 2 = 3^{2} = 9$),$*$ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.
તેથી,વિકલ્પ $C$ અસત્ય છે.

(D) ધારો કે $G = \{-1, 0, 1\}$.
કોઈપણ ગણ ગુણાકાર માટેનું જૂથ બનવા માટે,દરેક ઘટકનો વ્યસ્ત ઘટક હોવો જરૂરી છે.
ગુણાકાર માટેના વ્યસ્ત ઘટકની વ્યાખ્યા મુજબ,ઘટક $a$ માટે એવો ઘટક $b$ મળવો જોઈએ જેથી $a \times b = 1$ થાય.
અહીં ઘટક $0$ માટે,ગણમાં એવો કોઈ ઘટક $b$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $0 \times b = 1$ થાય.
તેથી,ઘટક $0$ માટે વ્યસ્ત ઘટકનો નિયમ નિષ્ફળ જાય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$.
આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = 5 I$,બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $|A| = 5$ મળે છે.
$n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ છે.
અહીં,શ્રેણિકની કક્ષા $n = 3$ છે.
તેથી,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $|\operatorname{adj} A| = (5)^2 = 25$ મળે છે.

(A) ચોરસ શ્રેણિક $A$ ના લાક્ષણિક બીજ (eigenvalues) એ લાક્ષણિક સમીકરણ $\det(A - \lambda I) = 0$ ના ઉકેલો છે.
ત્રિકોણીય શ્રેણિક (ઉપલા અથવા નીચલા) માટે,નિશ્ચાયક $\det(A - \lambda I)$ એ વિકર્ણ ઘટકોમાંથી $\lambda$ બાદ કરીને તેમનો ગુણાકાર કરવાથી મળે છે.
આપેલ શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$ એ નીચલો ત્રિકોણીય શ્રેણિક છે,તેથી લાક્ષણિક સમીકરણ $(1 - \lambda)(3 - \lambda)(6 - \lambda) = 0$ થશે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 1, 3, 6$ મળે છે.
આમ,લાક્ષણિક બીજ $1, 3, 6$ છે.

(A) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$ થાય છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-અવયજ શ્રેણિક),$\operatorname{adj}(A)$,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને મેળવવામાં આવે છે:
$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો વ્યસ્ત શોધવાનું સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $A = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|$ છે.
આપણને $B = \left|\begin{array}{ccc}c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$ આપેલ છે.
પ્રથમ,$B$ ની પ્રથમ અને બીજી હારની અદલાબદલી કરતા $B' = -\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$ મળે.
ત્યારબાદ,$B'$ ની બીજી અને ત્રીજી હારની અદલાબદલી કરતા $B'' = -(-1) \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right|$ મળે.
કોઈપણ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક તેના પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) ના નિશ્ચાયક જેટલો જ હોવાથી,$\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| = A$ થાય.
તેથી,$A = B$.

(A) ધારો કે $\theta = \sin^{-1} \sqrt{\frac{63}{65}}$. તેથી $\sin \theta = \sqrt{\frac{63}{65}}$.
આપણે $\sin(2\theta)$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{63}{65}} = \sqrt{\frac{2}{65}}$ શોધો.
હવે,આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\sin(2\theta) = 2 \times \sqrt{\frac{63}{65}} \times \sqrt{\frac{2}{65}}$
$\sin(2\theta) = 2 \times \frac{\sqrt{63 \times 2}}{65} = 2 \times \frac{\sqrt{126}}{65} = \frac{2 \sqrt{126}}{65}$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{3}$ છે.
$f^{-1}(8)$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $f(x) = 8$ ને $x$ માટે ઉકેલવું પડશે.
$x^{3} = 8$
$x^{3} - 8 = 0$
$(x - 2)(x^{2} + 2x + 4) = 0$
આનાથી આપણને વાસ્તવિક ઉકેલ તરીકે $x = 2$ મળે છે.
કારણ કે $f$ નો પ્રદેશ $R$ (વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ) છે,તેથી આપણે ફક્ત વાસ્તવિક કિંમતને ધ્યાનમાં લઈશું.
તેથી,$f^{-1}(8) = \{2\}$.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} 2a-x & \text{in } -a < x < a \\ 3x-2a & \text{in } a \leq x \end{cases}$
$x=a$ આગળ સાતત્ય ચકાસતા:
$LHL = \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a} (2a-x) = 2a-a = a$
$RHL = \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a} (3x-2a) = 3a-2a = a$
$f(a) = 3(a)-2a = a$
અહીં $LHL = RHL = f(a)$ હોવાથી,વિધેય $x=a$ આગળ સતત છે.
$x=a$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસતા:
$LHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{2a-(a-h)-a}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{-h} = -1$
$RHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3(a+h)-2a-a}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = 3$
અહીં $LHD \neq RHD$ હોવાથી,વિધેય $x=a$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે,$f(x^{5}) = 5x^{3}$.
ધારો કે $x^{5} = y$,જેનો અર્થ છે કે $x = y^{1/5}$.
તેથી $x^{3} = (y^{1/5})^{3} = y^{3/5}$.
આ કિંમત વિધેયમાં મૂકતા,આપણને $f(y) = 5y^{3/5}$ મળે છે.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,$f(x) = 5x^{3/5}$ મળે.
હવે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 5 \cdot \frac{3}{5} x^{(3/5 - 1)} = 3x^{-2/5}$.
આને $f'(x) = \frac{3}{x^{2/5}} = \frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) આપેલ છે,$f(x) = b e^{ax} + a e^{bx}$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(b e^{ax} + a e^{bx}) = b(a e^{ax}) + a(b e^{bx}) = ab e^{ax} + ab e^{bx}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે $f^{\prime}(x)$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}(ab e^{ax} + ab e^{bx}) = ab(a e^{ax}) + ab(b e^{bx}) = a^2 b e^{ax} + ab^2 e^{bx}$.
છેલ્લે,$x = 0$ મૂકતા:
$f^{\prime \prime}(0) = a^2 b e^{a(0)} + ab^2 e^{b(0)} = a^2 b(1) + ab^2(1) = a^2 b + ab^2$.
$ab$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$f^{\prime \prime}(0) = ab(a + b)$.

(C) ધારો કે $u = \sin(x^{3})$ અને $v = \cos(x^{3})$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંનેનું વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{du}{dx} = \cos(x^{3}) \cdot 3x^{2}$
$\frac{dv}{dx} = -\sin(x^{3}) \cdot 3x^{2}$
હવે,$u$ નું $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન ચેઈન રૂલ દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{3x^{2} \cos(x^{3})}{-3x^{2} \sin(x^{3})}$
$\frac{du}{dv} = -\frac{\cos(x^{3})}{\sin(x^{3})} = -\cot(x^{3})$

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f(-x) = f(x)$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(-x) \cdot (-1) = f^{\prime}(x)$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$,જે દર્શાવે છે કે $f^{\prime}(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
$x = e$ મૂકતા,આપણને $f^{\prime}(-e) = -f^{\prime}(e)$ મળે છે.
તેથી,$f^{\prime}(e) + f^{\prime}(-e) = f^{\prime}(e) - f^{\prime}(e) = 0$ થાય.

(C) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $x$ અને $y$ છે જે $r = 2 \text{ unit}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે,તેથી $d = 2r = 2 \times 2 = 4 \text{ unit}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = d^2 = 4^2 = 16$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = xy$ છે.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^2 = x^2 y^2$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
$y^2 = 16 - x^2$ હોવાથી,$A^2 = x^2(16 - x^2) = 16x^2 - x^4$ મળે.
ધારો કે $f(x) = 16x^2 - x^4$. મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,$f'(x) = 32x - 4x^3 = 0$ લો.
$4x(8 - x^2) = 0$,જે $x^2 = 8$ આપે છે (કારણ કે $x > 0$).
તેથી $y^2 = 16 - 8 = 8$,એટલે કે $x = y = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આ લંબચોરસ એક ચોરસ છે જેની બાજુની લંબાઈ $2\sqrt{2}$ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = x \times y = \sqrt{8} \times \sqrt{8} = 8 \text{ sq unit}$ થાય.

(C) ધારો કે $y = \frac{\log x}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
મહત્તમ કિંમત માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \implies 1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$.
અહીં $e \approx 2.718$ હોવાથી,$x = e$ એ અંતરાલ $(2, \infty)$ માં આવે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2x \log x - 3x}{x^4}$.
$x = e$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2e(1) - 3e}{e^4} = \frac{-e}{e^4} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,વિધેય $x = e$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી મહત્તમ કિંમત $y = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\int f(x) dx = g(x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $f(x) = g'(x)$.
આપણે $\int f(x) g(x) dx$ સંકલન શોધવાનું છે.
$f(x) = g'(x)$ મૂકતા,આપણને $\int g'(x) g(x) dx$ મળે છે.
ધારો કે $g(x) = u$,તો $g'(x) dx = du$.
આથી સંકલન $\int u du = \frac{u^2}{2} + C$ બને છે.
$u = g(x)$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} g^2(x) + C$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sec x}{\sec x+\tan x} dx$.
અંશ અને છેદને $(\sec x - \tan x)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{\sec x(\sec x - \tan x)}{\sec^2 x - \tan^2 x} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,તેથી સંકલન આ મુજબ સરળ બને છે:
$I = \int (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \tan x - \sec x + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1-\sin ^{4} x}} dx$.
$\sin^{2} x = t$ આદેશ લેતા,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2 \sin x \cos x dx = dt$ મળે,એટલે કે $\sin x \cos x dx = \frac{1}{2} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{1}{2 \sqrt{1-t^{2}}} dt$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} dt = \sin^{-1} t + C$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{1}{2} \sin^{-1} t + C$ મળે.
છેલ્લે,$t = \sin^{2} x$ પાછું મૂકતા,$I = \frac{1}{2} \sin^{-1}(\sin^{2} x) + C$ મળે છે.

(C) આપણે ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int u \cdot v \, dx = u \int v \, dx - \int (u' \int v \, dx) \, dx$.
ધારો કે $I = \int e^{x} \cdot x^{5} \, dx$.
સામાન્યીકૃત ખંડશઃ સંકલન સૂત્ર $\int e^{x} f(x) \, dx = e^{x} [f(x) - f'(x) + f''(x) - f'''(x) + f^{(4)}(x) - f^{(5)}(x)] + C$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં,$f(x) = x^{5}$.
તેથી,$f'(x) = 5x^{4}$,$f''(x) = 20x^{3}$,$f'''(x) = 60x^{2}$,$f^{(4)}(x) = 120x$,અને $f^{(5)}(x) = 120$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = e^{x} [x^{5} - 5x^{4} + 20x^{3} - 60x^{2} + 120x - 120] + C$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-2}^{2}(a x^{3} + b x + c) d x$.
આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ:
$I = \int_{-2}^{2} a x^{3} d x + \int_{-2}^{2} b x d x + \int_{-2}^{2} c d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અયુગ્મ વિધેય $f(x)$ માટે,$\int_{-k}^{k} f(x) d x = 0$ થાય છે.
અહીં $a x^{3}$ અને $b x$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$\int_{-2}^{2} a x^{3} d x = 0$ અને $\int_{-2}^{2} b x d x = 0$ થશે.
તેથી,$I = 0 + 0 + \int_{-2}^{2} c d x = \int_{-2}^{2} c d x = [c x]_{-2}^{2} = c(2 - (-2)) = 4c$.
આમ,સંકલનનું મૂલ્ય ફક્ત $c$ ના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=2x-x^{2}$ છે.
વક્ર $x$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે $y=0$ લઈએ છીએ:
$2x-x^{2}=0 \implies x(2-x)=0$,જે $x=0$ અને $x=2$ આપે છે.
આમ,વક્ર $x$-અક્ષને $(0,0)$ અને $(2,0)$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=2$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{2} (2x-x^{2}) dx$
$= \left[ x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{2}$
$= \left( 2^{2} - \frac{2^{3}}{3} \right) - (0 - 0)$
$= 4 - \frac{8}{3}$
$= \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \frac{dy}{dx} + x = c$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $y \, dy = (c - x) \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int y \, dy = \int (c - x) \, dx$.
આથી $\frac{y^2}{2} = cx - \frac{x^2}{2} + k$ મળે,જ્યાં $k$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
$2$ વડે ગુણતા,$y^2 = 2cx - x^2 + 2k$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 2cx + y^2 = 2k$ થાય છે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x^2 - 2cx + c^2) + y^2 = 2k + c^2$.
આમ,$(x - c)^2 + y^2 = R^2$,જ્યાં $R^2 = 2k + c^2$.
આ વર્તુળોના કુળનું સમીકરણ છે જેના કેન્દ્રો $(c, 0)$ છે,જે $x$-અક્ષ પર આવેલા છે.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overrightarrow{a}| = 1$ અને $|\overrightarrow{b}| = 1$.
આપણને $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 1$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = 1^2$.
ગુણધર્મ $|\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}|^2 = |\overrightarrow{x}|^2 + |\overrightarrow{y}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1$.
$2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1 \Rightarrow 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = -1$.
હવે,આપણે $|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$ શોધવાનું છે.
$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$.
કિંમતો મૂકતા,$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 1^2 + 1^2 - (-1) = 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{3}$.

(D) ધારો કે $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\overrightarrow{b} = \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ બંનેને લંબ સદિશ તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 0) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(1 - 0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
જરૂરી એકમ સદિશ $\pm \frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $\frac{\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ છે.

(C) ધારો કે $\overrightarrow{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 1$,તેથી $a_{1} = 1$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 1$,તેથી $a_{1} + a_{2} = 1$. $a_{1} = 1$ મૂકતા,આપણને $1 + a_{2} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a_{2} = 0$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$,તેથી $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1$. $a_{1} = 1$ અને $a_{2} = 0$ મૂકતા,આપણને $1 + 0 + a_{3} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a_{3} = 0$.
તેથી,$\overrightarrow{a} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k} = \hat{i}$.

(C) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{a}$ નો સદિશ $\overrightarrow{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ શોધો:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (3)(2) + (-1)(3) + (5)(1) = 6 - 3 + 5 = 8$.
હવે,સદિશ $\overrightarrow{b}$ નું માન શોધો:
$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
તેથી,માંગેલ પ્રક્ષેપ $\frac{8}{\sqrt{14}}$ થાય.