નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યાઓ પૈકી કઈ દ્રીક ક્રિયા (binary operation) છે તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્રીક ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $Z^{+}$ પર,$*$ ને $a * b = ab$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.

સાબિત કરો કે સરવાળો, બાદબાકી અને ગુણાકાર એ $R$ પર દ્વિ-ક્રિયાઓ (binary operations) છે, પરંતુ ભાગાકાર એ $R$ પર દ્વિ-ક્રિયા નથી. વધુમાં, સાબિત કરો કે ભાગાકાર એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R_*$ પર દ્વિ-ક્રિયા છે.

એક અરિક્ત ગણ $X$ આપેલ છે,દ્વિ-ક્રિયા $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ ધ્યાનમાં લો જે $A, B \in P(X)$ માટે $A \,^*\, B = A \cap B$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $P(X)$ એ $X$ નો ઘાતગણ છે. સાબિત કરો કે $X$ એ આ ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે અને $X$ એ આ ક્રિયાના સંદર્ભમાં $P(X)$ માં એકમાત્ર વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક છે.

ધારો કે $^*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે,જે $a \,^*\, b = a b^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. નક્કી કરો કે આ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ અને જૂથનો નિયમ પાળે છે કે નહીં.

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યા દ્વિ-ક્રિયા (binary operation) છે કે નહીં તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્વિ-ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $Z^{+}$ પર,$*$ ને $a * b = a - b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.