KCET 2008 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना $x = 7^{-20}$ है।
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर:
$\log_{10} x = \log_{10} (7^{-20})$
$\log_{10} x = -20 \times \log_{10} 7$
$\log_{10} x = -20 \times 0.8451 = -16.902$.
इसे मानक रूप में लिखने पर:
$\log_{10} x = -16.902 = -17 + 0.098 = \overline{17}.098$.
चूंकि पूर्णांश (characteristic) $-17$ है,इसलिए $7^{-20}$ का प्रथम सार्थक अंक $17$ वें दशमलव स्थान पर होगा।

(D) दिया गया है,$p^{2}-2q^{2}=1$ $(i)$.
चूंकि $p$ और $q$ अभाज्य संख्याएँ हैं,हम छोटी अभाज्य संख्याओं का परीक्षण करते हैं।
माना $p=3$ और $q=2$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$(3)^{2}-2(2)^{2} = 9 - 2(4) = 9 - 8 = 1$.
यह दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।
अब,$p^{2}+2q^{2}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p^{2}+2q^{2} = (3)^{2}+2(2)^{2} = 9 + 2(4) = 9 + 8 = 17$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^{3}-6x+9=0$
$9$ के गुणनखंडों की जाँच करने पर,$x=-3$ के लिए:
$(-3)^{3}-6(-3)+9 = -27+18+9 = 0$
अतः,$(x+3)$ बहुपद का एक गुणनखंड है।
$x^{3}-6x+9$ को $(x+3)$ से विभाजित करने पर:
$(x+3)(x^{2}-3x+3) = 0$
द्विघात भाग $x^{2}-3x+3=0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4(1)(3) = 9-12 = -3$ है।
चूंकि $D < 0$,द्विघात भाग के मूल काल्पनिक हैं।
इसलिए,एकमात्र वास्तविक मूल $x=-3$ है।

(B) माना $z = x + iy$.
दिया गया है,$z = -\overline{z}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x + iy = -(x - iy)$
$x + iy = -x + iy$
$2x = 0$
$x = 0$.
चूंकि वास्तविक भाग $x = 0$ है,इसलिए सम्मिश्र संख्या $z = iy$ शुद्ध काल्पनिक है।

(A) दिया गया समीकरण $\alpha^{2}+\alpha+1=0$ है।
यह इकाई के घनमूल के लिए अभिलक्षणिक समीकरण है,जहाँ $\alpha$ या तो $\omega$ है या $\omega^{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^{3}=1$ होता है।
यदि $\alpha=\omega$ है,तो $\alpha^{31} = \omega^{31} = (\omega^{3})^{10} \cdot \omega = 1^{10} \cdot \omega = \omega = \alpha$।
यदि $\alpha=\omega^{2}$ है,तो $\alpha^{31} = (\omega^{2})^{31} = \omega^{62} = (\omega^{3})^{20} \cdot \omega^{2} = 1^{20} \cdot \omega^{2} = \omega^{2} = \alpha$।
दोनों ही स्थितियों में,$\alpha^{31} = \alpha$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^{6}\left(\sin \frac{2 k \pi}{7}-i \cos \frac{2 k \pi}{7}\right)$ है।
$-i$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S = -i \sum_{k=1}^{6}\left(\cos \frac{2 k \pi}{7} + i \sin \frac{2 k \pi}{7}\right)$.
माना $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{7}} = \cos \frac{2 \pi}{7} + i \sin \frac{2 \pi}{7}$,तब:
$S = -i \sum_{k=1}^{6} \omega^k$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है:
$S = -i \left( \frac{\omega(1 - \omega^6)}{1 - \omega} \right) = -i \left( \frac{\omega - \omega^7}{1 - \omega} \right)$.
चूंकि $\omega^7 = 1$,इसलिए:
$S = -i \left( \frac{\omega - 1}{1 - \omega} \right) = -i (-1) = i$.

(C) श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ है।
हम इसे $T_k = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$n$ पदों तक का योगफल:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{6n+4} \right) = \frac{n}{6n+4}$.

(C) हम जानते हैं कि $n \ge 10$ के लिए,$n!$ के अंतिम दो अंक शून्य होते हैं,अर्थात $n!$ संख्या $100$ से विभाज्य है।
योगफल: $1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!$
$= 1 + 24 + 5040 + (10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!)$
$= 5065 + (10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!)$
यहाँ $5065$ संख्या $5$ से विभाज्य है क्योंकि इसका इकाई का अंक $5$ है।
अतः,पूरा योगफल $5$ से विभाज्य है।

(D) हम $5$ की घातों का अवलोकन करते हैं:
$5^{1} = 5$
$5^{2} = 25$
$5^{3} = 125$
$5^{4} = 625$
यह स्पष्ट है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^{n}$ का इकाई अंक हमेशा $5$ होता है।
अतः,$5^{834}$ के इकाई के स्थान पर $5$ है।

(D) हमें $3^{100} \times 2^{50}$ को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$3^{100} \pmod{5}$ पर विचार करें:
$3^2 = 9 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}$.
अतः,$3^{100} = (3^2)^{50} \equiv (-1)^{50} \equiv 1 \pmod{5}$.
इसके बाद,$2^{50} \pmod{5}$ पर विचार करें:
$2^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}$.
अतः,$2^{50} = (2^2)^{25} \equiv (-1)^{25} \equiv -1 \pmod{5}$.
चूंकि $-1 \equiv 4 \pmod{5}$,इसलिए $2^{50} \equiv 4 \pmod{5}$.
अब,$3^{100} \times 2^{50} \equiv 1 \times 4 \equiv 4 \pmod{5}$.
अतः,शेषफल $4$ है।

(C) माना $x = 67 \frac{1}{2}^{\circ} = 67.5^{\circ}$. हमें $\tan 67.5^{\circ} + \cot 67.5^{\circ}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ का उपयोग करने पर।
यहाँ,$\theta = 67.5^{\circ}$,इसलिए $2\theta = 135^{\circ}$.
अतः,$\tan 67.5^{\circ} + \cot 67.5^{\circ} = \frac{2}{\sin 135^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 135^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,मान $\frac{2}{1/\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$ है।

(C) दिया गया है,$\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}=\frac{x}{y}$.
सर्वसमिकाओं $1+\cos A = 2\cos^{2}\frac{A}{2}$ और $1-\cos A = 2\sin^{2}\frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{\frac{2\cos^{2}\frac{A}{2}}{2\sin^{2}\frac{A}{2}}} = \frac{x}{y}$
$\cot\frac{A}{2} = \frac{x}{y} \implies \tan\frac{A}{2} = \frac{y}{x}$.
अब,सूत्र $\tan A = \frac{2\tan\frac{A}{2}}{1-\tan^{2}\frac{A}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan A = \frac{2(\frac{y}{x})}{1-(\frac{y}{x})^{2}} = \frac{\frac{2y}{x}}{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}}$
$\tan A = \frac{2y}{x} \times \frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}} = \frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 2x + \cos 4x = 2$
सर्वसमिका $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2x + 1 - 2\sin^2 2x = 2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2\sin^2 2x - \sin 2x + 1 = 0$
माना $t = \sin 2x$। समीकरण $2t^2 - t + 1 = 0$ बन जाता है।
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (Discriminant) $D = (-1)^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7$ है।
चूंकि $D < 0$,इसलिए $t$ के लिए कोई वास्तविक मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,$x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।

(B) दिया गया है,$|\sin x| = \cos x$.
चूंकि $|\sin x| \ge 0$,इसलिए $\cos x \ge 0$ होना चाहिए।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^2 x = \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$1 - \cos^2 x = \cos^2 x$ मिलता है।
यह $2 \cos^2 x = 1$,या $\cos^2 x = \frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।
वर्गमूल लेने पर,$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\cos x \ge 0$,हम ऋणात्मक मान को छोड़ देते हैं,इसलिए $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$\cos x = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \alpha$ है।
यहाँ,$\cos x = \cos(\frac{\pi}{4})$,इसलिए $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$।

(D) द्विघात समीकरण का व्यापक रूप $ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $3x^{2} + xy - y^{2} - 3x + 6y + k = 0$ से तुलना करने पर:
$a = 3, b = -1, h = \frac{1}{2}, g = -\frac{3}{2}, f = 3, c = k$.
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^{2} - bg^{2} - ch^{2} = 0$ है।
मान रखने पर:
$3(-1)(k) + 2(3)(-\frac{3}{2})(\frac{1}{2}) - 3(3)^{2} - (-1)(-\frac{3}{2})^{2} - k(\frac{1}{2})^{2} = 0$.
$-3k - \frac{9}{2} - 27 + \frac{9}{4} - \frac{k}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर:
$-12k - 18 - 108 + 9 - k = 0$.
$-13k - 117 = 0$.
$-13k = 117$.
$k = -9$.

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A \equiv (2,3)$,$B \equiv (8,10)$ और $C \equiv (5,5)$ हैं।
त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ का सूत्र,जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,$G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$G = \left(\frac{2+8+5}{3}, \frac{3+10+5}{3}\right)$
$G = \left(\frac{15}{3}, \frac{18}{3}\right)$
$G = (5, 6)$

(D) माना अक्षों के बीच कटे रेखाखंड के अंत्य बिंदु $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं।
माना $AB$ का मध्य-बिंदु $P(x, y)$ है।
अतः,$x = \frac{a+0}{2} \Rightarrow a = 2x$ और $y = \frac{0+b}{2} \Rightarrow b = 2y$ है।
दिया गया है कि $a+b=4$ है।
दिए गए समीकरण में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 2y = 4$
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y = 2$
अतः,मध्य-बिंदु का बिंदु पथ $x+y=2$ है।

(B) दो बिंदुओं $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ से गुजरने वाले सबसे छोटे वृत्त का व्यास रेखाखंड $AB$ होता है।
दिए गए बिंदु $A(2,2)$ और $B(3,3)$ हैं।
व्यास $AB$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर,$(x-2)(x-3) + (y-2)(y-3) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$(x^2 - 5x + 6) + (y^2 - 5y + 6) = 0$ मिलता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 5x - 5y + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) एक बिंदु $(x_1, y_1)$ वृत्त $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के बाहर स्थित होता है यदि $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c > 0$ हो।
विकल्प $(A)$ के लिए,$S = x^2 + y^2 - 8x$ है।
$(5, -7)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S_1 = 5^2 + (-7)^2 - 8(5) = 25 + 49 - 40 = 34$।
चूंकि $34 > 0$ है,इसलिए बिंदु $(5, -7)$ वृत्त $x^2 + y^2 - 8x = 0$ के बाहर स्थित है।

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
त्रिज्यखंड का परिमाप $P = l + 2r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l = r\theta$ चाप की लंबाई है और $\theta$ रेडियन में कोण है।
अर्धवृत्त के चाप की लंबाई $\pi r$ है।
प्रश्न के अनुसार,त्रिज्यखंड का परिमाप अर्धवृत्त के चाप की लंबाई के बराबर है:
$r\theta + 2r = \pi r$
दोनों पक्षों को $r$ से विभाजित करने पर $(r \neq 0)$:
$\theta + 2 = \pi$
$\theta = \pi - 2$
अतः,त्रिज्यखंड के केंद्र पर कोण $\pi - 2$ रेडियन है।

(A) दिए गए वृत्तों $x^{2}+y^{2}=9$ और $x^{2}+y^{2}+2 \alpha x+2 y+1=0$ के केंद्र और त्रिज्याएँ $C_{1}(0,0), r_{1}=3$ और $C_{2}(-\alpha, -1), r_{2}=\sqrt{(-\alpha)^{2}+(-1)^{2}-1} = |\alpha|$ हैं।
चूंकि दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होनी चाहिए:
$C_{1}C_{2} = |r_{1} - r_{2}|$
$\sqrt{(-\alpha - 0)^{2} + (-1 - 0)^{2}} = |3 - |\alpha||$
$\sqrt{\alpha^{2} + 1} = |3 - |\alpha||$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\alpha^{2} + 1 = (3 - |\alpha|)^{2}$
$\alpha^{2} + 1 = 9 - 6|\alpha| + \alpha^{2}$
$6|\alpha| = 8$
$|\alpha| = \frac{4}{3}$
$\alpha = \pm \frac{4}{3}$

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^{2}=16x$ है।
इसे मानक रूप $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a=16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=4$।
परवलय का एक मानक गुण यह है कि किसी भी नाभीय जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परवलय की नियता (directrix) पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
परवलय $y^{2}=4ax$ के लिए नियता का समीकरण $x=-a$ होता है।
$a=4$ रखने पर,नियता का समीकरण $x=-4$ प्राप्त होता है,जिसे $x+4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,स्पर्श रेखाएँ $x+4=0$ रेखा पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(C) माना नाभि $S(a, 0)$ है।
परवलय $y^{2}=4ax$ पर कोई बिंदु $P(at^{2}, 2at)$ है।
माना $SP$ का मध्य-बिंदु $(x, y)$ है।
अतः,$x = \frac{a + at^{2}}{2}$ और $y = \frac{0 + 2at}{2} = at$ है।
$y = at$ से,$t = \frac{y}{a}$ प्राप्त होता है।
$x$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$x = \frac{a + a(\frac{y}{a})^{2}}{2} = \frac{a + \frac{y^{2}}{a}}{2}$।
$2x = a + \frac{y^{2}}{a} \implies \frac{y^{2}}{a} = 2x - a \implies y^{2} = 2a(x - \frac{a}{2})$।
यह $Y^{2} = 4AX$ के रूप का परवलय है जहाँ $A = \frac{a}{2}$ और $X = x - \frac{a}{2}$ है।
$Y^{2} = 4AX$ की नियता $X = -A$ होती है।
इसलिए,$x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2}$।
$x = 0$।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{2-\lambda} - \frac{y^{2}}{\lambda-5} = 1$ है।
इसे एक दीर्घवृत्त निरूपित करने के लिए,समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप में होना चाहिए जहाँ $a^{2} > 0$ और $b^{2} > 0$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{x^{2}}{2-\lambda} + \frac{y^{2}}{5-\lambda} = 1$।
दीर्घवृत्त के लिए,दोनों हर धनात्मक होने चाहिए:
$2 - \lambda > 0 \implies \lambda < 2$
$5 - \lambda > 0 \implies \lambda < 5$
इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $\lambda < 2$ प्राप्त होता है।

(C) परिभाषा के अनुसार,एक दीर्घवृत्त उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिनकी दो निश्चित बिंदुओं (जिन्हें नाभियाँ कहा जाता है) से दूरियों का योग एक स्थिरांक होता है।
अतः,ऐसे बिंदु का बिंदु पथ एक दीर्घवृत्त होता है।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $3x^{2} - 3y^{2} = 25$ है,जिसे $x^{2} - y^{2} = \frac{25}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a^{2} = \frac{25}{3}$ और $b^{2} = \frac{25}{3}$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e_{1} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{25/3}{25/3}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ है,अर्थात $-x^{2} + y^{2} = \frac{25}{3}$।
संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_{2} = \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{25/3}{25/3}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ है।
अतः,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 2 + 2 = 4$।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ है।
इसे $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(-4, 0)$ अतिपरवलय पर स्थित है क्योंकि $\frac{(-4)^{2}}{16} - \frac{0^{2}}{9} = 1$ है।
किसी बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{9x}{16y}$ है।
$(-4, 0)$ पर,स्पर्शरेखा ऊर्ध्वाधर $(x = -4)$ है,इसलिए अभिलंब एक क्षैतिज रेखा होगी।
अतः,अभिलंब का समीकरण $y = 0$ है।

(C) सीमा $\lim_{x \rightarrow \infty} x \sin \left(\frac{2}{x}\right)$ का मूल्यांकन करने के लिए,मान लीजिए $t = \frac{1}{x}$ है।
जैसे $x \rightarrow \infty$,वैसे $t \rightarrow 0$ होगा।
व्यंजक में $x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \sin(2t)$
$= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(2t)}{t}$
$= \lim_{t \rightarrow 0} 2 \cdot \frac{\sin(2t)}{2t}$
चूंकि $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए:
$= 2 \cdot 1 = 2$

(D) दिया गया प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow \sim q$ है।
एक प्रतिबंधात्मक कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \rightarrow \sim A$ होता है।
अतः,$p \rightarrow \sim q$ का प्रतिधनात्मक $\sim(\sim q) \rightarrow \sim p$ है,जो $q \rightarrow \sim p$ के रूप में सरल होता है।
एक प्रतिबंधात्मक कथन $A \rightarrow B$ का विलोम $B \rightarrow A$ होता है।
अतः,$q \rightarrow \sim p$ का विलोम $\sim p \rightarrow q$ है।

(C) माना $ED = h$ टावर की ऊँचाई है। बिंदु $A, B, C, D$ एक ही रेखा पर हैं जहाँ $D$ टावर का आधार है।
$\triangle ADE$ में,$\angle EAD = \alpha$,$\angle EBD = 2\alpha$,$\angle ECD = 3\alpha$.
$\triangle ABE$ में,$\angle EAB = \alpha$ और $\angle EBA = 180^{\circ} - 2\alpha$.
अतः,$\angle AEB = 180^{\circ} - (\alpha + 180^{\circ} - 2\alpha) = \alpha$.
चूँकि $\angle EAB = \angle AEB = \alpha$,इसलिए $\triangle ABE$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,जिसमें $BE = AB = a$.
$\triangle BCE$ में,ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{BE}{\sin 3\alpha} = \frac{CE}{\sin(180^{\circ} - 2\alpha)}$
$\frac{a}{\sin 3\alpha} = \frac{CE}{\sin 2\alpha} \Rightarrow CE = \frac{a \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}$.
$\triangle CDE$ में,$\sin 3\alpha = \frac{h}{CE}$.
$h = CE \sin 3\alpha = \left(\frac{a \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}\right) \sin 3\alpha = a \sin 2\alpha$.

(C) चूंकि $A, B, C$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2B = A + C$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $A + C = 180^{\circ} - B$।
$AP$ की शर्त में मान रखने पर: $2B = 180^{\circ} - B$ $\Rightarrow 3B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow B = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$।
दिया गया है $\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
$B = 60^{\circ}$ रखने पर: $\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow C = 45^{\circ}$।
अंत में,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 75^{\circ}$।

(D) दिया गया संबंध $R = \{(x, y) : 4x + 3y = 20\}$ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{N}$ पर है।
$(x, y) \in R$ के लिए,$x$ और $y$ दोनों प्राकृत संख्याएँ होनी चाहिए (अर्थात $x, y \in \{1, 2, 3, \dots\}$)।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
$(a)$ $(-4, 12)$: $-4 \notin \mathbb{N}$।
$(b)$ $(5, 0)$: $0 \notin \mathbb{N}$।
$(c)$ $(3, 4)$: $4(3) + 3(4) = 12 + 12 = 24 \neq 20$।
$(d)$ $(2, 4)$: $4(2) + 3(4) = 8 + 12 = 20$। चूँकि $2 \in \mathbb{N}$ और $4 \in \mathbb{N}$,इसलिए $(2, 4) \in R$।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया ऊँचाई फलन: $x = 80t - 16t^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने का समय ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = 80 - 32t$।
अधिकतम ऊँचाई पर,पत्थर का वेग शून्य होता है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = 0$।
अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर: $80 - 32t = 0$।
$32t = 80$।
$t = \frac{80}{32} = 2.5 \text{ s}$।

(D) दी गई द्विआधारी संक्रिया $a * b = a + b - 5$ है।
सबसे पहले,आंतरिक व्यंजक $(x * 3)$ का मान ज्ञात करें:
$x * 3 = x + 3 - 5 = x - 2$.
अब,इस मान को समीकरण $2 * (x * 3) = 5$ में प्रतिस्थापित करें:
$2 * (x - 2) = 5$.
संक्रिया की परिभाषा को पुनः लागू करने पर:
$2 + (x - 2) - 5 = 5$.
समीकरण को सरल करने पर:
$x - 5 = 5$.
$x = 10$.

(C) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ के लिए योग की संक्रिया क्रमविनिमेय $(a+b = b+a)$ और साहचर्य $((a+b)+c = a+(b+c))$ होती है।
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ के लिए गुणन की संक्रिया साहचर्य $((a \times b) \times c = a \times (b \times c))$ होती है।
संक्रिया $a * b = a^{b}$ के लिए,हम क्रमविनिमेयता की जाँच करते हैं: $a * b = a^{b}$ और $b * a = b^{a}$।
चूँकि सभी $a, b \in N$ के लिए $a^{b} \neq b^{a}$ (उदाहरण के लिए,$2 * 3 = 2^{3} = 8$ जबकि $3 * 2 = 3^{2} = 9$),संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
अतः,विकल्प $C$ असत्य है।

(D) माना $G = \{-1, 0, 1\}$ है।
किसी समुच्चय के गुणात्मक समूह होने के लिए,प्रत्येक अवयव का गुणात्मक प्रतिलोम होना आवश्यक है।
गुणात्मक प्रतिलोम की परिभाषा के अनुसार,अवयव $a$ के लिए एक ऐसा अवयव $b$ होना चाहिए जिससे $a \times b = 1$ हो।
यहाँ अवयव $0$ के लिए,समुच्चय में ऐसा कोई अवयव $b$ मौजूद नहीं है जिससे $0 \times b = 1$ हो सके।
अतः,अवयव $0$ के लिए प्रतिलोम नियम विफल हो जाता है।

(B) हम जानते हैं कि $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$ होता है।
दिया गया है कि $A(\operatorname{adj} A) = 5 I$,दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $|A| = 5$ प्राप्त होता है।
कोटि $n$ के एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज आव्यूह का गुणधर्म $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ,आव्यूह की कोटि $n = 3$ है।
अतः,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
$|A|$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\operatorname{adj} A| = (5)^2 = 25$ प्राप्त होता है।

(A) एक वर्ग आव्यूह $A$ के अभिलक्षणिक मूल (eigenvalues) अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I) = 0$ के हल होते हैं।
एक त्रिभुजाकार आव्यूह (ऊपरी या निचला) के लिए,सारणिक $\det(A - \lambda I)$ विकर्ण तत्वों में से $\lambda$ घटाकर उनका गुणनफल होता है।
दिया गया आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$ एक निचला त्रिभुजाकार आव्यूह है,इसलिए अभिलक्षणिक समीकरण $(1 - \lambda)(3 - \lambda)(6 - \lambda) = 0$ है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $\lambda = 1, 3, 6$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिलक्षणिक मूल $1, 3, 6$ हैं।

(A) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
$A$ का सारणिक $|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$ है।
$A$ का सहखंडज (adjoint),$\operatorname{adj}(A)$,विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात करने का सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A)$ है।
मान रखने पर,हमें $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सारणिक $A = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|$ है।
हमें $B = \left|\begin{array}{ccc}c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$ दिया गया है।
सबसे पहले,$B$ की पहली और दूसरी पंक्ति को आपस में बदलने पर $B' = -\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$B'$ की दूसरी और तीसरी पंक्ति को आपस में बदलने पर $B'' = -(-1) \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी आव्यूह का सारणिक उसके परिवर्त (transpose) के सारणिक के बराबर होता है,इसलिए $\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| = A$ होता है।
अतः,$A = B$।

(A) माना कि $\theta = \sin^{-1} \sqrt{\frac{63}{65}}$। तब $\sin \theta = \sqrt{\frac{63}{65}}$।
हमें $\sin(2\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए।
सबसे पहले,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{63}{65}} = \sqrt{\frac{2}{65}}$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें:
$\sin(2\theta) = 2 \times \sqrt{\frac{63}{65}} \times \sqrt{\frac{2}{65}}$
$\sin(2\theta) = 2 \times \frac{\sqrt{63 \times 2}}{65} = 2 \times \frac{\sqrt{126}}{65} = \frac{2 \sqrt{126}}{65}$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{3}$ है।
$f^{-1}(8)$ ज्ञात करने के लिए,हमें समीकरण $f(x) = 8$ को $x$ के लिए हल करना होगा।
$x^{3} = 8$
$x^{3} - 8 = 0$
$(x - 2)(x^{2} + 2x + 4) = 0$
इससे हमें वास्तविक हल के रूप में $x = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ का प्रांत $R$ (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) है,इसलिए हम केवल वास्तविक मान पर विचार करेंगे।
अतः,$f^{-1}(8) = \{2\}$.

(B) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} 2a-x & \text{in } -a < x < a \\ 3x-2a & \text{in } a \leq x \end{cases}$
$x=a$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a} (2a-x) = 2a-a = a$
$RHL = \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a} (3x-2a) = 3a-2a = a$
$f(a) = 3(a)-2a = a$
चूँकि $LHL = RHL = f(a)$,इसलिए फलन $x=a$ पर संतत है।
$x=a$ पर अवकलनीयता की जाँच:
$LHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{2a-(a-h)-a}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{-h} = -1$
$RHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3(a+h)-2a-a}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = 3$
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए फलन $x=a$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया है,$f(x^{5}) = 5x^{3}$।
माना $x^{5} = y$,जिसका अर्थ है $x = y^{1/5}$।
अतः $x^{3} = (y^{1/5})^{3} = y^{3/5}$।
इस मान को फलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(y) = 5y^{3/5}$ प्राप्त होता है।
$y$ को $x$ से बदलने पर,$f(x) = 5x^{3/5}$ प्राप्त होता है।
अब,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 5 \cdot \frac{3}{5} x^{(3/5 - 1)} = 3x^{-2/5}$।
इसे $f'(x) = \frac{3}{x^{2/5}} = \frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दिया गया है,$f(x) = b e^{ax} + a e^{bx}$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(b e^{ax} + a e^{bx}) = b(a e^{ax}) + a(b e^{bx}) = ab e^{ax} + ab e^{bx}$।
अब,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए $f^{\prime}(x)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}(ab e^{ax} + ab e^{bx}) = ab(a e^{ax}) + ab(b e^{bx}) = a^2 b e^{ax} + ab^2 e^{bx}$।
अंत में,$x = 0$ रखने पर:
$f^{\prime \prime}(0) = a^2 b e^{a(0)} + ab^2 e^{b(0)} = a^2 b(1) + ab^2(1) = a^2 b + ab^2$।
$ab$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime \prime}(0) = ab(a + b)$।

(C) माना $u = \sin(x^{3})$ और $v = \cos(x^{3})$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{du}{dx} = \cos(x^{3}) \cdot 3x^{2}$
$\frac{dv}{dx} = -\sin(x^{3}) \cdot 3x^{2}$
अब,$u$ का $v$ के सापेक्ष अवकलज श्रृंखला नियम (chain rule) द्वारा इस प्रकार है:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{3x^{2} \cos(x^{3})}{-3x^{2} \sin(x^{3})}$
$\frac{du}{dv} = -\frac{\cos(x^{3})}{\sin(x^{3})} = -\cot(x^{3})$

(B) दिया गया है कि $f(x)$ एक सम फलन है,इसलिए $f(-x) = f(x)$ होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(-x) \cdot (-1) = f^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$,जो दर्शाता है कि $f^{\prime}(x)$ एक विषम फलन (odd function) है।
$x = e$ रखने पर,हमें $f^{\prime}(-e) = -f^{\prime}(e)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(e) + f^{\prime}(-e) = f^{\prime}(e) - f^{\prime}(e) = 0$ होगा।

(C) माना कि आयत की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं जो $r = 2 \text{ unit}$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित हैं।
आयत का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है,इसलिए $d = 2r = 2 \times 2 = 4 \text{ unit}$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = d^2 = 4^2 = 16$.
आयत का क्षेत्रफल $A = xy$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = x^2 y^2$ को अधिकतम करते हैं।
चूंकि $y^2 = 16 - x^2$,इसलिए $A^2 = x^2(16 - x^2) = 16x^2 - x^4$ प्राप्त होता है।
माना $f(x) = 16x^2 - x^4$. अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 32x - 4x^3 = 0$ रखें।
$4x(8 - x^2) = 0$,जिससे $x^2 = 8$ प्राप्त होता है (क्योंकि $x > 0$)।
तब $y^2 = 16 - 8 = 8$,अर्थात $x = y = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
यह आयत एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई $2\sqrt{2}$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = x \times y = \sqrt{8} \times \sqrt{8} = 8 \text{ sq unit}$ है।

(C) माना $y = \frac{\log x}{x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
उच्चिष्ठ (maxima) के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \implies 1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$.
चूंकि $e \approx 2.718$,इसलिए $x = e$ अंतराल $(2, \infty)$ में स्थित है।
अब,द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2x \log x - 3x}{x^4}$.
$x = e$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2e(1) - 3e}{e^4} = \frac{-e}{e^4} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,फलन का मान $x = e$ पर अधिकतम है।
अतः अधिकतम मान $y = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(B) दिया गया है कि $\int f(x) dx = g(x)$ है।
इसका अर्थ है कि $f(x) = g'(x)$ है।
हमें समाकलन $\int f(x) g(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x) = g'(x)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int g'(x) g(x) dx$ प्राप्त होता है।
माना $g(x) = u$,तो $g'(x) dx = du$ होगा।
अतः समाकलन $\int u du = \frac{u^2}{2} + C$ हो जाता है।
$u = g(x)$ वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{2} g^2(x) + C$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{\sec x}{\sec x+\tan x} dx$.
अंश और हर को $(\sec x - \tan x)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{\sec x(\sec x - \tan x)}{\sec^2 x - \tan^2 x} dx$.
चूँकि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,इसलिए समाकलन सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$I = \int (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \tan x - \sec x + C$.

(A) माना $I = \int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1-\sin ^{4} x}} dx$ है।
$\sin^{2} x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2 \sin x \cos x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin x \cos x dx = \frac{1}{2} dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{1}{2 \sqrt{1-t^{2}}} dt$ प्राप्त होता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} dt = \sin^{-1} t + C$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{2} \sin^{-1} t + C$ प्राप्त होता है।
अंत में,$t = \sin^{2} x$ वापस रखने पर,$I = \frac{1}{2} \sin^{-1}(\sin^{2} x) + C$ प्राप्त होता है।

(C) हम खंडशः समाकलन (integration by parts) के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int u \cdot v \, dx = u \int v \, dx - \int (u' \int v \, dx) \, dx$.
माना $I = \int e^{x} \cdot x^{5} \, dx$.
सामान्यीकृत खंडशः समाकलन सूत्र $\int e^{x} f(x) \, dx = e^{x} [f(x) - f'(x) + f''(x) - f'''(x) + f^{(4)}(x) - f^{(5)}(x)] + C$ का उपयोग करने पर.
यहाँ,$f(x) = x^{5}$.
अतः,$f'(x) = 5x^{4}$,$f''(x) = 20x^{3}$,$f'''(x) = 60x^{2}$,$f^{(4)}(x) = 120x$,और $f^{(5)}(x) = 120$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I = e^{x} [x^{5} - 5x^{4} + 20x^{3} - 60x^{2} + 120x - 120] + C$.

(C) माना $I = \int_{-2}^{2}(a x^{3} + b x + c) d x$.
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-2}^{2} a x^{3} d x + \int_{-2}^{2} b x d x + \int_{-2}^{2} c d x$.
हम जानते हैं कि विषम फलन $f(x)$ के लिए,$\int_{-k}^{k} f(x) d x = 0$ होता है।
चूंकि $a x^{3}$ और $b x$ विषम फलन हैं,इसलिए $\int_{-2}^{2} a x^{3} d x = 0$ और $\int_{-2}^{2} b x d x = 0$ होगा।
अतः,$I = 0 + 0 + \int_{-2}^{2} c d x = \int_{-2}^{2} c d x = [c x]_{-2}^{2} = c(2 - (-2)) = 4c$.
इसलिए,समाकलन का मान केवल $c$ के मान पर निर्भर करता है।

(B) दिया गया वक्र $y=2x-x^{2}$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि वक्र $x$-अक्ष को कहाँ काटता है,हम $y=0$ रखते हैं:
$2x-x^{2}=0 \implies x(2-x)=0$,जिससे $x=0$ और $x=2$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को $(0,0)$ और $(2,0)$ पर काटता है।
वांछित क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{2} (2x-x^{2}) dx$
$= \left[ x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{2}$
$= \left( 2^{2} - \frac{2^{3}}{3} \right) - (0 - 0)$
$= 4 - \frac{8}{3}$
$= \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y \frac{dy}{dx} + x = c$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $y \, dy = (c - x) \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y \, dy = \int (c - x) \, dx$।
इससे $\frac{y^2}{2} = cx - \frac{x^2}{2} + k$ प्राप्त होता है,जहाँ $k$ समाकलन स्थिरांक है।
$2$ से गुणा करने पर,$y^2 = 2cx - x^2 + 2k$,जो $x^2 - 2cx + y^2 = 2k$ में सरल हो जाता है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x^2 - 2cx + c^2) + y^2 = 2k + c^2$।
अतः,$(x - c)^2 + y^2 = R^2$,जहाँ $R^2 = 2k + c^2$ है।
यह उन वृत्तों के परिवार का समीकरण है जिनके केंद्र $(c, 0)$ हैं,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं।

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overrightarrow{a}| = 1$ और $|\overrightarrow{b}| = 1$ है।
हमें $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 1$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}|^2 = |\overrightarrow{x}|^2 + |\overrightarrow{y}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$ का उपयोग करने पर:
$|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1$।
मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1$।
$2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1 \Rightarrow 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = -1$।
अब,हमें $|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$ ज्ञात करना है।
$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$।
मान रखने पर,$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 1^2 + 1^2 - (-1) = 1 + 1 + 1 = 3$।
अतः,$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{3}$।

(D) माना $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\overrightarrow{b} = \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 0) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(1 - 0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
इस सदिश का परिमाण $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
अभीष्ट इकाई सदिश $\pm \frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $\frac{\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है।

(C) माना $\overrightarrow{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 1$,अतः $a_{1} = 1$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 1$,अतः $a_{1} + a_{2} = 1$ है। $a_{1} = 1$ रखने पर,हमें $1 + a_{2} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a_{2} = 0$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$,अतः $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1$ है। $a_{1} = 1$ और $a_{2} = 0$ रखने पर,हमें $1 + 0 + a_{3} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a_{3} = 0$ है।
अतः,$\overrightarrow{a} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k} = \hat{i}$ है।

(C) दिए गए सदिश $\overrightarrow{a} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{a}$ का सदिश $\overrightarrow{b}$ पर प्रक्षेप का सूत्र $\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (3)(2) + (-1)(3) + (5)(1) = 6 - 3 + 5 = 8$.
अब,सदिश $\overrightarrow{b}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
अतः,अभीष्ट प्रक्षेप $\frac{8}{\sqrt{14}}$ है।