KCET 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए कि स्प्रिंग तुला में तनाव $T$ है। द्रव्यमान $M$ पर कार्य करने वाले बल स्प्रिंग का तनाव $T$,नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और डोरी द्वारा लगाया गया क्षैतिज बल $F$ हैं।
संतुलन की स्थिति में,तनाव $T$ का ऊर्ध्वाधर घटक द्रव्यमान के भार को संतुलित करता है।
$T \cos \theta = mg$
यहाँ $m = 10 \ kg$,$\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है।
स्प्रिंग तुला का पाठ्यांक $kg-wt$ में तनाव $T$ के बराबर होता है।
$T = \frac{mg}{\cos 60^{\circ}}$
चूंकि $1 \ kg-wt = 1 \ kg \times g$,इसलिए $kg-wt$ में पाठ्यांक $T/g = m / \cos 60^{\circ}$ होगा।
$T_{reading} = \frac{10}{\cos 60^{\circ}} = \frac{10}{1/2} = 20 \ kg-wt$.

(C) $n^{\text{th}}$ सेकंड में पिंड द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
पहली सेकंड के लिए $(n=1)$: $5 = u + \frac{a}{2}(2(1) - 1) \implies 5 = u + \frac{a}{2}$ (समीकरण $i$).
तीसरी सेकंड के लिए $(n=3)$: $2 = u + \frac{a}{2}(2(3) - 1) \implies 2 = u + \frac{5a}{2}$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $ii$ में से समीकरण $i$ को घटाने पर: $(2 - 5) = (u + \frac{5a}{2}) - (u + \frac{a}{2}) \implies -3 = 2a \implies a = -1.5 \,m/s^2$.
ऋणात्मक चिह्न मंदन (deceleration) को दर्शाता है।
बल का परिमाण $F = |m \times a| = 4 \,kg \times 1.5 \,m/s^2 = 6 \,N$ है।

(B) किसी वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल (upthrust) वस्तु द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। उत्प्लावन बलों का अनुपात द्रवों के घनत्व (या विशिष्ट गुरुत्व) के अनुपात के बराबर होता है।
$\frac{\text{द्रव में उत्प्लावन बल}}{\text{पानी में उत्प्लावन बल}} = \frac{\text{द्रव का विशिष्ट गुरुत्व}}{\text{पानी का विशिष्ट गुरुत्व}}$
पानी में उत्प्लावन बल $= 50 \,g - 40 \,g = 10 \,g$.
मान लीजिए द्रव में उत्प्लावन बल $x$ है।
$\frac{x}{10 \,g} = \frac{1.5}{1}$
$x = 15 \,g$.
द्रव में वस्तु का भार इस प्रकार दिया जाता है: $\text{हवा में भार} - \text{द्रव में उत्प्लावन बल}$.
भार $= 50 \,g - 15 \,g = 35 \,g$.

(D) मान लीजिए कि पिंड को $u$ प्रारंभिक वेग से प्रक्षेपित किया गया है। $h$ ऊँचाई के लिए गति का समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $t$ में एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$।
इस समीकरण के मूल $t_1$ और $t_2$ हैं,जो उस समय को दर्शाते हैं जब पिंड ऊपर जाते समय और नीचे आते समय $h$ ऊँचाई पर पहुँचता है।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{-(-u)}{\frac{1}{2}g} = \frac{2u}{g}$ होता है।
$u$ के लिए हल करने पर,हमें $u = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर अवस्था में सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$ है।
दिया गया है कि $T' = T/2$,इसलिए $\frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$।
$T'$ के समीकरण को $T$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{g}{g+a}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} = \frac{g}{g+a}$।
इसका अर्थ है कि $g + a = 4g$,इसलिए $a = 3g$।

(D) माना जंक्शन पर तापमान $\theta$ है। स्थिर अवस्था में,तांबे की छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर स्टील की छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होनी चाहिए।
$H_{Cu} = H_{steel}$
$\frac{K_{Cu} A (100 - \theta)}{L_{Cu}} = \frac{K_{steel} A (\theta - 0)}{L_{steel}}$
दिया गया है कि $K_{Cu} = 9 K_{steel}$,$L_{Cu} = 18 \text{ cm}$,और $L_{steel} = 6 \text{ cm}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{9 K_{steel} (100 - \theta)}{18} = \frac{K_{steel} (\theta - 0)}{6}$
$\frac{100 - \theta}{2} = \theta$
$100 - \theta = 2\theta$
$3\theta = 100$
$\theta = \frac{100}{3} \approx 33.3^{\circ} C$
अतः,जंक्शन पर तापमान लगभग $33^{\circ} C$ है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^{4}$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$।
अंतिम तापमान $T_{2} = 627^{\circ} C = 627 + 273 = 900 \ K$।
प्रारंभिक उत्सर्जित ऊर्जा $E_{1} = 0.5 \ J/s$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}$।
मान रखने पर: $\frac{E_{2}}{0.5} = \left(\frac{900}{300}\right)^{4}$।
$\frac{E_{2}}{0.5} = (3)^{4} = 81$।
$E_{2} = 81 \times 0.5 = 40.5 \ J/s$।

(B) चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य $p-V$ आरेख द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिए गए त्रिभुज $ABC$ के लिए,आधार $(3 V_{1} - V_{1}) = 2 V_{1}$ है और ऊँचाई $(4 p_{1} - p_{1}) = 3 p_{1}$ है।
क्षेत्रफल का परिमाण $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2 V_{1}) \times (3 p_{1}) = 3 p_{1} V_{1}$ है।
चूँकि चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ वामावर्त (anticlockwise) दिशा में है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होगा।
अतः,किया गया कुल कार्य $W_{\text{cycle}} = -3 p_{1} V_{1}$ है।

(D) समतापीय (isothermal) प्रक्रिया में,निकाय का तापमान स्थिर रहता है। चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान का फलन होती है $(U = f(T))$,इसलिए समतापीय प्रक्रिया में आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है। निकाय को दी गई ऊष्मा पूरी तरह से निकाय द्वारा किए गए कार्य में परिवर्तित हो जाती है,और इसके विपरीत भी सत्य है।

(C) आदर्श गैस के लिए मेयर के संबंध के अनुसार:
$C_{p} - C_{V} = R$ $(i)$
जहाँ $C_{p}$ स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है और $C_{V}$ स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है।
परिभाषा के अनुसार,विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात है:
$\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}}$
इसका अर्थ है $C_{p} = \gamma C_{V}$ (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\gamma C_{V} - C_{V} = R$
$C_{V}(\gamma - 1) = R$
अतः,$C_{V} = \frac{R}{\gamma - 1}$

(A) न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$R$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $M_1$ और $M_2$ के बीच बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{G M_1 M_2}{R^2}$
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$G = \frac{F R^2}{M_1 M_2}$
बल $[F] = [MLT^{-2}]$,दूरी $[R] = [L]$,और द्रव्यमान $[M] = [M]$ के विमीय सूत्र रखने पर:
$[G] = \frac{[MLT^{-2}] [L^2]}{[M] [M]} = \frac{[ML^3 T^{-2}]}{[M^2]} = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$

(A) कंपन करती डोरी की आवृत्ति का सूत्र: $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
इससे,हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$.
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $v_1 = 200 \ Hz$,$l_1 = l$,और $T_1 = T$ है। मान लीजिए अंतिम स्थिति $v_2 = 300 \ Hz$,$l_2 = 2l$,और $T_2 = T'$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{T'}/l_2}{\sqrt{T}/l_1} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot \frac{l_1}{l_2}$.
मान रखने पर: $\frac{300}{200} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot \frac{l}{2l}$.
$1.5 = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot 0.5$.
$\sqrt{\frac{T'}{T}} = \frac{1.5}{0.5} = 3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{T'}{T} = 3^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,नए तनाव और मूल तनाव का अनुपात $9: 1$ है।

(D) एक स्थिर स्रोत की ओर गति करने वाले प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $v'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v' = v \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
यह दिया गया है कि आभासी आवृत्ति $v'$,वास्तविक आवृत्ति $v$ की दोगुनी है,इसलिए $v' = 2v$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$2v = v \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
$2 = \frac{v + v_o}{v}$
$2v = v + v_o$
$v_o = v$
अतः,प्रेक्षक को ध्वनि के वेग के बराबर वेग $v$ से स्रोत की ओर जाना चाहिए।

(A) डेसिबल $(dB)$ में ध्वनि की तीव्रता का स्तर $L$,सूत्र $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ ध्वनि की तीव्रता है और $I_0$ संदर्भ तीव्रता है।
$60 \ dB$ की ध्वनि के लिए: $60 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) \Rightarrow 6 = \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) \Rightarrow \frac{I_1}{I_0} = 10^6$.
$30 \ dB$ की ध्वनि के लिए: $30 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) \Rightarrow 3 = \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) \Rightarrow \frac{I_2}{I_0} = 10^3$.
यह पता लगाने के लिए कि $60 \ dB$ की ध्वनि $30 \ dB$ की ध्वनि से कितने गुना अधिक तीव्र है,हम अनुपात $\frac{I_1}{I_2}$ की गणना करते हैं:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1 / I_0}{I_2 / I_0} = \frac{10^6}{10^3} = 10^3 = 1000$.
अतः,$60 \ dB$ की ध्वनि $30 \ dB$ की ध्वनि से $1000$ गुना अधिक तीव्र है।

(D) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(2\pi ft - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 6 \sin 2\pi(2t - 0.1x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 2\pi \times 0.1 = 0.2\pi \ rad/mm$ प्राप्त होती है।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = k \Delta x$ है।
यहाँ कणों के बीच की दूरी $\Delta x = 2 \ mm$ दी गई है।
मान रखने पर,$\Delta \phi = (0.2\pi) \times 2 = 0.4\pi \ rad$।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,$\frac{180^{\circ}}{\pi}$ से गुणा करने पर:
$\Delta \phi = 0.4\pi \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = 0.4 \times 180^{\circ} = 72^{\circ}$।

(C) मान लीजिए कि $I$ द्वितीयक कुंडली से प्रवाहित होने वाली धारा है।
प्राथमिक कुंडली में इनपुट शक्ति $P_{in} = V \times i = 220 \,V \times 5 \,A = 1100 \,W$ है।
चूंकि $50 \%$ शक्ति का ह्रास होता है, इसलिए आउटपुट शक्ति $P_{out}$ इनपुट शक्ति का $50 \%$ है।
$P_{out} = 0.50 \times P_{in} = 0.50 \times 1100 \,W = 550 \,W$.
आउटपुट शक्ति को $P_{out} = V^{\prime} \times I$ द्वारा भी दिया जाता है, जहाँ $V^{\prime} = 2200 \,V$ है।
अतः, $2200 \,V \times I = 550 \,W$.
$I = \frac{550}{2200} \,A = 0.25 \,A$.

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य) के लिए,संक्रमण $m = \infty$ से श्रेणी की मूल अवस्था $n$ में होता है।
Lyman श्रेणी के लिए,$n = 1$ और $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies \lambda_{L} = \frac{1}{R}$.
Balmer श्रेणी के लिए,$n = 2$ और $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda_{B} = \frac{4}{R}$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को संबंध $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,गतिज ऊर्जा $KE$ को $KE = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के लिए समान है,इसलिए हमारे पास $KE \propto \frac{1}{m}$ है।
क्योंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ से बहुत कम है,इसलिए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा से अधिक होगी।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ $(X_L = X_C)$ के बराबर होता है।
अनुनाद पर,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर (phase difference) $\phi = 0^{\circ}$ होता है।
$1$. शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos 0^{\circ} = 1$ होता है। अतः,विकल्प $D$ गलत है।
$2$. औसत शक्ति $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = V_{rms} I_{rms} (1) = V_{rms} I_{rms}$,जो आभासी शक्ति के बराबर है। अतः,विकल्प $B$ सत्य है।
$3$. संधारित्र में संग्रहीत अधिकतम ऊर्जा $\frac{1}{2} C V_0^2$ और प्रेरक में $\frac{1}{2} L I_0^2$ होती है। अनुनाद पर ये मान बराबर होते हैं। अतः,विकल्प $A$ सत्य है।
$4$. वाटहीन धारा $I_{rms} \sin \phi$ होती है। चूँकि $\phi = 0^{\circ}$,$\sin 0^{\circ} = 0$ होता है,इसलिए वाटहीन धारा शून्य है। अतः,विकल्प $C$ सत्य है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह यह है कि शक्ति गुणांक शून्य है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,कुल प्रत्यावर्ती emf $(V)$ प्रतिरोधक $(V_R)$,प्रेरक $(V_L)$,और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर व्यक्तिगत वोल्टेज का फेजर योग होता है।
सूत्र इस प्रकार है:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिए गए मान:
$V_R = 80 \ V$
$V_L = 40 \ V$
$V_C = 100 \ V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \sqrt{(80)^2 + (40 - 100)^2}$
$V = \sqrt{6400 + (-60)^2}$
$V = \sqrt{6400 + 3600}$
$V = \sqrt{10000}$
$V = 100 \ V$
अतः,प्रत्यावर्ती emf का मान $100 \ V$ है।

(D) सौर स्पेक्ट्रम सूर्य के गर्म आंतरिक भाग द्वारा उत्सर्जित प्रकाश के एक सतत स्पेक्ट्रम से बना होता है,जिसमें कई काली रेखाएँ होती हैं जिन्हें फ्रौनहोफर रेखाएँ कहा जाता है। ये काली रेखाएँ तब उत्पन्न होती हैं जब सूर्य के बाहरी वातावरण (फोटोस्फीयर और क्रोमोस्फीयर) में मौजूद ठंडी गैसें सतत स्पेक्ट्रम से प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित कर लेती हैं। इसलिए,सौर स्पेक्ट्रम को रेखीय अवशोषण स्पेक्ट्रम के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(D) $X$-किरणें उच्च ऊर्जा वाली विद्युत चुम्बकीय विकिरण हैं जो उच्च परमाणु क्रमांक $(Z)$ वाले परमाणुओं में आंतरिक इलेक्ट्रॉन कोशों (जैसे $K$-कोश से $L$-कोश) के बीच संक्रमण द्वारा उत्पन्न होती हैं।
हाइड्रोजन परमाणु में केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है और इसके ऊर्जा स्तरों के बीच का ऊर्जा अंतर बहुत कम ($eV$ के क्रम में) होता है।
$X$-किरण उत्सर्जन के लिए $keV$ के क्रम की ऊर्जा संक्रमण की आवश्यकता होती है।
इसलिए,हाइड्रोजन परमाणु $X$-किरणों का उत्सर्जन नहीं कर सकता क्योंकि इसके ऊर्जा स्तर इतनी उच्च ऊर्जा वाले फोटॉन उत्पन्न करने के लिए एक-दूसरे के बहुत करीब होते हैं।

(D) प्रत्येक $200 \ V$ रेटिंग वाले संधारित्रों का उपयोग करके $600 \ V$ का विभवांतर प्राप्त करने के लिए,हमें $n$ संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ना होगा ताकि $n \times 200 \ V = 600 \ V$ हो। अतः,$n = 3$।
श्रेणीक्रम में जुड़े इन $3$ संधारित्रों की तुल्य धारिता $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $C_s = 2 \ \mu F$ प्राप्त होता है।
कुल $18 \ \mu F$ धारिता प्राप्त करने के लिए,हमें ऐसी $m$ श्रेणी शाखाओं को समांतर क्रम में जोड़ना होगा,जहाँ $m \times C_s = 18 \ \mu F$ हो।
अतः,$m \times 2 \ \mu F = 18 \ \mu F$,जिससे $m = 9$ प्राप्त होता है।
आवश्यक संधारित्रों की कुल संख्या $n \times m = 3 \times 9 = 27$ है।

(C) $6 \mu F$ और $3 \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
अतः,तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार होगी: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$C_1 = 2 \mu F$ प्राप्त होता है।
यह तुल्य संधारित्र $C_1$,$2 \mu F$ वाले संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है।
अतः,निकाय की कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + 2 \mu F = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$ होगी।
निकाय में संचित कुल ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ है।
यहाँ $V = 2 \text{ V}$ दिया गया है,इसलिए $U = \frac{1}{2} \times 4 \mu F \times (2 \text{ V})^2 = 2 \times 4 = 8 \mu J$।

(C) यह परिपथ व्हीटस्टोन ब्रिज जैसी संरचना है। सममिति के कारण,केंद्र बिंदु पर विभव विकर्णों के मध्य बिंदु पर विभव के समान होता है। हालाँकि,इसे हल करने का एक सरल तरीका परिपथ की सममिति का उपयोग करना है।
मान लीजिए बिंदु $A, B, C, D$ हैं। $A$ और $B$ के बीच प्रतिरोध ज्ञात करना है।
सममिति द्वारा,परिपथ को सरल बनाया जा सकता है। केंद्र बिंदु से जुड़े प्रतिरोधों को समानांतर शाखाओं के रूप में माना जा सकता है।
वैकल्पिक रूप से,परिपथ की सममिति का उपयोग करते हुए,$A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ पथों के समानांतर संयोजन द्वारा दिया जाता है।
इस विशिष्ट सममित परिपथ के लिए,जहाँ सभी प्रतिरोध $R = 15 \Omega$ हैं,किन्हीं भी दो निकटवर्ती कोनों के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{2}{3}R$ होता है।
$R_{eq} = \frac{2}{3} \times 15 \Omega = 10 \Omega$.

(B) और $B$ के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ से $B$ के पथ पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करते हैं।
बिंदु $A$ से शुरू करते हुए,धारा $I = 2 \ A$ परिपथ में प्रवाहित होती है।
$A$ पर विभव $V_A$ है।
धारा की दिशा में $6 \ \Omega$ के प्रतिरोध से गुजरते हुए,विभव में गिरावट $I \times R = 2 \times 6 = 12 \ V$ है।
$12 \ V$ की बैटरी में धनात्मक से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर जाने पर,विभव में $12 \ V$ की गिरावट होती है।
$9 \ \Omega$ के प्रतिरोध से गुजरते हुए,विभव में गिरावट $2 \times 9 = 18 \ V$ है।
$4 \ V$ की बैटरी में ऋणात्मक से धनात्मक टर्मिनल की ओर जाने पर,विभव में $4 \ V$ की वृद्धि होती है।
$5 \ \Omega$ के प्रतिरोध से गुजरते हुए,विभव में गिरावट $2 \times 5 = 10 \ V$ है।
इसे $B$ पर विभव $(V_B)$ के बराबर रखने पर:
$V_A - (2 \times 6) - 12 - (2 \times 9) + 4 - (2 \times 5) = V_B$
$V_A - 12 - 12 - 18 + 4 - 10 = V_B$
$V_A - 48 = V_B$
$V_A - V_B = 48 \ V$

(D) अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$E$ विद्युत क्षेत्र है,$\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
जब धातु के तार का तापमान बढ़ता है,तो धातु जालक (lattice) में परमाणु अधिक आयाम के साथ कंपन करते हैं।
इसके कारण इलेक्ट्रॉनों और जालक आयनों के बीच बार-बार टक्कर होती है,जिससे विश्रांति काल $\tau$ कम हो जाता है।
चूंकि $v_d \propto \tau$,इसलिए अनुगमन वेग $v_d$ घट जाता है।
इसके अतिरिक्त,इलेक्ट्रॉनों का ऊष्मीय वेग परम तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होता है $(v_{th} \propto \sqrt{T})$,इसलिए जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,इलेक्ट्रॉनों का ऊष्मीय वेग बढ़ता है।

(A) इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण की आवृत्ति $f = \frac{v}{2 \pi r}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $f = \frac{2.2 \times 10^{6}}{2 \pi (5 \times 10^{-11})} \approx 7.0 \times 10^{15} \, Hz$.
इलेक्ट्रॉन की गति से संबद्ध धारा $i = qf$ है, जहाँ $q$ इलेक्ट्रॉन का आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ है।
$i = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (7.0 \times 10^{15} \, Hz) = 11.2 \times 10^{-4} \, A$.
मिलीएम्पियर में बदलने पर: $i = 1.12 \times 10^{-3} \, A = 1.12 \, mA$.

(A) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर का सिद्धांत $I = K \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K = \frac{2rB_H}{\mu_0 N}$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर फेरों की संख्या $N$ को छोड़कर समान हैं और श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनमें प्रवाहित होने वाली धारा $I$ समान है।
अतः,$I = \frac{2rB_H}{\mu_0 N} \tan \theta$,जिसका अर्थ है कि $N \tan \theta = \text{स्थिरांक}$.
इसलिए,$N_A \tan \theta_A = N_B \tan \theta_B$.
फेरों की संख्या का अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = \frac{\tan \theta_B}{\tan \theta_A}$ है।
यहाँ $\theta_A = 60^{\circ}$ और $\theta_B = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{N_A}{N_B} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 60^{\circ}}$.
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
अतः,अनुपात $1: 3$ है।

(B) माना प्रारंभिक धारा $I$ है और गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G$ है। विक्षेप धारा के समानुपाती होता है, इसलिए $I = k \times 100$, जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
जब $S = 1 \ \Omega$ का शंट समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है, तो गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित होने वाली नई धारा $I_g$ करंट डिवाइडर नियम द्वारा दी जाती है: $I_g = I \left( \frac{S}{S+G} \right)$.
नया विक्षेप $1$ डिवीजन है, इसलिए $I_g = k \times 1$.
मान रखने पर: $k = (k \times 100) \left( \frac{1}{1+G} \right)$.
दोनों पक्षों को $k$ से विभाजित करने पर: $1 = \frac{100}{1+G}$.
$1+G = 100$.
$G = 99 \ \Omega$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{0}} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$.
प्रथम स्थिति के लिए: $3 eV_{s} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $eV_{s} = hc \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{3 eV_{s}}{eV_{s}} = \frac{hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)}{hc \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}}{\frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}}$
$3 \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{3}{2 \lambda} - \frac{3}{\lambda_{0}} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{3}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_{0}} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{1}{2 \lambda} = \frac{2}{\lambda_{0}}$
$\lambda_{0} = 4 \lambda$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है, और $\Phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
चूँकि $\nu = c / \lambda$ होता है, इसलिए गतिज ऊर्जा आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के साथ-साथ पदार्थ के कार्य फलन $\Phi_0$ पर निर्भर करती है।
आपतित प्रकाश की तीव्रता प्रति इकाई समय में सतह पर टकराने वाले फोटॉनों की संख्या निर्धारित करती है, जो उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या (प्रकाश-विद्युत धारा) को प्रभावित करती है, लेकिन यह व्यक्तिगत उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा को प्रभावित नहीं करती है।

(A) जब समान दिशा में धारा प्रवाहित करने वाली दो वृत्ताकार कुंडलियों को एक-दूसरे से दूर ले जाया जाता है,तो एक कुंडली द्वारा दूसरी कुंडली के स्थान पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र कम हो जाता है।
इसके परिणामस्वरूप प्रत्येक कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में कमी आती है।
लेंज के नियम के अनुसार,यह प्रणाली फ्लक्स में होने वाले इस परिवर्तन का विरोध करती है और एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न करती है जो कुंडलियों में धारा को बढ़ाने का कार्य करता है।
इसलिए,चुंबकीय फ्लक्स को बनाए रखने के लिए दोनों कुंडलियों में विद्युत धारा बढ़ जाएगी।

(C) निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ मुक्त आकाश के मौलिक विद्युत चुम्बकीय स्थिरांकों,अर्थात् मुक्त आकाश की पारगम्यता $(\mu_{0})$ और मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $(\varepsilon_{0})$ से संबंधित है।
मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार,निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंगों की गति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$
अतः,सही व्यंजक $\sqrt{\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ है।

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार गोलों के बीच प्रारंभिक स्थिर वैद्युत बल: $F_{\text{initial}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|12 \times (-8)|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{96}{r^2}$.
जब गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है क्योंकि गोले समान हैं: $q_{\text{new}} = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{12 + (-8)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \mu C$.
संपर्क के बाद,नया स्थिर वैद्युत बल: $F_{\text{final}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_{\text{new}} q_{\text{new}}|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 \times 2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{4}{r^2}$.
बलों के परिमाण का अनुपात: $\frac{|F_{\text{initial}}|}{|F_{\text{final}}|} = \frac{96/r^2}{4/r^2} = \frac{96}{4} = 24$.
अतः,अनुपात $24: 1$ है।

(A) छोटे गोले (त्रिज्या $r$,आवेश $q$) का विभव $V_{1}$ उसके अपने आवेश और बाहरी गोले (त्रिज्या $R$,आवेश $Q$) के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
$V_{1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R}$
बड़े गोले (त्रिज्या $R$,आवेश $Q$) का विभव $V_{2}$ उसके अपने आवेश और आंतरिक गोले के कारण उत्पन्न विभव (जो इसके बाहर के बिंदुओं के लिए केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश की तरह कार्य करता है) का योग है।
$V_{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R}$
गोलों के बीच विभवांतर $V = V_{1} - V_{2}$ है।
$V = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} \right) - \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R}$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{r} - \frac{q}{R} \right)$

(A) तीन आवेशों $q_1, q_2, q_3$ वाले निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$,जो $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ दूरियों पर स्थित हैं,का सूत्र $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_1q_2}{r_{12}} + \frac{q_2q_3}{r_{23}} + \frac{q_3q_1}{r_{31}}]$ है।
यहाँ,आवेश $q_1 = +q$,$q_2 = +q$ और $q_3 = Q$ हैं। प्रत्येक युग्म के बीच की दूरी $a$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{K}{a} [q \cdot q + q \cdot Q + Q \cdot q] = 0$
चूँकि $K/a \neq 0$,इसलिए कोष्ठक के अंदर का पद शून्य होना चाहिए:
$q^2 + 2qQ = 0$
$2qQ = -q^2$
$Q = -\frac{q^2}{2q} = -\frac{q}{2}$

(D) क्षैतिज खंडों $PQ$ और $RS$ पर लगने वाले बल परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत हैं,इसलिए उनका कुल बल शून्य है।
दो समानांतर धारावाही चालकों के बीच लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ चालकों के बीच की दूरी है।
खंड $PS$ के लिए ($r_1 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ की दूरी पर):
$F_{PS} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.02} = 6 \times 10^{-4} \text{ N}$ (तार की ओर आकर्षण बल)।
खंड $QR$ के लिए ($r_2 = 2 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ की दूरी पर):
$F_{QR} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.12} = 1 \times 10^{-4} \text{ N}$ (तार से दूर प्रतिकर्षण बल)।
परिणामी बल $F_{\text{net}} = F_{PS} - F_{QR} = 6 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-4} \text{ N}$ है।

(C) $r$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार है:
$B_{c} = \frac{\mu_{0} I}{2r}$
केंद्र से $x$ दूरी पर वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार है:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(r^{2} + x^{2})^{3/2}}$
यहाँ दिया गया है कि दूरी $x = r$,इसलिए $B_{a}$ के सूत्र में मान रखने पर:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(r^{2} + r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(2r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(2^{3/2} r^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot r} = \frac{\mu_{0} I}{4\sqrt{2} r}$
अब,$B_{c} : B_{a}$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{B_{c}}{B_{a}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{2r}}{\frac{\mu_{0} I}{4\sqrt{2} r}} = \frac{4\sqrt{2} r}{2r} = 2\sqrt{2}$
अतः,$B_{c} : B_{a}$ का अनुपात $2\sqrt{2} : 1$ है।

(A) चालक तीन भागों से बना है: दो अर्ध-अनंत सीधे तार और $270^\circ$ (या $\frac{3\pi}{2}$ रेडियन) का एक वृत्ताकार चाप।
$1$. सीधे तार $(A)$ के लिए,बिंदु $O$ उसकी अक्ष पर स्थित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_A = 0$ है।
$2$. वृत्ताकार चाप $(B)$ के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I (3\pi/2)}{4 \pi r} = \frac{3 \mu_0 I}{8 r}$ है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर दिशा अंदर की ओर है।
$3$. सीधे तार $(C)$ के लिए,बिंदु $O$ तार से $r$ लंबवत दूरी पर है। अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_C = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है। इसकी दिशा भी अंदर की ओर है।
$4$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_A + B_B + B_C = 0 + \frac{3 \mu_0 I}{8 r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
$\frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ को कॉमन लेने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left( \frac{3\pi}{2} + 1 \right)$ प्राप्त होता है।

(B) प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $E = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$ है।
दिया गया पावर आउटपुट $P = 1.6 \text{ MW} = 1.6 \times 10^6 \text{ W}$ है।
विखंडन की दर $R$ को सूत्र $R = P / E$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर: $R = (1.6 \times 10^6) / (3.2 \times 10^{-11})$.
$R = 0.5 \times 10^{17} = 5 \times 10^{16} \text{ विखंडन/सेकंड}$।

(C) माना उत्सर्जित $\alpha$ कणों की संख्या $x$ है और $\beta$ कणों की संख्या $y$ है।
नाभिकीय विघटन अभिक्रिया को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
${ }_{92} U^{235} \longrightarrow x({ }_{2} \alpha^{4}) + y({ }_{-1} \beta^{0}) + { }_{82} Pb^{203}$
दोनों ओर द्रव्यमान संख्या की तुलना करने पर:
$235 = 4x + 203$
$4x = 235 - 203 = 32$
$x = 8$
दोनों ओर परमाणु क्रमांक की तुलना करने पर:
$92 = 2x - y + 82$
$x = 8$ का मान समीकरण में रखने पर:
$92 = 2(8) - y + 82$
$92 = 16 - y + 82$
$92 = 98 - y$
$y = 98 - 92 = 6$
अतः,$8$ $\alpha$ कण और $6$ $\beta$ कण उत्सर्जित होते हैं।

(C) नाभिकीय बल $F_{n}$ एक लघु-परास बल है जो केवल लगभग $10^{-15} \text{ m}$ (या $1 \text{ fm}$) की सीमा के भीतर ही प्रभावी रूप से कार्य करता है।
इस दूरी से परे,नाभिकीय बल तेजी से घटता है और नगण्य हो जाता है।
दी गई दूरी $40 \text{ Å} = 40 \times 10^{-10} \text{ m} = 4 \times 10^{-9} \text{ m}$ है।
चूंकि $4 \times 10^{-9} \text{ m} \gg 10^{-15} \text{ m}$ है,इसलिए इस दूरी पर नाभिकीय बल $F_{n}$ शून्य के बराबर है।
हालाँकि,स्थिर-वैद्युत बल $F_{e}$ व्युत्क्रम-वर्ग नियम $(F_{e} \propto 1/r^2)$ का पालन करता है और इस दूरी पर भी महत्वपूर्ण बना रहता है।
इसलिए,$F_{n} \ll F_{e}$.

(C) नाभिकीय त्रिज्या $R$ को सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $R_0$ एक स्थिरांक है।
दी गई द्रव्यमान संख्याएँ $A_1 = 216$ और $A_2 = 125$ हैं।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 (A_1)^{1/3}}{R_0 (A_2)^{1/3}}$ है।
मान रखने पर,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{(216)^{1/3}}{(125)^{1/3}}$.
चूँकि $216 = 6^3$ और $125 = 5^3$ है,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \frac{6}{5}$ या $6:5$ प्राप्त होता है।

(C) बेरियन तीन क्वार्क (quarks) से बने उप-परमाणु कणों का एक परिवार है।
सभी बेरियन में,प्रोटॉन एकमात्र ऐसा स्थिर कण है जो अन्य कणों में विघटित नहीं होता है।
जबकि मुक्त न्यूट्रॉन लगभग $880 \ s$ के औसत जीवनकाल के साथ प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो में विघटित हो जाता है,प्रोटॉन को $10^{34}$ वर्षों से अधिक के जीवनकाल के साथ स्थिर माना जाता है।
इसलिए,बेरियन समूह में प्रोटॉन सबसे स्थिर कण है।

(A) एक रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N$ समय $t$ पर मौजूद रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है। चूंकि प्रारंभिक द्रव्यमान समान हैं,इसलिए दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ समान है।
समय $t$ पर सक्रियता $R = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
पहले पदार्थ के लिए: $T_{1/2, 1} = 1 \ yr$,$t = 4 \ yr$.
$R_1 = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{4/1} = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^4$.
दूसरे पदार्थ के लिए: $T_{1/2, 2} = 2 \ yr$,$t = 4 \ yr$.
$R_2 = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{4/2} = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^2$.
उनकी सक्रियता का अनुपात है:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 (1/2)^4}{R_0 (1/2)^2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{4-2} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
अतः,अनुपात $1: 4$ है।

(B) दूरी पर स्थित दो पतले लेंसों की तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
यहाँ,$f_1$ उत्तल लेंस की फोकस दूरी (धनात्मक) है और $f_2$ अवतल लेंस की फोकस दूरी (ऋणात्मक) है।
जब लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो दूरी $d = 0$ हो जाती है।
सूत्र में $d = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
चूंकि $f_1 > 0$ और $f_2 < 0$,मान लीजिए $f_1 = f$ और $f_2 = -f'$ (जहाँ $f, f' > 0$ है)।
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f'}$
जब लेंसों को अलग स्थिति से संपर्क में लाया जाता है,तो $-\frac{d}{f_1 f_2}$ पद (जो ऋणात्मक था क्योंकि $f_1 f_2 < 0$) हट जाता है। परिणामस्वरूप,संयोजन की फोकस दूरी अलग स्थिति की तुलना में बढ़ जाती है।

(C) यह लेंस $3$ अलग-अलग सामग्रियों से बना है,जिनमें से प्रत्येक का अपवर्तनांक अलग है।
चूंकि लेंस $3$ अलग-अलग भागों से बना है,इसलिए प्रत्येक भाग अपनी स्वयं की फोकस दूरी वाले एक स्वतंत्र लेंस के रूप में कार्य करता है।
जब मुख्य अक्ष पर एक बिंदु वस्तु रखी जाती है,तो $3$ अलग-अलग खंडों से गुजरने वाली प्रकाश किरणें अलग-अलग तरह से अपवर्तित होंगी।
परिणामस्वरूप,प्रत्येक खंड अपनी विशिष्ट फोकस दूरी द्वारा निर्धारित स्थिति पर वस्तु का एक प्रतिबिंब बनाएगा।
इसलिए,कुल $3$ अलग-अलग प्रतिबिंब बनेंगे,जो लेंस के प्रत्येक खंड द्वारा एक-एक होंगे।

(A) किरणें प्रिज्म की पहली सतह पर लंबवत आपतित होती हैं,इसलिए वे बिना विचलित हुए आगे बढ़ती हैं और कर्ण (hypotenuse) पर $i = 45^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराती हैं।
दूसरी सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक होना चाहिए $(i > C)$।
दिए गए क्रांतिक कोण $C_{red} = 46^{\circ}$,$C_{green} = 44^{\circ}$ और $C_{blue} = 43^{\circ}$ हैं।
लाल प्रकाश के लिए: $i = 45^{\circ} < C_{red} = 46^{\circ}$। अतः,लाल प्रकाश प्रिज्म से बाहर निकल जाएगा।
हरे प्रकाश के लिए: $i = 45^{\circ} > C_{green} = 44^{\circ}$। अतः,हरा प्रकाश पूर्ण आंतरिक परावर्तन करेगा।
नीले प्रकाश के लिए: $i = 45^{\circ} > C_{blue} = 43^{\circ}$। अतः,नीला प्रकाश पूर्ण आंतरिक परावर्तन करेगा।
चूंकि हरा और नीला प्रकाश पूर्ण आंतरिक परावर्तन करते हैं जबकि लाल प्रकाश बाहर निकल जाता है,इसलिए यह व्यवस्था लाल रंग को नीले और हरे रंग से अलग करती है।

(C) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i$,परावर्तन कोण $r$ के बराबर होता है,इसलिए $i = r$।
यह दिया गया है कि परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परावर्तन कोण $r$,उनके बीच का कोण $(90^{\circ})$ और अपवर्तन कोण $r'$ का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$r + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$।
चूंकि $r = i$,हमारे पास $i + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है $r' = 90^{\circ} - i$।
अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu_r \sin i = \mu_d \sin r'$।
$r' = 90^{\circ} - i$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\mu_r \sin i = \mu_d \sin(90^{\circ} - i) = \mu_d \cos i$।
इसलिए,$\frac{\mu_d}{\mu_r} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$।
क्रांतिक कोण $C$ के लिए,हम जानते हैं कि $\sin C = \frac{\mu_r}{\mu_d}$।
अतः,$\sin C = \frac{1}{\tan i} = \cot i$।
इसलिए,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}(\cot i)$ है।

(B) जब प्रेक्षक सघन माध्यम (पानी,अपवर्तनांक $n$) में होता है और वस्तु (पक्षी) विरल माध्यम (हवा,अपवर्तनांक $1$) में होती है,तो वस्तु की आभासी ऊँचाई बढ़ जाती है।
$n$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में स्थित प्रेक्षक के लिए,$h$ वास्तविक ऊँचाई पर स्थित वस्तु की आभासी ऊँचाई $h' = n \times h$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,पक्षी पानी की सतह से $y$ ऊँचाई पर है।
इसलिए,पानी की सतह से मछली द्वारा देखी गई पक्षी की आभासी ऊँचाई $h' = n \times y$ होगी।
मछली पानी की सतह से $x$ गहराई पर है।
अतः,मछली द्वारा अनुमानित पक्षी की कुल दूरी मछली की गहराई और पक्षी की आभासी ऊँचाई का योग है: $D = x + ny$.

(B) एक अनबायस्ड $p-n$ जंक्शन में,आवेश वाहकों (charge carriers) के विसरण के कारण जंक्शन पर एक अवक्षय परत (depletion region) बन जाती है।
यह एक इन-बिल्ट विभव प्राचीर (potential barrier) बनाता है।
$p-n$ जंक्शन के लिए विभव-दूरी ग्राफ के अनुसार,$n$-क्षेत्र में विभव $p$-क्षेत्र के विभव से अधिक होता है।
अतः,$p$ पर विभव $n$ पर विभव से कम होता है।

(C) दिए गए परिपथ में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट है। आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन व्यंजक $Y = (A + B) \cdot C$ है।
आउटपुट $Y = 1$ प्राप्त करने के लिए,$AND$ गेट के दोनों इनपुट $1$ होने चाहिए। इसलिए,$(A + B) = 1$ और $C = 1$ होना आवश्यक है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $C$ के लिए: $A = 1, B = 0, C = 1$ है।
इन मानों को रखने पर: $Y = (1 + 0) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,इनपुट $A = 1, B = 0, C = 1$ लेने पर आउटपुट $Y = 1$ प्राप्त होता है।

(B) प्रथम विवर्तन निम्निष्ठ के लिए,शर्त $a \sin \theta = n\lambda$ है। $n=1$ के लिए,$a \sin \theta = \lambda$ होता है।
दिया गया है कि $\theta = 30^{\circ}$,इसलिए $a = \frac{\lambda}{\sin 30^{\circ}} = 2\lambda$ प्राप्त होता है।
प्रथम गौण उच्चिष्ठ के लिए,शर्त $a \sin \theta' = \frac{3\lambda}{2}$ है।
समीकरण में $a = 2\lambda$ का मान रखने पर:
$2\lambda \sin \theta' = \frac{3\lambda}{2}$
$\sin \theta' = \frac{3\lambda}{2 \times 2\lambda} = \frac{3}{4}$।
अतः,$\theta' = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) विवर्तन की मात्रा आपतित तरंग की तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है।
चूंकि विवर्तन तब होता है जब बाधा या छिद्र का आकार तरंग की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होता है,इसलिए लंबी तरंगदैर्ध्य वाली तरंगें अधिक स्पष्ट विवर्तन प्रभाव प्रदर्शित करती हैं।
दिए गए विकल्पों में से,रेडियो तरंगों की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है।
इसलिए,रेडियो तरंगें अधिकतम विवर्तन प्रदर्शित करती हैं।

(B) समुद्र के पानी का नीला रंग मुख्य रूप से पानी के अणुओं द्वारा सूर्य के प्रकाश के प्रकीर्णन के कारण होता है। जब सूर्य का प्रकाश पानी में प्रवेश करता है,तो कम तरंग दैर्ध्य वाला प्रकाश (नीला प्रकाश) लंबी तरंग दैर्ध्य वाले प्रकाश की तुलना में पानी के अणुओं द्वारा अधिक प्रभावी ढंग से प्रकीर्णित होता है,जो समुद्र को उसका विशिष्ट नीला रंग प्रदान करता है।

(A) जब $I_{0}$ तीव्रता का एक अध्रुवित प्रकाश पुंज एक पोलरॉइड से होकर गुजरता है,तो यह समतल ध्रुवित हो जाता है।
पोलरॉइड के गुणों के अनुसार,निर्गत समतल ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता की ठीक आधी होती है।
अतः,निर्गत प्रकाश की तीव्रता $I = \frac{I_{0}}{2}$ होती है।

(B) एक डाइक्रोइक क्रिस्टल वह पदार्थ है जो डाइक्रोइज़्म का गुण प्रदर्शित करता है,जो प्रकाश के ध्रुवीकरण की दिशा के आधार पर प्रकाश का चयनात्मक अवशोषण है।
टूरमैलीन जैसे कुछ क्रिस्टलों में एक विशिष्ट दिशा (जिसे ट्रांसमिशन अक्ष कहा जाता है) के लंबवत कंपन वाले प्रकाश को मजबूती से अवशोषित करने और उसके समानांतर कंपन वाले प्रकाश को संचारित करने का गुण होता है।
प्रकाश के इस चयनात्मक अवशोषण को डाइक्रोइज़्म कहा जाता है।
इसलिए,टूरमैलीन डाइक्रोइक क्रिस्टल का एक प्रसिद्ध उदाहरण है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,व्यतिकरण पैटर्न दो कला-संबद्ध स्रोतों से आने वाली प्रकाश तरंगों के अध्यारोपण से बनता है। यदि दो स्लिटों के बीच एक तीसरी स्लिट बनाई जाती है,तो यह प्रकाश के एक अतिरिक्त स्रोत के रूप में कार्य करती है। यह अतिरिक्त प्रकाश स्क्रीन पर पृष्ठभूमि रोशनी में योगदान देता है,जो व्यतिकरण पैटर्न में भाग नहीं लेता है। परिणामस्वरूप,काली फ्रिंजों की तीव्रता बढ़ जाती है,जबकि चमकीली फ्रिंजों की तीव्रता लगभग अपरिवर्तित रहती है। इससे चमकीली और काली फ्रिंजों के बीच की दृश्यता या कंट्रास्ट कम हो जाता है।

(A) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है, और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
जब पर्दे को $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \, m$ खिसकाया जाता है, तो फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = 3 \times 10^{-5} \, m$ होता है।
सूत्र से, फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ है।
$\lambda$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^{-5} \, m) \times (10^{-3} \, m)}{5 \times 10^{-2} \, m}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} \, m = 0.6 \times 10^{-6} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर $(1 \, \text{Å} = 10^{-10} \, m)$:
$\lambda = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6000 \, \text{Å}$.