KCET 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગ બેલેન્સમાં તણાવબળ $T$ છે. દળ $M$ પર લાગતા બળોમાં સ્પ્રિંગનું તણાવબળ $T$,અધોદિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને આડી દોરી દ્વારા લાગતું બળ $F$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,તણાવબળ $T$ નો શિરોલંબ ઘટક પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરે છે.
$T \cos \theta = mg$
અહીં $m = 10 \ kg$,$\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું અવલોકન એ તણાવબળ $T$ ને $kg-wt$ માં દર્શાવે છે.
$T = \frac{mg}{\cos 60^{\circ}}$
$1 \ kg-wt = 1 \ kg \times g$ હોવાથી,$kg-wt$ માં અવલોકન $T/g = m / \cos 60^{\circ}$ થશે.
$T_{reading} = \frac{10}{\cos 60^{\circ}} = \frac{10}{1/2} = 20 \ kg-wt$.

(C) $n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
પ્રથમ સેકન્ડ માટે $(n=1)$: $5 = u + \frac{a}{2}(2(1) - 1) \implies 5 = u + \frac{a}{2}$ (સમીકરણ $i$).
ત્રીજી સેકન્ડ માટે $(n=3)$: $2 = u + \frac{a}{2}(2(3) - 1) \implies 2 = u + \frac{5a}{2}$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા: $(2 - 5) = (u + \frac{5a}{2}) - (u + \frac{a}{2}) \implies -3 = 2a \implies a = -1.5 \,m/s^2$.
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે.
બળનું મૂલ્ય $F = |m \times a| = 4 \,kg \times 1.5 \,m/s^2 = 6 \,N$ થાય.

(B) પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) એ પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે। ઉત્પ્લાવક બળોનો ગુણોત્તર એ પ્રવાહીઓની ઘનતા (અથવા વિશિષ્ટ ઘનતા) ના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે।
$\frac{\text{પ્રવાહીમાં ઉત્પ્લાવક બળ}}{\text{પાણીમાં ઉત્પ્લાવક બળ}} = \frac{\text{પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઘનતા}}{\text{પાણીની વિશિષ્ટ ઘનતા}}$
પાણીમાં ઉત્પ્લાવક બળ $= 50 \,g - 40 \,g = 10 \,g$.
ધારો કે પ્રવાહીમાં ઉત્પ્લાવક બળ $x$ છે.
$\frac{x}{10 \,g} = \frac{1.5}{1}$
$x = 15 \,g$.
પ્રવાહીમાં પદાર્થનું વજન આ રીતે મળે છે: $\text{હવામાં વજન} - \text{પ્રવાહીમાં ઉત્પ્લાવક બળ}$.
વજન $= 50 \,g - 15 \,g = 35 \,g$.

(D) ધારો કે પદાર્થને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. $h$ ઊંચાઈ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$.
આ સમીકરણના બીજ $t_1$ અને $t_2$ છે,જે દર્શાવે છે કે પદાર્થ ઉપર જતી વખતે અને નીચે આવતી વખતે $h$ ઊંચાઈએ કયા સમયે પહોંચે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 = \frac{-(-u)}{\frac{1}{2}g} = \frac{2u}{g}$ થાય.
$u$ માટે ઉકેલતા,આપણને $u = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$ મળે છે.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$ છે.
આપેલ છે કે $T' = T/2$,તેથી $\frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$.
$T'$ ના સમીકરણને $T$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{g}{g+a}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} = \frac{g}{g+a}$.
આનો અર્થ એ છે કે $g + a = 4g$,તેથી $a = 3g$.

(D) ધારો કે જોડાણ પાસેનું તાપમાન $\theta$ છે. સ્થાયી અવસ્થામાં,તાંબાના સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સ્ટીલના સળિયામાંથી પસાર થતા ઉષ્માના દર જેટલો હોવો જોઈએ.
$H_{Cu} = H_{steel}$
$\frac{K_{Cu} A (100 - \theta)}{L_{Cu}} = \frac{K_{steel} A (\theta - 0)}{L_{steel}}$
અહીં $K_{Cu} = 9 K_{steel}$,$L_{Cu} = 18 \text{ cm}$,અને $L_{steel} = 6 \text{ cm}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{9 K_{steel} (100 - \theta)}{18} = \frac{K_{steel} (\theta - 0)}{6}$
$\frac{100 - \theta}{2} = \theta$
$100 - \theta = 2\theta$
$3\theta = 100$
$\theta = \frac{100}{3} \approx 33.3^{\circ} C$
આમ,જોડાણ પાસેનું તાપમાન આશરે $33^{\circ} C$ છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^{4}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_{2} = 627^{\circ} C = 627 + 273 = 900 \ K$.
પ્રારંભિક ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E_{1} = 0.5 \ J/s$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_{2}}{0.5} = \left(\frac{900}{300}\right)^{4}$.
$\frac{E_{2}}{0.5} = (3)^{4} = 81$.
$E_{2} = 81 \times 0.5 = 40.5 \ J/s$.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કુલ કાર્ય $p-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ ત્રિકોણ $ABC$ માટે,પાયો $(3 V_{1} - V_{1}) = 2 V_{1}$ છે અને ઊંચાઈ $(4 p_{1} - p_{1}) = 3 p_{1}$ છે.
ક્ષેત્રફળનું મૂલ્ય $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (2 V_{1}) \times (3 p_{1}) = 3 p_{1} V_{1}$ થાય.
ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ એ વિષમઘડી (anticlockwise) દિશામાં હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ ગણાય.
તેથી,થયેલું કુલ કાર્ય $W_{\text{cycle}} = -3 p_{1} V_{1}$ છે.

(D) સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાનનું વિધેય હોવાથી $(U = f(T))$,સમતાપી પ્રક્રિયામાં આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે. તંત્રને આપવામાં આવતી ઉષ્મા સંપૂર્ણપણે તંત્ર દ્વારા થતા કાર્યમાં રૂપાંતરિત થાય છે,અને તેનાથી ઉલટું પણ શક્ય છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ:
$C_{p} - C_{V} = R$ $(i)$
જ્યાં $C_{p}$ એ અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $C_{V}$ એ અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર:
$\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}}$
આનો અર્થ એ છે કે $C_{p} = \gamma C_{V}$ (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\gamma C_{V} - C_{V} = R$
$C_{V}(\gamma - 1) = R$
તેથી,$C_{V} = \frac{R}{\gamma - 1}$

(A) ન્યુટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$R$ અંતરે રહેલા બે દળ $M_1$ અને $M_2$ વચ્ચે લાગતું બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{G M_1 M_2}{R^2}$
સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$G = \frac{F R^2}{M_1 M_2}$
બળ $[F] = [MLT^{-2}]$,અંતર $[R] = [L]$,અને દળ $[M] = [M]$ ના પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા:
$[G] = \frac{[MLT^{-2}] [L^2]}{[M] [M]} = \frac{[ML^3 T^{-2}]}{[M^2]} = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$

(A) કંપન કરતી દોરીની આવૃત્તિનું સૂત્ર: $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ,$T$ એ તણાવ અને $m$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $v_1 = 200 \ Hz$,$l_1 = l$,અને $T_1 = T$ છે. ધારો કે અંતિમ સ્થિતિ $v_2 = 300 \ Hz$,$l_2 = 2l$,અને $T_2 = T'$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{T'}/l_2}{\sqrt{T}/l_1} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot \frac{l_1}{l_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{300}{200} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot \frac{l}{2l}$.
$1.5 = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot 0.5$.
$\sqrt{\frac{T'}{T}} = \frac{1.5}{0.5} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{T'}{T} = 3^2 = 9$ મળે છે.
તેથી,નવા તણાવ અને મૂળ તણાવનો ગુણોત્તર $9: 1$ છે.

(D) સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $v'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v' = v \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
અહીં આપેલ છે કે આભાસી આવૃત્તિ $v'$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ $v$ કરતા બમણી છે,તેથી $v' = 2v$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2v = v \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
$2 = \frac{v + v_o}{v}$
$2v = v + v_o$
$v_o = v$
તેથી,અવલોકનકારે ધ્વનિના વેગ જેટલા જ વેગ $v$ થી સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરવી જોઈએ.

(A) ડેસિબલ $(dB)$ માં અવાજની તીવ્રતાનું સ્તર $L$ સૂત્ર $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ અવાજની તીવ્રતા છે અને $I_0$ એ સંદર્ભ તીવ્રતા છે.
$60 \ dB$ ના અવાજ માટે: $60 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) \Rightarrow 6 = \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) \Rightarrow \frac{I_1}{I_0} = 10^6$.
$30 \ dB$ ના અવાજ માટે: $30 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) \Rightarrow 3 = \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) \Rightarrow \frac{I_2}{I_0} = 10^3$.
$60 \ dB$ નો અવાજ $30 \ dB$ ના અવાજ કરતા કેટલા ગણો વધુ તીવ્ર છે તે શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1 / I_0}{I_2 / I_0} = \frac{10^6}{10^3} = 10^3 = 1000$.
આમ,$60 \ dB$ નો અવાજ $30 \ dB$ ના અવાજ કરતા $1000$ ગણો વધુ તીવ્ર છે.

(D) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(2\pi ft - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 6 \sin 2\pi(2t - 0.1x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 2\pi \times 0.1 = 0.2\pi \ rad/mm$ મળે છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = k \Delta x$ છે.
અહીં કણો વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = 2 \ mm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta \phi = (0.2\pi) \times 2 = 0.4\pi \ rad$.
રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે,$\frac{180^{\circ}}{\pi}$ વડે ગુણતા:
$\Delta \phi = 0.4\pi \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = 0.4 \times 180^{\circ} = 72^{\circ}$.

(C) ધારો કે $I$ એ સેકન્ડરી કોઈલમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
પ્રાઈમરી કોઈલમાં ઇનપુટ પાવર $P_{in} = V \times i = 220 \,V \times 5 \,A = 1100 \,W$ છે.
કારણ કે $50 \%$ પાવરનો વ્યય થાય છે, તેથી આઉટપુટ પાવર $P_{out}$ એ ઇનપુટ પાવરના $50 \%$ છે.
$P_{out} = 0.50 \times P_{in} = 0.50 \times 1100 \,W = 550 \,W$.
આઉટપુટ પાવર $P_{out} = V^{\prime} \times I$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V^{\prime} = 2200 \,V$ છે.
તેથી, $2200 \,V \times I = 550 \,W$.
$I = \frac{550}{2200} \,A = 0.25 \,A$.

(C) તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)$.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ (સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ) માટે,સંક્રમણ $m = \infty$ થી શ્રેણીના ધરા અવસ્થા $n$ માં થાય છે.
Lyman શ્રેણી માટે,$n = 1$ અને $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies \lambda_{L} = \frac{1}{R}$.
Balmer શ્રેણી માટે,$n = 2$ અને $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda_{B} = \frac{4}{R}$.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$ થાય છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,ગતિઊર્જા $KE$ ને $KE = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
જ્યારે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને માટે સમાન હોય,ત્યારે આપણને $KE \propto \frac{1}{m}$ મળે છે.
કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ એ પ્રોટોનના દળ $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ કરતા ઘણું ઓછું છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા પ્રોટોનની ગતિઊર્જા કરતા વધારે હશે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ $(X_L = X_C)$ ની બરાબર હોય છે.
અનુનાદ સમયે,વોલ્ટેજ અને કરંટ વચ્ચેનો કળા તફાવત (phase difference) $\phi = 0^{\circ}$ હોય છે.
$1$. પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos 0^{\circ} = 1$ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
$2$. સરેરાશ પાવર $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = V_{rms} I_{rms} (1) = V_{rms} I_{rms}$,જે એપેરન્ટ પાવર જેટલો જ છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$3$. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા $\frac{1}{2} C V_0^2$ અને ઇન્ડક્ટરમાં $\frac{1}{2} L I_0^2$ છે. અનુનાદ સમયે આ મૂલ્યો સમાન હોય છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$4$. વોટલેસ કરંટ $I_{rms} \sin \phi$ છે. $\phi = 0^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 0^{\circ} = 0$ થાય,એટલે કે વોટલેસ કરંટ શૂન્ય છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,જે વિધાન સાચું નથી તે એ છે કે પાવર ફેક્ટર શૂન્ય છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,કુલ વૈકલ્પિક emf $(V)$ એ અવરોધ $(V_R)$,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$,અને કેપેસિટર $(V_C)$ પરના વ્યક્તિગત વોલ્ટેજનો ફેઝર સરવાળો છે.
સૂત્ર આ મુજબ છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ કિંમતો:
$V_R = 80 \ V$
$V_L = 40 \ V$
$V_C = 100 \ V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{(80)^2 + (40 - 100)^2}$
$V = \sqrt{6400 + (-60)^2}$
$V = \sqrt{6400 + 3600}$
$V = \sqrt{10000}$
$V = 100 \ V$
તેથી,વૈકલ્પિક emf નું મૂલ્ય $100 \ V$ છે.

(D) સૂર્યનો વર્ણપટ એ સૂર્યના ગરમ આંતરિક ભાગ દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશના સતત વર્ણપટનો બનેલો છે,જેમાં અસંખ્ય ઘેરી રેખાઓ જોવા મળે છે જેને ફ્રોનહોફર રેખાઓ કહેવામાં આવે છે. આ ઘેરી રેખાઓ ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે સૂર્યના બહારના વાતાવરણમાં રહેલા ઠંડા વાયુઓ (ફોટોસ્ફિયર અને ક્રોમોસ્ફિયર) સતત વર્ણપટમાંથી પ્રકાશની ચોક્કસ તરંગલંબાઇનું શોષણ કરે છે. તેથી,સૂર્યનો વર્ણપટ એ રેખીય શોષણ વર્ણપટનું ઉદાહરણ છે.

(D) $X$-કિરણો એ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો છે જે ઊંચા પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ધરાવતા પરમાણુઓમાં આંતરિક ઇલેક્ટ્રોન કક્ષાઓ (જેમ કે $K$-કક્ષા થી $L$-કક્ષા) વચ્ચેના સંક્રમણ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે અને તેના ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત ખૂબ જ ઓછો ($eV$ ના ક્રમમાં) હોય છે.
$X$-કિરણોના ઉત્સર્જન માટે $keV$ ના ક્રમની ઉર્જાના સંક્રમણની જરૂર હોય છે.
તેથી,હાઇડ્રોજન પરમાણુ $X$-કિરણોનું ઉત્સર્જન કરી શકતું નથી કારણ કે તેના ઉર્જા સ્તરો આટલા ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોન ઉત્પન્ન કરવા માટે એકબીજાની ખૂબ નજીક હોય છે.

(D) દરેક $200 \ V$ રેટિંગ ધરાવતા કેપેસિટરનો ઉપયોગ કરીને $600 \ V$ નો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મેળવવા માટે,આપણે $n$ કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવા પડશે જેથી $n \times 200 \ V = 600 \ V$ થાય. આમ,$n = 3$.
શ્રેણીમાં જોડેલા આ $3$ કેપેસિટરનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે,તેથી $C_s = 2 \ \mu F$ મળે.
કુલ $18 \ \mu F$ કેપેસિટન્સ મેળવવા માટે,આપણે આવી $m$ શ્રેણી શાખાઓને સમાંતરમાં જોડવી પડશે,જ્યાં $m \times C_s = 18 \ \mu F$ થાય.
આમ,$m \times 2 \ \mu F = 18 \ \mu F$,જે આપણને $m = 9$ આપે છે.
જરૂરી કેપેસિટરની કુલ સંખ્યા $n \times m = 3 \times 9 = 27$ છે.

(C) $6 \mu F$ અને $3 \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
આમ,$C_1 = 2 \mu F$.
આ સમતુલ્ય કેપેસિટર $C_1$ એ $2 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,સિસ્ટમનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + 2 \mu F = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$ થાય.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ છે.
અહીં $V = 2 \text{ V}$ આપેલ છે,તેથી $U = \frac{1}{2} \times 4 \mu F \times (2 \text{ V})^2 = 2 \times 4 = 8 \mu J$.

(C) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના ધરાવે છે. સંમિતિને કારણે,કેન્દ્રના બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન વિકર્ણોના મધ્યબિંદુ પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે. જોકે,આને ઉકેલવાની એક સરળ રીત પરિપથની સંમિતિનો ઉપયોગ કરવાની છે.
ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ છે. $A$ અને $B$ વચ્ચેનો અવરોધ શોધવાનો છે.
સંમિતિ દ્વારા,પરિપથને સરળ બનાવી શકાય છે. કેન્દ્રના બિંદુ સાથે જોડાયેલા અવરોધોને સમાંતર શાખાઓ તરીકે ગણી શકાય.
વૈકલ્પિક રીતે,પરિપથની સંમિતિનો ઉપયોગ કરીને,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ માર્ગોના સમાંતર જોડાણ દ્વારા મળે છે.
આ વિશિષ્ટ સંમિત પરિપથ માટે,જ્યાં બધા અવરોધો $R = 15 \Omega$ છે,કોઈપણ બે નજીકના ખૂણાઓ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{2}{3}R$ થાય છે.
$R_{eq} = \frac{2}{3} \times 15 \Omega = 10 \Omega$.

(B) અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધવા માટે,આપણે $A$ થી $B$ ના માર્ગ પર કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરીએ છીએ.
બિંદુ $A$ થી શરૂ કરીને,પ્રવાહ $I = 2 \ A$ પરિપથમાં વહે છે.
$A$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં $6 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં ઘટાડો $I \times R = 2 \times 6 = 12 \ V$ થાય છે.
$12 \ V$ ની બેટરીમાં ધનથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ જતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં $12 \ V$ નો ઘટાડો થાય છે.
$9 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં ઘટાડો $2 \times 9 = 18 \ V$ થાય છે.
$4 \ V$ ની બેટરીમાં ઋણથી ધન ટર્મિનલ તરફ જતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં $4 \ V$ નો વધારો થાય છે.
$5 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં ઘટાડો $2 \times 5 = 10 \ V$ થાય છે.
આને $B$ પાસેના વિદ્યુતસ્થિતિમાન $(V_B)$ સાથે સરખાવતા:
$V_A - (2 \times 6) - 12 - (2 \times 9) + 4 - (2 \times 5) = V_B$
$V_A - 12 - 12 - 18 + 4 - 10 = V_B$
$V_A - 48 = V_B$
$V_A - V_B = 48 \ V$

(D) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,$E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,$\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે અને $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
જ્યારે ધાતુના તારનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે ધાતુની લેટીસમાં રહેલા પરમાણુઓ વધુ કંપવિસ્તાર સાથે કંપન કરે છે.
આના કારણે ઇલેક્ટ્રોન અને લેટીસ આયનો વચ્ચે વારંવાર અથડામણ થાય છે,જેનાથી રિલેક્સેશન સમય $\tau$ ઘટે છે.
જેથી $v_d \propto \tau$ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ ઘટે છે.
વધુમાં,ઇલેક્ટ્રોનનો થર્મલ વેગ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(v_{th} \propto \sqrt{T})$,તેથી જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોનનો થર્મલ વેગ વધે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{2.2 \times 10^{6}}{2 \pi (5 \times 10^{-11})} \approx 7.0 \times 10^{15} \, Hz$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $i = qf$ છે, જ્યાં $q$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ છે।
$i = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (7.0 \times 10^{15} \, Hz) = 11.2 \times 10^{-4} \, A$.
મિલીએમ્પીયરમાં રૂપાંતર કરતા: $i = 1.12 \times 10^{-3} \, A = 1.12 \, mA$.

(A) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરનો સિદ્ધાંત $I = K \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = \frac{2rB_H}{\mu_0 N}$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર આંટાઓની સંખ્યા $N$ સિવાય સમાન છે અને શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,તેમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન છે.
આમ,$I = \frac{2rB_H}{\mu_0 N} \tan \theta$,જેનો અર્થ છે કે $N \tan \theta = \text{અચળ}$.
તેથી,$N_A \tan \theta_A = N_B \tan \theta_B$.
આંટાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = \frac{\tan \theta_B}{\tan \theta_A}$ છે.
અહીં $\theta_A = 60^{\circ}$ અને $\theta_B = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{N_A}{N_B} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 60^{\circ}}$.
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 3$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક પ્રવાહ $I$ છે અને ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G$ છે. કોણાવર્તન એ પ્રવાહના સમપ્રમાણમાં હોય છે, તેથી $I = k \times 100$, જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
જ્યારે $S = 1 \ \Omega$ નો શંટ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો નવો પ્રવાહ $I_g$ કરંટ ડિવાઇડરના નિયમ મુજબ મળે છે: $I_g = I \left( \frac{S}{S+G} \right)$.
નવું કોણાવર્તન $1$ વિભાગ છે, તેથી $I_g = k \times 1$.
કિંમતો મૂકતા: $k = (k \times 100) \left( \frac{1}{1+G} \right)$.
બંને બાજુ $k$ વડે ભાગતા: $1 = \frac{100}{1+G}$.
$1+G = 100$.
$G = 99 \ \Omega$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{0}} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $3 eV_{s} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $eV_{s} = hc \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{3 eV_{s}}{eV_{s}} = \frac{hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)}{hc \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}}{\frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}}$
$3 \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{3}{2 \lambda} - \frac{3}{\lambda_{0}} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{3}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_{0}} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{1}{2 \lambda} = \frac{2}{\lambda_{0}}$
$\lambda_{0} = 4 \lambda$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે, અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$\nu = c / \lambda$ હોવાથી, ગતિઊર્જા એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ તેમજ પદાર્થના વર્ક ફંક્શન $\Phi_0$ પર આધાર રાખે છે.
આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા એ એકમ સમયમાં સપાટી પર અથડાતા ફોટોનની સંખ્યા નક્કી કરે છે, જે ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ) ને અસર કરે છે, પરંતુ તે વ્યક્તિગત ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જાને અસર કરતી નથી.

(A) જ્યારે સમાન દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતી બે વર્તુળાકાર કોઈલ્સને એકબીજાથી દૂર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે એક કોઈલ દ્વારા બીજી કોઈલના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટે છે.
આના પરિણામે દરેક કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ઘટાડો થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,આ સિસ્ટમ ફ્લક્સમાં થતા આ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે અને એક પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન કરે છે જે કોઈલ્સમાં વિદ્યુતપ્રવાહને વધારવાનું કાર્ય કરે છે.
તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ જાળવી રાખવા માટે બંને કોઈલ્સમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વધશે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ એ મુક્ત અવકાશના મૂળભૂત વિદ્યુતચુંબકીય અચળાંકો,એટલે કે મુક્ત અવકાશની પરમીએબિલિટી $(\mu_{0})$ અને મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી $(\varepsilon_{0})$ સાથે સંબંધિત છે.
મેક્સવેલના સમીકરણો મુજબ,શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$
આમ,સાચું સૂત્ર $\sqrt{\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ છે.

(C) કુલંબના નિયમ મુજબ ગોળાઓ વચ્ચેનું પ્રારંભિક સ્થિત વિદ્યુત બળ: $F_{\text{initial}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|12 \times (-8)|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{96}{r^2}$.
જ્યારે ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળાઓ સમાન હોવાથી કુલ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે: $q_{\text{new}} = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{12 + (-8)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \mu C$.
સંપર્ક પછી,નવું સ્થિત વિદ્યુત બળ: $F_{\text{final}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_{\text{new}} q_{\text{new}}|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 \times 2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{4}{r^2}$.
બળોના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર: $\frac{|F_{\text{initial}}|}{|F_{\text{final}}|} = \frac{96/r^2}{4/r^2} = \frac{96}{4} = 24$.
આમ,ગુણોત્તર $24: 1$ છે.

(A) નાના ગોળાનું (ત્રિજ્યા $r$,વિદ્યુતભાર $q$) વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{1}$ તેના પોતાના વિદ્યુતભારને કારણે અને બહારના ગોળા (ત્રિજ્યા $R$,વિદ્યુતભાર $Q$) ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_{1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R}$
મોટા ગોળાનું (ત્રિજ્યા $R$,વિદ્યુતભાર $Q$) વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{2}$ તેના પોતાના વિદ્યુતભારને કારણે અને અંદરના ગોળાને કારણે (જે તેની બહારના બિંદુઓ માટે કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે) ઉદ્ભવતા વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R}$
ગોળાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_{1} - V_{2}$ છે.
$V = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} \right) - \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R}$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{r} - \frac{q}{R} \right)$

(A) ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, q_3$ ધરાવતા તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $U$,જે $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ અંતરે રહેલા છે,તેનું સૂત્ર $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_1q_2}{r_{12}} + \frac{q_2q_3}{r_{23}} + \frac{q_3q_1}{r_{31}}]$ છે.
અહીં,વિદ્યુતભારો $q_1 = +q$,$q_2 = +q$ અને $q_3 = Q$ છે. દરેક જોડી વચ્ચેનું અંતર $a$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{K}{a} [q \cdot q + q \cdot Q + Q \cdot q] = 0$
અહીં $K/a \neq 0$ હોવાથી,કૌંસની અંદરની પદાવલિ શૂન્ય થવી જોઈએ:
$q^2 + 2qQ = 0$
$2qQ = -q^2$
$Q = -\frac{q^2}{2q} = -\frac{q}{2}$

(D) આડા ભાગો $PQ$ અને $RS$ પર લાગતા બળો મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ છે,તેથી તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે.
બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકો વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ વાહકો વચ્ચેનું અંતર છે.
ભાગ $PS$ માટે ($r_1 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ અંતરે):
$F_{PS} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.02} = 6 \times 10^{-4} \text{ N}$ (તાર તરફ આકર્ષણ બળ).
ભાગ $QR$ માટે ($r_2 = 2 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ અંતરે):
$F_{QR} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.12} = 1 \times 10^{-4} \text{ N}$ (તારથી દૂર અપાકર્ષણ બળ).
પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = F_{PS} - F_{QR} = 6 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-4} \text{ N}$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ પ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{c} = \frac{\mu_{0} I}{2r}$
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(r^{2} + x^{2})^{3/2}}$
અહીં આપેલ છે કે અંતર $x = r$,તેથી $B_{a}$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(r^{2} + r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(2r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(2^{3/2} r^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot r} = \frac{\mu_{0} I}{4\sqrt{2} r}$
હવે,$B_{c} : B_{a}$ નો ગુણોત્તર શોધતા:
$\frac{B_{c}}{B_{a}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{2r}}{\frac{\mu_{0} I}{4\sqrt{2} r}} = \frac{4\sqrt{2} r}{2r} = 2\sqrt{2}$
તેથી,$B_{c} : B_{a}$ નો ગુણોત્તર $2\sqrt{2} : 1$ થાય છે.

(A) વાહક ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે: બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર અને $270^\circ$ (અથવા $\frac{3\pi}{2}$ રેડિયન) નો વર્તુળાકાર ચાપ.
$1$. સીધા તાર $(A)$ માટે,બિંદુ $O$ તેની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A = 0$ છે.
$2$. વર્તુળાકાર ચાપ $(B)$ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I (3\pi/2)}{4 \pi r} = \frac{3 \mu_0 I}{8 r}$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ તેની દિશા અંદરની તરફ છે.
$3$. સીધા તાર $(C)$ માટે,બિંદુ $O$ તારથી $r$ લંબ અંતરે છે. અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_C = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે. તેની દિશા પણ અંદરની તરફ છે.
$4$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_A + B_B + B_C = 0 + \frac{3 \mu_0 I}{8 r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
$\frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left( \frac{3\pi}{2} + 1 \right)$ મળે છે.

(B) દરેક વિખંડન દીઠ મુક્ત થતી ઉર્જા $E = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$ છે.
આપેલ પાવર આઉટપુટ $P = 1.6 \text{ MW} = 1.6 \times 10^6 \text{ W}$ છે.
વિખંડનનો દર $R$ એ સૂત્ર $R = P / E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = (1.6 \times 10^6) / (3.2 \times 10^{-11})$.
$R = 0.5 \times 10^{17} = 5 \times 10^{16} \text{ વિખંડન/સેકન્ડ}$.

(C) ધારો કે ઉત્સર્જિત $\alpha$ કણોની સંખ્યા $x$ છે અને $\beta$ કણોની સંખ્યા $y$ છે.
પરમાણ્વીય વિઘટન પ્રક્રિયા નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
${ }_{92} U^{235} \longrightarrow x({ }_{2} \alpha^{4}) + y({ }_{-1} \beta^{0}) + { }_{82} Pb^{203}$
બંને બાજુ દળ ક્રમાંકને સરખાવતા:
$235 = 4x + 203$
$4x = 235 - 203 = 32$
$x = 8$
બંને બાજુ પરમાણુ ક્રમાંકને સરખાવતા:
$92 = 2x - y + 82$
$x = 8$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$92 = 2(8) - y + 82$
$92 = 16 - y + 82$
$92 = 98 - y$
$y = 98 - 92 = 6$
આમ,$8$ $\alpha$ કણો અને $6$ $\beta$ કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(C) ન્યુક્લિયર બળ $F_{n}$ એ ટૂંકા ગાળાનું બળ છે જે ફક્ત આશરે $10^{-15} \text{ m}$ (અથવા $1 \text{ fm}$) ની અંદર જ અસરકારક રીતે કાર્ય કરે છે.
આ અંતરની બહાર,ન્યુક્લિયર બળ ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે અને નહિવત બની જાય છે.
અહીં આપેલું અંતર $40 \text{ Å} = 40 \times 10^{-10} \text{ m} = 4 \times 10^{-9} \text{ m}$ છે.
કારણ કે $4 \times 10^{-9} \text{ m} \gg 10^{-15} \text{ m}$ છે,તેથી આ અંતરે ન્યુક્લિયર બળ $F_{n}$ શૂન્ય જેવું છે.
જો કે,સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_{e}$ વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ $(F_{e} \propto 1/r^2)$ ને અનુસરે છે અને આ અંતરે પણ નોંધપાત્ર રહે છે.
તેથી,$F_{n} \ll F_{e}$.

(C) ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R$ એ સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $R_0$ એ અચળાંક છે.
આપેલ દળ ક્રમાંક $A_1 = 216$ અને $A_2 = 125$ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 (A_1)^{1/3}}{R_0 (A_2)^{1/3}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{(216)^{1/3}}{(125)^{1/3}}$.
કારણ કે $216 = 6^3$ અને $125 = 5^3$ છે,તેથી $\frac{R_1}{R_2} = \frac{6}{5}$ અથવા $6:5$ મળે છે.

(C) બેરીયોન એ ત્રણ ક્વાર્ક (quarks) થી બનેલા સબએટોમિક કણોનો એક પરિવાર છે.
તમામ બેરીયોન પૈકી,પ્રોટોન એકમાત્ર એવો સ્થાયી કણ છે જે અન્ય કણોમાં વિઘટન પામતો નથી.
જ્યારે મુક્ત ન્યુટ્રોન આશરે $880 \ s$ ના સરેરાશ આયુષ્ય સાથે પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં વિઘટન પામે છે,ત્યારે પ્રોટોનને $10^{34}$ વર્ષથી વધુના આયુષ્ય સાથે સ્થાયી માનવામાં આવે છે.
તેથી,બેરીયોન સમૂહમાં પ્રોટોન સૌથી સ્થાયી કણ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ સમય $t$ પર હાજર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે. શરૂઆતનું દળ સમાન હોવાથી,બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતની ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ સમાન છે.
સમય $t$ પર એક્ટિવિટી $R = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $T_{1/2, 1} = 1 \ yr$,$t = 4 \ yr$.
$R_1 = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{4/1} = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^4$.
બીજા પદાર્થ માટે: $T_{1/2, 2} = 2 \ yr$,$t = 4 \ yr$.
$R_2 = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{4/2} = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^2$.
તેમની એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 (1/2)^4}{R_0 (1/2)^2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{4-2} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(B) અંતરે રહેલા બે પાતળા લેન્સની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
અહીં,$f_1$ એ બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ (ધન) છે અને $f_2$ એ અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ (ઋણ) છે.
જ્યારે લેન્સને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર $d = 0$ થાય છે.
સૂત્રમાં $d = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
કારણ કે $f_1 > 0$ અને $f_2 < 0$,ધારો કે $f_1 = f$ અને $f_2 = -f'$ (જ્યાં $f, f' > 0$).
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f'}$
જ્યારે લેન્સને અલગ સ્થિતિમાંથી સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે $-\frac{d}{f_1 f_2}$ પદ (જે ઋણ હતું કારણ કે $f_1 f_2 < 0$) દૂર થાય છે. પરિણામે,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ અલગ સ્થિતિની સરખામણીમાં વધે છે.

(C) આ લેન્સ $3$ અલગ-અલગ દ્રવ્યોનો બનેલો છે,જે દરેકનો વક્રીભવનાંક અલગ-અલગ છે.
લેન્સ $3$ અલગ ભાગોનો બનેલો હોવાથી,દરેક ભાગ પોતાની કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા સ્વતંત્ર લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે મુખ્ય અક્ષ પર એક બિંદુવત વસ્તુ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે $3$ અલગ-અલગ વિભાગોમાંથી પસાર થતા પ્રકાશના કિરણોનું વક્રીભવન અલગ-અલગ રીતે થશે.
પરિણામે,દરેક વિભાગ તેની ચોક્કસ કેન્દ્રલંબાઈ દ્વારા નિર્ધારિત સ્થાન પર વસ્તુનું પ્રતિબિંબ રચશે.
તેથી,કુલ $3$ અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો રચાશે,જે લેન્સના દરેક વિભાગ દ્વારા એક-એક હશે.

(A) કિરણો પ્રિઝમની પ્રથમ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી તેઓ વિચલિત થયા વિના આગળ વધે છે અને કર્ણ પર $i = 45^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
બીજી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોવો જોઈએ $(i > C)$.
આપેલ ક્રાંતિકોણ $C_{red} = 46^{\circ}$,$C_{green} = 44^{\circ}$ અને $C_{blue} = 43^{\circ}$ છે.
લાલ પ્રકાશ માટે: $i = 45^{\circ} < C_{red} = 46^{\circ}$. તેથી,લાલ પ્રકાશ પ્રિઝમમાંથી બહાર આવશે.
લીલા પ્રકાશ માટે: $i = 45^{\circ} > C_{green} = 44^{\circ}$. તેથી,લીલો પ્રકાશ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.
વાદળી પ્રકાશ માટે: $i = 45^{\circ} > C_{blue} = 43^{\circ}$. તેથી,વાદળી પ્રકાશ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.
જેથી લીલો અને વાદળી પ્રકાશ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે જ્યારે લાલ પ્રકાશ બહાર આવે છે,આ ગોઠવણી લાલ રંગને વાદળી અને લીલા રંગથી અલગ કરે છે.

(C) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તનકોણ $r$ જેટલો હોય છે,તેથી $i = r$.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ છે,તેથી પરાવર્તનકોણ $r$,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ})$ અને વક્રીભવનકોણ $r'$ નો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આમ,$r + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$.
કારણ કે $r = i$,તેથી $i + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $r' = 90^{\circ} - i$.
આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu_r \sin i = \mu_d \sin r'$.
$r' = 90^{\circ} - i$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu_r \sin i = \mu_d \sin(90^{\circ} - i) = \mu_d \cos i$.
તેથી,$\frac{\mu_d}{\mu_r} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \frac{\mu_r}{\mu_d}$.
આમ,$\sin C = \frac{1}{\tan i} = \cot i$.
તેથી,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}(\cot i)$ છે.

(B) જ્યારે અવલોકનકાર ઘટ્ટ માધ્યમમાં (પાણી,વક્રીભવનાંક $n$) હોય અને વસ્તુ (પક્ષી) પાતળા માધ્યમમાં (હવા,વક્રીભવનાંક $1$) હોય,ત્યારે વસ્તુની આભાસી ઊંચાઈ વધે છે.
$n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં રહેલા અવલોકનકાર માટે,$h$ વાસ્તવિક ઊંચાઈ પર રહેલી વસ્તુની આભાસી ઊંચાઈ $h' = n \times h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પક્ષી પાણીની સપાટીથી $y$ ઊંચાઈ પર છે.
તેથી,પાણીની સપાટીથી માછલી દ્વારા જોવામાં આવતી પક્ષીની આભાસી ઊંચાઈ $h' = n \times y$ થશે.
માછલી પાણીની સપાટીથી $x$ ઊંડાઈ પર છે.
આમ,માછલી દ્વારા અંદાજિત પક્ષીનું કુલ અંતર એ માછલીની ઊંડાઈ અને પક્ષીની આભાસી ઊંચાઈનો સરવાળો છે: $D = x + ny$.

(B) અનબાયસ્ડ $p-n$ જંકશનમાં,ચાર્જ કેરિયર્સના પ્રસરણને કારણે જંકશન પર ડેપ્લેશન રિજન (depletion region) રચાય છે.
આનાથી એક ઇન-બિલ્ટ પોટેન્શિયલ બેરિયર સર્જાય છે.
$p-n$ જંકશન માટેના પોટેન્શિયલ-અંતરના આલેખ મુજબ,$n$-વિસ્તારમાં પોટેન્શિયલ $p$-વિસ્તારના પોટેન્શિયલ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,$p$ પાસેનું પોટેન્શિયલ $n$ પાસેના પોટેન્શિયલ કરતા ઓછું હોય છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે. આઉટપુટ $Y$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = (A + B) \cdot C$ છે.
આઉટપુટ $Y = 1$ મેળવવા માટે,$AND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ $1$ હોવા જોઈએ. તેથી,$(A + B) = 1$ અને $C = 1$ હોવું જરૂરી છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $C$ માટે: $A = 1, B = 0, C = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $Y = (1 + 0) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$.
આમ,ઇનપુટ્સ $A = 1, B = 0, C = 1$ લેવાથી આઉટપુટ $Y = 1$ મળે છે.

(B) પ્રથમ વિવર્તન ન્યૂનતમ માટે,શરત $a \sin \theta = n\lambda$ છે. $n=1$ માટે,$a \sin \theta = \lambda$ થાય.
આપેલ છે કે $\theta = 30^{\circ}$,તેથી $a = \frac{\lambda}{\sin 30^{\circ}} = 2\lambda$ મળે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટે,શરત $a \sin \theta' = \frac{3\lambda}{2}$ છે.
સમીકરણમાં $a = 2\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$2\lambda \sin \theta' = \frac{3\lambda}{2}$
$\sin \theta' = \frac{3\lambda}{2 \times 2\lambda} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\theta' = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ મળે.

(D) વિવર્તનની માત્રા એ આપાત તરંગની તરંગલંબાઈના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ તરંગની તરંગલંબાઈ જેટલું હોય ત્યારે વિવર્તન જોવા મળે છે,તેથી લાંબી તરંગલંબાઈ ધરાવતા તરંગો વધુ સ્પષ્ટ વિવર્તન દર્શાવે છે.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,રેડિયો તરંગોની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ છે.
તેથી,રેડિયો તરંગો મહત્તમ વિવર્તન અનુભવે છે.

(B) સમુદ્રના પાણીનો વાદળી રંગ મુખ્યત્વે પાણીના અણુઓ દ્વારા સૂર્યપ્રકાશના પ્રકીર્ણનને કારણે હોય છે. જ્યારે સૂર્યપ્રકાશ પાણીમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે ટૂંકી તરંગલંબાઇ ધરાવતો પ્રકાશ (વાદળી પ્રકાશ) લાંબી તરંગલંબાઇ ધરાવતા પ્રકાશની સરખામણીમાં પાણીના અણુઓ દ્વારા વધુ અસરકારક રીતે પ્રકીર્ણન પામે છે,જે સમુદ્રને તેનો લાક્ષણિક વાદળી દેખાવ આપે છે.

(A) જ્યારે $I_{0}$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશનો કિરણપુંજ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે સમતલ ધ્રુવીભૂત બને છે.
પોલેરોઇડના ગુણધર્મો અનુસાર,બહાર આવતા સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા આપાત થયેલા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા કરતા બરાબર અડધી હોય છે.
તેથી,બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{I_{0}}{2}$ થાય છે.

(B) ડાયક્રોઇક સ્ફટિક એ એક એવો પદાર્થ છે જે ડાયક્રોઇઝમનો ગુણધર્મ દર્શાવે છે,જે પ્રકાશના ધ્રુવીભવનની દિશાના આધારે પ્રકાશનું પસંદગીયુક્ત શોષણ છે.
ટુરમાલાઇન જેવા કેટલાક સ્ફટિકોમાં એક ચોક્કસ દિશા (જેને ટ્રાન્સમિશન એક્સિસ કહેવાય છે) ને લંબ રૂપે થતા કંપનોવાળા પ્રકાશનું મજબૂત રીતે શોષણ કરવાનો અને તેની સમાંતર કંપનોવાળા પ્રકાશને પસાર થવા દેવાનો ગુણધર્મ હોય છે.
પ્રકાશના આ પસંદગીયુક્ત શોષણને ડાયક્રોઇઝમ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,ટુરમાલાઇન એ ડાયક્રોઇક સ્ફટિકનું જાણીતું ઉદાહરણ છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,વ્યતિકરણ ભાત બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોમાંથી આવતા પ્રકાશના તરંગોના સંપાતપણાથી રચાય છે. જો બે સ્લિટની વચ્ચે ત્રીજી સ્લિટ ઉમેરવામાં આવે,તો તે પ્રકાશના વધારાના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. આ વધારાનો પ્રકાશ સ્ક્રીન પરના પૃષ્ઠભૂમિ પ્રકાશમાં ફાળો આપે છે,જે વ્યતિકરણ ભાતમાં ભાગ લેતો નથી. પરિણામે,અપ્રકાશિત શલાકાઓની તીવ્રતા વધે છે,જ્યારે પ્રકાશિત શલાકાઓની તીવ્રતામાં ખાસ ફેરફાર થતો નથી. આનાથી પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેની દૃશ્યતા અથવા કોન્ટ્રાસ્ટમાં ઘટાડો થાય છે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પડદાને $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \, m$ જેટલો ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = 3 \times 10^{-5} \, m$ છે.
સૂત્ર પરથી, ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ છે.
$\lambda$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^{-5} \, m) \times (10^{-3} \, m)}{5 \times 10^{-2} \, m}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} \, m = 0.6 \times 10^{-6} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \, \text{Å} = 10^{-10} \, m)$:
$\lambda = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6000 \, \text{Å}$.