પરવલય $y^{2}=4ax$ ના નાભિ અને તેના પરના કોઈપણ બિંદુને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ એક પરવલય છે. તેની નિયામિકાનું સમીકરણ શોધો.

બિંદુ $(-1, 2)$ માંથી પરવલય $y^2 = 4x$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. સ્પર્શક જીવા અને સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

વિધાન $1$: $y = mx - \frac{1}{m}$ એ તમામ શૂન્યતર $m$ ની કિંમતો માટે પરવલય $y^2 = -4x$ નો સ્પર્શક છે.
વિધાન $2$: પરવલય $y^2 = -4x$ નો દરેક સ્પર્શક તેના અક્ષને એવા બિંદુએ મળે છે જેનો $x$-યામ (abscissa) અઋણ હોય.

વર્તુળ $C: x^2+y^2=4$ અને પરવલય $P: y^2=8x$ ધ્યાનમાં લો. જો બિંદુ $(\alpha, 0)$ માંથી પસાર થતી ત્રણ ભિન્ન રેખાઓ પરના વર્તુળ $C$ ના ત્રણ જીવાઓ પરવલય $P$ દ્વારા દુભાગતા હોય,તો $\alpha$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ અંતરાલ $(p, q)$ છે,તો $(2q-p)^2$ નું મૂલ્ય............. છે.

પરવલય $y^2 = 8x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = x + 2$ છે. જો આ રેખા પરના કોઈ બિંદુમાંથી પરવલય પર બીજો સ્પર્શક દોરવામાં આવે જે આપેલ સ્પર્શકને લંબ હોય,તો તે બિંદુ શોધો.

જો રેખા $x + y = k$ એ પરવલય $y^2 = 4x$ નો અભિલંબ હોય,તો $k$ નું મૂલ્ય શોધો.