ધારો કે $A(a, 3)$,$B(b, 5)$ અને $C(a, b)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર $P(1, 1)$ છે,જ્યાં $ab > 0$. જો રેખા $AP$ એ રેખા $BC$ ને બિંદુ $Q(k_{1}, k_{2})$ માં છેદે,તો $k_{1} + k_{2}$ ની કિંમત શોધો.

એક ચોરસની એક બાજુ ધન $x-$અક્ષ સાથે લઘુકોણ $\alpha$ બનાવે છે,અને તેનો એક અંત્યબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે. જો ચોરસના બાકીના ત્રણ શિરોબિંદુઓ $x-$અક્ષની ઉપર આવેલા હોય અને ચોરસની બાજુનું માપ $4$ હોય,તો ચોરસના જે વિકર્ણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી તેનું સમીકરણ શોધો.

બધા ત્રિકોણ $OPQ$ ના સમૂહને ધ્યાનમાં લો જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ છે અને $P, Q$ એ સમતલમાં અ-ઋણ પૂર્ણાંક યામ $(x, y)$ ધરાવતા ભિન્ન બિંદુઓ છે જેથી $5x + y = 99$ થાય. આવા કેટલા ભિન્ન ત્રિકોણો છે જેનું ક્ષેત્રફળ ધન પૂર્ણાંક હોય?

ધારો કે $x+y=10$ અને યામ અક્ષો દ્વારા એક ત્રિકોણ રચાય છે. તો ત્રિકોણની અંદર આવેલા બિંદુઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા,જ્યાં $x$ અને $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે,તે કેટલી છે?

$x=0, y=0$ અને $3x+4y=12$ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું અંતઃકેન્દ્ર શોધો.

ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $CA$ ના સમીકરણો અનુક્રમે $2x + y = 0$,$x + py = 21a$ $(a \neq 0)$ અને $x - y = 3$ છે. ધારો કે $P(2, a)$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. તો $(BC)^2$ ની કિંમત $........$ છે.