ધારો કે પરવલય P: y^{2}=4x ની નાભિ જીવા રેખા L | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) પરવલય $P: y^{2}=4x$ છે,તેથી તેની નાભિ $(1, 0)$ છે. $L: y=mx+c$ નાભિ જીવા હોવાથી તે $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = m(1) + c$,એટલે કે $c = -m$

Vedclass · Accepted Answer

$2\sqrt{14}$

Vedclass · Answer

(B) પરવલય $P: y^{2}=4x$ છે,તેથી તેની નાભિ $(1, 0)$ છે. $L: y=mx+c$ નાભિ જીવા હોવાથી તે $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = m(1) + c$,એટલે કે $c = -m$.આમ,રેખા $y = m(x-1)$ છે.અતિવલય $H: x^{2}-y^{2}=4$ છે,એટલે કે $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$. અહીં $a^{2}=4, b^{2}=4$.રેખા $y=mx+c$ અતિવલયનો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ છે.$c = -m$ મૂકતા,$(-m)^{2} = 4m^{2} - 4$,તેથી $m^{2} = 4m^{2} - 4$,જેનો અર્થ છે $3m^{2} = 4$,અથવા $m = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ($m>0$ હોવાથી).તેથી $c = -\frac{2}{\sqrt{3}}$. રેખા $L$ એ $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ છે.છેદબિંદુઓ $M(x_{1}, y_{1})$ અને $N(x_{2}, y_{2})$ મેળવવા માટે $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ ને $y^{2}=4x$ માં મૂકતા:$\frac{4}{3}(x-1)^{2} = 4x \implies (x-1)^{2} = 3x \implies x^{2}-2x+1 = 3x \implies x^{2}-5x+1 = 0$.બીજ $x_{1}, x_{2}$ છે,તેથી $x_{1}+x_{2}=5$ અને $x_{1}x_{2}=1$.$y$-યામ $y_{i} = \frac{2}{\sqrt{3}}(x_{i}-1)$ છે.ચતુષ્કોણ $OMFN$ નું ક્ષેત્રફળ એ $	riangle OMF$ અને $	riangle ONF$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_{F} y_{1} - x_{F} y_{2}| = \frac{1}{2} |x_{F}| |y_{1}-y_{2}|$.અહીં $x_{F} = 2\sqrt{2}$ ($H$ ની નાભિ $(ae, 0) = (2\sqrt{2}, 0)$ છે).$|y_{1}-y_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} |x_{1}-x_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{25-4} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{7}$.ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) (2\sqrt{7}) = 2\sqrt{14}$.

Similar Questions

પરવલય $x^2 = 8y$ અને ઉપવલય $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ ના બિંદુ $\left( 2, \frac{3}{2} \right)$ આગળનો અભિલંબ એક પરવલયને સ્પર્શે છે,જેનું સમીકરણ છે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module