ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}=1+x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 1 + xe^{y-x}$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - 1 = xe^{y-x}$.ધારો કે $y-x = u$,તો $\frac{du}{dx} = \frac{

Vedclass · Accepted Answer

$(1-\sqrt{3})-\log_{e}(\sqrt{3}-1)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 1 + xe^{y-x}$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - 1 = xe^{y-x}$.ધારો કે $y-x = u$,તો $\frac{du}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$. આ કિંમત મૂકતા,$\frac{du}{dx} = xe^u$ મળે.ચલને અલગ કરતા: $e^{-u} du = x dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-u} du = \int x dx \Rightarrow -e^{-u} = \frac{x^2}{2} + C$.$u = y-x$ મૂકતા: $-e^{-(y-x)} = \frac{x^2}{2} + C \Rightarrow -e^{x-y} = \frac{x^2}{2} + C$.$y(0)=0$ આપેલ છે,તેથી $x=0, y=0$ માટે: $-e^0 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.તેથી,$-e^{x-y} = \frac{x^2}{2} - 1 \Rightarrow e^{x-y} = 1 - \frac{x^2}{2} = \frac{2-x^2}{2}$.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $x-y = \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right) \Rightarrow y = x - \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right)$.ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લો: $1 + xe^{y-x} = 0$. મૂળ સમીકરણ પરથી,$\frac{dy}{dx} = 1 + x\left(\frac{2}{2-x^2}\right) = \frac{2-x^2+2x}{2-x^2} = 0$.$-x^2+2x+2=0 \Rightarrow x^2-2x-2=0$ ઉકેલતા. બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ મળે.$x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ હોવાથી,આપણે $x = 1-\sqrt{3}$ લઈશું.$x = 1-\sqrt{3}$ ને $y(x)$ માં મૂકતા: $y = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1-\sqrt{3})^2}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1+3-2\sqrt{3})}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-4+2\sqrt{3}}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln(\sqrt{3}-1)$.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A)$ અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં સમીકરણ $x e^{\sin x}-\cos x=0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ ના મૂલ્યો જેના માટે સમતલો $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ અને $2 x+2 y+z=0$ એક સીધી રેખામાં છેદે છે	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ ના મૂલ્યો જેના માટે $\|x-1\|+\|x-2\|+\|x+1\|+\|x+2\|=4 k$ ના પૂર્ણાંક ઉકેલો મળે	$(r)$ $3$
$(D)$ જો $y^{\prime}=y+1$ અને $y(0)=1$ હોય,તો $y(\ln 2)$ નું મૂલ્ય	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

Similar Questions

જો $\frac{d^2y}{dx^2} + \sin x = 0$ હોય,તો વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ ...... છે.

જો $2xy^3dx + x^2y^2dy = ydx - xdy$ અને $y(2) = 1$ હોય,તો $y(-1)$ ની કિંમત શું થશે (જ્યાં $y(x)$ એ આપેલ $x$ માટે $y$ ની કિંમત દર્શાવે છે):

સમીકરણ $(xy \cos xy + \sin xy)dx + x^2 \cos xy \, dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $e^{-x}(y+1) dy + (\cos^2 x - \sin 2x) y dx = 0$ નો $x=0, y=1$ આગળ ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module