ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ e^{y} frac{d y}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{y} \frac{d y}{d x}-2 e^{y} \sin x=-\sin x \cos ^{2} x$. ધારો કે $e^{y}=t$,તેથી $e^{y} \frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$. સમીક

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{y} \frac{d y}{d x}-2 e^{y} \sin x=-\sin x \cos ^{2} x$. ધારો કે $e^{y}=t$,તેથી $e^{y} \frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$. સમીકરણ $\frac{d t}{d x}-2 \sin x \cdot t=-\sin x \cos ^{2} x$ બને છે. આ $\frac{d t}{d x}+P(x)t=Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=-2 \sin x$ અને $Q(x)=-\sin x \cos ^{2} x$. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -2 \sin x dx} = e^{2 \cos x}$. ઉકેલ $t \cdot e^{2 \cos x} = \int -\sin x \cos ^{2} x \cdot e^{2 \cos x} dx + C$ છે. ધારો કે $u = \cos x$,તેથી $du = -\sin x dx$. સંકલન $\int u^{2} e^{2u} du$ બને છે. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u^{2} e^{2u} du = u^{2} \frac{e^{2u}}{2} - \int 2u \frac{e^{2u}}{2} du = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - (u \frac{e^{2u}}{2} - \int \frac{e^{2u}}{2} du) = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - \frac{u e^{2u}}{2} + \frac{e^{2u}}{4}$. તેથી,$e^{y} e^{2 \cos x} = e^{2 \cos x} (\frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4}) + C$. $x = \frac{\pi}{2}$ પર,$y = 0$,તેથી $e^{0} e^{0} = e^{0} (0 - 0 + \frac{1}{4}) + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$. આમ,$e^{y} = \frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2 \cos x}$. $x = 0$ પર,$e^{y(0)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2}$. $\alpha + \beta e^{-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{4}$ અને $\beta = \frac{3}{4}$ મળે છે. તેથી,$4(\alpha + \beta) = 4(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = 4(1) = 4$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 3y = e^{-2x}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ નો ઉકેલ $x=1, y=1$ નું સમાધાન કરે છે. તો ઉકેલ શું છે?

ધારો કે $y(x)$ એ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy - 4x^{2} = 0$ અને $y(0) = -1$ નો ઉકેલ છે. તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

ધારો કે $f$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $x^2 f(x) - x = 4 \int_0^x t f(t) dt$ અને $f(1) = \frac{2}{3}$ થાય. તો $18 f(3)$ ની કિંમત $......$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module