यदि एक वृत्त $C$ जो $(4, 0)$ से होकर गुजरता है,वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ को बिंदु $(1, -1)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करता है,तो वृत्त $C$ की त्रिज्या क्या है?

बिंदु $(0, 0)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2x + 6y - 15 = 0$ पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की संख्या है

मान लीजिए कि $\theta$ वृत्तों $S \equiv x^2+y^2+2x-2y+c=0$ और $S' \equiv x^2+y^2-6x-8y+9=0$ के बीच का कोण है। यदि $c$ एक पूर्णांक है और $\cos \theta = \frac{5}{16}$ है,तो वृत्त $S=0$ की त्रिज्या क्या है?

एक न्यूनकोण $\triangle ABC$ में,$A, B, C$ से खींचे गए शीर्षलंबों को बढ़ाने पर वे परिवृत्त को क्रमशः $A_1, B_1, C_1$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\angle ABC = 45^{\circ}$ है,तो $\angle A_1 B_1 C_1$ का मान क्या होगा ($^{\circ}$ में)?

सरल रेखा $(x - 2) + (y + 3) = 0$ वृत्त $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 11$ को कहाँ काटती है?

यदि वृत्त ${x^2} + {y^2} = 1$ की जीवा $y = mx + 1$ वृत्त के दीर्घ वृत्तखंड पर ${45^\circ}$ का कोण बनाती है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।