यदि रेखाएँ 5x + 8y = 13 और 4x - y = 3 में से | vedclass

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Question

(D) दो रेखाओं $5x + 8y = 13$ और $4x - y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है।$4x - y = 3$ से $y = 4x - 3$ मिलता है। पहले समीकरण में रखने पर: $

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$a = 5$ और $b \in (-\infty, 1)$

Vedclass · Answer

(D) दो रेखाओं $5x + 8y = 13$ और $4x - y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है।$4x - y = 3$ से $y = 4x - 3$ मिलता है। पहले समीकरण में रखने पर: $5x + 8(4x - 3) = 13$ $\Rightarrow 37x = 37$ $\Rightarrow x = 1$. अतः $y = 1$। केंद्र $(1, 1)$ है।वृत्त का व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है,जहाँ केंद्र $(-g, -f)$ है।यहाँ,$-g = a^2 - 7a + 11 = 1$ $\Rightarrow a^2 - 7a + 10 = 0$ $\Rightarrow a = 2, 5$।और $-f = a^2 - 6a + 6 = 1$ $\Rightarrow a^2 - 6a + 5 = 0$ $\Rightarrow a = 1, 5$।दोनों शर्तों के लिए $a = 5$ प्राप्त होता है।वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 - b^3$ हो जाता है।वास्तविक वृत्त के लिए,त्रिज्या का वर्ग धनात्मक होना चाहिए: $1 - b^3 > 0 \Rightarrow b < 1$।

यदि रेखाएँ $5x + 8y = 13$ और $4x - y = 3$ में से प्रत्येक वृत्त $x^2 + y^2 - 2(a^2 - 7a + 11)x - 2(a^2 - 6a + 6)y + b^3 + 1 = 0$ का व्यास है,तो:

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