JEE Main 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दी गई श्रेणी $S = 1(2)^2 + 2(4)^2 + 3(6)^2 + \dots + 10(20)^2$ है।
$n$-वां पद $T_n = n(2n)^2 = n(4n^2) = 4n^3$ है।
$10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} 4n^3$ है।
$S_{10} = 4 \sum_{n=1}^{10} n^3$ है।
सूत्र $\sum_{n=1}^{k} n^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2$ का उपयोग करने पर:
$S_{10} = 4 \left( \frac{10 \times 11}{2} \right)^2$.
$S_{10} = 4 \times (55)^2 = 4 \times 3025 = 12100$.

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y + (25 - a^2) = 0$ है।
इसे मानक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -3$,$f = -4$,और $c = 25 - a^2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
$r = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (25 - a^2)} = \sqrt{9 + 16 - 25 + a^2} = \sqrt{a^2} = |a|$.
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$|a| = |4|$,जिसका अर्थ है कि $a = \pm 4$।

(D) दी गई असमिका: $\frac{x - 5}{(x + 7)(x - 2)} > 0$.
अंतराल ज्ञात करने के लिए वेवी-कर्व विधि का उपयोग करने पर,क्रांतिक बिंदु $x = -7, 2, 5$ प्राप्त होते हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,हल समुच्चय $x \in (-7, 2) \cup (5, \infty)$ प्राप्त होता है।
$(-7, 2)$ अंतराल में पूर्णांक मान $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$ हैं।
अतः,न्यूनतम पूर्णांक मान $\alpha = -6$ है।
$\alpha = -6$ के लिए विकल्प $(D)$ की जाँच करने पर: $(-6)^2 + 5(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0$.
अतः,$\alpha = -6$ विकल्प $(D)$ को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 2x - 2 \cos x + 4 \sin x = 4$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x \cos x - 2 \cos x + 4 \sin x - 4 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$2 \cos x (\sin x - 1) + 4 (\sin x - 1) = 0$
$(2 \cos x + 4)(\sin x - 1) = 0$
$2(\cos x + 2)(\sin x - 1) = 0$
चूंकि $\cos x + 2 \neq 0$,इसलिए $\sin x = 1$ होगा।
अंतराल $[0, 5\pi]$ में,$\sin x = 1$ के लिए $x$ के मान हैं:
$x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$
अतः,कुल $3$ हल हैं।

(A) मान लीजिए $z = x + iy$ है। चूँकि $|z| = 1$,इसलिए $x^2 + y^2 = 1$ है।
व्यंजक $\frac{1 + z^2}{2iz} = \frac{1 + (x + iy)^2}{2i(x + iy)} = \frac{1 + x^2 - y^2 + 2ixy}{2ix - 2y} = \frac{(1 + x^2 - y^2) + 2ixy}{-2y + 2ix}$ पर विचार करें।
चूँकि $x^2 + y^2 = 1$,इसलिए $1 - y^2 = x^2$ है। अंश में यह मान रखने पर:
$\frac{(x^2 + x^2) + 2ixy}{-2y + 2ix} = \frac{2x^2 + 2ixy}{2i(x + iy)} = \frac{2x(x + iy)}{2i(x + iy)} = \frac{x}{i} = -ix$.
अतः,$a = \text{Im}(-ix) = -x$ है।
चूँकि $|z| = 1$,$x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है। चूँकि $z \ne \pm 1$,इसलिए $x \ne \pm 1$ है।
अतः,$x \in (-1, 1)$,जिसका अर्थ है कि $a = -x \in (-1, 1)$ है।
इस प्रकार,समुच्चय $A = (-1, 1)$ है।

(A) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{a_1a_2 + b_1b_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
रेखाओं $2x + 3y + c_1 = 0$ और $-x + 5y + c_2 = 0$ के लिए,कोण $\theta_1$ संतुष्ट करता है $\tan \theta_1 = \left| \frac{(2)(5) - (3)(-1)}{(2)(-1) + (3)(5)} \right| = \left| \frac{10 + 3}{-2 + 15} \right| = \frac{13}{13} = 1$।
इसी प्रकार,रेखाओं $2x + 3y + c_1 = 0$ और $-x + 5y + c_3 = 0$ के लिए,कोण $\theta_2$ संतुष्ट करता है $\tan \theta_2 = \left| \frac{(2)(5) - (3)(-1)}{(2)(-1) + (3)(5)} \right| = 1$।
चूँकि $\tan \theta_1 = \tan \theta_2 = 1$,इसलिए $c_2$ और $c_3$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $\theta_1 = \theta_2$ है।
अतः,कथन-$2$ सत्य है।
चूँकि कथन-$2$ सत्य है,कथन-$1$ भी सत्य है,और कथन-$2$,कथन-$1$ के लिए तार्किक आधार प्रदान करता है।

(C) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है $a_4 - a_7 + a_{10} = m$।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$(a + 3d) - (a + 6d) + (a + 9d) = m$
$a + 6d = m$
चूंकि $a_7 = a + 6d$,इसलिए $a_7 = m$ है।
प्रथम $13$ पदों का योग $S_{13} = \frac{13}{2} [2a + (13-1)d] = \frac{13}{2} [2a + 12d] = 13(a + 6d)$ है।
$a + 6d = m$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S_{13} = 13m$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ है।
$y=0$ रखने पर,$x = a \cos \theta$ प्राप्त होता है,अतः $P = (a \cos \theta, 0)$.
$x=0$ रखने पर,$y = -b \cot \theta$ प्राप्त होता है,अतः $Q = (0, -b \cot \theta)$.
चूँकि $OPRQ$ मूलबिंदु $O(0,0)$ के साथ एक आयत है,$R$ के निर्देशांक $(h, k) = (a \cos \theta, -b \cot \theta)$ हैं।
इससे,$\cos \theta = \frac{h}{a}$ और $\cot \theta = -\frac{k}{b}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{a^2}{h^2} - \frac{b^2}{k^2} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 2$ दिया गया है,इसलिए $R(x, y)$ का बिंदुपथ $\frac{4}{x^2} - \frac{2}{y^2} = 1$ है।

(B) कुल बिंदुओं की संख्या $= 3 + 4 + 5 = 12$ है।
$12$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $= ^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
हालाँकि,एक ही भुजा पर स्थित बिंदु संरेख होते हैं और त्रिभुज नहीं बना सकते।
भुजा $AB$ पर $3$ संरेख बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज $= ^3C_3 = 1$।
भुजा $BC$ पर $3$ संरेख बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज $= ^4C_3 = 4$।
भुजा $CA$ पर $3$ संरेख बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज $= ^5C_3 = 10$।
आवश्यक त्रिभुजों की संख्या $= 220 - (1 + 4 + 10) = 220 - 15 = 205$।

(D) दी गई शर्त $0 < y < x < 2y$ के अनुसार,संख्याओं का क्रम इस प्रकार है:
चूंकि $y < x$ और $x < 2y$,इसलिए $x - y < y < x < 2x + y$ होगा।
चार संख्याओं की माध्यिका दो मध्य पदों का औसत है:
$\text{माध्यिका} = \frac{y + x}{2} = 10 \Rightarrow x + y = 20 \quad (i)$
परिसर सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या का अंतर है:
$\text{परिसर} = (2x + y) - (x - y) = x + 2y = 28 \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$(x + 2y) - (x + y) = 28 - 20 \Rightarrow y = 8$.
$y = 8$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$x + 8 = 20 \Rightarrow x = 12$.
चार संख्याएँ $(12 - 8), 8, 12, (2(12) + 8)$ अर्थात $4, 8, 12, 32$ हैं।
माध्य $= \frac{4 + 8 + 12 + 32}{4} = \frac{56}{4} = 14$.

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 1$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के नाभिलंब के सिरे $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ होते हैं।
$a = 1$ के लिए,सिरे $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं।
नाभिलंब के सिरों पर अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु $(3a, 0)$ होता है।
$a = 1$ रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3(1), 0) = (3, 0)$ प्राप्त होता है।

(B) माना अनुक्रम $a, b, c, d$ है।
चूंकि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
चूंकि $b, c, d$ एक $A.P.$ में हैं और सार्व अंतर $6$ है,इसलिए $c - b = 6$ और $d - c = 6$ है।
अतः,$c = b + 6$ और $d = c + 6 = b + 12$ है।
दिया गया है कि पहला और अंतिम पद समान हैं,$a = d$,इसलिए $a = b + 12$,जिसका अर्थ है $b = a - 12$।
$c = b + 6$ में $b = a - 12$ रखने पर,$c = (a - 12) + 6 = a - 6$ प्राप्त होता है।
अब,$b$ और $c$ के मानों को $G.P.$ की शर्त $b^2 = ac$ में रखने पर:
$(a - 12)^2 = a(a - 6)$
$a^2 - 24a + 144 = a^2 - 6a$
$144 = 18a$
$a = 8$।
चूंकि $d = a$,इसलिए अंतिम पद $8$ है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ के लिए,केंद्र $(3, -1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 0} = \sqrt{10}$ है।
जाँचें कि क्या केंद्र $(3, -1)$ रेखा $2x + y = 5$ पर स्थित है: $2(3) + (-1) = 6 - 1 = 5$। चूँकि केंद्र रेखा पर स्थित है,इसलिए रेखा वृत्त का व्यास (और इस प्रकार अभिलंब) है। अतः,कथन $2$ सत्य है।
कथन $1$ के लिए,रेखा $2x + y = 5$ पर केंद्र वाले और $\sqrt{10}$ त्रिज्या वाले अनंत वृत्त संभव हैं। इसलिए,कथन $1$ असत्य है।

(D) मान लीजिए कि पहला वृत्त $C_1$ है जिसकी त्रिज्या $r_1 = 1$ है और केंद्र $(0,0)$ पर है।
मान लीजिए कि दूसरा वृत्त $C_2$ है जिसकी त्रिज्या $r_2$ है और केंद्र $(h,k)$ पर है।
$C_2$ का चाप $C_1$ की परिधि पर $60^o$ का कोण बनाता है।
अंतर्निहित कोण प्रमेय के अनुसार,यदि चाप केंद्र से गुजरने वाले वृत्त का हिस्सा है,तो $C_1$ के केंद्र पर बनने वाला कोण $120^o$ होगा।
हालाँकि,दूसरे वृत्त के केंद्र की स्थिति पहले वृत्त के सापेक्ष निश्चित नहीं है।
केंद्रों के बीच की दूरी या प्रतिच्छेदन द्वारा बनी जीवा की लंबाई जाने बिना,त्रिज्या $r_2$ को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
अतः,दी गई जानकारी $r_2$ ज्ञात करने के लिए अपर्याप्त है।

(D) $P(2, 3)$ और $Q(4, 5)$ का मध्य-बिंदु $(\frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}) = (3, 4)$ है।
$PQ$ की ढाल $= \frac{5-3}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$ है।
चूंकि रेखा $L$,$PQ$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए रेखा $L$ की ढाल $m = -1$ है।
$(3, 4)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण $y - 4 = -1(x - 3) \Rightarrow x + y - 7 = 0$ है।
मान लीजिए बिंदु $R(0, 0)$ का प्रतिबिंब $S(x_1, y_1)$ है।
$RS$ का मध्य-बिंदु $(\frac{x_1}{2}, \frac{y_1}{2})$ रेखा $L$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{x_1}{2} + \frac{y_1}{2} - 7 = 0 \Rightarrow x_1 + y_1 = 14$ है।
$RS$ की ढाल $\frac{y_1}{x_1}$ है। चूंकि $RS \perp L$,इसलिए $RS$ की ढाल $1$ होनी चाहिए।
अतः,$\frac{y_1}{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = y_1$ है।
$x_1 = y_1$ को $x_1 + y_1 = 14$ में रखने पर,$2x_1 = 14 \Rightarrow x_1 = 7$ और $y_1 = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$R$ का प्रतिबिंब $(7, 7)$ है।

(A) दिए गए शांकव $x^2 = 6y$ $(i)$ और $2x^2 - 4y^2 = 9$ $(ii)$ हैं।
रेखा $x - y = \frac{3}{2}$ $(iii)$ पर विचार करें,जिसका अर्थ है $x = y + \frac{3}{2}$।
$x = y + \frac{3}{2}$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(y + \frac{3}{2})^2 = 6y \implies y^2 + 3y + \frac{9}{4} = 6y \implies y^2 - 3y + \frac{9}{4} = 0 \implies (y - \frac{3}{2})^2 = 0$। अतः,$y = \frac{3}{2}$ और $x = 3$।
चूंकि केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, \frac{3}{2})$ है,इसलिए रेखा परवलय की स्पर्श रेखा है।
$x = y + \frac{3}{2}$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(y + \frac{3}{2})^2 - 4y^2 = 9 \implies 2(y^2 + 3y + \frac{9}{4}) - 4y^2 = 9 \implies 2y^2 + 6y + \frac{9}{2} - 4y^2 = 9 \implies -2y^2 + 6y - \frac{9}{2} = 0 \implies 4y^2 - 12y + 9 = 0 \implies (2y - 3)^2 = 0$। अतः,$y = \frac{3}{2}$ और $x = 3$।
चूंकि केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, \frac{3}{2})$ है,इसलिए रेखा अतिपरवलय की स्पर्श रेखा है।
अतः,$x - y = \frac{3}{2}$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

(B) मान लीजिए शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं।
शीर्षों $A(-3, 2)$,$B(-2, 1)$ और $C(x_1, y_1)$ वाले त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G$ इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{-3 - 2 + x_1}{3}, \frac{2 + 1 + y_1}{3} \right) = \left( \frac{x_1 - 5}{3}, \frac{y_1 + 3}{3} \right)$
चूंकि केंद्रक रेखा $3x + 4y + 2 = 0$ पर स्थित है,हम $G$ के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3 \left( \frac{x_1 - 5}{3} \right) + 4 \left( \frac{y_1 + 3}{3} \right) + 2 = 0$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$3(x_1 - 5) + 4(y_1 + 3) + 6 = 0$
$3x_1 - 15 + 4y_1 + 12 + 6 = 0$
$3x_1 + 4y_1 + 3 = 0$
अतः,शीर्ष $C(x_1, y_1)$ रेखा $3x + 4y + 3 = 0$ पर स्थित है।

(C) तार्किक कथन $r: p \to (\sim p \vee q)$ का सत्यता मान $F$ है।
एक निहितार्थ $A \to B$ केवल तभी असत्य $(F)$ होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
इसलिए,$p$ को $T$ होना चाहिए और $(\sim p \vee q)$ को $F$ होना चाहिए।
वियोजन $(\sim p \vee q)$ के $F$ होने के लिए,$\sim p$ और $q$ दोनों को $F$ होना चाहिए।
चूंकि $\sim p$ का मान $F$ है,इसका अर्थ है कि $p$ का मान $T$ है।
अतः,$p$ का मान $T$ है और $q$ का मान $F$ है।

(C) किसी भी घटना $E$ के लिए,प्रायिकता $P(E)$ को $0 \le P(E) \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
घटना $A$ के लिए: $0 \le \frac{3x+1}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 3x+1 \le 3 \Rightarrow -1 \le 3x \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le x \le \frac{2}{3}$.
घटना $B$ के लिए: $0 \le \frac{1-x}{4} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1-x \le 4 \Rightarrow -1 \le -x \le 3 \Rightarrow -3 \le x \le 1$.
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \le 1$.
$\frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} \le 1 \Rightarrow \frac{4(3x+1) + 3(1-x)}{12} \le 1 \Rightarrow 12x + 4 + 3 - 3x \le 12 \Rightarrow 9x + 7 \le 12 \Rightarrow 9x \le 5 \Rightarrow x \le \frac{5}{9}$.
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $x \ge -\frac{1}{3}$,$x \le \frac{2}{3}$,$x \ge -3$,$x \le 1$,और $x \le \frac{5}{9}$.
इन अंतरालों का प्रतिच्छेदन $[-\frac{1}{3}, \frac{5}{9}]$ है।

(A) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = ^{2n}C_k x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$x^{3r}$ का गुणांक $^{2n}C_{3r}$ है और $x^{r+2}$ का गुणांक $^{2n}C_{r+2}$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं,इसलिए $^{2n}C_{3r} = ^{2n}C_{r+2}$ है।
गुणधर्म $^{n}C_a = ^{n}C_b \Rightarrow a = b$ या $a + b = n$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $3r = r + 2$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$। हालाँकि,प्रश्न में $r > 1$ दिया गया है,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।
स्थिति $2$: $3r + (r + 2) = 2n$ $\Rightarrow 4r + 2 = 2n$ $\Rightarrow n = 2r + 1$।
अतः,$n = 2r + 1$।

(B) दिया गया है कि $\alpha^3 + \beta^3 = -p$ और $\alpha \beta = q$ है।
माना कि अभीष्ट द्विघात समीकरण के मूल $x_1 = \frac{\alpha^2}{\beta}$ और $x_2 = \frac{\beta^2}{\alpha}$ हैं।
मूलों का योग $x_1 + x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha \beta} = \frac{-p}{q}$ है।
मूलों का गुणनफल $x_1 \times x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} \times \frac{\beta^2}{\alpha} = \alpha \beta = q$ है।
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$x^2 - (\frac{-p}{q})x + q = 0$।
$x^2 + \frac{p}{q}x + q = 0$।
$q$ से गुणा करने पर,$qx^2 + px + q^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) समुच्चय $A$ के लिए,$\sin(\theta) = \tan(\theta)$.
इसका अर्थ है $\sin(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$,जो देता है $\sin(\theta)(1 - \frac{1}{\cos(\theta)}) = 0$.
अतः,$\sin(\theta) = 0$ या $\cos(\theta) = 1$.
यदि $\sin(\theta) = 0$,तो $\theta = n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
यदि $\cos(\theta) = 1$,तो $\theta = 2n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
अतः,$A = \{ n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm\pi, \pm 2\pi, \dots \}$.
समुच्चय $B$ के लिए,$\cos(\theta) = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 2n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
अतः,$B = \{ 2n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \dots \}$.
दोनों समुच्चयों की तुलना करने पर,$B$ का प्रत्येक अवयव $A$ में है,इसलिए $B \subset A$.
हालाँकि,$\pi \in A$ लेकिन $\pi \notin B$,इसलिए $A \not\subset B$.

(B) मान लीजिए $z = x + iy$,तो $\bar{z} = x - iy$.
दिया है $z = 1 - \bar{z}$,अतः $x + iy = 1 - (x - iy) = 1 - x + iy$.
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$x = 1 - x$,जिससे $2x = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{1}{2}$.
चूंकि $|z| = 1$,हमारे पास $x^2 + y^2 = 1$ है।
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर,$\frac{1}{4} + y^2 = 1$,जिससे $y^2 = \frac{3}{4}$,और $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$z = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $z$ में एक काल्पनिक भाग है,कथन $1$ असत्य है।
मुख्य कोणांक $\theta$,$\tan \theta = \frac{y}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
$z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
$z = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$\theta = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
चूंकि प्रश्न एक विशिष्ट मान का संकेत देता है,और $\frac{\pi}{3}$ $z$ के संभावित मानों में से एक के लिए एक मान्य मुख्य कोणांक है,इसलिए कथन $2$ सत्य है।
अतः,कथन $1$ असत्य है और कथन $2$ सत्य है।

(A) अवलोकनों का माध्य $\bar{x} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = \frac{0}{2n} = 0$ है।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{2n}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\sigma = 2$ दिया गया है,इसलिए $2 = \sqrt{\frac{n(a - 0)^2 + n(-a - 0)^2}{2n}}$.
$2 = \sqrt{\frac{n(a^2) + n(a^2)}{2n}} = \sqrt{\frac{2na^2}{2n}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
अतः,$|a| = 2$.

(A) दी गई श्रेणी प्रथम $13$ विषम संख्याओं के वर्गों का योग है।
सामान्य पद ${T_n} = {(2n - 1)^2}$ है,जहाँ $n = 1, 2, \dots, 13$ है।
योग $S = \sum_{n=1}^{13} (2n - 1)^2 = \sum_{n=1}^{13} (4n^2 - 4n + 1)$ है।
योग के सूत्रों $\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ और $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = 4 \sum_{n=1}^{13} n^2 - 4 \sum_{n=1}^{13} n + \sum_{n=1}^{13} 1$
$S = 4 \left[ \frac{13(13+1)(2 \times 13 + 1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{13(13+1)}{2} \right] + 13$
$S = 4 \left[ \frac{13 \times 14 \times 27}{6} \right] - 2 \times 13 \times 14 + 13$
$S = 4 \times 13 \times 7 \times 9 - 364 + 13$
$S = 3276 - 364 + 13 = 2925$.

(D) अंकों का समूह $\{2, 3, 5, 7, 9\}$ है। बिना पुनरावृत्ति के बनने वाली कुल $5$-अंकीय संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
$p$ के लिए: संख्याएँ $20000$ से अधिक होनी चाहिए। चूँकि सभी दिए गए अंक $\ge 2$ हैं,इसलिए इन अंकों का उपयोग करके बनने वाली कोई भी $5$-अंकीय संख्या $\ge 23579$ होगी,जो $20000$ से अधिक है। अतः,$p = 5! = 120$.
$q$ के लिए: संख्याएँ $30000$ और $90000$ के बीच होनी चाहिए। इसका मतलब है कि पहला अंक $3, 5,$ या $7$ होना चाहिए।
पहले अंक के लिए $3$ विकल्प हैं। शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $4!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,$q = 3 \times 4! = 3 \times 24 = 72$.
अनुपात $p : q = 120 : 72$ है।
दोनों को $24$ से विभाजित करने पर,हमें $120/24 : 72/24 = 5 : 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
अभिलंब रेखा $4x - 2y - 5 = 0$ के समांतर है,इसलिए अभिलंब की ढाल $m_n = 2$ है।
उस बिंदु पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{2}$ है।
स्पर्श बिंदु $\left( \frac{9}{5}, \frac{8}{5} \right)$ प्राप्त होता है।

(B) फलन $u(x) = \frac{1}{x - 1}$,$x = 1$ पर असतत है।
फलन $f(u) = \frac{1}{u^2 + u - 2} = \frac{1}{(u + 2)(u - 1)}$,$u = -2$ और $u = 1$ पर असतत है।
संयुक्त फलन $f(u(x))$ के लिए,हमें उन बिंदुओं पर विचार करना चाहिए जहाँ $u(x)$ अपरिभाषित है और जहाँ $u(x)$ का मान $f(u)$ को अपरिभाषित बनाता है।
$1$. $u(x)$,$x = 1$ पर असतत है।
$2$. जब $u(x) = -2$ है,तो $\frac{1}{x - 1} = -2$,जिसका अर्थ है $x - 1 = -\frac{1}{2}$,इसलिए $x = \frac{1}{2}$।
$3$. जब $u(x) = 1$ है,तो $\frac{1}{x - 1} = 1$,जिसका अर्थ है $x - 1 = 1$,इसलिए $x = 2$।
अतः,संयुक्त फलन $f(u(x))$,$x = 1, \frac{1}{2}, 2$ पर असतत है।
ऐसे कुल $3$ बिंदु हैं।

(D) माना $I = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + {2^x}}}dx} \quad ......(1)$
गुणधर्म $\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_a^b f(a+b-x)dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - x = -x$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^2}(-x)}}{{1 + {2^{-x}}}}} dx = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \frac{1}{2^x}}}} dx = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{{2^x}{{\sin }^2}x}}{{2^x + 1}}} dx \quad ......(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^2}x + {2^x}{{\sin }^2}x}}{{1 + {2^x}}}} dx = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {{{\sin }^2}x dx}$
चूँकि $\sin^2 x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int\limits_0^{\pi /2} {\sin^2 x dx} = 2 \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{1 - \cos 2x}{2} dx}$
$2I = \int\limits_0^{\pi /2} {(1 - \cos 2x) dx} = [x - \frac{\sin 2x}{2}]_0^{\pi /2} = (\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0) = \frac{\pi}{2}$
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(C) माना लागत फलन $C(v) = av + \frac{b}{v}$ है।
दिया गया है कि $v = 30 \text{ km/h}$ पर,$C = 75$,इसलिए $30a + \frac{b}{30} = 75 \implies 900a + b = 2250 \quad (i)$.
दिया गया है कि $v = 40 \text{ km/h}$ पर,$C = 65$,इसलिए $40a + \frac{b}{40} = 65 \implies 1600a + b = 2600 \quad (ii)$.
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर,हमें $700a = 350$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 0.5$.
$a = 0.5$ को $(i)$ में रखने पर,हमें $900(0.5) + b = 2250 \implies 450 + b = 2250 \implies b = 1800$ प्राप्त होता है।
सबसे किफायती गति ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dC}{dv} = 0$ रखकर $C(v)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
$\frac{dC}{dv} = a - \frac{b}{v^2} = 0 \implies v^2 = \frac{b}{a}$.
$v^2 = \frac{1800}{0.5} = 3600 \implies v = 60 \text{ km/h}$.

(B) फलन $y = |\cos x - \sin x|$ है।
अंतराल $[0, \pi/4]$ में,$\cos x \geq \sin x$,इसलिए $y = \cos x - \sin x$ है।
अंतराल $[\pi/4, \pi/2]$ में,$\sin x \geq \cos x$,इसलिए $y = \sin x - \cos x$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x) \, dx$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} + [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$A = ((\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)) - (\sin(0) + \cos(0))) + ((-\cos(\pi/2) - \sin(\pi/2)) - (-\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4)))$
$A = ((\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)) + ((0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}))$
$A = (\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2})$
$A = 2\sqrt{2} - 2$ वर्ग इकाई।

(A) वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ द्वारा दी गई है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dy = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) dx$
$y = x + \frac{1}{x} + C$
चूंकि वक्र बिंदु $\left( 2, \frac{7}{2} \right)$ से होकर गुजरता है,$C$ का मान ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{7}{2} = 2 + \frac{1}{2} + C$
$\frac{7}{2} = \frac{5}{2} + C$
$C = 1$
अतः,वक्र का समीकरण $y = x + \frac{1}{x} + 1$ है।
जब $x = -2$ हो,तो कोटि (ordinate) ज्ञात करने के लिए:
$y = -2 + \frac{1}{-2} + 1$
$y = -2 - 0.5 + 1 = -1.5 = -\frac{3}{2}$.

(A) दिया गया है $R = \{(x,y) : x,y \in N \text{ और } x^2 - 4xy + 3y^2 = 0\}$.
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 4xy + 3y^2 = (x - y)(x - 3y) = 0$.
इसका अर्थ है $x = y$ या $x = 3y$.
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in N$ के लिए,$x = x$ सत्य है,इसलिए $(x,x) \in R$. अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $(3,1) \in R$ क्योंकि $3 = 3(1)$। हालाँकि,$(1,3) \notin R$ क्योंकि $1 \neq 3$ और $1 \neq 3(3)$। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(a,b) \in R$ और $(b,c) \in R$। तो $(a=b \text{ या } a=3b)$ और $(b=c \text{ या } b=3c)$।
यदि हम $(9,3) \in R$ और $(3,1) \in R$ लें,तो $a=9, b=3, c=1$। यहाँ $a=9c$ होता है। चूँकि $9 \neq 1$ और $9 \neq 3(1)$,इसलिए $(9,1) \notin R$। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ केवल स्वतुल्य है।

(B) दी गई समीकरणों की प्रणाली समघात (homogeneous) है:
$x + ay = 0$
$y + az = 0$
$z + ax = 0$
इसे आव्यूह रूप $AX = 0$ में लिखा जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
एक समघात प्रणाली का अद्वितीय (तुच्छ) हल तभी होता है जब सारणिक $|A| \neq 0$ हो।
सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 0(0 - a) = 1 + a^3$।
अद्वितीय हल के लिए,हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है,इसलिए $1 + a^3 \neq 0$।
$a^3 \neq -1$,जिसका अर्थ है कि $a \neq -1$।
अतः,$a$ के सभी वास्तविक मानों का समुच्चय $R - \{-1\}$ है।

(D) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix}$ समुच्चय $S$ में है जहाँ $a, b, c \in \{0, 1, 2\}$ है।
$a, b, c$ में से प्रत्येक के लिए $3$ विकल्प हैं,इसलिए $S$ में कुल आव्यूहों की संख्या $3 \times 3 \times 3 = 27$ है।
एक आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय (singular) होने के लिए,उसका सारणिक शून्य होना चाहिए: $\det(A) = a^2 - bc = 0$,जिसका अर्थ है $a^2 = bc$ है।
हम $a \in \{0, 1, 2\}$ के लिए स्थितियों की जाँच करते हैं:
स्थिति $1$: $a = 0$। तो $bc = 0$ है। $(b, c)$ के जोड़े $(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (2, 0)$ हो सकते हैं। ऐसे $5$ आव्यूह हैं।
स्थिति $2$: $a = 1$। तो $bc = 1$ है। $(b, c)$ का एकमात्र जोड़ा $(1, 1)$ है। ऐसा $1$ आव्यूह है।
स्थिति $3$: $a = 2$। तो $bc = 4$ है। $(b, c)$ का एकमात्र जोड़ा $(2, 2)$ है। ऐसा $1$ आव्यूह है।
कुल अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह $= 5 + 1 + 1 = 7$ हैं।
व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूहों की संख्या $= \text{कुल} - \text{अव्युत्क्रमणीय (singular)} = 27 - 7 = 20$ है।

(B) दी गई असमिका $\sin^{-1} x > \cos^{-1} x$ है,जहाँ $x \in (0, 1)$ है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ होता है।
इसे असमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{-1} x > \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$
$2 \sin^{-1} x > \frac{\pi}{2}$
$\sin^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
चूँकि साइन फलन अंतराल $[0, 1]$ पर निरंतर वर्धमान है,इसलिए दोनों पक्षों में साइन लेने पर:
$x > \sin\left( \frac{\pi}{4} \right)$
$x > \frac{1}{\sqrt{2}}$
डोमेन $x \in (0, 1)$ को देखते हुए,हल समुच्चय $x \in \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, 1 \right)$ है।

(C) मान लीजिए $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$
माध्यिका $AD$ के दिक-अनुपात हैं:
$a = \frac{\lambda - 1}{2} - 2 = \frac{\lambda - 5}{2}$
$b = 4 - 3 = 1$
$c = \frac{\mu + 2}{2} - 5 = \frac{\mu - 8}{2}$
चूंकि माध्यिका $AD$ अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए इसकी दिक-कोज्याएँ $l, m, n$ समान हैं,अर्थात $|l| = |m| = |n|$। $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होने के कारण,$l = m = n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,दिक-अनुपात $a, b, c$ को $1, 1, 1$ के समानुपाती होना चाहिए। चूंकि $b = 1$,इसलिए $a = 1$ और $c = 1$ होना चाहिए।
$a = 1$ रखने पर:
$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \Rightarrow \lambda - 5 = 2 \Rightarrow \lambda = 7$
$c = 1$ रखने पर:
$\frac{\mu - 8}{2} = 1 \Rightarrow \mu - 8 = 2 \Rightarrow \mu = 10$
अतः,$(\lambda, \mu) = (7, 10)$।

(A) माना $I = \int \frac{\cos 8x + 1}{\cot 2x - \tan 2x} dx.$
सबसे पहले,हर (denominator) को सरल करने पर:
$\cot 2x - \tan 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\cos^2 2x - \sin^2 2x}{\sin 2x \cos 2x} = \frac{\cos 4x}{\frac{1}{2} \sin 4x} = 2 \cot 4x.$
सर्वसमिका $\cos 8x + 1 = 2 \cos^2 4x$ का उपयोग करने पर,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \frac{2 \cos^2 4x}{2 \cot 4x} dx = \int \frac{\cos^2 4x}{\frac{\cos 4x}{\sin 4x}} dx = \int \cos 4x \sin 4x dx.$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int 2 \sin 4x \cos 4x dx = \frac{1}{2} \int \sin 8x dx.$
$\sin 8x$ का समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 8x}{8} \right) + k = -\frac{1}{16} \cos 8x + k.$
इसकी तुलना $A \cos 8x + k$ से करने पर,हमें $A = -\frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ है।
$(1 + x^2)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1 + x^2}y = \frac{4x^2}{1 + x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2x}{1 + x^2}$ और $Q = \frac{4x^2}{1 + x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1 + x^2} dx} = e^{\ln(1 + x^2)} = 1 + x^2$ है।
व्यापक हल $y \times (I.F.) = \int Q \times (I.F.) dx + C$ है।
$y(1 + x^2) = \int \frac{4x^2}{1 + x^2} \times (1 + x^2) dx + C$.
$y(1 + x^2) = \int 4x^2 dx + C$.
$y(1 + x^2) = \frac{4x^3}{3} + C$.
चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर $C$ का मान प्राप्त होता है।
$0(1 + 0) = \frac{4(0)^3}{3} + C \implies C = 0$.
अतः,वक्र का समीकरण $y(1 + x^2) = \frac{4x^3}{3}$ है,जिसे $3(1 + x^2)y = 4x^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) माना $f(x) = \int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^{2}x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{2}x) + \cos^{-1}(\sqrt{\cos^{2}x}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{2}x)$
$f'(x) = x \cdot (2 \sin x \cos x) + (\frac{\pi}{2} - x) \cdot (-2 \cos x \sin x)$
$f'(x) = x \sin(2x) - (\frac{\pi}{2} - x) \sin(2x) = (2x - \frac{\pi}{2}) \sin(2x)$.
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(\frac{\pi}{4}) = \int_{0}^{1/2} (\sin^{-1}(\sqrt{t}) + \cos^{-1}(\sqrt{t})) \, dt$
हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(\sqrt{t}) + \cos^{-1}(\sqrt{t}) = \frac{\pi}{2}$:
$f(\frac{\pi}{4}) = \int_{0}^{1/2} \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} [t]_{0}^{1/2} = \frac{\pi}{4}$.

(D) हमें दिया गया है $R_1 = \int_{-2}^3 f(x) dx$ और $R_2 = \int_{-2}^3 x f(x) dx$.
गुणधर्म $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,यहाँ $a+b = -2+3 = 1$ है।
अतः,$R_2 = \int_{-2}^3 x f(x) dx = \int_{-2}^3 (1-x) f(1-x) dx$.
चूँकि $f(1-x) = f(x)$,हमें प्राप्त होता है $R_2 = \int_{-2}^3 (1-x) f(x) dx$.
$R_2 = \int_{-2}^3 f(x) dx - \int_{-2}^3 x f(x) dx$.
$R_2 = R_1 - R_2$.
$2R_2 = R_1$ या $R_1 = 2R_2$.

(D) दिया गया है $\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k$ और $\vec b = \hat i + \hat j$।
सबसे पहले,$\vec a$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$।
अब,सदिश गुणनफल $\vec a \times \vec b$ ज्ञात करें:
$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat i - 2\hat j + \hat k$।
इसका परिमाण $|\vec a \times \vec b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ है।
दिया गया है $|\vec c - \vec a| = 2\sqrt 2$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec c - \vec a|^2 = 8$।
विस्तार करने पर,$|\vec c|^2 + |\vec a|^2 - 2(\vec c \cdot \vec a) = 8$।
$|\vec a| = 3$ और $\vec a \cdot \vec c = |\vec c|$ रखने पर,$|\vec c|^2 + 9 - 2|\vec c| = 8$।
यह $|\vec c|^2 - 2|\vec c| + 1 = 0$ में सरल होता है,अर्थात $(|\vec c| - 1)^2 = 0$,इसलिए $|\vec c| = 1$।
अंत में,सदिश गुणनफल का परिमाण $|(\vec a \times \vec b) \times \vec c| = |\vec a \times \vec b| |\vec c| \sin 30^o$ है।
मान रखने पर: $3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$।

(C) समतलों $P_1: x + 2y - 3 = 0$ और $P_2: y - 2z + 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + 2y - 3) + \lambda(y - 2z + 1) = 0$
$x + (2 + \lambda)y - 2\lambda z + (\lambda - 3) = 0$ ....$(i)$
चूंकि यह समतल $x + 2y - 3 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 2 + \lambda, -2\lambda)$ और $\vec{n_2} = (1, 2, 0)$ का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$1(1) + 2(2 + \lambda) + 0(-2\lambda) = 0$
$1 + 4 + 2\lambda = 0$
$5 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{2}$
$\lambda = -\frac{5}{2}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x + (2 - \frac{5}{2})y - 2(-\frac{5}{2})z + (-\frac{5}{2} - 3) = 0$
$x - \frac{1}{2}y + 5z - \frac{11}{2} = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$2x - y + 10z - 11 = 0$
$2x - y + 10z = 11$

(A) माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या $r$ है। गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 35 \, cm^3/min$,इसलिए $35 = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$,जिसका अर्थ है $\frac{dr}{dt} = \frac{35}{4\pi r^2} \quad (1)$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ से $\frac{dr}{dt}$ का मान $\frac{dS}{dt}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \left( \frac{35}{4\pi r^2} \right) = \frac{70}{r}$.
चूंकि व्यास $14 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 7 \, cm$ होगी।
$r = 7$ का मान $\frac{dS}{dt}$ में रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = \frac{70}{7} = 10 \, cm^2/min$.

(A) दिया गया है $f(x) = [x] + |1 - x|$,जहाँ $x \in [-1, 3]$।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$,अतः $f(x) = -1 + (1 - x) = -x$।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,अतः $f(x) = 0 + (1 - x) = 1 - x$।
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,अतः $f(x) = 1 + (x - 1) = x$।
$x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,अतः $f(x) = 2 + (x - 1) = x + 1$।
$x = 3$ पर,$f(3) = [3] + |1 - 3| = 3 + 2 = 5$।
सांतत्य की जाँच:
$x=0$ पर: $LHL = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$,$RHL = \lim_{x \to 0^+} (1 - x) = 1$। चूँकि $LHL \neq RHL$,$f$,$x=0$ पर असतत है।
$x=1$ पर: $LHL = \lim_{x \to 1^-} (1 - x) = 0$,$RHL = \lim_{x \to 1^+} (x) = 1$। चूँकि $LHL \neq RHL$,$f$,$x=1$ पर असतत है।
$x=2$ पर: $LHL = \lim_{x \to 2^-} (x) = 2$,$RHL = \lim_{x \to 2^+} (x + 1) = 3$। चूँकि $LHL \neq RHL$,$f$,$x=2$ पर असतत है।
$x=3$ पर: $LHL = \lim_{x \to 3^-} (x + 1) = 4$,$f(3) = 5$। चूँकि $LHL \neq f(3)$,$f$,$x=3$ पर असतत है।
अतः,कथन $1$ सत्य है। कथन $2$ में $f(x)$ की परिभाषा गलत है,इसलिए कथन $2$ असत्य है।

(D) दिया गया है कि $f(1) = -2$ और $1 \le x \le 6$ के लिए $f'(x) \ge 4.2$ है।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x_1, x_2 \in [1, 6]$ जहाँ $x_2 > x_1$ है,के लिए एक $c \in (x_1, x_2)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)$ हो।
चूँकि $f'(x) \ge 4.2$ है,इसलिए $\frac{f(6) - f(1)}{6 - 1} \ge 4.2$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{f(6) - (-2)}{5} \ge 4.2$ प्राप्त होता है।
$f(6) + 2 \ge 5 \times 4.2$.
$f(6) + 2 \ge 21$.
$f(6) \ge 19$.
अतः,$f(6)$ का संभावित मान $[19, \infty)$ अंतराल में स्थित है।

(D) दिया गया वक्र समीकरण $y = \cos(x + y)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \dots (1)$
स्पर्शरेखा का समीकरण $x + 2y = k$ है,जिसे $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$-\frac{1}{2} = -\sin(x + y) \left(1 - \frac{1}{2}\right)$
$-\frac{1}{2} = -\sin(x + y) \left(\frac{1}{2}\right)$
$\sin(x + y) = 1$
इसका अर्थ है कि $x + y = \frac{\pi}{2}$ है।
$x + y = \frac{\pi}{2}$ को मूल वक्र समीकरण $y = \cos(x + y)$ में रखने पर:
$y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
चूंकि $y = 0$ और $x + y = \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $x = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,बिंदु $(\frac{\pi}{2}, 0)$ को स्पर्शरेखा के समीकरण $x + 2y = k$ में रखने पर:
$\frac{\pi}{2} + 2(0) = k$
$k = \frac{\pi}{2}$.

(B) दिया गया है $y = \sec(\tan^{-1} x)$.
मान लीजिए $\tan^{-1} x = \theta$,तो $\tan \theta = x$.
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + x^2$,इसलिए $\sec \theta = \sqrt{1 + x^2}$.
अतः,$y = \sqrt{1 + x^2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
$x = 1$ पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) हमें दिया गया है कि $P = \text{adj}(A)$ और $|A| = 4$ है।
हम आव्यूह के सहखंडज का गुणधर्म जानते हैं: $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|P| = |\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
$|A| = 4$ दिया गया है,इसलिए $|P| = 4^2 = 16$ होगा।
अब,$P$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|P| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{vmatrix}$
$= 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$= 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$= 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$= 2\alpha - 6$।
$|P|$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$।