माना Q मूल बिंदु से समतल 4x - 3y + z + 13 = 0 | vedclass

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Question

(C) समतल का समीकरण $4x - 3y + z + 13 = 0$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ है।मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली औ

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$3\sqrt{\frac{7}{2}}$

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(C) समतल का समीकरण $4x - 3y + z + 13 = 0$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ है।मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और समतल पर लंब रेखा के दिक अनुपात $(4, -3, 1)$ हैं।इस रेखा का समीकरण $\frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{1} = k$ है।अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4k, -3k, k)$ के रूप में होगा।चूंकि $Q$ लंब का पाद है,यह समतल पर स्थित है। $Q$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:$4(4k) - 3(-3k) + (k) + 13 = 0$$16k + 9k + k + 13 = 0$$26k = -13 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.अतः,$Q$ के निर्देशांक $(-2, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ हैं।दिया गया है $R = (-1, 1, -6)$,दूरी $QR$ होगी:$QR = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (1 - \frac{3}{2})^2 + (-6 - (-\frac{1}{2}))^2}$$QR = \sqrt{(1)^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{11}{2})^2}$$QR = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{121}{4}}$$QR = \sqrt{\frac{4 + 1 + 121}{4}} = \sqrt{\frac{126}{4}} = \sqrt{\frac{63}{2}} = 3\sqrt{\frac{7}{2}}$.

माना $Q$ मूल बिंदु से समतल $4x - 3y + z + 13 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है और $R$ समतल पर स्थित एक बिंदु $(-1, 1, -6)$ है। तब लंबाई $QR$ है

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