AP EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

$(A)$ પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{v}_i = 4 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ છે.
અંતિમ વેગ સદિશ $\vec{v}_f = 4 \sqrt{2} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ છે.
સ્થાનાંતર $\vec{s}$ એ સમય સાથે વેગનું સંકલન છે. અચળ પ્રવેગ ધારતા, $\vec{s} = \vec{v}_{avg} \times t = \frac{\vec{v}_i + \vec{v}_f}{2} \times t$ થાય.
$\vec{v}_{avg} = \frac{(4 \hat{i}) + (4 \hat{i} + 4 \hat{j})}{2} = \frac{8 \hat{i} + 4 \hat{j}}{2} = 4 \hat{i} + 2 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ મળે.
સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{avg}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \,m \,s^{-1}$ થાય.

(B) $m$ દળ ધરાવતા બ્લોક માટે જે $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ છે,તેની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો $m = 0.1 \ kg$ અને $k = 2.5 \ Nm^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{2.5}{0.1}}$
$\omega = \sqrt{25}$
$\omega = 5 \ rad \ s^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ પ્રારંભિક દળ $m_1 = 1 \,kg$ છે। અથડાતું દળ $m_2 = 0.5 \,kg$ છે।
અથડામણ પછી, બંને પદાર્થો એકસાથે $M = m_1 + m_2 = 1 + 0.5 = 1.5 \,kg$ ના કુલ દળ સાથે ગતિ કરે છે।
સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k = 600 \,N \,m^{-1}$ છે।
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \sqrt{\frac{600}{1.5}} = \sqrt{400} = 20 \,rad \,s^{-1}$.
દોલનની આવૃત્તિ $f$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $f = \frac{\omega}{2\pi}$ સંબંધ ધરાવે છે।
તેથી, $f = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \,Hz$.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m_1 = 4 \ kg$ માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{4}{k}} = 2\pi \cdot \frac{2}{\sqrt{k}} = \frac{4\pi}{\sqrt{k}}$ છે.
દળ $m_2 = 9 \ kg$ માટે,આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{9}{k}} = 2\pi \cdot \frac{3}{\sqrt{k}} = \frac{6\pi}{\sqrt{k}}$ છે.
આપેલ છે કે આવર્તકાળમાં $0.2\pi \ s$ નો વધારો થાય છે,તેથી $T_2 - T_1 = 0.2\pi$.
$T_1$ અને $T_2$ ના પદો મૂકતા: $\frac{6\pi}{\sqrt{k}} - \frac{4\pi}{\sqrt{k}} = 0.2\pi$.
$\frac{2\pi}{\sqrt{k}} = 0.2\pi$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા: $\frac{2}{\sqrt{k}} = 0.2$.
$\sqrt{k} = \frac{2}{0.2} = 10$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $k = 100 \ N \ m^{-1}$ મળે છે.

(B) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ જ્યારે $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ હોય અને સરળ આવર્ત ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
આપેલ છે:
દળ $m = 4 \ kg$
બળ અચળાંક $k = 64 \ N \ m^{-1}$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{64}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{16}}$
$T = 2\pi \times \frac{1}{4}$
$T = \frac{\pi}{2} \ s$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m_1 = 0.5 \ kg$,સ્થાનાંતર $x = 0.2 \ m$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
હૂકના નિયમ મુજબ,$mg = kx$,તેથી સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{x} = \frac{0.5 \times 10}{0.2} = \frac{5}{0.2} = 25 \ N/m$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે દળને $m_2 = 0.25 \ kg$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે નવો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.25}{25}} = 2\pi \sqrt{0.01} = 2\pi \times 0.1 = 0.2\pi \ s$ થાય છે.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$T = 0.2 \times 3.14 = 0.628 \ s$ મળે છે.

(A) જ્યારે $M$ દળના બ્લોકને ઢળતી સપાટી પર $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે એક સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી દબાય છે અને બીજી સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
દરેક સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ છે.
બંને સ્પ્રિંગ સંતુલન સ્થિતિમાં પાછા લાવવા માટે એક જ દિશામાં કાર્ય કરતી હોવાથી,કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net} = -kx - kx = -2kx$ થાય છે.
બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $M a = -2kx$ છે,જેને $M \frac{d^2x}{dt^2} + 2kx = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ જેવું છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{2k}{M}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{2k}{M}}$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2k}}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,તેથી સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{8} k A^2$ થાય.
કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
ગતિઊર્જા $(K)$ $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{8} k A^2 = \frac{3}{8} k A^2$ દ્વારા મળે છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{U} = \frac{\frac{3}{8} k A^2}{\frac{1}{8} k A^2} = \frac{3}{1}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(D) સ્થાનાંતર માટેનું આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin(3 \pi t) + 5 \sqrt{3} \cos(3 \pi t)$ છે.
આ સમીકરણ $y = A_1 \sin(\omega t) + A_2 \cos(\omega t)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A_1 = 5$ અને $A_2 = 5 \sqrt{3}$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $A = \sqrt{5^2 + (5 \sqrt{3})^2}$.
$A = \sqrt{25 + (25 \times 3)} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100}$.
$A = 10 \ cm$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે,$A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે: $x = 3 \ cm = 0.03 \ m$,$A = 5 \ cm = 0.05 \ m$,અને $K = 4 \ mJ = 4 \times 10^{-3} \ J$.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} k((0.05)^2 - (0.03)^2)$.
$4 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} k(0.0025 - 0.0009) = \frac{1}{2} k(0.0016) = 0.0008 k$.
$k = \frac{4 \times 10^{-3}}{8 \times 10^{-4}} = 5 \ N/m$.
કણ પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{max} = kA$ છે.
$F_{max} = 5 \times 0.05 = 0.25 \ N$.

(A) સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર મહત્તમ થવા માટે,સાઈન વિધેયનું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ (ધારો કે $A > 0$).
તેથી,$\sin(\omega t + \theta) = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi/2) = 1$,તેથી $\omega t + \theta = \pi/2$.
$t$ માટે ઉકેલતા:
$\omega t = \frac{\pi}{2} - \theta$
$t = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\theta}{\omega}$.
આમ,ન્યૂનતમ સમય જ્યારે સ્થાનાંતર મહત્તમ થાય છે તે $\left[\frac{\pi}{2\omega} - \frac{\theta}{\omega}\right]$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે, મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા અને મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = A\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $v_{max} = 5 \,m \,s^{-1}$ અને $a_{max} = 10 \,m \,s^{-2}$.
$a_{max}$ ના સમીકરણને $v_{max}$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે: $\frac{a_{max}}{v_{max}} = \frac{A\omega^2}{A\omega} = \omega$.
તેથી, $\omega = \frac{10}{5} = 2 \,rad \,s^{-1}$.
આવર્તકાળ $T$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $T = \frac{2\pi}{2} = \pi \,s$ મળે છે.

(A) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ: $M = 1 \ kg$ દળ સંતુલનમાં છે. સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x_0 = \frac{Mg}{k} = \frac{1 \times 10}{600} = \frac{1}{60} \ m$ છે.
$2$. અથડામણ: $m = 0.5 \ kg$ દળનો પદાર્થ $v = 3 \ m \ s^{-1}$ વેગથી $M$ સાથે અથડાય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$(M+m)V = mv$,જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછીનો સામાન્ય વેગ છે.
$3$. $V = \frac{mv}{M+m} = \frac{0.5 \times 3}{1 + 0.5} = 1 \ m \ s^{-1}$.
$4$. નવી સંતુલન સ્થિતિ: અથડામણ પછી કુલ દળ $M' = 1.5 \ kg$ થાય છે. નવું સંતુલન વિસ્તરણ $x_0' = \frac{M'g}{k} = \frac{1.5 \times 10}{600} = 0.025 \ m = 2.5 \ cm$ છે.
$5$. નવા સંતુલનથી સ્થાનાંતર: અથડામણ જૂની સંતુલન સ્થિતિ $x_0$ પર થાય છે. નવા સંતુલનથી સ્થાનાંતર $x = x_0' - x_0 = 2.5 \ cm - 1.67 \ cm = 0.833 \ cm$ છે.
$6$. કંપવિસ્તારની ગણતરી: ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ,$\frac{1}{2}k A^2 = \frac{1}{2}(M+m)V^2 + \frac{1}{2}k x^2$.
$7$. $600 A^2 = 1.5(1)^2 + 600(0.00833)^2 \implies 600 A^2 = 1.5416$.
$8$. $A^2 = \frac{1.5416}{600} \approx 0.002569 \implies A \approx 0.0506 \ m \approx 5 \ cm$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં,$x$ સ્થાનાંતર પર વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
શરૂઆતમાં,વેગ $v_1 = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
ફટકો લાગ્યા પછી,વેગ $v_2 = 2v_1 = 2\omega \sqrt{A^2 - x^2}$ થાય છે.
ધારો કે નવો કંપવિસ્તાર $A'$ છે. કારણ કે આવૃત્તિ $\omega$ અચળ રહે છે,સમાન સ્થાન $x$ પર નવો વેગ $v_2 = \omega \sqrt{A'^2 - x^2}$ થશે.
$v_2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\omega \sqrt{A'^2 - x^2} = 2\omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $A'^2 - x^2 = 4(A^2 - x^2)$.
$A'^2 - x^2 = 4A^2 - 4x^2$.
$A'^2 = 4A^2 - 3x^2$.
તેથી,નવો કંપવિસ્તાર $A' = \sqrt{4A^2 - 3x^2}$ છે.

(C) પ્રથમ કણનું સ્થાનાંતર $y_1 = 0.1 \sin(100 \pi t + \frac{\pi}{3})$ છે. વેગ $v_1 = \frac{dy_1}{dt} = 0.1 \times 100 \pi \cos(100 \pi t + \frac{\pi}{3}) = 10 \pi \sin(100 \pi t + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2})$ છે.
$t=0$ સમયે,$v_1$ ની કળા $\phi_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$ છે.
બીજા કણનું સ્થાનાંતર $y_2 = 0.1 \cos(\pi t) = 0.1 \sin(\pi t + \frac{\pi}{2})$ છે. વેગ $v_2 = \frac{dy_2}{dt} = 0.1 \times \pi \cos(\pi t + \frac{\pi}{2}) = 0.1 \pi \sin(\pi t + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = 0.1 \pi \sin(\pi t + \pi)$ છે.
$t=0$ સમયે,$v_2$ ની કળા $\phi_2 = \pi$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |\pi - \frac{5\pi}{6}| = \frac{\pi}{6}$ થાય.

(C) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $(K)$ $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
કુલ ઊર્જા $(E)$ $E = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2$ છે.
ગતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{E} = \cos^2(\omega t)$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{K}{E} = \frac{3}{4}$,તેથી $\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આથી $\omega t = \frac{\pi}{6}$ મળે.
આવર્તકાળ $T = 1.5 \ s$ આપેલ હોવાથી,$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1.5} = \frac{4\pi}{3} \ rad/s$ થાય.
સમીકરણમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $(\frac{4\pi}{3}) t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{3}{4\pi} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \ s$.

(B) આપેલ વિધેય $f(t) = \sin^2 \omega t$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે વિધેયને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(2\omega t)$.
પદ $\cos(2\omega t)$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે.
કોઈપણ આવર્ત વિધેય $\cos(\omega' t)$ નો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega' = 2\omega$ મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ મળે છે.
આમ,ગતિનો આવર્તકાળ $\frac{\pi}{\omega} \ s$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની $x$ સ્થાનાંતરે ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$x_1 = \frac{A}{4}$ સ્થાનાંતરે,ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2} k (A^2 - (\frac{A}{4})^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - \frac{A^2}{16}) = \frac{1}{2} k (\frac{15A^2}{16})$ છે.
$x_2 = \frac{A}{2}$ સ્થાનાંતરે,ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2} k (A^2 - (\frac{A}{2})^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} k (\frac{3A^2}{4}) = \frac{1}{2} k (\frac{12A^2}{16})$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\frac{15A^2}{16}}{\frac{12A^2}{16}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ થાય છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \cos (\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 0.5 \cos (125.6 t)$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 125.6 \ rad/s$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $T = \frac{2 \times 3.14}{125.6}$ મળે છે.
$T = \frac{6.28}{125.6} = 0.05 \ s$.
તેથી,દોલનનો આવર્તકાળ $0.05 \ s$ છે.

(B) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો $t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 12 \ s$ પર,$A(t_1) = 0.5 A_0$.
તેથી,$0.5 A_0 = A_0 e^{-b(12)/2m}$,જે સૂચવે છે કે $e^{-6b/m} = 0.5$.
આપણે $t_2 = 36 \ s$ પર $A_0$ ના ટકાવારી તરીકે કંપવિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે.
$A(36) = A_0 e^{-b(36)/2m} = A_0 (e^{-6b/m})^3$.
$e^{-6b/m} = 0.5$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને મળે છે $A(36) = A_0 (0.5)^3 = A_0 (0.125) = 12.5 \% A_0$.
આમ,$x = 12.5$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પાતળી વર્તુળાકાર રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = MR^2$ છે। ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k_z$ એ $I_z = Mk_z^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેથી $k_z = R = 10 \sqrt{2} \,cm$ થાય.
રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ છે। વ્યાસને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k_d$ એ $I_d = Mk_d^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ, $Mk_d^2 = \frac{1}{2} MR^2$, જેનો અર્થ છે કે $k_d = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
$R = 10 \sqrt{2} \,cm$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $k_d = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 \,cm$ મળે છે.

(B) આ સિસ્ટમ $x$,$y$ અને $z$ અક્ષ પર મૂકવામાં આવેલા ત્રણ સળિયાઓની બનેલી છે.
ધારો કે $I_x$,$I_y$ અને $I_z$ એ $z$-અક્ષને અનુલક્ષીને વ્યક્તિગત સળિયાઓની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$1$. $z$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: સળિયો પરિભ્રમણની અક્ષ પર જ છે,તેથી $z$-અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = 0$ થશે.
$2$. $x$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: સળિયો એક છેડે $z$-અક્ષને લંબ છે. $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$3$. $y$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: તેવી જ રીતે,સળિયો એક છેડે $z$-અક્ષને લંબ છે. તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_3 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$z$-અક્ષને અનુલક્ષીને સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = 0 + \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$ થશે.

(A) '$M$' દળ અને '$L$' લંબાઈના પાતળા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર: $I = \frac{ML^2}{12}$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $(k)$ ને $I = Mk^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$Mk^2 = \frac{ML^2}{12}$
બંને બાજુ '$M$' વડે ભાગતા:
$k^2 = \frac{L^2}{12}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$k = \sqrt{\frac{L^2}{12}} = \frac{L}{\sqrt{12}}$
તેથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $\frac{L}{\sqrt{12}}$ થાય છે.

(D) તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા એ આપેલી અક્ષને અનુલક્ષીને બંને તકતીઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
ધારો કે $I_B$ એ તકતી $B$ ની તેના સમતલને લંબ અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે. $I_B = \frac{1}{2} Mr^2$.
ધારો કે $I_A$ એ તકતી $A$ ની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે. કારણ કે આ અક્ષ તકતી $A$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 2r$ છે,તેથી આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું: $I_A = I_{cm} + Md^2$.
અહીં,$I_{cm} = \frac{1}{2} Mr^2$ અને $d = 2r$ છે.
તેથી,$I_A = \frac{1}{2} Mr^2 + M(2r)^2 = \frac{1}{2} Mr^2 + 4Mr^2 = 4.5 Mr^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_B + I_A = 0.5 Mr^2 + 4.5 Mr^2 = 5 Mr^2$ થાય.

(C) નક્કર નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
આપેલ છે:
દળ $M = 2.5 \ kg$
ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 2.5 \times (0.1)^2$
$I = 1.25 \times 0.01$
$I = 0.0125 \ kg \ m^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{sphere} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cylinder} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા અને નક્કર નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_{sphere}}{I_{cylinder}} = \frac{\frac{2}{5}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{1} = \frac{4}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 5$ છે.

(D) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે પ્રવેગ $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે,તેથી $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
આપેલ છે કે $a_{roll} = 3.5 \ m \ s^{-2}$,તેથી $3.5 = \frac{5}{7} g \sin \theta$,જેનો અર્થ છે કે $g \sin \theta = 3.5 \times \frac{7}{5} = 4.9 \ m \ s^{-2}$.
જ્યારે ગોળો ગબડ્યા વિના સરકીને નીચે આવે છે,ત્યારે કોઈ ભ્રમણ ગતિ હોતી નથી,તેથી પ્રવેગ $a_{slide} = g \sin \theta$ થાય છે.
તેથી,$a_{slide} = 4.9 \ m \ s^{-2}$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \ rad/s$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \pi \ rad/s^2$,અને સમય $t = 6 \ s$.
કોણીય સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = 0 \times 6 + \frac{1}{2} \times \pi \times (6)^2$.
$\theta = \frac{1}{2} \times \pi \times 36 = 18\pi \ rad$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{\theta}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$ પરિભ્રમણ.

(B) કોણીય વેગ $\omega$ એ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સમયગાળો છે.
ઘડિયાળના કલાકના કાંટા માટે,સમયગાળો $T_h = 12 \text{ કલાક}$ છે.
તેથી,$\omega_h = \frac{2\pi}{12} \text{ rad/કલાક}$.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણ માટે,સમયગાળો $T_e = 24 \text{ કલાક}$ છે.
તેથી,$\omega_e = \frac{2\pi}{24} \text{ rad/કલાક}$.
કલાકના કાંટાના કોણીય વેગ અને પૃથ્વીના કોણીય વેગનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_h}{\omega_e} = \frac{2\pi/12}{2\pi/24} = \frac{24}{12} = 2:1$ થાય છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતી માટે,જે $v$ વેગ અને $\omega = v/R$ કોણીય વેગથી ગબડે છે,સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_t = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે ચાકગતિ ઊર્જા $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
તકતી માટે જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
$I$ અને $\omega = v/R$ ની કિંમત મૂકતા,$K_r = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (v/R)^2 = \frac{1}{4} Mv^2$ મળે છે.
કુલ ગતિઊર્જા $K = K_t + K_r = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$ થાય.
$K$ ની સરખામણી $K_r$ સાથે કરતા: $K = \frac{3/4 Mv^2}{1/4 Mv^2} K_r = 3 K_r$.
આમ,કુલ ગતિઊર્જા તેની ચાકગતિ ઊર્જા કરતા $3$ ગણી છે.

(C) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
વર્તુળાકાર ડિસ્ક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે,તેથી $k^2 = \frac{1}{2}R^2$. ગતિઊર્જા $K_{disc} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}mv^2 = 6 \ J$ થાય.
આના પરથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{6 \times 2}{3} = 4 \ J$ મળે.
પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ છે,તેથી $k^2 = R^2$. ગતિઊર્જા $K_{ring} = \frac{1}{2}mv^2(1 + 1) = mv^2$ થાય.
કારણ કે $\frac{1}{2}mv^2 = 4 \ J$,તેથી $mv^2 = 8 \ J$ થાય.
આમ,રીંગની કુલ ગતિઊર્જા $8 \ J$ છે.

(D) વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: દળ $M = 20 \ kg$,ત્રિજ્યા $R = 1 \ m$,કોણીય વેગ $\omega = 2 \ rad \ s^{-1}$.
જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી: $I = \frac{1}{2} \times 20 \times (1)^2 = 10 \ kg \ m^2$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $K_{rot} = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 5 \times 4 = 20 \ J$.

(B) નક્કર ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = R\omega$ થાય,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5}M(R\omega)^2 = \frac{1}{5}Mv^2$ છે.
સ્થાનંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5}Mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{2+5}{10}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ થાય.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $2: 7$ છે.

(A) આપેલ છે: વ્યાસ $D = 0.8 \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 0.4 \ m$. દળ $M = 4 \ kg$. ટોર્ક $\tau = 2.56 \ N \ m$.
વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેની કેન્દ્રિય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
$I = \frac{1}{2} \times 4 \times (0.4)^2 = 2 \times 0.16 = 0.32 \ kg \ m^2$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{2.56}{0.32}$.
$\alpha = 8 \ rad \ s^{-2}$.

(C) કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ લાગુ પાડવામાં આવેલા બાહ્ય ટોર્ક જેટલો હોય છે,જે $\tau = \frac{dL}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $L = I\omega$,તેથી $\frac{dL}{dt} = I \frac{d\omega}{dt} = I \alpha$ થાય.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 6 \ rad \ s^{-1}$
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 21 \ rad \ s^{-1}$
સમયગાળો $\Delta t = 1.5 \ s$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 100 \ g \ m^2 = 0.1 \ kg \ m^2$.
સૌ પ્રથમ,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{\Delta t} = \frac{21 - 6}{1.5} = \frac{15}{1.5} = 10 \ rad \ s^{-2}$ ગણો.
હવે,કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર: $\frac{dL}{dt} = I \alpha = 0.1 \ kg \ m^2 \times 10 \ rad \ s^{-2} = 1 \ N \ m$ (અથવા $kg \ m^2 \ s^{-2}$).
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) જ્યારે પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે ત્યારે તેની આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $(\Delta U)$ તે પદાર્થ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ જેટલો હોય છે, જો અવસ્થામાં કોઈ ફેરફાર ન થાય અને કોઈ બાહ્ય કાર્ય ન કરવામાં આવે.
શોષાયેલી ઉષ્મા માટેનું સૂત્ર: $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $5 \ kg$
વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા $(c)$ = $4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$
તાપમાનમાં ફેરફાર $(\Delta T)$ = $30^{\circ} C - 20^{\circ} C = 10^{\circ} C = 10 \ K$
કિંમતો મૂકતા:
$Q = 5 \ kg \times 4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1} \times 10 \ K$
$Q = 210000 \ J$
$Q = 210 \ kJ$
તેથી, આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $210 \ kJ$ છે.

(A) ધારો કે $m$ એ પાણીમાં રૂપાંતરિત થયેલી વરાળનું દળ છે.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = (ઘનીભવન દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા) + (ઘનીભૂત પાણી $100^{\circ} C$ થી $70^{\circ} C$ સુધી ઠંડું પડતા મુક્ત થતી ઉષ્મા)
$Q_{lost} = m \times L + m \times c \times \Delta T$
$Q_{lost} = m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 70) = 540m + 30m = 570m$
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_{water} \times c \times \Delta T$
$Q_{gained} = 114 \times 1 \times (70 - 30) = 114 \times 40 = 4560 \ cal$
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $570m = 4560$
$m = 4560 / 570 = 8 \ g$
મિશ્રણમાં પાણીનું કુલ દળ = (પાણીનું પ્રારંભિક દળ) + (ઘનીભૂત વરાળનું દળ)
કુલ દળ = $114 \ g + 8 \ g = 122 \ g$.

(D) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ બરફ દ્વારા ઓગળવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $(Q_{lost})$ = $m \cdot s \cdot \Delta T = m \cdot s \cdot \theta$.
બરફ દ્વારા ઓગળવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા $(Q_{gained})$ = $m_{melted} \cdot L$.
બંનેને સરખાવતા: $m \cdot s \cdot \theta = m_{melted} \cdot L$.
તેથી,ઓગળેલા બરફનું દળ $(m_{melted})$ = $\frac{ms \theta}{L}$.

(B) ધારો કે ઉમેરવામાં આવેલી વરાળનું દળ $m_s$ છે.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા બે ભાગમાં વહેંચાયેલી છે:
$1$. $100^{\circ} C$ તાપમાને વરાળનું $100^{\circ} C$ તાપમાને પાણીમાં રૂપાંતર થતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_1 = m_s \times L = m_s \times 540$.
$2$. ઠંડી પડેલી વરાળ (પાણી) $100^{\circ} C$ થી $90^{\circ} C$ સુધી ઠંડી પડે ત્યારે મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_2 = m_s \times c \times \Delta T = m_s \times 1 \times (100 - 90) = 10 m_s$.
કુલ ગુમાવેલી ઉષ્મા = $540 m_s + 10 m_s = 550 m_s$.
$100 \ g$ પાણી દ્વારા $24^{\circ} C$ થી $90^{\circ} C$ સુધી તાપમાન વધારવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{gain} = m_w \times c \times \Delta T = 100 \times 1 \times (90 - 24) = 100 \times 66 = 6600 \ cal$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $550 m_s = 6600$.
$m_s = 6600 / 550 = 12 \ g$.

(B) કોઈ પદાર્થને આપેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $Q = mc\Delta T$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
ધાતુ માટે: $Q = m_m c_m \Delta T_m = 100 \times c_m \times 20 = 2000 c_m$.
પાણી માટે: $Q = m_w c_w \Delta T_w = 20 \times c_w \times \Delta T_w$.
આપેલી ઉષ્મા સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ: $2000 c_m = 20 c_w \Delta T_w$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનો ગુણોત્તર $\frac{c_m}{c_w} = \frac{1}{10}$ આપેલ છે,તેથી $c_w = 10 c_m$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2000 c_m = 20 \times (10 c_m) \times \Delta T_w$.
$2000 c_m = 200 c_m \times \Delta T_w$.
બંને બાજુ $200 c_m$ વડે ભાગતા: $\Delta T_w = \frac{2000}{200} = 10^{\circ} C$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા તાંબા અને પિત્તળના સ્લેબમાંથી પસાર થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $(H)$ સમાન હોવો જોઈએ.
$H = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{L} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{L}$
આપેલ છે કે બાજુઓ સમાન છે,તેથી બંને ઘનનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને લંબાઈ $(L)$ સમાન છે.
ધારો કે $K_c$ એ તાંબાની ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $K_b$ એ પિત્તળની ઉષ્મીય વાહકતા છે.
આપેલ છે $K_c : K_b = 4 : 1$,તેથી $K_c = 4K_b$.
ધારો કે $T$ એ સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન છે.
$4K_b (100 - T) = K_b (T - 0)$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^{\circ} C$.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે: $\lambda_m T = b$ (જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે).
તેથી,$T \propto \frac{1}{\lambda_m}$.
આપેલ છે: $\lambda_A = 0.5 \mu m = 0.5 \times 10^{-6} \ m$ અને $\lambda_B = 0.1 \ mm = 0.1 \times 10^{-3} \ m = 10^{-4} \ m$.
તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_A}{T_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{10^{-4}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{1000}{5} = 200$.
આમ,પદાર્થો $A$ અને $B$ ના તાપમાનનો ગુણોત્તર $200$ છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ, ઠંડા થવાનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ છે, જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે, $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે અને $k$ એ અચળાંક છે。
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{62 - 50}{10} = k \left( \frac{62 + 50}{2} - T_s \right) \implies 1.2 = k(56 - T_s) \quad (1)$
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{50 - 42}{10} = k \left( \frac{50 + 42}{2} - T_s \right) \implies 0.8 = k(46 - T_s) \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1.2}{0.8} = \frac{56 - T_s}{46 - T_s} \implies 1.5 = \frac{56 - T_s}{46 - T_s}$
$1.5(46 - T_s) = 56 - T_s \implies 69 - 1.5T_s = 56 - T_s$
$69 - 56 = 1.5T_s - T_s \implies 13 = 0.5T_s$
$T_s = 26^{\circ} C$.

(C) ફેરનહીટ $(F)$ અને સેલ્સિયસ $(C)$ માં તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{F - 32}{9} = \frac{C}{5}$.
આપેલ છે કે તાપમાનના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $F:C = 13:5$ છે,તેથી આપણે $F = 13x$ અને $C = 5x$ લખી શકીએ.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{13x - 32}{9} = \frac{5x}{5}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{13x - 32}{9} = x$.
બંને બાજુ $9$ વડે ગુણતા: $13x - 32 = 9x$.
પદોને ગોઠવતા: $13x - 9x = 32$,જે આપે છે $4x = 32$,તેથી $x = 8$.
આથી,ફેરનહીટમાં તાપમાન $F = 13 \times 8 = 104^{\circ} F$ અને સેલ્સિયસમાં તાપમાન $C = 5 \times 8 = 40^{\circ} C$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આદર્શ એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = n C_v T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં વાયુઓ મિશ્ર થતા હોવાથી,કુલ આંતરિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે: $U_{mix} = U_1 + U_2$.
$(n_1 + n_2) C_v T_{mix} = n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2$.
બંને એકપરમાણ્વિક વાયુઓ માટે $C_v$ સમાન હોવાથી,તે ઉડી જશે:
$(n_1 + n_2) T_{mix} = n_1 T_1 + n_2 T_2$.
આપેલ છે: $n_1 = 2 \text{ mol}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,$n_2 = 4 \text{ mol}$,$T_2 = 327 + 273 = 600 \text{ K}$.
$(2 + 4) T_{mix} = (2 \times 300) + (4 \times 600)$.
$6 T_{mix} = 600 + 2400 = 3000$.
$T_{mix} = \frac{3000}{6} = 500 \text{ K}$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_{mix} = 500 - 273 = 227^{\circ} C$.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,આદર્શ વાયુ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = nRT \ln(V_f / V_i)$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કદ $V$ થી $2V$ માં બદલાય છે. તેથી,$W = nRT \ln(2V / V) = nRT \ln(2)$.
બીજા કિસ્સામાં,કદ $2V$ થી $4V$ માં બદલાય છે. ધારો કે કરવામાં આવેલું કાર્ય $W'$ છે.
તેથી,$W' = nRT \ln(4V / 2V) = nRT \ln(2)$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $W' = W$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા,$Q_p = 80 \ J$. વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય,$W = 20 \ J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q_p = \Delta U + W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta U = Q_p - W = 80 \ J - 20 \ J = 60 \ J$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q_p = n C_p \Delta T$ અને $\Delta U = n C_v \Delta T$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{Q_p}{\Delta U} = \frac{n C_p \Delta T}{n C_v \Delta T} = \frac{C_p}{C_v} = \gamma$.
કિંમતો મૂકતા,$\gamma = \frac{80}{60} = \frac{4}{3}$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાઓનો ગુણોત્તર $4/3$ છે.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,જ્યાં $Q$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,અને $W$ એ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
આપેલ છે: આપેલી ઉષ્મા $Q = 1000 \ kJ = 10^6 \ J$.
દબાણ $P = 5 \times 10^5 \ Pa$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 1 \ m^3$,અંતિમ કદ $V_2 = 2.5 \ m^3$.
અચળ દબાણે થયેલ કાર્ય $W = P(V_2 - V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W = 5 \times 10^5 \times (2.5 - 1) = 5 \times 10^5 \times 1.5 = 7.5 \times 10^5 \ J = 750 \ kJ$.
હવે,પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$1000 \ kJ = \Delta U + 750 \ kJ$.
$\Delta U = 1000 \ kJ - 750 \ kJ = 250 \ kJ$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $250 \ kJ$ છે.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સૂત્ર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_v = \frac{R}{\gamma-1}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma-1} \right) \Delta T = \frac{n R \Delta T}{\gamma-1}$.
અચળ દબાણે આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$,તેથી $n R \Delta T = P \Delta V$.
અહીં,કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 3V - V = 2V$ છે.
તેથી,$n R \Delta T = P(2V) = 2PV$.
આ કિંમતને આંતરિક ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta U = \frac{2PV}{\gamma-1}$.

(C) રેફ્રિજરેટરના પરફોર્મન્સના ગુણાંક $(COP)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $COP = \frac{T_L}{T_H - T_L}$,જ્યાં $T_L$ એ ફ્રીઝરનું તાપમાન છે અને $T_H$ એ કેલ્વિનમાં ઓરડાનું તાપમાન છે.
આપેલ છે: $COP = 5$,$T_L = -13^{\circ} C = (-13 + 273) K = 260 K$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{260}{T_H - 260}$.
બંને બાજુ $(T_H - 260)$ વડે ગુણતા: $5(T_H - 260) = 260$.
$T_H - 260 = \frac{260}{5} = 52$.
$T_H = 260 + 52 = 312 K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_H = (312 - 273)^{\circ} C = 39^{\circ} C$.

(C) તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(-q)}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} + \frac{q^2}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{3q^2}{2a}] = -\frac{3q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યના $+q$ વિદ્યુતભારને એક $-q$ વિદ્યુતભાર સાથે બદલ્યા પછી,નવી ગોઠવણી $-q, -q, +q$ થાય છે,જેમાં પાસપાસેના વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $a$ અને બહારના વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $2a$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(-q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(-q)(q)}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{q^2}{2a}] = -\frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}$ છે.
જરૂરી ઉર્જા $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a} - (-\frac{3q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}) = \frac{2q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a} = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}$ છે.

(C) $r$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર રહેલા $q$ વિદ્યુતભારના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = 3 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ બાજુ ધરાવતી પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$ છે.
$\frac{L}{2}$ બાજુ ધરાવતી અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L/2} = \frac{6}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$ છે.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
$W = \frac{6}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L} - \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L} = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$.

(D) ધારો કે $n = 27$ એ નાના ટીપાંની સંખ્યા છે.
દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r = 10^{-3} \,m$ છે.
દરેક નાના ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $q = 10^{-12} \,C$ છે.
મોટા ટીપાંનું કદ એ $27$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
તેથી, $R^3 = 27 r^3$, જેનો અર્થ છે કે $R = 3r = 3 \times 10^{-3} \,m$.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = n \times q = 27 \times 10^{-12} \,C$ છે.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{9 \times 10^9 \times 27 \times 10^{-12}}{3 \times 10^{-3}}$.
$V = \frac{9 \times 27 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} = 3 \times 27 = 81 \,V$.

(D) સ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $K.E. = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ જેટલી હોય છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = eV$.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા: $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$.
આપેલ છે: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$V = 180 \ V$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 180}{9 \times 10^{-31}}}$.
$v = \sqrt{\frac{576 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-31}}} = \sqrt{64 \times 10^{12}} = 8 \times 10^6 \ m/s$.
$km/s$ માં રૂપાંતર કરતા: $v = 8000 \ km/s$.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં, વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે.
ધારો કે વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્થિતિમાન $V = -E \cdot x + \text{અચળાંક}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના $x$-યામની સરખામણી કરતા:
બિંદુ $A$ સૌથી જમણી બાજુએ છે, તેથી તેનો $x$-યામ સૌથી મોટો છે.
બિંદુઓ $B$ અને $C$ સમાન $x$-યામ ધરાવે છે, તેથી $V_B = V_C$.
જેમ કે $A$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં $B$ અને $C$ કરતા આગળ છે, તેથી $A$ પરનું સ્થિતિમાન સૌથી ઓછું છે.
તેથી, $V_B = V_C > V_A$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $V_C > V_B > V_A$ એ સ્થિતિમાનના ઢાળનું સૌથી તાર્કિક નિરૂપણ છે.

(C) સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભાર $Q$ ને બિંદુ $C$ થી બિંદુ $D$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = Q(V_D - V_C)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_C$ અને $V_D$ એ અનુક્રમે બિંદુ $C$ અને $D$ પરના વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
કોઈપણ બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન $A$ $(+q)$ અને $B$ $(-q)$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે હોય છે.
અંતર $AB = 2d$,$BC = d$,$BD = d$. તેથી,$AC = AB - BC = 2d - d = d$.
$C$ પર સ્થિતિમાન $(V_C)$:
$V_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AC} + \frac{-q}{BC} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d} - \frac{q}{d} \right) = 0$.
$D$ પર સ્થિતિમાન $(V_D)$:
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD} \right)$.
અહીં $AD = AB + BD = 2d + d = 3d$ અને $BD = d$ હોવાથી,
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{3d} - \frac{q}{d} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q - 3q}{3d} \right) = \frac{-2q}{12 \pi \varepsilon_0 d} = \frac{-q}{6 \pi \varepsilon_0 d}$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = Q(V_D - V_C) = Q \left( \frac{-q}{6 \pi \varepsilon_0 d} - 0 \right) = \frac{-qQ}{6 \pi \varepsilon_0 d}$.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$ છે.
આપેલ વિદ્યુતભાર $q = 10^{-3} \mu C = 10^{-9} \ C$ છે.
બિંદુ $A$ $(\sqrt{2} m, \sqrt{2} m)$ માટે,અંતર $r_A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = 2 \ m$ છે.
$A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{kq}{r_A} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{2} = 4.5 \ V$ છે.
બિંદુ $B$ $(2 m, 0 m)$ માટે,અંતર $r_B = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \ m$ છે.
$B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{kq}{r_B} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{2} = 4.5 \ V$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = 4.5 \ V - 4.5 \ V = 0 \ V$ થાય.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે.
આપેલ છે કે $V = 20|\vec{r}| = 20\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
ગ્રેડિયન્ટ $\nabla V = \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k}$ ની ગણતરી કરતા.
$\frac{\partial V}{\partial x} = 20 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \cdot 2x = \frac{20x}{|\vec{r}|}$.
તે જ રીતે,$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{20y}{|\vec{r}|}$ અને $\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{20z}{|\vec{r}|}$.
આમ,$\vec{E} = -\frac{20}{|\vec{r}|} (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) = -\frac{20}{|\vec{r}|} \vec{r} = -20 \hat{r}$.
બિંદુ $(4, 3, -5)$ પર,મૂલ્ય $|\vec{r}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{E} = -\frac{20}{5\sqrt{2}} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}) = -\frac{4}{\sqrt{2}} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}) = -2\sqrt{2} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k})$.
આનું સાદું રૂપ $-\sqrt{2} (8 \hat{i} + 6 \hat{j} - 10 \hat{k})$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ચોરસની બાજુ $a = \sqrt{2} \text{ m}$ છે। ચોરસનો વિકર્ણ $d = a\sqrt{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \text{ m}$ છે।
ચોરસના કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $r = d/2 = 2/2 = 1 \text{ m}$ છે।
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ છે।
કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે મળતા સ્થિતિમાનોનો બેઝિક સરવાળો છે: $V_{net} = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V_{net} = \frac{9 \times 10^9}{1} \times (12 - 20 + 32 - 15) \times 10^{-9} \text{ V}$.
$V_{net} = 9 \times (9) \text{ V} = 81 \text{ V}$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ગોલીય વાહકમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
ગોલીય વાહક માટે,કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 R$ થાય છે.
ઉર્જાના સૂત્રમાં $C$ ની કિંમત મૂકતા: $U = \frac{Q^2}{2(4 \pi \epsilon_0 R)} = \frac{Q^2}{8 \pi \epsilon_0 R}$.
અહીં $Q = 12 \times 10^{-6} \ C$ અને $U = 6 \ J$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $R = \frac{Q^2}{8 \pi \epsilon_0 U} = \frac{Q^2}{2U} \times \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$.
$R = \frac{(12 \times 10^{-6})^2}{2 \times 6} \times 9 \times 10^9$.
$R = \frac{144 \times 10^{-12}}{12} \times 9 \times 10^9 = 12 \times 10^{-12} \times 9 \times 10^9$.
$R = 108 \times 10^{-3} \ m = 0.108 \ m = 10.8 \ cm$.

(D) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 2 \pi \times 10^{-2} \,m$, $I_A = 3 \,A$, અને $I_B = 4 \,A$ આપેલ છે.
લૂપ $A$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2R} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{2 \times 2 \pi \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-5} \,T$ છે.
લૂપ $B$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_B = \frac{\mu_0 I_B}{2R} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 4}{2 \times 2 \pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$ છે.
લૂપ એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_A^2 + B_B^2} = \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (4 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{9 + 16} \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-5} \,T$ થશે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા તારમાં $I$ પ્રવાહ સમાન રીતે વહેતો હોય,તો કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r < R)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $I = 2 \ A$,$R = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,$r = 0.25 \ mm = 0.25 \times 10^{-3} \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 2 \times (0.25 \times 10^{-3})}{2 \pi \times (10^{-3})^2}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 0.25 \times 10^{-3}}{10^{-6}}$
$B = \frac{10^{-10}}{10^{-6}} = 10^{-4} \ T$
$1 \ T = 10^6 \ \mu T$ હોવાથી,$B = 10^{-4} \times 10^6 \ \mu T = 100 \ \mu T$ મળે છે.

(D) ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ જેટલો સમાન પ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા તાર માટે:
$1$. તારની અંદર $(r < a)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. તારની બહાર $(r > a)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. $r_1 = 0.5a$ (અંદર) પર, $B_1 = \frac{\mu_0 I (0.5a)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$.
$4$. $r_2 = 1.5a$ (બહાર) પર, $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (1.5a)} = \frac{\mu_0 I}{3 \pi a}$.
$5$. ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi a}{\mu_0 I / 3 \pi a} = \frac{3}{4}$ થાય છે.

(B) એમ્પીયરના નિયમ પરથી,$I$ પ્રવાહ ધરાવતા તારની સપાટી પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રવાહ $I = 12 \ A$ છે.
તારનો વ્યાસ $d = 1.2 \ mm = 1.2 \times 10^{-3} \ m$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.6 \times 10^{-3} \ m$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 12}{2 \pi \times 0.6 \times 10^{-3}}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{0.6 \times 10^{-3}}$
$B = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.6 \times 10^{-3}} = 40 \times 10^{-4} \ T = 4 \times 10^{-3} \ T = 4 \ mT$.
આમ,મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $4 \ mT$ છે.

(A) તાર હવામાં લટકેલો રહે તે માટે,તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ તેના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ધારો કે $l$ એ તારની લંબાઈ છે,$m$ તેનું દળ છે,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$B$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $g$ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
તારનું વજન $W = mg$ છે.
આપેલ રેખીય ઘનતા $\lambda = \frac{m}{l} = 0.12 \ kg \ m^{-1}$ પરથી,આપણે $m = \lambda l$ લખી શકીએ.
તેથી,$W = \lambda l g$.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = IlB \sin(\theta)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારને લંબ હોવાથી,$\theta = 90^{\circ}$,તેથી $F_m = IlB$.
સંતુલન માટે,$F_m = W$,જેનો અર્થ છે કે $IlB = \lambda l g$.
બંને બાજુથી $l$ ને દૂર કરતા,આપણને $IB = \lambda g$ મળે છે.
$I$ માટે ઉકેલતા: $I = \frac{\lambda g}{B}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{0.12 \times 10}{0.5} = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \ A$.
તેથી,તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $2.4 \ A$ છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકાયેલ ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = M B \sin \theta$,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો છે: $\tau = 0.36 \sqrt{2} \ Nm$,$B = 2 \ T$,અને $\theta = 45^{\circ}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $0.36 \sqrt{2} = M \times 2 \times \sin(45^{\circ})$.
કારણ કે $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી: $0.36 \sqrt{2} = M \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $0.36 \sqrt{2} = M \times \sqrt{2}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $M = 0.36 \ J \ T^{-1}$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $L$ લંબાઈના વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ નું સૂત્ર $F = I L B \sin(\theta)$ છે.
આપણે એકમ લંબાઈ દીઠ બળ શોધવાનું છે,જે $f = F/L$ છે.
તેથી,$f = I B \sin(\theta)$.
આપેલ કિંમતો:
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 8 \ A$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.15 \ T$
ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = 8 \times 0.15 \times \sin(30^{\circ})$
$\sin(30^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$f = 8 \times 0.15 \times 0.5$
$f = 8 \times 0.075 = 0.6 \ N \ m^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) તારની લંબાઈ $L = 10 \ m$ છે. જ્યારે તેને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળવામાં આવે,ત્યારે પરિઘ $2 \pi r = L = 10 \ m$ થાય.
તેથી,$r = \frac{10}{2 \pi} \ m$.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{10}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{100}{4 \pi^2} \right) = \frac{25}{\pi} \ m^2$ છે.
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A = 1 \times \frac{25}{\pi} = \frac{25}{\pi} \ A \ m^2$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં લૂપ પર લાગતું મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = M \times B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tau_{max} = \left( \frac{25}{\pi} \right) \times (2 \pi \times 10^{-4}) = 50 \times 10^{-4} \ N \ m$ મળે છે.

(A) $\text{ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય } W \text{ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: } W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
અહીં,$\text{ચુંબકીય મોમેન્ટ } M = 10^4 \,J \,T^{-1}$,$\text{ચુંબકીય ક્ષેત્ર } B = 4 \times 10^{-5} \,T$,$\text{પ્રારંભિક ખૂણો } \theta_1 = 0^{\circ} \text{ અને અંતિમ ખૂણો } \theta_2 = 60^{\circ} \text{ છે।}$
$\text{સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:}$
$W = (10^4) \times (4 \times 10^{-5}) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$W = 0.4 \times (1 - 0.5)$
$W = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \,J$.
$\text{તેથી,કરવું પડતું કાર્ય } 0.2 \,J \text{ છે।}$

(A) મૂવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરની પ્રવાહ સંવેદિતા $(I_s)$ નું સૂત્ર: $I_s = \frac{NBA}{k}$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $k$ એ સ્પ્રિંગનો ટોર્સનલ અચળાંક છે.
સ્પ્રિંગ સમાન હોવાથી,$k_A = k_B = k$ થશે.
પ્રવાહ સંવેદિતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{sA}}{I_{sB}} = \frac{N_A B_A A_A}{N_B B_B A_B}$ થાય.
આપેલ કિંમતો:
$N_A = 36, B_A = 0.25 \ T, A_A = 2.4 \times 10^{-3} \ m^2$
$N_B = 48, B_B = 0.5 \ T, A_B = 4.8 \times 10^{-3} \ m^2$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{sA}}{I_{sB}} = \frac{36 \times 0.25 \times 2.4 \times 10^{-3}}{48 \times 0.5 \times 4.8 \times 10^{-3}}$
$\frac{I_{sA}}{I_{sB}} = \left(\frac{36}{48}\right) \times \left(\frac{0.25}{0.5}\right) \times \left(\frac{2.4}{4.8}\right)$
$\frac{I_{sA}}{I_{sB}} = \left(\frac{3}{4}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{16}$.
આમ,ગુણોત્તર $3: 16$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબક ક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$.
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 45^{\circ}) = MB(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = MB(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}})$.
આમ,$MB = \frac{W\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$.
હવે,તેને વધુ $15^{\circ}$ ફેરવવા માટે કરવું પડતું વધારાનું કાર્ય $W'$ એટલે કે $\theta_1 = 45^{\circ}$ થી $\theta_2 = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ સુધી ફેરવવું.
$W' = MB(\cos 45^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}) = MB(\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}})$.
$MB$ ની કિંમત મૂકતા:
$W' = (\frac{W\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}) \times (\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}) = \frac{W}{2}$.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$I = 4 \ A$
$r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 4}{2 \pi \times 0.1}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4}{0.1}$
$B = \frac{8 \times 10^{-7}}{0.1} = 80 \times 10^{-7} \ T = 8 \times 10^{-6} \ T$
કારણ કે $1 \mu T = 10^{-6} \ T$, તેથી:
$B = 8 \mu T$
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $(u_B)$ નું સૂત્ર: $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$.
આના પરથી,આપણે શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટીને $\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$ તરીકે લખી શકીએ.
$\mu_0$ ની આ કિંમતને ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$u_B = \frac{B^2}{2(1 / \varepsilon_0 c^2)}$
$u_B = \frac{\varepsilon_0 c^2 B^2}{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_c = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ગૂંચળાની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $x = R$ આપેલ છે,તેથી $B_a$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2^{3/2} R^3)} = \frac{\mu_0 I}{2 \cdot 2 \sqrt{2} R} = \frac{\mu_0 I}{4 \sqrt{2} R}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{B_c}{B_a}$ શોધતા:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2R}}{\frac{\mu_0 I}{4 \sqrt{2} R}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 1 \ m$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \ A$
સ્તરોની સંખ્યા $= 5$
દરેક સ્તરમાં આંટા $= 700$
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 5 \times 700 = 3500$
લંબાઈ $1 \ m$ હોવાથી,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = N / L = 3500 / 1 = 3500 \ m^{-1}$.
શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 3500 \times 5$
$B = 20\pi \times 3500 \times 10^{-7}$
$B = 70000\pi \times 10^{-7}$
$B = 7\pi \times 10^{-3} \ T$
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$B \approx 7 \times 3.14 \times 10^{-3} \ T = 21.98 \times 10^{-3} \ T \approx 22 \ mT$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

$(A)$ લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ પ્રવાહ છે.
પ્રથમ સોલેનોઇડ માટે: $B_1 = \mu_0 n_1 i_1 = 6.24 \times 10^{-2} \,T$,જ્યાં $n_1 = 400$ અને $i_1 = i$.
તેથી,$\mu_0 (400) i = 6.24 \times 10^{-2} \,T$.
બીજા સોલેનોઇડ માટે: $n_2 = 200$ અને $i_2 = \frac{i}{2}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \mu_0 n_2 i_2 = \mu_0 (200) \left( \frac{i}{2} \right) = \mu_0 (100) i$.
$B_2$ ની $B_1$ સાથે સરખામણી કરતા: $B_2 = \frac{\mu_0 (100) i}{\mu_0 (400) i} \times B_1 = \frac{1}{4} \times 6.24 \times 10^{-2} \,T$.
$B_2 = 1.56 \times 10^{-2} \,T$.

(A) તારની લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે તેને $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $L = \pi R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ચાપની ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{\pi}$ થાય.
$i$ પ્રવાહ ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{o} i}{4 R}$.
આ સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_{o} i}{4 (L / \pi)} = \frac{\pi \mu_{o} i}{4 L}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સોલેનોઇડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $M = N I A$, જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે, $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે, અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે।
આપેલ છે:
$N = 1200$
$A = 5 \,cm^2 = 5 \times 10^{-4} \,m^2$
$M = 1.2 \,J \,T^{-1}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1.2 = 1200 \times I \times (5 \times 10^{-4})$
$1.2 = 1200 \times 5 \times 10^{-4} \times I$
$1.2 = 6000 \times 10^{-4} \times I$
$1.2 = 0.6 \times I$
$I = \frac{1.2}{0.6} = 2 \,A$
તેથી, સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $2 \,A$ છે।

(C) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $T$ આવર્તકાળ સાથે ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,સમતુલ્ય પ્રવાહ $I$ એ એકમ સમય $T$ માં વહેતો વિદ્યુતભાર $e$ છે,તેથી $I = \frac{e}{T}$.
વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
આ કિંમતોને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $M = I A = \left( \frac{e}{T} \right) (\pi R^2) = \frac{\pi e R^2}{T}$.

(C) સોલેનોઈડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = N \cdot I \cdot A$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ સોલેનોઈડનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 500$
પ્રવાહ $I = 15 \,A$
ત્રિજ્યા $r = 2 \,cm = 0.02 \,m$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 0.0004 \pi \,m^2$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = 500 \times 15 \times 0.0004 \pi$
$M = 7500 \times 0.0004 \pi$
$M = 3 \pi \,J \,T^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) વેલોસિટી સિલેક્ટરમાં, કણ વિચલિત થયા વિના પસાર થાય તે માટે વિદ્યુત બળ $(F_E = qE)$ અને ચુંબકીય બળ $(F_B = qvB)$ એકબીજાને સંતુલિત કરવા જોઈએ。
તેથી, $qE = qvB$, જેનું સાદું રૂપ $v = \frac{E}{B}$ થાય છે。
આપેલ કિંમતો $v = 6 \,km \,s^{-1} = 6000 \,m \,s^{-1}$ અને $E = 400 \,V \,m^{-1}$ છે。
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટેના સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $B = \frac{E}{v}$ મળે છે。
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{400}{6000} \,T$.
$B = \frac{4}{60} \,T = \frac{1}{15} \,T$.
આમ, જરૂરી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\frac{1}{15} \,T$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ દળ છે,$v$ વેગ છે,$q$ વિદ્યુતભાર છે અને $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
આના પરથી,વેગમાન $p = mv = qBr$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{qBr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલ્ફા કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 3.2 \times 10^{-19} \ C$.
આપેલ છે: $r = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$,$B = 2 \times 10^{-2} \ T$,અને $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(3.2 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-2}) \times (0.5 \times 10^{-3})}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.2 \times 10^{-24}} \approx 2.07 \times 10^{-10} \ m$.
કારણ કે $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,તેથી $\lambda \approx 2.1 \ \mathring{A}$.

(D) જ્યારે $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ $v$ વેગથી $B$ જેટલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
આના પરથી,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે: $T = \frac{2\pi r}{v}$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$ મળે છે.
આમ,$T = \frac{2\pi m}{qB}$ હોવાથી,આવર્તકાળ એ વેગ $v$ અને કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ થી સ્વતંત્ર છે.
જોકે,$T$ એ વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર $(q/m)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,જેમ વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર $(q/m)$ વધે છે,તેમ આવર્તકાળ $T$ ઘટે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2K}{q^2/m}}$ મળે.
વિશિષ્ટ વીજભાર $\alpha = \frac{q}{m}$ હોવાથી,$r = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2K}{m \alpha^2}}$ લખી શકાય.
અહીં વિશિષ્ટ વીજભારનો ગુણોત્તર $\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{2}{1}$ અને દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{4}$ આપેલ છે.
બંને માટે ગતિઊર્જા $K$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \cdot \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
આમ,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(C) પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $K = 8.35 \text{ MeV} = 8.35 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 1.336 \times 10^{-12} \text{ J}$ છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વેગ $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.336 \times 10^{-12}}{1.67 \times 10^{-27}}} = \sqrt{1.6 \times 10^{15}} = \sqrt{16 \times 10^{14}} = 4 \times 10^7 \text{ m/s}$ મેળવીએ છીએ.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન લંબ રૂપે પ્રવેશ કરતો હોવાથી,$\theta = 90^\circ$,તેથી $\sin(90^\circ) = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $F = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (4 \times 10^7 \text{ m/s}) \times (10 \text{ T}) = 6.4 \times 10^{-11} \text{ N} = 64 \times 10^{-12} \text{ N}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) હિસ્ટરિસીસ લૂપ એ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ અને ચુંબકીય તીવ્રતા $(H)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
કોર્સિવિટી એટલે અવશેષ ચુંબકત્વ $(B)$ ને શૂન્ય કરવા માટે જરૂરી વિરુદ્ધ દિશાની ચુંબકીય તીવ્રતા $(H)$ નું મૂલ્ય.
આપેલ હિસ્ટરિસીસ લૂપમાં,બિંદુ $R$ એ ઋણ $H$-અક્ષ પર આવેલું છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શૂન્ય છે.
તેથી,બિંદુ $R$ એ પદાર્થની કોર્સિવિટી દર્શાવે છે.

(B) સમઘનનું કદ $V = (\text{બાજુ})^3 = (1.0 \times 10^{-6} m)^3 = 1.0 \times 10^{-18} m^3$ છે.
નમૂનામાં પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $N = n \times V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે.
$N = (8.7 \times 10^{28} m^{-3}) \times (1.0 \times 10^{-18} m^3) = 8.7 \times 10^{10}$ પરમાણુઓ.
મહત્તમ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M_{max}$ એ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા અને એક પરમાણુની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_{atom}$ નો ગુણાકાર છે.
$M_{max} = N \times \mu_{atom} = (8.7 \times 10^{10}) \times (9.3 \times 10^{-24} A m^2)$.
$M_{max} = 80.91 \times 10^{-14} A m^2 = 8.1 \times 10^{-13} A m^2$.

(A) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 0.48 \, J \, T^{-1}$
અંતર $d = 10 \, cm = 0.1 \, m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \, m \, A^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \cdot \frac{2 \times 0.48}{(0.1)^3}$
$B = 10^{-7} \cdot \frac{0.96}{0.001}$
$B = 10^{-7} \cdot 960 = 9.6 \times 10^{-5} \, T$
$1 \, T = 10^4 \, gauss$ હોવાથી:
$B = 9.6 \times 10^{-5} \times 10^4 \, gauss = 0.96 \, gauss$
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કાયમી ચુંબક બનાવવા માટે પદાર્થ એવો હોવો જોઈએ કે જે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દૂર કર્યા પછી પણ પોતાનું ચુંબકત્વ જાળવી રાખે.
$1$. ઊંચી રીટેન્ટિવિટી (Retentivity): આ સુનિશ્ચિત કરે છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર દૂર કર્યા પછી પણ પદાર્થ પ્રબળ રીતે ચુંબકીય રહે.
$2$. ઊંચી કોર્સિવિટી (Coercivity): આ સુનિશ્ચિત કરે છે કે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રો,તાપમાનમાં ફેરફાર અથવા સામાન્ય યાંત્રિક આંચકાઓ દ્વારા તેનું ચુંબકત્વ સરળતાથી નાશ ન પામે.
તેથી,કાયમી ચુંબક માટેના પદાર્થોમાં ઊંચી રીટેન્ટિવિટી અને ઊંચી કોર્સિવિટી બંને હોવા જોઈએ.

(B) સંતૃપ્તિ સમયે નમૂનાની કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ $M_{\text{sat}} = N \mu = (2 \times 10^{24}) \times (1.5 \times 10^{-23} \text{ J T}^{-1}) = 30 \text{ J T}^{-1}$ છે.
પેરામેગ્નેટિઝમ માટે ક્યુરીના નિયમ મુજબ, મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ એ $B/T$ ના પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $M \propto B/T$.
પ્રથમ કિસ્સામાં, સંતૃપ્તિનું પ્રમાણ $20 \%$ છે, તેથી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = 0.20 \times M_{\text{sat}} = 0.20 \times 30 = 6 \text{ J T}^{-1}$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{M_2}{M_1} = \frac{B_2 / T_2}{B_1 / T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{M_2}{6} = \frac{0.9 / 2.8}{0.6 / 4.2} = \frac{0.9}{2.8} \times \frac{4.2}{0.6} = \frac{0.9}{0.6} \times \frac{4.2}{2.8} = 1.5 \times 1.5 = 2.25$.
તેથી, $M_2 = 6 \times 2.25 = 13.5 \text{ J T}^{-1}$.

(A) દરેક વિખંડન દીઠ મુક્ત થતી ઉર્જા $E = 200 \text{ MeV}$ છે.
આને જૂલમાં રૂપાંતરિત કરતા: $E = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$.
રિએક્ટર દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર $P = 1 \text{ MW} = 10^6 \text{ W} = 10^6 \text{ J/s}$ છે.
વિખંડનનો દર $R$ એ સૂત્ર $R = P / E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R = 10^6 / (3.2 \times 10^{-11}) = (1 / 3.2) \times 10^{17} = 0.3125 \times 10^{17} = 3.125 \times 10^{16} \text{ fissions/s}$.

(C) પ્રક્રિયા ${ }_1 H^2 + { }_1 H^2 \rightarrow { }_2 He^4 + Q$ છે.
પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા: દરેક ડ્યુટેરોનમાં $2$ ન્યુક્લિયોન છે અને $2$ ડ્યુટેરોન છે. કુલ ન્યુક્લિયોન = $4$. ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા = $1.15 \text{ MeV}$. કુલ બંધન ઉર્જા = $4 \times 1.15 \text{ MeV} = 4.6 \text{ MeV}$.
નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા: $\alpha$-કણ $({ }_2 He^4)$ માં $4$ ન્યુક્લિયોન છે. ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા = $7.1 \text{ MeV}$. કુલ બંધન ઉર્જા = $4 \times 7.1 \text{ MeV} = 28.4 \text{ MeV}$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q)$ = (નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા) - (પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા) = $28.4 \text{ MeV} - 4.6 \text{ MeV} = 23.8 \text{ MeV}$.
ન્યુક્લિયોન દીઠ મુક્ત થતી ઉર્જા શોધવા માટે,કુલ મુક્ત ઉર્જાને નીપજ ન્યુક્લિયસ $({ }_2 He^4)$ ના કુલ ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા $(4)$ વડે ભાગવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ મુક્ત થતી ઉર્જા = $23.8 \text{ MeV} / 4 = 5.95 \text{ MeV}$.

(B) પરમાણુ (Atomic) ઉર્જા સ્તરો સામાન્ય રીતે $eV$ (ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ) ના ક્રમમાં હોય છે,જે $10^0 \ eV$ થી $10^1 \ eV$ જેટલા હોય છે.
ન્યુક્લિયર (Nuclear) ઉર્જા સ્તરો સામાન્ય રીતે $MeV$ (મેગા ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ) ના ક્રમમાં હોય છે,જે $10^6 \ eV$ જેટલા હોય છે.
અણુ ઉર્જા સ્તરનું અંતર $1 \ eV$ ના ક્રમનું છે.
ન્યુક્લિયર ઉર્જા સ્તરનું અંતર $1 \ MeV = 10^6 \ eV$ ના ક્રમનું છે.
તેથી,ન્યુક્લિયર ઉર્જા સ્તરો અને અણુ ઉર્જા સ્તરોના અંતરનો ગુણોત્તર $10^6 / 1 = 10^6$ થાય છે.

(B) દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R_0 \approx 1.2 fm = 1.2 \times 10^{-15} m$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \times m_p$ છે, જ્યાં $m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} kg$ એ પ્રોટોનનું દળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.2 \times 10^{-15})^3} \approx 2.3 \times 10^{17} kg m^{-3}$.
આમ, ઘનતાનો ક્રમ $10^{17} kg m^{-3}$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસનું પૃષ્ઠફળ $S$ એ $S = 4\pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $R$ એ દળ ક્રમાંક $A$ ના ઘનમૂળના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $R = R_0 A^{1/3}$.
તેથી, પૃષ્ઠફળ $S \propto R^2 \propto (A^{1/3})^2 = A^{2/3}$.
પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $S_1/S_2 = 9/49$ આપેલ છે.
કારણ કે $S_1/S_2 = (A_1/A_2)^{2/3}$, તેથી $(A_1/A_2)^{2/3} = 9/49$.
બંને બાજુ $3/2$ ઘાત લેતા: $A_1/A_2 = (9/49)^{3/2} = ( (3/7)^2 )^{3/2} = (3/7)^3$.
કિંમત ગણતા: $A_1/A_2 = 27/343$.
આમ, તેમના દળ ક્રમાંકનો ગુણોત્તર $27 : 343$ છે.

(A) ધારો કે $t$ સમયે ખડકમાં તત્વ $X$ નો જથ્થો $N_X$ અને તત્વ $Y$ નો જથ્થો $N_Y$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $N_X : N_Y = 1 : 7$ છે,તેથી $N_Y = 7N_X$.
શરૂઆતમાં ($t=0$ સમયે) તત્વ $X$ નો કુલ જથ્થો $N_0 = N_X + N_Y = N_X + 7N_X = 8N_X$ હતો.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$N_X = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$,જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા,$N_X = 8N_X \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$.
આથી $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$,જેનો અર્થ છે કે $\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$.
તેથી,$n = 3$.
$n = \frac{t}{T_{1/2}}$ હોવાથી,$t = 3 \times T_{1/2}$.
$T_{1/2} = 1.4 \times 10^9$ વર્ષ આપેલ હોવાથી,ખડકની ઉંમર $t = 3 \times 1.4 \times 10^9 = 4.2 \times 10^9$ વર્ષ થાય.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N = N_0 (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અહીં $N_0 = 256 \ g$ અને $N = 1 \ g$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $1 = 256 \times (1/2)^n$.
$(1/2)^n = 1/256$.
કારણ કે $256 = 2^8$,તેથી $(1/2)^n = (1/2)^8$.
આથી,$n = 8$.
કુલ સમય $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T_{1/2} = 12.5 \ h$.
$t = 8 \times 12.5 \ h = 100 \ h$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
અહીં $N_1 = 0.88 N_0$ અને $N_2 = 0.77 N_0$ છે.
સમય $t = 12 \text{ મિનિટ}$ માટે,$\frac{N_2}{N_1} = e^{-\lambda t}$.
$\frac{0.77}{0.88} = \frac{7}{8} = e^{-12\lambda}$.
તેથી,$\lambda = \frac{\ln(8/7)}{12}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{12 \ln 2}{\ln(8/7)}$.
ગણતરી કરતા,$T_{1/2} \approx 62.5 \text{ મિનિટ}$ મળે છે. જો પ્રશ્નમાં ક્ષય $100 \%$ થી $50 \%$ માટે $12 \text{ મિનિટ}$ આપેલ હોય,તો જવાબ $12$ આવશે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પછી બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T_{1/2} = 10 \, \text{મિનિટ}$ છે.
$t_1 = 20 \, \text{મિનિટ}$ માટે, બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N_1 = N_0 (1/2)^{20/10} = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$ છે.
ક્ષય પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $n_1 = N_0 - N_1 = N_0 - N_0 / 4 = 3N_0 / 4$ છે.
$t_2 = 30 \, \text{મિનિટ}$ માટે, બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N_2 = N_0 (1/2)^{30/10} = N_0 (1/2)^3 = N_0 / 8$ છે.
ક્ષય પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $n_2 = N_0 - N_2 = N_0 - N_0 / 8 = 7N_0 / 8$ છે.
તેથી, ગુણોત્તર $n_1 : n_2 = (3N_0 / 4) : (7N_0 / 8) = (3/4) : (7/8) = 6 : 7$ થાય.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ $10 \ years$ છે.
કુલ સમય $t = 30 \ years$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ $n = t / T_{1/2} = 30 / 10 = 3$ છે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $N/N_0 = (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $N/N_0 = (1/2)^3 = 1/8 = 0.125$ મળે છે.
ક્ષય પામેલા પદાર્થનો અંશ $1 - N/N_0 = 1 - 0.125 = 0.875$ છે.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ: $0.875 \times 100 = 87.5\%$.
તેથી,$30 \ years$ માં ક્ષય પામેલા પદાર્થની ટકાવારી $87.5\%$ છે.