AP EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે ત્રણ સદિશો $\vec{A}$,$\vec{B}$,અને $\vec{C}$ છે. દરેક સદિશનું મૂલ્ય $A = B = C = 3 \sqrt{1.5} = 3 \sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.
કોઈપણ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ $(60^\circ)$ હોવાથી,આપણે તેમને $3D$ યામ પદ્ધતિમાં મૂકી શકીએ છીએ.
ધારો કે $\vec{A} = A \hat{i}$.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ હોવાથી,$\vec{B} = A(\cos 60^\circ \hat{i} + \sin 60^\circ \hat{j}) = A(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j})$.
ત્રીજા સદિશ $\vec{C}$ માટે,તે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બંને સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$ છે.
મૂલ્યનો વર્ગ $R^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2(AB \cos 60^\circ + BC \cos 60^\circ + CA \cos 60^\circ)$ થાય.
$R^2 = 3A^2 + 2(3 \cdot A^2 \cdot \frac{1}{2}) = 3A^2 + 3A^2 = 6A^2$.
અહીં $A = 3 \sqrt{1.5} = 3 \sqrt{\frac{3}{2}}$ હોવાથી,$A^2 = 9 \cdot \frac{3}{2} = 13.5$.
$R^2 = 6 \times 13.5 = 81$.
તેથી,$R = \sqrt{81} = 9$ એકમ.

(A) સદિશ $\overrightarrow{p}$ નું માન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|\overrightarrow{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2}$.
આપેલ છે કે, $|\overrightarrow{p}| = 25 \text{ units}$ અને $p_y = 7 \text{ units}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $25 = \sqrt{p_x^2 + 7^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25^2 = p_x^2 + 7^2$.
$625 = p_x^2 + 49$.
$p_x^2 = 625 - 49 = 576$.
વર્ગમૂળ લેતા: $p_x = \sqrt{576} = 24 \text{ units}$.
તેથી, $x$-ઘટક $24 \text{ units}$ છે.

(B) કોઈપણ સદિશ માટે,દિશા કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta$ અને $\cos \gamma$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિશા કોસાઇન માટેનું મૂળભૂત નિત્યસમ $\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma = 1$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$(1 - \sin ^2 \alpha) + (1 - \sin ^2 \beta) + (1 - \sin ^2 \gamma) = 1$.
$3 - (\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma) = 1$.
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma = 2$.
તેથી,$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta = 2 - \sin ^2 \gamma$.
કારણ કે $\sin ^2 \gamma = 1 - \cos ^2 \gamma$,આપણે આને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta = 2 - (1 - \cos ^2 \gamma) = 1 + \cos ^2 \gamma$.

(C) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $0$ થાય.
ધારો કે આપેલ સદિશ $\vec{A} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j}$ છે.
આપણે દરેક વિકલ્પ સાથે $\vec{A}$ નો અદિશ ગુણાકાર ચકાસીએ:
વિકલ્પ $C$ માટે: $\vec{B} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = (4 \times 3) + (-3 \times 4) = 12 - 12 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશ $(3 \hat{i} + 4 \hat{j})$ એ $(4 \hat{i} - 3 \hat{j})$ ને લંબ છે.

(D) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ માટે,બંને પિસ્ટન પરનું દબાણ સમાન હોય છે: $P_1 = P_2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$,જ્યાં $F_1$ એ નાના પિસ્ટન પરનું બળ છે,$A_1$ તેનું ક્ષેત્રફળ છે,$F_2$ એ મોટા પિસ્ટન પરનું બળ (વજન) છે અને $A_2$ તેનું ક્ષેત્રફળ છે.
વર્તુળાકાર પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{F_1}{\pi r_1^2} = \frac{F_2}{\pi r_2^2}$,જેનું સાદું રૂપ $F_2 = F_1 \times (\frac{r_2}{r_1})^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે $F_1 = 250 \ N$,$r_1 = 5 \ cm$,અને $r_2 = 50 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $F_2 = 250 \times (\frac{50}{5})^2 = 250 \times (10)^2 = 250 \times 100 = 25,000 \ N$.
કિલોન્યુટનમાં રૂપાંતર કરતા: $F_2 = 25 \ kN$.

(D) વિમાન અચળ ઊંચાઈએ ઉડી શકે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું લિફ્ટ બળ વિમાનના નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ધારો કે $m$ એ વિમાનનું દળ છે,$A$ એ પાંખનો કુલ વિસ્તાર છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,અને $\Delta P$ એ પાંખોની નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત છે.
લિફ્ટ બળ $F_L$ એ $F_L = \Delta P \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિમાનનું વજન $W = m \times g$ છે.
અચળ ઊંચાઈ માટે બંને બળોને સરખાવતા: $\Delta P \times A = m \times g$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta P \times 600 = (4.5 \times 10^4) \times 10$.
$\Delta P \times 600 = 4.5 \times 10^5$.
$\Delta P = \frac{4.5 \times 10^5}{600} = \frac{450000}{600} = 750 \,N \,m^{-2}$.
આમ,દબાણનો તફાવત $750 \,N \,m^{-2}$ છે.

(C) પાણી દ્વારા દીવાલ પર લાગતું બળ એ પાણીના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે।
આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times 10^{-3} \,m^2$
વેગ $v = 12 \,m \,s^{-1}$
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \,kg \,m^{-3}$
એકમ સમયમાં દીવાલ સાથે અથડાતા પાણીનું દળ $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dm}{dt} = 1000 \times (2 \times 10^{-3}) \times 12 = 24 \,kg \,s^{-1}$.
બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે: $F = \frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt} \times v$.
પાણી પાછું ફેંકાતું ન હોવાથી, અંતિમ વેગ $0$ છે।
$F = (24 \,kg \,s^{-1}) \times (12 \,m \,s^{-1}) = 288 \,N$.
તેથી, દીવાલ પર લાગતું બળ $288 \,N$ છે।

(B) ધારો કે $P_1$ અને $V_1$ એ તળિયે પરપોટાનું દબાણ અને કદ છે,અને $P_2$ અને $V_2$ એ ઉપરની સપાટી પર દબાણ અને કદ છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
તળિયે દબાણ $P_1 = P_{atm} + h \rho g = 10 \ m + 7.28 \ m = 17.28 \ m$ પાણી જેટલું છે.
ઉપરની સપાટી પર દબાણ $P_2 = P_{atm} = 10 \ m$ પાણી જેટલું છે.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,તેથી $V \propto r^3$.
આને બોઈલના નિયમમાં મૂકતા: $P_1 r_1^3 = P_2 r_2^3$.
તેથી,$\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{P_2}{P_1} = \frac{10}{17.28} = \frac{1000}{1728}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{1000}{1728}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
આમ,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $5: 6$ છે.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R = D/2$ છે. ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ $n = 3375$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 3375 r^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $R = 3375^{1/3} r = 15r$,તેથી $r = R/15$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4 \pi R^2$ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = n \times 4 \pi r^2 = 3375 \times 4 \pi (R/15)^2 = 3375 \times 4 \pi (R^2 / 225) = 15 \times 4 \pi R^2 = 60 \pi R^2$ છે.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 60 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 56 \pi R^2$ છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = S \times \Delta A = S \times 56 \pi R^2$ છે.
$R = D/2$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta U = S \times 56 \pi (D/2)^2 = S \times 56 \pi (D^2 / 4) = 14 \pi D^2 S$.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ છે. નાના ટીપાની સંખ્યા $n = 10^6$ છે. ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$r^3 = \frac{R^3}{n} = \frac{(10^{-2})^3}{10^6} = \frac{10^{-6}}{10^6} = 10^{-12} \ m^3$.
તેથી,$r = 10^{-4} \ m$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta A$ એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (n r^2 - R^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (10^6 \times (10^{-4})^2 - (10^{-2})^2) = 4 \pi (10^6 \times 10^{-8} - 10^{-4}) = 4 \pi (10^{-2} - 10^{-4}) = 4 \pi (0.01 - 0.0001) = 4 \pi (0.0099) \ m^2$.
$\Delta U = 35 \times 10^{-3} \times 4 \times 3.1416 \times 0.0099 \approx 4356 \times 10^{-6} \ J$.

(B) સાબુના પરપોટા માટે,અંદરનું વધારાનું દબાણ $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P = P_{atm} + P_{ex}$ છે. પરપોટા શૂન્યાવકાશમાં હોવાથી,$P_{atm} = 0$.
તેથી,$P = \frac{4T}{r}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ ($m$ એ હવાનું દળ છે,$M$ એ હવાનું મોલર દળ છે),આપણને $P = \frac{mRT}{MV}$ મળે છે.
$P = \frac{4T}{r}$ અને $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ મૂકતા,આપણને $\frac{4T}{r} = \frac{mRT}{M(\frac{4}{3}\pi r^3)}$ મળે છે.
દળ $m$ માટે ગોઠવતા,$m = \frac{4T}{r} \cdot \frac{M \cdot 4\pi r^3}{3RT} = \frac{16\pi TM}{3RT} \cdot r^2$ મળે છે.
અહીં $T$,$M$,$R$ અને તાપમાન અચળ હોવાથી,$m \propto r^2$.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ થાય છે.

(B) તાર પાણીની સપાટી સાથે બંને બાજુએ સંપર્કમાં છે. તેથી,સપાટીના સંપર્કમાં રહેલા તારની કુલ લંબાઈ $L_{total} = 2 \times L = 2 \times 20 \ cm = 40 \ cm = 0.4 \ m$ થશે.
જ્યારે તારને ઉપર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ નીચેની તરફ લાગે છે,જે ખેંચાણનો વિરોધ કરે છે. સંતુલન માટે,લગાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ પૃષ્ઠતાણ બળ $F_s$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_s = T \times L_{total}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અહીં $F = 1.456 \times 10^{-2} \ N$ અને $L_{total} = 0.4 \ m$ આપેલ છે.
બળોને સરખાવતા: $1.456 \times 10^{-2} = T \times 0.4$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{1.456 \times 10^{-2}}{0.4} = 3.64 \times 10^{-2} \ N \ m^{-1} = 0.0364 \ N \ m^{-1}$.

(B) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાના બે સાબુના પરપોટા શૂન્યાવકાશમાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનો એક પરપોટો બનાવે છે,ત્યારે પરપોટાની અંદર રહેલા હવાના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે. પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,તાપમાન $T$ અચળ છે. $r$ ત્રિજ્યાના સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ છે,જ્યાં $P_0$ એ બાહ્ય દબાણ છે (જે શૂન્યાવકાશમાં $0$ છે) અને $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે. તેથી,$P = \frac{4S}{r}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,સાબુના પરપોટા માટે,$n = \frac{PV}{RT} = \frac{(4S/r) \cdot (4/3 \pi r^3)}{RT} = \frac{16 \pi S r^2}{3RT}$.
મોલની કુલ સંખ્યા સંરક્ષિત હોવાથી,$n_{total} = n_1 + n_2$. આપેલ છે કે $r_1 = r_2 = r = 2 \ cm$,તેથી $n_{total} = 2n = \frac{32 \pi S r^2}{3RT}$.
$R$ ત્રિજ્યાના નવા પરપોટા માટે,$n_{total} = \frac{16 \pi S R^2}{3RT}$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $R^2 = 2r^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R = r\sqrt{2}$.
$r = 2 \ cm$ મૂકતા,આપણને $R = 2\sqrt{2} \ cm$ મળે છે.

(A) પ્રવાહનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે, આપણે રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
રેનોલ્ડ્સ નંબરનું સૂત્ર $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$ છે, જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે, $v$ વેગ છે, $D$ પાઇપનો વ્યાસ છે અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
આપેલ છે:
ઘનતા $\rho = 10^3 \,kg \,m^{-3}$
વેગ $v = 20 \,cm \,s^{-1} = 0.2 \,m \,s^{-1}$
ત્રિજ્યા $r = 2 \,cm = 0.02 \,m$, તેથી વ્યાસ $D = 2r = 0.04 \,m$
સ્નિગ્ધતા $\eta = 10^{-3} \,kg \,m^{-1} \,s^{-1}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$R_e = \frac{10^3 \times 0.2 \times 0.04}{10^{-3}}$
$R_e = \frac{10^3 \times 0.008}{10^{-3}} = 8 \times 10^3 = 8000$
રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e > 2000$ હોવાથી, પ્રવાહ અશાંત (turbulent) છે.

(B) પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા એ તેના વહેવાના અવરોધનું માપ છે.
પ્રવાહી માટે,સ્નિગ્ધતા મુખ્યત્વે અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ બળોને કારણે હોય છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે,જે આ આકર્ષણ બળોને દૂર કરે છે,જેના કારણે પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા ઘટે છે.
વાયુઓ માટે,સ્નિગ્ધતા મુખ્યત્વે અણુઓની યાદચ્છિક ઉષ્મીય ગતિને કારણે વાયુના સ્તરો વચ્ચે વેગમાનના સ્થાનાંતરણને કારણે હોય છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વાયુના અણુઓની યાદચ્છિક ગતિ વધે છે,જેનાથી અથડામણો વધુ વારંવાર થાય છે અને વેગમાનના સ્થાનાંતરણનો દર વધે છે,જેના કારણે વાયુઓની સ્નિગ્ધતા વધે છે.
તેથી,જ્યારે તાપમાન વધે છે,ત્યારે વાયુઓની સ્નિગ્ધતા વધે છે અને પ્રવાહીઓની સ્નિગ્ધતા ઘટે છે.

(C) $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $h = 1 \ km = 10^3 \ m$,$\rho = 10^3 \ kg \ m^{-3}$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$P = 10^3 \times 10 \times 10^3 = 10^7 \ N \ m^{-2}$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = \frac{P}{\Delta V / V}$ છે.
$B = \frac{10^7}{10^{-4}} = 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
આમ,$10^{11} \ N \ m^{-2}$ એ $10 \times 10^{10} \ N \ m^{-2}$ ની બરાબર છે,તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = 250 \text{ kPa} - 200 \text{ kPa} = 50 \text{ kPa} = 50 \times 10^3 \text{ Pa} = 5 \times 10^4 \text{ Pa}$ છે.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.25 \% = \frac{0.25}{100} = 2.5 \times 10^{-3}$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ નું સૂત્ર $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ છે.
સંકોચનીયતા $K$ એ બલ્ક મોડ્યુલસનો વ્યસ્ત છે,$K = \frac{1}{B} = \frac{\Delta V / V}{\Delta P}$.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{2.5 \times 10^{-3}}{5 \times 10^4} = 0.5 \times 10^{-7} \text{ m}^2 \text{ N}^{-1} = 5 \times 10^{-8} \text{ m}^2 \text{ N}^{-1}$.

(B) રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L = 0.2 \% = 0.002$ છે.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ (lateral strain) $\epsilon_d$ અને રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L$ નો ગુણોત્તર છે,તેથી $\epsilon_d = -\sigma \cdot \epsilon_L$.
અહીં,$\sigma = 0.3$ છે,તેથી પાર્શ્વ વિકૃતિ $\epsilon_d = -0.3 \times 0.002 = -0.0006$ થાય.
તાર માટે કદ વિકૃતિ $\frac{\Delta V}{V}$ એ રેખીય વિકૃતિ અને બે પાર્શ્વ વિકૃતિઓના સરવાળા જેટલી હોય છે: $\frac{\Delta V}{V} = \epsilon_L + 2\epsilon_d$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = 0.002 + 2(-0.0006) = 0.002 - 0.0012 = 0.0008$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $0.0008 \times 100 \% = 0.08 \%$.

(C) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિઊર્જા $(u)$ એ એકમ કદ દીઠ થયેલા કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$
હૂકના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$,જેનો અર્થ છે કે $\text{વિકૃતિ} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{Y}$.
ઊર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં વિકૃતિની કિંમત મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2 Y}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$U = \frac{1}{2} \times Y \times A \times \frac{(\Delta L)^2}{L}$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta L$ એ લંબાઈમાં વધારો છે,અને $L$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
$Y = 1.2 \times 10^{11} \,N/m^2$
$A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$
$L = 1 \,m$
$\Delta L = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times \frac{(10^{-3})^2}{1}$
$U = 0.6 \times 10^5 \times 10^{-6} \times 10^{-6} = 0.6 \times 10^{-1} = 0.06 \,J = 6 \times 10^{-2} \,J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે. વિકૃતિ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસના પરિમાણ પ્રતિબળના પરિમાણ જેટલા જ હોય છે.
પ્રતિબળ = $\frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
હવે,ઉર્જા ઘનતાના પરિમાણ તપાસીએ:
ઉર્જા ઘનતા = $\frac{\text{ઉર્જા}}{\text{કદ}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
યંગ મોડ્યુલસ અને ઉર્જા ઘનતા બંનેના પરિમાણ $[ML^{-1}T^{-2}]$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $r_A, r_B$ એ તાર $A$ અને $B$ ની ત્રિજ્યાઓ છે અને $Y_A, Y_B$ એ તેમના યંગ મોડ્યુલસ છે.
આપેલ છે: $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{3}{2}$.
ધારો કે $L$ એ તારની લંબાઈ છે (સમાન ધારેલ છે) અને $\Delta L$ એ બંને તારમાં થતું સમાન વિસ્તરણ છે.
વિસ્તરણના સૂત્ર મુજબ,$\Delta L = \frac{F L}{A Y}$,જ્યાં $F$ એ તારમાં તણાવ છે અને $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને તાર માટે $\Delta L$ સમાન હોવાથી,$\frac{F_A L}{\pi r_A^2 Y_A} = \frac{F_B L}{\pi r_B^2 Y_B}$.
તેથી,$\frac{F_A}{F_B} = \frac{r_A^2 Y_A}{r_B^2 Y_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 \left(\frac{Y_A}{Y_B}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$.
ધારો કે વજન $P$ થી $x$ અંતરે લટકાવવામાં આવે છે. લટકાવવાના બિંદુની આસપાસ ટોર્ક લેતા,$F_A x = F_B (150 - x)$.
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{150 - x}{x} = \frac{2}{3}$.
$3(150 - x) = 2x \implies 450 - 3x = 2x \implies 5x = 450 \implies x = 90 \ cm$ ($P$ થી).

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot l}$ છે,જ્યાં $A$ એ તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $l = \frac{F \cdot L}{Y \cdot \pi r^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $l \propto \frac{F}{r^2}$.
ધારો કે શરૂઆતની લંબાઈમાં વધારો $l_1 = k \cdot \frac{F}{r^2}$ છે.
જ્યારે બળ $F' = \frac{F}{2}$ અને ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ થાય,ત્યારે લંબાઈમાં નવો વધારો $l_2$ આ મુજબ થશે:
$l_2 = k \cdot \frac{F'}{(r')^2} = k \cdot \frac{F/2}{(r/2)^2} = k \cdot \frac{F/2}{r^2/4} = 2 \cdot k \cdot \frac{F}{r^2} = 2l_1$.
તેથી,લંબાઈમાં નવો વધારો $2l$ થશે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ રેખીય પ્રતિબળ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે.
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \,N \,m^{-2}$
લંબાઈ બમણી કરવા માટે,લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L$ એ મૂળ લંબાઈ $L$ જેટલો હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta L = L$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\Delta L}{L} = 1$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$2 \times 10^{11} = \frac{F / (1 \times 10^{-6})}{1}$
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-6} \,N$
$F = 2 \times 10^5 \,N$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A} = \frac{4 \cdot F \cdot L}{Y \cdot \pi d^2}$.
અહીં $F$,$L$ અને $Y$ બંને તાર માટે અચળ હોવાથી,$\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$ થાય.
ધારો કે $\Delta L_1 = 1 \ mm$ અને $d_1 = d$. બીજા તાર માટે,$d_2 = 4d$ છે.
તેથી,$\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d}{4d} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$.
આમ,$\Delta L_2 = \frac{1}{16} \cdot \Delta L_1 = \frac{1}{16} \cdot 1 \ mm = \frac{1}{16} \ mm$.

(D) જો તાર મુક્તપણે સંકોચાઈ શકે તો ઉદ્ભવતી ઉષ્મીય વિકૃતિ $\Delta L / L = \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\alpha = 10^{-5} \ K^{-1}$ અને $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \ K$.
તેથી,$\Delta L / L = 10^{-5} \times 100 = 10^{-3}$.
તારને સંકોચાતા અટકાવવામાં આવતો હોવાથી,ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ એ યંગ મોડ્યુલસ અને વિકૃતિના ગુણાકાર જેટલું હોય છે: $\text{પ્રતિબળ} = Y \times (\Delta L / L)$.
$\text{પ્રતિબળ} = 10^{11} \times 10^{-3} = 10^8 \ N \ m^{-2}$.
પ્રતિબળને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $\text{પ્રતિબળ} = F / A = (mg) / A$.
પ્રતિબળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $mg / A = 10^8$.
$m = (10^8 \times A) / g = (10^8 \times 4 \times 10^{-6}) / 10$.
$m = 400 / 10 = 40 \ kg$.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$.
આલેખ પરથી, આપણે કોઈપણ બિંદુ લઈ શકીએ, ઉદાહરણ તરીકે, $W = 100 \,N$ અને $\Delta l = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$.
આપેલ છે: $L = 1 \,m$, $A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$Y = \frac{100 \,N \times 1 \,m}{1 \times 10^{-6} \,m^2 \times 5 \times 10^{-3} \,m} = \frac{100}{5 \times 10^{-9}} = 20 \times 10^9 \,N \,m^{-2} = 2 \times 10^{10} \,N \,m^{-2}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જે સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેઈન આલેખના ઢાળ (slope) ને અનુરૂપ છે.
$Y = \text{slope} = \tan(\theta)$, જ્યાં $\theta$ એ રેખાએ સ્ટ્રેઈન અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
તાર $A$ માટે, સ્ટ્રેઈન અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_A = 30^{\circ}$ છે.
તેથી, $Y_A = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તાર $B$ માટે, સ્ટ્રેઈન અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_B = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
તેથી, $Y_B = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$.
હવે, ગુણોત્તર $\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3$ ગણતા.
આમ, $Y_B = 3 Y_A$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. ગતિનું સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
$h = 25 \ m$ અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$ મૂકતા,આપણને $25 = ut - 5t^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $5t^2 - ut + 25 = 0$ થાય છે.
ધારો કે $t_1$ અને $t_2$ એ બે સમય છે જ્યારે દડો $25 \ m$ ની ઊંચાઈ પર હોય.
બીજોનો સરવાળો $t_1 + t_2 = \frac{u}{5}$ અને બીજોનો ગુણાકાર $t_1 t_2 = \frac{25}{5} = 5$ થાય.
સમયગાળો $|t_2 - t_1| = 4 \ s$ છે.
નિત્યસમ $(t_2 - t_1)^2 = (t_1 + t_2)^2 - 4t_1 t_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$4^2 = (\frac{u}{5})^2 - 4(5)$ મળે.
$16 = \frac{u^2}{25} - 20$,તેથી $\frac{u^2}{25} = 36$.
$u^2 = 36 \times 25 = 900$,જે આપણને $u = 30 \ m \ s^{-1}$ આપે છે.

(D) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થનું સ્થાનાંતર શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g$ હોય છે.
તેથી,$n^{th}$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ થાય.
બીજી સેકન્ડ માટે $(n = 2)$: $S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3) = 1.5g$.
પાંચમી સેકન્ડ માટે $(n = 5)$: $S_5 = \frac{g}{2}(2(5) - 1) = \frac{g}{2}(9) = 4.5g$.
સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર $\frac{S_2}{S_5} = \frac{1.5g}{4.5g} = \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{3}$ થાય.

(B) ધારો કે ગતિનો કુલ સમય $n$ સેકન્ડ છે. $n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g = 10 \ m \ s^{-2}$ છે.
છેલ્લી સેકન્ડમાં ($n^{th}$ સેકન્ડ) કાપેલું અંતર $S_n = 0 + \frac{10}{2}(2n - 1) = 5(2n - 1)$ છે.
છેલ્લી સેકન્ડ પહેલાની સેકન્ડમાં ($(n-1)^{th}$ સેકન્ડ) કાપેલું અંતર $S_{n-1} = 0 + \frac{10}{2}(2(n-1) - 1) = 5(2n - 3)$ છે.
આપેલ છે કે છેલ્લી સેકન્ડ પહેલાની સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $5 \ m$ છે,તેથી $5(2n - 3) = 5$.
$2n - 3 = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2 \ s$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ જમીનથી $h$ ઊંચાઈ પર છે. ગતિનું સમીકરણ $h = vt - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{2}gt^2 - vt + h = 0$ મળે છે.
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જેના બે ઉકેલો $t_1$ અને $t_2$ છે,જે તે સમય દર્શાવે છે જ્યારે દડો $h$ ઊંચાઈ પર હોય છે.
આપેલ છે કે $t_1 = x$,ઉકેલોનો સરવાળો $t_1 + t_2 = \frac{-(-v)}{\frac{1}{2}g} = \frac{2v}{g}$ થાય છે.
તેથી,$t_2 = \frac{2v}{g} - x$.
પ્રથમ વખત $P$ માંથી પસાર થયા પછી ફરીથી $P$ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_2 - t_1 = (\frac{2v}{g} - x) - x = \frac{2v}{g} - 2x = 2(\frac{v}{g} - x)$ છે.

(C) કણનું સ્થાનાંતર $s = t^3 - 6t^2 + 18t + 9$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 18$.
ન્યૂનતમ વેગ શોધવા માટે,આપણે સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય તરીકે સેટ કરીએ છીએ: $\frac{dv}{dt} = 6t - 12$.
$\frac{dv}{dt} = 0$ લેતા,આપણને $6t - 12 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = 2 \ s$.
હવે,ન્યૂનતમ વેગ શોધવા માટે $t = 2 \ s$ ને વેગના સમીકરણમાં મૂકો:
$v_{min} = 3(2)^2 - 12(2) + 18 = 3(4) - 24 + 18 = 12 - 24 + 18 = 6 \ m \ s^{-1}$.

(D) ધારો કે કુલ અંતર $D$ છે.
$v_1$ ઝડપે કાપેલું અંતર $d_1 = 0.4D$ છે.
$v_2$ ઝડપે કાપેલું અંતર $d_2 = 0.6D$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{0.4D}{v_1}$ છે.
બીજા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{0.6D}{v_2}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{D}{t_1 + t_2}$.
$v_{avg} = \frac{D}{\frac{0.4D}{v_1} + \frac{0.6D}{v_2}} = \frac{1}{\frac{0.4}{v_1} + \frac{0.6}{v_2}}$.
$v_{avg} = \frac{1}{\frac{0.4v_2 + 0.6v_1}{v_1 v_2}} = \frac{v_1 v_2}{0.4v_2 + 0.6v_1}$.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ગુણતા: $v_{avg} = \frac{5 v_1 v_2}{2v_2 + 3v_1} = \frac{5 v_1 v_2}{3v_1 + 2v_2}$.

(A) ધારો કે કુલ અંતર $2d$ છે।
પ્રથમ અડધા અંતર $d$ માટે, ઝડપ $v_1 = 3 \, m \, s^{-1}$ છે। લાગતો સમય $t_1 = d / v_1 = d / 3$ છે।
બીજા અડધા અંતર $d$ માટે, તે બે સમાન સમયગાળા $t_2$ અને $t_2$ (કુલ સમય $2t_2$) માં $v_2 = 4.5 \, m \, s^{-1}$ અને $v_3 = 7.5 \, m \, s^{-1}$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે।
આ અડધા ભાગમાં કાપેલું અંતર $d = v_2 t_2 + v_3 t_2 = (4.5 + 7.5) t_2 = 12 t_2$ છે।
તેથી, $t_2 = d / 12$.
બીજા અડધા ભાગ માટે લાગતો કુલ સમય $T_2 = 2 t_2 = 2(d / 12) = d / 6$ છે।
આખી મુસાફરી માટેનો કુલ સમય $T = t_1 + T_2 = d / 3 + d / 6 = (2d + d) / 6 = 3d / 6 = d / 2$ છે।
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \text{કુલ અંતર} / \text{કુલ સમય} = 2d / (d / 2) = 4 \, m \, s^{-1}$ છે।

(A) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો.
આલેખ પરથી,$t = 0 \ s$ સમયે,પ્રારંભિક સ્થાન $x_i = 80 \ m$ છે.
$t = 10 \ s$ સમયે,અંતિમ સ્થાન $x_f = 60 \ m$ છે.
કુલ સ્થાનાંતર $\Delta x = x_f - x_i = 60 \ m - 80 \ m = -20 \ m$.
કુલ સમયગાળો $\Delta t = 10 \ s - 0 \ s = 10 \ s$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-20 \ m}{10 \ s} = -2 \ m \ s^{-1}$.
સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $2 \ m \ s^{-1}$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \,m \,s^{-1}$, સમય $t = 3 \,s$, પ્રવેગ $a = -g = -10 \,m \,s^{-2}$.
સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
અહીં, $s$ એ પ્રક્ષેપણ બિંદુથી પાણીની સપાટી સુધીનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે. પથ્થર પુલની નીચે પાણીમાં પડતો હોવાથી, સ્થાનાંતર $-h$ થશે (જ્યાં $h$ એ પુલની ઊંચાઈ છે).
કિંમતો મૂકતા: $-h = (5)(3) + \frac{1}{2}(-10)(3)^2$.
$-h = 15 - 5(9)$.
$-h = 15 - 45$.
$-h = -30$.
$h = 30 \,m$.
તેથી, પાણીની સપાટીથી પુલની ઊંચાઈ $30 \,m$ છે.

(C) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$. ધારો કે સમાન પ્રવેગ $a$ છે.
સમય $t = n$ પર,વેગ $v = u + at = 0 + an$,તેથી $a = \frac{v}{n}$.
$k^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $S_k = u + \frac{a}{2}(2k - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u = 0$ હોવાથી,$S_k = \frac{a}{2}(2k - 1)$.
$n^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
$(n-1)^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $S_{n-1} = \frac{a}{2}(2(n-1) - 1) = \frac{a}{2}(2n - 3)$ છે.
આ બે સેકન્ડમાં કુલ સ્થાનાંતર $S_{total} = S_n + S_{n-1} = \frac{a}{2}(2n - 1 + 2n - 3) = \frac{a}{2}(4n - 4) = 2a(n - 1)$.
$a = \frac{v}{n}$ મૂકતા,આપણને $S_{total} = 2(\frac{v}{n})(n - 1) = \frac{2v(n - 1)}{n}$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ (Horizontal range) $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,m \,s^{-1}$,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^{\circ}$,અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \,m \,s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{10^2 \sin(2 \times 45^{\circ})}{10} = \frac{100 \times \sin(90^{\circ})}{10} = \frac{100 \times 1}{10} = 10 \,m$.
ગોળીઓ બધી દિશામાં છોડવામાં આવતી હોવાથી,તે જમીન પર $R = 10 \,m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં પડશે.
ગોળીઓ દ્વારા આવરી લેવાયેલ વિસ્તાર $A$ એ આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે: $A = \pi R^2$.
$A = \pi \times (10)^2 = 100\pi$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$A = 100 \times 3.14 = 314 \,m^2$ મળે છે.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $y = bx^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dt} = 2bx \frac{dx}{dt}$.
આનો અર્થ એ છે કે $v_y = 2bx v_x$.
ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv_y}{dt} = 2b \left( \frac{dx}{dt} \cdot v_x + x \cdot \frac{dv_x}{dt} \right)$.
$x$-દિશામાં પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી $(a_x = 0)$,આપણને મળે છે $\frac{dv_x}{dt} = 0$.
તેથી,$a_y = 2b(v_x^2)$.
આપેલ છે કે $a_y = a$,તેથી $a = 2bv_x^2$.
$v_x$ માટે ઉકેલતા: $v_x^2 = \frac{a}{2b}$,જે આપે છે $v_x = \sqrt{\frac{a}{2b}}$.

(D) ધારો કે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને તેનું દળ $m$ છે। પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $X = \frac{1}{2}mu^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ રહે છે.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ હોવાથી, મહત્તમ ઊંચાઈએ સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$ થાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K_h = \frac{1}{2}m(u_x)^2$ દ્વારા મળે છે.
$u_x$ ની કિંમત મૂકતા, $K_h = \frac{1}{2}m(\frac{u}{2})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{u^2}{4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}mu^2)$ મળે છે.
કારણ કે $X = \frac{1}{2}mu^2$, તેથી $K_h = \frac{X}{4}$ થાય છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u = 30 \ m \ s^{-1}$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 30 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(30)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 10} = 30 \implies \frac{900 \sin^2 \theta}{20} = 30 \implies 45 \sin^2 \theta = 30 \implies \sin^2 \theta = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$.
આમ,$\sin \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$ અને $\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ (Range) $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}$ છે.
$R = \frac{30^2 \times 2 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{10} = \frac{900 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{3}}{10} = 90 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{3} = 60 \sqrt{2} \ m$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta (1 - \frac{x}{R})$ છે.
અહીં પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ $(0, 0)$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $H = 20 \text{ m}$ એ $x = 30 \text{ m}$ અંતરે મળે છે.
કુલ અવધિ $R = 30 \text{ m} + 10 \text{ m} = 40 \text{ m}$ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $20 = 30 \tan \theta (1 - \frac{30}{40})$.
$20 = 30 \tan \theta (1 - 0.75) = 30 \tan \theta (0.25) = 7.5 \tan \theta$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{20}{7.5} = \frac{8}{3}$.
આમ,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = \tan^{-1}(\frac{8}{3})$ થાય.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = Ax - Bx^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = \tan \theta$ અને $B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
$A = \tan \theta$ પરથી,$\sin \theta = A \cos \theta$ મળે.
આ કિંમત $B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ માં મૂકતા,$u^2 = \frac{g}{2B \cos^2 \theta}$ મળે.
હવે,$H = \frac{(\frac{g}{2B \cos^2 \theta}) (A^2 \cos^2 \theta)}{2g} = \frac{A^2}{4B}$.
તે જ રીતે,$R = \frac{2 (\frac{g}{2B \cos^2 \theta}) (A \cos^2 \theta)}{g} = \frac{A}{B}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ અને અવધિનો ગુણોત્તર $\frac{H}{R} = \frac{A^2 / 4B}{A / B} = \frac{A}{4}$ થાય.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ છે: $u = 60 \,m \,s^{-1}$, $R = 180 \sqrt{3} \,m$, અને $g = 10 \,m \,s^{-2}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$180 \sqrt{3} = \frac{(60)^2 \sin(2\theta)}{10}$
$180 \sqrt{3} = \frac{3600 \sin(2\theta)}{10}$
$180 \sqrt{3} = 360 \sin(2\theta)$
$\sin(2\theta) = \frac{180 \sqrt{3}}{360} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, તેથી $2\theta = 60^{\circ}$ અથવા $2\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
આમ, $\theta = 30^{\circ}$ અથવા $\theta = 60^{\circ}$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ $u_y$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m \ s^{-2}$ છે.
સમય $t$ પર ઊંચાઈ $h$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$.
$t = 2 \ s$ પર $h = 60 \ m$ આપેલ છે,તેથી: $60 = u_y(2) - \frac{1}{2}(10)(2)^2$.
$60 = 2u_y - 20 \implies 2u_y = 80 \implies u_y = 40 \ m \ s^{-1}$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u_y}{g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 40}{10} = 8 \ s$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2 u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$R = 3H$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2 u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $2 \cos\theta = \frac{3}{2} \sin\theta$,જે દર્શાવે છે કે $\tan\theta = \frac{4}{3}$.
$\tan\theta = \frac{4}{3}$ પરથી,$\sin\theta = \frac{4}{5}$ અને $\cos\theta = \frac{3}{5}$ મળે.
હવે,આ કિંમતો અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{2 u^2 (4/5)(3/5)}{g} = \frac{2 u^2 (12/25)}{g} = \frac{24 u^2}{25 g}$.

(B) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે।
મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક $0$ હોય છે, તેથી પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ તેના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો હોય છે: $v_{max} = u \cos \theta$.
આપેલ છે કે $v_{max} = 20 \,m \,s^{-1}$ અને $\theta = 45^{\circ}$, તેથી $20 = u \cos 45^{\circ} = u / \sqrt{2}$.
આમ, $u = 20\sqrt{2} \,m \,s^{-1}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{(20\sqrt{2})^2 \sin^2 45^{\circ}}{2 \times 10}$.
$H = \frac{800 \times (1/\sqrt{2})^2}{20} = \frac{800 \times 0.5}{20} = \frac{400}{20} = 20 \,m$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેની અવધિ સમાન હોવાથી,$\sin(2\theta_1) = \sin(2\theta_2)$.
આનો અર્થ એ છે કે $2\theta_1 = 180^\circ - 2\theta_2$,જેનું સાદું રૂપ $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$ અથવા $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$ થાય છે.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉડ્ડયન સમયનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{2u \sin \theta_1}{g}}{\frac{2u \sin \theta_2}{g}} = \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}$ થાય છે.
કારણ કે $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$,તેથી $\sin \theta_2 = \sin(90^\circ - \theta_1) = \cos \theta_1$.
આમ,$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin \theta_1}{\cos \theta_1} = \tan \theta_1$.

(A) ધારો કે દડાને $V_0$ ઝડપે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે. દડાના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $V_x = V_0 \cos \theta$ છે.
વ્યક્તિ દડાને પકડવા માટે તે જ સમક્ષિતિજ દિશામાં $V_p = 0.5 V_0$ ની અચળ ઝડપે દોડે છે.
વ્યક્તિ દડાને પકડી શકે તે માટે,વ્યક્તિ દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર એ ઉડ્ડયન સમય $T$ દરમિયાન દડાની સમક્ષિતિજ અવધિ (Range) જેટલું હોવું જોઈએ.
દડાની સમક્ષિતિજ અવધિ $R = (V_0 \cos \theta) T$ છે,જ્યાં $T = \frac{2 V_0 \sin \theta}{g}$.
સમય $T$ માં વ્યક્તિ દ્વારા કાપેલું અંતર $d = V_p T = (0.5 V_0) T$ છે.
વ્યક્તિ દ્વારા કાપેલા અંતરને દડાની સમક્ષિતિજ અવધિ સાથે સરખાવતા: $0.5 V_0 T = V_0 \cos \theta T$.
બંને બાજુ $V_0 T$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે $T \neq 0$),આપણને મળે છે: $0.5 = \cos \theta$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^{\circ}$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના emf $\varepsilon$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\varepsilon = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ emf $E_1 + E_2$ થાય છે. તેથી,$E_1 + E_2 = k(160)$.
જ્યારે એક કોષને ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ emf $E_2 - E_1$ થાય છે (કારણ કે $E_2 > E_1$).
નવી સંતુલન લંબાઈ $l'$ માં $75 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $l' = 160 - (0.75 \times 160) = 160 - 120 = 40 \ cm$.
તેથી,$E_2 - E_1 = k(40)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1 + E_2}{E_2 - E_1} = \frac{160}{40} = 4$.
$E_1 + E_2 = 4(E_2 - E_1) \implies E_1 + E_2 = 4E_2 - 4E_1$.
$5E_1 = 3E_2 \implies E_2 = \frac{5}{3}E_1$.
$E_1 = 1.2 \ V$ આપેલ હોવાથી,$E_2 = \frac{5}{3} \times 1.2 = 5 \times 0.4 = 2.0 \ V$.

(D) ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં એક મોટો અવરોધ $R$ જોડવો પડે છે.
આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ,$G = 15 \ \Omega$
ફુલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ,$I_g = 0.5 \ mA = 0.5 \times 10^{-3} \ A = 5 \times 10^{-4} \ A$
જરૂરી વોલ્ટેજ રેન્જ,$V = 10 \ V$
શ્રેણી અવરોધ $R$ માટેનું સૂત્ર:
$V = I_g(R + G)$
$R + G = \frac{V}{I_g}$
$R = \frac{V}{I_g} - G$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{10}{5 \times 10^{-4}} - 15$
$R = 2 \times 10^4 - 15$
$R = 20000 - 15 = 19985 \ \Omega$
તેથી,જરૂરી અવરોધ $19985 \ \Omega$ છે.

(B) $1$. સૌ પ્રથમ,ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ $(I_g)$ શોધો.
$I_g = \frac{\text{કુલ કાપા}}{\text{પ્રવાહ સંવેદિતા}} = \frac{30 \text{ div}}{0.0625 \text{ div}/\mu A} = 480 \mu A = 480 \times 10^{-6} \text{ A} = 4.8 \times 10^{-4} \text{ A}$.
$2$. વોલ્ટમીટર બનાવવા માટે ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ $(R)$ જોડવામાં આવે છે.
$3$. વોલ્ટમીટરનો કુલ અવરોધ $(R_v)$ સૂત્ર $V = I_g \times R_v$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $V$ એ માપવા માટેનો મહત્તમ વોલ્ટેજ છે.
$4$. $R_v$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $R_v = \frac{V}{I_g} = \frac{6 \text{ V}}{4.8 \times 10^{-4} \text{ A}}$.
$5$. $R_v = \frac{6}{4.8} \times 10^4 \Omega = 1.25 \times 10^4 \Omega = 12.5 \text{ k}\Omega$.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4 \ A$, વોલ્ટેજ $V = 220 \ V$, પાણીનું દળ $m = 1 \ kg$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 34^{\circ} C$, અંતિમ તાપમાન $T_2 = 100^{\circ} C$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = 4200 \ J/(kg \cdot ^{\circ} C)$.
ઇલેક્ટ્રિક પાવર $P = V \times I = 220 \times 4 = 880 \ W$.
જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા $Q = mc\Delta T = 1 \times 4200 \times (100 - 34) = 4200 \times 66 = 277200 \ J$.
જેহেতু વિદ્યુત ઊર્જા ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે, તેથી $P \times t = Q$.
$880 \times t = 277200$.
$t = 277200 / 880 = 315 \ \text{સેકન્ડ}$.
સમયને મિનિટમાં ફેરવવા માટે: $t = 315 / 60 = 5.25 \ \text{મિનિટ}$.

(B) અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P$ એ સૂત્ર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 120 \text{ V}$
અવરોધ $R = 100 \Omega$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{(120)^2}{100}$
$P = \frac{14400}{100}$
$P = 144 \text{ W}$
તેથી,વ્યય થતો પાવર $144 \text{ W}$ છે.

(B) તારનો કુલ અવરોધ $R$ છે. જ્યારે તારને વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે અવરોધ પરિઘ પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
પરિઘના ચોથા ભાગથી અલગ પડેલા બે બિંદુઓ લૂપને બે ચાપમાં વિભાજિત કરે છે: એક $R_1 = \frac{1}{4}R$ અવરોધ ધરાવે છે અને બીજો $R_2 = \frac{3}{4}R$ અવરોધ ધરાવે છે.
આ બે ભાગોને $E$ emf ધરાવતી બેટરી સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R/4} + \frac{1}{3R/4} = \frac{4}{R} + \frac{4}{3R} = \frac{12+4}{3R} = \frac{16}{3R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{3R}{16}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ પાવર છે,જે $P = \frac{E^2}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P = \frac{E^2}{3R/16} = \frac{16 E^2}{3 R}$ મળે છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં, કેપેસિટર $C$ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે, તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ધારો કે $9 \text{ V}$ ની બેટરીના ઋણ ટર્મિનલ પરનું સ્થિતિમાન $0 \text{ V}$ છે. તો ધન ટર્મિનલ પરનું સ્થિતિમાન $9 \text{ V}$ થશે.
પરિપથ $6 \text{ }\Omega$ અને $4 \text{ }\Omega$ ના અવરોધોના શ્રેણી જોડાણ તરીકે સરળ બને છે, જેમાં $1 \text{ }\Omega$ નો અવરોધ બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 6 \text{ }\Omega + 4 \text{ }\Omega + 1 \text{ }\Omega = 11 \text{ }\Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \text{ V}}{11 \text{ }\Omega} = \frac{9}{11} \text{ A}$ છે.
$6 \text{ }\Omega$ અને $4 \text{ }\Omega$ અવરોધો વચ્ચેના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_x = 9 \text{ V} - I \times 6 \text{ }\Omega = 9 - (\frac{9}{11} \times 6) = 9 - \frac{54}{11} = \frac{45}{11} \text{ V}$ છે.
કેપેસિટર $6 \text{ }\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે. તેથી, કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $6 \text{ V}$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં, બે કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $E_{eq} = 12 \, V - 6 \, V = 6 \, V$ છે (કારણ કે તેઓ વિરોધમાં જોડાયેલા છે).
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 4 \, \Omega + 1 \, \Omega + 0.6 \, \Omega + 0.4 \, \Omega = 6 \, \Omega$ છે.
સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{6 \, V}{6 \, \Omega} = 1 \, A$ છે.
આમ, એમીટરનું રીડિંગ $1 \, A$ છે.
વોલ્ટમીટર $6 \, V$ ના કોષ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલું છે. પ્રવાહ $6 \, V$ ના કોષના ધન ટર્મિનલમાં પ્રવેશતો હોવાથી, કોષ ચાર્જ થઈ રહ્યો છે.
$6 \, V$ ના કોષનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E + Ir = 6 \, V + (1 \, A)(1 \, \Omega) = 7 \, V$ છે.
તેથી, વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $7 \, V$ અને એમીટરનું રીડિંગ $1 \, A$ છે.

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે:
અવરોધકતા $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \ \Omega \ m$
લંબાઈ $L = 30 \ m$
ક્ષેત્રફળ $A = 6 \times 10^{-7} \ m^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = (1.7 \times 10^{-8} \ \Omega \ m) \times \frac{30 \ m}{6 \times 10^{-7} \ m^2}$
$R = 1.7 \times 10^{-8} \times 5 \times 10^7 \ \Omega$
$R = 8.5 \times 10^{-1} \ \Omega$
$R = 0.85 \ \Omega$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે તારનો અવરોધ $R$ છે. મીટર બ્રિજમાં સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ જમણા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે અને $l$ એ ડાબા છેડાથી સંતુલન લંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં,$l_1 = 40 \ cm$,તેથી $\frac{R}{S} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $S = 1.5R$.
જ્યારે તારને ખેંચીને તેની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની નવી લંબાઈ $l' = 2l$ અને નવું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{A}{2}$ થાય છે (કારણ કે કદ $V = Al$ અચળ રહે છે).
નવો અવરોધ $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \rho \frac{l}{A} = 4R$ થાય છે.
હવે,ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ છે. નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R'}{S} = \frac{l_2}{100-l_2}$ છે.
$R' = 4R$ અને $S = 1.5R$ મૂકતા,આપણને $\frac{4R}{1.5R} = \frac{l_2}{100-l_2}$ મળે છે.
$\frac{4}{1.5} = \frac{8}{3} = \frac{l_2}{100-l_2}$.
$8(100 - l_2) = 3l_2 \implies 800 - 8l_2 = 3l_2 \implies 11l_2 = 800$.
$l_2 = \frac{800}{11} \ cm$.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $l = 20 \ cm$,તેથી $\frac{R}{S} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $S = 4R$.
જ્યારે $S$ ને $60 \ \Omega$ સાથે શંટ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $S'$ એ $\frac{S \times 60}{S + 60}$ થાય છે.
નલ પોઈન્ટ $5 \ cm$ ખસે છે. સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S'} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$ લેતા,$3R = S' = \frac{60S}{S+60}$ મળે છે.
$S = 4R$ મૂકતા: $3R = \frac{60(4R)}{4R+60} \Rightarrow 3 = \frac{240}{4R+60} \Rightarrow 12R + 180 = 240 \Rightarrow 12R = 60 \Rightarrow R = 5 \ \Omega$.
તેથી $S = 4 \times 5 = 20 \ \Omega$.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
વિકલન કરતા,આપણને $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$ મળે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને સાપેક્ષ ફેરફાર મળે છે: $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઇમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $0.25 \%$ છે,તેથી $\left| \frac{d\lambda}{\lambda} \right| = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$.
કારણ કે $\left| \frac{d\lambda}{\lambda} \right| = \frac{dp}{p}$,તેથી $\frac{p_0}{p} = \frac{1}{400}$.
આમ,પ્રારંભિક રેખીય વેગમાન $p = 400 p_0$ થાય.

(D) ધારો કે પ્રથમ કણનું દળ $m_1 = 8 \mu g$ અને બીજા કણનું દળ $m_2 = 4 \mu g$ છે। ધારો કે $m_1$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1$ છે અને $m_2$ નો વેગ $u_2 = 0$ છે। સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક એકપરિમાણીય અથડામણ પછી, અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 = \frac{8 - 4}{8 + 4} u_1 = \frac{4}{12} u_1 = \frac{1}{3} u_1$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} u_1 = \frac{2(8)}{8 + 4} u_1 = \frac{16}{12} u_1 = \frac{4}{3} u_1$
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h/m_1v_1}{h/m_2v_2} = \frac{m_2v_2}{m_1v_1}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{4 \times (4/3)u_1}{8 \times (1/3)u_1} = \frac{16/3}{8/3} = \frac{16}{8} = 2 : 1$.

(C) $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરતા મળતી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
અહીં $h$ અને $V$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી, $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$ થાય.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: દળ $m_p = m$, વિદ્યુતભાર $q_p = e$.
આલ્ફા કણ $(\alpha)$ માટે: દળ $m_{\alpha} = 4m$, વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2e$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m \cdot 2e}{m \cdot e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ મળે.
આમ, ગુણોત્તર $\lambda_p : \lambda_{\alpha} = 2\sqrt{2} : 1$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$,તેથી $p = \sqrt{2mK}$.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
$K$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,અને $\lambda = 2 \ nm = 2 \times 10^{-9} \ m$.
$K = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (9 \times 10^{-31}) \times (2 \times 10^{-9})^2}$.
$K = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{18 \times 10^{-31} \times 4 \times 10^{-18}} = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{72 \times 10^{-49}} \approx 0.605 \times 10^{-19} \ J$.
જૂલને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગતા:
$K = \frac{0.605 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.378 \ eV$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $0.38 \ eV$ મળે છે.

(D) $T$ તાપમાને થર્મલ ન્યુટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ ન્યુટ્રોનનું દળ છે અને $k$ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
આપેલ તાપમાન $T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$ અને $T_2 = 352^{\circ} C = 352 + 273 = 625 \ K$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{625}{400}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $5: 4$ છે.

(D) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} Å$ છે.
અહીં,$V = \frac{200}{3} \,V \approx 66.67 \,V$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{66.67}} Å$.
કારણ કે $\sqrt{66.67} \approx 8.16$ થાય છે,તેથી:
$\lambda \approx \frac{12.27}{8.16} Å \approx 1.503 Å$.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ આશરે $1.5 Å$ છે.

(D) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
અહીં,$E = 5 \ eV$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ટૂંકી રીત મુજબ $E \ (eV) = \frac{1240}{\lambda \ (nm)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{1240}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{1240}{5} = 248 \ nm$.
તેથી,ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઇ $248 \ nm$ છે.

(B) વર્ક ફંક્શન $\Phi$ નું સૂત્ર $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે, જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $c$ પ્રકાશની ઝડપ છે અને $\lambda_0$ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{Js}$, $c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$, અને $\lambda_0 = 6250 \ \text{Å} = 6250 \times 10^{-10} \ \text{m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Phi = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6250 \times 10^{-10}} \ \text{J}$.
$\Phi = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{6250 \times 10^{-10}} = \frac{19.8}{6250} \times 10^{-16} \ \text{J} = 3.168 \times 10^{-20} \ \text{J}$.
આને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ (eV) માં ફેરવવા માટે, ઈલેક્ટ્રોનના વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C}$ વડે ભાગતા:
$\Phi = \frac{3.168 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ \text{eV} = 1.98 \ \text{eV}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) લેસરનો પાવર $P = nE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E$ એ એક ફોટોનની ઉર્જા છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ છે,જ્યાં $h = 6.6 \times 10^{-34} \,J \,s$ અને $\nu = 5 \times 10^{14} \,Hz$ છે.
$E = (6.6 \times 10^{-34}) \times (5 \times 10^{14}) = 33 \times 10^{-20} \,J$.
પાવર $P = 33 \,mW = 33 \times 10^{-3} \,W$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા $n = P / E$.
$n = (33 \times 10^{-3}) / (33 \times 10^{-20}) = 10^{17} = 10 \times 10^{16}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = 8 \times 10^{-19} \ J$ છે.
તેને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટમાં ફેરવતા,$E = \frac{8 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 5 \ eV$.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = 10 \ Å = 10^{-9} \ m$ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $K_{max} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (10^{-9})^2} \approx 2.41 \times 10^{-19} \ J$.
તેને $eV$ માં ફેરવતા: $K_{max} = \frac{2.41 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 1.5 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $E = \phi + K_{max}$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\phi = E - K_{max} = 5 \ eV - 1.5 \ eV = 3.5 \ eV$.

(A) આપેલ છે:
પ્રવાહ $I = 4 \ mA = 4 \times 10^{-3} \ A$
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 32 \times 10^{-6} \ Wb$ (અથવા $T \ m^2$)
સૌ પ્રથમ,$\phi = L \cdot I$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ શોધો:
$L = \frac{\phi}{I} = \frac{32 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-3}} = 8 \times 10^{-3} \ H$
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{-3}) \times (4 \times 10^{-3})^2$
$U = 4 \times 10^{-3} \times 16 \times 10^{-6}$
$U = 64 \times 10^{-9} \ J$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $1$. વાયર $h = 20 \ m$ ની ઊંચાઈ પરથી મુક્ત પતન કરે છે. જમીન પર પહોંચતા પહેલા વાયરનો વેગ $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \ m \ s^{-1}$ થાય.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાયરમાં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત $EMF$ $\epsilon = Bvl$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઘટક,$v$ એ વેગ અને $l$ એ વાયરની લંબાઈ છે.
$3$. અહીં,$B = 2 \times 10^{-5} \ T$,$v = 20 \ m \ s^{-1}$,અને $l = 30 \ m$ છે.
$4$. પ્રેરિત $EMF$ $\epsilon = (2 \times 10^{-5}) \times 20 \times 30 = 1200 \times 10^{-5} = 1.2 \times 10^{-2} \ V$ થાય.
$5$. પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\epsilon}{R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R = 40 \ \Omega$ છે.
$6$. $I = \frac{1.2 \times 10^{-2}}{40} = 0.03 \times 10^{-2} \ A = 3 \times 10^{-4} \ A = 0.3 \ mA$.

(C) આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 45$
ત્રિજ્યા $r = 4 \ cm = 0.04 \ m$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.04)^2 = 16\pi \times 10^{-4} \ m^2$
પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 0 \ T$
અંતિમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = 0.70 \ T$
સમયગાળો $\Delta t = 220 \ s$
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$. ગૂંચળાનું સમતલ ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થશે,તેથી $\cos(0^\circ) = 1$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = A(B_2 - B_1) = 16\pi \times 10^{-4} \times (0.70 - 0) = 11.2\pi \times 10^{-4} \ Wb$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -N \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$.
emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = \frac{45 \times 11.2\pi \times 10^{-4}}{220}$.
$|\varepsilon| = \frac{504\pi \times 10^{-4}}{220} \approx \frac{1583.36 \times 10^{-4}}{220} \approx 7.2 \times 10^{-4} \ V = 0.72 \ mV$.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 50t^2 + 4$ આપેલ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $\phi$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(50t^2 + 4) = 100t$.
પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = |-\frac{d\phi}{dt}| = 100t$ થાય.
$t = 2 \ s$ સમયે,પ્રેરિત $EMF$ $|\varepsilon| = 100(2) = 200 \ V$ મળે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ છે.
અવરોધ $R = 200 \ \Omega$ આપેલ છે.
તેથી,$I = \frac{200 \ V}{200 \ \Omega} = 1 \ A$.

(C) એક લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે,તેથી $\cos(0^\circ) = 1$.
આમ,$\phi = B \cdot A$.
$N$ આંટા ધરાવતી કોઈલમાં પ્રેરિત emf $\epsilon$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\epsilon = -N \frac{d\phi}{dt}$.
અહીં,$N = 100$,ક્ષેત્રફળ $A = (10 \ cm)^2 = (0.1 \ m)^2 = 0.01 \ m^2$,અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના બદલાવાનો દર $\frac{dB}{dt} = 0.7 \ T \ s^{-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\epsilon = N \cdot A \cdot \frac{dB}{dt} = 100 \times 0.01 \times 0.7$.
$\epsilon = 1 \times 0.7 = 0.7 \ V$.

(D) ભ્રમણ કરતી ધાતુની તકતીમાં પ્રેરિત emf $(e)$ માટેનું સૂત્ર: $e = \frac{1}{2} B \omega r^2$ છે.
આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ = $5 \times 10^{-2} \ T$
કોણીય ઝડપ $(\omega)$ = $60 \ rad \ s^{-1}$
ત્રિજ્યા $(r)$ = $0.3 \ m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-2}) \times 60 \times (0.3)^2$
$e = \frac{1}{2} \times 0.05 \times 60 \times 0.09$
$e = 0.025 \times 60 \times 0.09$
$e = 1.5 \times 0.09$
$e = 0.135 \ V$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ માં કોણીય વેગ $(\omega)$ સાથે ફરતા $l$ લંબાઈના ધાતુના આરામાં ઉદ્ભવતું emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = \frac{1}{2} B \omega l^2$.
અહીં, emf એ આરાની સંખ્યા પર આધારિત નથી, કારણ કે દરેક આરો ધરી અને રીમ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલ emf ના વ્યક્તિગત સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $\omega_1 = 180 \ rev/min$, $e_1 = E = \frac{1}{2} B \omega_1 l^2$.
અંતિમ સ્થિતિ: $\omega_2 = 90 \ rev/min$, $e_2 = \frac{1}{2} B \omega_2 l^2$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{e_2}{E} = \frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{90}{180} = \frac{1}{2}$.
તેથી, $e_2 = 0.5 E$.

(A) સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ શોધવાનું સૂત્ર: $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ છે,જ્યાં $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે,$N = 200$ આંટાની સંખ્યા છે,$l = 0.4 \ m$ લંબાઈ છે,અને $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. વ્યાસ $d = 7 \ cm = 0.07 \ m$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 0.035 \ m$ થાય. તેથી,$A = \pi (0.035)^2 \approx 3.848 \times 10^{-3} \ m^2$. આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $L = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (200)^2 \times (3.848 \times 10^{-3})}{0.4}$. ગણતરી કરતા $L \approx 482.5 \ \mu H$ મળે છે,જે આશરે $484 \ \mu H$ જેટલું છે.

(B) આત્મપ્રેરકત્વને કારણે કોઈલમાં ઉદ્ભવતા emf નું સૂત્ર $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ છે.
મૂલ્ય લેતા,આપણને મળે છે $|\varepsilon| = L \frac{|\Delta i|}{\Delta t}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક પ્રવાહ $i_1 = 2 \ A$
અંતિમ પ્રવાહ $i_2 = 5 \ A$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta i = i_2 - i_1 = 5 \ A - 2 \ A = 3 \ A$.
સમયગાળો $\Delta t = 0.3 \ s$.
ઉદ્ભવતું emf $\varepsilon = 40 \ mV = 40 \times 10^{-3} \ V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$40 \times 10^{-3} = L \times \frac{3}{0.3}$.
$40 \times 10^{-3} = L \times 10$.
$L = \frac{40 \times 10^{-3}}{10} = 4 \times 10^{-3} \ H$.
$L = 4 \ mH$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને વધતી જતી આવૃત્તિ અને ઘટતી જતી તરંગલંબાઈના ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈથી સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ સુધીનો ક્રમ નીચે મુજબ છે:
$1$. રેડિયો તરંગો
$2$. માઇક્રોવેવ્ઝ
$3$. ઇન્ફ્રારેડ કિરણો
$4$. દ્રશ્ય પ્રકાશ
$5$. અલ્ટ્રાવાયોલેટ કિરણો
$6$. $X$-કિરણો
$7$. ગામા કિરણો
આમ,રેડિયો તરંગો આ શ્રેણીની શરૂઆતમાં આવતા હોવાથી,આપેલા વિકલ્પોમાં તેમની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ છે.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $\vec{B} = B_0 \sin (kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\vec{B} = 3 \times 10^{-7} \sin (100 \pi x + 10^{12} t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 100 \pi \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $100 \pi = \frac{2 \pi}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{2 \pi}{100 \pi} = \frac{2}{100} = 0.02 \ m$.
તેથી,તરંગની તરંગલંબાઈ $0.02 \ m$ છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1})$.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = 6.3 \text{ Vm}^{-1}$ આપેલ છે.
આપણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
સૂત્ર $B = \frac{E}{c}$ નો ઉપયોગ કરીને,કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{6.3}{3 \times 10^8} \text{ T}$.
$B = 2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$ છે.

(C) મુક્ત અવકાશમાં ગતિ કરતા સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ એ પરમીએબિલિટી $\mu_0$ અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ સાથે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$c$ માટેના આ સૂત્રને $E = cB$ સંબંધમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E = \left( \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \right) B$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના મૂલ્ય માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$B = E \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$.

(D) બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ ઉદગમનો પાવર છે.
વળી,તીવ્રતા અને rms વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{rms}$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \epsilon_0 c E_{rms}^2$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{P}{4 \pi r^2} = \epsilon_0 c E_{rms}^2$.
$P$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $P = 4 \pi r^2 \epsilon_0 c E_{rms}^2$.
આપેલ છે: $r = 3 \ m$,$E_{rms} = 3 \ N C^{-1}$,$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = 4 \times 3.14 \times (3)^2 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (3 \times 10^8) \times (3)^2$.
$P = 4 \times 3.14 \times 9 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8 \times 9$.
$P \approx 113.04 \times 8.854 \times 10^{-4} \times 27 \approx 270.2 \times 10^{-2} \approx 2.7 \ W$.
આમ,ઉદગમનો પાવર $2.7 \ W$ છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં ગતિ કરતા સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
અહીં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
આપણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના $10^8$ ગણા મૂલ્યનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
ગુણોત્તર $= E / (10^8 \times B) = (cB) / (10^8 \times B) = c / 10^8$.
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$ ની કિંમત મૂકતા:
ગુણોત્તર $= (3 \times 10^8) / 10^8 = 3$.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,દોલિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
વધુમાં,આ બંને સદિશો તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
આ ક્ષેત્રો સમાન કળામાં દોલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એક જ સમયે અને એક જ સ્થાને તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તેઓ પરસ્પર લંબ દિશામાં હોય છે અને સમાન કળામાં હોય છે.

(A) સમતલ પ્રગામી તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $B = B_0 \sin(kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $B_y = 2 \times 10^{-7} \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \pi \times 10^{11} t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 1.5 \pi \times 10^{11} \ rad/s$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$1.5 \pi \times 10^{11} = 2 \pi f$ મળે છે.
$f$ માટે ઉકેલતા,$f = \frac{1.5 \pi \times 10^{11}}{2 \pi} = 0.75 \times 10^{11} \ Hz$ મળે છે.
આને $f = 75 \times 10^9 \ Hz$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બધા જ દિશાઓમાં સમાન રીતે પાવર $P$ ઉત્સર્જિત કરતા બિંદુવત સ્ત્રોતની $r$ અંતરે તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{P}{4 \pi r^2}$
આપેલ છે:
પાવર $P = 10 \ W$
અંતર $r = 0.5 \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{10}{4 \times 3.14 \times (0.5)^2}$
$I = \frac{10}{4 \times 3.14 \times 0.25}$
$I = \frac{10}{3.14}$
$I \approx 3.18 \ W \ m^{-2}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા $X$-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{min})$ ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $V = 20 \times 10^3 \ V$.
$\lambda_{min} = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (20 \times 10^3)} \ m$.
$\lambda_{min} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{3.2 \times 10^{-15}} \ m = 6.215 \times 10^{-11} \ m$.
$1 \ Å = 10^{-10} \ m$ હોવાથી,$\lambda_{min} = 0.6215 \times 10^{-10} \ m = 0.62 \ Å$ થાય.

(A) વિદ્યુત સ્થાનાંતર સદિશ $D$ ને $D = \epsilon E$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\epsilon$ એ માધ્યમની પરમિટિવિટી છે અને $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
આપેલ છે કે ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 3$,તેથી માધ્યમની પરમિટિવિટી $\epsilon = K \epsilon_0$ છે,જ્યાં $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ F m^{-1}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 1.5 \times 10^{-9} \pi \ N C^{-1}$ છે.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$D = K \epsilon_0 E$
$D = 3 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (1.5 \times 10^{-9} \pi)$
ગણતરીની સરળતા માટે $\epsilon_0 \approx \frac{1}{36\pi} \times 10^{-9} \ F m^{-1}$ લેતા:
$D = 3 \times (\frac{1}{36\pi} \times 10^{-9}) \times (1.5 \times 10^{-9} \pi)$
$D = 3 \times \frac{1}{36} \times 1.5 \times 10^{-18}$
$D = \frac{4.5}{36} \times 10^{-18} = 0.125 \times 10^{-18} \ C m^{-2} = 125 \times 10^{-21} \ C m^{-2}$.

(A) હવામાં $r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = 98 \ N$ છે.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $r_{eff}$ બદલાય છે. અસરકારક અંતર $r_{eff} = (r - t_1 - t_2) + t_1\sqrt{K_1} + t_2\sqrt{K_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r = 9 \ cm$,$t_1 = 6 \ cm$,$K_1 = 4$,$t_2 = 3 \ cm$,$K_2 = 9$.
$r_{eff} = (9 - 6 - 3) + 6\sqrt{4} + 3\sqrt{9} = 0 + 6(2) + 3(3) = 12 + 9 = 21 \ cm$.
નવું બળ $F'$ એ $F' = F \left( \frac{r}{r_{eff}} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
$F' = 98 \times \left( \frac{9}{21} \right)^2 = 98 \times \left( \frac{3}{7} \right)^2 = 98 \times \frac{9}{49} = 2 \times 9 = 18 \ N$.

(B) પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $N = 6 \times 10^{24}$ છે.
જે પરમાણુઓમાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરવામાં આવે છે તેની સંખ્યા $n = 0.005 \% \text{ of } N$ છે.
$n = \frac{0.005}{100} \times 6 \times 10^{24} = 5 \times 10^{-5} \times 6 \times 10^{24} = 30 \times 10^{19} = 3 \times 10^{20}$.
દરેક પરમાણુમાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન દૂર થતો હોવાથી,કુલ દૂર થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $3 \times 10^{20}$ છે.
ઘન પદાર્થ દ્વારા મેળવેલ વિદ્યુતભાર $q = n \times e$ છે,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
$q = (3 \times 10^{20}) \times (1.6 \times 10^{-19}) = 4.8 \times 10 = 48 \ C$.
ઇલેક્ટ્રોન દૂર થતા હોવાથી,ઘન પદાર્થ $+48 \ C$ જેટલો ધન વિદ્યુતભાર મેળવે છે.

(A) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ છે. આપેલ છે કે $q_1 + q_2 = 25 \times 10^{-6} \ C$ અને અંતર $r = 1.5 \ m$ છે. સ્થિત-વિદ્યુત બળનું સૂત્ર $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ છે. કિંમતો મૂકતા: $0.6 = \frac{9 \times 10^9 \times q_1 q_2}{(1.5)^2}$. $q_1 q_2$ માટે ઉકેલતા: $q_1 q_2 = \frac{0.6 \times 2.25}{9 \times 10^9} = 0.15 \times 10^{-9} = 150 \times 10^{-12} \ C^2$. આપણે જાણીએ છીએ કે $(q_1 - q_2)^2 = (q_1 + q_2)^2 - 4 q_1 q_2$. કિંમતો મૂકતા: $(q_1 - q_2)^2 = (25 \times 10^{-6})^2 - 4(150 \times 10^{-12}) = 625 \times 10^{-12} - 600 \times 10^{-12} = 25 \times 10^{-12} \ C^2$. વર્ગમૂળ લેતા,$q_1 - q_2 = 5 \times 10^{-6} \ C = 5 \mu C$.

(C) શરૂઆતમાં,બે ગોળાઓ વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ છે: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{|(+8 \mu C)(-4 \mu C)|}{r^2} = k \frac{32 \mu C^2}{r^2}$.
જ્યારે બે સમાન વાહક ગોળાઓને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાઈ જાય છે કારણ કે તેમની ત્રિજ્યા સમાન છે.
દરેક ગોળા પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{+8 \mu C - 4 \mu C}{2} = +2 \mu C$ થશે.
ગોળાઓ વચ્ચેનું નવું બળ $F' = k \frac{|q' q'|}{r^2} = k \frac{|(+2 \mu C)(+2 \mu C)|}{r^2} = k \frac{4 \mu C^2}{r^2}$ છે.
બંને બળોની સરખામણી કરતા: $\frac{F'}{F} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$F' = \frac{F}{8}$.

(C) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ છે.
આપેલ છે:
$q_1 = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$q_2 = 3.2 \times 10^{-19} \ C$
$r = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (3.2 \times 10^{-19})}{(3 \times 10^{-2})^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 5.12 \times 10^{-38}}{9 \times 10^{-4}}$
$F = 5.12 \times 10^{9-38+4} \ N$
$F = 5.12 \times 10^{-25} \ N$.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકેલી વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ શોધવાનું સૂત્ર: $\tau = pE \sin \theta$ છે.
આપેલ છે:
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 2 \times 10^{-10} \text{ C m}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10^4 \text{ N C}^{-1}$.
ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\tau = (2 \times 10^{-10}) \times (10^4) \times \sin(30^{\circ})$.
અહીં $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી:
$\tau = 2 \times 10^{-6} \times 0.5 = 1 \times 10^{-6} \text{ N m}$.
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય $10^{-6} \text{ N m}$ થાય છે.

(D) વિદ્યુતભારીત વાહક ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
બંને ગોળાઓની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન $(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma)$ હોવાથી,બંને ગોળાઓની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ અને અચળાંક $\epsilon_0$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,મોટા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ થશે.
આમ,મોટા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર નાના ગોળાની સપાટી પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર જેટલું જ એટલે કે $E$ હશે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 0.2 \ g = 0.2 \times 10^{-3} \ kg$,વીજભાર $q = 2 \ C$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 20 \ N \ C^{-1}$,અંતર $d = 20 \ cm = 0.2 \ m$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
કણ પર લાગતું બળ $F = qE = 2 \times 20 = 40 \ N$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુત બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W = F \times d = 40 \ N \times 0.2 \ m = 8 \ J$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે.
તેથી,અંતિમ ગતિઊર્જા $K.E. = W = 8 \ J$ થશે.

(D) સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
$\Phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$
આપેલ છે,$\overrightarrow{E} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}) \text{ NC}^{-1}$.
સપાટી $yz$-સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં હશે.
તેથી,$\overrightarrow{A} = 3 \hat{i} \text{ m}^2$.
હવે,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$\Phi = (3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i})$
$\Phi = (3 \times 3) (\hat{i} \cdot \hat{i}) + (5 \times 0) + (7 \times 0)$
$\Phi = 9 \text{ Nm}^2\text{C}^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.